8导数与数列、解析(空)

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高二数学导数的概念和几何意义试题答案及解析

高二数学导数的概念和几何意义试题答案及解析1.若曲线在点处的切线方程是，则．【答案】2【解析】，又在点处的切线方程是，．【考点】三角函数化简求值．2.函数在处的切线方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】,因此切线方程为，即．【考点】（1）导数的运算法则；（2）导数的几何意义．3.若曲线f（x，y）=0上两个不同点处的切线重合，则称这条切线为曲线f（x，y）=0的“自公切线”，下列方程：①x2﹣y2=1②x2﹣|x﹣1|﹣y=0③xcosx﹣y=0④|x|﹣+1=0其中所对应的曲线中存在“自公切线”的有（）A．①②B．②③C．①④D．③④【答案】B【解析】①x2﹣y2=1是一个等轴双曲线，没有自公切线；②x2﹣|x﹣1|﹣y="0" ,由两圆相交，可知公切线，满足题意，故有自公切线；③xcosx﹣y=0的图象过（2π，2π ），（4π，4π），图象在这两点的切线都是y=x，故此函数有自公切线；④|x|﹣+1=0，其表示的图形为图中实线部分，不满足要求，故不存在．故选：B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程.4.抛物线在点处的切线的倾斜角是( )A．30B．45C．60D．90【答案】B【解析】设抛物线在点处的切线的倾斜角为,因为,由导数几何意义得：,故选B.【考点】导数几何意义.5.已知函数，若曲线存在与直线平行的切线，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】对函数求导可得，存在与直线平行的切线，即有实数解，则，，则,得.故选A.【考点】导数的几何意义.6.函数是定义在R上的可导函数，则下列说法不正确的是（）A．若函数在时取得极值，则B．若，则函数在处取得极值C．若在定义域内恒有，则是常数函数D．函数在处的导数是一个常数【答案】B.【解析】对于B，可以构造函数，则，而并不是的极值点，而A,C,D均正确，∴选B.【考点】导数的性质.7.函数的图像在点）处的切线与轴的交点的横坐标为（）若，则= 。

高中数学《导数和数列综合证明 (1)》导学案

高中数学《导数和数列综合证明（一）》导学案例2：已知：x x <+)1ln(2，（1）求证：）*2222()21...(81)41)(21(N n e n ∈<+⎪⎭⎫ ⎝⎛+++（2）求证：*2()311)...(8111)(911(N n e n ∈<+++）（3）求证：（1+421）（1+431）…（1+41n）＜e )211ln(......)411ln()211ln()]211)...(411)(211ln[()1ln(12222222n n x x ++++++=+++∴<+ ）（e n n n n <+++∴<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++++<)211)...(411)(211(12112112112121 (814121222),)311)...(8111)(911(21311213113113131......3131)311ln(......)8111ln()911()]311)...(8111)(911ln[(2212222e e n n n n n n =<+++∴<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++<++++++=+++∴）（（3）ln[（1+421）（1+431）……(1+41n )]=ln[（1+421）（1+431）+…ln （1+41n ）＜221+231+…+21n＜)1(1321211-+⨯+⨯n n =1-21+21-31+…+n n 111--=1-n 1＜1∴（1+421）（1+431）……(1+41n )＜e 例3：设曲线y = f (x ) =cx bx x a ++23213在点x 处的切线斜率为k (x )，且k (-1) = 0.对一切实数x ，不等式).0()1(21)(2≠+≤≤a x x k x 恒成立（1）求f (1)的值；（2）求函数k (x )的表达式；（3）设数列)(1n k 的前n 项和为S n ，求证22+>n nS n解：（1）04)1(,0,00)(222≤--≤∆>∴≥-++++=ac b a x c bx ax c bx ax x k ①0)21)(21(4,0,021,02121222≤---≤∆<-∴≤--++c a b a x c bx ax ②又,4)1(1)1(),11(21)1(12a cb a k k k =++==∴+≤≤ 又1270)1(41=∴=∴f a（2）)0()(2≠++='=a c bx ax y x k ，由0)1(,1)1(=-=k k 得⎩⎨⎧=+-=++01c b a c b a 得⎪⎩⎪⎨⎧==+2121b c a 又)1(21)(2+≤≤x x k x 恒成立，则由)0(0212≠≥+-a c x ax 恒成立得410402141==⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+≤-=∆>c a c a ac a 同理由02121)21(2≥-++-c x x a 恒成立得41==c a 综上，21,41===b c a 412141)(2++=∴x x k（3）∑=+++⨯+⨯>+++=ni n n n i k 122])2)(1(1431321[41])1(121[41)(1 22]2121[41+=+-=n n n 法二：和式代换，要证22+>n n S n ，即也证()1121+->-n n S n ，只需证：()()()21411222++=+--+>n n n n n n a n ，只需()()()21414)(12++>+=n n n n k ，且()322121114211=+>=+==S a ，故22+>n n S n。

高三数学利用导数求最值和极值试题答案及解析

高三数学利用导数求最值和极值试题答案及解析1.函数的极小值是 .【答案】.【解析】，令，解得，列表如下：极大值极小值故函数在处取得极小值，即.【考点】函数的极值2.已知a≤＋lnx对任意的x∈[，2]恒成立，则a的最大值为________．【解析】令f(x)＝＋lnx，f′(x)＝，当x∈[，1)时，f′(x)<0，当x∈(1,2]时，f′(x)>0，∴f(x)＝f(1)＝0，∴a≤0，故a最大值为0.min3.一个圆柱形圆木的底面半径为1m，长为10m，将此圆木沿轴所在的平面剖成两个部分．现要把其中一个部分加工成直四棱柱木梁，长度保持不变，底面为等腰梯形（如图所示，其中O 为圆心，在半圆上），设，木梁的体积为V（单位：m3），表面积为S（单位：m2）．（1）求V关于θ的函数表达式；（2）求的值，使体积V最大；（3）问当木梁的体积V最大时，其表面积S是否也最大？请说明理由．【答案】(1)；(2)；（3）是.【解析】（1）本题求直四棱柱的体积，关键是求底面面积，我们要用底面半径1和表示出等腰梯形的上底和高，从图形中可知高为，而，因此面积易求，体积也可得出；（2）我们在（1）中求出，这里的最大值可利用导数知识求解，求出，解出方程在上的解，然后考察在解的两边的正负性，确定是最大值点，实质上对应用题来讲，导数值为0的那个唯一点就是要求的极值点）；（3），上（2）我们可能把木梁的表面积用表示出来，，由于在体积中出现，因此我们可求的最大值，这里可不用导数来求，因为，可借助二次函数知识求得最大值，如果这里取最大值时的和取最大值的取值相同，则结论就是肯定的.试题解析：（1）梯形的面积=，． 2分体积． 3分（2）．令，得，或（舍）．∵，∴． 5分当时，，为增函数；当时，，为减函数． 7分∴当时，体积V最大． 8分（3）木梁的侧面积=，．=，． 10分设，．∵，∴当，即时，最大． 12分又由（2）知时，取得最大值，所以时，木梁的表面积S最大． 13分综上，当木梁的体积V最大时，其表面积S也最大． 14分【考点】（1）函数解析式；（2）用导数求最值；（3）四棱柱的表面积及其最值.4.已知常数a，b，c都是实数，f(x)＝ax3＋bx2＋cx－34的导函数为f′ (x)，f′(x)≤0的解集为{x|－2≤x≤3}，若f(x)的极小值等于－115，则a的值是()A．－B．C．2D．5【答案】C【解析】依题意得f′(x)＝3ax2＋2bx＋c≤0的解集是[－2,3]，于是有3a＞0，－2＋3＝－，－2×3＝，解得b＝－，c＝－18a，函数f(x)在x＝3处取得极小值，于是有f(3)＝27a＋9b＋3c－34＝－115，－a＝－81，a＝2，故选C.5.已知函数f(x)的导函数f′(x)＝a(x＋1)(x－a)，若f(x)在x＝a处取到极大值，则a的取值范围是________．【答案】(－1,0)【解析】根据函数极大值与导函数的关系，借助二次函数图象求解．因为f(x)在x＝a处取到极大值，所以x＝a为f′(x)的一个零点，且在x＝a的左边f′(x)＞0，右边f′(x)＜0，所以导函数f′(x)的开口向下，且a＞－1，即a的取值范围是(－1,0)．6.已知函数f(x)＝x3＋ax2＋x＋2(a>0)的极大值点和极小值点都在区间(－1,1)内，则实数a的取值范围是()．A．(0,2]B．(0,2)C．[，2)D．(，2)【答案】D【解析】由题意可知f′(x)＝0的两个不同解都在区间(－1，1)内．因为f′(x)＝3x2＋2ax＋1，所以根据导函数图象可得又a>0，解得<a<2，故选D.7.已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(e x－1)(x－1)k(k＝1,2)，则()．A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值【答案】C【解析】当k＝1时，f′(x)＝e x·x－1，f′(1)≠0，∴f(1)不是极值，故A，B错；当k＝2时，f′(x)＝(x－1)(x e x＋e x－2)，显然f′(1)＝0，且x在1的左侧附近f′(x)<0，x在1的右侧附近f′(x)>0，∴f(x)在x＝1处取到极小值．故选C.8.设函数，则函数的各极小值之和为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，令，则，令，则，所以当时，取极小值，其极小值为所以函数的各极小值之和，故选D.【考点】1.函数的极值求解；2.数列的求和.9.设函数，其中.（1)若在处取得极值，求常数的值；（2）设集合，，若元素中有唯一的整数，求的取值范围.【答案】（1)；（2）【解析】（1）由在处取得极值，可得从而解得，此问注意结合极值定义检验所求值是否为极值点；（2）分，，和三种情况得出集合A，然后由元素中有唯一的整数，分析端点，从而求出的取值范围.试题解析：（1），又在处取得极值，故，解得.经检验知当时，为的极值点，故.（2）,当时，，则该整数为2，结合数轴可知，当时，，则该整数为0，结合数轴可知当时，,不合条件.综上述，.【考点】1.利用导数处理函数的极值；2.集合元素的分析10.已知函数在处取得极值，则取值的集合为 .【答案】.【解析】，，依题意有，从而有，且有，即，解得或，当时，，此时，此时函数无极值，当时，，此时，此时函数有极值，故.【考点】函数的极值11.函数最小值是___________.【答案】【解析】函数求导得.当时，，即在上单调递减；当时，，即在上单调递增，因此函数在处取得最小值，即.【考点】利用导数求函数的最值.12.已知函数（，，且）的图象在处的切线与轴平行. （1）确定实数、的正、负号；（2）若函数在区间上有最大值为，求的值．【答案】（1），；（2）.【解析】（1）先求导数，因为切线与轴平行，所以导数为0，列出等式，判断出的符号；（2）求导数，令导数为0，解出方程的根，利用导数的正负判断出函数的单调性，通过分类讨论的方法找到最大值，让最大值等于，解出的值.试题解析：（1） 1分由图象在处的切线与轴平行，知，∴. 2分又，故，. 3分(2) 令,得或. 4分∵，令，得或令，得.于是在区间内为增函数，在内为减函数,在内为增函数.∴是的极大值点，是极小值点. 5分令，得或. 6分分类：①当时，，∴ .由解得， 8分②当时，, 9分∴.由得 . 10分记,∵, 11分∴在上是增函数，又，∴, 12分∴在上无实数根. 13分综上，的值为. 14分【考点】1.用导数求切线的斜率；2.用导数求函数最值.13.设函数，（1）求函数的极大值；（2）记的导函数为，若时，恒有成立，试确定实数的取值范围.【答案】(1);(2) .【解析】（1）由导函数或求得函数的单调区间，再找极大值;(2) 的导函数是一元二次函数，转化为一元二次函数在上的最值，再满足条件即可.试题解析：(1)令，且当时，得；当时，得或∴的单调递增区间为；的单调递减区间为和，故当时，有极大值，其极大值为 6分（2）∵ 7分①当时，，∴在区间内单调递减∴，且∵恒有成立∵又，此时， 10分②当时，，得因为恒有成立，所以，即，又得， 14分综上可知，实数的取值范围 . 15分【考点】1.函数的极值；2.一元二次函数的最值.14.已知函数．(Ⅰ)若在上的最大值为，求实数的值；(Ⅱ)若对任意，都有恒成立，求实数的取值范围；(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下，设，对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上？请说明理由．【答案】（Ⅰ）．（Ⅱ）．（Ⅲ）对任意给定的正实数，曲线上总存在两点，，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上．【解析】（Ⅰ）由，得，令，得或．当变化时，及的变化如下表：由，，，即最大值为，． 4分（Ⅱ）由，得．，且等号不能同时取，，即恒成立，即． 6分令，求导得，，当时，，从而，在上为增函数，，． 8分（Ⅲ）由条件，，假设曲线上存在两点，满足题意，则，只能在轴两侧，不妨设，则，且．是以为直角顶点的直角三角形，，，是否存在，等价于方程在且时是否有解． 10分①若时，方程为，化简得，此方程无解；②若时，方程为，即，设，则，显然，当时，，即在上为增函数，的值域为，即，当时，方程总有解．对任意给定的正实数，曲线上总存在两点，，使得是以（为坐标原点）为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在轴上． 14分【考点】利用导数研究函数的单调性、最值。

高考数学热点必会题型第8讲导数中的极值和极值点偏移(解析版)

高考数学热点必会题型第8讲导数中的极值和极值点偏移——每天30分钟7天掌握一、重点题型目录【题型】一、求已知函数的极值【题型】二、根据极值点求参数【题型】三、函数或导函数图象与极值的关系【题型】四、函数或导函数图象与极值点的关系【题型】五、求已知函数的极值点【题型】六、函数最值与极值的关系【题型】七、导数中的极值偏移问题二、题型讲解总结第一天学习及训练【题型】一、求已知函数的极值例1．（2023·全国·高三专题练习）等比数列{}n a 中的项1a ，105a 是函数()32692f x x x x =-+-的极值点，则53a =（）A ．3B ．C ．D 【答案】D【分析】先根据题意确定函数的极值点，进而得到1105a a ⋅，然后根据等比中项求得答案.【详解】由题意，()()()23129313f x x x x x =-+=--'，则(),1x ∈-∞时0fx ，函数单调递增，()1,3x ∈时()0f x '<，函数单调递减，()3,x ∈+∞时0fx，函数单调递增，于是x =1和x =3是函数的两个极值点，故1a ，105a 是()231290x x f x =-+='的两个根，所以11053a a ⋅=，所以25311053a a a =⋅=，又110540a a +=>，所以10a >，1050a >，设公比为q ，525310a a q =>，所以55a =故选：D.例2．（2023·全国·高三专题练习）下列函数中存在极值点的是（） A ．1y x= B ．e x y x =- C ．2y = D ．3y x =【答案】B【分析】对每个选项求导，然后判断即可【详解】对选项A ，210y x '=-<，故没有极值点；对选项B ，1e x y '=-，则极值点为0x =，故正确；对选项C ，0y '=，故没有极值点；对选项D ，230y x '=≥，故没有极值点；故选：B例3．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()22e e x a f x a x =-至多有2个不同的零点，则实数a 的最大值为（）． A ．0 B ．1 C ．2 D ．e【答案】C【分析】先将零点问题转化为两函数交点问题，构造函数，研究其单调性，极值，画出函数图象，从而得到20e a a =或224e e a a ≥，再次构造关于a 的函数()2e a a h a =，研究其单调性，解出不等式，求出数a 的最大值.【详解】令()22e e 0x a f x a x =-=，得到22e e x ax a =，函数()22e e xa f x a x =-至多有2个不同的零点，等价于22e ex a x a=至多有两个不同的根，即函数2e x x y =与2e a a y =至多有2个不同的交点令()2ex x g x =，则()22e xx x g x -'=，当02x <<时，()0g x '>，()g x 单调递增，当0x <或2x >时，()0g x '<，()g x 单调递减，所以0x =与2x =为函数()g x 的极值点，且()()2400,2e g g ==，且()20e x x g x =≥在R 上恒成立，画出()2ex x g x =的图象如下：有图可知：20e a a =或224e ea a ≥时，符合题意，其中20e aa=，解得：0a = 设()2e a a h a =，则()22e aah a -'=，当1a <时，()0h a '>，当1a >时，()0h a '<，所以()2e aah a =在()1-∞，上单调递增，在()1+∞，上单调递减，由224e e a a ≥可得：()()2h a h ≥，所以2a ≤，综上：实数a 的最大值为2 故选：C【点睛】对于函数零点问题，直接求解无法求解时，可以转化为两函数的交点问题，数形结合进行解决.例4．（2023·全国·高三专题练习）已知t 和3t +是函数()32f x x ax bx c =+++的零点，且3t +也是函数()f x 的极小值点，则()f x 的极大值为（）A ．1B ．4C ．43D ．49【答案】B【分析】根据给定条件，结合三次函数的特点可得2()()(3)f x x t x t =---，再借助导数求出极大值作答.【详解】因函数()f x 在3t +处取得极小值0，又t 是函数()f x 的另一零点，因此函数()f x 只有两个零点，从而有2()()(3)f x x t x t =---，求导得：()3(1)(3)f x x t x t '=----，当1x t <+或3x t >+时，()0f x '>，当13t x t +<<+时，()0f x '<，于是，()f x 在3x t =+处取得极小值，在1x t =+处取得极大值(1)4f t +=，所以()f x 的极大值为4. 故选：B【题型】二、根据极值点求参数例5．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()2e 1x f x x a =+-()a R ∈有两个极值点，则实数a 的取值范围为（） A ．1,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．2,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭C ．1,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭D ．2,e ⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【答案】B【分析】将函数有两个极值点转化为其导数有两个零点进行求解即可.【详解】对原函数求导得，()2e xf x x a '=+，因为函数()()2e 1xf x x a a R =+-∈有两个极值点，所以()0f x '=有两个不等实根，即2e 0x x a +=有两个不等实根，亦即2e xxa -=有两个不等实根. 令()2e x xg x =，则()()21e xx g x -'= 可知()g x 在(),1-∞上单调递增，在()1,+∞上单调递减，所以()()max 21eg x g ==，又因为当0x <时，()0g x <，当0x >时，()0g x >，所以2e 0a a ⎧-<⎪⎨⎪->⎩，解得20e a -<<，即a 的范围是2,0e ⎛⎫- ⎪⎝⎭.故选：B例6．（2023·全国·高三专题练习）若函数()sin 3f x x πω⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间[0，π)内有且只有两个极值点，则正数ω的取值范围是（） A ．58,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．58,33⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．713,66⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．713,66⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】C【分析】根据极值点的定义，利用整体法，列出关于ω的不等关系，即可求得参数范围. 【详解】因为()f x 在[)0,π有2个极值点，也即()f x 在区间[)0,π取得一次最大值，一次最小值；又0ω>，则当[)0,x π∈，,333x πππωωπ⎡⎫+∈+⎪⎢⎣⎭，要使得()f x 满足题意，只需35232ππωππ<+≤，解得713,66ω⎛⎤∈ ⎥⎝⎦.故选：C.例7．（2023·全国·高三专题练习）若2x =是函数21()2ln 2f x ax x x =--的极值点，则函数（）A ．有最小值2ln2-，无最大值B ．有最大值2ln2-，无最小值C ．有最小值2ln2-，最大值2ln 2D ．无最大值，无最小值【答案】A【分析】对()f x 求导，根据极值点求参数a ，再由导数研究其单调性并判断其最值情况.【详解】由题设，2()1f x ax x '=--且(2)0f '=，∴220a -=，可得1a =.∴2(1)(2)()1x x f x x x x+-'=--=且0x >，当02x <<时()0f x '<，()f x 递减；当2x >时()0f x '>，()f x 递增； ∴()f x 有极小值(2)2ln 2f =-，无极大值. 综上，有最小值2ln2-，无最大值. 故选：A例8．（2023·全国·高三专题练习）已知函数e 1()ln x f x k x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，若1x =是函数()f x 的唯一极值点，则实数k 的取值范围是_______．【答案】1k ≥-【分析】先求函数()f x 的导函数2(e )(1)()xk x f x x+-'=，由条件1x =是函数()f x 的唯一极值点，说明e 0x k +=在,()0x ∈+∞上无解，或有唯一解1x = ，求实数k 的取值【详解】e 1()ln x f x k x x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭的定义域为(0,)+∞222(1)e 11(e )(1)()()x x x k x f x k x x x x -+-'∴=+-+=1x =是函数()f x 的唯一极值点1x ∴= 是导函数()0f x '=的唯一根（Ⅰ）e 0x k +=在(0,)+∞无变号零点令()e x g x k =+ ，则()e 0x g x '=> ，即()g x 在(0,)+∞上单调递增此时min ()10g x k =+≥ 1∴≥-k（Ⅱ）当()e x g x k =+ 在(0,)+∞有解1x = 时，此时e 0k += ，解得e k =- 此时()f x 在(0,1) 和(1,)+∞ 上均单调递增，不符合题意故答案为：1k ≥-第二天学习及训练【题型】三、函数或导函数图象与极值的关系例9．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在R 上的函数f （x ），其导函数()f x '的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是（）A ．()()()f b f a f c >>B ．函数()f x 在x ＝c 处取得最大值，在e x =处取得最小值C ．函数()f x 在x ＝c 处取得极大值，在e x =处取得极小值D ．函数()f x 的最小值为()f d【答案】C【分析】根据导函数的图象确定()f x 的单调性，从而比较函数值的大小及极值情况，对四个选项作出判断.【详解】由题图可知，当x c ≤时，()0f x '≥，所以函数()f x 在,c 上单调递增，又a <b <c ，所以()()()f a f b f c <<，故A 不正确．因为()0f c '=，()0f e '=，且当x c <时，0f x；当c <x <e 时，()0f x '<；当x >e 时，0fx．所以函数()f x 在x ＝c 处取得极大值，但不一定取得最大值，在x＝e 处取得极小值，不一定是最小值，故B 不正确，C 正确．由题图可知，当d x e ≤≤时，()0f x '≤，所以函数()f x 在[d ，e ]上单调递减，从而()()f d f e >，所以D 不正确．故选：C ．例10．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()f x 的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（）A ．3-是()f x 的极小值点B ．1-是()f x 的极小值点C ．()f x 在区间(),3-∞上单调递减D ．曲线()y f x =在2x =处的切线斜率小于零【答案】D【分析】根据导函数图像，求得函数单调性，结合极值点定义，即可判断ABC 选项，根据导数的定义和几何意义即判断D 选项，从而得出答案. 【详解】由图像知，当3x <-或3x >时，0fx，()f x 单调递增，当33x -<<时，()0f x '<，()f x 单调递减，所以()f x 在区间(),3-∞-，()3,+∞内单调递增，在区间()3,3-内单调递减， 3-是()f x 的极大值点，3是()f x 的极小值点，故ABC 错误；又因为()20f '<，所以曲线()y f x =在2x =处切线斜率小于零，故D 正确. 故选：D.例11．（2023·全国·高三专题练习）函数()f x 定义域为(),a b ，其导函数'()f x 在(),a b 内的图象如图所示，则函数()f x 在区间(),a b 内极小值点的个数是（）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【分析】根据导函数的图象可判断出()f x 的单调性，结合极小值点的概念即可得结果. 【详解】由()f x '的图象可得：函数()f x 在()1,a x 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()24,x x 上单调递增，在()4,x b 上单调递减，故2x x =为函数()f x 的极小值点，即()f x 在区间(),a b 内极小值点的个数是1，故选：A.例12．（2023·全国·高三专题练习）已知定义在[,]a b 上的函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如图所示，给出下列命题： ①函数()y f x =在区间[]24,x x 上单调递减； ②若45x m n x <<<，则()()22f m f n m n f ++⎛⎫>'' ⎝'⎪⎭；③函数()y f x =在[,]a b 上有3个极值点；④若23x p q x <<<，则[][()()]()()0f p f q f p f q ''-⋅-<．其中正确命题的序号是（）A ．①③B ．②④C ．②③D ．①④【答案】B【分析】根据()y f x '=图象判断函数()y f x =单调性和极值点情况，并利用单调性比较函数值的大小，逐一判断四个命题的正误即可.【详解】①中，看图知，在区间[]23,x x 上，()0f x '≥，在区间[]34,x x 上，()0f x '≤，故函数()y f x =在区间[]24,x x 上先增再减，①错误；②中，看图知，在区间[]45,x x 上，()y f x '=是下凸的，任意连接两点()(),(),,()m f m n f n ''，中点为()(),22m n f m f n M ''++⎛⎫ ⎪⎝⎭，线段一定在()y f x '=图象上方，故中点也在图象上方，即()()22f m f n m n f ++⎛⎫>'' ⎝'⎪⎭，故②正确；③中，看图知，在区间[]3,a x 上，()0f x '≥，在区间[]35,x x 上，()0f x '≤，在区间[]5,x b 上，()0f x '≥，所以()y f x =有一个极大值点3x 和一个极小值点5x ，故③错误；④中，看图知，在区间[]23,x x 上，()0f x '≥，且()f x '递减，故()y f x =单调递增，故()(),()()f p f q f p f q '<'>，故[][()()]()()0f p f q f p f q ''-⋅-<，即④正确.综上，正确命题的序号是②④. 故选：B.【点睛】方法点睛：利用导数判断函数()f x 的单调性和极值的方法：①写定义域，对函数()f x 求导()f x '；②在定义域内，令 ()0f x '>的区间即是增区间，令()0f x '<的区间即是减区间，③根据单调区间，判断极值点即可.【题型】四、函数或导函数图象与极值点的关系例13．（2023·全国·高三专题练习）函数f (x )＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图像如图，则函数y ＝ax 2＋323cbx +的单调递增区间是（）A ．(－∞，－2]B ．1[,)2+∞C ．[2,3)D ．9[,)8+∞【答案】D【分析】由图象知0a >，0d =，不妨取1a =，先对函数32()f x x bx cx d =+++进行求导，根据2x =-，3x =时函数取到极值点知(2)0f '-=，(3)f '0=，故可求出b ，c 的值，再根据函数单调性和导数正负的关系得到答案．【详解】解：不妨取1a =，32()f x x bx cx =++，2()32f x x bx c '∴=++由图可知(2)0f '-=，(3)f '0=1240b c ∴-+=，2760b c ++=， 1.5b ∴=-，18c =-2964y x x ∴=--，924y x '=-，当98x >时，0'>y2964y x x ∴=--的单调递增区间为：9[8，)∞+故选：D ．例14．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()()sin 04f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭的最小正周期为π，将()f x 的图象向右平移3π个单位长度得到函数()g x 的图象，若函数()g x 在(),a a -上存在唯一极值点，则实数a 的取值范围是（） A ．11,2424ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．11,2424ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．11,2424ππ⎛⎫⎪⎝⎭D ．11,2424ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦【答案】D【分析】首先求函数()f x 的解析式，再根据平移公式，求解函数()g x 的解析式，结合函数的图象，列式求实数a 的取值范围. 【详解】由题意知()f x 的最小正周期2T ππω==，∴2ω=，∴()sin 24f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，∴()5sin 2sin 23412g x x x πππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-+=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，作出()g x 的图象如图所示，数形结合可知0112424a a a ππ⎧⎪>⎪⎪≤⎨⎪⎪-<-⎪⎩ ，解得：112424a ππ<≤∴实数a 的取值范围是11,2424ππ⎛⎤⎥⎝⎦.故选：D例15．（2023·全国·高三专题练习）如图是函数()y f x =的导数()'y f x =的图象，则下面判断正确的是（）A ．在()3,1-内()f x 是增函数B ．在()4,5内()f x 是增函数C ．在1x =时()f x 取得极大值D ．在2x =时()f x 取得极小值【答案】B【分析】根据()'y f x =图象判断()f x 的单调性，由此求得()f x 的极值点，进而确定正确选项.【详解】由图可知，()f x 在区间()33,,2,42⎛⎫-- ⎪⎝⎭上()()'0,f x f x <递减；在区间()3,2,4,52⎛⎫- ⎪⎝⎭上()()'0,f x f x >递增.所以1x =不是()f x 的极值点，2x =是()f x 的极大值点. 所以ACD 选项错误，B 选项正确. 故选：B例16．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()x af x a x =-（0x >，0a >且1a ≠），则（）A ．当e a =时，()0f x ≥恒成立B ．当01a <<时，()f x 有且仅有一个零点C ．当e a >时，()f x 有两个零点D ．存在1a >，使得()f x 存在三个极值点【答案】ABC【分析】选项A ，不等式变形后求函数的最值进行判断；选项B ，确定函数的单调性，利用零点存在定理判断；选项C ，结合选项A 中的新函数进行判断；选项D ，求导，由导函数等于0，构造新函数确定导函数的零点个数，得极值点个数，判断D ．【详解】对于A 选项，当e a =时，()0f x ≥，即eln 1e eln e x x x x x x ≥⇔≥⇔≤，设()ln x g x x=，则()21ln xg x x-'=，故当()0,e x ∈时，()0g x '>，当()e,x ∈+∞时，()0g x '<，所以()()ln e 1e e eg x g ≤==，故A 正确；对于B 选项，当01a <<时，()x af x a x =-单调递减，且当0x +→时，()1f x →，()110f a =-<，因此()f x 只有一个零点，故B 正确；对于C 选项，()0ln ln x af x a x x a a x =⇔=⇔=，即ln ln x ax a=，当e a >时，由A 选项可知，()10eg a <<，因此()()g x g a =有两个零点，即()f x 有两个零点，故C 正确；对于D 选项，()1ln xa f x a a ax-'=-，令()0f x '=，得11ln x a a a x --=，两边同时取对数可得，()()()1ln ln ln 1ln x a a a x -+=-，设()()()()1ln ln ln 1ln h x x a a a x =-+--，则()1ln a h x a x -'=-，令()0h x '=，得1ln a x a -=，则()h x 在10,ln a a -⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,ln a a -⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，因此()h x 最多有两个零点，所以()f x 最多有两个极值点，故D 错误. 故选：ABC.第三天学习及训练【题型】五、求已知函数的极值点例17．（2023·全国·高三专题练习）已知函数3()1f x x x =-+，对于以下3个命题： ①函数()f x 有2个极值点 ②函数()f x 有3个零点③点(0,1)是函数()f x 的对称中心其中正确命题的个数为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3【答案】C【分析】利用导数研究()f x 的单调性确定极值情况，结合零点存在性定理判断零点个数，根据()()2f x f x +-=判断对称中心.【详解】令2()310f x x '=-=，可得x =所以(,-∞、)+∞上()0f x '>，()f x 递增；(上()0f x '<，()f x 递减；所以x =是()f x 的极值点，又(2)50f -=-<，(10f =>，10f =->，所以()f x 在(2,-上存在一个零点，所以()f x 有2个极值点，1个零点，①正确，②错误；33()()112f x f x x x x x +-=-+-++=，故(0,1)是函数()f x 的对称中心，③正确.故选：C例18．（2023·全国·高三专题练习）已知0x 是函数()12sin cos 3f x x x x =-的一个极值点，则20tan x 的值是（）A ．1B ．12C ．37D ．57【答案】D【分析】由题知0()0f x '=，可得01cos26x =，由二倍角公式可算得207cos 12x =，进而有205sin 12x =，所以205tan 7x =.【详解】()2001112cos2,cos22cos 1366f x x x x =-∴=∴-='，∴207cos 12x =，∴22005sin 1cos 12x x =-=， ∴220020sin 5tan cos 7x x x == 故选：D例19．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()8sin 26f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，(]0,4x π∈，则()f x 所有极值点的和为（） A ．223πB ．13πC ．17πD ．503π【答案】D【分析】根据已知条件，令()0f x '=，求出方程的根，判断根左右两侧的导函数符号可得极值点，从而可求解()f x 所有极值点的和.【详解】解：()16cos 26f x x π⎛⎫'=- ⎪⎝⎭，令()16cos 206f x x π⎛⎫'=-= ⎪⎝⎭，得,23k x k Z ππ=+∈，因为()f x '在,23k x k Z ππ=+∈两侧异号，所以,23k x k Z ππ=+∈是函数()f x 的极值点，又(]0,4x π∈，所以极值点54117171023,,,,,,,36363636x ππππππππ=，所以()f x 所有极值点的和为5411717102350,363636363πππππππππ++++++=，故选：D.例20．（2023·江苏·苏州中学高三阶段练习）已知函数()2sin 212cos xf x x=+，则下列说法中正确的是（） A ．()()f x f x π+= B ．()f xC ．()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递增D ．若函数()f x 在区间[)0,a 上恰有2022个极大值点，则a 的取值范围为60646067,33ππ⎛⎤⎥⎝⎦【答案】ABD【分析】利用二倍角公式进行化简，再根据函数的的性质分别判断各选项.【详解】()2sin 2sin 2sin 21cos 212cos 2cos 2122xx xf x x xx ===+++⎛⎫+ ⎪⎝⎭， A 选项：()()()()sin 22sin 22cos 222cos 2x x f x f x x xπππ++===+++，A 选项正确；B 选项：设()sin 22cos 2xf x t x==+，则()sin 2cos 222x t x t x ϕ-=+≤解得213t ≤，t ≤≤，即max t =，即()f xB 选项正确；C 选项：因为022f f ππ⎛⎫⎛⎫-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上不单调，C 选项错误；D 选项：()()()()()222cos 22cos 2sin 22sin 24cos 222cos 22cos 2x x x x x f x x x +--+'==++，令()0f x '=，解得1cos 22x =-，即3x k ππ=+或23x k ππ=+，Z k ∈，当2,33x k k ππππ⎛⎫∈++ ⎪⎝⎭，Z k ∈时，()0f x '<，函数单调递减，当当24,33x k k ππππ⎛⎫∈++⎪⎝⎭，Z k ∈时，0f x ，函数单调递增，所以函数()f x 的极大值点为3π，43π，，()13n ππ+-，又函数()f x 在区间[)0,a 上恰有2022个极大值点，则2021,202233a ππππ⎛⎤∈++ ⎥⎝⎦，即60646067,33a ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，D 选项正确；故选：ABD.【题型】六、函数最值与极值的关系例21．（2022·江苏·高三专题练习）已知函数222()xx x f x e +-=，则下列结论不正确的是（）A ．函数()f x 有极小值也有最小值B ．函数()f x 存在两个不同的零点C ．当260k e -<<时，()f x k =恰有三个实根 D ．若[0,]x t ∈时，max 26()f x e=，则t 的最小值为2 【答案】C【分析】先求导，通过导函数的单调性分析出原函数大致图象，然后画出图象，结合图象来分析每一个选项即可求出答案.【详解】由222()x x x f x e +-=，得()22'2(22)(22)4()x x x x x e x x e x f x e e +-+--+==，令'()0f x =，则2x =-或2x =，当<2x -或2x >时，'()0f x <；当22x -<<时，'()0f x > ，所以()f x 在(,2)-∞-和(2,+)∞上单调递减，在(2,2)-上单调递增，所以()f x 有极小值()2244222f e e ---==--，有极大值()224+4262f e e-==，当x →-∞时，()f x →+∞，当x →+∞时，()0f x →，故函数的图象如图，由图像可知A ，B ，D 正确，C 错误. 故选：C例22．（2022·全国·高三专题练习）对函数()242()ln 1f x x a x x =+++(x R ∈，a R ∈且0a ≠)的极值和最值情况进行判断，一定有（） A ．既有极大值，也有最大值 B ．无极大值，但有最大值 C ．既有极小值，也有最小值 D ．无极小值，但有最小值【答案】C【分析】先求出导数，34242()21x x f x x a x x '+=+⋅++4221x x x =++()42(21)1x a x a ++++，然后讨论方程42(21)10x a x a ++++=根的情况，进而判断各选项【详解】34242()21x x f x x a x x '+=+⋅++4221x x x =++()42(21)1x a x a ++++，下面讨论方程42(21)10x a x a ++++=根的情况.令2[0,)u x =∈+∞，2()(21)1g u u a u a =++++，（1）当(0)10g a =+<时(即1a <-)，()g u 仅有一个唯一的正零点，不妨设为0u ，此时()f x '有三个不同零点，分别为0 （2）当(0)10g a =+=时(即1a =-)3422()(1)(1)1x f x x x x x =+-++'；满足既有极小值，也有最小值；（3）当(0)10g a =+>时(即1a >-且0a ≠)，若2102a u +=-≤(即12a ≥-且0a ≠)，则()f x 仅有一个唯一的极小值点为0，若212a u +=-1012a ⎫⎛>-<<- ⎪⎝⎭，结合22Δ(21)4(1)43a a a =+-+=-分析可知：当1a -<<时，()g u 有两个不同的正零点(令为1u ，2u 且12u u <).此时()f x 在(,-∞，()，上单调递减，当12a ≤<-时，则()f x 仅有一个唯一的极小值点为0. 满足既有极小值，也有最小值；综上分析，故选：C【点睛】关键点睛：解题的关键在于：求导后讨论方程42(21)10x a x a ++++=根的情况，讨论的时候，分情况：（1）当(0)10g a =+<；（2）当(0)10g a =+=；（3）当(0)10g a =+>，进而判断各选项，属于难题例23．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()2()x f x x a e =+有最小值，则函数()y f x '=的零点个数为（） A ．0 B ．1 C ．2 D ．不确定【答案】C【解析】对函数求导，转化条件为()0f x '<有解，再结合二次函数的性质即可得解.【详解】由题意，()2()2xf x x a e x +'=+，因为函数()f x 有最小值，且e 0x >，所以函数存在单调递减区间，即()0f x '<有解，所以220x x a ++=有两个不等实根，所以函数()y f x '=的零点个数为2. 故选：C.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的最值，考查了运算求解能力，属于基础题. 例24．（2022·全国·高三专题练习）已知函数()y f x =的导函数()y f x '=的图象如图所示，则下列结论正确的是（）A ．()()()f a f b f c <<B ．()()()f e f d f c <<C ．x c =时，()f x 取得最大值D ．x d =时，()f x 取得最小值【答案】AB【分析】由()f x '图象可确定()f x 的单调性，结合单调性依次判断各个选项即可得到结果. 【详解】由()f x '图象可知：当()(),,x c e ∈-∞+∞时，0fx；当(),x c e ∈时，()0f x '<；f x 在(),c -∞，(),e +∞上单调递增，在(),c e 上单调递减；对于A ，a b c <<，()()()f a f b f c ∴<<，A 正确；对于B ，c d e <<，()()()f e f d f c ∴<<，B 正确；对于C ，由单调性知()f c 为极大值，当>x e 时，可能存在()()0f x f c >，C 错误；对于D ，由单调性知()()f e f d <，D 错误. 故选：AB.第四天学习及训练【题型】七、导数中的极值偏移问题例25．（2023·全国·高三专题练习）关于函数()2ln f x x x=+，下列说法错误的是（） A ．2x =是()f x 的极小值点 B ．函数()y f x x =-有且只有1个零点C ．存在正实数k ，使得()f x kx >恒成立D ．对任意两个正实数1x ，2x ，且12x x >，若()()12f x f x =，则124x x +> 【答案】C【分析】对于A ，分析()f x 导函数可作判断；对于B ，考查函数()y f x x =-的单调性可作判断；对于C ，分离参数，再分析函数()f x x最值情况而作出判断；对于D ，构造函数()()(4)(02)g x f x f x x =--<<讨论其单调性，确定()0g x >即可判断作答.【详解】对于A 选项：()f x 定义域为(0,)+∞，22212()x f x x x x'-=-+=， 02x <<时,()0,2f x x '<>时()0f x '>，2x =是()f x 的极小值点，A 正确；对于B 选项：令222()(),()0x x h x f x x h x x -+'=-=-<， ()h x 在(0,)+∞上递减，(1)1,(2)ln 210h h ==-<， ()h x 有唯一零点，B 正确；对于C 选项：令23()2ln ln 4(),()f x x x x x x x x x x x ϕϕ-+'==+=-，令()ln 4F x x x x =-+，()ln ,(0,1)F x x x '=∈时,()0,(1,)F x x '<∈+∞时,()0F x '>， ()F x 在(0,1)上递减，在(1,)+∞上递增，则min ()(1)30F x F ==>，()0x ϕ'<，()ϕx 在(0,)+∞上递减，()ϕx 图象恒在x 轴上方，与x 轴无限接近，不存在正实数k 使得()f x kx >恒成立，C 错误；对于D 选项：由A 选项知，()f x 在(0,2)上递减，在(2,)+∞上递增，因正实数1x ，2x ，且12x x >，()()12f x f x =，则2102x x <<<，02x <<时，令()()(4)g x f x f x =--，()()()()2222404x x g x f x f x x x --=+-'+-''=<，即()g x 在(0,2)上递减，于是有()()20g x g >=，从而有()()122(4)f x f x f x =>-，又242x -> ，所以124x x >-，即124x x +>成立，D 正确. 故选：C.例26．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()ln xf x x=，则（） A ．()()25f f >B ．若()f x m =有两个不相等的实根1x 、2x ，则212e x x <C ．ln 2>D ．若23x y =，x ，y 均为正数，则23x y > 【答案】AD【分析】A ：代入2,5直接计算比较大小；B ：求()f x 的导函数，分析单调性，可得当()f x m=有两个不相等实根时1x 、2x 的范围，不妨设1x 2x <，则有10e x <<2x <，比较()211,e f x f x ⎛⎫ ⎪⎝⎭的大小关系，因为()()12f x f x =，可构造()()2e F x f x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭(0e)x <<，求导求单调性，计算可得()0F x <成立，可证212e x x >；C ：用()f x 在()0,e 上单调递增，构造ln 2ln e2e<可证明；D ：令23x y t ==，解出lg lg 2t x =，lg lg 3ty =，做差可证明23x y >.【详解】解：对于A ：()()12ln 52525n f f ====又105232==1025=，3225>>()()25f f >，A 正确；对于B ：若()f x m =有两个不相等的实根1x 、2x ，则212e x x >，故B 不正确；证明如下：函数()ln x f x x =，定义域为()0,∞+，则()21ln xf x x -'=，当0fx时，0e x <<；当()0f x '<时，e x >；所以()f x 在()0,e 上单调递增，在()e,+∞上单调递减，则()max 1ef x =且e x >时，有()0f x >，所以若()f x m =有两个不相等的实根1x 、2x ，有10em <<，不妨设1x 2x <，有10e x <<2x <，要证212e x x >，只需证221e x x >，且221e e x x >>，又()()12f x f x =，所以只需证()211e f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，令()()2e F x f x f x ⎛⎫=-⎪⎝⎭(0e)x << 则有()()()22241111e ln e F x f x f x x x x ⎛⎫⎛⎫'''=+⋅=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当0e x <<时，1ln 0x ->，24110e x ->，所以有()0F x '>，即()F x 在(0,e)上单调递增，且()0e F =，所以()0F x <恒成立，即()211e f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即()221e f x f x ⎛⎫< ⎪⎝⎭，即212e x x >.对于C ：由B 可知，()f x 在()0,e 上单调递增，则有()()2e f f <，即ln 2ln e2e<，则有2ln 2e <<C 不正确；对于D ：令23x y t ==，则1t >，2lg log lg 2t x t ==，3lg log lg 3ty t ==， 2lg 3lg lg (lg9lg8)230lg 2lg3lg 2lg3t t t x y -∴-=-=>⋅， 23∴>x y ，故D 正确；故选：AD.【点睛】知识点点睛：（1）给定函数比较大小的问题，需判断函数单调性，根据单调性以及需要比较的数值构造函数，利用函数的单调性可比较大小；（2）极值点偏移法证明不等式，先求函数的导数，找到极值点，分析两根相等时两根的范围，根据范围以及函数值相等构造新的函数，研究新函数的单调性及最值，判断新函数小于或大于零恒成立，即可证明不等式.例27．（2023·全国·高三专题练习）已知函数()(0).e xaxf x a =≠(1)若对任意的x R ∈，都有1()ef x ≤恒成立，求实数a 的取值范围；(2)设,m n 是两个不相等的实数，且e m n m n -=．求证： 2.m n +> 【答案】(1)(0,1] (2)证明见解析【分析】（1）先判断a<0不成立，当0a >时，求出函数的导数，结合最值可得参数的取值范围；（2）设()()(2)(1)h x g x g x x =-->，可得()0h x >恒成立，从而可证不等式. (1)当a<0时，111e af a ⎛⎫= ⎪⎝⎭，因为10e e a<<，所以111e e a>，即11e f a ⎛⎫> ⎪⎝⎭，不符合题意；当0a >时，(1)()e xa x f x -'=，当(,1)x ∞∈-时，()0f x '>，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，所以()f x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减．所以()(1)eaf x f ≤=．由1()e f x ≤恒成立可知1e ea ≤，所以1a ≤．又因为0a >，所以a 的取值范围为(0,1]． (2)因为e m n m n -=，所以e e m n m n --=，即e e m nm n=．令()e xxg x =，由题意可知，存在不相等的两个实数m ，n ，使得()()g m g n =．由（1）可知()g x 在区间(,1)-∞上单调递增，在区间(1,)+∞上单调递减．不妨设m n <，则1m n <<．设()()(2)(1)h x g x g x x =-->，则2221e 1()()[(2)](1)e (1)0e e x x x xx h x g x g x x x ----'''=--=+-=-⋅>，所以()h x 在(1,)+∞上单调递增，所以()0h x >，即()(2)g x g x >-在区间(1,)+∞上恒成立．因为1n >，所以()(2)g n g n >-．因为()()g m g n =，所以()(2)g m g n >-．又因为1m <，21n -<，且()g x 在区间(,1)-∞上单调递增，所以2m n >-，即2m n +>．【点睛】思路点睛：不等式恒成立问题，可转化函数的最值问题，而极值点偏移问题，通过可构建新函数，并利用原函数的单调性进行转化.例28．（2023·全国·高三专题练习）已知函数2()1e (1),1,1x f x k x x k R x ⎛⎫=--->-∈ ⎪+⎝⎭． (1)若0k =，证明：(1,0)x ∈-时，()1f x <-；(2)若函数()f x 恰有三个零点123,,x x x ，证明：1231x x x ++>．【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析【分析】（1）当0k =时，1()e ,(1,0)1xx f x x x -=∈-+，求导，得到导函数大于0恒成立，故得到()(0)1f x f <=-；（2）首先确定1x =为函数的一个零点，接下来研究e ()1xF x k x =-+，构造差函数，求导后单调性，得到证明. (1)0k =时，函数1()e ,(1,0)1xx f x x x -=∈-+，则221()e 0(1)xx f x x +='>+， ()f x 在(1,0)-上单调递增，所以1()e (0)11xx f x f x -=<=-+． (2)e ()(1)1xf x x k x ⎛⎫=-- ⎪+⎝⎭，显然1x =为函数的一个零点，设为3x ；设函数e ()1xF x k x =-+，2e ()(1)x x F x x '=+当(1,0)x ∈-时，()0F x '<，当,()0x ∈+∞时，()0F x '>，故()F x 在(1,0)-上单调递减，在(0,)+∞上单调递增．由已知，()F x 必有两个零点12,x x ，且1210x x -<<<，下证：120x x +>．设函数()()(),(1,0)h x F x F x x =--∈-，则e e ()11x xh x x x -=++-， 2e 11()e e (1)11x x x x x x h x x x x -++⎛⎫⎛⎫=+- ⎪⎪+--⎝⎭⎝⎭'，由于(1,0)x ∈-，则2e 1e 0(1)1x x x x x x -+⎛⎫-< ⎪+-⎝⎭，由（1）有1e 01xx x ++>-，故()0h x '<，即函数()h x 在(1,0)-上单调递减，所以()(0)0h x h >=，即有()()()211F x F x F x =>-，由于12,(0,)x x -∈+∞，且在(0,)+∞上单调递增，所以21x x >-，所以120x x +>．【点睛】对于极值点偏移问题，通常要构造差函数，结合差函数的单调性和最值，进行证明.。

高二数学导数的概念和几何意义试题答案及解析

高二数学导数的概念和几何意义试题答案及解析1.已知函数的导函数为，．求实数的取值范围。

【答案】或。

【解析】对函数求导，得=，代入，得，=<0,求解即可，注意高次不等式的解法.试题解析：由得=，所以得，=<0,解得或.【考点】导数，高次不等式.2.曲线在横坐标为l的点处的切线为，则点P(3，2)到直线的距离为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】欲求点到直线的距离，需知点的坐标和直线的方程，由公式,计算可得.由于直线为已知曲线方程的切线，且已知切点，这样一般通过求导数得到切线的斜率，由点斜式得到直线方程.，，.【考点】（1）导数与切线的关系；（2）点到直线的距离.3.设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的斜率为（）A．B．C．D．【答案】Ｂ【解析】由曲线在点处的切线方程为得：，从而可得：，所以曲线在点处切线的斜率为４；故选Ｂ．【考点】函数导数的几何意义．4.已知函数（）.⑴若函数的图象在点处的切线的倾斜角为，求在上的最小值；⑵若存在，使，求的取值范围．【答案】⑴在上的最小值为；⑵的取值范围为．【解析】⑴对函数求导并令导函数为0，看函数的单调性，即可求在上的最小值；⑵先对函数求导得，分、两种情况讨论即可求的取值范围．（1） 1分根据题意， 3分此时，，则.令－＋∴当时，最小值为. 8分（2）∵，①若，当时，，∴在上单调递减.又，则当时，.∴当时，不存在，使 11分②若，则当时，；当时，.从而在上单调递增，在上单调递减.∴当时， 14分根据题意，，即，∴. 15分综上，的取值范围是. 16分【考点】导数的应用、分类讨论思想.5.曲线在点处的切线斜率为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，得到，把x=0代入得：，则曲线在点A（0，1）处的切线斜率为1．故选A．【考点】1．直线的斜率；2．导数的几何意义．6.已知函数f（x）=x2－4，设曲线y＝f（x）在点（xn ，f（xn））处的切线与x轴的交点为（xn+1,0）（n∈N +），其中x n为正实数．（1）用xn 表示xn+1；（2）若x1=4，记an=lg，证明数列｛an｝成等比数列，并求数列｛xn｝的通项公式；（3）若x1＝4，bn＝xn－2，Tn是数列｛bn｝的前n项和，证明Tn<3．【答案】（1）；（2）；（3）详见解析．【解析】（1）由题设条件知曲线y=f（x）在点处的切线方程是．由此可知．所以．（2）由，知，同理．故．由此入手能够导出．（3）由题设知，所以，由此可知．解：（1）由题可得．所以曲线在点处的切线方程是：．即．令，得．即．显然，∴．（2）由，知，’同理．----6’故．-----7’从而，即．所以，数列成等比数列．---8’故．即．----9’从而,所以．----10’（3）由（Ⅱ）知，∴∴ ---11’当时，显然．-------12’当时，-----13’∴．综上，．【考点】1．数列递推式；2．等比关系的确定；3．数列的求和；4．不等式的证明．7.设,则在处的导数（）A．B．C．0D．【答案】A【解析】，故选A．【考点】某点处的导数．8.已知曲线：（1）试求曲线在点处的切线方程；（2）试求与直线平行的曲线C的切线方程．【答案】（1）；（2）或．【解析】（1）先求出的值，再求函数的导函数，求得的值即为点斜率，代入点斜式方程，再化为一般式方程即可；（2）设切点为，利用导数的几何意义和相互平行的直线的斜率相等，即可得所求切线的斜率，再求出切点的坐标，代入点斜式方程，再化为一般式方程即可．（1）∵，∴，求导数得：，∴切线的斜率为，∴所求切线方程为，即：．（2）设与直线平行的切线的切点为，则切线的斜率为．又∵所求切线与直线平行，∴，解得：，代入曲线方程得：切点为或，∴所求切线方程为：或，即：或．【考点】1、导数的计算；2、导数的几何意义．9.已知A为函数图像上一点，在A处的切线平行于直线，则A点坐标为 ;【答案】（1,2）【解析】因为，设，则A点坐标为（1,2）.【考点】导数的几何意义10.过点恰可以作曲线的两条切线，则的值为；【答案】0或1或9【解析】设切点，则有所以或.因为过点恰可以作曲线的两条切线，，所以方程有不等于零的两个等根或包含零的两个不等根.由得或，此时方程的根非零.当方程有零根时，，此时方程还有另一根【考点】导数求切线11.若曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线的方程为．【答案】【解析】曲线在点处切线的方程为：.【考点】导数的几何性质.12.过点且与曲线相切的直线方程为（）A．或B．C．或D．【答案】A【解析】设切点为，因为，所以切线的斜率为，所以切线方程为，又因为切线过点，所以即，注意到是在曲线上的，故方程必有一根，代入符合要求，进一步整理可得即，也就是即，所以或，当时，，切线方程为即；当时，，切线方程为即，故选A.【考点】导数的几何意义.13.在曲线处的切线方程为。

2023-2024学年江苏省盐城中学高三年级模拟考试数学试题+答案解析(附后)

一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求2023-2024学年江苏省盐城中学高三年级模拟考试数学试题的。

1.若集合，，则( )A. B.C.D.2.若是关于x 的实系数方程的一个虚数根，则( )A. ， B. ，C. ，D. ，3.若，则( )A. B.C.D.4.已知，则“”是“”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5.若函数在R 上无极值，则实数a 的取值范围( )A. B.C.D. 6.设，是双曲线的两个焦点，O 为坐标原点，P 是C 的左支上一点，且，则的面积为( )A.B.C. 8D.7.数列中，，，使对任意的为正整数恒成立的最大整数k 的值为( )A. 1209B. 1211C. 1213D. 12158.对于一个古典概型的样本空间和事件A ，B ，C ，D ，其中，，，，，，，，则( )A. A 与B 不互斥B. A 与D 互斥但不对立C. C 与D 互斥D. A 与C相互独立二、多选题：本题共4小题，共20分。

在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。

全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。

9.已知，则( )A. B.C. D.10.已知函数的一条对称轴为，则( )A. 的最小正周期为B.C. 在上单调递增D.11.平行六面体中，各棱长均为2，设，则( )A. 当时，B. 的取值范围为C. 变大时，平行六面体的体积也越来越大D. 变化时，和BD总垂直12.已知曲线C是平面内到定点和定直线的距离之和等于4的点的轨迹，若在曲线C上，则下列结论正确的是( )A.曲线C关于x轴对称B. 曲线C关于y轴对称 C. D.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.某产品有5件正品和3件次品混在了一起产品外观上看不出有任何区别，现从这8件产品中随机抽取3件，则取出的3件产品中恰有1件是次品的概率为__________.14.已知单位向量，，满足，则的值为__________.15.在数字通信中，信号是由数字“0”和“1”组成的序列，“0，1数列”是每一项均为0或1的数列，设C是一个“0，1数列”，定义数列为数列C中每个0都变为“1，0，1”，每个1都变为“0，1，0”所得到的新数列.例如数列，1，则数列，0，1，0，1，已知数列，1，0，1，0，记数列，，2，3，，则数列的所有项之和为__________;数列的所有项之和为__________.16.在中，，P为内部一动点含边界，在空间中，若到点P的距离不超过1的点的轨迹为L，则几何体L的体积等于__________.四、解答题：本题共6小题，共70分。

高中数学专题练习《数列、导数知识点》含详细解析

数列、导数知识点一、等差数列1.概念:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,即a n+1-a n =d(n∈N *,d 为常数).2.等差中项:由三个数a,A,b 组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列.这时,A 叫做a 与b 的等差中项,且2A=a+b.3.通项公式:等差数列{a n }的首项为a 1,公差为d,则其通项公式为a n =a 1+(n-1)d.4.前n 项和公式:S n =n (a 1+a n )2=na 1+n (n -1)2d(n∈N *).5.性质:(1)通项公式的推广:a n =a m +(n-m)d(m,n∈N *).(2)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N *),则有a m +a n =a p +a q .(3)数列S m ,S 2m -S m ,S 3m -S 2m ,…也是等差数列.(4)数列{a n }是等差数列⇔S n =An 2+Bn(A,B 为常数).(5)在等差数列{a n }中,若a 1>0,d<0,则S n 存在最大值;若a 1<0,d>0,则S n 存在最小值.二、等比数列1.概念:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,即a n a n -1=q(n≥2,n∈N *,q 为非零常数).2.等比中项:如果在a 与b 中间插入一个数G,使a,G,b 成等比数列,那么G 叫做a 与b 的等比中项.此时,G 2=ab.3.通项公式:等比数列{a n }的首项为a 1,公比为q,则其通项公式为a n =a 1q n-1.4.前n 项和公式:S n ={na 1,q =1,a 1(1-q n )1-q=a 1-a n q 1-q,q ≠1.5.性质:(1)通项公式的推广:a n=a m q n-m(m,n∈N*).(2)若k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则有a k·a l=a m·a n.(3)当q≠-1或q=-1且n为奇数时,S n,S2n-S n,S3n-S2n,…仍成等比数列,其公比为q n.三、求一元函数的导数1.基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)=c(c为常数) f'(x)=0f(x)=xα(α∈Q,且α≠0)f'(x)=αxα-1f(x)=sin x f'(x)=cos xf(x)=cos x f'(x)=-sin xf(x)=a x(a>0,且a≠1)f'(x)=a x ln af(x)=e x f'(x)=e xf(x)=log a x(a>0,且a≠1)f'(x)=1xlnaf(x)=ln x f'(x)=1x2.导数的四则运算法则已知两个函数f(x),g(x)的导数分别为f'(x),g'(x).若f'(x),g'(x)存在,则有:(1)[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x);(2)[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x);(3)[f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)-f(x)g'(x)[g(x)]2(g(x)≠0).3.简单复合函数的导数复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为y'x =y'u ·u'x .四、导数在研究函数中的应用 1.函数的单调性与导数一般地,函数f(x)的单调性与导函数f'(x)的正负之间具有如下的关系: 在某个区间(a,b)上,如果f'(x)>0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递增; 在某个区间(a,b)上,如果f'(x)<0,那么函数y=f(x)在区间(a,b)上单调递减. 2.函数的极值与导数条件 f'(x 0)=0x 0附近的左侧f'(x)>0,右侧f'(x)<0x 0附近的左侧f'(x)<0,右侧f'(x)>0图象极值 f(x 0)为极大值 f(x 0)为极小值极值点 x 0为极大值点x 0为极小值点3.函数的最大(小)值与导数(1)如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值, f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值, f(b)为函数的最小值.(3)求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤如下:①求函数y=f(x)在区间(a,b)上的极值;②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a), f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.。

最全总结之导数与数列

导数与数列综合应用例1.（合肥市2019届）已知函数是减函数. （Ⅰ）试确定的值；（Ⅱ）已知数列，，，求证：.解析：（Ⅰ）的定义域为，.由是减函数得，对任意的，都有恒成立.设.∵，由知，∴当时，；当时，，∴在上单调递增，在上单调递减，∴在时取得最大值.又∵，∴对任意的，恒成立，即的最大值为. ∴，解得.（Ⅱ）由是减函数，且可得，当时，，∴，即.两边同除以得，，即.从而，所以①.下面证；记，.∴，∵在上单调递增，∴在上单调递减，而)8ln 2(31212ln 61)2('<-=+-=h ∴当时，恒成立，∴在上单调递减，即时，，∴当时，.∵，∴当时，，即②. 综上①②可得，.【点睛】本题考查了导数与函数的单调性的关系，考查了函数的最值，考查了构造函数的能力，考查了逻辑推理能力与计算求解能力，属于难题。

例2. （长沙市长郡中学2019届）设函数.(1)求函数的极值点个数；(2)若，证明. 解析：（1）因为为奇函数，其图像关于原点对称，所以只需考虑上的极值点个数，，时，.令，，∴当时，，单调递减，当时，，单调递增，∴.取，，∴在区间上存在唯一的使.∴在区间上单调递减，在区间上单调递增.又为奇函数， ∴在区间上单调递增，在区间上单调递减，在区间上单调递增，∴的极值点共2个.（2）由（1）可知在区间内单调递减，且恒成立.∴时，，即得.又令，得.∴【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的极值，还考查了奇函数的特点及转化思想，函数零点判断，还考查了不等式的应用及等比数列求和，属于难题。

例3. 已知函数()ln 1f x a x x =-+ （1）若()0f x ≤恒成立，求a 的值；（2）设t 为正数，对*n N ∀∈，2111(1)(1)(1)333n t +++<…，求t 的最小值解析：（1）xxa x f -=)(' 当不恒成立时，,0121)(0222>-+-=+-<---e a e e f a当，不恒成立时，0121)21(0>+-==f a 当a x x f a ==>解得时，令,0)('0101ln )()(max =⇒=+-==a a a a a f x f （2）当1ln 0)(1-≤≤=x x x f a 即时，则311311)311ln(=-+≤+，2231)311ln(≤+*********n n 31)311ln(≤+则)311()311)(311ln()311ln()311ln()311ln(22nn +++=++++++ΛΛΛΛ23113131312nn -=+⋅⋅⋅⋅⋅⋅++≤ 即23112)311()311)(311(n en -≤+++ΛΛe ≤<t所以t 的最小值为2例4. 已知函数1ln ()xf x x+=（1）若0k >且函数()f x 在区间3(,4k k +）上存在极值，求实数k 的取值范围；（2）如果当2x ≥时，不等式()2af x x ≥+恒成立，求实数a 的取值范围；（3）求证：2n ≥，(232)(342)⋅-⋅- (23)[(1)2][(1)(2)2]n n n n n e -+-++->解析：（1）22ln )ln 1(1)('x xx x x f -=+-=令10)('==x x f 得则1411431<<⇒>+<k k k ，（2）由()2a f x x ≥+得x x x a )ln 1)(2(++≤令2ln 2)(')ln 1)(2()(x xx x g x x x x g -=++=则令0)('221)('ln 2)(≥∴≥-=-=x x xx x x x ϕϕϕΘ则所以02ln 22)2()()(min >-==ϕϕϕx x 单调递增，所以单调递增，)(0)('x g x g >)2ln 1(2)2()(min +==g x g 所以)2ln 1(2+≤a（3）时当33)211(2)2ln 1(2=∴=+>+a Θ由（2）得262ln 23)(+-≥⇒+≥x x x x f 得令2)1(-+=n n x )111(62)1(622)1(ln(+--=+-≥-+n n n n n n则)3121(62)232ln(--≥-⨯)4131(62)243ln(--≥-⨯ ••••••)2111(62)2)2)(1ln((+-+-≥-++n n n n 不等号两边同时累加得())2121(62)2)2)(1(()243)(232(ln +--≥-++⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⨯-⨯n n n n()2632)2)2)(1(()243)(232(++-≥-++⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⨯-⨯n n e n n 32->n e命题得证。

广东省2023年高考数学模拟(二模)试题按题型难易度分层分类汇编(12套)-03解答题(提升题)2

广东省2023年各地区高考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（12套）-03解答题（提升题）2目录一．数列的求和（共1小题） (1)二．利用导数研究函数的最值（共1小题） (1)三．解三角形（共4小题） (1)四．直线与平面所成的角（共2小题） (2)五．二面角的平面角及求法（共1小题） (3)六．点、线、面间的距离计算（共1小题） (3)七．直线与抛物线的综合（共1小题） (4)八．直线与双曲线的综合（共2小题） (4)九．离散型随机变量的期望与方差（共2小题） (4)一．数列的求和（共1小题）1．（2023•佛山二模）已知各项均为正数的等比数列{a n}，其前n项和为S n，满足2S n＝a n+2﹣6．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b m为数列{S n}在区间（a m，a m+2）中最大的项，求数列{b n}的前n项和T n．二．利用导数研究函数的最值（共1小题）2．（2023•广州二模）已知定义在（0，+∞）上的函数．（1）若a∈R，讨论f（x）的单调性；（2）若a＞0，且当x∈（0，+∞）时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．三．解三角形（共4小题）3．（2023•广州二模）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b cos A﹣a cos B ＝b﹣c．（1）求A；（2）若点D在BC边上，且CD＝2BD，cos B＝，求tan∠BAD．4．（2023•梅州二模）如图，在平面四边形ABCD中，∠BAC＝∠ADC＝90°，，AC ＝2，设∠CAD＝θ．（1）当θ＝45°时，求BD的长；（2）求BD的最大值．5．（2023•佛山二模）已知△ABC为锐角三角形，且cos A+sin B＝（sin A+cos B）．（1）若C＝，求A；（2）已知点D在边AC上，且AD＝BD＝2，求CD的取值范围．6．（2023•广州二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）若角A的平分线交BC于D且AD＝2，求a的最小值．四．直线与平面所成的角（共2小题）7．（2023•广州二模）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3，点D是BC 的中点，点E在AA1上，AD∥平面BC1E．（1）求证：平面BC1E⊥平面BB1C1C；（2）当三棱锥B1﹣BC1E的体积最大时，求直线AC与平面BC1E所成角的正弦值．8．（2023•广州二模）在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，E是PD的中点，PA＝PD，AB＝2，∠ABC＝60°．（1）证明：PB∥平面EAC．（2）若四棱锥P﹣ABCD的体积为，求直线EC与平面PAB所成角的正弦值．五．二面角的平面角及求法（共1小题）9．（2023•深圳二模）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝2，∠ABC＝，A1C1⊥A1B．（1）证明：A1A＝A1C；（2）若A1A＝2，BC1＝，求平面A1CB1与平面BCC1B1夹角的余弦值．六．点、线、面间的距离计算（共1小题）10．（2023•梅州二模）如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝＝2，点M为A1B1的中点．（1）在棱BB1上是否存在点Q，使得AQ⊥平面BC1M？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；（2）求点C到平面BC1M的距离．七．直线与抛物线的综合（共1小题）11．（2023•广州二模）已知直线l与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，且与x轴交于点M （a，0）（a＞0），过点A，B分别作直线l1：x＝﹣a的垂线，垂足依次为A1，B1，动点N 在l1上．（1）当a＝1，且N为线段A1B1的中点时，证明：AN⊥BN；（2）记直线NA，NB，NM的斜率分别为k1，k2，k3，是否存在实数λ，使得k1+k2＝λk3若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．八．直线与双曲线的综合（共2小题）12．（2023•梅州二模）已知双曲线E：的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2且双曲线E经过点．（1）求双曲线E的方程；（2）过点P（2，1）作动直线l，与双曲线的左、右支分别交于点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点H，满足，求证：点H恒在一条定直线上．13．（2023•佛山二模）双曲线C：的左顶点为A，焦距为4，过右焦点F作垂直于实轴的直线交C于B、D两点，且△ABD是直角三角形．（1）求双曲线C的方程；（2）M、N是C右支上的两动点，设直线AM、AN的斜率分别为k1、k2，若k1k2＝﹣2，求点A到直线MN的距离d的取值范围．九．离散型随机变量的期望与方差（共2小题）14．（2023•梅州二模）元宵佳节，是民间最重要的民俗节日之一，我们梅州多地都会举行各种各样的民俗活动，如五华县河东镇的“迎灯”、丰顺县埔寨镇的“火龙”、大埔县百侯镇的“迎龙珠灯”等系列活动．在某庆祝活动现场，为了解观众对该活动的观感情况（“一般”或“激动”），现从该活动现场的观众中随机抽取200名，得到下表：一般激动总计男性90120女性25总计200（1）填补上面的2×2列联表，并依据小概率值α＝0.1的独立性检验，能否认为性别与对该活动的观感程度有关？（2）该活动现场还举行了有奖促销活动，凡当天消费每满300元，可抽奖一次．抽奖方案是：从装有3个红球和3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出2个球，若摸出2个红球，则可获得100元现金的返现；若摸出1个红球，则可获得50元现金的返现；若没摸出红球，则不能获得任何现金返现．若某观众当天消费600元，记该观众参加抽奖获得的返现金额为X，求随机变量X的分布列和数学期望．附：，其中n＝a+b+c+d．α0.1000.0500.0100.001xα 2.706 3.841 6.63510.828 15．（2023•广州二模）某创业者计划在某旅游景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”，为了确定未来发展方向此创业者对该景区附近五家“农家乐”跟踪调查了100天，这五家“农家乐的收费标准互不相同得到的统计数据如表，x为收费标准（单位：元/日），t 为入住天数（单位：天），以频率作为各自的“入住率”，收费标准x与“入住率”y的散点图如图x100150200300450t9065453020（1）若从以上五家“农家乐”中随机抽取两家深入调查，记ξ为“住率超过0.6的农家乐的个数，求ξ的概率分布列（2）z＝lnx，由散点图判断＝x+a与＝z+哪个更合适于此模型（给出判断即可不必说明理由）？并根据你的判断结果求回归方程（，的结果精确到0.1）（3）根据第（2）问所求的回归方程，试估计收费标准为多少时，100天销售额L最大？（100天销售额L＝100×入住率收费标准x）＝，＝x，＝240，＝365000，x i y i＝457，≈5.35，2≈28.57，≈144.24，zi y i≈12.72，e5≈150，e5.4≈220．广东省2023年各地区高考数学模拟（二模）试题按题型难易度分层分类汇编（12套）-03解答题（提升题）2参考答案与试题解析一．数列的求和（共1小题）1．（2023•佛山二模）已知各项均为正数的等比数列{a n}，其前n项和为S n，满足2S n＝a n+2﹣6．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）记b m为数列{S n}在区间（a m，a m+2）中最大的项，求数列{b n}的前n项和T n．【答案】（1）a n＝3•2n﹣1；（2）T n＝3•2n+2﹣12﹣3n．【解答】解：（1）设数列{a n}的公比为q，则q＞0，当n＝1时，有2S1＝a3﹣6，当n＝2时，有2S2＝a4﹣6，两式相减得，2a2＝a4﹣a3，即2＝q2﹣q，解得q＝2或﹣1（舍负），又2S1＝a3﹣6，所以2a1＝4a1﹣6，即a1＝3，所以a n＝3•2n﹣1．（2）由（1）知，S n＝＝3•（2n﹣1），所以S n﹣a n＝3•（2n﹣1）﹣3•2n﹣1＝3•（2n﹣1﹣1）≥0，即S n≥a n，当且仅当n＝1时，等号成立，S n﹣a n+1＝3•（2n﹣1）﹣3•2n＝﹣3＜0，即S n＜a n+1，所以a n≤S n＜S n+1＜a n+2＜S n+2，即a m≤S m＜S m+1＜a m+2＜S m+2，记b m为数列{S n}在区间（a m，a m+2）中最大的项，则b m＝S m+1＝3•（2m+1﹣1），所以b n＝3•（2n+1﹣1）＝3•2n+1﹣3，所以T n＝3•（22+23+…+2n+1）﹣3n＝3•﹣3n＝3•2n+2﹣12﹣3n．二．利用导数研究函数的最值（共1小题）2．（2023•广州二模）已知定义在（0，+∞）上的函数．（1）若a∈R，讨论f（x）的单调性；（2）若a＞0，且当x∈（0，+∞）时，不等式恒成立，求实数a的取值范围．【答案】（1）分类讨论，答案见解析；（2）．【解答】解：（1）函数，x＞0，求导得：，当a≥0时，f'（x）＞0，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，当a＜0时，由f'（x）＞0得，由f'（x）＜0得，则f（x）在上递增，在上递减，所以当a≥0时，函数f（x）的递增区间是（0，+∞）；当a＜0时，函数f（x）的递增区间是，递减区间是．（2）因为a＞0，且当x∈（0，+∞）时，不等式恒成立，当0＜x≤1时，∀a＞0，恒成立，因此a＞0，当x＞1时，⇔2alne ax+ln （lne ax）≥2alnx+ln（lnx），令g（x）＝2ax+lnx，原不等式等价于g（lne ax）≥g（lnx）恒成立，而，即函数g（x）在（1，+∞）上单调递增，因此∀x＞1，lne ax≥lnx，即，令，，当1＜x＜e时，h'（x）＞0，当x＞e时，h'（x）＜0，函数h（x）在（1，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减，，因此，综上得，所以实数a的取值范围是．三．解三角形（共4小题）3．（2023•广州二模）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b cos A﹣a cos B ＝b﹣c．（1）求A；（2）若点D在BC边上，且CD＝2BD，cos B＝，求tan∠BAD．【答案】（1）A＝；（2）．【解答】解：（1）∵b cos A﹣a cos B＝b﹣c，∴根据正弦定理可得sin B cos A﹣sin A cos B＝sin B﹣sin C，∴sin B（cos A﹣1）＝sin A cos B﹣sin（A+B），∴sin B（cos A﹣1）＝﹣cos A sin B，又sin B＞0，∴cos A﹣1＝﹣cos A，∴2cos A＝1，又A∈（0，π），∴A＝；（2）设∠BAD＝θ，又A＝，则∠CAD＝﹣θ，∵D在BC边上，且CD＝2BD，∴S△ACD＝2S△ABD，设|AD|＝t，则，∴＝＝，又A＝，cos B＝，∴sin B＝，∴＝＝＝，∴＝，∴＝，即tan∠BAD＝．4．（2023•梅州二模）如图，在平面四边形ABCD中，∠BAC＝∠ADC＝90°，，AC ＝2，设∠CAD＝θ．（1）当θ＝45°时，求BD的长；（2）求BD的最大值．【答案】（1）；（2）3．【解答】解：（1）在Rt△ACD中，．在△ABD中，因为，由余弦定理得，因此；（2）在Rt△ACD中，AD＝AC cosθ＝2cosθ，在△ABD中，因为，由余弦定理得：＝＝，所以，所以当，即θ＝时，BD最长，BD的最大值为．5．（2023•佛山二模）已知△ABC为锐角三角形，且cos A+sin B＝（sin A+cos B）．（1）若C＝，求A；（2）已知点D在边AC上，且AD＝BD＝2，求CD的取值范围．【答案】（1）A＝；（2）（1，2）．【解答】解：（1）∵C＝，又cos A+sin B＝（sin A+cos B），∴cos A+sin（﹣A）＝sin A+cos（﹣A），∴cos A+cos A+sin A＝sin A+（cos A+sin A），∴，∴tan A＝1，又A∈（0，π），∴A＝；（2）∵cos A+sin B＝（sin A+cos B），∴sin A﹣cos A＝sin B﹣cos B，∴2sin（A﹣）＝2sin（B﹣），∴A﹣＝B﹣或A﹣+B﹣＝π，∴A＝B﹣或A+B＝（舍），又AD＝BD＝2，∴∠A＝∠ABD，∴∠CBD＝，在△BCD中，由正弦定理可得，∴，∴|CD|＝，又sin C＝sin（﹣2B），又△ABC为锐角三角形，'∴，∴B∈（，），∴∈（，），∴sin C＝sin（﹣2B）∈（，1），∴|CD|＝∈（1，2）．6．（2023•广州二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）若角A的平分线交BC于D且AD＝2，求a的最小值．【答案】（1）；（2）．【解答】解：（1），即，即，由正弦定理得，B∈（0，π），sin B≠0，故，，，故，又，故，故；（2），设，，根据向量的平行四边形法则：，即，，又a2＝b2+c2﹣bc＝b2（1﹣x+x2），故，当且仅当x＝1时等号成立，故a的最小值为．四．直线与平面所成的角（共2小题）7．（2023•广州二模）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3，点D是BC 的中点，点E在AA1上，AD∥平面BC1E．（1）求证：平面BC1E⊥平面BB1C1C；（2）当三棱锥B1﹣BC1E的体积最大时，求直线AC与平面BC1E所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解答；（2）．【解答】解：（1）证明：可取CC1的中点M，连接DM，AM，又D为BC的中点，可得DM∥BC1，DM⊄平面BC1E，可得DM∥平面BC1E，又AD∥平面BC1E，AD∩DM＝D，可得平面ADM∥平面BC1E，所以AM∥平面BC1E，又平面BC1E∩平面A1ACC1＝C1E，可得AM∥C1E，即有E为AA1的中点，因为AB＝AC，D为BC的中点，可得AD⊥BC，由直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，B1B⊥底面ABC，可得B1B⊥AD，由BC∩B1B＝B，可得AD⊥平面BB1C1C，取BC1的中点H，连接EH，可得EH∥AD，即有EH⊥平面BB1C1C，而EH⊂平面BC1E，可得平面BC1E⊥平面BB1C1C；（2）设BC＝2a，可得AD＝，三棱锥B1﹣BC1E的体积V＝EH•＝•×3×2a＝a≤（a2+9﹣a2）＝（当且仅当a＝取得等号），可得当AB⊥AC时，三棱锥B1﹣BC1E的体积取得最大值．由于A1C1∥AC，可得直线AC与平面BC1E所成角即为直线A1C1与平面BC1E所成角．设A1到平面BC1E的距离为h，由BE＝C1E＝＝，BC1＝＝3，可得＝×3×＝，所以＝h•＝h，又＝×3××3×＝，又＝，解得h＝，又A1C1＝3，可得直线A1C1与平面BC1E所成角的正弦值为＝，即有直线AC与平面BC1E所成角的正弦值为．8．（2023•广州二模）在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是菱形，E是PD的中点，PA＝PD，AB＝2，∠ABC＝60°．（1）证明：PB∥平面EAC．（2）若四棱锥P﹣ABCD的体积为，求直线EC与平面PAB所成角的正弦值．【答案】（1）证明详见解析，（2）．【解答】解：（1）连接BD交AC于F，连接EF，因为四边形ABCD是菱形，所以F是BD的中点，又E是PD的中点，所以EF∥PB，因为EF⊂平面EAC，PB⊄平面EAC，所以PB∥平面EAC．（2）取AD的中点O，连接PO，则PO⊥AD，因为平面PAD⊥平面ABCD且交线为AD，PO⊂平面PAD，所以PO⊥平面ABCD．设PD＝a，则，解得a＝3．因为底面ABCD是菱形，∠ABC＝60°，所以OC⊥AD，且．以O为坐标原点，以OC，OD，OP所在直线分别为x轴，轴，z轴建立空间直角坐标系，则，，，设平面的法向量为，则，故可设，则，所以直线EC与平面PAB所成角的正弦值为．五．二面角的平面角及求法（共1小题）9．（2023•深圳二模）在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB＝BC＝2，∠ABC＝，A1C1⊥A1B．（1）证明：A1A＝A1C；（2）若A1A＝2，BC1＝，求平面A1CB1与平面BCC1B1夹角的余弦值．【答案】（1）证明过程请看解答；（2）．【解答】（1）证明：取AC的中点O，连接OA1，OB，因为AB＝BC，所以OB⊥AC，因为A1C1⊥A1B，A1C1∥AC，所以AC⊥A1B，又OB∩A1B＝B，OB、A1B⊂平面A1BO，所以AC⊥平面A1BO，因为A1O⊂平面A1BO，所以AC⊥A1O，因为O为AC的中点，所以A1A＝A1C．（2）解：因为AB＝BC＝2，∠ABC＝，所以AC＝A1C1＝2，又A1C1⊥A1B，BC1＝，所以A1B＝＝，而OA1＝OB＝1，所以，即OA1⊥OB，所以OA1，OB，OC两两垂直，故以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则A1（0，0，1），B1（1，，1），C（0，，0），B（1，0，0），所以＝（1，，0），＝（1，0，1），＝（0，，1），设平面A 1CB 1的法向量为＝（x ，y ，z ），则，即，令y ＝1，则x ＝﹣，z ＝，所以＝（﹣，1，），同理可得，平面BCC 1B 1的法向量＝（，1，﹣），设平面A 1CB 1与平面BCC 1B 1夹角为θ，则cos θ＝|cos ＜，＞|＝＝＝，故平面A 1CB 1与平面BCC 1B 1夹角的余弦值为．六．点、线、面间的距离计算（共1小题）10．（2023•梅州二模）如图，正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，AB ＝＝2，点M 为A 1B 1的中点．（1）在棱BB 1上是否存在点Q ，使得AQ ⊥平面BC 1M ？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；（2）求点C 到平面BC 1M 的距离．【答案】（1）＝7；（2）．【解答】解：（1）在正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1中，∵点M 为A 1B 1的中点．∴C1M⊥A1B1，又∵A1A⊥平面A1B1C1，∴A1A⊥C1M，面A1A∩A1B1＝A1，∴C1M⊥平面AA1B1B，过点A作AQ⊥BM，AQ⊥C1M，且BM∩C1M＝M，∴AQ⊥平面BC1M，即点Q为所要找的点，易得：△ABQ∽△BB1M，∴＝，即有＝，于是BQ＝，∴B1Q＝B1B﹣BQ＝4﹣＝，∴＝7；（2）连接C与AB的中点N，易知CN∥平面BC1M，点C到平面BC1M的距离h C等于点N到平面BC1M的距离h N，又N为AB的中点，点N到平面BC1M的距离h N等于点A到平面BC1M的距离h A的一半，而由（1）知，当BQ＝时，AQ⊥平面BC1M，设AQ∩BM＝H，则h A＝AH＝AB cos∠BAQ＝2×＝，∴h C＝h N＝h A＝．七．直线与抛物线的综合（共1小题）11．（2023•广州二模）已知直线l与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，且与x轴交于点M （a，0）（a＞0），过点A，B分别作直线l1：x＝﹣a的垂线，垂足依次为A1，B1，动点N 在l1上．（1）当a＝1，且N为线段A1B1的中点时，证明：AN⊥BN；（2）记直线NA，NB，NM的斜率分别为k1，k2，k3，是否存在实数λ，使得k1+k2＝λk3若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）λ＝2．【解答】（1）证明：如图所示：当a＝1时，M（1，0）恰为抛物线C：y2＝4x的焦点．由抛物线的定义可得：|AM|＝|AA1|，|BM|＝|BB1|．取AB的中点D，连接DN，则DN为梯形ABB1A1的中位线，所以．因为D为AB的中点，所以，所以|DA|＝|DN|．在△ADN中，由|DA|＝|DN|可得：∠AND＝∠NAD．因为DN为梯形ABB1A1的中位线，所以DN∥AA1，所以∠AND＝∠A1AN，所以∠NAD＝∠A1AN，同理可证：∠NBD＝∠B1BN．在梯形ABB1A1中，∠A1AB+∠B1BA＝180°，所以∠A1AN+∠NAD+∠DBN+∠NBB1＝180°，所以，所以∠ANB＝90°，即AN⊥BN．（2）解：假设存在实数λ，使得k1+k2＝λk3．由直线l与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点，可设l：x＝my+a．设A（x1，y1），B（x2，y2），则，消去x可得：y2﹣4my﹣4a＝0，所以y1+y2＝4m，y1y2＝﹣4a．则＝．而，所以，解得：λ＝2．八．直线与双曲线的综合（共2小题）12．（2023•梅州二模）已知双曲线E：的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝2且双曲线E经过点．（1）求双曲线E的方程；（2）过点P（2，1）作动直线l，与双曲线的左、右支分别交于点M，N，在线段MN上取异于点M，N的点H，满足，求证：点H恒在一条定直线上．【答案】（1）；（2）证明详见解析．【解答】解：（1）|F1F2|＝2，则c＝，，2a＝|AF1|﹣|AF2|＝，解得a ＝1，b2＝c2﹣a2＝2，故双曲线E的方程为；（2）证明：设H（x，y），M（x1，y1），N（x2，y2），则，，即①，，设＝λ，则（λ≠1），即，故，④，将①②代入④，则⑤，将③代入⑤，则2[（1﹣λ2）2x﹣（1﹣λ2）]＝（1﹣λ2）y，即4x﹣2＝y，故点H恒在定直线4x﹣y﹣2＝0．13．（2023•佛山二模）双曲线C：的左顶点为A，焦距为4，过右焦点F作垂直于实轴的直线交C于B、D两点，且△ABD是直角三角形．（1）求双曲线C的方程；（2）M、N是C右支上的两动点，设直线AM、AN的斜率分别为k1、k2，若k1k2＝﹣2，求点A到直线MN的距离d的取值范围．【答案】（1）；（2）（，6]．【解答】解：（1）根据题意可得∠BAD＝90°，半焦距c＝2，由AF＝BF，可得a+c＝，∴a2+2a＝22﹣a2，解得a＝1，∴b2＝c2﹣a2＝4﹣1＝3，∴双曲线C的方程的方程为；（2）显然直线MN不可能与坐标轴平行，∴设直线MN的方程为x＝my+n，联立，可得（3m2﹣1）y2+6mny+3（n2﹣1）＝0，设M（x1，y1），N（x2，y2），则根据题意可得：，且，①，由k1k2＝﹣2，可得y1y2+2（x1+1）（x2+1）＝0，即y1y2+2（my1+n+1）（my2+n+1）＝0，整理得②，将①代入②中可得3（n2﹣1）（2m2+1）﹣12m2n（n+1）+2（n+1）2（3m2﹣1）＝0，化简可消去所有的含m的项，从而解得n＝5或n＝﹣1（舍去），∴直线MN的方程为x﹣my﹣5＝0，∴d＝，又MN都在双曲线的右支上，∴3m2﹣1＜0，∴，∴，∴d＝∈（，6]，∴点A到直线MN的距离d的取值范围为（，6]．九．离散型随机变量的期望与方差（共2小题）14．（2023•梅州二模）元宵佳节，是民间最重要的民俗节日之一，我们梅州多地都会举行各种各样的民俗活动，如五华县河东镇的“迎灯”、丰顺县埔寨镇的“火龙”、大埔县百侯镇的“迎龙珠灯”等系列活动．在某庆祝活动现场，为了解观众对该活动的观感情况（“一般”或“激动”），现从该活动现场的观众中随机抽取200名，得到下表：一般激动总计男性90120女性25总计200（1）填补上面的2×2列联表，并依据小概率值α＝0.1的独立性检验，能否认为性别与对该活动的观感程度有关？（2）该活动现场还举行了有奖促销活动，凡当天消费每满300元，可抽奖一次．抽奖方案是：从装有3个红球和3个白球（形状、大小、质地完全相同）的抽奖箱里一次性摸出2个球，若摸出2个红球，则可获得100元现金的返现；若摸出1个红球，则可获得50元现金的返现；若没摸出红球，则不能获得任何现金返现．若某观众当天消费600元，记该观众参加抽奖获得的返现金额为X，求随机变量X的分布列和数学期望．附：，其中n＝a+b+c+d．α0.1000.0500.0100.001xα 2.706 3.841 6.63510.828【答案】（1）2×2列联表见解析，该场活动活动的观感程度与性别无关；（2）分布列见解析，E（X）＝100．【解答】解：（1）补全的2×2列联表如下：一般激动总计男性3090120女性255580总计55145200零假设为H0：性别与对活动的观感程度相互独立．根据表中数据，计算得到χ2＝＝＜1＜2.706，根据小概率值α＝0.1的独立性检验，没有充分证据推断H0不成立，因此我们可以认为H0成立，即认为对该场活动活动的观感程度与性别无关．（2）设一次摸球摸出2个红球的事件为A，摸出1个红球的事件为B，没摸出红球的事件为C，则P（A）＝＝，P（B）＝＝，P（C）＝＝，由题意，X可取200，150，100，50，0，P（X＝200）＝×＝，P（X＝150）＝2××＝，P（X＝100）＝×+2××＝，P（X＝50）＝2××＝，P（X＝0）＝×＝，所以X的分布列为：X200150100500P所以E（X）＝200×+150×+100×+50×+0×＝100．15．（2023•广州二模）某创业者计划在某旅游景区附近租赁一套农房发展成特色“农家乐”，为了确定未来发展方向此创业者对该景区附近五家“农家乐”跟踪调查了100天，这五家“农家乐的收费标准互不相同得到的统计数据如表，x为收费标准（单位：元/日），t 为入住天数（单位：天），以频率作为各自的“入住率”，收费标准x与“入住率”y的散点图如图x100150200300450t9065453020（1）若从以上五家“农家乐”中随机抽取两家深入调查，记ξ为“住率超过0.6的农家乐的个数，求ξ的概率分布列（2）z＝lnx，由散点图判断＝x+a与＝z+哪个更合适于此模型（给出判断即可不必说明理由）？并根据你的判断结果求回归方程（，的结果精确到0.1）（3）根据第（2）问所求的回归方程，试估计收费标准为多少时，100天销售额L最大？（100天销售额L＝100×入住率收费标准x）＝，＝x，＝240，＝365000，x i y i＝457，≈5.35，2≈28.57，≈144.24，zi y i≈12.72，e5≈150，e5.4≈220．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）ξ的所有可能取值为0，1，2则P（ξ＝0）＝∴ξ的分布列是ξ012P（2）由散点图可知＝z+a更适合于此模型依题意，则＝＝≈﹣0.47≈﹣0.5，＝＝0.5+0.47×5.35≈3.0，∴所求的回归方程为＝＝﹣0.5lnx+3.0．（3）依题意，L（x）＝100（﹣0.5lnx+3.0）x＝﹣50xlnx+300x，则L′（x）＝﹣50lnx+250由L′（x）＞0．得lnx＜5，x＜e5，由L′（x）＜0，得lnx＞5，x＞e5∴L（x）在（0，e5）上递增：在（e5，+∞）上递减当x＝e5≈150时，L（x）取到最大值∴当收费标准约为150（元/日）时，100天销售额L最大．。

八种题型导数三角函数向量数列立体与解析几何计数原理与统概率高考数学考前迅速提分复习方案

高考数学考前30天迅速提分复习方案（新高考地区专用）专题2.5转化与化归思想中的八种题型（导数、三角函数、向量、数列、立体与解析几何、计数原理与统概率）题型一：导数及其应用一、单选题1．（2020·甘肃白银·模拟预测（文））函数()tan xf x x x e =-在,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的零点个数为（） A ．1B ．2C ．3D ．42．（2020·辽宁·模拟预测（文））已知直线y a =分别与函数2x y e +=和1y x =-A ，B 两点，则A ，B 之间的最短距离是（）A ．7ln 22- B ．5ln 22- C ．7ln 22+ D ．5ln 22+ 3．（2020·四川绵阳·模拟预测（文））方程32291210x x x -++=的实根个数是（） A ．0B ．1C ．2D ．34．（2020·全国·模拟预测（文））给定下列4个独立编号的命题： ①设x ，y ∈R ，且210x y +=，则二元函数22x y ω=+的最小值为20②已知0a >，函数()3f x x ax =-在[)1,+∞上是增函数，则a 的最大值为3③在ABC 中，D 为BC 中点，1AD =，P 在线段AD 上，则()PA PB PC ⋅+的最小值为1- ④若02πα<<，02πβ-<<，则1cos 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，3cos 42πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭cos 26βα⎛⎫= ⎪⎝⎭+请你根据逻辑推理相关知识，那么上述所有命题中不成立的编号是（） A ．①②B ．②③C ．③④D ．①④5．（2020·贵州·遵义市南白中学模拟预测（文））已知函数()1ln b af x x x=--（0a >，0b e ≤≤）在区间[]1e ，内有唯一零点，则21b a ++的最大为（） A ．21e + B ．221e e e +++C ．1e +D ．22e +6．（2020·辽宁·模拟预测（理））若不等式2ln mx x mxe ≥恒成立，则实数m 的取值范围为（）A ．21,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭B ．1,2e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭C ．1,e ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．e ⎫+∞⎪⎢⎣⎭二、多选题7．（2022·全国·模拟预测）若函数()f x 的图象上存在两个不同的点A 、B ，使得曲线()y f x =在这两点处的切线重合，称函数()f x 具有T 性质.下列函数中具有T 性质的有（） A ．x y e x =-B ．42y x x =-C ．3y x =D ．sin y x x =+三、填空题8．（2020·安徽合肥·三模（理））若函数f （x ）＝ex ﹣lnx ﹣mx 在区间（1，+∞）上单调递增，则实数m 的取值范围为_____．9．（2020·江苏南京·三模）若对任意a ∈[e ，+∞)（e 为自然对数的底数），不等式e ax b x +≤对任意x ∈R 恒成立，则实数b 的取值范围为_______．四、解答题10．（2020·江苏·模拟预测）已知函数21()ln (1)2f x a x x =+-，a R ∈.（1）当2a =-时，求函数()f x 的极值；（2）若[1,)x ∀∈+∞，都有()0f x ，求实数a 的取值范围；（3）设211()l n 22a g x x x x =+++，若0[1,]x e ∃∈，使得()()00f x g x >成立，求实数a 的取值范围.11．（2020·浙江·模拟预测）设a ，b ∈R ，函数()2ln f x a x x bx b =+++．（1）若2a b +=-，求()y f x =的单调区间；（2）若()y f x =的极大值恒小于0，求a b +的最大值．12．（2020·四川眉山·模拟预测（理））已知函数1ln ()xf x x+=（1）若函数()f x 区间1,(0)3a a a ⎛⎫+> ⎪⎝⎭上存在极值点，求实数a 的取值范围；（2）当1≥x 时，不等式()1kf x x ≥+，恒成立，求实数k 的取值范围；（3）求证：2221[(1)!](1)n n n n e-+++>+（*n N ∈，e 为自然对数的底数， 2.71828e =……）．13．（2020·江西·模拟预测（理））已知函数()ln x mf x e x x -=-，()f x 的导函数为()'f x .（1）当1m =时，证明：函数()f x 在()0,∞+上单调递增；（2）若()()'1g x f x m =-+，讨论函数()g x 零点的个数.题型二：三角函数与解三角形一、单选题1．（2022·河南新乡·二模（文））已知α，β是锐角，()1ln tan tan tan tan αβαβ>-，则（） A ．sin sin αβ> B ．cos cos αβ> C ．cos sin αβ>D ．sin cos βα>2．（2021·全国·模拟预测）若1sin 84x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 24x π⎛⎫+= ⎪⎝⎭（）A ．14-B 15C ．78D ．24-3．（2021·云南大理·模拟预测（理））已知,,0,,sin sin sin ,cos cos cos 2παβγαγββγα⎛⎫∈+=+= ⎪⎝⎭，则下列说法正确的是（）A ．1cos()3βα-=- B ．1cos()3βα-=C ．3πβα-=-D ．3πβα-=4．（2020·江西·模拟预测（理））函数()()π2sin 04f x x ωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭的导函数为()f x '，集合()()()000,0,M x f x f x ='⎧=⎨⎩0ππ,42x ⎫⎛⎫∈⎬ ⎪⎝⎭⎭，中有且仅有１个元素，则ω的取值范围是（） A ．31115,7,222ω⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．371315,3,7,2222ω⎛⎫⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭C ．371115,3,7,2222ω⎛⎫⎛⎤⎡⎤∈ ⎪ ⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎦⎣⎦D ．371315,3,7,2222ω⎛⎫⎛⎤⎡⎤∈ ⎪ ⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎦⎣⎦5．（2020·全国·模拟预测（理））函数()sin 2sin 3f x x m x x =++在[,]63ππ上单调递减的充要条件是（） A ．3m ≤-B ．4m ≤-C ．83m ≤D ．4m ≤二、填空题6．（2022·重庆市求精中学校一模）在ABC 中，D 为边BC 上一点，2CD =，π6BAD ∠=，若2355=+AD AB AC ，且π6B =，则AC =________．7．（2022·四川·成都七中模拟预测（理））在Rt △ABC 中，已知∠C ＝90°，CD ⊥AB ，垂足为D .若AC ∶BC ＝3∶2，则BD ∶AD 的值为______．8．（2022·全国·高三专题练习（文））已知函数()212,032()3,3x x x f x f x x ⎧-+≤<⎪=⎨⎪-≥⎩，若方程()f x a =在[]3,4上有两个不相等的实数根1x ，2x ，则12x x +的取值范围是___________.9．（2019·湖北·黄冈中学一模（理））已知锐角ABC ∆中，,,A B C ∠∠∠所对的边分别为a ，b ，c ，且满足226a bc +=，则ABC ∆面积的最大值为______.三、解答题10．（2021·全国·模拟预测）如图，在Rt ABC △中，90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，3AC =，点D ，E 在边AB 上，且AD DE EB ==.（1）求CD 的长；（2）求sin DCE ∠的值.11．（2019·江苏·一模）如图，某市一学校H 位于该市火车站O 北偏东45︒方向，且42OH km =，已知, OM ON 是经过火车站O 的两条互相垂直的笔直公路，CE ,DF 及圆弧CD都是学校道路，其中//CE OM ，//DF ON ，以学校H 为圆心，半径为2km 的四分之一圆弧分别与, CE DF 相切于点, C D .当地政府欲投资开发AOB 区域发展经济，其中,A B 分别在公路, OM ON 上，且AB 与圆弧CD 相切，设OAB θ∠=，AOB 的面积为2Skm .（1）求S 关于θ的函数解析式；（2）当θ为何值时，AOB 面积S 为最小，政府投资最低？四、双空题12．（2021·全国·模拟预测）已知函数()sin 34f x A x πϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭（0A >，2πϕ<）满足()3f x f x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，对任意的R x ∈，23f x π⎛⎫-≤ ⎪⎝⎭恒成立，且存在0x ，使得023f x π⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，则()f x =______；若,6x t π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，12f x π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值域是2A ⎡-⎣，则实数t 的取值范围是______．13．（2020·浙江省富阳中学三模）在锐角ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若2c =，6cos b aC a b+=，则22a b +=____________，ABC 的面积的取值范围是___________.题型三：平面向量一、单选题1．（2020·浙江·二模）空间向量1OB ，2OB ，3OB 两两垂直，123||||||1AB AB AB ===，123OP OB OB OB =++，1||2AP ≤，则||OA ∈（） A ．22[6 B ．17[6C ．22[36] D ．21[352．（2019·福建漳州·模拟预测（文））已知ABC 中，2,,3AB A BC π==边上的中线3AD =AC =（）A ．2B ．4C ．6D ．83．（2020·陕西榆林·三模（理））已知向量AB 与AC 的夹角为120°，且3AB =，2AC =，若AP AB AC λ=+，且AP BC ⊥，则实数λ的值为（）A ．712B ．512C ．16D ．344．（2020·江西宜春·模拟预测（理））如图，在四边形ABCD 中，//AB CD ，AB AD ⊥，22AB AD CD ==，E 是BC 边上一点且3BC EC =，F 是AE 的中点，则下列关系式不正确的是（）A ．12BC AB AD =-+ B ．1133AF AB AD =+ C ．1233BF AB AD =-+D ．1263CF AB AD =--5．（2021·山西大附中模拟预测（理））在ABC ∆中，已知9AB AC ⋅=，sin cos sin B A C =⋅，6ABC S ∆=，P 为线段AB 上的一点，且CA CBCP x y CACB=⋅+⋅，则11x y +的最小值为（） A 723+B 732+C 726+D 743+6．（2020·浙江·湖州中学模拟预测）已知C ，D 是半径为1的圆O 上的动点，线段AB 是圆O 的直径，则AC BD ⋅的取值范围是（）A ．12,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．[]2,0-C ．14,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．[]4,0-二、双空题7．（2021·广东茂名·二模）已知区域D 表示不在直线()212223m x my m -+=+(m ∈R )上的点构成的集合，则区域D 的面积为___________，若在区域D 内任取一点(),P x y ，则22x y +的取值范围为___________.三、填空题8．（2020·江苏南通·三模）已知ABC 中，2CA CB AB ⋅==，且3BAC π∠=，则AB AC ⋅的值为_______.9．（2019·浙江金华·一模）已知平面向量a ，b ，c 满足74a b ⋅=，||3a b -=，()()2a c b c --=-，则c 的取值范围是___________．10．（2020·浙江嘉兴·三模）已知平面向量a 、b 、c 满足21b a ==、2c =，()()440c a c b -⋅-=，则2a b -的取值范围是______.11．（2019·浙江绍兴·二模）如图，已知等腰直角三角形ABC 中，90︒∠=C ，2AC =，两顶点,A C 分别在,x y 正半轴（含原点O ）上运动，,P Q 分别是,AC AB 的中点，则||OP OQOQ ⋅的取值范围是______．题型四：数列一、单选题1．（2022·江西·上饶市第一中学二模（文））等比数列{}n a 中，若59a =，则3436log log a a +=（）A ．2B ．3C ．4D ．92．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室三模（理））已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，且100S =，36218S S =+，则1a =（） A ．1 B ．9- C ．10 D ．10-3．（2021·全国·模拟预测）我国明代著名乐律学家、明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出的十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个c 键到下一个1c 键的8个白键与5个黑键（如图）的音频恰成一个公比为1221c 的频率正好是中音c 的2倍.已知#d 的频率为1f ，1a 的频率为2f ，则21:f f =（）A ．7122B ．7122-C 2D 2二、双空题4．（2022·福建泉州·模拟预测）已知数列{}n a 的通项公式是21n a n =-，记m b 为{}n a 在区间)()*,2mm m ⎡∈⎣N 内项的个数，则6b=___________，不等式12022m m b b +->成立的m 的最小值为___________.三、解答题5．（2022·山东泰安·一模）已知各项均为正数的等差数列{}n a ，25a =，12a ，3a ，52a +成等比数列.(1)求{}n a 的通项公式；(2)设数列{}n b 满足()311n bn a -=，n T 为数列{}n b 的前n 项和，n *∈N ，求证：131log n n a T a +<.6．（2021·全国·模拟预测）已知数列{}2nn a -是公差为2的等差数列，数列{}21n a n -+是公比为2的等比数列． (1)求数列{}n a 的通项公式； (2)记()()111232n n n b n a ++=+-，且n T 为数列{}n b 的前n 项和，求证：16n T <．7．（2020·北京·模拟预测）在数列的每相邻两项之间插入此两项之和的相反数，形成新的数列，这样的操作称为该数列的一次“Ω扩展”．已知数列0A ：1，2，3，该数列经过n 次“Ω扩展”后得到数列n A ：1，1x ，2x ，…，m x ，3，数列n A 的所有项之和为n S ．（1）写出数列1A ，2A ；（2）求1S ，2S 的值；（3）求数列n S 的前n 项和公式．8．（2021·天津和平·三模）已知{}n a 是各项都为整数的等比数列，{}n b 是等差数列，111a b ==，23522a a =+，22a b =.（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设1n k k a =∏表示数列{}n a 的前n 项乘积，即1231nk n k a a a a a ==⋅⋅⋅∏，*n ∈N .（ⅰ）求1nk k a =∏；（ⅱ）若数列{}n c 的前n 项和为n S ，且1nn k k c b n ==∏，求证：111n n cS n +-=+.9．（2022·浙江·模拟预测）已知数列{}n a 的首项为正数，其前n 项和n S 满足82343n n n nS a S a =--．(1)求实数λ的值，使得{}2n S λ+是等比数列；(2)设13n n n n b S S +=，求数列{}2n b 的前n 项和．.10．（2021·北京·高考真题）设p 为实数.若无穷数列{}n a 满足如下三个性质，则称{}n a 为p ℜ数列：①10a p +≥，且20a p +=； ②414,1,2,n n a a n -<=⋅⋅⋅()；③{},1m n m n m n a a a p a a p +∈+++++，(),1,2,m n =⋅⋅⋅．（1）如果数列{}n a 的前4项为2，-2，-2，-1，那么{}n a 是否可能为2ℜ数列？说明理由；（2）若数列{}n a 是0ℜ数列，求5a ；（3）设数列{}n a 的前n 项和为n S .是否存在p ℜ数列{}n a ，使得10n S S ≥恒成立？如果存在，求出所有的p ；如果不存在，说明理由．11．（2020·浙江金华·模拟预测）已知数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n A ，n B ，11a =，且12,n n n A a a +=1n n b B +=.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）令1122n n n T a b a b a b =+++，若对任意的*n N ∈.不等式()223n n n n nT b A n b λλ+<+恒成立，试求实数λ的取值范围.12．（2022·江苏苏州·模拟预测）知数列{}n a 满足：13a =，21224n n n a a a +=-+.（1）求证：1n n a a +>；（2）求证：()*12321111113nnn N a a a a ⎛⎫-≤++++<∈ ⎪⎝⎭13．（2021·北京八十中模拟预测）对于无穷数列{}n a 、{}n b ，*n N ∈，若{}{}1212max ,,,min ,,,k k k b a a a a a a =-，*k N ∈，则称数列{}n b 是数列{}n a 的“收缩数列”，其中{}12max ,,,k a a a 、{}12min ,,,k a a a 分别表示12,,,k a a a 中的最大项和最小项．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{}n b 是数列{}n a 的“收缩数列”．（Ⅰ）写出数列31n a n =-的“收缩数列”；（Ⅱ）证明：数列{}n b 的“收缩数列”仍是{}n b ；（Ⅲ）若()()()121111,2,3,22n n n n n n S S S a b n +-+++=+=，求所有满足该条件的数列{}n a ．题型五:空间向量与立体几何一、单选题1．（2022·四川省泸县第二中学模拟预测（理））在三棱锥A BCD -中，2AB AD BC ===，13CD =22AC =3BD =，则三棱锥外接球的表面积为（） A ．927πB ．9πC ．1847πD ．18π2．（2021·四川·成都七中一模（文））在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点1P ，2P 分别是线段AB ，1BD （不包括端点）上的动点，且线段12PP 平行于平面11A ADD ，则四面体121PP AB 的体积的最大值为（）A ．2B 3C ．13D ．433．（2020·浙江金华·模拟预测）已知四面体ABCD 中，棱AD ，BC 所在直线所成角为60︒，且1AD =， 2BC =，60ACD ∠=︒，面BAD 和面ACD 所成的锐二面角为α，面BAC 和面ACD 所成的锐二面角为β，当四面体ABCD 的体积取得最大值时（）. A ．αβ=B ．αβ<C ．αβ>D ．不能确定4．（2020·浙江浙江·一模）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，AP ⊥平面PCD ，PA PD =，点E 为线段PD 的动点．记BE 与AP 所成角的最小值为α，当E 为线段PD中点时，二面角P BC E --的大小为β，二面角E BC D --的大小为γ，则α，β，γ的大小关系是（）A ．αβγ>>B ．αγβ>>C ．αβγ>=D ．γαβ>>二、填空题5．（2022·重庆·二模）无穷符号∞在数学中是一个重要的符号，该符号的引入为微积分和集合论的研究带来了便利，某校在一次数学活动中以无穷符号为创意来源，设计了如图所示的活动标志，该标志由两个半径分别为15和20的实心小球相交而成，球心距1225O O =，则该标志的体积为___________.附：一个半径为R 的球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高（记为H ），球缺的体积公式为2π3H V H R ⎛⎫=- ⎪⎝⎭.6．（2021·四川攀枝花·二模（文））三棱柱111ABC A B C -中，侧面与底面垂直，底面是边长为2的正三角形，AC 的中点为D ，若直线1AB 与1C D 所成的角为30，则棱柱的高为__________.7．（2020·湖南·雅礼中学模拟预测（文））在已知长方体1111ABCD A B C D -中，11CC BC ==，6AB =E 为棱11D C 上一点且11EC =，点P 为线段1B C 上的动点，则1A P PE +的最小值为________.8．（2020·湖北武汉·模拟预测（理））已知正四棱锥P ABCD -的底面边长为326PA =，E 为侧棱PB 上一点且12PE EB =，在PAC △内（包括边界）任意取一点F ，则BF EF +的取值范围为__________.三、解答题9．（2022·四川泸州·二模（文））已知空间几何体ABCDE 中，ABC ，ECD 是全等的正三角形，平面ABC ⊥平面BCD ，平面ECD ⊥平面BCD .(1)若222BD BC ==BC ED ⊥；(2)探索A ，B ，D ，E 四点是否共面？若共面，请给出证明；若不共面，请说明理由.题型六：解析几何一、单选题1．（2022·河南洛阳·一模（文））已知双曲线221x y -=的左、右焦点分别为1F ，2F ，点A 在双曲线上且120AF AF ⋅=，若12AF F △的内切圆的半径为（）A 32B 32C 31D 312．（2021·四川成都·一模（文））已知双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线方程为2y x =，则该双曲线的离心率为（）A 5B 3C ．2D ．33．（2020·陕西西安·二模（理））已知双曲线22221x y a b -=（0a >，0b >）的右焦点为(4,0)F ，P 为双曲线左支上的动点，设点(0,3)Q -且PQF △的周长最小值为16，则双曲线的渐近线方程为（） A ．7y = B ．7y x = C ．7y x = D ．7y = 4．（2021·宁夏大学附属中学一模（文））已知抛物线C :()220x py p =>的焦点为F ，P为抛物线C 上的一点，过PF 的中点M 作x 轴的垂线，垂足为N ，且30FPN ∠=︒，2FN =，则p 的值是（）A ．1B ．2C ．3D ．45．（2022·河南·一模（文））已知点P 是双曲线22:1169x y E -=的右支上一点，12,F F 为双曲线E 的左､右焦点，12F PF △的面积为20，则下列说法正确的是（） ①点P 的横坐标为203②12F PF △的周长为803③12F PF △的内切圆半径为1 ④12F PF △的内切圆圆心横坐标为4 A ．②③④B ．①②④C ．①②③D ．①②二、多选题6．（2022·重庆实验外国语学校一模）已知抛物线1C ：28y x =的焦点F 与双曲线2C ：2212x y t-=的右焦点重合，且1C 与2C 交于A ，B 两点，则下列说法正确的是（） A ．双曲线的离心率2e =B 2 C ．632AF =+D ．在抛物线上存在点P 使得PAB △为直角三角形三、双空题7．（2021·贵州·模拟预测（理））Cassini 卵形线是由法国天文家Jean-DominiqueCassini(1625-1712)引入的.卵形线的定义是：线上的任何点到两个固定点1S ，2S 的距离的乘积等于常数2b .b 是正常数，设1S ，2S 的距离为2a ，如果a b <，就得到一个没有自交点的卵形线；如果a b =，就得到一个双纽线；如果a b >，就得到两个卵形线.若()11,0S -，()21,0S .动点P 满足121PS PS ⋅=.则动点P 的轨迹C 的方程为___________；若'A 和A 是轨迹C 与x 轴交点中距离最远的两点，则'APA △面积的最大值为___________.四、填空题8．（2021·黑龙江·大庆教师发展学院二模（文））已知抛物线22(0)y px p =>，圆22()12px y -+=与y 轴相切，斜率为k 的直线过抛物线的焦点与抛物线交于A ，D 两点，与圆交于B ，C 两点(A ，B 两点在x 轴的同一侧)，若4AB CD =，则k 的值为___________.9．（2021·江西·三模（理））已知圆C 的方程为()2211x y -+=，P 是椭圆22143x y +=上一点，过点P 作圆C 的两条切线，切点分别为A 和B ，则PA PB ⋅的最小值是___________10．（2021·河南开封·三模（理））在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线21y x x=+(0)x >上的一个动点，则点P 到直线y x =的距离的最小值是____________.11．（2020·安徽·合肥市第六中学模拟预测（理））已知1F ，2F 分别为双曲线22:1927x y C -=的左右焦点，点A 为双曲线C 上一点，12F AF ∠的平分线AM 交x 轴于点()2,0M ，则AM =___________．五、解答题12．（2020·黑龙江·哈尔滨市第一中学校一模（理））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的长轴长为4，左、右顶点分别为M 、N ，点G 是椭圆上异于左、右顶点的动点，直线GM 、GN 的斜率分别为GM k 和GN k ，且1·2GM GN k k =-．（1）求椭圆C 的方程；（2）直线1:(2)y k x =与椭圆相交于A ，B 两点，点(,0)P m ，若x 轴是APB ∠的角平分线，求P 点坐标．13．（2020·山西·三模（理））已知抛物线2:2(0)C x py p =>，直线1:22l y x =-，过点()1,2P 作直线与C 交于A ，B 两点，当//AB l 时，P 为AB 中点.（1）求C 的方程；（2）作AA l '⊥，BB l '⊥，垂足分别为A '，B '两点，若BA '与AB '交于Q ，求证：////PQ AA BB ''.14．（2020·福建·模拟预测（理））已知定点()0,1F ，P 为x 轴上方的动点，线段PF 的中点为M ，点,P M 在x 轴上的射影分别为,A B ，PB 是APF ∠的平分线，动点P 的轨迹为E . （1）求E 的方程；（2）设E 上点Q 满足PQ PB ⊥，Q 在x 轴上的射影为C ，求AC 的最小值.15．（2020·新疆·三模（理））已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>右焦点为()2,0F ，P 为椭圆上异于左右顶点A ，B 的一点，且PAB △面积的最大值为35. （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线AP 与直线x a =交于点Q ，线段BQ 的中点为M ，证明直线FM 平分PFB ∠.16．（2020·陕西·模拟预测（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点E 2，1），其左、右顶点分别为A 、B ，且离心率2e = 求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）设M （x 0，y 0）为椭圆C 上异于A ，B 两点的任意一点，直线l ：x 0x +2y 0y ﹣4＝0．证明：直线l 与椭圆C 有且只有一个公共点．17．（2022·甘肃·二模（文））已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的左焦点与短轴两端点的连线及短轴构成等边三角形，且椭国经过点31,M ⎛ ⎝⎭. (1)求椭圆E 的方程； (2)不经过点M 的直线()30y m m +≠与椭圆E 相交于A ，B 两点，A 关于原点的对称点R ，直线MR ，MB 与y 轴分别交于P ，Q 两点，求证：MP MO =.18．（2021·河南·正阳县高级中学模拟预测（理））已知抛物线E ：()220x py p =>的焦点为F ，点P 在E 上，直线l ：20x y --=与E 相离．若P 到直线l 的距离为d ，且PF d +的最小值为322．过E 上两点,A B 分别作E 的两条切线，若这两条切线的交点M 恰好在直线l 上．（1）求E 的方程；（2）设线段AB 中点的纵坐标为n ，求证：当n 取得最小值时，MA MB ⊥．19．（2021·广东·普宁市普师高级中学模拟预测）已知双曲线22221x y a b -=（其中0a >，0b >），点(),0A a ，()0,B b -23AB 3（1）求双曲线的方程；（2）已知直线()50y kx k =+≠交双曲线于C 、D 两点，且C 、D 都在以B 为圆心的圆上，求k 的值.20．（2022·江苏南京·模拟预测）已知椭圆1C ：()222210x y a b a b +=>>3圆1C 的上顶点与抛物线2C ：()220x py p =>的焦点F 重合，且抛物线2C 经过点()2,1P ，O 为坐标原点．（1）求椭圆1C 和抛物线2C 的标准方程；（2）已知直线l ：y kx m =+与抛物线2C 交于A ，B 两点，与椭圆1C 交于C ，D 两点，若直线PF 平分APB ∠，四边形OCPD 能否为平行四边形？若能，求实数m 的值；若不能，请说明理由．21．（2020·浙江·模拟预测）如图，点()1,2A .B 是抛物线24y x =上一点，且在A 点的右上方.在x 轴上取一点C ，使得245ACO BAC ∠=∠+︒.射线AC 交抛物线于D 点，抛物线在两点B ，D 处切线交于点P .（1）若AB AC ⊥，求B 点的坐标；（2）记PAD △面积为1S ，PAB △面积为2S ，求12S S -的最大值.22．（2020·浙江·衢州二中模拟预测）已知抛物线2:4y x Γ=，焦点为F ，过Γ外一点Q （不在x 轴上），作Γ的两条切线，切点分别为A ，B ，直线QA ，QB 分别交y 轴于C ，D 两点，记QAB 的外心为M ，FCD 的外心为T ．（1）若5AF =，求线段CF 的长度；（2）当点Q 在曲线()221042y x x +=<上运动时，求TF TM ⋅的最大值．题型七：计数原理一、单选题1．（2020·黑龙江·哈尔滨市第六中学校三模（理））在12202011x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭的展开式中, 2x 项的系数为 A ．10B ．25C ．35D ．662．（2018·浙江·杭州高级中学模拟预测）若52345012345(21)(1)(1)(1)(1)(1)x a a x a x a x a x a x +=++++++++++，则4a =（）．A ．32-B ．32C ．80-D ．80二、双空题3．（2020·浙江·镇海中学模拟预测）281(1)()x x x x-++的展开式的各项系数和为__________;常数项为__________．4．（2020·浙江·衢州二中模拟预测）已知()72801281241tx x a a x a x a x x x ⎛⎫+-=+++++ ⎪⎝⎭，则t =__________；812028222a a a a ++++=__________．三、填空题5．（2019·云南曲靖·二模（理））若二项式(1)n ax +的展开式中，3x 的二项式系数为10，该项系数为－80，则4x 的系数为______.6．（2019·安徽·合肥一六八中学模拟预测（理））在6211x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中常数项是___________________四、解答题7．（2020·江苏江苏·模拟预测）对一个量用两种方法分别算一次，由结果相同而构造等式，这种方法称为“算两次”的思想方法.利用这种方法，结合二项式定理，可以得到很多有趣的组合恒等式. （1）根据恒等式()()()()*111,m nmnx x x m n ++=++∈N 两边p x 的系数相同直接写出一个恒等式，其中,,p p m p n ∈≤≤N ；（2）设*,,,,m n p p m p n ∈∈≤≤N N ，利用上述恒等式证明：()1112C CC C 1C C pp i p i p pnm n n m m n m i i --+-+=--=-∑.题型八：统计与概率一、填空题1．（2019·海南·三模（理））公元前6世纪的毕达哥拉斯是最早研究“完全数”的人.完全数是一种特殊的自然数，它所有的真因子（即除了自身以外的约数）的和恰好等于它本身.若从集合{}1,6,24,28,36中随机抽取两个数，则这两个数中有完全数的概率是______.二、解答题2．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室三模（理））有一种速度叫中国速度，有一种骄傲叫中国高铁.中国高铁经过十几年的发展，取得了举世瞩目的成就，使我国完成了从较落后向先进铁路国的跨越式转变.中国的高铁技术不但越来越成熟，而且还走向国外，帮助不少国家修建了高铁.高铁可以说是中国一张行走的名片.截至到2020年，中国高铁运营里程已经达到3.9万公里.下表是2013年至2020年中国高铁每年的运营里程统计表，它反映了中国高铁近几年的飞速发展：年份 2013 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020 年份代码x12 3 4 5 6 7 8 运营里程(y 万公里) 1.3 1.61.92.22.52.93.53.9根据以上数据，回答下面问题.（1）甲同学用曲线y =bx +a 来拟合，并算得相关系数r 1=0.97，乙同学用曲线y =cedx 来拟合，并算得转化为线性回归方程所对应的相关系数r 2=0.99，试问哪一个更适合作为y 关于x 的回归方程类型，并说明理由；（2）根据（1）的判断结果及表中数据，求y 关于x 的回归方程(系数精确到0.01).参考公式：用最小二乘法求线性回归方程的系数公式：121()()ˆˆ,()niii nii x x y y ba y bxx x ==--==--∑∑；参考数据：882112.48,()()15.50,()42.00,i i i i i y x x y y x x ===--=-=∑∑令()()()8820.1411ln ,0.84, 6.50, 1.01, 1.15.i i i i i w y w x x w w w w e ====--=-==∑∑3．（2020·河北正中实验中学模拟预测（理））某公交公司分别推出支付宝和微信扫码支付乘车活动，活动设置了一段时间的推广期，由于推广期内优惠力度较大，吸引越来越多的人开始使用扫码支付.某线路公交车队统计了活动刚推出一周内每一天使用扫码支付的人次，用x 表示活动推出的天数，y 表示每天使用扫码支付的人次（单位：十人次），统计数据如表1所示：表1：x 1 23 4 5 67y 6 11 21 34 66 101 196根据以上数据，绘制了散点图.（1）根据散点图判断，在推广期内，y a bx =+与x y c d =⋅（,c d 均为大于零的常数）哪一个适宜作为扫码支付的人次y 关于活动推出天数x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）.（2）根据（1）的判断结果及表1中的数据，建立y 关于x 的回归方程，并预测活动推出第8天使用扫码支付的人次.（3）推广期结束后，为更好的服务乘客，车队随机调查了100人次的乘车支付方式，得到如下结果：表2支付方式现金乘车卡扫码人次 10 60 30已知该线路公交车票价2元，使用现金支付的乘客无优惠，使用乘车卡支付的乘客享受8折优惠，扫码支付的乘客随机优惠，根据调查结果发现：使用扫码支付的乘客中有5名乘客享受7折优惠，有10名乘客享受8折优惠，有15名乘客享受9折优惠.预计该车队每辆车每个月有1万人次乘车，根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，在不考虑其他因素的条件下，按照上述收费标准，试估计该车队一辆车一年的总收入. 参考数据：yv71i ii x y=∑71i ii x v=∑0.541062.14 1.54 2535 50.12 3.47其中11lg ,7ni i i i v y v v ===∑.参考公式：对于一组数据()()()122,,,,,,i n n u v u v u v ，其回归直线v u αβ=+的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：()()()1122211ˆˆˆ,n niii ii i nni ii i u u v v u v nu vv u u u unu βαβ====---⋅===---∑∑∑∑.4．（2019·内蒙古包头·二模（理））一只红玲虫的产卵数y 和温度t 有关.现收集了7组观测数据如下表: 温度/t C ︒21 23 25 27 29 3235产卵数y /个 7 11 21 24 66 115 325 为了预报一只红玲虫在40︒时的产卵数，根据表中的数据建立了y 与t 的两个回归模型.模型①:先建立y 与t 的指数回归方程(1)0.272 3.849t y e -=，然后通过对数变换ln u y =，把指数关系变为u 与t 的线性回归方程:(1)0.272 3.849u t =-；模型②:先建立y 与t 的二次回归方程(2)20.367202.543y t =-，然后通过变换2x t =，把二次关系变为y 与x 的线性回归方程:(2)0.367202.543yx =-.（1）分别利用这两个模型，求一只红玲虫在40︒时产卵数的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.（参考数据:模型①的残差平方和11550.538Q =，模型①的相关指数210.98R =；模型②的残差平方和215448.431Q =，模型②的相关指数220.8R =；7.0311131e =，71096e =，82981e =；ln7 1.946=，ln11 2.398=，ln 21 3.045=，ln 24 3.178=，ln66 4.190=，ln115 4.745=，ln325 5.784=）。

2024高考数学全国甲卷解析(文科)(1)

2024年普通高等学校招生全国统一考试全国甲卷文科数学使用范围:陕西、宁夏、青海、内蒙古、四川注意事项:1.答题前,务必将自己的姓名、考籍号填写在答题卡规定的位置上.2.答选择题时,必须使用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号.3.答非选择题时,必须使用0.5毫米黑色签字笔,将答案书写在答题卡规定的位置上.4.所有题目必须在答题卡上作答,在试题卷上答题无效.5.考试结束后,只将答题卡交回.一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.集合{}{}1,2,3,4,5,9,1A B x x A ==+∈∣,则()A B ⋂=A {}1,2,3,4B {}1,2,3,4C {}1,2,3,4D {}1,2,3,4【答案】A【解析】因为{}{}{}1,2,3,4,5,9,10,1,2,3,4,8A B x x A ==+∈=∣,所以A {}1,2,3,4B ⋂=,故选(A ). 【难度】基础题【关联题点】集合运算、交集 2.设z =则()z z ⋅=A .iB .1C .-1D .2【答案】D【解析】因为z =,所以2z z ⋅=,故选D .【难度】基础题【关联题点】复数运算、共轭复数3.若,x y 满足约束条件4330,220,2690,x y x y x y --≥⎧⎪--≤⎨⎪+-≤⎩则5z x y =-的最小值为A .12B .0C .52-D .72-【答案】D【解析】将约束条件两两联立可得3个交点:()30,1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭、和13,2⎛⎫ ⎪⎝⎭,经检验都符合约束条件.代入目标函数可得:min 72z =-,故选D . 【难度】基础题【关联题点】线性规划、约束条件4.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若()9371,S a a =+=A -2 B73 C 1D29【答案】D【解析】令0d =,则9371291,,99n n S a a a a ===+=,故选D . 【难度】基础题【关联题点】等差数列、通项公式5.甲、乙、丙、丁四人排成一列,丙不在排头,且甲或乙在排尾的概率是() A14B13C12D23【答案】B【解析】甲、乙、丙、丁四人排成一列共有24种可能.丙不在排头,且甲或乙在排尾的共有8种可能,81243P ==,故选B . 【难度】基础题【关联题点】计数原理、特殊位置法6.已知双曲线的两个焦点分别为()()0,4,0,4-,点()6,4-在该双曲线上,则该双曲线的离心率为 A .4 B .3C .2D .2【答案】C 【解析】12212F F c e a PF PF ===-,故选C . 【难度】中档题【关联题点】双曲线、离心率、圆锥曲线定义7.曲线()63f x x x =+在()0,1-处的切线与坐标轴围成的面积为()A16B32C12【答案】A【解析】因为563y x '=+,所以1113,31,1236k y x S ==-=⨯⨯=,故选(A ). 【难度】基础题【关联题点】导数应用、切线8.函数()()2e esin xxf x x x -=-+-的大致图像为()ABCD【答案】B【解析】()()()()22-ee sin()e e sin xx x x f x x x x x f x --=-+--=-+-=，所以()f x 是偶函数，图像关于y 轴对称，又因为2()0()22n n f n Z ππ⎛⎫=-<∈ ⎪⎝⎭，观察图像知选B 【难度】中档题【关联题点】函数的奇偶性、函数图像9.已知cos cos sin ααα=-则()tan 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭A .1B 1C D 1【答案】B【解析】因为cos cos sin ααα=-所以tan 1tan 1tan 141tan παααα+⎛⎫=+== ⎪-⎝⎭,故选B .【难度】基础题【关联题点】三角恒等变化、两角和与差的正切公式10.找不到题目11.已知已知m n 、是两条不同的直线,αβ、是两个不同的平面:①若,m n αα⊥⊥,则//m n ;②若,//m m n αβ⋂=,则//n β;③若//,//,m n m αα与n 可能异面,也可能相交,也可能平行;④若,m n αβ⋂=与α和β所成的角相等,则m n ⊥,以上命题是真命题的是()(A )①③B 23C ①②③D ①③④ 【答案】A【解析】//m n 一定有//n α或//n β，(1)对αβ⊥时m n ⊥也有可能，n α⊂或n β⊂，(2)错.//n α且//n β一定有//m n ,(3)对n 与,αβ所成角相等，有可能，//m n ，(4)错，选A .【难度】中档题【关联题点】立体几何线面关系、线面关系的判定12.在ABC 中,内角,,A B C 所对边分别为,,a b c ,若3B π=,294b ac =,则()sin sin A C += A32C2D2【答案】C 【解析】因为29,34B b ac π==,所以241sin sin sin 93A CB ==.由余弦定理可得:222b a c =+94ac ac -=,即:2222131313,sin sin sin sin 4412a c ac A C A C +=+==,所以()222sin sin sin sin A C A C +=+72sin sin ,sin sin 4A C A C +=+=故选C .【难度】中档题【关联题点】余弦定理、解三角形二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.二项式1013x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中系数的最大值是___.【答案】5【解析】1013x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式第1r +项系数1013rr C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，令第1r +项系数最大则11101011101011331133rr r r r r r r C C C C --++⎧⎛⎫⎛⎫≥⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎛⎫⎪≥ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎩,711,244r r ≤≤∴=,系数最大为2210153C ⎛⎫= ⎪⎝⎭.【难度】中档题【关联题点】二项式系数、组合数14.函数()sin f x x x =在[]0,π上的最大值是___. 【答案】2【解析】()sin 2sin 23f x x x x π⎛⎫==-≤ ⎪⎝⎭,当且仅当56x π=时取等号. 【难度】中档题【关联题点】三角函数图像与性质、辅助角公式15.已知81151,log log 42a a a >-=-,则a =___. 【答案】64 【解析】因为284211315log log log log 22a a a a -=-=-, 所以()()22log 1log 60a a +-=,而1a >,故2log 6,64a a ==. 【难度】中档题【关联题点】一元二次方程、对数运算16.曲线33y x x =-与()21y x a =--+在()0,∞+上有两个不同的交点,则a 的取值范围为___.【答案】()2,1-【解析】令()2331x x x a -=--+,则()2331a x x x =-+-,设()()()2331,x x x x x ϕϕ=--'+()()()351,x x x ϕ=+-在()1,∞+上递增,在()0,1上递减.因为曲线33y x x =-与(y x =-21)a -+在()0,∞+上有两个不同的交点,()()01,12ϕϕ==-,所以a 的取值范围为(2-,1). 【难度】较难题【关联题点】三次函数、导数、函数零点三、解答题:共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.第17题~第21题为必考题,每个考题考生必须作答.第22、23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:共60分.17.(12分)已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,且1233n n S a +=-. (1)求{}n a 的通项公式; (2)求数列{}n S 的通项公式. 【答案】见解析. 【解析】(1)因为1233n n S a +=-,所以12233n n S a ++=-, 两式相减可得:1223n n a a ++=-13n a +,即:2135n n a a ++=,所以等比数列{}n a 的公比53q =,又因为12123353S a a =-=-,所以1151,3n n a a -⎛⎫== ⎪⎝⎭;(2)因为1233n n S a +=-,所以()133511223nn n S a +⎡⎤⎛⎫=-=-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦.【难度】中档题【关联题点】数列通项公式、前n 项和与通项公式的关系18.(12分)某工厂进行生产线智能化升级改造.升级改造后,从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验,数据如下:(1)填写如下列联表:能否有95%99%的把握认为甲、乙两车间产品的估级品率存在差异?(2)已知升级改造前该工厂产品的优级品率0.5p =.设p 为升级改造后抽取的n 件产品的优级品率.如果p p >+,则认为该工厂产品的优级品率提高了.根据抽取的150件产品的数据,能否认为生产线智能化升级改造后,该工厂产品的优级品率提高了?)12.247≈附:()()()()()()2220.0500.0100.010, 3.8416.63510.828P K k n ad bc K a b c d a c b d k ≥-=++++【答案】见解析.【解析】()()22150702426301 6.635965450100χ⨯-⨯=<⨯⨯⨯,没有99%的把握;(2)96160.6415025p === ()11112221.650.5 1.650.5 1.650.56715012.247p p p n ⨯-+=+⋅≈+⨯≈()11.65,p p p p n->+∴可以认为升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.【难度】中档题【关联题点】独立性检验、概率19.(12分)如图,已知//,//,2AB CD CD EF AB DE EF CF ====,4,10,23,CD AD BC AE M ====为CD 的中点.(1)证明://EM 平面BCF ; (2)求点M 到ADE 的距离. 【答案】见解析【解析】(1)由题意://,EF CM EF CM =,而CF 写平面,ADO EM 平面ADO ,所以EM //平面BCF ;(2)取DM 的中点O ,连结,OA OE ,则,,3,3OA DM OE DM OA OE ⊥⊥==,而23AE =,故23,3AOEOA OE S⊥=. 因为2,10DE AD ==,所以,10.AOEAD DE S DM ⊥=设点M 到平面ADE 的距离为h , 所以**1143230,33510M ADE ADEAOEV S h SDM h -====, 故点M 到ADE 的距离为2305. 【难度】中档题【关联题点】立体几何、空间向量、点到面的距离20.(12分)已知函数()()1ln 1f x a x x =--+. (1)求()f x 的单调区间;(2)若2a ≤时,证明:当1x >时,()1e x f x -<恒成立. 【答案】见解析【解析】()()()()111ln 1,,0ax f x a x x f x x x-=--+'=>. 若()()0,0,a f x f x ≤<的减区间为()0,∞+,无增区间; 若0a >时,当10x a<<时,()0f x '<, 当1x a >时,()0f x '>,所以()f x 的减区10,a ⎛⎫ ⎪⎝⎭,增区间为1,a ∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭; (2)因为2a ≤,所以当1x >时,()()111e e 1ln 1e 2ln 1x x x f x a x x x x ----=--+-≥-++.令()g x 1e2ln 1x x x -=-++,则()11e 2x g x x-=-+'.令()()h x g x =',则()121e x h x x-=-'在()1,∞+上递增,()()10h x h '>=',所以()()h x g x ='在()1,∞+上递增,()()10g x g '>=',故()g x 在()1,∞+上递增,()()10g x g >=,即:当1x >时,()1e x f x -<恒成立.【难度】较难题【关联题点】函数极值、导数、导数解不等式21.(12分)已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点为F ,点(1M ,32⎫⎪⎭在椭圆C 上,且MF x ⊥轴.(I )求椭圆C 的方程;(2)()4,0P ,过P 的直线与椭圆C 交于,A B 两点,N 为FP 的中点,直线NB 与MF 交于Q ,证明:AQ y ⊥轴. 【答案】见解析【解析】(1)设椭圆C 的左焦点为1F ,则132,2F F MF ==.因为MF x ⊥轴,所以 1MF 15,242a MF MF ==+=,解得:2224,13a b a ==-=,故椭圆C 的方程为:22143x y +=;(2)解法1:设()()1122,,,,A x y B x y AP PB λ=,则12124101x x y y λλλλ+⎧=⎪+⎪+=⎨⎪+⎪⎩,即212144x x y y λλλ=+-⎧⎨=-⎩.又由()()22112222234123412x y x y λλλ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩ 可得:1212121234121111x x x x y y y y λλλλλλλλ+-+-⋅⋅+⋅⋅=+-+-,结合上式可得:5λ-2230.x λ+=,则222122335252Q y y y y y x x λλλλ===-=--,故AQ y ⊥轴.解法2:设()()1122,,,A x y B x y ,则12124444x x y y ---=-,即:()1221214x y x y y y -=-,所以(12x y -)()()()222222221221122112212121214444433y y x y x y x y x y x y y y y y y y ⎛⎫⎛⎫+=-=+-+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()2112214,y y x y x y =-+即:1221212112,253.x y x y y y x y y y +=+=-, 则2122112335252Q y y y y x y y x ==--1y =,AQ y ⊥轴.【难度】较难题【关联题点】解析几何、圆锥曲线、韦达定理(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答,并用2B 铅笔将所选题号涂黑,多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分.22.[选修4-4:坐标系与参数方程](10分)在平面直角坐标系xOy 中,以坐标原点O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C 的极坐标方程为ρ=cos 1ρθ+.(1)写出C 的直角坐标方程; (2)直线(x tt y t a =⎧⎨=+⎩为参数)与曲线C 交于A B 、两点,若2AB =,求a 的值.【答案】见解析.【解析】(1)因为cos 1ρρθ=+,所以()22cos 1ρρθ=+,故C 的直角坐标方程为:22(x y x +=21)+,即:221y x =+;(2)将x t y t a=⎧⎨=+⎩代入221y x =+可得:()222110,2t a t a AB +-+-====,解得:34a =. 【难度】基础题【关联题点】极坐标、参数方程23.[选修4-5:不等式选讲](10分)实数,a b 满足3a b +≥. (1)证明:2222a b a b +>+; (2)证明:22226a b b a -+-≥. 【答案】见解析.【解析】(1)因为3a b +≥,所以()22222a b a b a b +≥+>+;(2)()222222222222a b b a a b b a a b a b -+-≥-+-=+-+()()()()()2222216a b a b a b a b a b a b =+-+≥+-+=++-≥【难度】较难题【关联题点】基本不等式、绝对值不等式。

2019年高考数学真题分类汇编专题18：数列(综合题含解析)

2019年高考数学真题分类汇编专题18：数列（综合题）一、解答题1.（2019•江苏）定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列”.（1）已知等比数列{a n} 满足：，求证:数列{a n}为“M－数列”；（2）已知数列{b n}满足: ，其中S n为数列{b n}的前n项和．①求数列{b n}的通项公式；②设m为正整数，若存在“M－数列”{c n} ，对任意正整数k，当k≤m时，都有成立，求m的最大值．2.（2019•上海）已知等差数列的公差，数列满足，集合．（1）若，求集合；（2）若，求使得集合恰好有两个元素；（3）若集合恰好有三个元素：，是不超过7的正整数，求的所有可能的值．3.（2019•浙江）设等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=4.a4=S3，数列{b n}满足：对每个n∈N*，S n+b n，S n+1+b n、S n+2+b n成等比数列（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式（2）记C n= ，n∈N*，证明：C1+C2+…+C n＜2 ，n∈N*4.（2019•天津）设是等差数列，是等比数列，公比大于0，已知，，.（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）设数列满足求.5.（2019•天津）设是等差数列，是等比数列.已知.（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）设数列满足其中.（i）求数列的通项公式；（ii）求.6.（2019•卷Ⅱ）已知是各项均为正数的等比数列，，。

（1）求的通项公式；（2）设，求数列{ }的前n项和。

7.（2019•北京）设{a n}是等差数列，a1=-10，且a2+10，a3+8，a4+6成等比数列.（I）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）记{a n}的前n项和为S n，求S n的最小值.8.（2019•卷Ⅱ）已知数列{a n}和{b n}满足a1=1，b1=0，，.（1）证明：{a n+b n}是等比数列，{a n–b n}是等差数列；（2）求{a n}和{b n}的通项公式.9.（2019•北京）已知数列{a n}，从中选取第i1项、第i2项…第i m项（i1<i2<…<i m）.若a i1<a i2<…<a im.则称新数列a i1，a i2，…，a im.为{a n}的长度为m的递增子列.规定：数列{a n}的任意一项都是{a n}的长度为1的递增子列.（I）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；（II）已知数列{a n}的长度为P的递增子列的末项的最小值为a m0，长度为q的递增子列的末项的最小值为a n0，若p<q，求证：a m0<a n0；（III）设无穷数列{a n}的各项均为正整数，且任意两项均不相等。

十年高考数学山东卷精校版含详解——8导数与积分部分

十年高考数学山东卷精校版含详解——8导数与积分部分十年高考数学山东卷精校版含详解——8导数与积分部分一、选择题（共11小题；共55分）1. 直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为A. 22B. 42C. 2D. 42. 由曲线y=x2，y=x3围成的封闭图形面积为A. 112B. 14C. 13D. 7123. 直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为A. 2B. 4C. 2D. 44. 曲线y=x3+11在点P1,12处的切线与y轴交点的纵坐标是A. ?9B. ?3C. 9D. 155. 若函数y=f x的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f x具有T性质．下列函数中具有T性质的是A. y=sin xB. y=ln xC. y=e xD. y=x36. 观察x2?=2x，x4?=4x3，cos x?=?sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f x满足f?x=f x，记g x为f x的导函数，则g?x=A. f xB. ?f xC. g xD. ?g x7. 抛物线C1:y=12p x2p>0的焦点与双曲线C2:x23y2=1的右焦点的连线交C1于第一象限的点M．若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=A. 316B. 38C. 233D. 4338. 函数y=x22sin x的图象大致是A. B.C. D.9. 已知f x是R上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f x=x3?x，则函数y=f x的图象在区间0,6上与x轴的交点的个数为A. 6B. 7C. 8D. 910. 抛物线 C 1:y =12px 2 p >0 的焦点与双曲线 C 2:x 23y 2=1 的右焦点的连线交 C 1 于第一象限的点 M ．若 C 1 在点 M 处的切线平行于 C 2 的一条渐近线，则 p = A. 316B. 38C. 2 33D. 4 3311. 设函数 f x =1x ，g x =?x 2+bx ．若 y =f x 的图象与 y =g x 的图象有且仅有两个不同的公共点 A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则下列判断正确的是A. x 1+x 2>0,y 1+y 2>0B. x 1+x 2>0,y 1+y 2<0C. x 1+x 2<0,y 1+y 2>0D. x 1+x 2<0,y 1+y 2<0二、填空题（共6小题；共30分） 12. 设 a >0，若曲线 y = x 与直线 x =a ，y =0 所围成封闭图形的面积为 a 2，则 a = ． 13.1+tan 75°1?tan 75= .14. 若 limn n +a? n=1 ，则常数 a = ．15. 设函数f x =ax 2+c a ≠0 ．若 f x d x 10=f x 0 ，0≤x 0≤1 ，则 x 0 的值为．16. 若函数 e x f x （e ≈2.71828? 是自然对数的底数）在 f x 的定义域上单调递增，则称函数f x 具有 M 性质．下列函数中所有具有 M 性质的函数的序号为．①f x =2?x ②f x =3?x ③f x =x 3④f x =x 2+2．17. 若函数 f x =a x ?x ?a （a >0，且a ≠1）有两个零点，则实数 a 的取值范围是．三、解答题（共26小题；共338分）18. 设函数 f x =2x 3?3 a ?1 x 2+1，其中a ≥1．（1）求 f x 的单调区间；（2）讨论 f x 的极值．19. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C :x 2a +y 2b =1 a >b >0 的离心率为 22，椭圆 C 截直线y =1 所得线段的长度为 2 2．（1）求椭圆 C 的方程；（2）动直线l :y =kx +m m ≠0 交椭圆 C 于 A ，B 两点，交 y 轴于点 M ．点 N 是 M 关于 O的对称点，⊙N 的半径为∣NO ∣．设 D 为 AB 的中点，DE ，DF 与⊙N 分别相切于点 E ，F ，求∠EDF 的最小值．20. 两县城A和B相距20km，现计划在两县城外以AB为直径的半圆弧AB上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为对城A 与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y．统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在弧AB的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065．（1）将y表示成x的函数；（2）讨论（1）中函数的单调性，并判断弧AB上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小?若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由．21. 设函数f x=ax?a+1ln x+1，其中a≥?1，求f x的单调区间．22. 已知x=1是函数f x=mx3?3m+1x2+nx+1的一个极值点，其中m,n∈R，m<0．（1）求m与n的关系表达式；（2）求f x的单调区间；（3）当x∈?1,1时，函数y=f x的图象上任意一点的切线斜率恒大于3m，求m的取值范围．23. 设函数f x=e xx ?k2x+ln x （k为常数，e=2.71828?是自然对数的底数）．（1）当k≤0时，求函数f x的单调区间；（2）若函数f x在0,2内存在两个极值点，求k的取值范围．24. 设f x=x ln x?ax2+2a?1x，a∈R．（1）令g x=f?x，求g x的单调区间；（2）已知f x在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围．25. 已知函数f x=x2+2cos x，g x=e x cos x?sin x+2x?2，其中e≈2.17828?是自然对数的底数．（1）求曲线y=f x在点π,fπ处的切线方程；（2）令x=g x?af x a∈R，讨论 x的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．26. 已知函数f x=13x3?12ax2，a∈R，（1）当a=2时，求曲线y=f x在点3,f3处的切线方程；（2）设函数g x=f x+x?a cos x?sin x，讨论g x的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．27. 已知f x=a x?ln x+2x?1x2，a∈R．（1）讨论f x的单调性；（2）当a=1时，证明f x>f?x+32对于任意的x∈1,2成立．28. 设函数f x=a ln x+x?1，其中a为常数．x+1（1）若a=0，求曲线y=f x在点1,f1处的切线方程；（2）讨论函数f x的单调性．29. 设函数f x=x ln x?ax2+2a?1x，a∈R．（1）令g x=f?x，求函数g x的单调区间；（2）已知f x在x=1处取得极大值，求实数a的取值范围．+c（e=2.71828?是自然对数的底数，c∈R）．30. 设函数f x=xe（1）求f x的单调区间、最大值；（2）讨论关于x的方程∣ln x∣=f x根的个数．31. 设函数f x=x+a ln x，g x=x2．已知曲线y=f x在点1,f1处的切线与直线2x?y=0平行．（1）求a的值；（2）是否存在自然数k，使得方程f x=g x在k,k+1内存在唯一的根? 如果存在，求出k；如果不存在，请说明理由；（3）设函数m x=min f x,g x（min p,q表示p，q中的较小值），求m x的最大值．32. 某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右立方米，且l≥2r．假设该容器的建造费用仅两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π3与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c c>3千元．设该容器的建造费用为y 千元．（1）写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；（2）求该容器的建造费用最小时的r．33. 设函数f x=ax2+b ln x，其中ab≠0．证明：当ab>0时，函数f x没有极值点；当ab<0时，函数f x有且只有一个极值点，并求出极值．1a∈R．34. 已知函数f x=ln x?ax+1?ax（1）当a=?1时，求曲线y=f x在点2,f2处的切线方程；（2）当a≤1时，讨论f x的单调性．2ax3+bx2+x+3，其中a≠0．35. 已知函数f x=1（1）当a，b满足什么条件时，f x取得极值?（2）已知a>0，且f x在区间0,1上单调递增，试用a表示出b 的取值范围．36. 已知x=1是函数f x=mx3?3m+1x2+nx+1的一个极值点，其中m,n∈R，m≠0．（1）求m与n的关系式；（2）求f x的单调区间．37. 已知函数f x=ln x+ke x（k为常数，e=2.71828?是自然对数的底数），曲线y=f x在点1,f1处的切线与x轴平行．（1）求k的值；（2）求f x的单调区间；（3）设g x=xf?x，其中f?x为f x的导函数．证明：对任意x>0，g x<1+e?2．38. 已知数列a n的首项a1=5，前n项和为S n，且S n+1=2S n+n+5n∈N?．（1）证明数列a n+1是等比数列；（2）令f x=a1x+a2x+?+a n x n，求函数f x在点x=1处的导数f?1并比较2f?1与23n2?13n的大小．39. 已知数列a n的首项a1=5，前n项和为S n，且S n+1=2S n+n+5n∈N?．（1）证明数列a n+1是等比数列；（2）令f x=a1x+a2x2+?+a n x n，求函数f x在点x=1处的导数f?1．40. 已知函数f x=ln x?ax+1?ax1a∈R．（1）当a≤12时，讨论f x的单调性；（2）设g x=x2?2bx+4，当a=14时，若对任意x1∈0,2，存在x2∈1,2，使f x1≥g x2，求实数b的取值范围．41. 设函数f x=ln x+1+a x2?x，其中a∈R．（1）讨论函数f x极值点的个数，并说明理由；（2）若?x>0，f x≥0成立，求a的取值范围．42. 设函数f x=x2+b ln x+1，其中b≠0．（1）当b>12时，判断函数f x在定义域上的单调性；（2）求函数f x的极值点；（3）证明对任意的正整数n，不等式ln1n +1>1n1n都成立．43. 如图，设抛物线方程为x2=2py p>0，M为直线y=?2p上任意一点，过M引抛物线的切线，切点分别为A，B．（1）求证：A，M，B三点的横坐标成等差数列；（2）已知当M点的坐标为2,?2p时，∣AB∣=410．求此时抛物线的方程；（3）是否存在点M，使得点C关于直线AB的对称点D在抛物线x2=2py p>0上，其中，点C满足OC=OA+OB（O为坐标原点）．若存在，求出所有适合题意的点M的坐标；若不存在，请说明理由．答案第一部分 1. D【解析】由 y =4x ,y =x 3得 x =0 或 x =2 或 x =2 （舍）．所以 S = 4x ?x 3 d x 20= 2x 2?14x 4 ∣∣02=4．2. A 【解析】题中所表示阴影部分如图：利用积分即得答案． 3. D 4. C 【解析】因为 y?=3x 2，切点为 P 1,12 ，所以切线的斜率为 3，故切线方程为3x ?y +9=0，令 x =0，得 y =9．5. A【解析】当 y =sin x 时，y?=cos x ，cos0?cos π=?1，所以在函数 y =sin x 图象存在两点 x =0，x =π 使条件成立，则 A 正确；函数 y =ln x ，y =e x ，y =x 3 的导数值均非负，不符合题意． 6. D【解析】由观察可知，偶函数 f x 的导函数 g x 都是奇函数，所以有 g ?x =?g x ．7. D 【解析】由题可知，双曲线右焦点为 F 2,0 ，渐近线方程为 y =± 33x ；抛物线焦点为 F? 0,p 2．设 M x 0,y 0 ，则 y 0=12p x 02．∵k MF?=k FF?，∴12p x 02?p 2x 0=p 22①．又 y?=xp，∴y?∣x =x 0=x 0p=33②．由①②得 p =4 33．8. C【解析】据已知解析式可得 f 0 =0 ，即图象经过坐标原点，故排除 A ；又当x >2π 时， x2>π ，2sin x ≤2 ，即当x >2π 时， f x =x2?2sin x >0 ，故排除 D ；又当x >2π 时， f? x =122cos x 的符号不确定，即函数在区间2π,+∞ 上不单调，故排除B ． 9. B【解析】当0≤x <2 时，由 f x =x 3?x =0 得 x =0 或 x =1，故 f x 在 0,2 上有两个零点．结合函数的周期性，可得函数在0,6 上共有7 个零点，即函数在区间 0,6 内的图象与 x 轴共有 7 个交点． 10. D【解析】设抛物线 C 1 的焦点为 F ，则 F 0,p2 ．设双曲线 C 2 的右焦点为 F 1，则 F 1 2,0 ．直线 FF 1 的方程为 y =?p 4x +p2，设 M x 0,x 022p，因为 M 在直线 FF 1 上，所以 x 022p =?p 4x 0+p2．①因为 y =12p x 2，所以 y?=1p x ，所以 C 1 在 M 点处的切线斜率为 1p x 0，又 x 23?y 2=1 的渐近线方程为y =± 33x ，故由题意得 1p x 0=33,② 将① 、② 联立可得 p =4 33．11. B 【解析】由 f x =g x 得 x 3?bx 2+1=0．因为两个函数图象有且仅有两个不同的公共点，所以不妨设x 3?bx 2+1= x ?x 1 2 x ?x 2 ．展开看对应项系数得 x 12x 2=?1,2x 1x 2+x 12 =0，故 x 2<0，x 1=?2x 2>0．于是有x 1+x 2=?x 2>0,y 1+y 2=1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2<0. 第二部分 12. 49【解析】封闭图形如图所示，则0a x d x =23x 32∣0a =23a 32?0=a 2，解得 a =49． 13. ? 3 14. 2 15. 33【解析】由已知，得 a3+c =ax 02+c ，于是有 x 02=13 ，又0≤x 0≤1 ，故 x 0=33．16. ①④。

专题05 概率与数列、导数交汇问题(解析版)-2024年高考数学复习解答题解题思路训练

1 3
1 6
，
所以数列
Pn
1 3
是以
1 6
为首项，
1 2
为公比的等比数列，
所以
Pn
1 3
1 6
1 2
n
1
，即
Pn
1 6
1 2
n1
1 3
.
（3）由题意， i 次传球后球在乙手中的次数 Yi ，Yi 服从两点分布，且 P Yi 1 1 P Yi 0 Pi ,所以
E Y
E
i
n
Yi
2 3
，
则第 n n 2 号盒子有一个红球和三个白球的概率为1 an1 bn1 ，且
bn1
2 3
bn2
1 2
an2
1 2
1
an2
bn2
n
3
，化解得 bn1
1 6
bn2
1 2
，即可求解.
【详解】（1）由题可知
2
号盒子里有
2
个红球的概率为 P
C12C12 C24
2 3
；
（2）由题可知可取1, 2,3，
所以 E X
E
n i 1
X i
n i 1
pi 1
n i 1
2
3
2 5
i
1
3
2 3
2 5
1
1 2
2 n 5
n 3
n 3
4 9
1
2 5
n
，
5
故甲的总得分的期望为
n 3
4 9
1
2 5
n
【点睛】关键点点睛：本题考查数列与概率的综合问题.关键点在于通过阅读题目得到

专题3-10 导数与数列,导数与概率统计(解析版)2023年高考数学二轮专题全套热点题型

a＝1.
于是
f′(x)＝
1 x
－1＝
1
x
x
，
当 x(0，1)时，f′(x)>0，f(x)为增函数，当 x(1，＋∞)时，f′(x)<0，f(x)为减函数，
即 f(x)的单调递增区间为(0，1)，单调递减区间为(1，＋∞).
(2) 由(1)知 x1(0，＋∞)，f(x1)≤f(1)＝0，即 f(x1)的最大值为 0，由题意知：对∀x1(0，＋∞)，∃x2(－∞，0)使得 f(x1)≤g(x2)成立，只需 f(x)max≤g(x)max.
在区间 ea1,1 单调递减.
又 f ea1 f 1 0 ,与 f x0 恒成立相矛盾.
综上, 实数 a 的取值范围为1, .
(2)
由（1）知当 a 1 时， x 1 x ln x ≤ 0 0 x ≤1
即 ln x ≥ x 1 1 1
x
x
令 x 1 ，则 ln 1 ≥1 n
.............................................................22
题型一：利用放缩通项公式解决数列求和中的不等问题
【典例分析】
例题
1．（2022·全国·高三专题练习）已知正项数列an 满足
a0
0,
a2 n1
an2
2(n
1), n
N
．
(1)求证： an2 an1 ； an1 an
.
4．（2022·湖南张家界·高二期末）已知函数 f x ln x ax 1，其中 a R ．
(1)当 a 1 时，求函数 f (x) 的单调区间；
(2)①若 f x 0 恒成立，求 a 的最小值；

高考数学必考大题题型归纳及例题解析

精品基础教育教学资料，仅供参考，需要可下载使用！高考数学必考大题题型归纳及例题解析高考数学常考的大题分别是三角函数，概率，立体几何，解析几何，函数与导数，数列。

下面就这些题型做出具体分析，并对大题给以典型题型，希望大家仔细研究总结。

1数学高考大题题型有哪些必做题：1.三角函数或数列（必修4，必修5）2.立体几何（必修2）3.统计与概率（必修3和选修2-3）4.解析几何（选修2-1）5.函数与导数（必修1和选修2-2）选做题：1.平面几何证明（选修4-1）2.坐标系与参数方程（选修4-4）3.不等式（选修4-5）1数学高考大题题型归纳一、三角函数或数列数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。

高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏。

有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起。

探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现。

本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法。

近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面;(1)数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式。

(2)数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合。

(3)数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主。

试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大。

二、立体几何高考立体几何试题一般共有4道(选择、填空题3道，解答题1道)，共计总分27分左右，考查的知识点在20个以内。

选择填空题考核立几中的计算型问题，而解答题着重考查立几中的逻辑推理型问题，当然，二者均应以正确的空间想象为前提。

2021届高考数学(理)考点复习：导数与函数的极值、最值(含解析)

2021届高考数学（理）考点复习导数与函数的极值、最值1．函数的极值与导数条件f ′(x 0)＝0x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0图象极值 f (x 0)为极大值 f (x 0)为极小值极值点x 0为极大值点x 0为极小值点2.函数的最值(1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值．(2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．概念方法微思考1．对于可导函数f (x )，“f ′(x 0)＝0”是“函数f (x )在x ＝x 0处有极值”的________条件．(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”) 提示必要不充分2．函数的最大值一定是函数的极大值吗？提醒不一定，函数的最值可能在极值点或端点处取到．1．（2019•新课标Ⅱ）已知函数()(1)1f x x lnx x =---．证明：（1）()f x 存在唯一的极值点；（2）()0f x =有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．【解析】（1）函数()(1)1f x x lnx x =---． ()f x ∴的定义域为(0,)+∞， 11()1x f x lnx lnx x x-'=+-=-，y lnx =单调递增，1y x=单调递减，()f x ∴'单调递增，又f '（1）10=-<，f '（2）1412022ln ln -=-=>， ∴存在唯一的0(1,2)x ∈，使得0()0f x '=．当0x x <时，()0f x '<，()f x 单调递减，当0x x >时，()0f x '>，()f x 单调递增， ()f x ∴存在唯一的极值点．（2）由（1）知0()f x f <（1）2=-，又22()30f e e =->，()0f x ∴=在0(x ，)+∞内存在唯一的根x a =，由01a x >>，得011x a<<， 1111()()(1)10f a f ln a a a a a=---==， ∴1a是()0f x =在0(0,)x 的唯一根，综上，()0f x =有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数．2．（2019•江苏）设函数()()()()f x x a x b x c =---，a ，b ，c R ∈，()f x '为()f x 的导函数．（1）若a b c ==，f （4）8=，求a 的值；（2）若a b ≠，b c =，且()f x 和()f x '的零点均在集合{3-，1，3}中，求()f x 的极小值；（3）若0a =，01b <，1c =，且()f x 的极大值为M ，求证：427M ．【解析】（1）a b c ==，3()()f x x a ∴=-， f （4）8=，3(4)8a ∴-=， 42a ∴-=，解得2a =．（2）a b ≠，b c =，设2()()()f x x a x b =--．令2()()()0f x x a x b =--=，解得x a =，或x b =．2()()2()()()(32)f x x b x a x b x b x b a '=-+--=---．令()0f x '=，解得x b =，或23a bx +=． ()f x 和()f x '的零点均在集合{3A =-，1，3}中，若：3a =-，1b =，则2615333a b A +-+==-∉，舍去． 1a =，3b =-，则2231333a b A +-==-∉，舍去． 3a =-，3b =，则263133a b A +-+==-∉，舍去．． 3a =，1b =，则2617333a b A ++==∉，舍去． 1a =，3b =，则2533a b A +=∉，舍去． 3a =，3b =-，则263133a b A +-==∈，．因此3a =，3b =-，213a bA +=∈，可得：2()(3)(3)f x x x =-+． ()3[(3)](1)f x x x '=---．可得1x =时，函数()f x 取得极小值，f （1）22432=-⨯=-．（3）证明：0a =，01b <，1c =， ()()(1)f x x x b x =--．2()()(1)(1)()3(22)f x x b x x x x x b x b x b '=--+-+-=-++． △22214(1)124444()332b b b b b =+-=-+=-+．令2()3(22)0f x x b x b '=-++=．解得：21111(0,]3b b b x +--+=，2211b b b x ++-+=．12x x <，12223b x x ++=，123b x x =，可得1x x =时，()f x 取得极大值为M ，2111()3(22)0f x x b x b '=-++=，令11(0,]3x t =∈，可得：23221t tb t -=-．43211112()()(1)()(1)21t t t M f x x x b x t t b t t -+-∴==--=--=-， 432261282(21)t t t tM t -+-+'=-．令32()61282g t t t t =-+-+，22()182482(32)0g t t t t '=-+-=--<，∴函数()g t 在1(0,]3t ∈上单调递减，14()039g =>． ()0t g t ∴>．0M ∴'>．∴函数()M t 在1(0,]3t ∈上单调递增，14()()327M t M ∴=． 3．（2018•北京）设函数2()[(31)32]x f x ax a x a e =-+++．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(2，f （2）)处的切线斜率为0，求a ；（Ⅱ）若()f x 在1x =处取得极小值，求a 的取值范围．【解析】（Ⅰ）函数2()[(31)32]x f x ax a x a e =-+++的导数为2()[(1)1]x f x ax a x e '=-++．曲线()y f x =在点(2，f （2）)处的切线斜率为0，可得2(4221)0a a e --+=，解得12a =；（Ⅱ）()f x 的导数为2()[(1)1](1)(1)x x f x ax a x e x ax e '=-++=--，若0a =则1x <时，()0f x '>，()f x 递增；1x >，()0f x '<，()f x 递减． 1x =处()f x 取得极大值，不符题意；若0a >，且1a =，则2()(1)0x f x x e '=-，()f x 递增，无极值；若1a >，则11a<，()f x 在1(a ，1)递减；在(1,)+∞，1(,)a -∞递增，可得()f x 在1x =处取得极小值；若01a <<，则11a >，()f x 在1(1,)a递减；在1(a ，)+∞，(,1)-∞递增，可得()f x 在1x =处取得极大值，不符题意；若0a <，则11a<，()f x 在1(a ，1)递增；在(1,)+∞，1(,)a -∞递减，可得()f x 在1x =处取得极大值，不符题意．综上可得，a 的范围是(1,)+∞．4．（2018•北京）设函数2()[(41)43]x f x ax a x a e =-+++．（Ⅰ）若曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线与x 轴平行，求a ；（Ⅱ）若()f x 在2x =处取得极小值，求a 的取值范围．【解析】（Ⅰ）函数2()[(41)43]x f x ax a x a e =-+++的导数为2()[(21)2]x f x ax a x e '=-++．由题意可得曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线斜率为0，可得(212)0a a e --+=，且f （1）30e =≠，解得1a =；（Ⅱ）()f x 的导数为2()[(21)2](2)(1)x x f x ax a x e x ax e '=-++=--，若0a =则2x <时，()0f x '>，()f x 递增；2x >，()0f x '<，()f x 递减． 2x =处()f x 取得极大值，不符题意；若0a >，且12a =，则21()(2)02x f x x e '=-，()f x 递增，无极值；若12a >，则12a <，()f x 在1(a，2)递减；在(2,)+∞，1(,)a -∞递增，可得()f x 在2x =处取得极小值；若102a <<，则12a >，()f x 在1(2,)a 递减；在1(a，)+∞，(,2)-∞递增，可得()f x 在2x =处取得极大值，不符题意；若0a <，则12a <，()f x 在1(a，2)递增；在(2,)+∞，1(,)a -∞递减，可得()f x 在2x =处取得极大值，不符题意．综上可得，a 的范围是1(2，)+∞．5．（2018•新课标Ⅲ）已知函数2()(2)(1)2f x x ax ln x x =+++-．（1）若0a =，证明：当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >；（2）若0x =是()f x 的极大值点，求a ．【解析】（1）当0a =时，()(2)(1)2f x x ln x x =++-，(1)x >-．()(1)1xf x ln x x '=+-+，2()(1)x f x x ''=+，可得(1,0)x ∈-时，()0f x ''，(0,)x ∈+∞时，()0f x '' ()f x ∴'在(1,0)-递减，在(0,)+∞递增， ()(0)0f x f ∴''=，()(2)(1)2f x x ln x x ∴=++-在(1,)-+∞上单调递增，又(0)0f =．∴当10x -<<时，()0f x <；当0x >时，()0f x >．（2）解：由2()(2)(1)2f x x ax ln x x =+++-，得222(12)(1)(1)()(12)(1)211x ax ax x ax x ln x f x ax ln x x x ++-++++'=+++-=++，令2()(12)(1)(1)h x ax x ax x ln x =-++++， ()4(421)(1)h x ax ax a ln x '=++++．当0a ，0x >时，()0h x '>，()h x 单调递增， ()(0)0h x h ∴>=，即()0f x '>，()f x ∴在(0,)+∞上单调递增，故0x =不是()f x 的极大值点，不符合题意．当0a <时，12()84(1)1ah x a aln x x -''=++++，显然()h x ''单调递减， ①令(0)0h ''=，解得16a =-．∴当10x -<<时，()0h x ''>，当0x >时，()0h x ''<，()h x ∴'在(1,0)-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减， ()(0)0h x h ∴''=，()h x ∴单调递减，又(0)0h =，∴当10x -<<时，()0h x >，即()0f x '>，当0x >时，()0h x <，即()0f x '<，()f x ∴在(1,0)-上单调递增，在(0,)+∞上单调递减， 0x ∴=是()f x 的极大值点，符合题意；②若106a -<<，则(0)160h a ''=+>，161644(1)(21)(1)0a a aah ea e++-''-=--<，()0h x ∴''=在(0,)+∞上有唯一一个零点，设为0x ，∴当00x x <<时，()0h x ''>，()h x '单调递增，()(0)0h x h ∴'>'=，即()0f x '>，()f x ∴在0(0,)x 上单调递增，不符合题意；③若16a <-，则(0)160h a ''=+<，221(1)(12)0h a e e''-=->，()0h x ∴''=在(1,0)-上有唯一一个零点，设为1x ，∴当10x x <<时，()0h x ''<，()h x '单调递减，()(0)0h x h ∴'>'=，()h x ∴单调递增， ()(0)0h x h ∴<=，即()0f x '<，()f x ∴在1(x ，0)上单调递减，不符合题意．综上，16a =-．6．（2017•全国）已知函数32()3(1)12f x ax a x x =-++．（1）当0a >时，求()f x 的极小值；（Ⅱ）当0a 时，讨论方程()0f x =实根的个数．【解析】2()36(1)123(2)(2)f x ax a x ax x '=-++=--．（1）当0a >时，令()0f x '=，得2x =或2x a=； ①当01a <<时，有22>，列表如下： x(,2)-∞2 2(2,)a 2a 2(,)a+∞ ()f x ' +0 -0 +()f x极大值极小值故极小值为22124()a f a a -=．②当1a =时，有22a=，则2()3(2)0f x x '=-，故()f x 在R 上单调递增，无极小值； ③当1a >时，有22<，列表如下： x2(,)a-∞2a 2(,2)a 2 (2,)+∞()f x ' +0 -0 +()f x极大值极小值故极小值为f （2）124a =-．（Ⅱ）解法一：①当0a =时，令2()3123(4)f x x x x x =-+=--，得0x =或4x =，有两个根； ②当0a <时，令()0f x '=，得2x =或2x =，有202<<，列表如下： x2(,)a -∞2a2(,2)a2 (2,)+∞ ()f x ' -0 +0 -()f x极小值极大值故极大值为f （2）1240a =->，极小值22124()0a f a a -=<，因此()0f x =有三个根．解法二：①当0a =时，令2()3123(4)f x x x x x =-+=--，得0x =或4x =，有两个根； ②当0a <时，2()[3(1)12]f x x ax a x =-++，对于二次函数23(1)12y ax a x =-++，0x =不是该二次函数的零点，△29(1)240a a =+->，则该二次函数有两个不等的非零零点，此时，方程()0f x =有三个根．7．（2017•山东）已知函数2()2cos f x x x =+，()(cos sin 22)x g x e x x x =-+-，其中 2.71828e ≈⋯是自然对数的底数．（Ⅰ）求曲线()y f x =在点(π，())f π处的切线方程；（Ⅱ）令()h x g =()x a -()()f x a R ∈，讨论()h x 的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．【解析】2()()2I f ππ=-．()22sin f x x x '=-，()2f ππ∴'=．∴曲线()y f x =在点(π，())f π处的切线方程为：2(2)2()y x πππ--=-．化为：2220x y ππ---=．()()II h x g =()x a -2()(cos sin 22)(2cos )x f x e x x x a x x =-+--+()(cos sin 22)(sin cos 2)(22sin )x x h x e x x x e x x a x x '=-+-+--+-- 2(sin )()2(sin )()x x lna x x e a x x e e =--=--．令()sin u x x x =-，则()1cos 0u x x '=-，∴函数()u x 在R 上单调递增． (0)0u =，0x ∴>时，()0u x >；0x <时，()0u x <．（1）0a 时，0x e a ->，0x ∴>时，()0h x '>，函数()h x 在(0,)+∞单调递增；0x <时，()0h x '<，函数()h x 在(,0)-∞单调递减． 0x ∴=时，函数()h x 取得极小值，(0)12h a =--．（2）0a >时，令()2(sin )()0x lna h x x x e e '=--=．解得1x lna =，20x =．①01a <<时，(,)x lna ∈-∞时，0x lna e e -<，()0h x '>，函数()h x 单调递增； (,0)x lna ∈时，0x lna e e ->，()0h x '<，函数()h x 单调递减； (0,)x ∈+∞时，0x lna e e ->，()0h x '>，函数()h x 单调递增．∴当0x =时，函数()h x 取得极小值，(0)21h a =--．当x lna =时，函数()h x 取得极大值，2()[2sin()cos()2]h lna a ln a lna lna lna =--+++． ②当1a =时，0lna =，x R ∈时，()0h x '，∴函数()h x 在R 上单调递增． ③1a <时，0lna >，(,0)x ∈-∞时，0x lna e e -<，()0h x '>，函数()h x 单调递增； (0,)x lna ∈时，0x lna e e -<，()0h x '<，函数()h x 单调递减； (,)x lna ∈+∞时，0x lna e e ->，()0h x '>，函数()h x 单调递增．∴当0x =时，函数()h x 取得极大值，(0)21h a =--．当x lna =时，函数()h x 取得极小值，2()[2sin()cos()2]h lna a ln a lna lna lna =--+++．综上所述：0a 时，函数()h x 在(0,)+∞单调递增；0x <时，函数()h x 在(,0)-∞单调递减． 0x =时，函数()h x 取得极小值，(0)12h a =--．01a <<时，函数()h x 在(,)x lna ∈-∞，(0,)+∞是单调递增；函数()h x 在(,0)x lna ∈上单调递减．当0x =时，函数()h x 取得极小值，(0)21h a =--．当x lna =时，函数()h x 取得极大值，2()[2sin()cos()2]h lna a ln a lna lna lna =--+++．当1a =时，0lna =，函数()h x 在R 上单调递增．1a >时，函数()h x 在(,0)-∞，(,)lna +∞上单调递增；函数()h x 在(0,)lna 上单调递减．当0x =时，函数()h x 取得极大值，(0)21h a =--．当x lna =时，函数()h x 取得极小值，2()[2sin()cos()2]h lna a ln a lna lna lna =--+++．8．（2017•江苏）已知函数32()1(0,)f x x ax bx a b R =+++>∈有极值，且导函数()f x '的极值点是()f x的零点．（Ⅰ）求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域；（Ⅱ）证明：23b a >；（Ⅲ）若()f x ，()f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-，求实数a 的取值范围．【解析】（Ⅰ）解：因为32()1f x x ax bx =+++，所以2()()32g x f x x ax b ='=++，()62g x x a '=+，令()0g x '=，解得3ax =-．由于当3a x >-时()0g x '>，()()g x f x ='单调递增；当3ax <-时()0g x '<，()()g x f x ='单调递减；所以()f x '的极小值点为3ax =-，由于导函数()f x '的极值点是原函数()f x 的零点，所以()03af -=，即33102793a a ab -+-+=，所以223(0)9a b a a=+>．因为32()1(0,)f x x ax bx a b R =+++>∈有极值，所以2()320f x x ax b '=++=有实根，所以24120a b ->，即222903a a a-->，解得3a >，所以223(3)9a b a a=+>．（Ⅱ）证明：由（1）可知h （a ）42332245913(427)(27)81381a a b a a a a a=-=-+=--，由于3a >，所以h （a ）0>，即23b a >；（Ⅲ）解：由（1）可知()f x '的极小值为2()33a a fb '-=-，设1x ，2x 是()y f x =的两个极值点，则1223ax x +=-，123b x x =，所以332212121212()()()()2f x f x x x a x x b x x +=++++++22121212121212()[()3][()2]()2x x x x x x a x x x x b x x =++-++-+++3422273a ab=-+，又因为()f x ，()f x '这两个函数的所有极值之和不小于72-，所以23242372327392a a ab a b a -+-+=--，因为3a >，所以3263540a a --，所以22(36)9(6)0a a a -+-，所以2(6)(2129)0a a a -++，由于3a >时221290a a ++>，所以60a -，解得6a ，所以a 的取值范围是(3，6]．9．（2017•新课标Ⅱ）已知函数2()f x ax ax xlnx =--，且()0f x ．（1）求a ；（2）证明：()f x 存在唯一的极大值点0x ，且220()2e f x --<<．【解析】（1）因为2()()(0)f x ax ax xlnx x ax a lnx x =--=-->，则()0f x 等价于()0h x ax a lnx =--，求导可知1()h x a x'=-．则当0a 时()0h x '<，即()y h x =在(0,)+∞上单调递减，所以当01x >时，0()h x h <（1）0=，矛盾，故0a >．因为当10x a <<时()0h x '<、当1x a>时()0h x '>，所以1()()min h x h a=，又因为h （1）10a a ln =--=，所以11a=，解得1a =；另解：因为f （1）0=，所以()0f x 等价于()f x 在0x >时的最小值为f （1），所以等价于()f x 在1x =处是极小值，所以解得1a =；（2）由（1）可知2()f x x x xlnx =--，()22f x x lnx '=--，令()0f x '=，可得220x lnx --=，记()22t x x lnx =--，则1()2t x x'=-，令()0t x '=，解得12x =，所以()t x 在区间1(0,)2上单调递减，在1(2，)+∞上单调递增，所以1()()2102min t x t ln ==-<，又2212()0t e e=>，所以()t x 在1(0,)2上存在唯一零点，所以()0t x =有解，即()0f x '=存在两根0x ，2x ，且不妨设()f x '在0(0,)x 上为正、在0(x ，2)x 上为负、在2(x ，)+∞上为正，所以()f x 必存在唯一极大值点0x ，且00220x lnx --=，所以222200000000000()22f x x x x lnx x x x x x x =--=-+-=-，由012x <可知20002111()()224max f x x x <-=-+=；由1()0f e '<可知0112x e <<，所以()f x 在0(0,)x 上单调递增，在0(x ，1)e 上单调递减，所以0211()()f x f e e>=；综上所述，()f x 存在唯一的极大值点0x ，且220()2e f x --<<． 10．（2016•山东）设2()(21)f x xlnx ax a x =-+-，a R ∈．（1）令()()g x f x ='，求()g x 的单调区间；（2）已知()f x 在1x =处取得极大值，求正实数a 的取值范围．【解析】（1）由()f x ln '= 22x ax a -+，可得()g x ln = 22x ax a -+，(0,)x ∈+∞，所以112()2axg x a x x-'=-=，当0a ，(0,)x ∈+∞时，()0g x '>，函数()g x 单调递增；当0a >，1(0,)2x a∈时，()0g x '>，函数()g x 单调递增， 1(2x a∈，)+∞时，()0g x '<，函数()g x 单调递减．所以当0a 时，()g x 的单调增区间为(0,)+∞；当0a >时，()g x 的单调增区间为1(0,)2a，单调减区间为1(2a ，)+∞．⋯（6分）（2）由（1）知，f '（1）0=．①当102a <<时，112a >，由（1）知()f x '在1(0,)2a内单调递增，可得当(0,1)x ∈时，()0f x '<，当1(1,)2x a∈时，()0f x '>．所以()f x 在(0,1)内单调递减，在1(1,)2a内单调递增，所以()f x 在1x =处取得极小值，不合题意． ②当12a =时，112a=，()f x '在(0,1)内单调递增，在(1,)+∞内单调递减，所以当(0,)x ∈+∞时，()0f x '，()f x 单调递减，不合题意． ③当12a >时，1012a <<，()f x 在1(0,)2a上单减，当1(2x a∈，1)时，()0f x '>，()f x 单调递增，当(1,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 单调递减．所以()f x 在1x =处取极大值，符合题意．综上可知，正实数a 的取值范围为1(2，)+∞．⋯（12分）11．（2017•北京）已知函数()cos x f x e x x =-．（1）求曲线()y f x =在点(0，(0))f 处的切线方程；（2）求函数()f x 在区间[0，]2π上的最大值和最小值．【解析】（1）函数()cos x f x e x x =-的导数为()(cos sin )1x f x e x x '=--，可得曲线()y f x =在点(0，(0))f 处的切线斜率为0(cos0sin 0)10k e =--=，切点为0(0,cos00)e -，即为(0,1)，曲线()y f x =在点(0，(0))f 处的切线方程为1y =；（2）函数()cos x f x e x x =-的导数为()(cos sin )1x f x e x x '=--，令()(cos sin )1x g x e x x =--，则()g x 的导数为()(cos sin sin cos )2sin x x g x e x x x x e x '=---=-，当[0x ∈，]2π，可得()2sin 0x g x e x '=-，即有()g x 在[0，]2π递减，可得()(0)0g x g =，则()f x 在[0，]2π递减，即有函数()f x 在区间[0，]2π上的最大值为0(0)cos001f e =-=；最小值为2()cos 2222f e πππππ=-=-．1．（2020•道里区校级一模）已知函数21()(1)2f x xlnx m x x =-+-有两个极值点，则实数m 的取值范围为( ) A ．1(e-，0)B ．1(1,1)e--C ．1(,1)e-∞-D ．(1,)-+∞【答案】B【解析】由21()(1)2f x xlnx m x x =-+-，得()(1)f x lnx m x '=-+，0x >．要使21()(1)2f x xlnx m x x =-+-有两个极值点，只需()(1)0f x lnx m x '=-+=有两个变号根，即1lnxm x+=有两个变号根．令()lnxg x x=，(0)x >，则21()lnx g x x -'=，由()0g x '=得x e =，易知当(0,)x e ∈时，()0g x '>，此时()g x 单调递增；当(,)x e ∈+∞时，()0g x '<，此时()g x 单调递减．所以1()()max g x g e e==，而1()0g e e=-<，1lim lim 01x x lnx x x →+∞→+∞==，作出()y g x =，1y m =+的图象，可知：101m e <+<，解得111m e-<<-+．故选B ．2．（2020•内江三模）函数2()(12)22ax f x a x lnx =+--在区间1(2，3)内有极小值，则a 的取值范围是( ) A ．1(2,)3--B ．1(2,)2--C ．(2-，11)(33--⋃，)+∞D ．(2-，11)(22--⋃，)+∞【答案】D【解析】22(12)2(1)(2)()(12)ax a x ax x f x ax a x x x+--+-'=++-==，当0a =时，()2f x x '=-，所以在1(2，2)上，()0f x '<，()f x 单调递减，在(2,3)上，()0f x '>，()f x 单调递增， f （2）为函数()f x 的极小值，符合题意，当0a >时，令()0f x '=，得1x a=-，2x =，且102a -<<，所以在1(2，2)上，()0f x '<，()f x 单调递减，在(2,3)上，()0f x '>，()f x 单调递增， f （2）为函数()f x 的极小值，符合题意，当0a <时，令()0f x '=，得1x a=-，2x =，且102a <-<，若()f x 在1(2，2)有极小值，只需12112a a ⎧-<⎪⎪⎨⎪->⎪⎩或12a ->，解得122a -<<-，或102a -<<，综上所述，122a -<<-，或12a -<，故选D ．3．（2020•德阳模拟）已知函数2()2f x ax x lnx =-+有两个极值点1x ，2x ，若不等式1212()()f x f x x x t +<++恒成立，那么t 的取值范围是( )A ．[1-，)+∞B ．[222ln --，)+∞C ．[32ln --，)+∞D ．[5-，)+∞【答案】D【解析】函数()f x 的定义域为(0,)+∞，2221()ax x f x x-+'=(0)x >，因为函数2()2f x ax x lnx =-+有两个极值点1x ，2x ，所以方程22210ax x -+=在(0,)+∞上有两个不相等的正实数根，则121248010102a x x a x x a ⎧⎪=->⎪⎪+=>⎨⎪⎪=>⎪⎩，解得102a <<．因为222121211122212121212122()()()22[()2]3()()12f x f x x x ax x lnx ax x lnx x x a x x x x x x ln x x ln a a+-+=-++-+--=+--++=---，设h （a ）212ln a a=---，h '（a ）22aa-=，易知h '（a ）0>在1(0,)2上恒成立，故h （a ）在1(0,)2上单调递增，故h （a ）1()52h <=-，所以5t -，所以t 的取值范围是[5-，)+∞．故选D ．4．（2020•汕头校级三模）已知函数21()(1)2x x f x x e ae ax =--+只有一个极值点，则实数a 的取值范围是( )A ．(-∞，10][2，)+∞B ．(-∞，10][3，)+∞C ．(-∞，10][4，)+∞D ．(-∞，1][03-，)+∞【答案】A 【解析】21()(1)2x x f x x e ae ax =--+，2()x xf x xe ae a '∴=-+，()f x 只有一个极值点，()f x '∴只要一个变号零点．（1）当0a =时，()x f x xe '=，易知0x =是()f x 的唯一极值点；（2）当0a ≠时，方程2()0x x f x xe ae a '=-+=可化为1x x x e e a-=-，令1()g x x a=，()x xh x e e -=-，可得两函数均为奇函数， ∴只需判断0x >时，两函数无交点即可．①当0a <时，1()0g x x a=<，()0x x h x e e -=->，所以()g x 与()h x 有唯一交点0x =，且当0x >时，()()g x h x <；当0x <时，()()g x h x >． 0x ∴=是()f x 的唯一极值点；②当0a >时，()0x x h x e e -'=+>，即()h x 在(0,)+∞上单调递增，且(0)0h =，lim ()x h x →+∞=+∞，设()h x 过原点的切线为y kx =，切点为(m ，)(0)km m >，则m m m me e k km e e --⎧+=⎨=-⎩，解得0m =，2k =，如图所示，当1y x a=在直线2y x =下方（第一象限）或与2y x =重合时，0x =是唯一交点，能满足()0f x '=的变号零点，即函数()f x 的极值点， 12a∴．综上所述，实数a 的取值范围为(-∞，10][2，)+∞．故选A ．5．（2020•山西模拟）已知函数3()(2)x e f x t lnx x x x=-++仅有一个极值点1，则实数t 的取值范围是( ) A ．1(,]33e ⎧⎫-∞⎨⎬⎩⎭B ．1(,]3-∞C ．1(,]23e ⎧⎫-∞⎨⎬⎩⎭ D ．1(,]2-∞【答案】B 【解析】由题意知函数()f x 的定义域为(0,)+∞，222(1)(23)()(1)1323()(2)xx e x x t x e x f x t x x x x -+--+'=-+-=，因为函数恰有一个极值点1，所以023xe t x -=+无解，令()(0)23x e g x x x =>+，则2(21)()0(23)x e x g x x +'=>+，所以()g x 在(0,)+∞上单调递增，从而1()(0)3g x g >=，所以13t 时，023x e t x -=+无解，3()(2)x e f x t lnx x x x =-++仅有一个极值点1，所以t 取值范围是1(,]3-∞．故选B ．6．（2020•南平三模）函数3211()(2)(0)32f x x a x x a =-++>在(,)e +∞内有极值，那么下列结论正确的是( )A ．当1(0,2)a e e ∈+-时，11a e e a -->B ．当1(2,)2ea e e ∈+-时，11a e e a --<C ．当(,)2ea e ∈时，11a e e a -->D ．当1(,)a e e e∈+时，11a e e a --<【答案】B【解析】令2()()(2)1(0)g x f x x a x a ='=-++>，则△2(2)40a =+->，若()f x 在(,)e +∞内仅有一个极值点，即()g x 在(,)e +∞内有一个零点，则20()(2)10a g e e a e >⎧⎨=-++<⎩，解得12a e e >+-；若()f x 在(,)e +∞内仅有两个极值点，即()g x 在(,)e +∞内有两个零点，则20()(2)1022a g e e a e a e ⎧⎪>⎪=-++>⎨⎪+⎪>⎩，无解， ∴当12a e e>+-时，函数()f x 在(,)e +∞内有极值，现考查不等式11a e e a --<，两边同时取对数可得，1(1)a e lna -<-，即1(1)0a e lna ---<，令1()1(1),2h a a e lna a e e=--->+-，则1()1e h a a-'=-，令h '（a ）0>，解得1a e >-， ∴函数h （a ）在1(2,1)e e e+--上单调递减，在(1,)e -+∞上单调递增，又111(2)3(1)(2)h e e e ln e e e e+-=+---+-112(1)10e e lne e e<+---=-<，h （e ）(1)(1)0e e lne =---=，∴当1(2)a e e e∈+-时，h （a ）0<成立，即11a e e a --<，∴选项B 正确．故选B ．7．（2020•龙岩模拟）已知函数()xf x ax lnx=-在(1,)+∞上有极值，则实数a 的取值范围为( ) A ．1(,]4-∞B ．1(,)4-∞C ．1(0,]4D ．1[0,)4【答案】B 【解析】21()()lnx f x a lnx -'=-，设22111()()()lnx g x lnx lnx lnx -==-，函数()f x 在区间(1,)+∞上有极值，()()f x g x a ∴'=-在(1,)+∞上有变号零点，令1t lnx=，由1x >可得0lnx >，即0t >，得到22111()244y t t t =-=--+， ∴14a <．故选B ．8．（2020•武汉模拟）设函数2()(32)()f x lnx a x x a R =+-+∈在定义域内只有一个极值点，则实数a的取值范围为( ) A ．8(,)9+∞B ．8(0,)9C ．(,0)-∞D ．(0,)+∞【答案】C【解析】2()(32)f x lnx a x x =+-+，定义域为(0,)+∞，21231()(23)ax ax f x a x x x-+'=+-=，设2()231g x ax ax =-+，①当0a =时，()1g x =，故()0f x '>， ()f x ∴在(0,)+∞上为增函数，所以无极值点．②当0a >时，△298a a =-，若809a<时△0，()0g x ，故()0f x '，故()f x 在(0,)+∞上递增，所以无极值点．若89a >时△0>，设()0g x =的两个不相等的实数根为1x ，2x ，且12x x <，且1232x x +=，而(0)10g =>，则12304x x <<<，所以当1(0,)x x ∈，()0g x >，()0f x '>，()f x 单调递增；当1(x x ∈，2)x ，()0g x <，()0f x '<，()f x 单调递减；当2(x x ∈，)+∞，()0g x >，()0f x '>，()f x 单调递增．所以此时函数()f x 有两个极值点；③当0a <时△0>，设()0g x =的两个不相等的实数根为1x ，2x ，且12x x <，但(0)10g =>，所以120x x <<，所以当2(0,)x x ∈，()0g x >，()0f x '>，()f x 单调递増；当2(x x ∈，)+∞，()0g x <，()0f x '<，()f x 单调递减．所以此时函数()f x 只有一个极值点．综上得：当0a <时()f x 有一个极值点．故选C ．9．（2020•昆明一模）已知函数221()(44)(4)2x f x e x x k x x =--++，2x =-是()f x 的唯一极小值点，则实数k 的取值范围为( ) A ．2[e -，)+∞ B ．3[e -，)+∞ C ．2[e ，)+∞ D ．3[e ，)+∞【答案】D【解析】由题可知，21()(4424)(24)(2)[(4)]2x x f x e x x x k x x e x k '=--+-++=+-+，2x =-是()f x 的唯一极小值点，(4)0x e x k ∴-+恒成立，即(4)x k e x --，令()(4)x g x e x =-，则()(3)x g x e x '=-，当3x <时，()0g x '<，()g x 单调递减；当3x >时，()0g x '>，()g x 单调递增，∴3()(3)min g x g e ==-，3k e ∴--，即3k e ．故选D ．10．（2020•江西模拟）已知定义在(0,)+∞上的函数()()x a f x e ln x a -=-+，其中0a >，e 为自然对数的底数．（1）求证：()f x 有且只有一个极小值点；（2）若不等式()212f x x a ln ++-在(0,)+∞上恒成立，求实数a 的取值范围．【解析】（1）证明：由于1()x a f x e x a-'=-+ 21()0()x a f x e x a -''=+>+，则()f x ' 在(0,)+∞ 上单调递增．令()x g x e x =-，则()1x g x e '=-，故当(,0)x ∈-∞时，()0g x '<，()g x 单调递减当(0,)x ∈+∞ 时，()0g x '>，()g x 单调递增，则()(0)1min g x g ==，即1x e x x +>，由于1(0)0aaa a e f e a e a --'=-=<，1(1)021f a e a '+=->+，故0(0,1)x a ∃∈+，使得0()0f x '=，且当0(0,)x x ∈时0()0f x '<，()f x 单调递减；当0(x x ∈，)+∞时，0()0f x '>，()f x 单调递增．因此()f x 在(0,)+∞ 有且只有一个极小值点0x ，无极大值点．（2）由于不等式()212f x x a ln ++- 在(0,)+∞ 上恒成立，()i 必要性：当1x = 时，不等式成立，即 1(1)312a e ln a a ln --++--令1()(1)312,()0a g a ln a a e ln g a -=+++--，由于11()0123a g a e a a -'=++>++，则g （a ）在 (0,)+∞ 上单调递增，又由于g （1）0=，则g （a ）0 的解为01a <． ()ii 充分性：下面证明当01a < 时， ()212f x x a ln ++- 在(0,)+∞ 上恒成立令()()2112x a h x e ln x a x a ln -=-++++，由于01a <，01a >--，1x a x --，1x a x e e --，01a x x <++，()(1)ln x a ln x ++，()(1)ln x a ln x -+-+，12,2122,2122,2122a x a x x a x x a x +++++++-++-+，则1()(1)2212x h x e ln x x ln --+++令1()(1)2212x m x e ln x x ln -=-+++，则 11()122x m x e x x -'=-++，1231()0(1)(22)x m x e x x -''=++>++， ()m x ' 在(0,)+∞ 上单调递增，由于m '（1）0=，则当(0,1)x ∈时，()0m x '<，()m x 单调递减，当(1,)x ∈+∞ 时，()0m x '>，()m x 单调递增，故()m x m =（1）0=，即()0m x 恒成立，因此，当01a < 时，()212f x x a ln ++- 在(0,)+∞ 上恒成立．故a 的取值范围为(0，1]．11．（2020•红河州三模）已知函数()()1af x lnx a R x =-∈+．（1）求曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程；（2）若函数()f x 存在两个极值点1x ，2x ，求实数a 的取值范围，并证明：1()f x ，f （1），2()f x 成等差数列．【解析】（1）由()1af x lnx x =-+得21()(1)a f x x x '=++，故切线斜率k f ='（1）14a=+，又f （1）2a =-，故切线方程为：(1)(1)24a ay x +=+-，即(4)4430a x y a +---=；（2）2221(2)1()(0)(1)(1)a x a x f x x x x x x +++'=+=>++，由题意知：1x ，2x 是方程()0f x '=在(0,)+∞内的两个不同实数解，令2()(2)1(0)g x x a x x =+++>，注意到(0)10g =>，其对称轴为直线2x a =--，故只需220(2)40a a -->⎧⎨=+->⎩，解得：4a <-，即实数a 的取值范围是(,4)-∞-，由1x ，2x 是方程2(2)10x a x +++=的两根，得：122x x a +=--，121x x =，故12()()f x f x + 1212()()11a a lnx lnx x x =-+-++ 121212122()1x x ln x x a x x x x ++=-+++22121a aa --+=---+a =-，又f （1）2a=-，即12()()2f x f x f +=（1），故1()f x ，f （1），2()f x 成等差数列．12．（2020•启东市校级模拟）已知函数()(0)f x alnx a =≠与212y x e=的图象在它们的交点(,)P s t 处具有相同的切线．（1）求()f x 的解析式；（2）若函数2()(1)()g x x mf x =-+有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求21()g x x 的取值范围．【解析】（1）根据题意，函数()(0)f x alnx a =≠与212y x e= 可知()af x x'=，1y x e '=，两图象在点(,)P s t 处有相同的切线，所以两个函数切线的斜率相等，即1as e s=，化简得s ae =，将(,)P s t 代入两个函数可得22s alns e=②，综合上述两式①②可解得1a =，所以()f x lnx =．（2）函数22()(1)()(1)g x x mf x x mlnx =-+=-+，定义域为(0,)+∞，222()2(1)m x x mg x x x x-+'=-+=，因为1x ，2x 为函数()g x 的两个极值点，所以1x ，2x 是方程2220x x m -+=的两个不等实根，由根与系数的关系知121x x +=，122mx x =，(*)，又已知12x x <，所以121012x x <<<<，222211()(1)g x x mlnx x x -+=，将(*)式代入得22222222212()(1)2(1)121g x x x x lnx x x lnx x x -+-==-+-，令()12h t t tlnt =-+，1(2t ∈，1)，()21h t lnt '=+，令()0h t '=，解得：t e=，当1(2t ∈)e 时，()0h t '<，()h t 在1(2e 单调递减；当(t e ∈，1)时，()0h t '>，()h t 在(e，1)单调递增；所以2()(11min eh t h ee===-， 1(){()2h t max h <，h （1）}，11()2022h ln h =-<=（1），即21()g x x 的取值范围是2[1e -0)． 13．（2020•河南模拟）设函数()f x xlnx =，()()x g x ae a R =∈．（1）若曲线()y f x =在1x =处的切线也与曲线()y g x =相切，求a 的值．（2）若函数()()()G x f x g x =-存在两个极值点． ①求a 的取值范围；②当22ae 时，证明：()0G x <．【解析】（1）()f x xlnx =，()1f x lnx '=+，(0,)x ∈+∞，f ∴（1）0=，f '（1）1=，故曲线()f x 在1x =处的切线方程是1y x =-；设直线1y x =-与()y g x =相切于点0(x ，01)x -，()x g x ae '=，00()x g x ae ∴'=，由00011x x ae ae x ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，得022x a e -=⎧⎨=⎩；（2）()1x G x lnx ae '=+-， ①()G x 在(0,)+∞上存在两个极值点等价于()0G x '=在(0,)+∞上有2个不同的根，由10x lnx ae +-=，可得1xlnx a e +=，令1()xlnx t x e +=，则11()xlnx x t x e --'=，令1()1h x lnx x =--，可得211()0h x x x'=--<，故()h x 在(0,)+∞递减，且h （1）0=，当(0,1)x ∈时，()0h x >，()0t x '>，()t x 递增，当(1,)x ∈+∞时，()0h x <，()0t x '<，()t x 递减，故t （1）1e=是极大值也是最大值，又当0x →时，()t x →-∞，当x →+∞时，()0t x >且趋向于0，要使()0G x '=在(0,)+∞有2个根，只需10a e<<，故a 的取值范围是1(0,)e；②证明：设()()xG x ae F x lnx x x==-， 2(1)()xx a x e F x x--'=，当01x <时，22a e，()0F x ∴'>，则()F x 在(0,1)递增，()F x F ∴（1）0ae =-<，当1x >时，2(1)()[](1)x a x xF x e x a x -'=---，令()(1)x x H x e a x =--，则21()0(1)x H x e a x '=+>-，22a e ，H ∴（2）22220ae e a a -=-=，取(1,2)m ∈，且使2(1)m e a m >-，即2211ae m ae <<-，则22()0(1)m mH m e e e a m =-<-=-，()H m H （2）0，故()H x 存在唯一零点0(1,2)x ∈，故()F x 有唯一的极大值点0(1,2)x ∈，由0()0H x =，可得000(1)x x e a x =-，故0001()1F x lnx x =--，0(1,2)x ∈，020011()0(1)F x x x '=+>-，故0()F x 为(1,2)上的增函数， 0()F x F ∴<（2）222102ae ln ln =--<，综上，当22a e 时，总有()0G x x<，即()0G x <．14．（2020•河南模拟）已知函数21()22f x x ax lnx =-+，a R ∈．（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个极值点1x ，212()x x x <，求21()2()f x f x -的取值范围．【解析】（1）()f x 的定义域是(0,)+∞，2121()2x ax f x x a x x-+'=-+=，令221y x ax =-+，当△2440a =-即11a -时，0y ，此时()f x 在(0,)+∞递增，当1a <-时，2210x ax -+=有2个负根，此时()f x 在(0,)+∞递增，当1a >时，2210x ax -+=有2个正根，分别是211x a a =-221x a a =+- 此时()f x 在1(0,)x 递增，在1(x ，2)x 递减，在2(x ，)+∞递增，综上，1a 时，()f x 在(0,)+∞递增，1a >时，()f x 在2(0,1)a a -递增，在2(1a a --21)a a +-递减，在2(1a a +-)+∞递增；（2）由（1）得：122x x a +=，121x x =，1a >，21121ax x =+，22221ax x =+， 1a >，1(0,1)x ∴∈，2(1,)x ∈+∞， 222122211111()2()22(2)22f x f x x ax lnx x ax lnx ∴-=-+--+ 2221211212x x lnx lnx =-++-+222222111()212x lnx ln x x =-++-+2222211312x lnx x =-+++，令22t x =，则1t >，113()122g t t lnt t =-+++，则222211332(1)(2)()2222t t t t g t t t t t -+----'=--+==，当12t <<时，()0g t '>，当2t >时，()0g t '<，故()g t 在(1,2)递增，在(2,)+∞递减，g （2）13222ln =+， 21()2()f x f x ∴-的取值范围是(-∞，132]22ln +． 15．（2020•运城模拟）设函数()f x xlnx =．（1）求曲线()y f x =在点(1，f （1）)处的切线方程；（2）若函数2()()F x f x ax =-有两个极值点，求实数a 的取值范围；（3）当120x x >>时，221212()()()2m x x f x f x ->-恒成立，求实数m 的取值范围．【解析】（1）()1f x lnx '=+，()f x 在点(1，f （1）)处的切线斜率k f ='（1）1=，则切线方程为1y x =-，（2）()()212F x f x ax lnx ax '='-=+-．()F x 有两个极值点．即()F x '有两个零点，即120lnx ax +-=有两个不等实根，12lnxa x+=，令21()()lnx lnxg x g x x x+-='=，在(0,1)上()0g x '>，()g x 在(0,1)上单调递增．在(1,)+∞上单调递减，()max g x g =（1）1=．x →+∞时，()0g x →．即12(0,1),(0,)2a a ∈∈．（3）221212()()()2m x x f x f x ->-可化为222211()()22m m f x x f x x ->-．设2()()2m Q x f x x =-，又120x x >>． ()Q x ∴在(0,)+∞上单调递减，()10Q x lnx mx ∴'=+-在(0,)+∞上恒成立，即1lnxmx+．又1()lnxh x x+=在(0,1)上单调递增，在(1,)+∞上单调递减． ()h x ∴在1x =处取得最大值．h （1）1=．1m ∴．16．（2020•鹿城区校级模拟）已知函数2()(3)1()f x axlnx x a x a R =-+-+∈．（Ⅰ）当1a =时，求曲线()f x 在(1，f （1）)处的切线方程；（Ⅱ）若()f x 存在两个极值点1x ，212()x x x <． ①求a 的取值范围；。

2022年高考数学真题完全解读(新高考全国1卷)

20
独立性检验与条件概率
21
双曲线
22
导数的应用
四、试题深度解读
模块（题目数） 1.集合（共 1 题） 2.不等式（共 3 题）复数（共 1 题）平面向量（共 1 题）立体几何（共 4 题）排列组合、概率与统计（共 3 题）三角函数与解三角形（共 2 题） 1. 函数与导数（共 5 题） 2. 不等式（共 3 题）立体几何（共 4 题）立体几何（共 4 题）函数与导数（共 5 题）解析几何（共 4 题）函数与导数（共 5 题）排列组合、概率与统计（共 3 题）解析几何（共 4 题）函数与导数（共 5 题）解析几何（共 4 题） 1. 数列（共 1 题） 2. 不等式（共 3 题）三角函数与解三角形（共 2 题）立体几何（共 4 题）排列组合、概率与统计（共 3 题）解析几何（共 4 题）函数与导数（共 5 题）
D.
2m + 3n
【命题意图】本题考查平面向量的线性运算,考查逻辑推理与数学运算的核心素养.难度：容
易.
【答案】B
【解析】解法一：因点 D 在边 AB 上 , 且 BD = 2DA , 所以 BD = 2DA , 即
( ) CD − CB = 2 CA − CD ,
所以 CB = 3CD − 2CA = 3n − 2m = −2m + 3n ．故选 B．
2022 年高考数学真题完全解读（新高考全国 1 卷）
本资料分试卷使用地区、试卷总评、考点分布细目表、试题深度解读四个模块,其中试题深度解读模块又分为【命题意图】【答案】【解析】【点评】【知识链接】等栏目.本资料部分内容来源于网络
一、试卷使用地区
山东、湖北、湖南、江苏、广东、福建、河北

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导数与数列、解析
【利用导数研究数列】
1.定义F(x ，y)= y x (x>0，y>0)．设函数f(n)= (,2)(2,)
F n F n (n ∈N *)，求函数f(n)的最小值；
2.已知数列{a n }各项均为正数，S n 为其前n 项和，对于任意的n ∈N*，都有4S n =(a n +1)2
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若2n ≥tS n 对于任意的n ∈N*成立，求实数t 的最大值。

3.已知数列{}n a 为等差数列，12a =，
且其前10项和为65，又正项数列{}n b 满足()n b n N *=∈ ⑴求数列{}n b 的通项公式；
⑵比较1234,,,b b b b 的大小；
⑶求数列{}n b 的最大项；
⑷令lg n n c a =，数列{}n c 是等比数列吗？说明理由。

4.已知函数2()2f x x x =+，数列{}n a 的前n 项和为n S ，对一切正整数n ，点(,)n n P n S 都在函数()f x 的图象上，且过点(,)n n P n S 的切线的斜率为n k ．
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）若2n k n n b a =⋅，求数列{}n b 的前n 项和为n T ；
（Ⅲ）设{|,*}n Q x x k n N ==∈，{|2,*}n R x x a n N ==∈，等差数列{}n c 的任一项n c Q
R ∈，其中1c 是Q R 中的最小数，10110115c <<，求{}n c 的通项公式．
5．数列{a n }中，212,a t a t ==（t>0且t≠1）
．x =311()3[(1)]1(2)n n n f x a x t a a x n -+=-+-+≥ 的一个极值点．
（1）证明数列1{}n n a a +-是等比数列，并求数列{}n a 的通项公式；
（2）记12(1)n n
b a =-，当t=2时，数列{}n b 的前n 项和为S n ，求使S n >2008的n 的最小值；（3）当t=2时，是否存在指数函数g （x ），使得对于任意的正整数n 有11()1(1)(1)3n
k k k g k a a =+<++∑成立？若存在，求出满足条件的一个g （x ）；若不存在，请说明理由．
6.（06安徽卷）数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知()211,1,1,2,2
n n a S n a n n n ==--=⋅⋅⋅ （Ⅰ）写出n S 与1n S -的递推关系式()2n ≥，并求n S 关于n 的表达式；
（Ⅱ）设()()()1/,n n n n n S f x x b f p p R n +=
=∈，求数列{}n b 的前n 项和n T 。

7.（06辽宁卷）已知函数f(x)=d cx bx ax +++2331,其中a,b,c 是以d 为公差的等差数列，，且a ＞0,d ＞0.设的极小值点，在为)(0x f x ［1-0,2a
b ］上，'1()f x x 在处取得最大值，在处取得最小值2x ，将点依次记为（))(,(,()),(,()),(,22'21'100x f x f x x f x x f x A ，B ，C
(I)求的值o x
(II)若⊿ABC 有一边平行于x 轴，且面积为32+，求a,d 的值
8．（06四川卷）已知数列{}n a ，其中11a =，23a =，112n n n a a a +-=+（2n ≥），记数列{}n a 的前n 项和为n S ，数列{ln }n S 的前n 项和为n U 。

（Ⅰ）求n U ；（Ⅱ）设22()2( !)n U n n e F x x n n =（x >0），1
()()n n k k T x F x =='∑（其中()k F x '为()k F x 的导数），计算 1()lim
()
n n n T x T x →∞+。

9.（06浙江卷）已知函数f(x)=x 3+ x 2，数列｜x n ｜(x n ＞0)的第一项x n ＝1，以后各项按如下方
式取定：曲线x=f(x)在))(,(11++n n x f x 处的切线与经过（0，0）和（x n ,f (x n )）两点的直线平行（如图）求证：当n *N ∈时，
(Ⅰ)x ;231212
+++=+n n n n x x x （Ⅱ）21)2
1()21
(--≤≤n n n x
10.（07四川）已知函数f （x ）=x 2
－4，设曲线y ＝f （x ）在点（x n ，f （x n ））处的切线与x 轴的交点为（x n+1,0）其中n 为正实数.
（Ⅰ）用x n 表示x n+1；
（Ⅱ）若a 1=4，记a n =lg 22n n x x +-，证明数列｛a n ｝成等比数列，并求数列｛x n ｝的通项公式；（Ⅲ）若x 1＝4，b n ＝x n －2，T n 是数列｛b n ｝的前n 项和，证明T n <3.
【导数与解析几何相综合的题目】
1.设点),23,0(F 动圆P 经过点F 且和直线2
3-=y 相切，记动圆的圆心P 的轨迹为曲线W 。

（1）求曲线W 的方程；
（2）过点F 作互相垂直的直线21,l l ，分别交曲线W 于A ，B 和C ，D 。

求四边形ABCD 面积的最小
值。

（3）分别在A 、B 两点作曲线W 的切线，这两条切线的交点记为Q 。

求证：QA ⊥QB ，且点Q 在某一定直线上。

2. (06重庆卷)如图，对每个正整数n ，(,)n n n A x y 是抛物线24x y =上的点，过焦点F 的直线n FA 交
抛物线于另一点(,)n n n B s t 。

（Ⅰ）试证：4(1)n n x s n =-≥；
（Ⅱ）取2n n x =，并记n C 为抛物线上分别以n A 与n B 为切点的两条切线的交点。

试证：112221n n n FC FC FC -++++=-+；。

8导数与数列、解析(空)

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