第六章 贝塞尔函数学习指导

例3
证明
J
2(
x
)=J
" 0
(
x)
−
1 x
J
' 0
(
x)
.
证明 由 2= J n' ( x) J n−1( x) + J n+1( x) 知
= J1' ( x)
1 2

J
0
(
x
)
−
J
2
(
x)
又将
J
' 0
(
x)=
−
J1
(
x
)
两端求导并利用上式得
J
'' 0
(
x)=
−
J1' (
x)
= − 12 J0
r

其中 µm(n), m = 1, 2, 是贝塞尔函数 Jn (x) 的正零点，系数
Am
( ) ∫ R= 22 J n2+11 µm(n) 0R rf (r) J n µRm(n) r dr, m
1, 2.
贝塞尔函数的其他类型及渐进公式
定义 称
Hn(= 1) ( x) J n ( x) + iYn ( x)
(
x)
d dx
[
x
−n
J
n
(
x
)]
=
− x−n J n+1 ( x)
xJ 'n ( x) + nJn ( x) = xJn−1 ( x)
xJ 'n ( x) − nJn ( x) = −xJn+1 ( x)
Jn−1 ( x) + Jn+1 ( x) = 2xn Jn ( x) Jn−1 ( x) − Jn+1 ( x) = 2J 'n ( x)

∂u ∂t
−
a2

∂2u ∂x2
+
∂∂y2u= 2
0
(x2 + y2 < R2, t > 0),
u |x2 + y2 = R2 = 0,
u |t=0 = 0
在平面极坐标下进行变量分离得到方程
r2F "(r) + rF '(r) + (λr2 − n2 )F (r) = 0
上式称为 n 阶贝塞尔方程。
作变量替换 x =
λ
r
，并记
y(
x)
=
F

x λ

，则得
x2 y "+ xy '+ ( x2 − n2 ) y = 0
上式 n 阶贝塞尔方程的标准形式。
1
贝塞尔方程的求解
假定贝塞尔方程有级数形式解：
∞
( ) ∑ y ( x=) xc a0 + a1x + a2x2 + + ak xk += ak xc+k , k =0
2l
w(r,t) 代入方程，解得 f (t)= qa2 t, 2qa2 t, ，取 w(r,t)= qr2 + 2qa2 t 。则 v(r, t) 满
r l
2l l
足

∂v ∂t
−
a2

∂2v ∂r 2
+
1 r
∂∂= vr
0
(0 < r < l, t > 0)
7
中 v(r, t) 满足齐次边界条件，为此需取 w(r,t) 满足 wr |r=l = q ，这样的 w(r,t) 不唯 一，为简单起见，令 w(r= ,t) f (t) + g(r) ，并适当选取 f (t) 和 g(r) 使 w(r,t) 也满
qr 2 足其次方程，由于 g '(l)=q 所以可取 g(r)=qr, , ，将包含待定函数的 f (t) 的
学习本章内容应以下列几个方面为重点：一是贝赛尔方程的导出和求解；二 是贝赛尔函数的递推公式；三是贝赛尔函数的零点理论、正交性和完备性；四是 贝塞尔函数在求解数学物理方程定解问题中的应用。
本章的难点一是贝塞尔方程的求解、二是贝塞尔函数的性质及其应用。
二、知识总结
贝塞尔方程的导出
对描述圆盘瞬时热传导的定解问题
x)
d dx
[
x
−
n
H
( n
j
)
(
x)]
=
−
x
−n
H
( ( j)
n+1
x)
4
其中 j = 1, 2.
H
( ( j)
n−1
x)
+
H
( n
j) +1
(
x)
= 2xn Hn( j) (
x)
H
( ( j)
n−1
x)
−
H
( ( j)
n+1
x)
= 2 ddx Hn( j)
(
x)
定义 称
∑ = In (x)
i= −n J n (ix)
(
x)
−
J
2
(
x)
.........................①
再由
2n x
= Jn ( x)
J n−1( x) + J n+1( x) 得
−
1 x
J
' 0
(
x)
=
1 x
J1
(
x)
=
1 2J0源自(x)+
J
2
(
x)
....................................②
Hn(= 2) ( x) J n ( x) − iYn ( x)
为第三类贝塞尔函数（或汉克尔函数），其中 i=
−1
。H
(1) n
(
x
)，H
(2) n
(
x)
分别称为
第一、第二类汉克尔函数。
第三类贝塞尔函数有与第一类贝塞尔函数相同的递推形式：
d dx
[
x
n
H
( n
j) ( x)]
=
x
n
H
( ( j)
n−1
− 2 3!4!
−


贝塞尔函数的渐近公式
5
Jn(x) ≈
2 πx
ξn
(
x)
cos

x
−
1π 4
−
nπ 2

−
ηn
(
x
)
sin

x
−
1π 4
−
nπ 2

= Yn ( x)
2 πx
ξn
(
x
)
sin

x
−
1π 4
−
nπ 2

32
)
+
(4n2
−
12
)(4n2
− 32 )(4n2 4!(8x)4
−
52
)(4n2
−
72 )
−
ηn ( x) = 41n!(28−x1)2 − (4n2 − 12 )(43n!(28−x3)32 )(4n2 − 52 ) +
只要 x 的值很大时
Jn(x) ≈
2 πx
cos

x
−
1 4
+
ηn
(
x
)
cos

x
−
1π 4
−
nπ 2

H (1) n
(
x)
≈
2 πx
ei
x−π 4
−
nπ 2

[ξn
(
x
)
+
iηn
(
x
)]
H
(2) n
(
x
)
≈
2 πx
e−i
x
−π 4
−
nπ 2

[ξn
(
x
)
−
iηn
(
x
)]
其中
ξn
(
x)
= 1 − (4n2 −21!2()8(x4)n22 −
定义 称 Jn (x −i ) 的实部与虚部为 n 阶第一类开尔文函数或汤姆孙函
数，记作 bern x 和 bein x 。
零阶开尔文函数
∑ ber0 x
=
∞ k =0
(−1)k

x 2
4k

[(2k )!]2
∑ bei0 x
=
∞ k =0
(−1)k [(2k

x
4k+2

2
x

贝塞尔函数的性质
零点性质
① J n (x) 有无穷多个单重实零点,且在 x 轴上关于原点对称分布； ② J n (x) 的零点和 J n+1(x) 的零点彼此相间分布,且 J n (x) 的绝对值最小的零 点比 J n+1(x) 的绝对值最小的零点更接近零； ③ 当 n 充分大时, J n (x) 的两个零点之间的距离接近π 。
解 以柱体轴线为 z 轴建立柱坐标系，则柱体内温度 u(r,t) 满足定解问题
∂u

∂t
−
a2

∂2u ∂r 2
+
1 r
∂∂u= r
0
(0 < r < l, t > 0)

u |t=0 = U0
= = ur |r l = q, u |r 0 < ∞.
解 为了使用分离变量法，必须将边界条件齐次化。令 u= (r,t) v(r,t) + w(r,t) ，其
+ 1)!]2
一阶开尔文函数：
ber1(x) =


x
3


x
5


x
7


1

x
+

2

− 2
− 2
+

2 2 1!2! 2!3! 3!4!




x
3


x
5


x
7


bei1(x) =
1 2
−
x
2
+ 2 1!2!
+ 2 2!3!
其中 c, ak 为待定常数, a0 ≠ 0 。代入方程，可得
( ) ∑{ } ∞
c2 − n2
a0
xc
+
(c
+
1)2
−
n2

a1 x c +1
+
(c
+
k
)2
−
n2

ak
+
ak −2
xc+k = 0，
k =2
比较系数有
a2m+1 = 0
a2m =
( −1)m
22m
m !( n
1
+1)(n +
正交性
3
定理
对给定的
n
≥
0,
R
>
0
，设
µ
(n)
m
(
m
=
1,2, )为
J
n
(x)
的正零点，则在
区间[0，R]上，n
阶贝塞尔函数函数系

J
n


µ m( n ) R
r
,
m = 1, 2, 带权 r 正交,

即
∫ ( ) R
0 rJ n

µm(n) R
r
2)(n
+
m)
a0
,
取
a0
=
1
2n Γ ( n
+1)
,
得到贝塞尔方程的一个特解,
∑ J n
(x)
=
∞ m=0
2n+2m
( −1)m m!Γ(n +
m
+
1)
xn+2m
J n (x) 称为 n 阶第一类贝塞尔函数。
再令 c =
−n ,
a0
=
1
2−n Γ(− n + 1) ，可以得到贝塞尔方程的另外一个特解,
因此由 ①②两式
J
'' 0
(
x)
−
1 x
J
' 0
(
x
)
= − 12 J0
(x)
−
J2
( x )
+
1 2
J 0
(x)
+
J
2
( x )
=J 2
(x)
例 4 一均匀无穷长圆柱体，圆柱内部无热源，通过柱体表面沿法线方向的热量 为 q，若柱体的初始温度为常数U0 ，求任意时刻柱体的温度分布。
第六章 贝塞尔函数
一、重点难点分析
贝塞尔方程是在圆柱坐标或球坐标下使用分离变量法求解拉普拉斯方程和 亥姆霍兹方程时得到的一类方程，一般情况下，贝赛尔方程的解不能用初等的方 法获得，也不能用初等函数表出，从而导入了一类特殊函数——贝赛尔函数。贝 赛尔函数有一系列重要性质，如递推公式、零点分布性质，正交性、完备性等。 贝塞尔函数在数学物理方程中的波动问题以及各种涉及有势场的问题中占有非 常重要的地位，其中最典型的问题有：在圆柱形波导中的电磁波传播问题；圆柱 体中的热传导问题；圆形（或环形）薄膜的振动模态分析问题等。贝赛尔函数在 其他领域，如力学、大气科学、海洋科学等学科及电子工程、无线电等工程技术 中工程也被广泛地应用。
2
Yn
(
x)
=
lim
α →n
Jα
(
x)
cosαπ − sin απ
J
−α
(
x
)
Yn (x) 和 J n (x)线性无关。因此, n 阶贝塞尔方程的通解为 =y CJn ( x) + DYn ( x)
贝塞尔函数的递推公式
第一类贝塞尔函数的递推公式
d dx
xn J n
(
x )
=
xn J n−1
Jn

µk(n) R
r dr
=
0 R2 2
J2 n+1
µm(n)
(m ≠ k)
(m = k)
完备性
定理 若 f (r) 在区间 [0, R]上分段光滑, 则 f (r) 在 [0, R]有 n 阶贝塞尔级数展
开
∑ f
(r)
=
∞ m=1
Am J n

µ m( n ) R
∞
xn+2m
m=0 2n+2m m!Γ(n + m + 1)
为第一类虚宗量贝塞尔函数或第一类修正贝塞尔函数，称
Kn
(
x)
=

1 2
π
[
I
−
n
(
x