次序关系

2.6 次序关系
四、偏序集中的特殊元素
定义 2.24 设<X,≼>为偏序集, YX, y∈Y. （3）若存在 a∈X,且对 Y 中其它任意元素 x 都有 x ≼ a, 则称 a 为 Y 的上界；若存在 a∈X,且对 Y 中其它任意元素 x 都有 a ≼ x, 则称 a 为 Y 的下界. （4）若 a 为 Y 的上界,且在 X 中所有为 Y 的上界的元素 x,都有 a≼ x, 则称 a 为 Y 的上确界；若 a 为 Y 的下界,且在 X 中所有为 Y 的下界的 元素 x,都有 x ≼ a, 则称 a 为 Y 的下确界
性质：下界、上界、下确界、上确界不一定存在; 下界、上界存在不一定惟一; 下确界、上确界如果存在，则惟一;
集合的最小元就是它的下确界，最大元就是它的上确界；反之不对 .
例9：已知偏序集﹤A，≤﹥的Hass图如下： 求A的上界，下界，上确界，下确界。 g f e d b c A没上界、没上确界。 a a是A的下界也是下确界。
性质： 对于有穷集，极小元和极大元一定存在，还可能存在多个. 最小元和最大元不一定存在，如果存在一定惟一. 最小元一定是极小元；最大元一定是极大元. 孤立结点既是极小元，也是极大元.
例7：已知偏序集﹤A，≤﹥的Hass图如下： 求A的极大元，极小元，最大元，最小元。 g f e d b c f 和g是A的极大元。 a a是A的极小元也是最小元。 A没有最大元。
复习
设 R 是 A 上的二元关系，设 S = {<a,b> | c(<a,c>R<c,b>R)}. 证明如果 R 是等价关系，则 S 也是等价关系。
证: R 是 A 上的等价关系. 证 S 在 A 上自反 任取 x, xA <x,x>R （因为 R 在 A 上自反） x (<x,x>R<x,x>R) <x,x>S 证 S 在 A 上对称 任取<x,y>, <x,y>S c(<x,c>R<c,y>R) c (<c,x>R<y,c>R) （因为 R 在 A 上对称） <y,x>S
复习
2.15 解：所求等价类为 [1] = [5] [4] = {4} = {1, 5} [2] = [3] = [6] = {2, 3, 6}
2.6 次序关系
主要内容 1.偏序关系与偏序集 2 .偏序集与哈斯图 3.线性次序 及其哈斯图 4.偏序集中的特殊元素
2.6 次序关系
一、偏序关系与偏序集
定义 2.20 若非空集合 X 上的关系 R 满足自反的、反对称的、 传递的，则称 R 为集合 X 的偏序关系， 称集合 X 为 R 的偏序集， 记作（X，R）
例 1：整数集合 Z 上的“小于等于关系≦”是最常见的 偏序关系.
例2 设 X＝{a,b,c}, ρ （X）是 X 的幂集，则
ρ （X）={Ф ， ， ， ｛a｝｛b｝｛c｝,｛a，b｝, ｛a,c｝,｛b，c｝｛a， ， b,c｝}，R 是集合间的包含关系,则 R 是ρ （X）上的偏序关系。
，R 整除具备自反性、反对称性、传递性，所以整除关系 R 整除是 A 上的偏序关系。
注意，偏序关系的图中每个顶点都有自环，任意两个不同的顶 点要么没边要么单边，任意两个顶点若是可达的必有直接相连。 若有顶点 a 指向 b 的边，则称 a 与 b 可比，并称 a≤b。 因此，偏序关系中任意两个顶点要么可比要么不可比。
练习
2.6 次序关系
证 S 在 A 上传递 任取<x,y>, <y,z>,
<x,y>S <y,z>S c (<x,c>R<c,y>R) d (<y,d>R<d,z>R) <x,y>R<y,z> R （因为 R 在 A 上传递） <x,z>S
2.6 次序关系
二、偏序集与哈斯图
例 4 偏序集<{1,2,3,4,5,6,7,8,9}, R 整除>和 <P({a,b,c}),R>的哈斯图如下:
二、偏序集与哈斯图
2.6 次序关系
例 5 已知偏序集<A,R>的哈斯图如下图所示, 试求出集合 A 和 关系 R 的表达式.
解
A={a,b,c,d,e,f,g,h}
什么是集合之间的包含关系？
• 元素之间的包含关系 • 哈斯图----大于等于 • 哈斯图---小于等于
2.6 次序关系
一、偏序关系与偏序集
例 3 设 A＝{2,3,4,8}, R 整除是 A 上的整除关系,则 R 整除＝{(2,2), (3,3),(4,4), (8,8)， （2， ， 4） （4， ， 8） （2， }， 8）
R={<b,d>,<b,e>,<b,f>,<c,d>,<c,e>,<c,f>,<d,f>,<e,f>,<g,h>}∪序关系
定义 2.22 R 为非空集合 X 上的偏序关系, x,y∈X, x 与 y 都是可比的，则称 R 为全序（或线序）.
例 6：整数集合{2,4,6,7,9}上的“大于等于关系≧”是 最常见的线性次序关系. 哈斯图如下 2 4 6 7 9
复习
2.14 证明：（1）任意（x，y) N N，则xy=yx，即（x，y) ~ （x，y), 所以~是自反的； （2）任意（x，y)、（a，b) N N， 如果（x，y) ~ （a，b)，即xb=ya, 则ay=bx,即（a，b) ~ （x，y)，即 ~ 具备对称性； （3）任意（x，y)、（a，b)、（c,d) N N， 如果（x，y) ~ （a，b)，即xb=ya, 且（a，b) ~ （c，d)，ad=bc, 则xbad=yabc,即xd=yc,即（x，y) ~ （c，d)，所以 ~ 具备传递性 所以， 是N N 上的等价关系。 ~

注意：线性次序是偏序关系的特殊情况， 线性次序的哈斯图是“一条线”.
2.6 次序关系
四 、 偏 序 集 中 的 特 殊 元 素
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定义 2.24 设<X,≼>为偏序集, YX, y∈Y. （1）若存在 a∈Y,且对 Y 中其它任意元素 x 都有 x ≼ a, 则称 a 为 Y 的最大元；若存在 a∈Y,且对 Y 中其它任意元素 x 都有 a ≼ x, 则称 a 为 Y 的最下元. （2）若存在 a∈Y,且在 Y 中没有其它元素 x 使得 x ≼ a, 则称 a 为 Y 的极小元； 若存在 a∈Y,且在 Y 中没有其它元素 x 使得 a≼ x, 则称 a 为 Y 的极大元.
二、偏序集的哈斯图
关系图.
2.6 次序关系
哈斯图是利用偏序关系的自反性、 反对称、 传递性进行简化的
特点： （1）每个顶点没有环； （2）若 a,b 可比较，且 aRb，则顶点 a 的位置比顶点 b 的位置低； （3）仅仅具有直接比较关系的两个顶点之间连边。
补充定义 x,y∈X, 如果 xRy 且不存在 z∈X 使得 xRz 且 zRy, 则称 x 与 y 可直接比较。