(完整版)二项式定理
二项式定理 课件
(2)x－1x9 的展开式的通项是 Cr9x9－r－1xr＝(－1)rCr9x9－2r. 根据题意，得 9－2r＝3，r＝3. 因此，x3 的系数是(－1)3C93＝－84.
1＋1x4＝1＋C141x＋C241x2＋C341x3＋1x4＝1＋4x＋
方法二 1＋1x4＝1x4(x＋1)4＝1x4[x4＋C14x3＋C24x2＋C34x＋1] ＝1＋4x＋x62＋x43＋x14.
探究点二 二项展开式的通项 例 2 (1)求(1＋2x)7 的展开式的第 4 项的二项式系数、项的
问题 3 二项式定理展开式的系数、指数、项数的特点是什么？ 答 (1)它有 n＋1 项，各项的系数 Ckn(k＝0,1，…，n)叫二项 式系数； (2)各项的次数都等于二项式的次数 n.
问题 4 二项式定理展开式的结构特征是什么？哪一项最具有 代表性？ 答 (1)字母 a 按降幂排列，次数由 n 递减到 0，字母 b 按升 幂排列，次数由 0 递增到 n； (2)Cknan－kbk 叫二项展开式的通项，用 Tk＋1 表示，即通项 Tk＋1＝Cknan－kbk.
＝81x2＋108x＋54＋1x2＋x12.
小结 在展开二项式之前根据二项式的结构特征进行必要变 形可使展开多项式的过程得到简化，例如求(1－x)5(1＋x＋x2)5 的展开式，可将原式变形为(1－x3)5，再展开较为方便．
跟踪训练 1 求1＋1x4 的展开式．
解 方法一 x62＋x43＋x14.
二项式定理
二项式定理二项式定理是高中数学的重要内容之一、它是一个基本的公式，用来展开二项式的幂次。
在代数学中有广泛应用，并在组合数学、高等数学等领域中发挥了重要作用。
本文将介绍二项式定理的概念、基本公式以及一些常见的应用。
一、二项式定理的概念和基本公式二项式定理的概念：二项式定理是用来展开二项式的幂次的公式。
简而言之，就是把形如(a+b)^n的表达式展开成多项式的形式。
基本公式：根据二项式定理，我们可以得到二项式的展开式。
对于(a+b)^n，其中a和b为任意实数，n为非负整数，根据二项式定理，展开式为：(a+b)^n=C(n,0)a^n+C(n,1)a^(n-1)b+C(n,2)a^(n-2)b^2+...+C(n,k)a^(n-k)b^k+...+C(n,n)b^n其中，C(n,k)表示组合数，即从n个元素中选择k个元素的组合数。
C(n,k)可以用组合数公式计算得到：C(n,k)=n!/(k!(n-k)!)C(n,k)即为"n choose k"，读作"n中取k"。
二、二项式定理的应用1.二项式定理的应用于计算：二项式定理可以用于计算各种二项式的展开式，特别是高次幂的情况。
通过展开式，我们可以计算出结果，以及每一项的系数。
例如，我们可以用二项式定理来计算(a+b)^4的展开式为：(a+b)^4 = C(4,0)a^4 + C(4,1)a^3b + C(4,2)a^2b^2 + C(4,3)ab^3 + C(4,4)b^4= a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^42.二项式定理的应用于排列组合问题：二项式定理在排列组合问题中也有广泛的应用。
对于排列组合问题，可以使用组合数来解决。
而组合数又可以使用二项式定理来计算。
例如，我们要从n个元素中选取k个元素，所有可能的方案数可以用组合数C(n,k)表示。
由于组合数可以用二项式定理来计算，我们可以直接得到结果。
二项式定理所有公式
二项式定理所有公式二项式定理啊，这可是高中数学里挺重要的一部分呢！咱们先来说说二项式定理到底是啥。
二项式定理就是指$(a+b)^n$ 展开后的式子。
这里面就有一系列的公式。
比如说，$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，$(a+b)^3 = a^3 + 3a^2b +3ab^2 + b^3$ 。
那如果是更高次幂呢，像$(a+b)^4$ 、$(a+b)^5$ 等等，展开就会更复杂一些。
咱们来具体看看二项式定理的通项公式：$T_{r+1} = C_{n}^r a^{n-r}b^r$ 。
这里的 $C_{n}^r$ 叫做二项式系数，计算方法是 $C_{n}^r =\frac{n!}{r!(n-r)!}$ 。
给大家讲个我之前遇到的事儿吧。
有一次我在课堂上讲二项式定理，有个学生就特别迷糊，怎么都弄不明白这个系数是怎么来的。
我就给他举了个例子，说假如咱们要从 5 个不同的苹果里选 2 个，有多少种选法？这其实就和二项式系数的计算是一个道理。
咱们先算5 的阶乘，就是 5×4×3×2×1，然后 2 的阶乘是 2×1，3 的阶乘是 3×2×1，用 5 的阶乘除以 2 的阶乘和 3 的阶乘的乘积，就能得到从 5 个里选 2 个的组合数，这就和二项式系数的计算是一样的思路。
这学生听了之后，恍然大悟，后来做这类题就很少出错啦。
再来说说二项式定理的性质。
二项式系数具有对称性，就是说$C_{n}^r = C_{n}^{n-r}$ 。
而且二项式系数的和是 $2^n$ ，也就是当$a = b = 1$ 时，$(1 + 1)^n = 2^n$ 。
在解题的时候，二项式定理用处可大啦。
比如求展开式中的特定项，或者求系数之和等等。
咱们拿个具体的题目来看看。
比如说求 $(2x - 1)^6$ 展开式中$x^3$ 的系数。
那咱们先根据通项公式，$T_{r+1} = C_{6}^r (2x)^{6-r} (-1)^r$ ，要得到 $x^3$ ，那 $6 - r = 3$ ，所以 $r = 3$ 。
二项式定理公式大全
二项式定理公式大全一、二项式定理基本公式。
1. 二项式定理。
- 对于(a + b)^n=∑_k = 0^nC_n^ka^n - kb^k，其中C_n^k=(n!)/(k!(n - k)!)，n∈N^*。
- 例如，当n = 3时，(a +b)^3=C_3^0a^3b^0+C_3^1a^2b^1+C_3^2a^1b^2+C_3^3a^0b^3。
- 计算各项系数：- C_3^0=(3!)/(0!(3 - 0)!)=1- C_3^1=(3!)/(1!(3 - 1)!)=(3!)/(1!2!)=3- C_3^2=(3!)/(2!(3 - 2)!)=(3!)/(2!1!)=3- C_3^3=(3!)/(3!(3 - 3)!)=1- 所以(a + b)^3=a^3+3a^2b + 3ab^2+b^3。
2. 二项展开式的通项公式。
- 二项式(a + b)^n展开式的第k + 1项T_k+1=C_n^ka^n - kb^k（k =0,1,·s,n）。
- 例如，在(x + 2)^5中，其通项公式为T_k + 1=C_5^kx^5 - k2^k。
当k = 2时，T_3=C_5^2x^5 - 22^2。
- 计算C_5^2=(5!)/(2!(5 - 2)!)=(5×4)/(2×1)=10- 所以T_3=10x^3×4 = 40x^3二、二项式系数的性质。
1. 对称性。
- 在二项式(a + b)^n的展开式中，与首末两端“等距离”的两项的二项式系数相等，即C_n^k=C_n^n - k。
- 例如，在(a + b)^5的展开式中，C_5^1=C_5^4，C_5^2=C_5^3。
- 计算C_5^1=(5!)/(1!(5 - 1)!)=5，C_5^4=(5!)/(4!(5 - 4)!)=5；C_5^2=(5!)/(2!(5 - 2)!)=10，C_5^3=(5!)/(3!(5 - 3)!)=10。
二项式定理 课件
0
90
91
1
又 992=(10-1)92=C92
·1092-C92
·1091+…+C92
·102-C92
·10+1,
前 91 项均能被 100 整除,后两项和为-919,因余数为正,可从前
面的数中分离出 1 000,结果为 1 000-919=81,故 9192 被 100 除所得
余数为 81.
用1110=(10+1)10的展开式进行证明,第(2)小题则可利用9192=(1009)92的展开式,或利用(90+1)92的展开式进行求解.
9
1
(1)证明 ∵1110-1=(10+1)10-1=(1010+C10
·109+…+C10
·10+1)-1
1
2
=1010+C10
·109+C10
·108+…+102
答案:-56
1.如何正确区分二项展开式中某一项的系数与二项式系数
剖析两者是不同的概念. C (r=0,1,2,…,n)叫做二项式系数,而某
一项的系数是指此项中除字母外的部分.如(1+2x)7 的二项展开式的
第 4 项的二项式系数为C73 =35,而其第 4 项的系数为C73 ·23=280.
2.如何用组合的知识理解二项式定理
二项式定理
1.二项式定理
二项展开式:(a+b)n=C0 + C1 − 1 + ⋯ + C − +
⋯ + C (n∈N*)叫做二项式定理,其中各项的系数C (k∈
{0,1,2,…,n})叫做二项式系数.
二项式定理
系数
结果：
请同学们归纳、猜想
(a＋b)n=？
这个公式所表示的定理叫做二项式定理 ，右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开 式。
1.项数规律： 展开式共有n+1个项
2.系数规律：
3.指数规律：（1）各项的次数均为n； （2）a的次数由n逐次降到0， b的次数由0逐次升到n.
解 : (1)由 二 项 式 展 开 式 的 通 项知
T3
T21
C
2 6
(2
x
)6
2
(
3
y
)2
2160x4 y2
Байду номын сангаас
解 : (2)由 二 项 式 展 开 式 的 通 项知
T3
T21
C
2 6
(3
y
)6
2
(2
x
)2
4860y4 x2
解：(x＋a)12的展开式共有13项，
所以倒数第4项是它的第10项．展开
式的第10项是
T91
C192
x 12 9a 9
C132 x3a9 220x3a9 .
1）掌握二项式定理中二项展开式及通项的特征
2）区别二项式系数，项的系数 3）掌握用通项公式求二项式系数，项的系数 及项.
•
感 谢 阅
读感 谢 阅
读
……
(a b)100 ? (a b)n ?
此法 有困难
复习提问： 1、组合； 2、组合数； 3、
(a1 a2 a3 )(b1 b2 b3 b4 b5 )的展开式
共有多少项？
二项式定理推导:
(a b)2 a2 2ab b2 C20a2 C21ab C22b2
完整版)二项式定理知识点及典型题型总结
完整版)二项式定理知识点及典型题型总结二项式定理一、基本知识点1、二项式定理：(a+b)^n = C(n,0)a^n + C(n,1)a^(n-1)b +。
+ C(n,n)b^n (n∈N*)2、几个基本概念1）二项展开式：右边的多项式叫做(a+b)^n的二项展开式2）项数：二项展开式中共有n+1项3）二项式系数：C(n,r) = n!/r!(n-r)!4）通项：展开式的第r+1项，即T(r+1) = C(n,r) * a^(n-r) * b^r3、展开式的特点1）系数都是组合数,依次为C(n,1)。
C(n,2)。
…。
C(n,n)2)指数的特点①a的指数由n到0(降幂)。
②b的指数由0到n（升幂）。
XXX和b的指数和为n。
3)展开式是一个恒等式，a，b可取任意的复数，n为任意的自然数。
4、二项式系数的性质：1）对称性: 在二项展开式中，与首末两端等距离的任意两项的二项式系数相等.2）增减性与最值: 二项式系数先增后减且在中间取得最大值当n是偶数时，中间一项取得最大值C(n,n/2)当n是奇数时，中间两项相等且同时取得最大值C(n,(n-1)/2)C(n-1.m) = C(n。
m) + C(n。
m-1)C(n,0) + C(n,1) +。
+ C(n,n) = 2^n3）二项式系数的和：奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数和.即 C(n,0) - C(n,2) + C(n,4) -。
= 2^(n-1)二项式定理的常见题型一、求二项展开式1．“(a+b)^n”型的展开式例1．求(3x+2y)^42．“(a-b)^n”型的展开式例2．求(3x-2y)^43．二项式展开式的“逆用”例3．计算1-3C(n,1) + 9C(n,2) - 27C(n,3) +。
+(-1)^n*3nC(n,n)二、通项公式的应用1．确定二项式中的有关元素例4．已知((-ax)/(9x^2+1))^9的展开式中x^3的系数为9，常数a的值为1/32．确定二项展开式的常数项例5．(x-3/x)^10展开式中的常数项是2433．求单一二项式指定幂的系数例6．(x^2-3y)^6中x^3y^3的系数为-540三、求几个二项式的和（积）的展开式中的条件项的系数例7．(x-1)^-1(x-1)^2(x-1)^3(x-1)^4(x-1)^5的展开式中，x^2的系数等于-101.展开式中，求(x-2)(x^2+1)^7展开式中x^3的系数。
《二项式定理》(共17张)-完整版PPT课件全文
展开式的第3项是240x
例1.(2)求(2 x 1 )6的展开式 x
对于例1（2）中，请思考： ①展开式中的第3项的系数为多少？ ②展开式中的第3项的二项式系数为多少？ ③你能直接求展开式的第3项吗？
④你能直接求展开式中 x 2的系数吗？
解：④ Tk1 C6k (2
x)6k ( 1 )k x
(1)k 26k C6k x3k
N*)
①项数： 展开式共有n＋1项.
②次数： 各项的次数均为n
字母a的次数按降幂排列，由n递减到0 , 字母b的次数按升幂排列，由0递增到n .
③二项式系数: Cnk (k 0,1,2,, n)
④二项展开式的通项: Tk1 Cnk ankbk
典例剖析
例1.(1)求(1 1 )4的展开式； x
(2)求(2 x 1 )6的展开式. x
N
*
)
(1)二项式系数： Cnk (k 0,1,2,, n)
(2)二项展开式的通项：Tk1 Cnk ankbk
思想方法：
(1) 从特殊到一般的数学思维方式.
(2) 类比、等价转换的思想.
巩固型作业： 课本36页习题1.3A组第2，4题
思维拓展型作业
二项式系数Cn0 , Cn1,, Cnk ,, Cnn有何性质?
1) x
C62 (2
x )4 (
1 x
)2
C63
(2
x )3 (
1 x
)3
C64
(2
x )2 (
1 )4 x
C65 (2
x )(
1 x
)5
C66
(
1 )6 x
64x3
192x2
240x
(完整word版)高中数学知识点总结---二项式定理精选全文
可编辑修改精选全文完整版高中数学知识点总结---二项式定理1. ⑴二项式定理：n n n r r n r n n n n nn b a C b a C b a C b a C b a 01100)(+++++=+-- . 展开式具有以下特点：① 项数：共有1+n 项；② 系数：依次为组合数;,,,,,,210n n r n n n n C C C C C③ 每一项的次数是一样的，即为n 次，展开式依a 的降幕排列，b 的升幕排列展开. ⑵二项展开式的通项.n b a )+（展开式中的第1+r 项为：),0(1Z r n r b a C T r r n r n r ∈≤≤=-+.⑶二项式系数的性质.①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等；②二项展开式的中间项二项式系数．．．．．最大. I. 当n 是偶数时，中间项是第12+n 项，它的二项式系数2nn C 最大； II. 当n 是奇数时，中间项为两项，即第21+n 项和第121++n 项，它们的二项式系数2121+-=n n n n C C 最大.③系数和：1314201022-=++=+++=+++n n n n n n n n n n n C C C C C C C C附：一般来说b a by ax n ,()(+为常数）在求系数最大的项或最小的项．．．．．．．．．．．时均可直接根据性质二求解. 当11≠≠b a 或时，一般采用解不等式组11111(,+-+-+⎩⎨⎧≤≤⎩⎨⎧≥≥k k k k k k k k k k T A A A A A A A A A 为或的系数或系数的绝对值）的办法来求解.⑷如何来求n c b a )(++展开式中含r q p c b a 的系数呢？其中,,,N r q p ∈且n r q p =++把n n c b a c b a ])[()(++=++视为二项式，先找出含有r C 的项r r n r n C b a C -+)(，另一方面在r n b a -+)(中含有q b 的项为q p q r n q q r n q r n b a C b a C ----=，故在n c b a )(++中含r q p c b a 的项为r q p q r n r n c b a C C -.其系数为r r q p n p n q r n r n C C C p q r n q r n q r n r n r n C C --==---⋅-=!!!!)!(!)!()!(!!. 2. 近似计算的处理方法.当a 的绝对值与1相比很小且n 不大时，常用近似公式na a n +≈+1)1(，因为这时展开式的后面部分n n n n na C a C a C +++ 3322很小，可以忽略不计。
二项式定理知识点总结资料
二项式定理知识点总结资料
二项式定理是代数学中的一个重要定理，它用于计算任意正整数指数的二项式的展开式。
二项式定理的数学表达式为：
(a+b)^n = C(n,0) * a^n * b^0 + C(n,1) * a^(n-1) * b^1 + ... +
C(n,n-1) * a^1 * b^(n-1) + C(n,n) * a^0 * b^n
其中，n为任意正整数，a和b为实数或变量，C(n,k)表示组合数，计算公式为：
C(n,k) = n! / (k! * (n-k)!)
该公式表示从n个不同元素中选择k个元素的组合数。
二项式定理的主要思想是将二项式展开为一系列的项，并且每一项的指数和为n，系数为组合数。
通过这种方式，可以计算出任意正整数指数的二项式的展开式。
二项式定理的应用包括：
1. 计算二项式系数。
通过使用二项式定理可以计算出任意两个数之和的平方的展开式，从而得到二项式系数的计算公式。
2. 计算多项式。
通过使用二项式定理可以计算出任意正整数指数的多项式的展开式，从而可以计算多项式的值。
3. 计算概率。
二项式定理可以用于概率计算中的二项分布，通过计算二项分布的概率可以进行概率统计。
4. 解决组合问题。
通过使用二项式定理可以解决组合问题，包括计算排列组合、计算不重复抽样、计算置换组合等。
二项式定理是代数学中的一项重要定理，它可以用于计算任意正整数指数的二项式的展开式，以及解决一系列与组合相关的问题。
二项式定理优选全文
跟踪训练 (1)(2017·岳阳模拟)若二项式3x2－1xn 的展开式中各项系数的
和是 512，则展开式中的常数项为
A.－27C39
2.二项式系数的性质
(1) C0n＝ 1 ，Cnn ＝ 1 .
Cmn＋1＝ Cmn －1＋Cmn .
T (2)
(3)
Cmn ＝ Cnn－m . 当n是偶数时，
Tn 1
项的二项式 2 _____________
系数最大
；当n
T 是奇数时，___n__2__1___与__n2_1__1
项的二项式系数相等且最大.
x (_2_)_－(2_0_21__6_·山. 东解)若析ax2＋∵T1kx＋51项＝的Ck5展(ax开2)5式－k中 1xxk5＝项a的5－系kC数k5 为10－ 258k0，，则实数 a＝
∴10－52k＝5，解得 k＝2，∴a3C25＝－80，解得 a＝－2.
跟踪训练 (1)(2017·全国Ⅲ)(x＋y)(2x－y)5的展开式中x3y3的系数为 解析 因为 x3y3＝x·(x2y3)，其系数为－C35·22＝－40， x3y3＝y·(x3y2)，其系数为 C25·23＝80.
法二 (x.2＋x＋y)5 为 5 个 x2＋x＋y 之积，其中有两个取 y，两个取 x2，一个
取 x 即可，所以 x5y2 的系数为 C25C23C11＝30.故选 C.
命题点 2 已知二项展开式某项的系数求参数
典例 (1)(2018 届海口调研)若(x2－a)x＋1x10 的展开式中 x6 的系数为 30， 则 a 等于 解析 由题意得x＋1x10 的展开式的通项公式是 Tk＋1＝Ck10·x10－k·1xk＝ Ck10x10－2k，x＋1x10 的展开式中含 x4(当 k＝3 时)，x6(当 k＝2 时)项的系 数分别为 C310，C210， 因此由题意得 C310－aC210＝120－45a＝30，由此解得 a＝2，故选 D.
第十三讲二项式定理(全面版)资料
第十三讲二项式定理（全面版）资料二项式定理一、知识点1. ⑴二项式定理：nn n r r n r n n n n n n b a C b a C b a C b a C b a 01100)(+++++=+-- .展开式具有以下特点： ① 项数：共有1+n 项；② 系数：依次为组合数;,,,,,,210n n rn n n n C C C C C③ 每一项的次数是一样的，即为n 次，展开式依a 的降幕排列，b 的升幕排列展开. ⑵二项展开式的通项.n b a )+（展开式中的第1+r 项为：),0(1Z r n r b aC T rr n r n r ∈≤≤=-+.⑶二项式系数的性质.①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等； ②二项展开式的中间项二项式系数．．．．．最大. I. 当n 是偶数时，中间项是第12+n项，它的二项式系数2nn C 最大；II. 当n 是奇数时，中间项为两项，即第21+n 项和第121++n 项，它们的二项式系数2121+-=n nn n C C最大. ③系数和：1314201022-=++=+++=+++n n n n n n nn n n n C C C C C C C C二、典型例题例1.已知（1－3x ）9=a 0+a 1x +a 2x 2+…+a 9x 9，则｜a 0｜+｜a 1｜+｜a 2｜+…+｜a 9｜等于A.29B.49C.39D.1例2.（2x +x ）4的展开式中x 3的系数是 A.6B.12C.24D.48例3.（2x 3－x1）7的展开式中常数项是 A.14B.－14C.42D.－42例4.已知（x 23+x 31-）n 的展开式中各项系数的和是128，则展开式中x 5的系数是_____________.（以数字作答）例5.若（x +1）n =x n +…+ax 3+bx 2+cx +1（n ∈N *），且a ∶b =3∶1，那么n =_____________. 例6 如果在（x +421x）n 的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有理项.例7求式子（｜x ｜+||1x －2）3的展开式中的常数项.例8设a n =1+q +q 2+…+q 1-n （n ∈N *，q ≠±1），A n =C 1n a 1+C 2n a 2+…+C nn a n .（1）用q 和n 表示A n ； （2）（理）当－3<q <1时，求lim ∞→n nn A 2.例9 求（a －2b －3c ）10的展开式中含a 3b 4c 3项的系数.三、练习题1.一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一只灯泡坏了，整串灯泡就不亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为A.20B.219C.220D.220－12.已知（x －xa ）8展开式中常数项为1120，其中实数a 是常数，则展开式中各项系数的和是 A.28B.38C.1或38D.1或283.（x －x1）8展开式中x 5的系数为_____________.4.若（x 3+xx 1）n 的展开式中的常数项为84，则n =_____________5.已知（x x lg +1）n 展开式中，末三项的二项式系数和等于22，二项式系数最大项为20000，求x 的值.二项式定理（第一课时）理脉络1.二项式定理：这个公式所表示的定理叫做二项式定理，右边的多项式叫做的二项展开式，它一共有项，其中各项的系数叫做二项式系数. 注：（1）(a+b)n的二项展开式具有以下特点：①它有n+1项；②各项的次数都等于二项式的幂指数n；③式中a的指数由n开始按降幂排列到0，b的指数由0开始按升幂排列到n；各项的系数依次是。
二项式定理
二项式定理【知识梳理】(a＋b)n＝C0n a n＋C1n a n－1b＋…＋C r n a n－r b r＋…＋C n n b n.这个公式称为二项式定理，1.等号右边的式子称为(a＋b)n的二项展开式2.(a＋b)n的二项展开式有n＋1项3.其中每项系数C r n(r＝0,1,2，…，n)称为二项式系数，4.C r n a n－r b r称为二项展开式的第r＋1项，又称为二项式通项即：Tr+1=C r n a n－r b r（注意区别二项式系数和展开式中项的系数）【解题方法】求二项展开式的特定项的常用方法(1)对于常数项，隐含条件是字母的指数为0(即0次项)；(2)对于有理项，一般是先写出通项公式，其所有的字母的指数恰好都是整数的项．解这类问题必须合并通项公式中同一字母的指数，根据具体要求，令其属于整数，再根据数的整除性来求解；(3)对于二项展开式中的整式项，其通项公式中同一字母的指数应是非负整数，求解方式与求有理项一致【题型归纳】1．二项式定理主要解决了三类问题，①是求二项式的展开式；②是求二项式的某些特定项；③是二项式系数与项的系数问题．2．在求解二项式的某项系数时，要注意某项的系数与某项的二项式系数之间的区别.【典例解析】1.求413⎪⎭⎫⎝⎛+xx的展开式，二项式系数和、各项系数和2. 变式训练：求52222⎪⎭⎫⎝⎛-xx的展开式二项式系数和、各项系数和3.3.求()721x +的展开式的第4项的系数为4.4.已知在n x x ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3321的展开式中第6项为常数项，则=n5.5. 求二项式10221⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x 的展开式中的常数项【课堂小结】1.二项式定理中的字母a 、b 是不能交换的，即(a ＋b)n 与(b ＋a)n 的展开式是有区别的，两者的展开式中的项的排列顺序是不同的，两者不能混淆．2.二项式定理表示一个恒等式，对于任意的a 、b ，该等式都成立．通过对a 、b 取不同的特殊值，可给某些问题的解决带来方便【巩固练习】1.()82+x 的展开式中6x 的系数是2.若()2215b a +=+(a ，b 为有理数)，则a ＋b 等于3.3.在5212⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 的二项展开式中，x 的系数为4.()10a x +的展开式中，7x 的系数为15，则a ＝5.求()()()2043111x x x ++⋅⋅⋅++++的展开式中3x 的系数。
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兵
核
心
突
破
课
时
提
升
练
菜单
高三总复习·数学(理)
提
素
养
误
研 动 向
【解析】 由 Tr＋1＝Cr8 xy8－r－ yxr＝(－1)rCr8x8－32r·y32x
区 分 析
考
纲 考 向
切
－4 知，要求 x2y2 的系数，则832－ r－324r＝ ＝22， ，
演 实 战 沙 场 点
脉
兵
搏 核
解得 r＝4，
战 沙 场 点
脉
兵
搏 核 心
1x·C25·(－1)2·23·x＝－40＋80＝40，故选 D.
突 破
【答案】 D
课
时
提
升
练
菜单
高三总复习·数学(理)
提
素
养
误
区
研
分
动
析
向
考 纲
2．(2013·课标全国卷Ⅰ)设 m 为正整数，(x＋y)2m 展开式
考
演
向 的二项式系数的最大值为 a，(x＋y)2m＋1 展开式的二项式系数 实
战
的最大值为 b.若 13a＝7b，则 m＝( )
沙 场
切
点
脉 搏
A．5
B.6
C．7
D.8
兵
核
心
突
破
课
时
提
升
练
菜单
高三总复习·数学(理)
提
素
养
【解析】
(x＋y)2m 展开式中二项式系数的最大值为 Cm2m，
误 区
研 动
∴a＝Cm2m.
分 析
向
考 纲
同理，b＝Cm2m＋＋11.
考
演
向
∵13a＝7b，∴13·Cm2m＝7·Cm2m＋＋11.
的展开式中的常数项是________．
演 实
战
【思路点拨】
沙
场
切
点
脉
兵
搏
核
心
突
破
课
时
提
升
练
菜单
高三总复习·数学(理)
提
素
养
研
【解析】
a＝πsin xdx＝(－cos x)π0 ＝2，所以二项展开
误 区 分
动
0
析
向
考 纲 考
式的通项是 Tr＋1＝Cr6(2 x)6－r－ 1xr＝Cr6·26－r·(－1)rx3－r，令 3
【解析】 x2y7＝x·(xy7)，其系数为 C78，
考
演
向
x2y7＝y·(x2y6)，其系数为－C86，
实 战
沙
切
∴x2y7 的系数为 C78－C68＝8－28＝－20.
场 点
脉
兵
搏
核
【答案】 －20
心
突
破
课
时
提
升
练
菜单
高三总复习·数学(理)
提
[命题规律预测]
素
养
从近几年的高考试题看，对本节内容的考查主要体
高三总复习·数学(理)
提
素
养
误
区
研
分
动
析
向
考
纲
考
演
向
实
第三节 二项式定理
战 沙
场
切点脉兵 Nhomakorabea搏
核
心
突
破
课
时
提
升
练
菜单
高三总复习·数学(理)
提
素
养
误
区
研
分
动
析
向
考
纲
考
演
向
考纲要求：1.能用计数原理证明二项式定理.2.会用二项 实
战
式定理解决与二项展开式有关的简单问题．
沙 场
切
点
脉
兵
搏
核
心
突
破
课
时
提
升
练
菜单
提
升
练
菜单
高三总复习·数学(理)
提
素
养
角度二：求二项展开式中项的系数
误
区
研 动 向 考
分
【例 1－2】
(2014·大纲全国卷)
x－ y
y 8 x
的展开式中
析
纲
考 向
x2y2 的系数为________．(用数字作答)
演 实
战
【思路点拨】 写出二项展开式的通项，令 x，y 的幂指
沙 场
切
点
脉 搏
数为 2 求得 x2y2 的系数．
场
切 脉
(1)求二项展开式中的特定项；
点 兵
搏
核
(2)求二项展开式中项的系数；
心
突 破
(3)已知特定项求参数的值．
课
时
提
升
练
菜单
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提
素
角度一：求二项展开式中的特定项
养
误
区
研
【例 1－1】 (2014·太原模拟)设 a＝πsin xdx，则二项式 分
动 向
析
0
考
纲 考 向
a
x－
1 6 x
误 区 分
动
析
向 考 纲
中x13的系数是 84，则实数 a＝(
)
考
演
向
实
A．2
5 B. 4
C．1
2 D. 4
战 沙 场
切 脉
【思路点拨】 写出二项展开式的通项公式，令 x 的幂
点 兵
搏
核 心
指数为－3，求 a 的值便可．
突
破
课
时
提
升
练
菜单
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提
素
养
误
研 动 向
演
向
实
－r＝0，得 r＝3，故二项展开式中的常数项是－C63×23＝－
战 沙
场
切 160.
脉
点 兵
搏
核
【答案】 －160
心
突
破
课
时
提
升
练
菜单
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提
素
养
误
区
研
分
动
析
向
考
纲 考
解决此类问题时，先要合并通项中同一字母的指数，然 演
向
实
后结合题意列方程求解．
战 沙
场
切
点
脉
兵
搏
核
心
突
破
课
时
破
课
预测 式的应用，求系数和、求特定项会是命题的热点.
时 提
升
练
菜单
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提
素
养
误
考向一 通项公式及其应用
区
研
分
动
析
向
【命题视角】 二项式定理的通项公式是解决与二项式
考
纲 考
有关问题的关键，也是高考命题的热点，多以选择、填空题
演
向
实
的形式出现，难度不大，常见的命题角度有以下几种：
战 沙
提
素
养
【解析】 由题意，令 x＝1 得展开式各项系数的和为(1 误 区
研 动
＋a)(2－1)5＝2，∴a＝1.
分 析
向
考 纲 考 向
∵二项式2x－1x5 的通项公式为 Tr＋1＝Cr5(－1)r·25－r·x5－2r，
演 实
切
∴x＋1x2x－1x5 展开式中的常数项为 x·C53(－1)3·22·x－1＋
实 战
沙
切 脉
∴13·m2！mm！！＝7·m2＋m1＋！1m！！.
场 点 兵
搏
核 心
∴m＝6.
突
破
【答案】 B
课 时
提
升
练
菜单
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提
素
养
3．(2014·课标全国卷Ⅰ)(x－y)(x＋y)8 的展开式中 x2y7 的 误 区
研 动
系数为________．(用数字填写答案)
分 析
向
考 纲
心
突 破
∴x2y2 的系数为(－1)4C84＝70.
课
【答案】 70
时 提
升
练
菜单
高三总复习·数学(理)
提
素
养
误
区
研
分
动
析
向
考
纲
考
演
向
实
战
沙
切
先求通项，再结合字母指数列方程求解．
场 点
脉
兵
搏
核
心
突
破
课
时
提
升
练
菜单
高三总复习·数学(理)
角度三：已知特定项求参数的值
提 素
养
研
【例 1－3】 (2014·湖北高考)若二项式2x＋ax7 的展开式
误 区
研 动
现在以下两个方面：
分 析
向
考 纲 考 向
命题 1.求二项展开式中特定项及特定项的系数是考查的 热点，在考查双基的同时，注重方程思想和等价转
规律
演 实 战
化思想的考查．
沙
场
切 脉
2.题型为选择题和填空题，分值 5 分左右，属基础
点 兵
搏 核
题．
心
突 考向 预测 2016 年高考将重点考查二项式系数和通项公