中考数学试卷分类汇编 矩形菱形与正方形
2010年全国中考数学试题汇编专题三十四·矩形、菱形、正方形.doc
（第 10 题） 【答案】B 24． （2010 湖北襄樊）下列命题中，真命题有（ ） （1）邻补角的平分线互相垂直 （2）对角线互相垂直平分的四边形是正方形 （3）四边形的外角和等于 360° （4）矩形的两条对角线相等 A ．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】C 25． （2010 湖北襄樊）菱形的周长为 8cm，高为 1cm，则菱形两邻角度数比为（ ） A ．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：1 【答案】C 26． （2010 四川泸州）如图 1，四边形 ABCD 是正方形，E 是边 CD 上一点，若△AFB 经过 逆时针旋转角θ后与△AED 重合，则θ的取值可能为（ ）
= 90� ，如果添加
） ．
31． （2010 四川自贡）边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 30°得到正方形 AB ′C′D′，两图叠成一个“蝶形风筝” （如图所示阴影部分） ，则这个风筝的面积是（ A．2－ C．2－ 3 3 3 4 B． 2 3 3 ） 。
D．2
【答案】A 32． （2010 山东荷泽）如图，矩形纸片 ABCD 中， AB＝4，AD＝3，折叠纸片使 AD 边与对 角线 BD 重合，折痕为 DG，记与点 A 重合点为 A ＇ ，则△A＇ BG 的面积与该矩形的面积 比为 1 1 1 1 A． B． C． D． 12 9 8 6
【答案】D 36． （2010 广东茂名）如图，边长为 1 的正方形 ABCD 绕点 A 逆时针旋转 45 度后得到正方
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形 AB ' C ' D ' ，边 B ' C ' 与 DC 交于点 O，则四边形 AB 'OD 的周长 . .是 A． 2 2 B． 3 C．
中考数学二轮专题复习-矩形、菱形及正方形及答案详解
中考数学二轮专题复习-矩形、菱形及正方形一、单选题1．下列四边形中，对角线互相垂直平分的是（）A．平行四边形、菱形B．矩形、菱形C．矩形、正方形D．菱形、正方形2．下列测量方案中，能确定四边形门框为矩形的是（）A．测量对角线是否互相平分B．测量两组对边是否分别相等C．测量对角线是否相等D．测量对角线交点到四个顶点的距离是否都相等3．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则菱形的面积为（）A．B．C．D．4．如图，有甲、乙、丙三个矩形，其中相似的是（）A．甲与丙B．甲与乙C．乙与丙D．三个矩形都不相似5．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB，cosA＝，AE＝3，则tan∠DBE的值是（）A．B．2C．D．6．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，E是边AB的中点，连结OE.若菱形ABCD的面积为24，AC＝8，则OE的长为（）A．B．3C．D．57．如图，在正方形ABCD中，E是边BC上一点，且BE：CE＝1：3，DE交AC于点F，若DE＝10，则CF等于()A．B．C．D．8．如图，矩形中，对角线交于点O，，则矩形的面积是（）A．2B．C．D．89．如图，将长、宽分别为6cm，cm的长方形纸片分别沿AB，AC折叠，点M，N恰好重合于点P．若∠α＝60°，则折叠后的图案（阴影部分）面积为（）A．cm2 B．（36）cm2C．cm2D．cm210．如图所示，反比例函数的图象经过矩形OABC的边AB的中点，则矩形OABC的面积为（）A．2B．4C．5D．811．如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠B=60°，AE⊥BC，AF⊥CD ，垂足分别为点E，F，连结EF，则△AEF 的面积是（）A．B．C．D．12．如图，四边形ABCD是正方形，BE⊥EF，DF⊥EF，BE=2.5dm，DF=4dm，那么EF的长为（）A．6.5dm B．6dm C．5.5dm D．4dm13．将一矩形纸片ABCD沿CE折叠，B点恰好落在AD边上的F处，若，则的值为（）A．B．C．D．14．正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为（）A．6B．8C．10D．915．如图，在矩形ABCD中，对角线、BD交于C，，垂足为E，，那么的面积是（）A．B．C．D．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以其三边为边向外作正方形，过点C作CI⊥HJ于点I，交AB于K，在图形的外部作矩形MNPQ，使点D，E，G和H，J都落在矩形的边上.已知矩形BJIK的面积为1，正方形ACDE的面积为4，则为（）A．B．C．D．17．如图，正方形的边长为a，点E在边上运动（不与点A，B重合），，点F在射线上，且与相交于点G，连接．则下列结论：①，② 的周长为 ，③；④当 时，G 是线段 的中点，其中正确的结论是（ ）A ．①②③B ．①④C ．①③④D ．①②③④ 18．如图，菱形ABCD 的边长为4，E 、F 分别是AB 、AD 上的点，AC 与EF 相交于点G ，若， ，则FG 的长为（ ）A ．B ．2C ．3D ．419．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，以△ABC 的各边为边分别作正方形BAHI ，正方形BCFG 与正方形CADE ，延长BG ，FG 分别交AD ，DE 于点K ，J ，连结DH ，IJ.图中两块阴影部分面积分别记为S 1，S 2.若S 1：S 2＝1：4，S 四边形边BAHE ＝18，则四边形MBNJ 的面积为（ ）A．5B．6C．8D．920．如图，在Rt△ABC中，∠CBA＝60°，斜边AB＝10，分别以△ABC的三边长为边在AB上方作正方形，S1，S2，S3，S4，S5分别表示对应阴影部分的面积，则S1+S2+S3+S4+S5＝（）A．50B．50C．100D．100二、填空题21．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，OA=OC=OB=OD，添加一个条件使四边形ABCD是正方形，那么所添加的条件可以是(写出一个即可)22．如图，分别以Rt△ABC三边构造三个正方形，面积分别为S1，S2，S3，若S1=15，S3=39，则S2=.23．如图，在平面直角坐标系中，点A1（1，0）、A2（3，0）、A3（6，0）、A4（10，0）、……，以A1A2为对角线作第一个正方形A1C1A2B1，以A2A3为对角线作第二个正方形A2C2A3B2，以A3A4，为对角线作第三个正方形A3C3A4B3，……，顶点B1，B2，B3……都在第一象限，按照此规律依次下去，则点Bn的坐标为.24．如图，菱形ABCD的对角线，BD相交于点，，，以AB为直径作一个半圆，则图中阴影部分的面积为.25．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10，AD，AB，BC分别与⊙O相切于E，F，G三点，过D作⊙O的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为.26．建党100周年主题活动中，702班浔浔设计了如图1的“红色徽章”其设计原理是：如图2，在边长为的正方形四周分别放置四个边长为的小正方形，构造了一个大正方形，并画出阴影部分图形，形成了“红色徽章”的图标.现将阴影部分图形面积记作，每一个边长为的小正方形面积记作，若，则的值是.27．如图，正方形ABCD的边长为4，P是边CD上的一动点，EF⊥BP交BP于G，且EF平分正方形ABCD的面积，则线段GC的最小值是.28．正方形ABCD的边长为4，点E是BC边上的一动点，连结AE，过点B作BF⊥AE于点F，以BF为边作正方形FBHG，当点E从B运动到C时，求CF的最短距离为；线段HG扫过的面积为29．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，将△BCD沿射线BD平移长度a（a＞0）得到△B'C'D'，连接AB'，AD'，则当△AB'D'是直角三角形时，a的长为.30．如图，矩形ABCD中，AB＝20，AD＝15，P，Q分别是AB，AD边上的动点，PQ＝16，以PQ 为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为．三、计算题31．如图，在中，，D为的中点，，，连接交于点O.（1）证明：四边形为菱形；（2）若，，求菱形的高.32．如图，已知在矩形ABCD中，AB=6，BC=2，点E，F分别在边CD，AB上，且DE=BF.（1）求证:四边形AFCE是平行四边形；（2）若□AFCE是菱形，求菱形AFCE的边长.四、解答题33．如图，在四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BD，CD，AC的中点，AD＝BC，求证：四边形EFGH是菱形．34．如图，矩形ABCD中，BC=4，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转得到矩形A′B′C′D′，此时点B′恰好落在边AD上．连接B′B，若∠AB′B=75°，求旋转角及AB长．35．如图，△ABC中，点D是边AC的中点，过D作直线PQ∥BC，∠BCA的平分线交直线PQ于点E，点G是△ABC的边BC延长线上的点，∠ACG的平分线交直线PQ于点F．求证：四边形AECF是矩形．36．在几何探究问题中，经常需要通过作辅助线（如，连接两点，过某点作垂线，作延长线，作平行线等等）把分散的条件相对集中，以达到解决问题的目的.（1）（探究发现）如图1，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，，连接EF.通过探究，可发现BE，EF，DF之间的数量关系为（直接写出结果）.（2）（验证猜想）同学们讨论得出下列三种证明思路（如图1）：思路一：过点A作，交CD的延长线于点G.思路二：过点A作，并截取，连接DG.思路三：延长CD至点G，使，连接AG.请选择你喜欢的一种思路证明（探究发现）中的结论.（3）（迁移应用）如图2，点E，F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且，，设，试用含的代数式表示DF的长.37．在平面直角坐标系中，O为原点，点A（6，0），点B在y轴的正半轴上，∠ABO＝30°．矩形CODE的顶点D，E，C分别在OA，AB，OB上，OD＝2．（Ⅰ）如图①，求点E的坐标；（Ⅱ）将矩形CODE沿x轴向右平移，得到矩形C′O′D′E′，点C，O，D，E的对应点分别为C′，O′，D′，E′．设OO′＝t，矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分的面积为S．①如图②，当矩形C′O′D′E′与△ABO重叠部分为五边形时，C′E′，E′D′分别与AB相交于点M，F，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围；②当≤S≤5 时，求t的取值范围（直接写出结果即可）．38．阅读下面的例题及点拨，并解决问题：例题：如图①，在等边中，是边上一点(不含端点)，是的外角的平分线上一点，且.求证：.点拨：如图②，作，与的延长线相交于点，得等边，连接.易证：，可得；又，则，可得；由，进一步可得又因为，所以，即：.问题：如图③，在正方形中，是边上一点(不含端点)，是正方形的外角的平分线上一点，且.求证：.五、综合题39．将绕点A按逆时针方向旋转度，并使各边长变为原来的n倍，得，如图①，我们将这种变换记为.（1）如图①，对作变换得，则；直线与直线所夹的锐角为度；（2）如图②，中，，对作变换得，使点B、C、在同一直线上，且四边形为矩形，求和n的值；（3）如图③，中，，对作变换得，使点B、C、在同一直线上，且四边形为平行四边形，求和n的值. 40．如图（1）如图1，正方形ABCD与调研直角△AEF有公共顶点A，∠EAF＝90°，连接BE、DF，将△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，直线BE、DF相交所成的角为β，则＝；β＝；（2）如图2，矩形ABCD与Rt△AEF有公共顶点A，∠EAF＝90°，且AD＝2AB，AF＝2AE，连接BE、DF，将Rt△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，直线BE、DF相交所成的角为β，请求出的值及β的度数，并结合图2进行说明；（3）若平行四边形ABCD与△AEF有公共项点A，且∠BAD＝∠EAF＝α(0°＜α＜180°)，AD＝kAB，AF＝kAE(k≠0)，将△AEF绕点A旋转，在旋转过程中，直线BE、DF相交所成的锐角的度数为β，则：①＝；②请直接写出α和β之间的关系式．答案解析部分【解析】【解答】解：∵平行四边形对角线互相平分，菱形对角线互相垂直平分，矩形对角线互相平分且相等，正方形对角线互相垂直平分且相等，∴A、B、C不符合题意，D符合题意.故答案为：D.【分析】根据平行四边形对角线互相平分，菱形对角线互相垂直平分，矩形对角线互相平分且相等，正方形对角线互相垂直平分且相等，即可得出答案.【解析】【解答】解：A、∵对角线互相平分的四边形是平行四边形，而对角线互相平分且相等的四边形才是矩形，∴选项A不符合题意；B、∵两组对边分别相等是平行四边形，∴选项B不符合题意；C、∵对角线互相平分且相等的四边形才是矩形，∴对角线相等的四边形不是矩形，∴选项C不符合题意；D、∵对角线交点到四个顶点的距离都相等，∴对角线互相平分且相等，∵对角线互相平分且相等的四边形是矩形，∴选项D符合题意.故答案为：D.【分析】利用对角线互相平分且相等的四边形是矩形，可作出判断.【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∴OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，∵DH⊥AB，∴∠BHD=90°，∴BD=2OH，∵OH=2，∴BD=4，∵OA=3，∴AC=6，∴菱形ABCD的面积．故答案为：A．【分析】根据菱形的性质和直角三角形斜边上的中线定理求出对角线的长即可求出菱形的面积。
2011年中考数学试题精选汇编《矩形、菱形、正方形》
2011年中考数学试题精选汇编《矩形、菱形、正方形》一、选择题1. （2011浙江省舟山，10，3分）如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH （不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm 2，四边形ABCD 面积是11cm 2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（ ）（A ）48cm（B ）36cm （C ）24cm （D ）18cm【答案】A 2. （2011山东德州8,3分）图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如图2），依此规律继续拼下去（如图3），……，则第n 个图形的周长是（A ）2n （B ）4n （C ）12n + （D ）22n +【答案】C3. （2011山东泰安，17 ，3分）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S 1，S 2，则S 1+S 2的值为A.17B.17C.18D.19图1图2 图3……（第10题） FA B C D H E① ②③ ④ ⑤4. （2011山东泰安，19 ，3分）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE 折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为A.23B. 332C. 3D.6【答案】A5. （2011浙江杭州，10，3）在矩形ABCD中，有一个菱形B F D E(点E，F分别在线段AB，CD上)，记它们的面积分别为ABCD BFDES S和．现给出下列命题：（）①若ABCDBFDESStan EDF∠=．②若2,DE BD EF=∙则2DF AD=．则:A．①是真命题，②是真命题 B．①是真命题，②是假命题C．①是假命题，②是真命题 D，①是假命题，②是假命题【答案】A6. （2011浙江衢州，1,3分）衢州市新农村建设推动了农村住宅旧貌变新颜，如图为一农村民居侧面截图，屋坡AF AG、分别架在墙体的点B、点C处，且AB AC=,侧面四边形BDEC为矩形，若测得100FAG∠=︒，则FBD∠=( )A. 35°B. 40°C. 55°D. 70°【答案】C7. （2011浙江温州，6，4分）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O．已知∠AOB= 60°，AC＝16，则图中长度为8的线段有( )A．2条B．4条C．5条D．6条8. 2011四川重庆，10，4分）如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC ＝3．其中正确结论的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C9. （2011浙江省嘉兴，10，4分）如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH （不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm 2，四边形ABCD 面积是11cm 2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（ ）（A ）48cm（B ）36cm （C ）24cm （D ）18cm【答案】A 10．（2011台湾台北，29）如图(十二)，长方形ABCD 中，E 为BC 中点，作AEC 的角平分线交AD 于F 点。
初中考数学专题总复习《四边形》矩形、菱形、正方形
∵BE＝DF，
∴OE＝OF.(2分)
在△AOE和△COF中，
OA＝OC
∠AOE＝∠COF
OE＝OF ∴△AOE≌△COF(SAS)， ∴AE＝CF；(4分)
第2题图
(2)若AB＝6，∠COD＝60°，求矩形ABCD的面积．
(2)解：∵OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD， ∴OA＝OB. ∵∠AOB＝∠COD＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴OA＝AB＝6， ∴AC＝2OA＝12，(6分) 在Rt△ABC中，由勾股定理得BC＝ AC 2 AB2 ＝6 3 ， ∴S矩形ABCD＝AB·BC＝6×6 3 ＝36 3 .(8分)
第5题图
(1)证明：∵对角线AC的中点为O， ∴AO＝CO. ∵AG＝CH， ∴AO－AG＝CO－CH.即GO＝HO. ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD. ∴∠OAE＝∠OCF. 又∵∠AOE＝∠COF， ∴△OAE≌△OCF(ASA)．
第5题图
∴OE＝OF. ∴GH与EF互相平分， ∴四边形EHFG是平行四边形；
证明：∵DE∥AC，CE∥BD，
∴四边形OCED是平行四边形，
∵四边形ABCD是矩形，
第1题图
∴AC＝BD，OA＝OC，OB＝OD. ∴OC＝OD，∴四边形OCED是菱形．
母题变式 改变条件、增加设问→在矩形基础上构造菱形，增加设问及解题难度． 2. (2020德阳)如图，四边形ABCD为矩形，G是对角线BD的中点，连接GC并延长 至F，使CF＝GC，以DC，CF为邻边作菱形DCFE.连接CE. (1)判断四边形CEDG的形状，并证明你的结论；
第6题图
(2)若∠ABE＝∠CBE，求证：四边形AFBE为矩形．
(2)∵点D、E分别为AB、AC的中点， ∴DE∥BC，∴∠DEB＝∠CBE， ∵∠ABE＝∠CBE， ∴∠DEB＝∠ABE，∴BD＝DE， ∵AD＝BD，DF＝DE， ∴AD＋BD＝DE＋DF，即AB＝EF， ∴四边形AFBE是矩形．
中考数学试题-矩形、菱形、正方形试题及答案
中考试题专题之19-矩形、菱形、正方形试题及答案一、选择题1.（湖北荆州）如图，将边长为8㎝的正方形ABCD 折叠，使点D 落在BC 边的中 点E 处，点A 落在F 处，折痕为MN ，则线段CN 的长是（ ） A ．3cm B ．4cm C ．5cm D ．6cm2.．（山西省）如图（1），把一个长为、宽为的长方形（）沿虚线剪开，拼接成图（2），成为在一角去掉一个小正方形后的一个大正方形，则去掉的小正方形的边长为（ ） A ．B ．C ．D ．3.（ 黑龙江大兴安岭）在矩形ABCD 中，1=AB ，3=AD ，AF 平分DAB ∠，过C 点作BD CE ⊥于E ，延长AF 、EC 交于点H ，下列结论中：①FH AF =；②BF BO =；③CH CA =；④ED BE 3=，正确的（ ） A ．②③ B ．③④ C ．①②④D ．②③④4．(河北)如图1，在菱形ABCD 中，AB = 5，∠BCD = 120°，则对 角线AC 等于（ ） A ．20B ．15C ．10D ．55.（兰州）如图7所示，将一张正方形纸片对折两次，然后在上面打3个洞，则纸片展m n m n >2m n -m n -2m2nmnnn （2）（1）N M FEBABAC D开后是6.（济南）如图，矩形ABCD 中，35AB BC ==，．过对角线交点O 作OE AC ⊥交AD 于E ，则AE 的长是（ ） A ．1.6 B ．2.5 C ．3 D ．3.47.（凉山州）如图，将矩形ABCD 沿对角线BD 折叠，使C 落在C '处，BC '交AD 于E ，则下列结论不一定成立的是（ ）A ．AD BC '=B ．EBD EDB ∠=∠C ．ABE CBD △∽△ D ．sin AEABE ED∠=8.（济宁市）“赵爽弦图”是四个全等的直角三角形与中间一个小正方形拼成的大正方形.如图，是一“赵爽弦图”飞镖板，其直角三角形的两条直角边的长分别是2和4.小明同学距飞镖板一定距离向飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上）, 则投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域（含边线）的概率是 A .12 B . 14 C . 15D .9.（衡阳市） 如图，菱形ABCD 的周长为20cm ，DE ⊥AB ，垂足为E ，54A cos =，则下列结论中正确 的个数为（ ）①DE =3cm ； ②EB =1cm ； ③2A BCD 15S cm =菱形． A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个C D C 'A BEA ．B ．C ．D ．10.（衡阳市）如图，矩形纸片ABCD 中，AB =4，AD =3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，折痕为DG ，则AG 的长为（ ） A ．1 B ．34 C ．23D ．211．（广西南宁）如图2，将一个长为10cm ，宽为8cm 的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下，再打开，得到的菱形的面积为（ ） A ．210cmB ．220cmC ．240cmD ．280cm12.（宁波市）如图，菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，M 、N 分别是边AB 、AD 的中点，连接OM 、ON 、MN ，则下列叙述正确的是（ ） A ．△AOM 和△AON 都是等边三角形 B ．四边形MBON 和四边形MODN 都是菱形C ．四边形AMON 与四边形ABCD 是位似图形 D ．四边形MBCO 和四边形NDCO 都是等腰梯形AB CDEA ′G DB CAABCD图2DBCANM O13．（桂林百色）如图,正方形ABCD 的边长为2，将长为2的线段QR 的两端放 在正方形的相邻的两边上同时滑动．如果Q 点从A 点出发，沿 图中所示方向按A →B →C →D →A 滑动到A 止，同时点R 从B 点 出发，沿图中所示方向按B →C →D →A →B 滑动到B 止，在这个 过程中，线段QR 的中点M 所经过的路线围成的图形的面积为 （ ）．A ．2B ．C ．D ．14．（河池）已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm ，则菱形的面积为（ ） A ． 23cmB ． 24cmC ．2 D ．215.（杭州市）如图，在菱形ABCD 中，∠A =110°，E ，F 分别是边AB 和BC 的中点，EP ⊥CD 于点P ，则∠FPC =（ ） A ．35° B ．45° C ．50° D ．55°16.(义乌)如图，一块砖的外侧面积为x ，那么图中残留部分墙面的面积为 A ．4x A ．12x A ．8x A ．16x17.（台湾） 如图(八)，长方形ABCD 中，E 点在上，且平分∠BAC 。
2012年中考数学分类解析(159套63专题)专题44_矩形、菱形、正方形
2012年全国中考数学试题分类解析汇编(159套63专题）专题44：矩形、菱形、正方形一、选择题1. （2012天津市3分）如图，在边长为2的正方形ABCD中，M为边AD的中点，延长MD 至点E，使ME=MC，以DE为边作正方形DEFG，点G在边CD上，则DG的长为【】（A1--（B）3-（C（D1【答案】D。
【考点】正方形的性质，勾股定理。
【分析】利用勾股定理求出CM的长，即ME的长，有DM=DE，所以可以求出DE，从而得到DC=1。
DG的长：∵四边形ABCD是正方形，M为边AD的中点，∴DM=12∴CM=1。
∵四边形EDGF1。
故选D。
2. （2012安徽省4分）为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为【】A.22aB. 32aC. 42aD.52a【答案】A。
【考点】正多边形和圆，等腰直角三角形的性质，正方形的性质。
【分析】图案中间的阴影部分是正方形，面积是2a ，由于原来地砖更换成正八边形，四周一个阴影部分是对角线为a 的正方形的一半，它的面积用对角线积的一半来计算：222114222a a a +⨯⨯=。
故选A 。
3. （2012山西省2分）如图，已知菱形ABCD 的对角线AC ．BD 的长分别为6cm 、8cm ，AE⊥BC 于点E ，则AE 的长是【 】A ．B ．C ．48cm 5D ．24cm 5【答案】D 。
【考点】菱形的性质，勾股定理。
【分析】∵四边形ABCD 是菱形，∴CO=12AC=3，BO=12BD=，AO⊥BO，∴5==。
∴ABC D 11S BD AC 682422=⋅=⨯⨯=菱形。
又∵ABC D S BC AE =⋅菱形，∴BC·AE=24，即()24AE cm 5=。
故选D 。
4. （2012陕西省3分）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，OE⊥AB，垂足为E ，若∠ADC=1300，则∠AOE 的大小为【 】A ．75°B ．65°C ．55°D ．50°【答案】B 。
中考数学专题训练：矩形、菱形、正方形(附参考答案)
中考数学专题训练：矩形、菱形、正方形（附参考答案）1．下列命题正确的是( )A ．正方形的对角线相等且互相平分B ．对角互补的四边形是平行四边形C ．矩形的对角线互相垂直D ．一组邻边相等的四边形是菱形2．如图，D ，E ，F 分别是△ABC 各边的中点，则以下说法错误的是( )A ．△BDE 和△DCF 的面积相等B ．四边形AEDF 是平行四边形C ．若AB ＝BC ，则四边形AEDF 是菱形D ．若∠A ＝90°，则四边形AEDF 是矩形3．如图，在正方形ABCD 中，E ，F 分别是AB ，BC 的中点，CE ，DF 交于点G ，连接AG .下列结论：①CE ＝DF ；②CE ⊥DF ；③∠AGE ＝∠CDF .其中正确的结论是( )A ．①②B ．①③C ．②③D ．①②③4．如图，平行四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为BC 的中点，连接EO 并延长交AD 于点F ，∠ABC ＝60°，BC ＝2AB .下列结论：①AB ⊥AC ；②AD ＝4OE ；③四边形AECF 是菱形；④S △BOE ＝14S △ABC .其中正确结论的个数是( )A ．4B ．3C ．2D ．15．如图，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝9 cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE＝2 cm，BD，EF交于点G.若G是EF的中点，则BG的长为______cm.6．如图，在菱形ABCD中，AC，BD为菱形的对角线，∠DBC＝60°，BD＝10，点F为BC的中点，则EF的长为_____．7．已知四边形ABCD是正方形，点E在边DA的延长线上，连接CE交AB于点G，过点B作BM⊥CE，垂足为点M，BM的延长线交AD于点F，交CD的延长线于点H.(1)如图1，求证：CE＝BH；(2)如图2，若AE＝AB，连接CF，在不添加任何辅助线情况下，请直接写出图2中的四个三角形(△AEG除外)，使写出的每个三角形都与△AEG全等．8．如图，在菱形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD上的点，且BE ＝BF＝CG＝AH.若菱形的面积等于24，BD＝8，则EF＋GH＝_____．9．如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，DE＝BE，AC与BD相交于点O，BE与AC相交于点F.(1)若BE平分∠CBD，求证：BF⊥AC；(2)找出图中与△OBF相似的三角形，并说明理由；(3)若OF＝3，EF＝2，求DE的长度．10．(1)如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE⊥DF，垂足为点G.求证：△ADE∽△DCF.【问题解决】(2)如图2，在正方形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF，延长BC 到点H，使CH＝DE，连接DH.求证：∠ADF＝∠H.【类比迁移】(3)如图3，在菱形ABCD中，点E，F分别在边DC，BC上，AE＝DF＝11，DE＝8，∠AED＝60°，求CF的长．参考答案1．A 2．C 3．A 4．D5．√13 6．5 7．(1)证明略 (2)略8．6解析：如图，连接AC ，交BD 于点O ，∵四边形ABCD 是菱形，BD ＝8，∴AB ＝BC ＝AD ＝CD ，AC ⊥BD ，AO ＝OC ＝12AC ，BO ＝OD ＝12BD ＝4. ∵S 菱形ABCD ＝12AC ·BD ＝24，∴AC ＝6，∴AO ＝3，∴AB ＝√AO 2+BO 2＝5＝AD .∵BE ＝BF ＝CG ＝AH ，∴AE ＝CF ＝DH ＝DG ，∴BE AE ＝BF CF ，∴EF ∥AC .同理可得GH ∥AC ，设BE ＝BF ＝CG ＝AH ＝a ，则有DH ＝5－a ，∵EF ∥AC ，∴△BEF ∽△BAC ，∴BE AB ＝EF AC ，即a 5＝EF 6，∴EF ＝65a ，同理可得DH DA ＝GH CA ，即5−a 5＝GH 6，∴GH ＝6－65a ，∴EF ＋GH ＝6.9．(1)证明略(2)与△OBF相似的三角形有△ECF，△BAF，理由略(3)DE＝3＋√1910．(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠C＝∠ADE＝90°，∴∠CDF＋∠DFC＝90°.∵AE⊥DF，∴∠DGE＝90°，∴∠CDF＋∠AED＝90°，∴∠AED＝∠DFC，∴△ADE∽△DCF.(2)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝DC，AD∥BC，∠ADE＝∠DCF＝90°.∵AE＝DF，∴Rt△ADE≌Rt△DCF(HL)，∴DE＝CF.∵CH＝DE，∴CF＝CH.∵点H在BC的延长线上，∴∠DCH＝∠DCF＝90°.又∵DC＝DC，∴△DCF≌△DCH(SAS)，∴∠DFC＝∠H.∵AD∥BC，∴∠ADF＝∠DFC，∴∠ADF＝∠H.(3)解：如图3，延长BC至点G，使CG＝DE＝8，连接DG，∵四边形ABCD是菱形，∴AD＝DC，AD∥BC，∴∠ADE＝∠DCG，∴△ADE≌△DCG(SAS)，∴∠DGC＝∠AED＝60°，AE＝DG. ∵AE＝DF，∴DG＝DF，∴△DFG是等边三角形，∴FG＝DF＝11.∵CF＋CG＝FG，∴CF＝FG－CG＝11－8＝3，即CF的长为3.。
新中考数学真题分项汇编专题16矩形菱形正方形(共50题)(原卷版)
专题16矩形菱形正方形（共50题）一．选择题（共24小题）1．（2020•荆门）如图，菱形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BD 的中点，若EF ＝5，则菱形ABCD 的周长为（ ）A ．20B ．30C ．40D ．502．（2020•黄冈）若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（ ）A ．4：1B ．5：1C ．6：1D ．7：13．（2020•牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，O 是菱形ABCD 对角线BD 的中点，AD ∥x 轴且AD ＝4，∠A ＝60°，将菱形ABCD 绕点O 旋转，使点D 落在x 轴上，则旋转后点C 的对应点的坐标是（ ）A ．（0，2√3）B ．（2，﹣4）C ．（2√3，0）D ．（0，2√3）或（0，﹣2√3）4．（2020•盐城）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，H 为BC 中点，AC ＝6，BD ＝8．则线段OH 的长为（ ）A ．125 B ．52 C ．3 D ．55．（2020•辽阳）如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，AC ＝8．BD ＝6，点E 是CD上一点，连接OE ，若OE ＝CE ，则OE 的长是（ ）A ．2B ．52C ．3D ．46．（2020•黑龙江）如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作DH ⊥AB 于点H ，连接OH ，若OA ＝6，S 菱形ABCD ＝48，则OH 的长为（ ）A ．4B ．8C ．√13D ．67．（2020•黑龙江）如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，过点D 作DH ⊥AB 于点H ，连接OH ，若OA ＝6，OH ＝4，则菱形ABCD 的面积为（ ）A ．72B ．24C ．48D ．968．（2020•绥化）如图，四边形ABCD 是菱形，E 、F 分别是BC 、CD 两边上的点，不能保证△ABE 和△ADF一定全等的条件是（ ）A ．∠BAF ＝∠DAEB ．EC ＝FC C ．AE ＝AFD ．BE ＝DF9．（2020•乐山）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝4，∠BAD ＝120°，O 是对角线BD 的中点，过点O 作OE⊥CD 于点E ，连结OA ．则四边形AOED 的周长为（ ）A ．9+2√3B ．9+√3C ．7+2√3D ．810．（2020•甘孜州）如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，E 为AB 的中点．若菱形ABCD 的周长为32，则OE 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．611．（2020•贵阳）菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是（ ）A ．5B ．20C ．24D ．3212．（2020•南充）如图，面积为S 的菱形ABCD 中，点O 为对角线的交点，点E 是线段BC 的中点，过点E 作EF ⊥BD 于F ，EG ⊥AC 于G ，则四边形EFOG 的面积为（ ）A ．14SB ．18SC ．112S D ．116S13．（2020•遵义）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝5，AC ＝6，过点D 作DE ⊥BA ，交BA 的延长线于点E ，则线段DE 的长为（ ）A ．125 B ．185 C ．4 D ．24514．（2020•湘西州）如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形ABCD的顶点A在x轴的正半轴上，矩形的另一个顶点D在y轴的正半轴上，矩形的边AB＝a，BC＝b，∠DAO＝x，则点C到x轴的距离等于（）A．a cos x+b sin x B．a cos x+b cos xC．a sin x+b cos x D．a sin x+b sin x15．（2020•怀化）在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，若△AOB的面积为2，则矩形ABCD的面积为（）A．4 B．6 C．8 D．1016．（2020•达州）如图，∠BOD＝45°，BO＝DO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，连接AC、BD 交于点E，连接OE交AD于点F．下列4个判断：①OE平分∠BOD；②OF＝BD；③DF=√2AF；④若点G是线段OF的中点，则△AEG为等腰直角三角形．正确判断的个数是（）A．4 B．3 C．2 D．117．（2020•泰安）如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，过点B作BF⊥AC交CD于点F，交AC于点M，过点D作DE∥BF交AB于点E，交AC于点N，连接FN，EM．则下列结论：①DN＝BM；②EM∥FN；③AE＝FC；④当AO＝AD时，四边形DEBF是菱形．其中，正确结论的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个18．（2020•连云港）如图，将矩形纸片ABCD沿BE折叠，使点A落在对角线BD上的A'处．若∠DBC＝24°，则∠A'EB等于（）A．66°B．60°C．57°D．48°19．（2020•天津）如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是（0，0），（0，6），点C在第一象限，则点C的坐标是（）A．（6，3）B．（3，6）C．（0，6）D．（6，6）20．（2020•黑龙江）如图，正方形ABCD的边长为a，点E在边AB上运动（不与点A，B重合），∠DAM ＝45°，点F在射线AM上，且AF=√2BE，CF与AD相交于点G，连接EC、EF、EG．则下列结论：①∠ECF＝45°；②△AEG的周长为（1+√22）a；③BE2+DG2＝EG2；④△EAF的面积的最大值是18a2；⑤当BE=13a时，G是线段AD的中点．其中正确的结论是（）A ．①②③B ．②④⑤C ．①③④D ．①④⑤21．（2020•河南）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，边BC 在x 轴上，顶点A ，B 的坐标分别为（﹣2，6）和（7，0）．将正方形OCDE 沿x 轴向右平移，当点E 落在AB 边上时，点D 的坐标为（ ）A ．（32，2）B ．（2，2）C ．（114，2） D ．（4，2）22．（2020•湖州）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，流行于世界各地．由边长为2的正方形可以制作一副中国七巧板或一副日本七巧板，如图1所示．分别用这两副七巧板试拼如图2中的平行四边形或矩形，则这两个图形中，中国七巧板和日本七巧板能拼成的个数分别是（ ）A ．1和1B ．1和2C ．2和1D ．2和223．（2020•台州）下列是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形．下列推理过程正确的是（ ）A ．由②推出③，由③推出①B ．由①推出②，由②推出③C ．由③推出①，由①推出②D ．由①推出③，由③推出② 24．（2020•菏泽）如果顺次连接四边形的各边中点得到的四边形是矩形，那么原来四边形的对角线一定满足的条件是（ ）A ．互相平分B ．相等C．互相垂直D．互相垂直平分二．填空题（共15小题）25．（2020•常州）数学家笛卡尔在《几何》一书中阐述了坐标几何的思想，主张取代数和几何中最好的东西，互相以长补短．在菱形ABCD中，AB＝2，∠DAB＝120°．如图，建立平面直角坐标系xOy，使得边AB在x轴正半轴上，点D在y轴正半轴上，则点C的坐标是．26．（2020•营口）如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，其中OA＝1，OB＝2，则菱形ABCD 的面积为．27．（2020•陕西）如图，在菱形ABCD中，AB＝6，∠B＝60°，点E在边AD上，且AE＝2．若直线l经过点E，将该菱形的面积平分，并与菱形的另一边交于点F，则线段EF的长为．28．（2020•哈尔滨）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，点E在线段BO上，连接AE，若CD＝2BE，∠DAE＝∠DEA，EO＝1，则线段AE的长为．29．（2020•无锡）如图，在菱形ABCD中，∠B＝50°，点E在CD上，若AE＝AC，则∠BAE＝°．30．（2020•淮安）菱形的两条对角线长分别为6和8，则这个菱形的边长为 ．31．（2020•嘉兴）如图，▱ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，请添加一个条件： ，使▱ABCD 是菱形．32．（2020•菏泽）如图，矩形ABCD 中，AB ＝5，AD ＝12，点P 在对角线BD 上，且BP ＝BA ，连接AP 并延长，交DC 的延长线于点Q ，连接BQ ，则BQ 的长为 ．33．（2020•绍兴）将两条邻边长分别为√2，1的矩形纸片剪成四个等腰三角形纸片（无余纸片），各种剪法剪出的等腰三角形中，其中一个等腰三角形的腰长可以是下列数中的 （填序号）．①√2，②1，③√2−1，④√32，⑤√3． 34．（2020•青岛）如图，在正方形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，点E 在CD 的延长线上，连接AE ，点F 是AE 的中点，连接OF 交AD 于点G ．若DE ＝2，OF ＝3，则点A 到DF 的距离为 ．35．（2020•连云港）如图，将5个大小相同的正方形置于平面直角坐标系中，若顶点M 、N 的坐标分别为（3，9）、（12，9），则顶点A 的坐标为 ．36．（2020•绍兴）如图1，直角三角形纸片的一条直角边长为2，剪四块这样的直角三角形纸片，把它们按图2放入一个边长为3的正方形中（纸片在结合部分不重叠无缝隙），则图2中阴影部分面积为 ．37．（2020•枣庄）如图，E ，F 是正方形ABCD 的对角线AC 上的两点，AC ＝8，AE ＝CF ＝2，则四边形BEDF的周长是 ．38．（2020•天水）如图，将正方形OEFG 放在平面直角坐标系中，O 是坐标原点，点E 的坐标为（2，3），则点F 的坐标为 ．39．（2020•德州）如图，在矩形ABCD 中，AB =√3+2，AD =√3．把AD 沿AE 折叠，使点D 恰好落在AB边上的D ′处，再将△AED ′绕点E 顺时针旋转α，得到△A 'ED ″，使得EA ′恰好经过BD ′的中点F ．A ′D ″交AB 于点G ，连接AA ′．有如下结论：①A ′F 的长度是√6−2；②弧D 'D ″的长度是5√312π；③△A ′AF ≌△A ′EG ；④△AA ′F ∽△EGF ．上述结论中，所有正确的序号是 ．三．解答题（共11小题）40．（2020•福建）如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE＝DF．求证：∠BAE＝∠DAF．41．（2020•滨州）如图，过▱ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边AB、BC、CD、DA于点P、M、Q、N．（1）求证：△PBE≌△QDE；（2）顺次连接点P、M、Q、N，求证：四边形PMQN是菱形．42．（2020•郴州）如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E和F，使得AE＝CF．连接DE，DF，BE，BF．求证：四边形BEDF是菱形．43．（2020•连云港）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N．（1）求证：四边形BNDM是菱形；（2）若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周长．44．（2020•聊城）如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形．45．（2020•遂宁）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：△BDE≌△F AE；（2）求证：四边形ADCF为矩形．46．（2020•北京）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．47．（2020•湘西州）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．（1）求证：△BAE≌△CDE；（2）求∠AEB的度数．48．（2020•自贡）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE ＝DF，连接AE和BF相交于点M．求证：AE＝BF．49．（2020•遵义）如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E为对角线AC上一动点（点E与点A、C不重合），连接DE，作EF⊥DE交射线BA于点F，过点E作MN∥BC分别交CD、AB于点M、N，作射线DF交射线CA于点G．（1）求证：EF＝DE；（2）当AF＝2时，求GE的长．50．（2020•临沂）如图，菱形ABCD的边长为1，∠ABC＝60°，点E是边AB上任意一点（端点除外），线段CE的垂直平分线交BD，CE分别于点F，G，AE，EF的中点分别为M，N．（1）求证：AF＝EF；（2）求MN+NG的最小值；（3）当点E在AB上运动时，∠CEF的大小是否变化？为什么？。
中考数学专项训练： 矩形、菱形与正方形(含解析)
一、选择题9．（2019·苏州）如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 交于点O ，AC =4，BD =16将△ABO 沿点A 到点C 的方向平移，得到△A 'B 'O '．当点A '与点C 重合时，点A 与点B '之问的距离为 （ ） A ．6 B ．8 C ．10 D ．12（第9题）【答案】C【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AO ＝OC 12=AC ＝2，OB ＝OD 12=BD ＝8，∵△ABO 沿点A 到点C 的方向平移，得到△A 'B 'O '，点A '与点C 重合，∴O 'C ＝OA ＝2，O 'B '＝OB ＝8，∠CO 'B '＝90°， ∴AO '＝AC +O 'C ＝6，∴AB'===10，故选C ．10．（2019·温州）如图，在矩形ABCD 中，E 为AB 中点，以BE 为边作正方形BEFG ，边EF 交CD 于点H ，在边BE 上取点M 使BM=BC ，作MN ∥BG 交CD 于点L ，交FG 于点N ．欧几里得在《几何原本》中利用该图解释了(a+b)(a-b)=a 2-b 2．现以点F 为圆心，FE 为半径作圆弧交线段DH 于点P ，连结EP ，记△EPH 的面积为S 1，图中阴影部分的面积为S 2．若点A ，L ，G 在同一直线上，则12S S 的值为 （ ）A．2 B．3 C．4 D．6【答案】C【解析】如图，连接ALGL ，PF ．由题意：S 矩形AMLD ＝S 阴＝a 2﹣b 2，PH＝22-a b ，∵点A ，L ，G 在同一直线上，AM ∥GN ，∴△AML ∽△GNL ，∴＝，∴＝，整理得a ＝3b ，∴＝＝＝，故选C ．9．（2019·绍兴）正方形ABCD 的边AB 上有一动点E ，以EC 为边作矩形ECFG ，且边FG 过点D ，在点E 从点A 移动到点B 的过程中，矩形ECFG 的面积 ( )A.先变大后变小B.先变小后变大C.一直变大D.保持不变10． （2019·烟台）如图，面积为24的ABCD 中，对角线BD 平分，过点D 作交BC 的延长线于点E ，6DE =，则sin DCE ∠的值为（ ）．A ．2425B ．45C ．34D ．1225【答案】A【解析】连接AC ，交BD 于点F ，过点D 作DM CE ⊥，垂足为M因为四边形ABCD 是平行四边形， 所以F 是BD 的中点，AD//BC ， 所以DBC ADB ∠=∠，因为BD 是 ABC ∠的平分线， 所以ABD DBC ∠=∠， 所以ABD ADB ∠=∠， 所以AB AD =，所以□ABCD 是菱形， 所以AC BD ⊥， 又因为DE BD ⊥， 所以AC//DE ，因为AC//DE ，F 是BD 的中点， 所以C 是BE 的中点，所以132CF DE ==， 因为四边形ABCD 是菱形， 所以26AC FC ==，2ABCD AC BDS ⨯=菱形， FADB所以222486ABCDS BD AC⨯===菱形， 所以142BF BD ==， 在Rt △BFD 中，由勾股定理得5BC ==，因为四边形ABCD 是菱形， 所以5DC BC ==，因为ABCD S BC DM =⨯菱形 所以245ABCDS DM BC==菱形， 在Rt △DCM 中，24sin 25DM DCE DC ∠==． 6．（2019·江西）如图，由10根完全相同的小棒拼接而成，请你再添2根与前面完全相同的小棒，拼接后的图形恰好有3个菱形的方法共有（ ）A.3种B.4种C.5种D.6种【答案】B【解题过程】具体拼法有4种，如图所示：4．（2019·株洲）对于任意的矩形，下列说法一定正确的是（） A ．对角线垂直且相等B ．四边都互相垂直C ．四个角都相等D ．是轴对称图形，但不是中心对称图形 【答案】C 【解析】根据矩形的性质可知，矩形的对角线相等但不一定垂直，所以选项A 是错误的；矩形相邻的边互相垂直，对边互相平行，所以选项B 是错误的；矩形的四个角都是直角，所以四个角都相等是正确的；矩形既是轴对称图形，又是中心对称图形，所以选项D 是错误的；故选C.3． （2019·娄底）顺次连接菱形四边中点得到的四边形是（ ）A 平行四边形B ． 菱形C ． 矩形D ． 正方形 【答案】C【解析】如图：菱形ABCD 中，E 、F 、G 、H 分别是AB 、BC 、CD 、AD 的中点，∴EH ∥FG ∥BD ，EH ＝FG ＝ 12 BD ；EF ∥HG ∥AC ，EF ＝HG ＝12 AC ， 故四边形EFGH 是平行四边形， 又∵AC ⊥BD ，∴EH ⊥EF ，∠HEF ＝90° ∴四边形EFGH 是矩形． 故选C ．10．（2019·安徽）如图，在正方形ABCD 中，点E 、F 将对角线AC 三等分，且AC=12.点P 在正方形的边上，则满足PE+PF=9的点P 的个数是A. 0B. 4C. 6D. 8【答案】D【解题过程】如图，作点F 关于CD 的对称点F /，连接PF /、PF ，则PE ＋PF ＝EF /，根据两点之间线段最知可知此时PE ＋PF 的值最小.过点E 作EH ⊥FF /，垂足为点H ，FF’交CD 于点G ，易知△EHF 、△CFG 是等腰直角三角形，∴EH ＝FH ＝FG ＝F’G＝2EF ＝，∴EF’＝9.根据正方形的对称性可知正方形ABCD 的每条边上都有一点P 使得PE ＋PF 最小值.连接DE 、DF ，易求得DE ＋DF ＝＞9，CE ＋CF ＝12＞0，故点P 位于点B 、D 时，PE ＋PF ＞9，点P 位于点A 、C 时，PE ＋PF ＞9，∴该正方形每条边上都有2处点使得PE ＋PF ＝9，共计点P 有8处.1.（2019·无锡）下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（） A.内角和为360° B.对角线互相平分 C.对角线相等 D.对角线互相垂直 【答案】C【解析】本题考查了矩形的性质、菱形的性质，矩形的对角线相等且平分，菱形的对角线垂直且平分，所以矩形具有而菱形不具有的为对角线相等，故选C ．2. (2019·泰安)如图,矩形ABCD 中,AB ＝4,AD ＝2,E 为AB 的中点,F 为EC 上一动点,P 为DF 中点,连接PB,则PBB的最小值是A.2B.4C.2D.22【答案】D【解析】∵F为EC上一动点,P为DF中点,∴点P的运动轨迹为△DEC的中位线MN,∴MN∥EC,连接ME,则四边形EBCM为正方形,连接BM,则BM⊥CE,易证BM⊥MN,故此时点P与点M重合,点F与点C重合,BP取到最小值,在Rt△BCP中,BP＝22BC CP＝22.3.（2019·眉山）如图，在矩形ABCD中AB=6，BC=8，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE的长是A．1 B．74C．2 D．125【答案】B【解析】连接CE，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，OC=OA，AD=BC=8，DC=AB=6，∵EF⊥AC，OA=OC，∴AE=CE，在Rt△DEC中，DE2+DC2=CE2，即DE2+36=（8-DE）2，解得：x=74，故选B.4.（2019·攀枝花）下列说法错误的是（）A．平行四边形的对边相等B．对角线相等的四边形是矩形C．对角线互相垂直的平行四边形是菱形D．正方形既是轴对称图形、又是中心对称图形【答案】B【解析】对角线相等的四边形不一定是矩形，如等腰梯形.故选B．5.（2019·攀枝花）如图，在正方形ABCD中，E是BC边上的一点，BE＝4，EC＝8，将正方形边AB沿AE折叠到AF ，延长EF 交DC 于G 。
中考数学真题分类汇编及解析(二十八)菱形
（2022•武威中考）如图1，在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，动点P 从点A 出发，沿折线AD →DC →CB 方向匀速运动，运动到点B 停止．设点P 的运动路程为x ，△APB 的面积为y ，y 与x 的函数图象如图2所示，则AB 的长为（ ）A ．√3B ．2√3C ．3√3D ．4√3【解析】选B ．在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，所以△ABD 为等边三角形，设AB ＝a ，由图2可知，△ABD 的面积为3√3，所以S △ABD =√34a 2＝3√3，解得：a ＝2√3. （2022•自贡中考）如图，菱形ABCD 对角线交点与坐标原点O 重合，点A （﹣2，5），则点C 的坐标是（ ）A ．（5，﹣2）B ．（2，﹣5）C ．（2，5）D ．（﹣2，﹣5）【解析】选B.因为四边形ABCD 是菱形，所以OA ＝OC ，即点A 与点C 关于原点对称，因为点A （﹣2，5），所以点C 的坐标是（2，﹣5）.（2022•株洲中考）如图所示，在菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，过点C 作CE ∥BD 交AB 的延长线于点E ，下列结论不一定正确的是（ ）A ．OB =12CE B ．△ACE 是直角三角形C ．BC =12AE D ．BE ＝CE 【解析】选D ．因为四边形ABCD 是菱形，所以AO ＝CO =12，AC ⊥BD ，因为CE ∥BD ，所以△AOB ∽△ACE ，所以∠AOB ＝∠ACE ＝90°，AOAC =OBCE =ABAE =12，（2022•河南中考）如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 为CD 的中点．若OE ＝3，则菱形ABCD 的周长为（ ）A ．6B ．12C ．24D ．48【解析】选C ．因为四边形ABCD 为菱形，所以AC ⊥BD ，AB ＝BC ＝CD ＝DA ，所以△COD 为直角三角形．因为OE ＝3，点E 为线段CD 的中点，所以CD ＝2OE ＝6．所以C 菱形ABCD ＝4CD ＝4×6＝24．（2022•赤峰中考）如图，菱形ABCD ，点A 、B 、C 、D 均在坐标轴上．∠ABC ＝120°，点A （﹣3，0），点E是CD 的中点，点P 是OC 上的一动点，则PD +PE 的最小值是（ ）A ．3B ．5C ．2√2D ．32√3【解析】选A ．根据题意得，E 点关于x 轴的对称点是BC 的中点E '，连接DE '交AC 与点P ，此时PD +PE 有最小值为DE '，因为四边形ABCD 是菱形，∠ABC ＝120°，点A （﹣3，0），所以OA ＝OC ＝3，∠DBC ＝60°，所以△BCD 是等边三角形，所以DE '＝OC ＝3，即PD +PE 的最小值是3．（2022•海南中考）如图，菱形ABCD 中，点E 是边CD 的中点，EF 垂直AB 交AB 的延长线于点F ，若BF ：CE ＝1：2，EF =√7，则菱形ABCD 的边长是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．45√7【解析】选B ．过点D 作DH ⊥AB 于点H ，如图，因为四边形ABCD是菱形，所以AD＝AB＝CD，AB∥CD．因为EF⊥AB，DH⊥AB，所以DH∥EF，所以四边形DHFE为平行四边形，所以HF＝DE，DH＝EF=√7．因为点E是边CD的中点，所以DE=12CD，所以HF=12CD=12AB．因为BF：CE＝1：2，所以设BF＝x，则CE＝2x，所以CD＝4x，DE＝HF＝2x，AD＝AB＝4x，所以AF＝AB+BF＝5x．所以AH＝AF﹣HF＝3x．在Rt△ADH中，因为DH2+AH2＝AD2，所以(√7)2+(3x)2=(4x)2．解得：x＝±1（负数不合题意，舍去），所以x＝1．所以AB＝4x＝4．即菱形ABCD的边长是4.A ．52 B ．5 C ．10 D ．20 【解析】选C ．由作图过程可得：PQ 为BD 的垂直平分线，所以BM ＝MD ，BN ＝ND ．设PQ 与BD 交于点O ，如图，则BO ＝DO ．因为四边形ABCD 是矩形，所以AD ∥BC ，所以∠MDO ＝∠NBO ，∠DMO ＝∠BNO ，在△MDO 和△NBO 中，{∠MDO =∠NBO∠DMO =∠BNO OD =OB，所以△MDO ≌△NBO （AAS ），所以DM ＝BN ，所以四边形BNDM 为平行四边形，因为BM ＝MD ，所以四边形MBND 为菱形，所以四边形MBND 的周长＝4BM ．设MB ＝x ，则MD ＝BM ＝x ，所以AM ＝AD ﹣DM ＝4﹣x ，在Rt △ABM 中，因为AB 2+AM 2＝BM 2，所以22+（4﹣x ）2＝x 2，解得：x =52，所以四边形MBND 的周长＝4BM ＝10．（2022•武威中考）如图，菱形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若AB ＝2√5cm ，AC ＝4cm ，则BD 的长为8 cm ．【解析】因为四边形ABCD 是菱形，AC ＝4cm ，所以AC ⊥BD ，BO ＝DO ，AO ＝CO ＝2cm ，因为AB ＝2√5cm ，所以BO =√AB 2−AO 2=4cm ，所以DO ＝BO ＝4cm ，所以BD ＝8cm.答案：8．（2022•温州中考）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝1，∠BAD ＝60°．在其内部作形状、大小都相同的菱形AENH和菱形CGMF ，使点E ，F ，G ，H 分别在边AB ，BC ，CD ，DA 上，点M ，N 在对角线AC 上．若AE ＝3BE ，则MN 的长为 √32 ．【解析】连接DB 交AC 于点O ，作MI ⊥AB 于点I ，作FJ ⊥AB 交AB 的延长线于点J ，如图所示，因为四边形ABCD 是菱形，∠BAD ＝60°，AB ＝1，所以AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝1，∠BAC ＝30°，AC ⊥BD ，因为△ABD 是等边三角形，所以OD =12，所以AO =√AD 2−DO 2=√12−(12)2=√32， 所以AC ＝2AO =√3，因为AE ＝3BE ，所以AE =34，BE =14，因为菱形AENH 和菱形CGMF 大小相同，所以BE ＝BF =14，∠FBJ ＝60°，所以FJ ＝BF •sin60°=14×√32=√38， 所以MI ＝FJ =√38，所以AM =MI sin30°=√3812=√34， 同理可得，CN =√34， 所以MN ＝AC ﹣AM ﹣CN =√3−√34−√34=√32. 答案：√32．DQ ﹣P 'Q 的最大值为 16√23．【解析】如图，连接BD 交AC 于点O ，过点D 作DK ⊥BC 于点B ，延长DE 交AB 于点R ，连接EP ′交AB 于点J ，作EJ 关于AC 的对称线段EJ ′，则DP ′的对应点P ″在线段EJ ′上．当点P 是定点时，DQ ﹣QP ′＝AD ﹣QP ″，当D ，P ″，Q 共线时，QD ﹣QP ′的值最大，最大值是线段DP ″的长，当点P 与B 重合时，点P ″与J ′重合，此时DQ ﹣QP ′的值最大，最大值是线段DJ ′的长，也就是线段BJ 的长．因为四边形ABCD 是菱形，所以AC ⊥BD ，AO ＝OC ，因为AE ＝14．EC ＝18，所以AC ＝32，AO ＝OC ＝16，所以OE ＝AO ﹣AE ＝16﹣14＝2，因为DE ⊥CD ，所以∠DOE ＝∠EDC ＝90°，因为∠DEO ＝∠DEC ，所以△EDO ∽△ECD ，所以DE 2＝EO •EC ＝36，所以DE ＝EB ＝EJ ＝6，所以CD =√EC 2−DE 2=√182−62=12√2，所以OD =√DE 2−OE 2=√62−22=4√2，所以BD ＝8√2，因为S △DCB =12×OC ×BD =12BC •DK ， 所以DK =12×16×8√212√212×16×8√26√2=323， 因为∠BER ＝∠DCK ，所以sin ∠BER ＝sin ∠DCK =DK CD =32312√2=4√29， 所以RB ＝BE ×4√29=8√23，3（2022•达州中考）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝24，BD＝10，则菱形ABCD的周长为52．【解析】因为四边形ABCD是菱形，所以AB＝BC＝CD＝DA，AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO，因为AC＝24，BD＝10，所以AO=12AC＝12，BO=12BD＝5，在Rt△AOB中，AB=√AO2+BO2=√122+52=13，所以菱形的周长为13×4＝52．答案：52（2022•娄底中考）菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，点P、Q分别是BC、BD上的动点，CQ+PQ的最小值为√2．【解析】连接AQ，作AH⊥BC于H，因为四边形ABCD是菱形，所以AB＝CB，∠ABQ＝∠CBQ，因为BQ＝BQ，所以△ABQ≌△CBQ（SAS），（2022•天津中考）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，E为AB的中点，F为CE的中点，AF与DE相交于点G，则GF的长等于√194．【解析】如图，过点F作FH∥CD，交DE于H，过点C作CM⊥AB，交AB的延长线于M，连接FB，因为四边形ABCD是菱形，所以AB＝CD＝BC＝2，AB∥CD，所以FH∥AB，所以∠FHG＝∠AEG，因为F是CE的中点，FH∥CD，所以H是DE的中点，所以FH是△CDE的中位线，所以FH=12CD＝1，因为E是AB的中点，所以AE＝BE＝1，所以AE＝FH，因为∠AGE＝∠FGH，所以△AEG≌△FHG（AAS），所以AG＝FG，因为AD∥BC，4（2022•陕西中考）如图，在菱形ABCD 中，AB ＝4，BD ＝7．若M 、N 分别是边AD 、BC 上的动点，且AM ＝BN ，作ME ⊥BD ，NF ⊥BD ，垂足分别为E 、F ，则ME +NF 的值为 √152．【解析】连接AC 交BD 于O ，因为四边形ABCD 为菱形，所以BD ⊥AC ，OB ＝OD =72，OA ＝OC ，由勾股定理得：OA =√AB 2−OB 2=√42−(72)2=√152，因为ME ⊥BD ，AO ⊥BD ，所以ME ∥AO ，所以△DEM ∽△DOA ，所以MEOA =DMAD ，即ME√152=4−AM 4，解得：ME =4√15−√15AM 8， 同理可得：NF =√15AM 8，所以ME +NF =√152，答案：√152．（2022•台州中考）如图，在菱形ABCD 中，∠A ＝60°，AB ＝6．折叠该菱形，使点A 落在边BC 上的点M 处，折痕分别与边AB ，AD 交于点E ，F ．当点M 与点B 重合时，EF 的长为 3√3 ；当点M 的位置变化时，DF 长的最大值为 6﹣3√3 ．【解析】如图1中，因为四边形ABCD 是菱形，所以AD ＝AB ＝BC ＝CD ，∠A ＝∠C ＝60°，所以△ADB ，△BDC 都是等边三角形，当点M 与B 重合时，EF 是等边△ADB 的高，EF ＝AD •sin60°＝6×√32=3√3．如图2中，连接AM 交EF 于点O ，过点O 作OK ⊥AD 于点K ，交BC 于点T ，过点A 作AG ⊥CB 交CB 的延长线于点G ，取AD 的中点R ，连接OR ．因为AD ∥CG ，OK ⊥AD ，所以OK ⊥CG ，所以∠G ＝∠AKT ＝∠GTK ＝90°，所以四边形AGTK 是矩形，所以AG ＝TK ＝AB •sin60°＝3√3，因为OA ＝OM ，∥AOK ＝∠MOT ，∠AKO ＝∠MTO ＝90°，（2022•黔东南州中考）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，DE∥AC，CE∥BD．若AC＝10，则四边形OCED的周长是20．【解析】因为DE∥AC，CE∥BD，所以四边形OCED是平行四边形，所以OC＝DE，OD＝CE，因为矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，所以OC=12AC＝5，OD=12BD，BD＝AC，所以OC＝OD＝5，所以OC＝OD＝CE＝DE，所以平行四边形OCED是菱形，所以C菱形OCED＝4OC＝4×5＝20.答案：20．（2022•哈尔滨中考）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E在OB上，连接AE，点F为CD 的中点，连接OF．若AE＝BE，OE＝3，OA＝4，则线段OF的长为2√5．【解析】因为四边形ABCD是菱形，所以AC⊥BD，AO＝CO＝4，BO＝DO，所以AE=√AO2+EO2=√9+16=5，所以BE＝AE＝5，所以BO＝8，所以BC=√BO2+CO2=√64+16=4√5，因为点F为CD的中点，BO＝DO，所以OF=12BC＝2√5.答案：2√5．【解析】添加的条件是AB ＝CD ，理由如下：因为AB ∥CD ，AB ＝CD ，所以四边形ABCD 是平行四边形，又因为AC ⊥BD ，所以平行四边形ABCD 是菱形.答案：AB ＝CD （答案不唯一）．（2022•龙东中考）如图，菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，∠BAD ＝60°，AD ＝3，AH 是∠BAC的平分线，CE ⊥AH 于点E ，点P 是直线AB 上的一个动点，则OP +PE 的最小值是 32√6 ．【解析】连接OE ，过点O 作OF ⊥AB ，垂足为F ，并延长到点O ′，使O ′F ＝OF ，连接O ′E 交直线AB 于点P ，连接OP ，所以AP 是OO ′的垂直平分线，所以OP ＝O ′P ，所以OP +PE ＝O ′P +PE ＝O ′E ，此时，OP +PE 的值最小，因为四边形ABCD 是菱形，所以AD ＝AB ＝3，∠BAC =12∠BAD ，OA ＝OC =12AC ，OD ＝OB =12BD ，∠AOD ＝90°，因为∠BAD ＝60°，所以△ADB 是等边三角形，所以BD ＝AD ＝3，所以OD =12BD =32，所以AO =√AD 2−DO 2=√32−(32)2=32√3，所以AC ＝2OA ＝3√3，因为CE ⊥AH ，所以∠AEC ＝90°，所以OE ＝OA =12AC =32√3，所以∠OAE ＝∠OEA ，因为AE 平分∠CAB ，所以∠OAE ＝∠EAB ，所以∠OEA ＝∠EAB ，所以OE ∥AB ，所以∠EOF ＝∠AFO ＝90°， 在Rt △AOF 中，∠OAB =12DAB ＝30°，所以OF =12OA =34√3，所以OO ′＝2OF =32√3，在Rt △EOO ′中，O ′E =√EO 2+OO ′2=√(32√3)2+(32√3)2=32√6， 所以OE +PE =32√6，所以OP +PE 的最小值为32√6. 答案：32√6．（2022·安徽中考）已知四边形ABCD 中，BC ＝CD ，连接BD ，过点C 作BD 的垂线交AB 于点E ，连接DE ．【解析】（1）证明：设CE 与BD 交于点O ，因为CB ＝CD ，CE ⊥BD ，所以DO ＝BO ，因为DE ∥BC ，所以∠DEO ＝∠BCO ，因为∠DOE ＝∠BOC ，所以△DOE ≌△BOC （AAS ），所以DE ＝BC ，所以四边形BCDE 是平行四边形，因为CD ＝CB ，所以平行四边形BCDE 是菱形；（2）（i ）解：因为DE 垂直平分AC ，所以AE ＝EC 且DE ⊥AC ，所以∠AED ＝∠CED ，又因为CD ＝CB 且CE ⊥BD ，所以CE 垂直平分DB ，所以DE ＝BE ，所以∠DEC ＝∠BEC ，所以∠AED ＝∠CED ＝∠BEC ，又因为∠AED +∠CED +∠BEC ＝180°，所以∠CED =13×180°=60°；（ii ）证明：由（i ）得AE ＝EC ，又因为∠AEC ＝∠AED +∠DEC ＝120°，所以∠ACE ＝30°，同理可得，在等腰△DEB 中，∠EBD ＝30°，所以∠ACE ＝∠ABF ＝30°， 在△ACE 与△ABF 中，{∠ACE =∠ABF∠CAE =∠BAF AE =AF，所以△ABF ≌△ACE （AAS ），所以AC ＝AB ，又因为AE ＝AF ，所以AB ﹣AE ＝AC ﹣AF ，即BE ＝CF ．（2022•连云港中考）如图，四边形ABCD 为平行四边形，延长AD 到点E ，使DE ＝AD ，且BE ⊥DC ．（1）求证：四边形DBCE 为菱形；（2）若△DBC 是边长为2的等边三角形，点P 、M 、N 分别在线段BE 、BC 、CE 上运动，求PM +PN 的最小值．【解析】（1）证明：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以AD ∥BC ，AD ＝BC ，因为DE ＝AD ，所以DE ＝BC ，因为E 在AD 的延长线上，所以DE ∥BC ，所以四边形DBCE是平行四边形，因为BE⊥DC，所以四边形DBCE是菱形；（2）解：作N关于BE的对称点N'，过D作DH⊥BC于H，如图：由菱形的对称性知，点N关于BE的对称点N'在DE上，所以PM+PN＝PM+PN'，所以当P、M、N'共线时，PM+PN'＝MN'＝PM+PN，因为DE∥BC，所以MN'的最小值为平行线间的距离DH的长，即PM+PN的最小值为DH的长，在Rt△DBH中，∠DBC＝60°，DB＝2，=√3，所以PM+PN的最小值为√3．所以DH＝DB•sin∠DBC＝2×√32（2022•滨州中考）如图，菱形ABCD的边长为10，∠ABC＝60°，对角线AC、BD相交于点O，点E在对角线BD 上，连接AE，作∠AEF＝120°且边EF与直线DC相交于点F．（1）求菱形ABCD的面积；（2）求证AE＝EF．【解析】（1）作AG⊥BC交BC于点G，如图所示，因为四边形ABCD是菱形，边长为10，∠ABC＝60°，=5√3，所以BC＝10，AG＝AB•sin60°＝10×√32所以菱形ABCD的面积是：BC•AG＝10×5√3=50√3，即菱形ABCD的面积是50√3；（2）证明：连接EC，因为四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，所以EO垂直平分AC，∠BCD＝120°，所以EA＝EC，∠DCA＝60°，所以∠EAC＝∠ECA，∠ACF＝120°，因为∠AEF＝120°，所以∠EAC+∠EFC＝360°﹣∠AEF﹣∠ACF＝360°﹣120°﹣120°＝120°，因为∠ECA+∠ECF＝120°，所以∠EFC＝∠ECF，所以EC＝EF，所以AE＝EF．（2022•舟山中考）小惠自编一题：“如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，AC⊥BD，OB＝OD．求证：四边形ABCD是菱形”，并将自己的证明过程与同学小洁交流．小惠：证明：因为AC⊥BD，OB＝OD，所以AC垂直平分BD．所以AB＝AD，CB＝CD，所以四边形ABCD是菱形．小洁：这个题目还缺少条件，需要补充一个条件才能证明．若赞同小惠的证法，请在第一个方框内打“√”；若赞成小洁的说法，请你补充一个条件，并证明．【解析】赞成小洁的说法，补充条件：OA＝OC，证明如下：因为OA＝OC，OB＝OD，所以四边形ABCD是平行四边形，又因为AC⊥BD，所以平行四边形ABCD是菱形．（2022•凉山州中考）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交CE的延长线于点F．（1）求证：四边形ADBF是菱形；（2）若AB＝8，菱形ADBF的面积为40．求AC的长．【解析】（1）证明：因为AF∥BC，所以∠AFC＝∠FCD，∠F AE＝∠CDE，因为点E是AD的中点，所以AE＝DE，所以△F AE≌△CDE（AAS），所以AF＝CD，因为点D是BC的中点，所以BD＝CD，所以AF＝BD，所以四边形AFBD是平行四边形，（2022•南充中考）如图，在菱形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，BE＝BF，DE，DF分别与AC交于点M，N．求证：（1）△ADE≌△CDF．（2）ME＝NF．【证明】（1）因为四边形ABCD是菱形，所以DA＝DC，∠DAE＝∠DCF，AB＝CB，因为BE＝BF，所以AE＝CF，在△ADE和△CDF中，{DA=DC∠DAE=∠DCF AE=CF，所以△ADE≌△CDF（SAS）；（2）由（1）知△ADE≌△CDF，所以∠ADM＝∠CDN，DE＝DF，因为四边形ABCD是菱形，所以∠DAM＝∠DCN，所以∠DMA＝∠DNC，所以∠DMN＝∠DNM，所以DM＝DN，所以DE﹣DM＝DF﹣DN，所以ME＝NF．（2022•广元中考）如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠DAB，AB＝2CD，E为AB中点，连结CE．（1）求证：四边形AECD为菱形；（2）若∠D＝120°，DC＝2，求△ABC的面积．【解析】（1）证明：因为E为AB中点，所以AB＝2AE＝2BE，因为AB＝2CD，所以CD＝AE，又因为AE∥CD，所以四边形AECD是平行四边形，因为AC平分∠DAB，所以∠DAC＝∠EAC，因为AB∥CD，所以∠DCA＝∠CAB，所以∠DCA＝∠DAC，所以AD＝CD，所以平行四边形AECD是菱形；（2）因为四边形AECD是菱形，∠D＝120°，所以AD＝CD＝CE＝AE＝2，∠D＝120°＝∠AEC，所以AE＝CE＝BE，∠CEB＝60°，所以∠CAE＝30°＝∠ACE，△CEB是等边三角形，所以BE＝BC＝EC＝2，∠B＝60°，所以∠ACB＝90°，所以AC=√3BC＝2√3，所以S△ABC=12×AC×BC=12×2×2√3=2√3．【解析】（1）①证明：因为CE⊥AB，CF⊥AD，所以∠BEC＝∠DFC＝90°，因为四边形ABCD是菱形，所以∠B＝∠D，BC＝CD，所以△BEC≌△DFC（AAS），所以CE＝CF；②连接AC，如图1，因为E是边AB的中点，CE⊥AB，所以BC＝AC，因为四边形ABCD是菱形，所以BC＝AC，所以△ABC是等边三角形，∠EAC＝60°，在Rt△ACE中，AE＝2，所以CE＝AE•tan60°＝2×√3=2√3；（2）方法一：如图2，延长FE交CB的延长线于M，因为四边形ABCD是菱形，所以AD∥BC，AB＝BC，所以∠AFE＝∠M，∠A＝∠EBM，因为E是边AB的中点，所以AE＝BE，所以△AEF≌△BEM（AAS），所以ME＝EF，MB＝AF，因为AE＝3，EF＝2AF＝4，所以ME＝4，BM2，BE＝3，所以BC＝AB＝2AE＝6，所以MC＝8，所以MBME =24=12，MEMC=48=12，所以MBME=MEMC，因为∠M为公共角，所以△MEB∽△MCE，所以BEEC =MBME=24，因为BE＝3，所以CE＝6；方法二：如图3，延长FE 交CB 的延长线于M ，过点E 作EN ⊥BC 于点N ，因为四边形ABCD 是菱形，所以AD ∥BC ，AB ＝BC ，所以∠AFE ＝∠M ，∠A ＝∠EBM ，因为E 是边AB 的中点，所以AE ＝BE ，所以△AEF ≌△BEM （AAS ），所以ME ＝EF ，MB ＝AF ，因为AE ＝3，EF ＝2AF ＝4，所以ME ＝4，BM 2，BE ＝3，所以BC ＝AB ＝2AE ＝6，所以MC ＝8，在Rt △MEN 和Rt △BEN 中，ME 2﹣MN 2＝EN 2，BE 2﹣BN 2＝EN 2，所以ME 2﹣MN 2＝BE 2﹣BN 2，所以42﹣（2+BN ）2＝32﹣BN 2，解得：BN =34，所以CN ＝6−34=214， 所以EN 2＝BE 2﹣BN 2＝32﹣（34）2=13516，在Rt △ENC 中，CE 2＝EN 2+CN 2=13516+44116=57616=36，所以CE ＝6.（2022•娄底中考）如图，以BC 为边分别作菱形BCDE 和菱形BCFG （点C ，D ，F 共线），动点A 在以BC 为直径且处于菱形BCFG 内的圆弧上，连接EF 交BC 于点O ．设∠G ＝θ．（1）求证：无论θ为何值，EF 与BC 相互平分；并请直接写出使EF ⊥BC 成立的θ值．（2）当θ＝90°时，试给出tan ∠ABC 的值，使得EF 垂直平分AC ，请说明理由．【解析】（1）因为四边形BCFG ，四边形BCDE 都是菱形，所以CF ∥BG ，CD ∥BE ，CB ＝CF ＝CD ＝BG ＝BE ，因为D ，C ，F 共线，所以G ，B ，E 共线，所以DF ∥EG ，DF ＝GE ，所以四边形DEGF 是平行四边形，所以EF 与BC 互相平分．当EF ⊥FG 时，因为GF ＝BG ＝BE ，所以EG ＝2GF ，所以∠GEF ＝30°，所以θ＝90°﹣30°＝60°；（2）当tan ∠ABC ＝2时，EF 垂直平分线段AC ．理由：如图（2）中，设AC 交EF 于点J ．因为四边形BCFG 是菱形，所以∠G ＝∠FCO ＝90°，因为EF 与BC 互相平分，所以OC ＝OB ，所以CF ＝BC ，所以FC ＝2OC ，所以tan ∠FOC ＝tan ∠ABC ，所以∠ABC ＝∠FOC ，所以OJ ∥AB ，因为OC ＝OB ，所以CJ ＝AJ ，因为BC 是直径，所以∠BAC ＝∠OJC ＝90°，所以EF 垂直平分线段AC.（2022•岳阳中考）如图，点E ，F 分别在▱ABCD 的边AB ，BC 上，AE ＝CF ，连接DE ，DF ．请从以下三个条件：①∠1＝∠2；②DE ＝DF ；③∠3＝∠4中，选择一个合适的作为已知条件，使▱ABCD 为菱形． （1）你添加的条件是 ① （填序号）；（2）添加了条件后，请证明▱ABCD 为菱形．【解析】（1）添加的条件是∠1＝∠2，答案：①；（2）证明：因为四边形ABCD 是平行四边形，所以∠A ＝∠C ，在△ADE 和△CDF 中，{∠1=∠2∠A =∠C AE =CF，所以△ADE ≌△CDF （AAS ），所以AD ＝CD ，所以▱ABCD 为菱形.【解析】（1）M 与B 重合时，如图1，因为PQ ⊥AB ，所以∠PQA ＝90°，所以PA =12AB ＝2，所以t ＝2；（2）①当0≤t ≤2时，因为AM ＝2t ，所以BM ＝4﹣2t ，因为△APQ ≌△BMF ，所以AP ＝BM ，所以t ＝4﹣2t ，所以t =43；②当2＜t ≤4时，因为AM ＝2t ，所以BM ＝2t ﹣4，因为△APQ ≌△BMF ，所以AP ＝BM ，所以t ＝2t ﹣4，所以t ＝4；综上所述，t 的值为4或43； （3）①0≤t ≤2时，如图2，在Rt △APQ 中，PQ =√32t ，所以MQ =32t ，所以S =12PQ ⋅MQ =12×√32t ×32t =3√38t 2； ②当2＜t ≤4时，如图3，因为BF ＝t ﹣2，MF =√3（t ﹣2），所以S △BFM =12BF •MF =√32(t −2)2，所以S ＝S △PQM ﹣S △BFM =−√38t 2+2√3t −2√3；所以S ={3√38t 2(0≤t ≤2)−√38t 2+2√3t −2√3(2＜t ≤4)； （4）连接AE ，如图4，因为△PQE 为等边三角形，所以PE =√32t ，在Rt △APE 中，tan ∠PAE =PE PA =√32t t =√32， 所以∠PAE 为定值，所以点E 的运动轨迹为直线，因为AP ＝t ，所以AE =√AP 2+PE 2=√t 2+(√32t)2=√72t ，当t ＝2时，AE =√7，（2022•荆州中考）如图，在10×10的正方形网格中，小正方形的顶点称为格点，顶点均在格点上的图形称为格点图形，图中△ABC为格点三角形．请按要求作图，不需证明．（1）在图1中，作出与△ABC全等的所有格点三角形，要求所作格点三角形与△ABC有一条公共边，且不与△ABC重叠；（2）在图2中，作出以BC为对角线的所有格点菱形．【解析】（1）如图1中，△ABD1，△ABD2，△ACD3，△ACD4，△CBD5即为所求；（2）如图2中，菱形ABDC，菱形BECF即为所求．（2022•长沙中考）如图，在▱ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AB＝AD．（1）求证：AC⊥BD；（2）若点E，F分别为AD，AO的中点，连接EF，EF=32，AO＝2，求BD的长及四边形ABCD的周长．【解析】（1）因为四边形ABCD是平行四边形，AB＝AD，所以▱ABCD是菱形，所以AC⊥BD；（2）因为点E，F分别为AD，AO的中点，所以EF是△AOD的中位线，所以OD＝2EF＝3，由（1）可知，四边形ABCD是菱形，所以AB＝BC＝CD＝AD，AC⊥BD，BD＝2OD＝6，在Rt△AOD中，由勾股定理得：AD=√AO2+OD2=√22+32=√13，所以C菱形ABCD＝4AD＝4√13．（2）若AE＝BE＝2，求BF的长．【解析】（1）因为四边形ABCD是正方形，四边形HEFG是菱形，所以AD＝CD，ED＝GD，∠ADB＝∠CDB，∠EHB＝∠GHB，所以∠ADB﹣∠EHB＝∠CDB﹣∠GHB，即∠ADE＝∠CDG，在△ADE和△CDG中，{AD=CD∠ADE=∠CDG ED=GD，所以△ADE≌△CDG（SAS）；（2）过E作EQ⊥DF于Q，则∠EQB＝90°，因为四边形ABCD是正方形，所以∠A＝90°，AD＝AB＝AE+EF＝2+2＝4，∠EBQ＝∠CBD＝45°，所以∠QEB＝45°＝∠EBQ，所以EQ＝BQ，因为BE＝2，所以2EQ2＝22，所以EQ＝BQ=√2（负数舍去），在Rt△DAE中，由勾股定理得：DE=√AD2+AE2=√42+22=2√5，因为四边形EFGH是菱形，所以EF＝DE＝2√5，所以QF=√EF2−EQ2=√(2√5)2−(√2)2=3√2，所以BF＝QF﹣QB＝3√2−√2=2√2．【解析】（1）作PE⊥AC于点E，在Rt△APE中，cos30°=AE AP，所以AE＝AP•cos30°=√3x，因为∠APQ＝120°，所以∠AQP＝180°﹣120°﹣30°＝30°，所以AP＝PQ，所以点E为AQ中点，所以AQ＝2√3x（cm），答案：2√3x．（2）如图，因为∠APQ＝120°，所以∠MNB＝∠PQB＝60°，因为∠B＝60°，所以△MNB为等边三角形，所以AP＝PQ＝PN＝MN＝NB，即AP+PN+NB＝3AP＝AB，所以3×2x＝6，解得x＝1．（3）当0≤x≤1时，作QF⊥AB于点F，因为∠A ＝30°，AQ ＝2√3x ，所以QF =12AQ =√3x ，因为PN ＝PQ ＝AP ＝2x ，所以y ＝PN •QF ＝2x •√3x ＝2√3x 2．当1＜t ≤32时，QM ，NM 交BC 于点H ，K ，因为AB ＝6cm ，∠A ＝30°，所以AC =√32AB ＝3√3cm ，所以CQ ＝AC ﹣AQ ＝3√3−2√3x ，所以QH =2√3CQ =2√3（3√3−2√3x ）＝6﹣4x ， 所以HM ＝QM ﹣QH ＝2x ﹣（6﹣4x ）＝6x ﹣6， 因为△HKM 为等边三角形，所以S △HKM =√34HM 2＝9√3x 2﹣18√3x +9√3， 所以y ＝2√3x 2﹣（9√3x 2﹣18√3x +9√3）＝﹣7√3x 2+18√3x ﹣9√3． 当32＜x ≤3时，重叠图形△PQM 为等边三角形，PQ ＝PB ＝AB ﹣AP ＝6﹣2x ，所以y =√34PB 2=√34（6﹣2x ）2=√3x 2﹣6√3x +9√3．综上所述，y ={ 2√3x 2(0≤x ≤1)−7√3x 2+18√3x −9√3(1＜x ≤32)√3x 2−6√3x +9√3(32＜x ≤3)。
2020年中考数学二轮专题——矩形、菱形、正方形(含详细解答)
2020年中考数学二轮专题——矩形、菱形、正方形基础过关1. (2019无锡)下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是()A. 内角和为360°B. 对角线相互平分C. 对角线相等D. 对角线互相垂直2. (2019娄底)顺次连接菱形四边中点得到的四边形是()A. 平行四边形B. 菱形C. 矩形D. 正方形3. (2019重庆A卷)下列命题正确的是()A．有一个角是直角的平行四边形是矩形B．四条边相等的四边形是矩形C．有一组邻边相等的平行四边形是矩形D．对角线相等的四边形是矩形4. (2019青羊区二诊)在菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，下列说法错误的是()A．AB∥DC B．OC＝OBC．AC⊥BD D．OA＝OC5. (2019毕节)如图，点E在正方形ABCD的边AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面积为()A. 3B. 3C. 5D. 5第5题图6. (2019天津)如图，四边形ABCD为菱形，A，B两点的坐标分别是(2，0)，(0，1)，点C，D在坐标轴上，则菱形ABCD的周长等于()A. 5B. 4 3C. 4 5D. 20第6题图7. (2019呼和浩特)已知菱形的边长为3，较短的一条对角线的长为2，则该菱形较长的一条对角线的长为()A. 2 2B. 2 5C. 4 2D. 2108. (2019临沂)如图，在▱ABCD中，M，N是BD上的两点，BM＝DN，连接AM，MC，CN，N A.添加一个条件，使四边形AMCN 是矩形，这个条件是( )A. OM ＝12ACB. MB ＝MOC. BD ⊥ACD. ∠AMB ＝∠CND第8题图9. 如图，在正方形ABCD 外侧，作等边△ADE ，AC ，BE 相交于点F ，则∠BFC 为( ) A. 75°B. 60°C. 55°D. 45°第9题图10. 如图，在矩形ABCD 中，点E 在BC 上，AE ＝AD ，DF ⊥AE ，垂足为F ，若∠FDC ＝30°，且AB ＝3，则AD 的长为( )A ．3B ．4C ．5D ．6第10题图11. (2019贵阳)如图，菱形ABCD 的周长是4 cm ，∠ABC ＝60°，那么这个菱形的对角线AC 的长是( ) A. 1 cmB. 2 cmC. 3 cmD. 4 cm第11题图12. (2019德阳)已知▱ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，△AOD 是等边三角形，且AD ＝4，则AB 等于( )A. 2B. 4C. 2 3D. 4 313. (2019河池)如图，在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在BC ，CD 上，BE ＝CF ，则图中与∠AEB 相等的角的个数是( )A. 1B. 2C. 3D. 4第13题图14. 如图，在矩形ABCD 中，AB ＝12，BC ＝16，点E 是BC 的中点，点F 是边CD 上的任意一点，则AF ＋EF 的最小值为( )A ．12B ．14C ．12 5D ．14 5第14题图15. (2019兰州)如图，边长为2的正方形ABCD 的对角线AC 与BD 交于点O ，将正方形ABCD 沿直线DF 折叠，点C 落在对角线BD 上的点E 处，折痕DF 交AC 于点M ，则OM ＝( )A.12B.22C.3－1D.2－1第15题图16. (2019金华)如图，矩形ABCD 的对角线交于点O ，已知AB ＝m ，∠BAC ＝∠α，则下列结论错误．．的是( )A. ∠BDC ＝∠αB. BC ＝m ·tan αC. AO ＝m 2sin αD. BD ＝m cos α第16题图17. (2019台州)如图，有两张矩形纸片ABCD 和EFGH ，AB ＝EF ＝2 cm ，BC ＝FG ＝8 cm.把纸片ABCD 交叉叠放在纸片EFGH 上，使重叠部分为平行四边形，且点D 与点G 重合，当两张纸片交叉所成的角α最小时，tan α等于( )A. 14B. 12C. 817D. 815第17题图18.(2019绍兴)正方形ABCD的边AB上有一动点E，以EC为边作矩形ECFG，且边FG过点D，在点E从点A移动到点B的过程中，矩形ECFG的面积()A. 先变大后变小B. 先变小后变大C. 一直变大D. 保持不变第18题图19. (2019双流区一诊)一个菱形的周长为20 cm，一条对角线长为6 cm，则这个菱形的面积是______cm2.20. (2019扬州)如图，已知点E在正方形ABCD的边AB上，以BE为边向正方形ABCD外部作正方形BEFG，连接DF，M、N分别是DC、DF的中点，连接MN.若AB＝7，BE＝5，则MN＝________．第20题图21.(2019徐州)如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O、M、N分别为BC、OC的中点．若MN＝4，则AC的长为________．第21题图22. (2019菏泽)如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是________．第22题图23.如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，过对角线交点O作EF⊥AC交AD于点E，交BC于点F，则DE 的长是________．第23题图24. (2019北京)如图，在菱形ABCD 中，AC 为对角线，点E ，F 分别在AB ，AD 上，BE ＝DF ，连接EF . (1)求证：AC ⊥EF ；(2)延长EF 交CD 的延长线于点G ，连接BD 交AC 于点O .若BD ＝4，tan G ＝12，求AO 的长．第24题图25. (2019云南)如图，四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AO ＝OC ，BO ＝OD ，且∠AOB ＝2∠OA D.(1)求证：四边形ABCD 是矩形；(2)若∠AOB ∶∠ODC ＝4∶3，求∠ADO 的度数．第25题图能力提升1. (2019烟台)如图，面积为24的▱ABCD中，对角线BD平分∠ABC，过点D作DE⊥BD交BC的延长线于点E，DE＝6，则sin∠DCE的值为()A. 2425 B.45 C.34 D.1225第1题图2. (2019安徽)如图，在正方形ABCD中，点E，F将对角线AC三等分，且AC＝12.点P在正方形的边上，则满足PE＋PF＝9的点P的个数是()A. 0B. 4C. 6D. 8第2题图3. (2019黄石)如图，矩形ABCD中，AC与BD相交于点E，AD∶AB＝3∶1，将△ABD沿BD折叠，点A的对应点为F，连接AF交BC于点G，且BG＝2，在AD边上有一点H，使得BH＋EH的值最小，此时BHCF＝()A.32 B.233 C.62 D.32第3题图4.(2019遵义)如图，平行四边形纸片ABCD的边AB，BC的长分别是10 cm和7.5 cm，将其四个角向内对折后，点B与点C重合于点C′，点A与点D重合于点A′.四条折痕围成一个“信封四边形”EHFG，其顶点分别在平行四边形ABCD的四条边上，则EF＝________cm.第4题图5. (2019海南)如图，在边长为1的正方形ABCD中，E是边CD的中点，点P是边AD上一点(与点A、D不重合)，射线PE与BC的延长线交于点Q.(1)求证：△PDE≌△QCE；(2)过点E作EF∥BC交PB于点F，连接AF，当PB＝PQ时．①求证：四边形AFEP是平行四边形；②请判断四边形AFEP是否为菱形，并说明理由．第5题图6. (2019双流区一诊)如图①，菱形ABCD中，点P是CD的中点，∠BCD＝60°，射线AP交BC的延长线于点E，射线BP交DE于点K，点O是线段BK的中点．(1)求证：△ADP≌△ECP;(2)若BP＝n·PK，试求出n的值；(3)作BM⊥AE于点M，作KN⊥AE于点N，连接MO、NO，如图②，请证明△MON是等腰三角形，并求出∠MON的度数．第6题图满分冲关1. (2019新都区一诊)如图，直线l 经过正方形ABCD 的顶点A ，先分别过此正方形的顶点B 、D 作BE ⊥l 于点E 、DF ⊥l 于点F ，然后再以正方形的对角线的交点O 为端点，引两条相互垂直的射线分别与AD 、CD 交于点G 、H 两点．若EF ＝25，S △ABE ＝2，则线段GH 长度的最小值是______．第1题图2. (2018本溪)在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°，点O 为射线CA 上的动点，作射线OM 与直线BC 相交于点E ，将射线OM 绕点O 逆时针旋转60°，得到射线ON ，射线ON 与直线CD 相交于点F .(1)如图①，点O 与点A 重合时，点E ，F 分别在线段BC ，CD 上，请直接写出CE ，CF ，CA 三条线段之间的数量关系；(2)如图②，点O 在CA 的延长线上，且OA ＝13AC ，E ，F 分别在线段BC 的延长线和线段CD 的延长线上，请写出CE ，CF ，CA 三条线段之间的数量关系，并说明理由；(3)点O 在线段AC 上，若AB ＝6，BO ＝27，当CF ＝1时，请直接写出BE 的长．参考答案基础过关1. C2. C 【解析】顺次连接任意四边形的四边中点，得到四边形一定是平行四边形，如果原四边形的对角线相等，则可得中点四边形的邻边相等，即是菱形；如果原四边形的对角线互相垂直，则可得中点四边形的邻边垂直，即是矩形．因为菱形的对角线互相垂直，所以它的中点四边形是矩形．3．A 【解析】根据矩形的判定定理可知，有一个角是直角的平行四边形是矩形，故A 正确；四条边相等的四边形是菱形，不是矩形，故B 错误；有一组邻边相等的平行四边形是菱形，不是矩形，故C 错误；对角线相等的平行四边形是矩形，故D 错误．4. B 【解析】∵四边形ABCD 是菱形，∴AB ∥CD ，AC ⊥BD ，OA ＝OC ，故A ，C ，D 正确．5. B 【解析】在Rt △BCE 中，BC ＝22－12＝3，∴正方形ABCD 的面积为(3)2＝3.6. C 【解析】∵A (2，0)，B (0，1)，∴OA ＝2，OB ＝1，在Rt △AOB 中，由勾股定理得AB ＝22＋12＝5，∵四边形ABCD 为菱形，∴菱形ABCD 的周长为4AB ＝4 5.7. C 【解析】菱形对角线相互垂直且平分，因此另一条对角线长为2×32－1＝4 2.8. A 【解析】∵四边形ABCD 是平行四边形，∴OB ＝OD ，OA ＝OC .∵BM ＝DN ，∴OM ＝ON ，∴四边形AMCN 是平行四边形．当OM ＝12AC 时，MN ＝AC ，∴四边形AMCN 是矩形．9. B 【解析】∵四边形ABCD 是正方形，∴∠BAD ＝90°，AB ＝AD ，∠BAF ＝45°，∵△ADE 是等边三角形，∴∠DAE ＝60°，AD ＝AE ，∴∠BAE ＝90°＋60°＝150°，AB ＝AE ，∴∠ABE ＝∠AEB ＝12(180°－150°)＝15°，∴∠BFC ＝∠BAF ＋∠ABE ＝45°＋15°＝60°，故选B .10. D 【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ∥BC ，∴∠AEB ＝∠DAF ，又∵DF ⊥AE ，∴∠DF A ＝∠B ，又∵AE ＝AD ，∴△ADF ≌△EAB ，∴DF ＝AB .∵∠ADF ＋∠FDC ＝90°，∠DAF ＋∠ADF ＝90°，∴∠FDC ＝∠DAF ＝30°，∴AD ＝2DF ＝2AB ＝6.11. A 【解析】∵菱形ABCD 的周长是4 cm ，∴AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝1 cm ，又∵∠ABC ＝60°，∴△ABC 是等边三角形，∴AC ＝AB ＝BC ＝1 cm .12．D 【解析】在平行四边形ABCD 中，∵△AOD 为等边三角形，即OA ＝OD ＝AD ＝4，∴AC ＝BD ＝8，∴平行四边形ABCD 是矩形，∴由勾股定理得AB ＝4 3.13. C 【解析】四边形ABCD 是正方形，∴AD ∥BC ，∴∠DAE ＝∠AEB .∵BE ＝CF ，∠ABE ＝∠BCF ，AB ＝BC ∴△ABE ≌△BCF (SAS)，∴∠BFC ＝∠AEB .∵AB ∥CD ，∴∠ABF ＝∠BFC ＝∠AEB .∴与∠AEB 相等的角有3个．14．C 【解析】如解图，作点E 关于直线CD 的对称点E ′，连接AE ′交CD 于点F ，此时AF ＋EF 的最小值为AE ′的长．∵在矩形ABCD 中，AB ＝12，BC ＝16，E 是BC 的中点，∴BE ＝CE ＝CE ′＝8，∴BE ′＝24，∴AE ′＝AB 2＋BE ′2＝122＋242＝12 5.第14题解图15. D 【解析】∵四边形ABCD 是正方形，∴∠CBE ＝∠DCM ＝45°，BC ＝CD ＝ 2.∴AC ＝BD ＝2.∴OC ＝1.由折叠的性质知，DE ＝CD ＝2，CF ＝EF ，∴BE ＝2－2，∠DFC ＝90°.∴∠CDM ＋∠DCE ＝90°.又∠BCE ＋∠DCE ＝90°，∴∠BCE ＝∠CDM . ∴△BCE ≌△CDM .∴CM ＝BE ＝2－ 2.∴OM ＝OC －CM ＝1－(2－2)＝2－1.16. C 【解析】∵四边形ABCD 是矩形，∴AC ＝BD ，且OD ＝OC ，∠ABC ＝90°，∴∠BDC ＝∠OCD ＝∠BAO ＝∠α，tan α＝BC AB ＝BC m ，sin α＝BC AC ＝BC 2AO ，cos α＝AB AC ＝m AC ，∴BC ＝m ·tan α，AO ＝BC 2sin α，AC ＝m cos α，而BD ＝AC ，BC ≠m ，∴BD ＝m cos α，AO ≠m2sin α∴A 、B 、D 正确，C 错误．17．D 【解析】如解图，当B 、E 重合时， α最小，∵在△BMF 和△DMC 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠BMF ＝∠DMC ∠F ＝∠C BF ＝DC ，∴△BMF ≌△DMC (AAS)，∴BM ＝DM ，设FM ＝x ，则DM ＝BM ＝8－x ，在Rt △BFM 中，由勾股定理得22＋x 2＝(8－x )2，解得x ＝154，∴tan α＝BF FM ＝2154＝815.第17题解图18. D 【解析】如解图，连接DE ，∵在正方形ABCD 中，S △DEC ＝12AD ·CD ＝12S 正方形ABCD ，在长方形ECFG 中，S △DEC ＝12×EC ·GE ＝12S 矩形ECFG ，而点E 从点A 移动到点B 的过程中，三角形DEC 的面积保持不变，∴矩形ECFG 的面积保持不变．第18题解图19. 24 【解析】如解图，在菱形ABCD 中，BD ＝6.∵菱形的周长为20，BD ＝6，∴AB ＝5，BO ＝3，∴AO ＝52－32＝4，AC ＝8.∴S 菱形ABCD ＝12×6×8＝24.第19题解图20.132 【解析】 如解图，连接FC ，则MN ＝12CF ，在Rt △CFG 中，FG ＝5，CG ＝5＋7＝12，∴FC ＝52＋122＝13，∴MN ＝132.第20题解图21. 16 【解析】在△OBC 中，根据三角形中位线等于它所对的第三边的一半，得到OB ＝2MN ＝8，又根据矩形的性质：对角线相等且互相平分，得到AC ＝BD ＝2OB ＝16.22. 85 【解析】如解图，连接BD 交AC 于点O ，∵四边形ABCD 是正方形，AC 是对角线，∴CD ＝AD ，∠DAE ＝∠DCF ＝45°，BD ⊥AC . ∵AE ＝CF , ∴△DAE ≌△DCF (SAS), ∴DE ＝DF ，同理可证：DE ＝BE ，BE ＝BF ，∴四边形BEDF 是菱形，∵AC ＝8，AO ＝OD ，AE ＝2，∴OE ＝2，OD ＝4，∴DE ＝OD 2＋OE 2＝42＋22＝2 5.∴四边形BEDF 的周长为4DE ＝8 5.第22题解图23. 74 【解析】如解图，连接EC ，∵OA ＝OC ，EF ⊥AC ，∴EC ＝AE ，设DE ＝x ，则EC ＝AE ＝8－x ，根据勾股定理可得(8－x )2＝x 2＋62，解得x ＝74.∴DE 的长为74.第23题解图24. (1)证明：∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝AD ，∴∠BAC ＝∠DAC . ∵AB ＝AD ，BE ＝DF ，∴AB －BE ＝AD －DF ，即AE ＝AF . ∴△AEF 是等腰三角形． 又∵∠BAC ＝∠DAC ， ∴AC ⊥EF ；(2)解：由题意作解图如下， ∵四边形ABCD 是菱形，∴AC ⊥BD ，AB ∥CD ，OB ＝12BD ＝12×4＝2.∴∠G ＝∠AEG .由(1)知EF ⊥AC .又∵BD ⊥AC . ∴EF ∥BD .∴∠AEG ＝∠ABO . ∴∠G ＝∠ABO .∵tan G ＝12，∴tan ∠ABO ＝AO OB ＝12.∴AO ＝OB ·tan ∠ABO ＝2×12＝1.第24题解图25. (1)证明：∵AO ＝OC ，BO ＝OD ， ∴四边形ABCD 是平行四边形．又∵∠AOB ＝2∠OAD ，∠AOB 是△AOD 的外角， ∴∠AOB ＝∠OAD ＋∠ADO . ∴∠OAD ＝∠ADO . ∴AO ＝OD .又∵AC ＝AO ＋OC ＝2AO ，BD ＝BO ＋OD ＝2OD ， ∴AC ＝BD .∴四边形ABCD 是矩形；(2)解：设∠AOB ＝∠DOC ＝4x ，∠ODC ＝3x ，则∠ODC ＝∠OCD ＝3x . 在△ODC 中，∠DOC ＋∠OCD ＋∠CDO ＝180°， ∴4x ＋3x ＋3x ＝180°， 解得x ＝18°.∴∠ODC ＝3×18°＝54°.∴∠ADO ＝90°－∠ODC ＝90°－54°＝36°.能力提升1. A 【解析】如解图，连接AC 交BD 于点O ，过点D 作DF ⊥BE 于点F .∵BD 平分∠ABC ，∴∠ABD ＝∠CBD .∵四边形ABCD 是平行四边形，∴BC ∥AD . ∴∠ADB ＝∠CBD .∴∠ABD ＝∠ADB .∴AB ＝AD . ∴▱ABCD 是菱形. ∴AO 垂直平分BD . ∵DE ⊥BD ，∴OC ∥DE .∴OC ＝12DE ＝12×6＝3.∵菱形ABCD 的面积为24，∴BD ＝8. ∴BO ＝4. ∴BC ＝DC ＝5.∵DF ·BC ＝24，∴DF ＝245. ∴sin ∠DCE ＝DF DC ＝2425.第1题解图2. D 【解析】如解图，∵点E ，F 将对角线AC 三等分，且AC ＝12，∴AE ＝EF ＝FC ＝4，当P 点在AD 上时，作E 点关于AD 的对称点E ′，连接E ′F ，则AE ′＝AE ＝4，当P 点运动至E ′F 和AD 交点时，PE ＋PF 具有最小值，由对称性可知∠E ′AF ＝90°，此时E ′F ＝（AE ′）2＋AF 2＝42＋82＝45<9，当P 点和A 点重合时，过点E 作EG ⊥AD ，垂足为G ，PE ＋PF ＝AE ＋AF ＝12，当P 点和D 点重合时，连接DF ，∵AD ＝CD ，∠DAE ＝∠DCF ，AE ＝CF ，∴△AED ≌△CFD (SAS)，∴DE ＝DF ，∴PE ＋PF ＝2DE ＝2EG 2＋DG 2＝2×（22）2＋（42）2＝410.∵45<9<12，45<9<410，∴在AD 上有两个位置存在PE ＋PF ＝9，同理在其余三边上各有两种情况，故正方形四条边上共存在8个位置使得PE ＋PF ＝9，∴满足条件的P 点有8个．第2题解图3. B 【解析】∵矩形ABCD 中，AD ∶AB ＝3∶1，∴∠ADB ＝30°，又△ABD 沿BD 折叠，点A 的对应点为F ，∴∠ADB ＝∠BDF ＝30°，∠ABD ＝∠DBF ＝60°，AD ＝FD ，AB ＝BF ，∴∠CDF ＝30°，△ADF 为等边三角形，DF ＝AF ，∴∠BAF ＝12(180°－∠ABD －∠DBF )＝30°＝∠CDF ，又DC ＝AB ，∴△ABF ≌△DCF ，∴CF ＝BF ，在Rt △ABG 中，ABG ＝90°，∠BAG ＝30°，BG ＝2，∴AB ＝23，∴CF ＝23，如解图，延长BA 到B ′使AB ′＝AB ，连接EB ′交AD 于H ，根据对称性可知此时点H 即为满足BH ＋EH 的值最小的H 点．∵∠ADB ＝30°，∴AB ＝BE ＝ED ，又∵AB ′＝AB ＝BE ＝AE ，∴△BB ′E 为直角三角形，在Rt △BEH 和Rt △BAH 中，BH ＝BH ，BE ＝BA ，∴Rt △BEH ≌Rt △BAH ，∴∠ABH ＝30°，∴BH ＝AB cos ∠ABH＝4，∴BH CF ＝423＝233.第3题解图4. 10 【解析】根据折叠的性质可得△CFH ≌△C ′FH ，△DFG ≌△A ′FG ，△AEG ≌△A ′EG ，△HBE ≌△HC ′E ，∵四边形HFGE 是矩形，∴HF ＝EG ，FG ＝HE ，∴△CFH ≌△C ′FH ≌△AEG ≌△A ′EG ，△DFG ≌△A ′FG ≌△HBE ≌△HC ′E ，∴EF ＝A ′F ＋ A ′E ＝FD ＋AE ＝ FD ＋CF ＝CD ＝AB ＝10 cm .5. (1)证明：∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠D ＝∠BCD ＝90°. ∴∠ECQ ＝90°＝∠D . ∵E 是CD 的中点， ∴DE ＝CE .又∵∠DEP ＝∠CEQ ， ∴△PDE ≌△QCE (ASA)；(2)①证明：如解图，由(1)可知△PDE ≌△QCE ， ∴PE ＝QE ＝12PQ .又∵EF ∥BC ， ∴PF ＝FB ＝12PB .∵PB ＝PQ ， ∴PF ＝PE . ∴∠1＝∠2.∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠BAD ＝90°.在Rt △ABP 中，∵F 是PB 的中点， ∴AF ＝12BP ＝FP .∴∠3＝∠4.又∵AD ∥BC ，EF ∥BC ， ∴AD ∥EF . ∴∠1＝∠4.∴∠2＝∠3. 又∵PF ＝FP ，∴△APF ≌△EFP (AAS)． ∴AP ＝EF . 又∵AP ∥EF ，∴四边形AFEP 是平行四边形；第5题解图②解：四边形AFEP 不是菱形，理由如下： 设PD ＝x ，则AP ＝1－x . 由(1)可知△PDE ≌△QCE . ∴CQ ＝PD ＝x . ∴BQ ＝BC ＋CQ ＝1＋x .∵点E ，F 分别是PQ ，PB 的中点， ∵EF 是△PBQ 的中位线． ∴EF ＝12BQ ＝1＋x 2.由①可知AP ＝EF . 即1－x ＝1＋x 2，解得x ＝13.∴PD ＝13，AP ＝23.在Rt △PDE 中，∵DE ＝12，∴PE ＝PD 2＋DE 2＝136. ∵AP ≠PE .∴四边形AFEP 不是菱形．6. (1)证明：∵四边形ABCD 为菱形， ∴AD ∥BC ，∴∠DAP ＝∠CEP ，∠ADP ＝∠ECP ， 在△ADP 和△ECP 中，⎩⎪⎨⎪⎧∠DAP ＝∠CEP ∠ADP ＝∠ECP DP ＝CP， ∴△ADP ≌△ECP (AAS)；(2)解：如解图①，过点P 作PI ∥CE 交DE 于点I ， 则PI CE ＝DPDC ，又点P 是CD 的中点， ∴PI CE ＝12， ∵△ADP ≌△ECP ， ∴AD ＝CE ， ∴KP KB ＝PI BE ＝14， ∴BP ＝3PK ， ∴n ＝3；第6题解图①(3)解：如解图②，过点O 作OG ⊥AE 于点G ， ∵BM ⊥AE 于点M ，KN ⊥AE 于点N ， ∴BM ∥OG ∥KN ， ∵点O 是线段BK 的中点， ∴MG ＝NG ，又∵OG ⊥MN ， ∴OM ＝ON ，即△MON 是等腰三角形，由题意得，△BPC ，△AMB ，△ABP 为直角三角形， 设BC ＝2，则CP ＝1，由勾股定理得，BP ＝3， 则AP ＝7，根据三角形面积公式，BM ＝2217， ∴MP ＝377.易得PB ＝3PO ，∴OG ＝13BM ＝22121，MG ＝23MP ＝277，tan ∠MOG ＝MGOG ＝3，∴∠MOG ＝60°，∴∠MON 的度数为120°.第6题解图②满分冲关1. 6 【解析】由题易证△ABE ≌△DAF .∵GO ⊥HO ，易得△AGO ≌△DHO ，∴GO ＝HO .∴△GHO 为等腰直角三角形．∴当GO 最小时，GH 取得最小值．令AF ＝a ，AE ＝b ，则BE ＝a ，DF ＝b ，∴a ＋b ＝25，12a ·b ＝2，∴AB 2＝a 2＋b 2＝12.∴AB ＝23.∴当GO ⊥AD 时，GO 有最小值，此时OG ∥AB ，∵O 为BD 中点，∴OG 为△ABD 的中位线，∴GO ＝12AB ＝3，∴GO 的最小值为3，∴GH 最小值为 6.2. 解：(1)CA ＝CE ＋CF ；【解法提示】∵在菱形ABCD 中，∠BAD ＝120°， ∴∠DAC ＝∠ACB ＝∠D ＝60°. 又∵∠EAF ＝60°， ∴∠DAF ＝∠CAE . ∵AD ＝CD 且∠D ＝60°，∴△ACD 是等边三角形，AD ＝AC ， ∴△ADF ≌△ACE ， ∴DF ＝CE .又∵CA ＝CD ＝DF ＋CF ， ∴CA ＝CE ＋CF . (2)CF －CE ＝43CA ，理由：如解图①，过点O 作OG ∥AD ，交CF 于点G ， ∵四边形ABCD 是菱形， ∴AB ＝BC ＝CD ＝DA . ∵∠BAD ＝120°， ∴∠B ＝∠ADC ＝60°，∴△ABC 和△ADC 都为等边三角形． ∵OG ∥AD ，∴∠OGC ＝∠ADC ＝∠ACD ＝60°， ∴△OGC 为等边三角形，∴OC ＝OG ，∠OCE ＝∠OGF ＝180°－60°＝120°. ∵∠COE ＝∠GOF ＝60°－∠EOG ，∴△OCE ≌△OFG ， ∴FG ＝CE . ∵CF ＝GF ＋CG ， ∴CF －CE ＝CO . ∵AO ＝13CA ，∴OC ＝43CA ，∴CF －CE ＝43CA ；第2题解图①(3)BE 的长为1或3或5.【解法提示】连接BD 交AC 于点I ,①如解图②，当点O 在AI 上时，过点O 作OP ⊥BC 于点P ，作OQ ⊥CD 于点Q ， 又∵菱形ABCD 中，AC 平分∠BCD ， ∴OP ＝OQ .∵∠POQ ＝360°－120°－90°×2＝60°， ∴∠EOF ＝∠POQ ， ∴∠EOP ＝∠FOQ . 又∵∠OPE ＝OQF ＝90°， ∴△EOP ≌△FOQ ， ∴EP ＝FQ .在Rt △AIB 中，AB ＝6，∠BAI ＝60°， ∴BI ＝AB ·sin60°＝3 3. 在Rt △BIO 中， BO ＝27，BI ＝33， ∴OI ＝OB 2－BI 2＝1. 又∵CI ＝12AC ＝3，∴OC ＝3＋1＝4， ∴CP ＝CQ ＝12OC ＝2.又∵CF ＝1，∴EP ＝FQ ＝1，∴BE ＝BC －CP －EP ＝6－2－1＝3;第2题解图②②如解图③，当点O 在AI 上，点F 在线段DC 的延长线上时，过点O 作OP ⊥BC 于点P ，过点O 作OQ ⊥CD 于点Q ，同理可得EP ＝QF ，OC ＝4，CQ ＝CP ＝2， ∵CF ＝1，∴QF ＝CQ ＋CF ＝3，∴BE ＝CB －CP －PE ＝6－2－3＝1;第2题解图③③如解图④，当点O 在IC 上时，由①知OC ＝3－1＝2， 又∵CF ＝1，∠ACD ＝60°， ∴OF ⊥CD ，∴∠OEC ＝360°－60°－120°－90°＝90°， ∴EC ＝12OC ＝1，∴BE ＝6－1＝5；第2题解图④④如解图⑤，当点O 在IC 上，点F 在线段DC 的延长线上时，过点O 作OP ⊥BC 于点P ，过点O 作OQ ⊥CD 于点Q ，同理可得QF ＝PE ，OC ＝2，CP ＝CQ ＝1，QF ＝CQ ＋CF ＝2，∴BE ＝BC －EP －CP ＝6－2－1＝3; 综上所述，BE 的长为1或3或5.第2题解图⑤。
全国中考数学试题分类汇编25矩形菱形与正方形(含解析)
矩形菱形与正方形一、选择题1. 〈2014•安徽省,第10题4分〉如图，正方形ABCD的对角线BD长为2，若直线l满足：①点D到直线l的距离为；②A、C两点到直线l的距离相等．则符合题意的直线l的条数为〈〉A． 1 B． 2 C． 3 D． 4考点：正方形的性质．菁优网分析：连接AC与BD相交于O，根据正方形的性质求出OD=，然后根据点到直线的距离和平行线间的距离相等解答．解答：解：如图，连接AC与BD相交于O，∵正方形ABCD的对角线BD长为2，∴OD=，∴直线l∥AC并且到D的距离为，同理，在点D的另一侧还有一条直线满足条件，故共有2条直线l．故选B．点评：本题考查了正方形的性质，主要利用了正方形的对角线互相垂直平分，点D到O的距离小于是本题的关键．2. 〈2014•福建泉州，第5题3分〉正方形的对称轴的条数为〈〉A．1B．2C．3D．4考点：轴对称的性质分析：根据正方形的对称性解答．解答：解：正方形有4条对称轴．故选D．点评：本题考查了轴对称的性质，熟记正方形的对称性是解题的关键．3. 〈2014•珠海，第2题3分〉边长为3cm的菱形的周长是〈〉A．6cm B．9cm C．12cm D．15cm考点：菱形的性质．分析：利用菱形的各边长相等，进而求出周长即可．解答：解：∵菱形的各边长相等，∴边长为3cm的菱形的周长是：3×4=12〈cm〉．故选：C．点评：此题主要考查了菱形的性质，利用菱形各边长相等得出是解题关键．4.〈2014•广西玉林市、防城港市，第6题3分〉下列命题是假命题的是〈〉A．四个角相等的四边形是矩形B．对角线相等的平行四边形是矩形C．对角线垂直的四边形是菱形D．对角线垂直的平行四边形是菱形考点：命题与定理．分析：根据矩形的判定对A、B进行判断；根据菱形的判定方法对C、D进行判断．解答：解：A、四个角相等的四边形是矩形，所以A选项为真命题；B、对角线相等的平行四边形是矩形，所以B选项为真命题；C、对角线垂直的平行四边形是菱形，所以C选项为假命题；D、对角线垂直的平行四边形是菱形，所以D选项为真命题．故选C．点评：本题考查了命题与定理：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题；经过推理论证的真命题称为定理．5.〈2014•毕节地区，第8题3分〉如图，菱形ABCD中，对角线AC、BC相交于点O，H为AD边中点，菱形ABCD的周长为28，则OH的长等于〈〉A．3.5 B．4C．7D．14考点：菱形的性质；直角三角形斜边上的中线；三角形中位线定理分析：根据菱形的四条边都相等求出AB，菱形的对角线互相平分可得OB=OD，然后判断出OH是△ABD的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得OH=A B．解答：解：∵菱形ABCD的周长为28，∴AB=28÷4=7，OB=OD，∵H为AD边中点，∴OH是△ABD的中位线，∴OH=AB=×7=3.5．故选A．点评：本题考查了菱形的对角线互相平分的性质，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，熟记性质与定理是解题的关键．6.〈2014•襄阳，第12题3分〉如图，在矩形ABCD中，点E，F分别在边AB，BC上，且AE=AB，将矩形沿直线EF折叠，点B恰好落在AD边上的点P处，连接BP交EF于点Q，对于下列结论：①EF=2BE；②PF=2PE；③FQ=4EQ；④△PBF是等边三角形．其中正确的是〈〉A．①②B．②③C．①③D．①④考点：翻折变换〈折叠问题〉；矩形的性质分析：求出BE=2AE，根据翻折的性质可得PE=BE，再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出∠APE=30°，然后求出∠AEP=60°，再根据翻折的性质求出∠BEF=60°，根据直角三角形两锐角互余求出∠EFB=30°，然后根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得EF=2BE，判断出①正确；利用30°角的正切值求出PF=PE，判断出②错误；求出BE=2EQ，EF=2BE，然后求出FQ=3EQ，判断出③错误；求出∠PBF=∠PFB=60°，然后得到△PBF是等边三角形，判断出④正确．解答：解：∵AE=AB，∴BE=2AE，由翻折的性质得，PE=BE，∴∠APE=30°，∴∠AEP=90°﹣30°=60°，∴∠BEF=〈180°﹣∠AEP〉=〈180°﹣60°〉=60°，∴∠EFB=90°﹣60°=30°，∴EF=2BE，故①正确；∵BE=PE，∴EF=2PE，∵EF＞PF，∴PF＞2PE，故②错误；由翻折可知EF⊥PB，∴∠EBQ=∠EFB=30°，∴BE=2EQ，EF=2BE，∴FQ=3EQ，故③错误；由翻折的性质，∠EFB=∠BFP=30°，∴∠BFP=30°+30°=60°，∵∠PBF=90°﹣∠EBQ=90°﹣30°=60°，∴∠PBF=∠PFB=60°，∴△PBF是等边三角形，故④正确；综上所述，结论正确的是①④．故选D．点评：本题考查了翻折变换的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，直角三角形两锐角互余的性质，等边三角形的判定，熟记各性质并准确识图是解题的关键．7.〈2014•孝感，第9题3分〉如图，正方形OABC的两边OA、OC分别在x轴、y轴上，点D〈5，3〉在边AB上，以C为中心，把△CDB旋转90°，则旋转后点D的对应点D′的坐标是〈〉A．〈2，10〉B．〈﹣2，0〉C．〈2，10〉或〈﹣2，0〉D．〈10，2〉或〈﹣2，0〉考点：坐标与图形变化-旋转．分析：分顺时针旋转和逆时针旋转两种情况讨论解答即可．解答：解：∵点D〈5，3〉在边AB上，∴BC=5，BD=5﹣3=2，①若顺时针旋转，则点D′在x轴上，OD′=2，所以，D′〈﹣2，0〉，②若逆时针旋转，则点D′到x轴的距离为10，到y轴的距离为2，所以，D′〈2，10〉，综上所述，点D′的坐标为〈2，10〉或〈﹣2，0〉．故选C ．点评： 本题考查了坐标与图形变化﹣旋转，正方形的性质，难点在于分情况讨论．8．〈2014·台湾，第12题3分〉如图，D 为△ABC 内部一点，E 、F 两点分别在AB 、BC 上，且四边形DEBF 为矩形，直线CD 交AB 于G 点．若CF ＝6，BF ＝9，AG ＝8，则△ADC 的面积为何？( )A ．16B ．24C ．36D ．54分析：由于△ADC ＝△AGC ﹣△ADG ，根据矩形的性质和三角形的面积公式计算即可求解． 解：△ADC ＝△AGC ﹣△ADG ＝12×AG ×BC ﹣12×AG ×BF＝12×8×(6＋9)﹣12×8×9＝60﹣36＝24． 故选：B ．点评：考查了三角形的面积和矩形的性质，本题关键是活用三角形面积公式进行计算．9．〈2014·台湾，第27题3分〉如图，矩形ABCD 中，AD ＝3AB ，O 为AD 中点，是半圆．甲、乙两人想在上取一点P ，使得△PBC 的面积等于矩形ABCD 的面积其作法如下： (甲) 延长BO 交于P 点，则P 即为所求；(乙) 以A 为圆心，AB 长为半径画弧，交于P 点，则P 即为所求． 对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？( )A ．两人皆正确B ．两人皆错误C ．甲正确，乙错误D ．甲错误，乙正确分析：利用三角形的面积公式进而得出需P 甲H ＝P 乙K ＝2AB ，即可得出答案． 解：要使得△PBC 的面积等于矩形ABCD 的面积， 需P 甲H ＝P 乙K ＝2A B ． 故两人皆错误．故选：B．此题主要考查了三角形面积求法以及矩形的性质，利用四边形与三角形面积关系得出是解题关键．2014•浙江宁波，第6题4分〉菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的边长是〈〉A．10 B．8C．6D．5考点：菱形的性质；勾股定理．分析：根据菱形的性质及勾股定理即可求得菱形的边长．解答：解：∵四边形ABCD是菱形，AC=8，BD=6，∴OB=OD=3，OA=OC=4，AC⊥BD，在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB===5，即菱形ABCD的边长AB=BC=CD=AD=5，故选D．点评：本题考查了菱形的性质和勾股定理，关键是求出OA、OB的长，注意：菱形的对角线互相平分且垂直．11．〈2014•浙江宁波，第11题4分〉如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=1，CE=3，H是AF的中点，那么CH的长是〈〉A．2.5 B．C．D．2考点：直角三角形斜边上的中线；勾股定理；勾股定理的逆定理．分析：连接AC、CF，根据正方形性质求出AC、CF，∠ACD=∠GCF=45°，再求出∠ACF=90°，然后利用勾股定理列式求出AF，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．解答：解：如图，连接AC、CF，∵正方形ABCD和正方形CEFG中，BC=1，CE=3，∴AC=，CF=3，∠ACD=∠GCF=45°，∴∠ACF=90°，由勾股定理得，AF===2，∵H是AF的中点，∴CH=AF=×2=．故选B．点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的性质，正方形的性质，勾股定理，熟记各性质并作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．11.〈2014•呼和浩特，第9题3分〉已知矩形ABCD的周长为20cm，两条对角线AC，BD相交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交两边AD，BC于E，F〈不与顶点重合〉，则以下关于△CDE与△ABF判断完全正确的一项为〈〉A．△CDE与△ABF的周长都等于10cm，但面积不一定相等B．△CDE与△ABF全等，且周长都为10cmC．△CDE与△ABF全等，且周长都为5cmD．△CDE与△ABF全等，但它们的周长和面积都不能确定考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质；线段垂直平分线的性质．分析：根据矩形的性质，AO=CO，由EF⊥AC，得EA=EC，则△CDE的周长是矩形周长的一半，再根据全等三角形的判定方法可求出△CDE与△ABF全等，进而得到问题答案．解答：解：∵AO=CO，EF⊥AC，∴EF是AC的垂直平分线，∴EA=EC，∴△CDE的周长=CD+DE+CE=CD+AD=矩形ABCD的周长=10cm，同理可求出△ABF的周长为10cm，根据全等三角形的判定方法可知：△CDE与△ABF全等，故选B．点评：本题考查了矩形的对角线互相平分的性质，还考查了线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定方法，题目的难度不大．12. 〈2014•湘潭，第7题，3分〉以下四个命题正确的是〈〉A．任意三点可以确定一个圆B．菱形对角线相等C．直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半AC=BD，矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；D、由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意．故选B．点评：本题考查了正方形的判定方法：①先判定四边形是矩形，再判定这个矩形有一组邻边相等；②先判定四边形是菱形，再判定这个矩形有一个角为直角．③还可以先判定四边形是平行四边形，再用1或2进行判定．14. 〈2014年江苏南京，第6题，2分〉如图，在矩形AOBC中，点A的坐标是〈﹣2，1〉，点C的纵坐标是4，则B、C两点的坐标分别是〈〉〈第3题图〉A．〈，3〉、〈﹣，4〉B．〈，3〉、〈﹣，4〉C．〈，〉、〈﹣，4〉D．〈，〉、〈﹣，4〉考点：矩形的性质、全等三角形的判定与性质以及相似三角形的判定与性质。
专题20矩形菱形正方形-2021年中考数学真题分项汇编(原卷版)(第02期)
2021年中考数学真题分项汇编【全国通用】（第02期）专题20矩形菱形正方形姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 一、单选题1．如图，在边长为3的正方形ABCD 中，30∠=︒CDE ，DE CF ⊥，则BF 的长是（ ）A．1 B C D ．22．如图，在边长为4的正方形ABCD 中，点E ，F 分别在CD ，AC 上，BF EF ⊥，1CE =，则AF 的长是（ ）A．B C D ．543．如图，矩形AOBC 的顶点A 、B 在坐标轴上，点C 的坐标是(﹣10，8)，点D 在AC 上，将BCD 沿BD 翻折，点C 恰好落在OA 边上点E 处，则tan ∠DBE 等于（ ）A ．34B ．35C D ．124．如图，在等腰直角ABC 中，90C ∠=︒，M 、N 分别为BC 、AC 上的点，50CNM ∠=︒，P 为MN 上的点，且12PC MN =，117BPC ∠=︒，则ABP ∠=（ ）A ．22︒B ．23︒C ．25︒D ．27︒5．如图，在平面直角坐标系中，//AB DC ，AC BC ⊥，5CD AD ==，6AC =，将四边形ABCD 向左平移m 个单位后，点B 恰好和原点O 重合，则m 的值是（ ）A ．11.4B ．11.6C ．12.4D ．12.66．如图1，动点P 从矩形ABCD 的顶点A 出发，在边AB ，BC 上沿A →B →C 的方向，以1cm/s 的速度匀速运动到点C ，APC △的面积S （cm 2）随运动时间t （s ）变化的函数图象如图2所示，则AB 的长是（ ）A ．3cm 2B ．3cmC ．4cmD ．6cm7．如图，菱形ABCD 的对角线AC 与BD 相交于点O ，点E 在BD 上，连接AE ，CE ，60ABC ∠=︒，15BCE ∠=︒，2ED =+，则AD =（ ）A．4 B ．3 C ．D ．28．如图，将图1中的菱形纸片沿对角线剪成4个直角三角形，拼成如图2的四边形ABCD （相邻纸片之间不重叠，无缝隙）．若四边形ABCD 的面积为13，中间空白处的四边形EFGH 的面积为1，直角三角形的两条直角边分别为a 和b ，则()2a b +=（ ）A ．12B ．13C ．24D ．259．如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，点E 是CD 中点，连接OE ，则下列结论中不一定正确的是（ ）A ．AB ＝AD B ．OE 12=AB C ．∠DOE ＝∠DEO D ．∠EOD ＝∠EDO10．如图，在菱形ABCD 中，点E ，F 分别在AB ，CD 上，且BE ＝2AE ，DF ＝2CF ，点G ，H 分别是AC 的三等分点，则S 四边形EHFG ÷S 菱形ABCD 的值为（ ）A ．19B ．16C ．13D ．2911．如图，正方形ABCD 的边长为3，E 为BC 边上一点，BE ＝1.将正方形沿GF 折叠，使点A 恰好与点E 重合，连接AF ，EF ，GE ，则四边形AGEF 的面积为（ ）A ．B ．C ．6D ．512．如图，将矩形纸片ABCD 的两个直角进行折叠，使CB ，AD 恰好落在对角线AC 上，B ′，D ′分别是B ，D 的对应点，折痕分别为CF ，AE ．若AB ＝4，BC ＝3，则线段B D ''的长是（ ）A ．52B ．2C ．32D ．113．如图，在矩形纸片ABCD 中，7AB =，9BC =，M 是BC 上的点，且2CM =．将矩形纸片ABCD 沿过点M 的直线折叠，使点D 落在AB 上的点P 处，点C 落在点C '处，折痕为MN ，则线段P A 的长是（ ）A ．4B ．5C ．6D ．14．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，若将AB 绕点A 逆时针旋转60︒，使点B 落在点B '的位置，连接B B '，过点D 作DE ⊥BB '，交'BB 的延长线于点E ，则B E '的长为（ ）A 1B ．2C D第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题15．如图，矩形ABCD 中，6AB =，8BC =，对角线BD 的垂直平分线EF 交AD 于点E 、交BC 于点F ，则线段EF 的长为 __．16．如图，在矩形ABCD 中，E 为AD 的中点，连接CE ，过点E 作CE 的垂线交AB 于点F ，交CD 的延长线于点G ，连接CF ．已知12AF =，5CF =，则EF =_________．17．如图，一个由8个正方形组成的“C”型模板恰好完全放入一个矩形框内，模板四周的直角顶点M，N，O，P，Q都在矩形ABCD的边上，若8个小正方形的面积均为1，则边AB的长为__________．AD=，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC边向点C运18．如图，在矩形ABCD中，8cmAB=，12cmv的速度沿CD边向点D运动，到达点D停止，规定其动，到达点C停止，同时，点Q从点C出发，以cm/s△全等．中一个动点停止运动时，另一个动点也随之停止运动．当v为_____时，ABP△与PCQ19．如图，在菱形ABCD中，60∠=︒，G为AD中点，点E在BC延长线上，F、H分别为CE、GE中点，A∠=∠，CF=AB=_____．EHF DGE20．如图，90POQ ∠=︒，定长为a 的线段端点A ，B 分别在射线OP ，OQ 上运动（点A ，B 不与点O 重合），C 为AB 的中点，作OAC 关于直线OC 对称的OA C '，A O '交AB 于点D ，当OBD 是等腰三角形时，OBD ∠的度数为_____________．21．如图，四边形ABCD 为矩形，AB ＝AD ＝P 为边AB 上一点．以DP 为折痕将△DAP 翻折，点A 的对应点为点A '．连结AA '，AA ' 交PD 于点M ，点Q 为线段BC 上一点，连结AQ ，MQ ，则AQ ＋MQ 的最小值是________22．如图，在矩形ABCD 中，AB ＝6，BC ＝10，以点B 为圆心、BC 的长为半径画弧交AD 于点E ，再分别以点C ，E 为圆心、大于12CE 的长为半径画弧，两弧交于点F ，作射线BF 交CD 于点G ，则CG 的长为__________________．23．如图，在矩形ABCD 中，AD ，对角线相交于点O ，动点M 从点B 向点A 运动（到点A 即停止），点N 是AD 上一动点，且满足∠MON ＝90°，连结MN ．在点M 、N 运动过程中，则以下结论中，①点M 、N 的运动速度不相等；②存在某一时刻使ΔAMNMON S S =；③AMNS逐渐减小；④222MN BM DN =+．正确的是________．（写出所有正确结论的序号）24．如图，正方形OABC的边长为2，将正方形OABC绕点O逆时针旋转角α（0°＜α＜180°）得到正方形OA′B′C′，连接BC′，当点A′恰好落在线段BC′上时，线段BC′的长度是___．25．如图，矩形ABCD中，AD，点E在BC边上，且AE=AD，DF⊥AE于点F，连接DE，BF，BF的延长线交DE于点O，交CD于点G．以下结论：①AF=DC，②OF：BF=CE：CG，③S△BCG△DFG，④图形中相似三角形有6对，则正确结论的序号是____．∠平分线BE的垂线，垂足为点E，且交BD于点F；26．如图，在矩形ABCD中，连接BD，过点C作DBC∠平分线DH的垂线，垂足为点H，且交BD于点G，连接HE，若BC=CD过点C作BDC则线段HE的长度为_________．三、解答题27．如图，在ABCD中，E为CD边的中点，连接BE并延长，交AD的延长线于点F，延长ED至点G，=，分别连接AE，AG，FG．使DG DE（1）求证：BCE FDE ≅△△；（2）当BF 平分ABC ∠时，四边形AEFG 是什么特殊四边形？请说明理由． 28．如图，四边形ABCD 是菱形，对角线AC ，BD 相交于点O ，BOC CEB ≅△△．（1）求证：四边形OBEC 是矩形；（2）若120ABC ∠=︒，6AB =，求矩形OBEC 的周长．29．如图，点E 是矩形ABCD 的边BC 上一点，将△ABE 绕点A 逆时针旋转至△AB 1E 1的位置，此时E 、B 1、E 1三点恰好共线．点M 、N 分别是AE 和AE 1的中点，连接MN 、NB 1．（1）求证：四边形MEB 1N 是平行四边形； （2）延长EE 1交AD 于点F ，若EB 1＝E 1F ，11AE FCB ESS=，判断△AE 1F 与△CB 1E 是否全等，并说明理由．30．如图，四边形ABCD 是平行四边形，延长DA ，BC ，使得AE ＝CF ，连接BE ，DF ． （1）求证：ABE CDF △≌△；（2）连接BD ，∠1＝30°，∠2＝20°，当∠ABE ＝ °时，四边形BFDE 是菱形．31．如图，在ABCD 中，G 为BC 边上一点，DG DC =，延长DG 交AB 的延长线于点E ，过点A 作//AF ED 交CD 的延长线于点F ．求证：四边形AEDF 是菱形．32．如图，矩形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，//BE AC ，//AE BD ． （1）求证：四边形AOBE 是菱形；（2）若60AOB ∠=︒，4AC =，求菱形AOBE 的面积．33．如图，四边形ABCD 中，AD //BC ，AB ＝AD ＝CD 12=BC ．分别以B 、D 为圆心，大于12BD 长为半径画弧，两弧交于点M ．画射线AM 交BC 于E ，连接DE ． （1）求证：四边形ABED 为菱形； （2）连接BD ，当CE ＝5时，求BD 的长．34．已知：如图，在▱ABCD 中，点E 、F 分别在AD 、BC 上，且BE 平分∠ABC ，EF ∥AB ．求证：四边形ABFE 是菱形．35．如图，四边形ABCD 是正方形，△ECF 为等腰直角三角形，∠ECF ＝90°，点E 在BC 上，点F 在CD 上，N 为EF 的中点，连结NA ，以NA ，NF 为邻边作□ANFG ．连结DG ，DN ，将Rt △ECF 绕点C 顺时针方向旋转，旋转角为α（0°≤α≤360°）．（1）如图1，当α＝0°时，DG 与DN 的关系为____________________；（2）如图2，当045α︒<<︒时，（1）中的结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由；（3）在Rt △ECF 旋转的过程中，当□ANFG 的顶点G 落在正方形ABCD 的边上，且AB ＝12，EC ＝连结GN ，请直接写出GN 的长．36．已知：如图，在矩形ABCD 和等腰Rt ADE △中，8cm AB =，6cm AD AE ==，90DAE ∠=︒．点P 从点B 出发，沿BA 方向匀速运动．速度为1cm/s ；同时，点Q 从点D 出发，沿DB 方向匀速运动，速度为1cm/s ．过点Q 作//QM BE ，交AD 于点H ，交DE 于点M ，过点Q 作//QN BC ，交CD 于点N ．分别连接PQ ，PM ，设运动时间为()()s 08t t <<．解答下列问题：（1）当PQ BD ⊥时，求t 的值；（2）设五边形PMDNQ 的面积为()2cm S ，求S 与t 之间的函数关系式； （3）当PQ PM =时，求t 的值；（4）若PM 与AD 相交于点W ，分别连接QW 和EW ．在运动过程中，是否存在某一时刻t ，使AWE QWD ∠=∠？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．37．已知正方形ABCD ，E ，F 为平面内两点．（探究建模）（1）如图1，当点E 在边AB 上时，DE DF ⊥，且B ，C ，F 三点共线．求证：AE CF =； （类比应用）（2）如图2，当点E 在正方形ABCD 外部时，DE DF ⊥，AE EF ⊥，且E ，C ，F 三点共线．猜想并证明线段AE ，CE ，DE 之间的数量关系；（拓展迁移）（3）如图3，当点E 在正方形ABCD 外部时，AE EC ⊥，AE AF ⊥，DE BE ⊥，且D ，F ，E 三点共线，DE 与AB 交于G 点．若3DF =，AE CE 的长．38．如图，平面直角坐标系中，O 是坐标原点，直线15(0)y kx k =+≠经过点()3,6C ，与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ．线段CD 平行于x 轴，交直线34y x =于点D ，连接OC ，AD ．（1）填空：k = __________．点A 的坐标是（__________，__________）；（2）求证：四边形OADC 是平行四边形；（3）动点P 从点O 出发，沿对角线OD 以每秒1个单位长度的速度向点D 运动，直到点D 为止；动点Q 同时从点D 出发，沿对角线OD 以每秒1个单位长度的速度向点O 运动，直到点O 为止．设两个点的运动时间均为t 秒．①当1t =时，CPQ 的面积是__________．②当点P ，Q 运动至四边形CPAQ 为矩形时，请直接写出此时t 的值．39．问题背景：如图1，在矩形ABCD 中，AB =30ABD ∠=︒，点E 是边AB 的中点，过点E 作EF AB ⊥交BD 于点F ．实验探究：（1）在一次数学活动中，小王同学将图1中的BEF 绕点B 按逆时针方向旋转90︒，如图2所示，得到结论：①AE DF=_____；②直线AE 与DF 所夹锐角的度数为______． （2）小王同学继续将BEF 绕点B 按逆时针方向旋转，旋转至如图3所示位置.请问探究（1）中的结论是否仍然成立？并说明理由．拓展延伸：在以上探究中，当BEF 旋转至D 、E 、F 三点共线时，则ADE 的面积为______．40．已知：在正方形ABCD 的边BC 上任取一点F ，连接AF ，一条与AF 垂直的直线l （垂足为点P ）沿AF 方向，从点A 开始向下平移，交边AB 于点E ．（1）当直线l经过正方形ABCD的顶点D时，如图1所示．求证：AE BF=；∠的度数；（2）当直线l经过AF的中点时，与对角线BD交于点Q，连接FQ，如图2所示．求AFQ（3）直线l继续向下平移，当点P恰好落在对角线BD上时，交边CD于点G，如图3所示．设2,,===，求y与x之间的关系式．AB BF x DG y。
全国181套中考数学试题分类汇编44矩形、菱形、正方形
44矩形、菱形、正方形一、选择题1.（浙江舟山、嘉兴3分）如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH （不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm 2，四边形ABCD 面积是11cm 2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（A ）48cm（B ）36cm （C ）24cm （D ）18cm 【答案】A 。
【考点】菱形的性质，平行四边形的性质。
【分析】根据①②③④四个平行四边形面积的和为14cm2，四边形ABCD 面积是11cm2，从图可求出⑤的面积： 2ABCD 1S S S 2cm ⑤四边形①+②+③+④=-=11-7=4。
从而可求出菱形的面积：2EFGH S S 14418cm ==+=①+②+③+④+⑤菱形。
又∵∠EFG=30°，∴菱形的边长为6cm 。
从而根据菱形四边都相等的性质得：①②③④四个平行四边形周长的总和=2（AE+AH+HD+DG+GC+CF+FB+BE ） =2（EF+FG+GH+HE ）=48cm 。
故选A 。
2.（浙江温州4分）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交与点O ．已知∠AOB=60°，AC=16，则图中长度为8的线段有A 、2条B 、4条C 、5条D 、6条 【答案】D 。
【考点】矩形的性质。
等边三角形的判定和性质。
【分析】因为矩形的对角线相等且互相平分，AC=16，所以AO=BO=CO=DO=8；又由∠AOB=60°，所以三角形AOB 是等边三角形，所以AB=AO=8；又根据矩形的对边相等得，CD=AB=AO=8．从而可求出线段为8的线段有6条。
故选D 。
3.（辽宁大连3分）如图，矩形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝5，AF 平分∠DAE，EF⊥AE，则CF 等于A ．23B ．1C ．32D ．2【答案】C 。
4.（黑龙江哈尔滨3分）如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，∠AOB=600，AB=5，则AD 的长是．（A)53 （B ）52 （C ）5 (D)10【答案】A 。
中考数学专项训练 矩形、菱形与正方形(含解析)
矩形、菱形与正方形一、选择题1．矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行 B．对角线相等C．对角线互相平分D．两组对角分别相等2．如图，在△ABC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是（）A．矩形 B．菱形 C．正方形D．梯形3．如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，点M、N分别在边AD、BC上，连接BM、DN．若四边形MBND是菱形，则等于（）A．B．C．D．4．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于G，则GH=（）A． cm B． cm C． cm D． cm5．如图所示，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB=S四边形DEOF中，错误的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个二、填空题6．若菱形的两条对角线分别为2和3，则此菱形的面积是．7．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB=60°，AC=10，则AB= ．8．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°），若∠1=110°，则∠α= ．9．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是．10．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．其中正确的序号是（把你认为正确的都填上）．三、解答题（共40分）11．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．（1）线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．12．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．13．如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE．（1）求证：AF=BE；（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？并说明理由．14．如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，BE=1，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分线CP于点P，交边CD于点F，（1）的值为；（2）求证：AE=EP；（3）在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．矩形、菱形与正方形参考答案与试题解析一、选择题1．矩形具有而菱形不具有的性质是（）A．两组对边分别平行 B．对角线相等C．对角线互相平分D．两组对角分别相等【考点】矩形的性质；菱形的性质．【分析】根据矩形与菱形的性质对各选项分析判断后利用排除法求解．【解答】解：A、矩形与菱形的两组对边都分别平行，故本选项错误；B、矩形的对角线相等，菱形的对角线不相等，故本选项正确；C、矩形与菱形的对角线都互相平分，故本选项错误；D、矩形与菱形的两组对角都分别相等，故本选项错误．故选B．【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，熟记两图形的性质是解题的关键．2．如图，在△ABC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是（）A．矩形 B．菱形 C．正方形D．梯形【考点】旋转的性质；矩形的判定．【分析】根据旋转的性质可得AE=CE，DE=EF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断出四边形ADCF是平行四边形，然后利用等腰三角形三线合一的性质求出∠ADC=90°，再利用有一个角是直角的平行四边形是矩形解答．【解答】解：∵△ADE绕点E旋转180°得△CFE，∴AE=CE，DE=EF，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AC=BC，点D是边AB的中点，∴∠ADC=90°，∴四边形ADCF是矩形．故选：A．【点评】本题考查了旋转的性质，矩形的判定，主要利用了对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角的平行四边形是矩形的判定方法，熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键．3．如图，在矩形ABCD中，AD=2AB，点M、N分别在边AD、BC上，连接BM、DN．若四边形MBND是菱形，则等于（）A．B．C．D．【考点】勾股定理；菱形的性质；矩形的性质．【分析】首先由菱形的四条边都相等与矩形的四个角是直角，即可得到直角△ABM中三边的关系．【解答】解：∵四边形MBND是菱形，∴MD=MB．∵四边形ABCD是矩形，∴∠A=90°．设AB=x，AM=y，则MB=2x﹣y，（x、y均为正数）．在Rt△ABM中，AB2+AM2=BM2，即x2+y2=（2x﹣y）2，解得x=y，∴MD=MB=2x﹣y=y，∴==．故选：C．【点评】此题考查了菱形与矩形的性质，以及直角三角形中的勾股定理．解此题的关键是注意数形结合思想与方程思想的应用．4．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，DH⊥AB于点H，且DH与AC交于G，则GH=（）A． cm B． cm C． cm D． cm【考点】菱形的性质；勾股定理；解直角三角形．【分析】先求出菱形的边长，然后利用面积的两种表示方法求出DH，在Rt△DHB中求出BH，然后得出AH，利用tan∠HAG的值，可得出GH的值．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，对角线AC=8cm，BD=6cm，∴AO=4cm，BO=3cm，在Rt△AOB中，AB==5cm，∵BD×AC=AB×DH，∴DH=cm，在Rt△DHB中，BH==cm，则AH=AB﹣BH=cm，∵tan∠HAG===，∴GH=AH=cm．故选：B．【点评】本题考查了菱形的性质、解直角三角形及三角函数值的知识，注意菱形的面积等于对角线乘积的一半，也等于底乘高．5．如图所示，E、F分别是正方形ABCD的边CD，AD上的点，且CE=DF，AE，BF相交于点O，下列结论①AE=BF；②AE⊥BF；③AO=OE；④S△AOB=S四边形DEOF中，错误的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【考点】正方形的性质．【分析】根据四边形ABCD是正方形及CE=DF，可证出△ADE≌△BAF，则得到：①AE=BF，以及△ADE 和△BAF的面积相等，得到；④S△AOB=S四边形DEOF；可以证出∠ABO+∠BAO=90°，则②AE⊥BF一定成立．错误的结论是：③AO=OE．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴CD=AD∵CE=DF∴DE=AF∴△ADE≌△BAF∴AE=BF（故①正确），S△ADE=S△BAF，∠DEA=∠AFB，∠EAD=∠FBA∵S△AOB=S△BAF﹣S△AOF，S四边形DEOF=S△ADE﹣S△AOF，∴S△AOB=S四边形DEOF（故④正确），∵∠ABF+∠AFB=∠DAE+∠D EA=90°∴∠AFB+∠EAF=90°∴AE⊥BF一定成立（故②正确）．假设AO=OE，∵AE⊥BF（已证），∴AB=BE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等），∵在Rt△BCE中，BE＞BC，∴AB＞BC，这与正方形的边长AB=BC相矛盾，∴，假设不成立，AO≠OE（故③错误）；故错误的只有一个．故选：A．【点评】本题考查了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，全等三角形的判定与性质，综合题但难度不大，求出△ADE≌△BAF是解题的关键，也是本题的突破口．二、填空题6．若菱形的两条对角线分别为2和3，则此菱形的面积是 3 ．【考点】菱形的性质．【分析】菱形的面积是对角线乘积的一半，由此可得出结果即可．【解答】解：由题意，知：S菱形=×2×3=3，故答案为：3．【点评】本题考查了菱形的面积两种求法：（1）利用底乘以相应底上的高；（2）利用菱形的特殊性，菱形面积=×两条对角线的乘积；具体用哪种方法要看已知条件来选择．7．在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，若∠AOB=60°，AC=10，则AB= 5 ．【考点】含30度角的直角三角形；矩形的性质．【分析】根据矩形的性质，可以得到△AOB是等边三角形，则可以求得OA的长，进而求得AB的长．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB又∵∠AOB=60°∴△AOB是等边三角形．∴AB=OA=AC=5，故答案是：5．【点评】本题考查了矩形的性质，正确理解△AOB是等边三角形是关键．8．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α（0°＜α＜90°），若∠1=110°，则∠α= 20°．【考点】旋转的性质；矩形的性质．【分析】根据矩形的性质得∠B=∠D=∠BAD=90°，根据旋转的性质得∠D′=∠D=90°，∠4=α，利用对顶角相等得到∠1=∠2=110°，再根据四边形的内角和为360°可计算出∠3=70°，然后利用互余即可得到∠α的度数．【解答】解：如图，∵四边形ABCD为矩形，∴∠B=∠D=∠BAD=90°，∵矩形ABCD绕点A顺时针旋转得到矩形AB′C′D′，∴∠D′=∠D=90°，∠4=α，∵∠1=∠2=110°，∴∠3=360°﹣90°﹣90°﹣110°=70°，∴∠4=90°﹣70°=20°，∴∠α=20°．故答案为：20°．【点评】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了矩形的性质．9．如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，BE=2，AE=3BE，P是AC上一动点，则PB+PE的最小值是10 ．【考点】轴对称﹣最短路线问题；正方形的性质．【分析】由正方形性质的得出B、D关于AC对称，根据两点之间线段最短可知，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小，进而利用勾股定理求出即可．【解答】解：如图，连接DE，交AC于P，连接BP，则此时PB+PE的值最小．∵四边形ABCD是正方形，∴B、D关于AC对称，∴PB=PD，∴PB+PE=PD+PE=DE．∵BE=2，AE=3BE，∴AE=6，AB=8，∴DE==10，故PB+PE的最小值是10．故答案为：10．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，正方形的性质，解此题通常是利用两点之间，线段最短的性质得出．10．如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=2+．其中正确的序号是①②④（把你认为正确的都填上）．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．【专题】压轴题．【分析】根据三角形的全等的知识可以判断①的正误；根据角角之间的数量关系，以及三角形内角和为180°判断②的正误；根据线段垂直平分线的知识可以判断③的正误，利用解三角形求正方形的面积等知识可以判断④的正误．【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD，∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF，在Rt△ABE和Rt△ADF中，，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL），∴BE=DF，∵BC=DC，∴BC﹣BE=CD﹣DF，∴CE=CF，∴①说法正确；∵CE=CF，∴△ECF是等腰直角三角形，∴∠CEF=45°，∵∠AEF=60°，∴∠AEB=75°，∴②说法正确；如图，连接AC，交EF于G点，∴AC⊥EF，且AC平分EF，∵∠CAF≠∠DAF，∴DF≠FG，∴BE+DF≠EF，∴③说法错误；∵EF=2，∴CE=CF=，设正方形的边长为a，在Rt△ADF中，AD2+DF2=AF2，即a2+（a﹣）2=4，解得a=，则a2=2+，S正方形ABCD=2+，④说法正确，故答案为：①②④．【点评】本题主要考查正方形的性质的知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的证明以及辅助线的正确作法，此题难度不大，但是有一点麻烦．三、解答题（共40分）11．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF=BD，连接BF．（1）线段BD与CD有什么数量关系，并说明理由；（2）当△ABC满足什么条件时，四边形AFBD是矩形？并说明理由．【考点】矩形的判定；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据两直线平行，内错角相等求出∠AFE=∠DCE，然后利用“角角边”证明△AEF和△DEC全等，根据全等三角形对应边相等可得AF=CD，再利用等量代换即可得证；（2）先利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明四边形AFBD是平行四边形，再根据一个角是直角的平行四边形是矩形，可知∠ADB=90°，由等腰三角形三线合一的性质可知必须是AB=AC．【解答】解：（1）BD=CD．理由如下：依题意得AF∥BC，∴∠AFE=∠DCE，∵E是AD的中点，∴AE=DE，在△AEF和△DEC中，，∴△AEF≌△DEC（AAS），∴AF=CD，∵AF=BD，∴BD=CD；（2）当△ABC满足：AB=AC时，四边形AFBD是矩形．理由如下：∵AF∥BD，AF=BD，∴四边形AFBD是平行四边形，∵AB=AC，BD=CD（三线合一），∴∠ADB=90°，∴▱AFBD是矩形．【点评】本题考查了矩形的判定，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定，是基础题，明确有一个角是直角的平行四边形是矩形是解本题的关键．12．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到点F，使得EF=BE，连接CF．（1）求证：四边形BCFE是菱形；（2）若CE=4，∠BCF=120°，求菱形BCFE的面积．【考点】菱形的判定与性质；三角形中位线定理．【分析】从所给的条件可知，DE是△ABC中位线，所以DE∥BC且2DE=BC，所以BC和EF平行且相等，所以四边形BCFE是平行四边形，又因为BE=FE，所以是菱形；∠BCF是120°，所以∠EBC为60°，所以菱形的边长也为4，求出菱形的高面积就可求．【解答】（1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点，∴DE∥BC且2DE=BC，又∵BE=2DE，EF=BE，∴EF=BC，EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形，又∵BE=FE，∴四边形BCFE是菱形；（2）解：∵∠BCF=120°，∴∠EBC=60°，∴△EBC是等边三角形，∴菱形的边长为4，高为2，∴菱形的面积为4×2=8．【点评】本题考查菱形的判定和性质以及三角形中位线定理，以及菱形的面积的计算等知识点．13．如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、DC上的点，且AF⊥BE．（1）求证：AF=BE；（2）如图2，在正方形ABCD中，M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点，且MP⊥NQ．MP与NQ是否相等？并说明理由．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质．【专题】证明题．【分析】（1）根据正方形的性质可得AB=AD，∠BAE=∠D=90°，再根据同角的余角相等求出∠ABE=∠DAF，然后利用“角边角”证明△ABE和△DAF全等，再根据全等三角形的证明即可；（2）过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，然后与（1）相同．【解答】（1）证明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°，∴∠DAF+∠BAF=90°，∵AF⊥BE，∴∠ABE+∠BAF=90°，∴∠ABE=∠DAF，∵在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（ASA），∴AF=BE；（2）解：MP与NQ相等．理由如下：如图，过点A作AF∥MP交CD于F，过点B作BE∥NQ交AD于E，∵AB∥CD，AD∥BC，∴四边形AMPF与四边形BNQE是平行四边形，∴AF=PM，BE=NQ，∵在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°，∴∠DAF+∠BAF=90°，∵AF⊥BE，∴∠ABE+∠BAF=90°，∴∠ABE=∠DAF，∵在△ABE和△DAF中，，∴△ABE≌△DAF（ASA），∴AF=BE；∴MP=NQ．【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，主要利用了正方形的四条边都相等，每一个角都是直角的性质，同角的余角相等的性质，利用三角形全等证明相等的边是常用的方法之一，要熟练掌握并灵活运用．14．如图，在边长为3的正方形ABCD中，点E是BC边上的点，BE=1，∠AEP=90°，且EP交正方形外角的平分线CP于点P，交边CD于点F，（1）的值为；（2）求证：AE=EP；（3）在AB边上是否存在点M，使得四边形DMEP是平行四边形？若存在，请给予证明；若不存在，请说明理由．【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定．【分析】（1）由正方形的性质可得：∠B=∠C=90°，由同角的余角相等，可证得：∠BAE=∠CEF，根据同角的正弦值相等即可解答；（2）在BA边上截取BK=BE，连接KE，根据角角之间的关系得到∠AKE=∠ECP，由AB=CB，BK=BE，得AK=EC，结合∠KAE=∠CEP，证明△AKE≌△ECP，于是结论得出；（3）作DM⊥AE于AB交于点M，连接ME、DP，易得出DM∥EP，由已知条件证明△ADM≌△BAE，进而证明MD=EP，四边形DMEP是平行四边形即可证出．【解答】（1）解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠B=∠D，∵∠AEP=90°，∴∠BAE=∠FEC，在Rt△ABE中，AE==，∵sin∠BAE==sin∠FEC=，∴=，解法二：由上得∠BAE=∠FEC，∵∠BAE=∠FEC，∠B=∠DCB，∴△ABE∽△ECF，∴=，（2）证明：在BA边上截取BK=BE，连接KE，∵∠B=90°，BK=BE，∴∠BKE=45°，∴∠AKE=135°，∵CP平分外角，∴∠DCP=45°，∴∠ECP=135°，∴∠AKE=∠ECP，∵AB=CB，BK=BE，∴AB﹣BK=BC﹣BE，即：AK=EC，由第一问得∠KAE=∠CEP，∵在△AKE和△ECP中，，∴△AKE≌△ECP（ASA），∴AE=EP；（3）答：存在．证明：作DM⊥AE交AB于点M，则有：DM∥EP，连接ME、DP，∵在△ADM与△BAE中，，∴△ADM≌△BAE（ASA），∴MD=AE，∵AE=EP，∴MD=EP，∴MD EP，∴四边形DMEP为平行四边形．【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质以及正方形的性质等知识．此题综合性很强，图形比较复杂，解题的关键是注意数形结合思想的应用与辅助线的准确选择．。
人教版九年级数学中考矩形、菱形、正方形专项练习及参考答案
人教版九年级数学中考矩形、菱形、正方形专项练习基础达标一、选择题1.(2018江苏淮安)如图,菱形ABCD 的对角线AC ,BD 的长分别为6和8,则这个菱形的周长是( )A.20B.24C.40D.48,AO=12AC=3,BO=12BD=4,且AO ⊥BO ,则AB=√AA 2+AA 2=5, 故这个菱形的周长L=4AB=20. 故选A.2.(2017四川广安)下列说法:①四边相等的四边形一定是菱形②顺次连接矩形各边中点形成的四边形一定是正方形 ③对角线相等的四边形一定是矩形④经过平行四边形对角线交点的直线,一定能把平行四边形分成面积相等的两部分其中正确的有( )个. A.4 B.3C.2D.13.(2017四川眉山)如图,EF 过▱ABCD 对角线的交点O ,交AD 于点E ,交BC 于点F ,若▱ABCD 的周长为18,OE=1.5,则四边形EFCD 的周长为( ) A.14 B.13C.12D.104.(2018贵州遵义)如图,点P是矩形ABCD的对角线AC上一点,过点P作EF∥BC,分别交AB,CD于E、F,连接PB,PD.若AE=2,PF=8.则图中阴影部分的面积为()A.10B.12C.16D.18PM⊥AD于点M,交BC于点N.则四边形AEPM,四边形DFPM,四边形CFPN,四边形BEPN都是矩形,∴S△ADC=S△ABC,S△AMP=S△AEP,S△PBE=S△PBN,S△PFD=S△PDM,S△PFC=S△PCN,×2×8=8,∴S△DFP=S△PBE=12∴S阴影=8+8=16,故选C.5.(2017山东枣庄)如图,O是坐标原点,菱形OABC的顶点A的坐标为(-3,4),顶点C在x轴的负半轴上,函数y=A(x<0)的图象经过顶点B,则k的值为()AA.-12B.-27C.-32D.-366.(2018江苏无锡)如图,已知点E是矩形ABCD的对角线AC上的一动点,正方形EFGH的顶点G,H都在边AD上,若AB=3,BC=4,则tan ∠AFE的值()A.等于37B.等于√33C.等于34D.随点E位置的变化而变化EF∥AD,∴∠AFE=∠FAG,△AEH∽△ACD,∴AAAA =AAAA=34.设EH=3x,AH=4x,∴HG=GF=3x,∴tan∠AFE=tan∠FAG=AA AA =3A3A+4A=37.故选A.二、填空题7.(2018湖南株洲)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交点O,AC=10,P,Q分别为AO,AD的中点,则PQ的长度为..5四边形ABCD是矩形,∴AC=BD=10,BO=DO=12BD,∴OD=12BD=5,∵点P,Q分别是AO,AD的中点,∴PQ是△AOD的中位线,∴PQ=12DO=2.5.8.(2018广东广州)如图,若菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(3,0),(-2,0),点D在y轴上,则点C的坐标是.-5,4)菱形ABCD的顶点A,B的坐标分别为(3,0),(-2,0),点D在y轴上,∴AB=5,∴AD=5,∴由勾股定理知:OD=√AA2-AA2=√52-32=4,∴点C的坐标是(-5,4).9.(2018湖北武汉)以正方形ABCD的边AD为边作等边三角形ADE,则∠BEC的度数是.150°1,图1∵四边形ABCD为正方形,△ADE为等边三角形,∴AB=BC=CD=AD=AE=DE,∠BAD=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,∠AED=∠ADE=∠DAE=60°,∴∠BAE=∠CDE=150°,又AB=AE,DC=DE,∴∠AEB=∠CED=15°,则∠BEC=∠AED-∠AEB-∠CED=30°.如图2,图2∵△ADE是等边三角形,∴AD=DE,∵四边形ABCD是正方形,∴AD=DC,∴DE=DC,∴∠CED=∠ECD,∴∠CDE=∠ADC-∠ADE=90°-60°=30°,∴∠CED=∠ECD=1(180°-30°)=75°,同理∠BEA=∠ABE=75°,2∴∠BEC=360°-75°×2-60°=150°.三、解答题10.如图,在菱形ABCD 中,对角线AC 与BD 交于点O.过点C 作BD 的平行线,过点D 作AC 的平行线,两直线相交于点E.(1)求证:四边形OCED 是矩形;(2)若CE=1,DE=2,则ABCD 的面积是多少?四边形ABCD 是菱形,∴AC ⊥BD , ∴∠COD=90°. ∵CE ∥OD ,DE ∥OC ,∴四边形OCED 是平行四边形,又∠COD=90°,∴平行四边形OCED 是矩形.(1)知,平行四边形OCED 是矩形,则CE=OD=1,DE=OC=2.∵四边形ABCD 是菱形, ∴AC=2OC=4,BD=2OD=2, ∴菱形ABCD 的面积为12AC ·BD=12×4×2=4. 能力提升一、选择题1.下列说法中,正确的个数为( )①对顶角相等;②两直线平行,同旁内角相等; ③对角线互相垂直的四边形为菱形;④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形.A.1B.2C.3D.4对顶角相等,故①正确;②两直线平行,同旁内角互补,故②错误;③对角线互相垂直且平分的四边形为菱形,故③错误; ④对角线互相垂直平分且相等的四边形为正方形,故④正确,故选B .2.(2018山东枣庄)如图,在矩形ABCD 中,点E 是边BC 的中点,AE ⊥BD ,垂足为F ,则tan ∠BDE 的值是( )A.√24B.14C.13D.√23四边形ABCD 是矩形,∴AD=BC ,AD ∥BC , ∵点E 是边BC 的中点, ∴BE=12BC=12AD , ∴△BEF ∽△DAF , ∴AA AA =AA AA =12, ∴EF=12AF , ∴EF=13AE ,∵点E 是边BC 的中点, ∴由矩形的对称性得:AE=DE , ∴EF=13DE ,设EF=x ,则DE=3x , ∴DF=√AA 2-AA 2=2√2x , ∴tan ∠BDE=AAAA =2√2A =√24.故选A.3.如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,AC=BC=6cm,点P 从点A 出发,沿AB 方向以每秒√2 cm 的速度向终点B 运动;同时,动点Q 从点B 出发沿BC 方向以每秒1 cm 的速度向终点C 运动,将△PQC 沿BC 翻折,点P 的对应点为点P'.设Q 点运动的时间为t s,若四边形QPCP'为菱形,则t 的值为( )A.√2B.2C.2√2D.3PP',交BC于N点,过P作PM⊥AC,垂足为M.若运动t s时四边形QPCP'为菱形,则PQ=PC,PN⊥BC,四边形PMCN为矩形,BQ=t,AP=√2t,PM=NC=t,∴QC=2t,∴BC=BQ+QC=t+2t=3t=6cm,∴t=2,故选B.4.(2018河南)如图1,点F从菱形ABCD的顶点A出发,沿A→D→B以1 cm/s的速度匀速运动到点B,图2是点F运动时,△FBC的面积y(cm2)随时间x(s)变化的关系图象,则a的值为()图1图2A.√5B.2D.2√5C.52D作DE⊥BC于点E由题图2可知,点F由点A到点D用时为a s,△FBC的面积为a cm2.∴AD=a.DE·AD=a.∴12∴DE=2.当点F从D到B时,用√5s,∴BD=√5.Rt△DBE中,BE=√AA2-AA2=√(√5)2-22=1,∵ABCD是菱形,∴EC=a-1,DC=a.Rt△DEC中,a2=22+(a-1)2,.解得a=52故选C.5.(2017广东)如图,已知正方形ABCD,点E是BC边的中点,DE与AC相交于点F,连接BF,下列结论:①S△ABF=S△ADF;②S△CDF=4S△CEF;③S△ADF=2S△CEF;④S△ADF=2S△CDF,其中正确的是()A.①③B.②③C.①④D.②④二、填空题6.(2018山东潍坊)如图,正方形ABCD的边长为1,点A与原点重合,点B在y轴的正半轴上,点D在x 轴的负半轴上,将正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°至正方形AB'C'D'的位置,B'C'与CD相交于点M,则点M的坐标为.)-1,√33,连接AM ,∵将边长为1的正方形ABCD 绕点A 逆时针旋转30°得到正方形AB'C'D', ∴AD=AB'=1,∠BAB'=30°, ∴∠B'AD=60°,在Rt △ADM 和Rt △AB'M 中,∵{AA =AA ',AA =AA ,∴Rt △ADM ≌Rt △AB'M (HL), ∴∠DAM=∠B'AM=12∠B'AD=30°, ∴DM=AD tan ∠DAM=1×√33=√33, ∴点M 的坐标为(-1,√33).三、解答题 7.如图所示,在△ABC 中,点O 是AC 边上的一个动点,过O 作直线MN ∥BC ,设MN 交∠ACB 的平分线于点E ,交∠ACB 的外角平分线于点F.(1)求证:OE=OF ;(2)当点O 运动到何处时,四边形AECF 是矩形?并证明你的结论.MN ∥BC ,∴∠OEC=∠BCE.又∠OCE=∠BCE ,∴∠OEC=∠OCE ,∴OE=OC.同理可证OF=OC ,∴OE=OF.O 运动到AC 中点时,四边形AECF 是矩形.证明:∵CE ,CF 分别是∠ACB 的内,外角平分线.∴∠OCE+∠OCF=12(∠ACB+∠ACD )=12×180°=90°,即∠ECF=90°,又∵OE=OF ,∴当O 点运动到AC 中点时,OA=OC ,四边形AECF 是矩形.8.(2018贵州遵义)如图,正方形ABCD的对角线交于点O,点E,F分别在AB,BC上(AE<BE),且∠EOF=90°,OE,DA的延长线交于点M,OF,AB的延长线交于点N,连接MN.(1)求证:OM=ON;(2)若正方形ABCD的边长为4,E为OM的中点,求MN的长.四边形ABCD是正方形,∴OA=OB,∠DAO=45°,∠OBA=45°,∴∠OAM=∠OBN=135°,∵∠EOF=90°,∠AOB=90°,∴∠AOM=∠BON,∴△OAM≌△OBN(ASA),∴OM=ON.,过点O作OH⊥AD于点H,∵正方形的边长为4,∴OH=HA=2,∵E为OM的中点,∴HM=4,则OM=√22+42=2√5,由(1)知OM=ON,∴MN=√2OM=2√10.。
中考数学总复习《矩形菱形与正方形》专项复习
中考数学总复习《矩形菱形与正方形》专项复习一.选择题1.（2019•贵阳•3分）如图，菱形ABCD的周长是4cm，∠ABC＝60°，那么这个菱形的对角线AC的长是（）A．1cm B．2 cm C．3cm D．4cm【分析】由于四边形ABCD是菱形，AC是对角线，根据∠ABC＝60°，而AB＝BC，易证△BAC是等边三角形，从而可求AC的长．【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC是对角线，∴AB＝BC＝CD＝AD，∵∠ABC＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝BC＝AC，∵菱形ABCD的周长是4cm，∴AB＝BC＝AC＝1cm．故选：A．【点评】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定和性质．菱形的对角线平分对角，解题的关键是证明△ABC是等边三角形．2. （2019•铜仁•4分）如图为矩形ABCD，一条直线将该矩形分割成两个多边形，若这两个多边形的内角和分别为a和b，则a+b不可能是（）A．360°B．540°C．630°D．720°【解答】解：一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形，每一个多边形的内角和都是180°的倍数，都能被180整除，分析四个答案，只有630不能被180整除，所以a+b不可能是630°．故选：C．3. （2019•铜仁•4分）如图，四边形ABCD为菱形，AB＝2，∠DAB＝60°，点E、F分别在边DC、BC上，且CE＝CD，CF＝CB，则S△CEF＝（）A．B．C．D．【解答】解：∵四边形ABCD为菱形，AB＝2，∠DAB＝60°∴AB＝BC＝CD＝2，∠DCB＝60°∵CE＝CD，CF＝CB∴CE＝CF＝∴△CEF为等边三角形∴S△CEF＝＝故选：D．4. ．（2019•河北•3分）如图，菱形ABCD中，∠D＝150°，则∠1＝（）A．30°B．25°C．20°D．15°【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，∠D＝150°，∴AB∥CD，∠BAD＝2∠1，∴∠BAD+∠D＝180°，∴∠BAD＝180°﹣150°＝30°，∴∠1＝15°；故选：D．5. （2019•江苏无锡•3分）下列结论中，矩形具有而菱形不一定具有的性质是（）A．内角和为360°B．对角线互相平分C．对角线相等D．对角线互相垂直【分析】分别根据矩形和菱形的性质可得出其对角线性质的不同，可得到答案．【解答】解：矩形和菱形的内角和都为360°，矩形的对角线互相平分且相等，菱形的对角线垂直且平分，∴矩形具有而菱形不具有的性质为对角线相等，故选：C．【点评】本题考查了矩形的性质，菱形的性质，熟记两图形的性质是解题的关键．6. （2019•江苏宿迁•3分）如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点A与原点O重合，顶点B落在x轴的正半轴上，对角线AC、BD交于点M，点D、M恰好都在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则的值为（）A．B．C．2 D．【分析】设D（m，），B（t，0），利用菱形的性质得到M点为BD的中点，则M（，），把M（，）代入y＝得t＝3m，利用OD＝AB＝t得到m2+（）2＝（3m）2，解得k＝2m2，所以M（2m，m），根据正切定义得到tan∠MAB＝＝＝，从而得到＝．【解答】解：设D（m，），B（t，0），∵M点为菱形对角线的交点，∴BD⊥AC，AM＝CM，BM＝DM，∴M（，），把M（，）代入y＝得•＝k，∴t＝3m，∵四边形ABCD为菱形，∴OD＝AB＝t，∴m2+（）2＝（3m）2，解得k＝2m2，∴M（2m，m），在Rt△ABM中，tan∠MAB＝＝＝，∴＝．故选：A．【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．也考查了菱形的性质．7. （2019•江西•3分）如图，由错误！嵌入对象无效。
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20XX 年中考数学试卷分类汇编：26矩形菱形与正方形一、选择题1. （2011浙江省舟山，10，3分）如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH （不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm 2，四边形ABCD 面积是11cm 2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（ ）（A ）48cm（B ）36cm （C ）24cm （D ）18cm【答案】A 2. （2011山东德州8,3分）图1是一个边长为1的等边三角形和一个菱形的组合图形，菱形边长为等边三角形边长的一半，以此为基本单位，可以拼成一个形状相同但尺寸更大的图形（如图2），依此规律继续拼下去（如图3），……，则第n 个图形的周长是（A ）2n （B ）4n （C ）12n + （D ）22n +【答案】C 3. （2011山东泰安，17 ，3分）如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S 1，S 2，则S 1+S 2的值为图1图2 图3 ……（第10题） FA BC D H EG ① ② ③ ④ ⑤A.17B.17C.18D.19【答案】B4. （2011山东泰安，19 ，3分）如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE 折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为A.23B.332 C.3 D.6【答案】A5. （2011浙江杭州，10，3）在矩形ABCD中，有一个菱形B F D E(点E，F分别在线段AB，CD上)，记它们的面积分别为ABCD BFDES S和．现给出下列命题：（）①若23ABCDBFDESS+=，则3tan EDF∠=．②若2,DE BD EF=•则2DF AD=．则:A．①是真命题，②是真命题B．①是真命题，②是假命题C．①是假命题，②是真命题D，①是假命题，②是假命题【答案】A6. （2011浙江衢州，1,3分）衢州市新农村建设推动了农村住宅旧貌变新颜，如图为一农村民居侧面截图，屋坡AF AG、分别架在墙体的点B、点C处，且AB AC=,侧面四边形BDEC为矩形，若测得100FAG∠=︒，则FBD∠=( )A. 35°B. 40°C. 55°D. 70°【答案】CEAB CDFG（第5题）7. （2011浙江温州，6，4分）如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ．已知∠AOB = 60°，AC ＝16，则图中长度为8的线段有( )A ．2条B ．4条C ．5条D ．6条【答案】D8. 2011四川重庆，10，4分）如图，正方形ABCD 中，AB ＝6，点E 在边CD 上，且CD ＝3DE ．将△ADE 沿AE 对折至△AFE ，延长EF 交边BC 于点G ，连结AG 、CF ．下列结论：①△ABG ≌△AFG ；②BG ＝GC ；③AG ∥CF ；④S △FGC ＝3．其中正确结论的个数是()A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C9. （2011浙江省嘉兴，10，4分）如图，①②③④⑤五个平行四边形拼成一个含30°内角的菱形EFGH （不重叠无缝隙）．若①②③④四个平行四边形面积的和为14cm 2，四边形ABCD 面积是11cm 2，则①②③④四个平行四边形周长的总和为（ ）（A ）48cm（B ）36cm （C ）24cm （D ）18cm【答案】A10．（2011台湾台北，29）如图(十二)，长方形ABCD 中，E 为BC 中点，作AEC 的角平分线交AD 于F 点。
若AB ＝6，AD ＝16，则FD 的长度为何？（第10题） F A BCD H EG ① ②③ ④ ⑤A ．4B ．5C ．6D ．8【答案】C11. （2011湖南邵阳，7，3分）如图（二）所示，ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，且AB ≠AD ，则下列式子不正确的是（）A.AC ⊥BDB.AB ＝CDC. BO=ODD.∠BAD=∠BCD【答案】A.提示：当且仅当ABCD 为菱形时，AC ⊥BD 。
12. （2011湖南益阳，7，4分）如图2，小聪在作线段AB 的垂直平分线时，他是这样操作的：分别以A 和B 为圆心，大于12AB 的长为半径画弧，两弧相交于C 、D ，则直线CD 即为所求．根据他的作图方法可知四边形ADBC 一定是．．．A ．矩形B ．菱形C ．正方形D ．等腰梯形B ACD 图2… A 1 A A 2 A 3 B B 1 B 2 B 3 C 2 C 1 C 3 D D 2 D 1 D 3 第10题图13. （2011山东聊城，7，3分）已知一个菱形的周长是20cm ，两条对角线的比是4∶3，则这个菱形的面积是（ ）A ．12cm 2B ． 24cm 2C ． 48cm 2D ． 96cm 2【答案】B14. （2011四川宜宾,7,3分）如图，矩形纸片ABCD 中，已知AD=8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF=3，则AB 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】D15. （ 2011重庆江津， 10，4分）如图,四边形ABCD 中,AC=a,BD=b,且AC ⊥BD,顺次连接四边形ABCD 各边中点,得到四边形A 1B 1C 1D 1,再顺次连接四边形A 1B 1C 1D 1各边中点,得到四边形A 2B 2C 2D 2……,如此进行下去,得到四边形A n B n C n D n .下列结论正确的有( )①四边形A 2B 2C 2D 2是矩形; ②四边形A 4B 4C 4D 4是菱形;③四边形A 5B 5C 5D 5的周长4b a +; ④四边形A n B n C n D n 的面积是12+n abA.①②B.②③C.②③④D.①②③④ （第7题图）ECB A16. （2011江苏淮安，5，3分）在菱形ABCD中，AB=5cm，则此菱形的周长为（）A. 5cmB. 15cmC. 20cmD. 25cm【答案】C17. （2011山东临沂，11，3分）如图，△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、AB于点D、F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∩A＝30°，BC＝2，AF＝BF,则四边形BCDE的面积是（）A．23B．33C．4 D．43【答案】A18. （2011四川绵阳7，3）下列关于矩形的说法中正确的是A．对角线相等的四边形是矩形B．对角线互相平分的四边形是矩形C．矩形的对角线互相垂直且平分D．矩形的对角线相等且互相平分【答案】D19. （2011四川乐山9，3分）如图（5），在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD的中点，AE交BF于点H，CG∥AE交BF于点G。
下列结论：①tan∠HBE=cot∠HEB ②CG BF BC CF⋅=⋅③BH=FG ④22BC BGCF GF=.其中正确的序号是A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④【答案】D20．（2011江苏无锡，5，3分）菱形具有而矩形不一定具有的性质是( ) A．对角线互相垂直B．对角线相等C．对角线互相平分D．对角互补【答案】A21.（2011湖北武汉市，12，3分）如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E，F分别在AB，AD上，且AE=DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．下列结论：①△AED ≌△DFB ； ②S 四边形 BCDG = 43 CG 2； ③若AF =2DF ，则BG =6GF ．其中正确的结论A ．只有①②．B ．只有①③．C ．只有②③．D ．①②③．【答案】D22. （2011广东茂名，5，3分）如图，两条笔直的公路1l 、2l 相交于点O ，村庄C 的村民在公路的旁边建三个加工厂 A ．B 、D ，已知AB ＝BC ＝CD ＝DA ＝5公里，村庄C 到公路1l 的距离为4公里，则村庄C 到公路2l 的距离是A ．3公里B ．4公里C ．5公里D ．6公里【答案】B23. （2011湖北襄阳，10，3分）顺次连接四边形ABCD 各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD 一定是A .菱形B .对角线互相垂直的四边形C .矩形D .对角线相等的四边形【答案】D24. （2011湖南湘潭市，5，3分）下列四边形中，对角线相等且互相垂直平分的是A.平行四边形B.正方形C.等腰梯形D.矩形 【答案】B A BDFGH 第12题图 2l 1l25.26.27.28.二、填空题1. （2011山东滨州，17，4分）将矩形ABCD 沿AE 折叠，得到如图所示图形。
若∠CED ′=56°,则∠AED 的大小是_______.【答案】62°2. （2011山东德州16,4分）长为1，宽为a 的矩形纸片（121<<a ），如图那样折一下，剪下一个边长等于矩形宽度的正方形（称为第一次操作）；再把剩下的矩形如图那样折一下，剪下一个边长等于此时矩形宽度的正方形（称为第二次操作）；如此反复操作下去．若在第n 此操作后，剩下的矩形为正方形，则操作终止．当n =3时，a 的值为_____________．【答案】35或343. （2011湖北鄂州，5，3分）如图：矩形ABCD 的对角线AC=10，BC=8，则图中五个小矩形的周长之和为_______．A B CD第5题图第一次操作第二次操作 （第17题图） ED D′C B A【答案】284. （2011山东烟台，17,4分）如图，三个边长均为2的正方形重叠在一起，O1、O2是其中两个正方形的中心，则阴影部分的面积是.O2O1【答案】25. (2011 浙江湖州，16，4)如图，甲类纸片是边长为2的正方形，乙类纸片是边长为1的正方形，丙类纸片是长、宽分别为2和1的长方形．现有甲类纸片1张，乙类纸片4张，则应至少取丙类纸片张，才能用它们拼成一个新的正方形．【答案】46. (2011浙江绍兴，15，5分) 取一张矩形纸片按照图1、图2中的方法对折，并沿图3中过矩形顶点的斜线（虚线）剪开，那剪下的①这部分展开，平铺在桌面上，若平铺的这个图形是正六边形，则这张矩形纸片的宽和长之比为.327. （2011甘肃兰州，20，4分）如图，依次连结第一个矩形各边的中点得到一个菱形，再依次连结菱形各边的中点得到第二个矩形，按照此方法继续下去。
已知第一个矩形的面积为1，则第n个矩形的面积为。
【答案】114n- 8. （2011江苏泰州，18，3分）如图，平面内4条直线L 1、L 2、L 3、L 4是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD 的4个顶点A 、B 、C 、D 都在这些平行线上，其中点Ａ、Ｃ分别在直线L 1和L 4上，该正方形的面积是 平方单位．14131211【答案】5或99. （2011山东潍坊，16，3分）已知线段AB 的长为a ，以AB 为边在AB 的下方作正方形ACDB .取AB 边上一点E ，以AE 为边在AB 的上方作正方形AENM .过E 作EF ⊥CD ，垂足为F 点.若正方形AENM 与四边形EFDB 的面积相等，则AE 的长为_________________.51- 10．（2011山东潍坊，17，3分）已知长方形ABCD ，AB =3cm ，AD =4cm ，过对角线BD 的中点O 做BD 的垂直平分线EF ，分别交AD 、BC 于点E 、F ，则AE 的长为_______________. ……【答案】78cm 11. （2011四川内江，16，5分）如图，点E 、F 、G 、H 分别是任意四边形ABCD 中AD 、BD 、BC 、CA 的中点，当四边形ABCD 的边至少满足 条件时，四边形EFGH 是菱形．【答案】AB=CD12. (2011重庆綦江，14，4分)如图,菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，且AC ＝8，BD ＝6，过点O 作OH ⊥AB ，垂足为H ，则点O 到边AB 的距离OH ＝ ．【答案】：51213. （2011江苏淮安，17，3分）在四边形ABCD 中，AB=DC ，AD=BC .请再添加一个条件，使四边形ABCD 是矩形.你添加的条件是 .(写出一种即可)【答案】∠A=90°或∠B=90°或∠C=90°或∠D=90°或AC=BD (答案不唯一，写出一种即可) 14. (2011江苏南京，12，2分)如图，菱形ABCD 的连长是2㎝，E 是AB 中点，且DE ⊥AB ，则菱形ABCD 的面积为_________㎝2．A BDEFG H【答案】2315. （2011江苏南通，15，3分）如同，矩形纸片ABCD中，AB＝2cm，点E在BC上，且AE＝EC.若将纸片沿AE折叠，点B恰好与AC上的点'B重合，则AC＝▲cm.【答案】416. （2011四川绵阳17，4）如图，将长8cm，宽4cm的矩形纸片ABCD折叠，使点A与C 重合，则折痕EF的长为_____cm.【答案】2517. （2011四川凉山州，17，4分）已知菱形ABCD的边长是8，点E在直线AD上，若DE=3，连接BE与对角线AC相交于点M，则MCAM的值是。