《材料力学》第六章-弯曲变形
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材料力学(理工科课件)第六章 弯曲变形)
§6-1 基本概念及工程实例 （Basic concepts and example problems）
一、工程实例（Example problem）
(Deflection of Beams)
但在另外一些情况下,有时却要求构件具有较大的弹性变 形,以满足特定的工作需要.
例如,车辆上的板弹簧,要求有足够大的变形,以缓解车辆受
M 0 w 0
x
O
M 0 w 0
M
(Deflection of Beams)
w (1 w )
2 3 2
M ( x) EI
2 w 与 1 相比十分微小而可以忽略不计,故上式可近似为
w"
M ( x) EI
(6.5)
此式称为 梁的挠曲线近似微分方程（differential equation of the deflection curve） 近似原因 : （1） 略去了剪力的影响; （2） 略去了 w2项; （3） tan w w( x )
x Cx D
4
(Deflection of Beams)
边界条件x=0 和 x=l时, w 0
梁的转角方程和挠曲线方程 A 分别为 q 2 3 3 (6lx 4 x l ) 24 EI qx 2 3 3 w (2lx x l ) 24 EI 最大转角和最大挠度分别为 在 x=0 和 x=l 处转角的绝对值相等且都是最大值，
A a l D B
b
(Deflection of Beams)
解: 梁的两个支反力为
FRA F FRB F b l a l
x
l x
F FRA
A 1 a D b 2
材料力学课件ppt-6弯曲变形
L 6
(x
a)3 ]
4、求转角
x 0 代入得：
A
1
x0
Fb(L2 b2 ) 6LEI
x L代入得：
B
2
xL
Fab(L 6LEI
a)
目录
5、求 ymax 。
由 dy 0 求得 ymax 的位置值x。
dx
A
Fb(L2 b2 ) 6LEI
0,
C
1
xa
Fab(a b) 3LEI
0( a
例6-4 已知：q、l、 EI，求：yC ,B
目录
w w w
目录
弯曲变形/用叠加法求梁的变形 w
B1
ql3 24 EI
,
wC1
5ql 4 384 EI
w
B3
(ql2 ) l 3EI
ql3
3EI
,
wC 3
3ql 4 48 EI
w
B2
(ql) l2 16 EI
ql3 16 EI
,
wC 2
(ql )l 3 48 EI
则简支梁的转角方程和挠度方程为
AC段 (0 x a)
1(x)
Fb 6LEI
[3x2
(L2
b2
)],
y1 ( x)
Fb 6LEI
[x3
(L2
b2 )x],
BC段 (a x L)
2 ( x)
Fb 6LEI
[3x2
(L2
b2 )]
F(x 2
a)2
,
y2
(x)
Fb 6LEI
[x3
(L2
b2)x
目录
§6-4 用叠加法求弯曲变形 一、叠加法前提
材料力学第六章 弯曲变形
4
2
C
B
)
=
A
( A)q C
l q
( B )q
(b)
B
( wC )q
l
θ B ( θ B )q ( θ B ) M e
+
Me
(c)
Mel ql 24 EI 6 EI
3
A
B
( B ) M e
( A ) MC ( wC ) M
e
e
l
例题3
AB梁的EI为已知,求梁中间C截面挠度.
F1l 2 F2 la 0.4 400 200 B ( ) 16 EI 3 EI 210 1880 16 3 +0.423 10-4 （rad）
F1l a F2a F2a l wC 5.19 106 m 16 EI 3 EI 3 EI wmax w （3）校核刚度: l l
x A
dx
F
x
C' dω
B
d tg dx
二、挠曲线的微分方程
1.纯弯曲时曲率与弯矩的关系
M EI
1
横力弯曲时, M 和 都是x的函数.略去剪力对梁的位移的影 响, 则
1 M ( x) ( x) EI
2.由数学得到平面曲线的曲率
F
1 | w | 3 2 2 ( x) (1 w )
q
A x B
w w F wq
+
w wF wq
例1 已知：EI, F,q .求C点挠度 F q
A
C a a
B
Fa 3 ( wC )F 6 EI
材料力学第6章弯曲变形
Fb M2 x2 F ( x2 a ) l
M1 EIw1
Fb x1 l
2 x1
" EIw2
Fb M2 x2 F ( x2 a ) l
2 x2 2
EIw1
Fb C1 l 2
x2 a Fb F C2 (i) EIw2 l 2 2
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
纯弯曲情况下，弯矩与曲率 间的关系(5.1):
M EI
1
--(a)
横力弯曲时，梁截面上有弯矩也有剪力，对于跨 度远大于截面高度的梁，剪力对弯曲变形的影响可以 省略，(a)式便可以作为横力弯曲变形的基本方程。其 中，M和1/ρ都是x的函数。
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
(o) (p)
CB段 (a x2 l )
Fb 2 3l 2 2 2 l b 3 x ( x a ) 2 2 6l b Fb 2 l 2 2 3 EIw2 l b x x ( x a ) 2 2 6l b 2 EIw2
车床主轴的变形过大会影响 齿轮的啮合和轴承的配合， 造成磨损不匀，产生噪音， 降低寿命以及影响加工精度。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
吊车梁的变形过大，会 使梁上小车行走困难， 出现爬坡现象，还会引 起较严重的振动。
变形超过允许数值，即 使在弹性范围内，也被 认为是一种失效现象。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
l
2
b
2
3
工学院
§6.3 用积分法求弯曲变形—实例3
7). 讨论
上面得到最大挠度表达式为： 3 1 Fb 2 2 wmax l b 9 3 EIl
M1 EIw1
Fb x1 l
2 x1
" EIw2
Fb M2 x2 F ( x2 a ) l
2 x2 2
EIw1
Fb C1 l 2
x2 a Fb F C2 (i) EIw2 l 2 2
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
纯弯曲情况下，弯矩与曲率 间的关系(5.1):
M EI
1
--(a)
横力弯曲时，梁截面上有弯矩也有剪力，对于跨 度远大于截面高度的梁，剪力对弯曲变形的影响可以 省略，(a)式便可以作为横力弯曲变形的基本方程。其 中，M和1/ρ都是x的函数。
工学院
§6.2 挠曲线的微分方程
(o) (p)
CB段 (a x2 l )
Fb 2 3l 2 2 2 l b 3 x ( x a ) 2 2 6l b Fb 2 l 2 2 3 EIw2 l b x x ( x a ) 2 2 6l b 2 EIw2
车床主轴的变形过大会影响 齿轮的啮合和轴承的配合， 造成磨损不匀，产生噪音， 降低寿命以及影响加工精度。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
吊车梁的变形过大，会 使梁上小车行走困难， 出现爬坡现象，还会引 起较严重的振动。
变形超过允许数值，即 使在弹性范围内，也被 认为是一种失效现象。
工学院
§6.1 工程中的弯曲变形问题
l
2
b
2
3
工学院
§6.3 用积分法求弯曲变形—实例3
7). 讨论
上面得到最大挠度表达式为： 3 1 Fb 2 2 wmax l b 9 3 EIl
刘鸿文版材料力学第六章
F6bl
(l2
b2 ) x1
CB 段： a x2 l
y
F
A A
DC
FAy x1
x2
a
ym ax b
B B x
FBy
EI
Fb 2 2l
2
x2
F 2
(
x2
a)2
Fb (l2 6l
b2 )
EIy2
Fb 6l
x32
F 6
(
x2
a)3
F6lb (l2 b2 ) x2
目录
§6-3 用积分法求弯曲变形
目录
§6-5 简单超静定梁
例7 梁AB 和BC 在B 处铰接，A、C 两端固定，梁的抗弯刚度均为EI，F = 40kN， q = 20kN/m。画梁的剪力图和弯矩图。
解 从B 处拆开，使超静定结构变成两个悬臂 梁。
MA
FA FB
FB FB
yB2
yB1
FB
变形协调方程为： 物理关系
yB1 yB 2
4
EI
ql 4 48EI
ql 4 16 EI
11ql 4 ( ) 384 EI
3
ql 3
B i 1 Bi 24EI
ql 3 16EI
ql 3 3EI
11ql 3 ( ) 48EI
目录
§6-4 用叠加法求弯曲变形
例4 已知：悬臂梁受力如图示，q、l、
yC
EI均为已知。求C截面的挠度yC和转角C
§6-4 用叠加法求弯曲变形
讨论 叠加法求变形有什么优缺点？
目录
§6-5 简单超静定梁
1.基本概念： 超静定梁：支反力数目大于有效平衡方程数目的梁 多余约束：从维持平衡角度而言,多余的约束 超静定次数：多余约束或多余支反力的数目。 相当系统：用多余约束力代替多余约束的静定系统
材料力学第六章弯曲时的变形精品PPT课件
1
(x)
(1| ww2|)32
(1| ww2|)32
M(x) EI
在规定的坐标系中,x 轴水平向右 w
M
M
为正, w轴竖直向上为正.
x
O
曲线向下凸时: w 0M 0
M 0
曲线向上凸时, w 0M 0w
w 0
M
M
因此, w 与 M 的正负号相同
O M 0 w 0
x
w (1 w2)32
两段梁的挠曲线方程分别为：
1 ( 0 x a)
挠曲线方程 EIw1 M1Fbl x
转角方程
EIwFb l
x2 2
C1
挠度方程 EIw1Fb lx63C1xD 1
2 (axl )
挠曲线方程 E Iw 2 M 2F b lxF (xa)
转角方程 挠度方程
E Iw 2 'F b lx 2 2F (x 2 a)2C 2 E Iw 2 F b lx 6 3 F (x 6 a )3 C 2 x D 2
转角
B
x
w挠度（
B
3、挠曲线 :梁变形后的轴线称为挠曲线 . 挠曲线方程为:
w f(x)
式中,x 为梁变形前轴线上任一点的横坐标,w 为该点的挠度. w
A
C
B
x
挠曲线
C'
w挠度（
B
转角
4、挠度与转角的关系：
tg w ' w '(x )
w
A
挠曲线
C C'
转角
B
x
w挠度
B
5、挠度和转角符号的规定
挠度:向上为正,向下为负.
转角:自x 转至切线方向,逆时针转为正,顺时针转为负.
材料力学-第六章
第15单元第六章 弯曲变形§6-1 引言应用：梁的刚度问题，静不定梁，压杆稳定挠曲轴：变弯后的梁轴(当外力位于梁对称面内时，挠曲线为平面曲线)。
挠度()y x ： 横截面形心的位移 转角()θx ：横截面绕中性轴的转角挠曲轴方程：()y y x = (挠曲轴的解析表达式)()tg dy dxy x θ=='()θθ≈='tg y x(通常θ<︒1=0.01745弧度)§6-2 梁变形基本方程目的：求()y x ，()()[]θx y x =' 途径：建立微分方程求解 一、挠曲轴微分方程1.中性层曲率表示的弯曲变形公式()1ρ=M x EI(其中M 可以通过弯矩方程表示为x 的函数，ρ为曲率半径，它可由'y 和''y 表示) 2.由数学()11232ρ=±''+'y y3.挠曲轴微分方程()()±''+'=y y M x EI1232(1) 4.方程简化，挠曲轴近似微分方程 小变形，()'≈<y θ0.0175(弧度)'<<y 21112+'≈y ((1)式分母等于1)正负号确定——确定坐标系：y 向上''>y 0(从数学) ''<y 0M >0(本书规定) M <⇒选正号()∴''=y M x EI二、积分法计算梁的变形()θ='=+⎰y M x EI dx C()y M x EIdx Cx D =++⎰⎰C 、D 为积分常数，它由位移边界与连续条件确定。
三、位移边界与连续条件边界条件：固定端 y A A ==00,θ 固定铰，活动铰 0,0==F E y y 自由端：无位移边界条件 连续条件 y y C C C C 左右左右===00θθy y y y B BG G G G 左右左右左右===θθ例1：()M x M =0，()''=y x M EI 0()()θ='=+y x M EI x C 0()y x M EIx Cx D =++022由()()y D y C 00000=='==()()∴==y x M EIxx M EIx022θ例2：求挠曲轴微分方程AB 段： BC 段''=y M EI x l 10 ''=-⎛⎝ ⎫⎭⎪y M EI x l201y M EI x lC xD =++03116 y M EI x l x C x D =-⎛⎝ ⎫⎭⎪++0322262边界和连续条件()y 100= ()y l 20=y l y l 1222⎛⎝ ⎫⎭⎪=⎛⎝ ⎫⎭⎪(连续条件)'⎛⎝ ⎫⎭⎪='⎛⎝ ⎫⎭⎪y l y l 1222 (光滑条件)四个方程定4个常数()()y x M x lEI x l 1022244=- ()()y x M x l EIl2024=-例3：1.画剪力弯矩图2.列挠曲线的位移和连续条件3.画挠曲线大致形状(注明凹凸性与拐点) 位移与连续条件 A ：()y 100= B:()()()()a y a y a y a y 2121'='=,C:()()020232==a y a y ,()()a y a y 2232'=' D:无挠曲线大致形状的画法 (1)根据弯矩图定凹凸性， +→⋃-→⋂,(2)弯矩图过零点处为拐点 (3)支座限定支座处的位移§6-3 计算梁位移的奇异函数法奇异函数法仍属积分法。
工程力学c材料力学部分第六章 弯曲变形
q
A l/2
C l
B
解：此梁上的荷载可视为 正对称和反对称荷载的叠加， 正对称和反对称荷载的叠加， 如图所示。 如图所示。 正对称荷载作用下：
q/2
5(q / 2)l 4 5ql 4 wC1 = − =− 384 EI 768 EI
B
(q / 2)l 3 ql 3 θ A1 = −θ B1 = =− 24 EI 48EI
w P A a D
a
A C a H a B
EI
Pl 3 wB = − 3 EI
P
B
l
Pl 2 θB = − 2 EI
P A a 2a 2a C B
P/2
P/2 B
P/2
=
A
+
P/2
力分解为关于中截面的对称和反对称力( )之和的形式。 解：将P力分解为关于中截面的对称和反对称力(P/2)之和的形式。 力分解为关于中截面的对称和反对称力 显然，在反对称力( / )作用下， 显然，在反对称力(P/2)作用下，wc=0 对称力作用的简支梁， 对称力作用的简支梁，可以等效为悬臂梁受到两个力的作用 的问题。 的问题。
wA=0 θA=0
B
②、变形连续条件 变形连续条件： 连续条件
P A C θC左 wC左= wC右， =θ C右 B
的悬臂梁， 例1：图示一弯曲刚度为 的悬臂梁，在自由端受一集中力 作 ：图示一弯曲刚度为EI的悬臂梁 在自由端受一集中力F 试求梁的挠曲线方程，并求最大挠度及最大转角。 用，试求梁的挠曲线方程，并求最大挠度及最大转角。 解：① 建立坐标系并写出弯矩方程 ①
在小变形情况下， 曲线弯曲平缓， 在小变形情况下，挠曲线弯曲平缓，
∴ w′ ≪ 1
2
A l/2
C l
B
解：此梁上的荷载可视为 正对称和反对称荷载的叠加， 正对称和反对称荷载的叠加， 如图所示。 如图所示。 正对称荷载作用下：
q/2
5(q / 2)l 4 5ql 4 wC1 = − =− 384 EI 768 EI
B
(q / 2)l 3 ql 3 θ A1 = −θ B1 = =− 24 EI 48EI
w P A a D
a
A C a H a B
EI
Pl 3 wB = − 3 EI
P
B
l
Pl 2 θB = − 2 EI
P A a 2a 2a C B
P/2
P/2 B
P/2
=
A
+
P/2
力分解为关于中截面的对称和反对称力( )之和的形式。 解：将P力分解为关于中截面的对称和反对称力(P/2)之和的形式。 力分解为关于中截面的对称和反对称力 显然，在反对称力( / )作用下， 显然，在反对称力(P/2)作用下，wc=0 对称力作用的简支梁， 对称力作用的简支梁，可以等效为悬臂梁受到两个力的作用 的问题。 的问题。
wA=0 θA=0
B
②、变形连续条件 变形连续条件： 连续条件
P A C θC左 wC左= wC右， =θ C右 B
的悬臂梁， 例1：图示一弯曲刚度为 的悬臂梁，在自由端受一集中力 作 ：图示一弯曲刚度为EI的悬臂梁 在自由端受一集中力F 试求梁的挠曲线方程，并求最大挠度及最大转角。 用，试求梁的挠曲线方程，并求最大挠度及最大转角。 解：① 建立坐标系并写出弯矩方程 ①
在小变形情况下， 曲线弯曲平缓， 在小变形情况下，挠曲线弯曲平缓，
∴ w′ ≪ 1
2
材料力学 第6章 梁的弯曲变形
(c)
材料力学
第2章第剪6章切与梁连的接弯件曲的变实形用计算
在本章所取的坐标系中，
上凸的曲线w″为正值，下凸的为负值。
如图6-5所示。 按弯矩正负号的规定，正弯矩对应着负的w″， 负弯矩对应着正的w″，故（c）式
w
M (x)
(1
w2 )3 2
EI z
在小变形情况下， w dw 是一个很小的量， dx
则 w'2为高阶微量，可略去不计，故
挠曲线的近似微分方程
M x
w EI z
EIw''= −M (x)
(6-1b)
图6-5
材料力学
第2章第剪6章切与梁连的接弯件曲的变实形用计算
6.4 积分法计算梁的变形
对于等直梁，可以直接积分，计算梁的挠度和转角。 将式(6-1b)积分一次，得到
EIw′ = EIθ = −∫ M (x) dx + C
maxFl 2 2EI来自A xyF
θmax B
x
wmax
l
图6-7 例题 6-1 图
wm a x
Fl 3 3EI
θ max为正值，表明梁变形后，截面B顺时针转动；
wmax为正值，表明点B位移向下。
材料力学
第2章第剪6章切与梁连的接弯件曲的变实形用计算
例题6-2 一简支梁受均布荷载q作用，如图6-8所示。试求梁的转角方程和 挠度方程， 并确定最大挠度和A、B截面的转角。设梁的弯曲刚度为EI。
A x
y
F
θmax B
x
wmax
l
进行两次积分，得到
EIw EI Flx Flx2 C
(a)
2
EIw Flx2 Fx3 Cx D
材料力学知识点
第六章弯曲变形知识要点1、弯曲变形的概念1）、挠曲线弯曲变形后梁的轴线变为挠曲线。
平面弯曲时，挠曲线为外力作用平面内的平面曲线。
2）、平面弯曲时的变形在小变形情况下，梁的任意二横截面绕各自的中性轴作相对转动，杆件的轴线变为平面曲线，其变形程度以挠曲线的曲率来度量。
1》纯弯曲时，弯矩—曲率的关系（由上式看出，若弯曲刚度EI为常数则曲率为常数，即挠曲线为圆弧线）2》横力弯曲时，弯矩—曲率的关系3）、平面弯曲时的位移1》挠度——横截面形心在垂直于梁轴线方向上的线位移，以表示。
2》转角——横截面绕其中性轴旋转的角位移，以表示。
挠度和转角的正负号由所选坐标系的正方向来确定。
沿y轴正方向的挠度为正。
转角的正负号判定规则为，将x轴绕原点旋转90°而与y轴重合，若转角与它的转向相同，则为正，反之为负。
4）、挠曲线近似微分方程5）、受弯曲构件的刚度条件，2、积分法求梁的挠度和转角由积分常数C、D由边界条件和连续性条件确定。
对于梁上有突变载荷（集中力、集中力偶、间断性分布力）的情况，梁的弯矩M(x)不是光滑连续函数，应用上式时，应分段积分，每分一段就多出现两个积分常数。
因此除了用边界条件外，还要用连续性条件确定所有的积分常数。
边界条件：支座对梁的位移（挠度和转角）的约束条件。
连续条件：挠曲线的光滑连续条件。
悬臂梁边界条件：固定端挠度为0，转角为0连续条件：在载荷分界处（控制截面处）左右两边挠度相等，转角相等简支梁边界条件：固定绞支座或滑动绞支座处挠度为0连续条件：在载荷分界处（控制截面处）左右两边挠度相等，转角相等连接铰链处，左右两端挠度相等，转角不等3、叠加原理求梁的挠度和转角1）、叠加原理各载荷同时作用下梁任一截面的挠度和转角等于各个载荷单独作用时同一截面挠度和转角的代数和。
2）、叠加原理的限制叠加原理要求梁某个截面的挠度和转角与该截面的弯矩成线性关系，因此要求：1》弯矩M和曲率成线性关系，这就要求材料是线弹性材料2》曲率与挠度成线性关系，这就要求梁变形为小变形4、弯曲时的超静定问题——超静定梁1）、超静定梁约束反力数目多于可应用的独立的静力平衡方程数的梁称为超静定梁，它的未知力不能用静力平衡方程完全确定，必须由变形相容条件和力与变形间的物理关系建立补充方程，然后联立静力平衡方程与补充方程，求解所有的未知数。
材料力学第六章
EI
在横力弯曲时，梁横截面上除弯矩 M 外还有剪力 FS ，但工程上常用的 梁，当梁的长度大于横截面高度 10 倍时， FS 对梁的位移影响很小，可略去
不计，所以上式仍可应用。但此时， M 和 都是 x 的函数。即
M (x)
(x) EI
从高等数学可知，平面曲线的曲率可写成
d2 y
(x)
1
第六节 简单超静定梁的解法
对梁某方向的位移起限制作用的物体称为约束。在超静定梁中，超过了维持 梁的静力平衡所必需的约束，称为多余约束，相应的约束力（包括约束力偶）， 称为多余约束力。
解超静定梁的方法较多，本书介绍变形比较法，步骤如下。 （1）判断超静定次数。梁上未知约束力的个数与独立的平衡方程数之差， 称为超静定次数。对于给定的梁，解题时首先应判断它是静定的，还是超静定的。 如果是超静定的，要确定超静定的次数。 （2）解除超静定梁的多余约束，并代之以多余约束力，所得系统称为静定 基。在多余约束处寻找变形协调条件。 （3）写出变形协调条件和物理条件，得到补充方程。 （4）将补充方程和平衡方程联立，即可求解。
，
FAy
ql
坐标为 x 的截面上的弯矩为
M (x) qlx 1 ql2 1 qx2 22
列挠曲线近似微分方程并积分，有
EI
d2 y dx2
qlx
1 2
ql 2
1 2
qx2
EI
dy dx
EI
ql
x2 2
1 ql2x 2
q 6
x3
C1
（a）
EIy
ql
x3 6
1 4
ql2 x2
1 qx4 24
C1x
该处的挠度 y 0 ，截面转角 0 ；铰支座处的边界条件，挠度 y 0 。
在横力弯曲时，梁横截面上除弯矩 M 外还有剪力 FS ，但工程上常用的 梁，当梁的长度大于横截面高度 10 倍时， FS 对梁的位移影响很小，可略去
不计，所以上式仍可应用。但此时， M 和 都是 x 的函数。即
M (x)
(x) EI
从高等数学可知，平面曲线的曲率可写成
d2 y
(x)
1
第六节 简单超静定梁的解法
对梁某方向的位移起限制作用的物体称为约束。在超静定梁中，超过了维持 梁的静力平衡所必需的约束，称为多余约束，相应的约束力（包括约束力偶）， 称为多余约束力。
解超静定梁的方法较多，本书介绍变形比较法，步骤如下。 （1）判断超静定次数。梁上未知约束力的个数与独立的平衡方程数之差， 称为超静定次数。对于给定的梁，解题时首先应判断它是静定的，还是超静定的。 如果是超静定的，要确定超静定的次数。 （2）解除超静定梁的多余约束，并代之以多余约束力，所得系统称为静定 基。在多余约束处寻找变形协调条件。 （3）写出变形协调条件和物理条件，得到补充方程。 （4）将补充方程和平衡方程联立，即可求解。
，
FAy
ql
坐标为 x 的截面上的弯矩为
M (x) qlx 1 ql2 1 qx2 22
列挠曲线近似微分方程并积分，有
EI
d2 y dx2
qlx
1 2
ql 2
1 2
qx2
EI
dy dx
EI
ql
x2 2
1 ql2x 2
q 6
x3
C1
（a）
EIy
ql
x3 6
1 4
ql2 x2
1 qx4 24
C1x
该处的挠度 y 0 ，截面转角 0 ；铰支座处的边界条件，挠度 y 0 。
材料力学课件第六章1 弯曲变形
代入通解得方程组： F (0) 2 Fl (0) C 0
2 F 1 3 (0) Fl (0) 2 C (0) D 0 6 2 D0
解得： C 0, 6、确定挠曲线方程和转角方程: F EIw ' x 2 Flx 2 F Fl 2 EIw x 3 x 6 2 7、求截面位移
由方程所确定的曲率：
1 3 2 2 ( x) dw 1 dx
d w dx2 dw 1 dx
2 2
d 2w dx2
y
w x
x
3
F
因此有：
2
2
M ( x) EI
dw d 2 w M ( x) 又 1 得： 2 dx EI dx
二、画AB、DE受力图
三、变形协调条件 三、建立补充方程
v AB中 vDE中
( P RC ) L RC L2 48EI1 48EI 2
3 1 3
D
E
3 I 2 L1 P 解得：RC 3 3 I 2 L1 I1 L2 I1 L3 P 2 AB梁负担：P RC 3 3 I 2 L1 I1 L2
ห้องสมุดไป่ตู้
水平位移 2、弯曲变形的度量： （1）截面位移及特点： •横截面形心的竖向线位移 •横截面绕中性轴的角位移。 •横截面形心的水平线位移， 较竖向线位移小许多。
（2）度量变形的基本量： •挠度w： 横截面形心的竖向线位移，向上为正。 •截面转角θ ：横截面绕中性轴的角位移，逆时针为正。
3、弯曲变形简化计算 （1）简化： 认为截面只有竖向位移。 y （2）简化后问题的特点： •挠曲线方程为挠度方程：
2 F 1 3 (0) Fl (0) 2 C (0) D 0 6 2 D0
解得： C 0, 6、确定挠曲线方程和转角方程: F EIw ' x 2 Flx 2 F Fl 2 EIw x 3 x 6 2 7、求截面位移
由方程所确定的曲率：
1 3 2 2 ( x) dw 1 dx
d w dx2 dw 1 dx
2 2
d 2w dx2
y
w x
x
3
F
因此有：
2
2
M ( x) EI
dw d 2 w M ( x) 又 1 得： 2 dx EI dx
二、画AB、DE受力图
三、变形协调条件 三、建立补充方程
v AB中 vDE中
( P RC ) L RC L2 48EI1 48EI 2
3 1 3
D
E
3 I 2 L1 P 解得：RC 3 3 I 2 L1 I1 L2 I1 L3 P 2 AB梁负担：P RC 3 3 I 2 L1 I1 L2
ห้องสมุดไป่ตู้
水平位移 2、弯曲变形的度量： （1）截面位移及特点： •横截面形心的竖向线位移 •横截面绕中性轴的角位移。 •横截面形心的水平线位移， 较竖向线位移小许多。
（2）度量变形的基本量： •挠度w： 横截面形心的竖向线位移，向上为正。 •截面转角θ ：横截面绕中性轴的角位移，逆时针为正。
3、弯曲变形简化计算 （1）简化： 认为截面只有竖向位移。 y （2）简化后问题的特点： •挠曲线方程为挠度方程：
材料力学 第6章 弯曲变形
第6章
6-1 弯曲变形的实例
弯曲变形
摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会 影响零件的加工精度，甚至会出现废品。
第6章
6-1 弯曲变形的实例
弯曲变形
桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难， 出现爬坡现象。
第6章
6-1 弯曲变形的实例
弯曲变形
但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的 弹性变形，以满足特定的工作需要。 例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以 缓解车辆受到的冲击和振动作用。
F l [ ( x a)3 x 3 (l 2 b 2 ) x] 6 EIl b
F l 1 [ ( x a) 2 x 2 (l 2 b 2 )] 2 EIl b 3
第6章
6-5 叠加法求梁的位移 叠加法求梁的挠曲线
弯曲变形
梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角， 等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代 数和。这就是计算弯曲变形的叠加原理。
3. 增大梁的弯曲刚度：主要增大I值，在截面面积不变的情况下，采用
适当形状，尽量使面积分布在距中性轴较远的地方。例如：工字形、箱 形等。
q
A B l B l A
q
A
q
B
第6章
6-7 提高弯曲刚度的一些措施
弯曲变形
第6章
6-7 提高弯曲刚度的一些措施
弯曲变形
1) 支承条件：
y
w 0; w 0
弯曲变形
y
y
w0
F A
w0
2) 连续条件：挠曲线是光滑连续唯一的
C
B
w|
x C
w|
x C
， |
x C
|
6-1 弯曲变形的实例
弯曲变形
摇臂钻床的摇臂或车床的主轴变形过大，就会 影响零件的加工精度，甚至会出现废品。
第6章
6-1 弯曲变形的实例
弯曲变形
桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难， 出现爬坡现象。
第6章
6-1 弯曲变形的实例
弯曲变形
但在另外一些情况下，有时却要求构件具有较大的 弹性变形，以满足特定的工作需要。 例如，车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以 缓解车辆受到的冲击和振动作用。
F l [ ( x a)3 x 3 (l 2 b 2 ) x] 6 EIl b
F l 1 [ ( x a) 2 x 2 (l 2 b 2 )] 2 EIl b 3
第6章
6-5 叠加法求梁的位移 叠加法求梁的挠曲线
弯曲变形
梁在若干个载荷共同作用时的挠度或转角， 等于在各个载荷单独作用时的挠度或转角的代 数和。这就是计算弯曲变形的叠加原理。
3. 增大梁的弯曲刚度：主要增大I值，在截面面积不变的情况下，采用
适当形状，尽量使面积分布在距中性轴较远的地方。例如：工字形、箱 形等。
q
A B l B l A
q
A
q
B
第6章
6-7 提高弯曲刚度的一些措施
弯曲变形
第6章
6-7 提高弯曲刚度的一些措施
弯曲变形
1) 支承条件：
y
w 0; w 0
弯曲变形
y
y
w0
F A
w0
2) 连续条件：挠曲线是光滑连续唯一的
C
B
w|
x C
w|
x C
， |
x C
|
材料力学第六章弯曲变形
以图示悬臂梁为例： x
A
w
q qy
2.梁的变形可以用以下两个位移度量：
F Bx
B1
① 挠度：梁横截面形心的竖向位移y，向下的挠度为正 ② 转角：梁横截面绕中性轴转动的角度q，顺时针转动为正
简支梁
挠度方程：挠度是轴线坐标x的函数
转角方程(小变形下)：转角与挠度的关系
=tan =dy =f ´(xd)x
梁在简单荷载作用下的转 角和挠度可从表中查得。
例3 图示悬臂梁，其弯曲刚度EI为常数，求B点转角和挠度。
q
A
C
F
1.在F作用下：
查表： BF
Fl 2 2EI
,
yBF
Fl 3 3EI
B
2.在q作用下：
查表： Cq
q(l / 2)3 6EI
ql3 48 EI
A A
qBF
F
B
q(l / 2)4 ql4
M图 Fl / 4
Wz
M max
35 103 160 106
2.19 10 4 m3
3、梁的刚度条件为：
Fl3 l 48EIz 500
解得
Iz
500 Fl 2 48 E
500 35 103 42 48 200 109
2.92 10 5 m4
由型钢表中查得，22a工字钢的弯曲截面系数Wz＝3.09×l0-4m3 ，惯性矩 Iz=3.40×10-5m4，可见．选择.22a工字钢作梁将同时满足强度和刚度要求。
提高梁刚度的措施：
y ln EI
1.增大梁的弯曲刚度 EI；主要增大截面惯性矩I值，在截面 面积不变的情况下，采用适当形状，尽量使面积分布在距中性轴 较远的地方。例如：工字形、箱形等。
材料力学第六章
解 1）将梁上的载荷分解
wC wC1 wC2 wC3
B B1 B2 B3
2）查表得3种情形下C截面的 挠度和B截面的转角。
wC1
5ql 4 384EI
wC 2
ql 4 48EI
ql 4 wC3 16EI
B1
ql 3 24EI
B1
ql 3 16EI
B3
ql 3 3EI
wC1
wC2 wC3
3）进行变形比较，列出变形协调
条件
wB 0
4）叠加法
wB (wB )F (wB )FBy 0
MA A
MFAAy A
FAy A
A
MA A FA y
MA A AA
MA A A
F
B
C
2a (a) B
aF C
2a
Ba C
((ba))
B B (b)
F C
C
(c)
FBy F
B
FF C
BB
(c)
FBy
CC
B12 a
Fa 2l 3EI
w1 wB11 wB12
w2
B2a
Fl 2a 16 EI
w w1 w2
用叠加法求跨度中点挠度
解： wc wc1 wc2
由于 wc wc2
=
故
wc
1 2
wc1
1 5q0l 4 5q0l 4 2 384EI 768EI
-
解： wc wc1 wc2
当 d w 0 时，w为极值
dx
EI1
Fb 2l
x2 1
Fb 6l
(l 2
b2 )
E I 2
Fb 2l
x22
材料力学 第六章 弯曲变形
Q A
M E F A 0 .5l M 0 解得： Q E 2 P , M E 0
FA Q 0
M A F A M 0
FA
（3）计算截面A+ 和D-的剪力和弯矩
Y 0 M 0
A
同理：
FA 0 P D D
M D Q D
Q D P
Q ( x ) FA qx ql qx 0 x l 2 2 1 M ( x ) FA x qx x qlx q x 2 2 2 2 0 xl
l /2 M
ql 2
x
M ( x) |x0 0
M ( x ) |x l 0
l /2
ql 2 8
求弯矩的极值点：
O
B 1
1 — 1截面：
Q1 FB
1
M1
m2 M 1 0
Q1
FB
M 1 FB ( l x1 ) m1 m 2
4. 剪力、弯矩的正负与横向外力偶的关系
Q2 FA P
a
M 2 F A x 2 P ( x 2 a ) m1 m 2
Q1 FB
一端为固定铰支座一端为活动铰支座。 2、外伸梁 一端或两端向外伸出的简支梁。
3、悬臂梁 一端固定支座一端自由。
§6-3 剪力与弯矩
一、剪力和弯矩
步骤： （1）先求约束反力FA 、FB ； y a P1
x
m
P2
P3
x
A y
m
B
（2）由截面法求横截面上的内力； FA （如：求 m — m 截面的内力）
说明：
Q向下假设为正； M逆时针假设为正。 Q向上假设为正； M顺时针假设为正。
M E F A 0 .5l M 0 解得： Q E 2 P , M E 0
FA Q 0
M A F A M 0
FA
（3）计算截面A+ 和D-的剪力和弯矩
Y 0 M 0
A
同理：
FA 0 P D D
M D Q D
Q D P
Q ( x ) FA qx ql qx 0 x l 2 2 1 M ( x ) FA x qx x qlx q x 2 2 2 2 0 xl
l /2 M
ql 2
x
M ( x) |x0 0
M ( x ) |x l 0
l /2
ql 2 8
求弯矩的极值点：
O
B 1
1 — 1截面：
Q1 FB
1
M1
m2 M 1 0
Q1
FB
M 1 FB ( l x1 ) m1 m 2
4. 剪力、弯矩的正负与横向外力偶的关系
Q2 FA P
a
M 2 F A x 2 P ( x 2 a ) m1 m 2
Q1 FB
一端为固定铰支座一端为活动铰支座。 2、外伸梁 一端或两端向外伸出的简支梁。
3、悬臂梁 一端固定支座一端自由。
§6-3 剪力与弯矩
一、剪力和弯矩
步骤： （1）先求约束反力FA 、FB ； y a P1
x
m
P2
P3
x
A y
m
B
（2）由截面法求横截面上的内力； FA （如：求 m — m 截面的内力）
说明：
Q向下假设为正； M逆时针假设为正。 Q向上假设为正； M顺时针假设为正。
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（b）求截面C的挠度：
C点的挠度为转角 B 引起的挠度和F1作用下的挠度之和。
B 引起的挠度
wC1
a B
F1a 2l 3EI
F2al 2 16 EI
F1作用下的挠度：把BC部分为悬臂梁(图d)，由表6.1（2）得
wC 2
F1a 3 3EI
wC
wC1
wC2
F1a 2 3EI
a l
D1＝D2＝0
将其代入，得转角和挠度方程式为：
EI1
Fbx12－ Fb
2l
6l
l 2－b 2
EI2ຫໍສະໝຸດ Fbx22－ F2l
2
x2－a
2
－
Fb 6l
l 2－b2
EIw1
Fb x13－ Fbx1
6l
6l
l 2－b2
EIw2
Fbx23－ 6l
F 6
x2－a3－
例6.4 图示简支梁，承受均布载荷ｑ和集中力F的作用，试求梁
中点C的挠度(EI为常数)。
解 首先把作用在粱上的载荷系分解为只有均布载荷q作用 和 只有集中力P作用两种情形。
从表 6.1(10)、(8)查得：
wq
5ql 4 -
384 EI
(↓)
wF
- Fl 3 48EI
(↓)
总挠度为：
w
wq
wF
转角方程
挠曲线的斜率为：
tg dw
dx
tg 对于小变形情形，转角θ的值很小
dw 反映了挠度和转角之间的关系
dx
我们知道了挠曲线方程式， 对x求一次导数，就可以得到转 角方程式。因此，研究梁的变 形问题的关键就是建立挠曲线 方程式。
§6.2 挠曲线近似微分方程
上一章中，得出梁的 任一微段曲率公式：
度。这个角位移叫做该截面的转角(θ) ，常用单位为rad。
挠度w和转角θ的正负号与所选的坐标系有关，在图示所选
坐标系中，规定挠度w与坐标的正向一致者为正，反之为负。 转角θ规定以逆时针转者为正，反之为负。
二、挠曲线方程和转角方程
挠度w与转角θ是坐标x的函数：
w=f(x)
挠曲线方程式
θ=f ’(x)
需利用尾架顶尖或中间直接安装中心架等方法，以减小工件
变形，保证加工精度。
例6.2 内燃机中的凸轮轴或某些齿轮轴，可简化成在集中力F作 用下的简支梁，如图6.10所示。试讨论这一简支梁的弯曲变形。
解 (1)分段列出弯矩方程式M(x)。
支反力 AC段
FRA＝
Fb l
FRB＝
Fa l
CB段
（0≤x1≤a）
M
x1
＝
Fb l
x1
（a≤x2≤l）
M
x2
＝
Fb l
x2
-
F
x2
-
a
（2）代人挠曲线近似微分方程式，并积分；
AC段
CB段
E
Iw1＝
Fb l
x1
EIw2
＝
Fb l
x2
-
Fx2
-
a
EI1
Fb x 12 2l
C1
EIw1
Fb 6l
x
3 1
C1
x1
D1
E I 2
Fbx22－ F
以ｘl=0.5l代入w1得:
wl 2
- Fb 48EI
3l 2－4b2
例6.3 桥式起重机的大梁和建筑中的梁都可简化成简支梁，梁的 自重就是均布载荷。讨论在均布载荷作用下，简支梁的弯曲变形。
解：(1)列出弯矩方程式
M＝ qlx － qx2 22
(2)建立挠曲线近似微分方程式,积分。
EI ql x 2－ q x3 C
x1
l2 - b2 3
wmax
-
Fb 9
l2 - b2 3EIl
当载荷P处于梁中点，即ｂ=l／２时，ｘl=0.5l；
当载荷Ｐ移至支座B,即ｂ→０时
l2
x1
0.577l 3
即使在这种极端的情况下，最大挠度的位置距 中点只有0.077l，也就是说点的位置影响甚小，最大 挠度总是发生在梁跨中点的附近。可以认为在工程 中当有一集中力作用在简支梁上时，梁的最大挠度 发生在梁的中点，其结果误差不超过3％。
2l
2
x2－a2＋C2
EIw2
Fbx23－ F
6l
6
x2－a3＋C2 x2＋D2
（3）确定积分常数，得到具体的挠度和转角方程式；
边界条件: 当ｘ1=０时，w1=０； 当ｘ２=l时，w２=０ 连续条件:当ｘ1=ｘ２=ａ时，θ1=θ２ ，w1=w２
得
C1
C2
－ Fb 6l
l 2－b2
由于梁的挠曲线近似微分方程式是线性微分方 程式，梁截面的剪力、弯矩、转角和挠度都是载荷的 线性函数。因此可用叠加法计算梁的变形。即，由载 荷系引起的挠度曲线就等于由各载荷单独作用时所引 起的挠度曲线的迭加。
运用叠加法，可以求出载荷共同作用下的挠度和转 角。其步骤如下:
1.求出各载荷单独作用时的变形； 2.求其代数和 。
- 5ql 4 384 EI
-
Fl 3 48EI
例6.5 车床主轴可简化成图示外伸梁。F1为切削力，F2为齿轮传 动力。若把外伸梁作为等截面梁，求截面B的转角和端点C的挠度。
解：设想沿截面B将外伸梁 分成两部分。AB部分为简支 梁(图c)，梁上除集中力F2外， 在截面B上还有剪力FS和弯矩
M，且FS= F1，M= F1a。剪力
2.用叠加法借助查表求弯曲变形时的注意点 (1)勿舍简就繁； (2)根据题给情况作物理量的代换，不能照搬公式； (3)当题给载荷与表中反向时，表中给出的转角、挠度均应
取相反的符号； (4)当挠曲线方程为分段函数时，应注意每段函数的适用范
围，不能随意取一个。
§6.6 提高弯曲刚度的一些措施
影响梁弯曲变形的各种因素： (1)梁的几何尺寸(惯性矩I和梁长L)， (2)材料的弹性模量, (3)梁的支承和载荷情况。
Ｃ=０，Ｄ=０
1 EI
Plx－ 1
2
Px 2
Plx 2EI
2 -
x l
(5)确定最大挠度
w 1 1 Plx2－ 1 Px3 Plx2 3 - x
EI 2
6 6EI l
工作的最大挠度发生在自由端。 ｘ=l时
wmax
Pl3 3EI
（2）中间铰处，挠曲线是连续而不光滑的，即铰两恻的梁， 在中间铰处挠度相等，但转角不相等。
例6.1 图(a)为车床上用三爪夹紧工件进行切削的示意图。图 (b)为其计算简图。若车刀作用于工件上的力P=360N，工件直
径d=1.5cm，长度l=7.5cm，工件材料的弹性模量E=200GPa， 试问由于工件弯曲变形而产生的最大直径误差是多少?
§6.1 工程中的弯曲变形问题
工程中有些受弯构件在载荷作用下虽能满足强度 要求，但由于弯曲变形过大，刚度不足，仍不能保证 构件的正常工作，成为弯曲变形问题。
出现“爬坡”现象
使齿轮啮合力沿齿宽分布极 不均匀，加速齿轮的磨损。
一、挠度和转角
构件的弯曲变形通常用截面的挠度和转角度量。
梁在横向力作用下发生弯曲变 y
F2al 2 16 EI
例6.6 在简支梁的一部分上作用均布载荷(图6.13)。试求 跨度中点的挠度。设 b l
2
解：可将梁分为两段，用积分法。现用叠加法。
查表6.1（9），微分载荷dF=qdx引起的挠度为
dwC
dF x 48EI
3l 2 4x2
qx 48EI
(4)确定最大挠度和转角
x=l/2时，w’=θ=0,
f max
w l x 2
5ql 4 384 EI
max
A
B
ql 3 24 EI
说明：因为梁结构对称，挠曲线在跨度中点对 称。因此，该点处出现挠度的最大值。
§6.4 用叠加法求弯曲变形
当梁上作用有各种不同的载荷时，M(x)就有比较 多的项，若继续采用积分法计算梁的变形，其计算过 程就比较繁琐，为此，在工程中常采用叠加法。
360 7.53
3 20106
1.54
＝0.0102cm
64
wmax
PL3 3EI
d 2wmax 2 0.0102 0.0204cm
工件长度增至2L，工件的直径误差将增加8倍。即
随着工件长度的增加，其加工精度将明显降低，甚至很难加
工，因此，卡盘夹紧法常用来加工短粗工件，对于细长工件，
从微分学知，曲线w=f(x) 上任一点处的曲率公式：
挠曲线微分方程
说明： 1. 适用范围：虎克定律使用的弹性范围 且当变形很小；可略去剪切变形的影响。 2.挠曲线近似微分方程，其结果虽然是 近似的，但对于大多数工程实际问题来说 是能够满足其精度要求的。
挠曲线近似微分方程
§6.3 用积分法求弯曲变形
Fbx2 6l
l 2－b2
(4)求最大挠度。
令
w1 1 0
Fb 2l
x1
2
-
Fb 6l
l2
- b2
0
当ａ>ｂ时，x1<a，wmax发生在AC段内。
得： x1
l2 -b2 3
wmax
-