数学建模微积分2模拟题

微积分（Ⅱ）复习资料

前言：为帮助各位大一学弟学妹对微积分（Ⅱ）有一个更好的认识，考试能够顺利过关，我们数学建模协会为大家整理了一些相关题型和往几届考试试题，希望对大家有所帮助！另外，本次活动只做每个大题的第一个小题，其他小题留在平时下来完成，这都是近几年的考题和有代表性的基本题型！ 一、（多元函数微分基础部分）【10分】

①、已知f(x,y,z)=ln(xy+z),求df(1,2,0)

②、设函数 ,

若f(x,y,z)在(1,1,-1)处沿z 轴正 方向有最大增长率18，求a 、b 、c 的值。 ③、函数 由 确定，求

二、（多元函数微分应用部分）【10分】

①、求曲面 在点 （1,1,1）处的切平面和法线方程 ②、证明曲面 上任意点处得切平面在各坐标轴上的截距和

为定值

czx byz axy

z y x f 2

2

2

++=),,()

,(y x z z =e yz xy z

=+dz

y z

x z 及,

∂∂∂∂z

x

y z ln

+=p 0

2=++z y x

三、（多元函数积分部分—二重积分）【10分】

①、求积分

，其中D 是直线y=2与y=2x 所围成的闭区域。

②、计算二次积分

③、计算二重积分 【基础】

四、（多元函数积分部分—二重积分）【10分】

①、计算I= ，其中D ：

⎰⎰D

xyd σ[]

⎰

-+⎰---

-x x dy

x y x

dx

2

12

132

2

1

1

1)(⎰⎰

=1

x x dy

y y

dx

I sin ⎰⎰++D d y x

y x σ

π

222

2)

sin(412

2

≤+≤y x -dxdy

y x )cos(

②、计算I= ，D 是由x+y=1,x=0及y=0所围成。【提高】

五、（多元函数积分部分—三重积分）【10

分】

①、计算积分 ，其中 为由锥面 和球面 所围成的立体。

②、计算I= ，其中 是由不等式 和

所确定。 ③、求三重积分V

υ⎰⎰⎰

，其中V 是由曲线0

z y

x =⎧⎨

=⎩ 绕z O 轴旋转所成的曲面

(0)z ≥ 与平面1z =所围成的空间区域。

⎰⎰⎰Ω

zdv Ωy x z 2

2+=y x z 2

2

2--=⎰⎰⎰++Ω

dxdydz

z y x 222ΩA z y x a ≤++≤<22

200≥z

六、（曲线积分和曲面积分）【10分】

①、计算曲线积分 ，其中C 是边长为4，原点为中心的正方 形边界，方向为逆时针方向。

②、计算曲面积分I= ，S 为圆柱面 介于z=0与z=h 之间的 部分。

七、（格林公式、高斯公式的应用）【10分】

①、计算I= ，其中L 为从点O （0,0）沿曲线

到点A （2,0）的弧段。

②、计算I=

，其中S 为锥面 介于平面 z=0及z=1质检部分的上侧。 ③、计算积分 ，其中

L 为螺旋线的一段弧：x=3cost,y=3sint,

z=4t( )。

④、利用高斯公式计算积分

，其中S 为长方体 [0，a;0,b;0,c]表面的内侧。

⎰+

++-c

dy

y x dx y x y

x

2

2

)()(dS x s

⎰⎰2

a y x 2

2

2

=

+

dy x dx y L

y x

⎰++-)sin

()(2

2

x x y 22-=dxdy z dzdx y dydz x s

2

2

2++⎰⎰z y x 2

2

2

=+ds z y x L

)(2

2

2

++⎰π

20≤≤t zdxdy dzdx

s

xz xdydz

y y

2

3

3

--+⎰⎰)(

八、（级数的收敛性判断）【9分】

①、判断级数 的收敛性。

②、判定级数 是否收敛，级数 是否绝对收敛。

③、判断级数 的收敛性。

九、（幂级数逼近和傅里叶级数逼近）【9分】

①、将函数 展开成

x-1的幂级数。

②、将函数 用(x-1)的幂级数逼近。

③、设f(x)是周期为 的周期函数，它在区间 上的表达式为 ，

试将函数f(x)用傅里叶级数逼近。

十、（级数求和）【8分】

①、求级数 的和 ②、求幂级数 的和函数，并求 的和

23

111

2n n

n n

n

--+∞

=+∑-)()

(∑⎪

⎪⎭

⎫

⎝⎛+∞

=1132n n n n ∑+-∞

=12

1

1n n n

n )

(∑∙∞

=1

2n n n

n

n !

x

x x f --=41

)()

(112

+x π2]

,(ππ-x

x f =)(∑∞

=12n n n

∑∞

=-1

1

n n x n ∑∞

=-112n n n