不等式exp(x)-1...引申出的一个不等式及其应用

不等式1x e x -≥引申出的一个不等式及其应用王永洪1（北京市海淀区北京理工大学机电学院，100081）导数公式()xxe e '=重要极限01lim 1x x e x→-=，可导函数的极值定理得到了不等式1x e x -≥，而围绕这个形式上简单的不等式及其证明过程了还有很多与自然对数（指数）有关的不等式和极限，如不等式1(0)1x x e x x x -≤-≤≥+，ln(1)(1)1x x x x x ≤+≤>-+与极限()10lim 1x x x e +→+=、111lim 11ln 2n n n →∞⎛⎫+++= ⎪⎝⎭ 2可由不等式11x x e x e --≥≥-经过适当变形和放缩处理就可以得到，关于1(0)1x xe x x x-≤-≤≥+（即11x x e x e --≤≤-），有这样的问题，是否存在这样的正数,(0,1)a b ∈，对于任意0x ≥，成立111x x xe bx ax-≤-≤++，根据x 趋于正无穷大时不等式两边的函数极限可以直接判断b 是不存在的，下面将指出这样的a 值是存在的。

考虑下面的问题：设0x ≥，11x xe ax--≤+恒成立，求a (0)a ≥的取值范围。

下面利用不等式11x xe x e --≤≤-给出解答：设()(1)(1)x f x ax e x -=+--，0x ≥.只需()0f x ≤.()(1)(1)x x f x a e axe --'=--+,利用1x x e ≤-得()(1)(1)(1)(21)(1)x x x x f x a e a e e a e ---'≤--+-⋅=-⋅-，当102a ≤≤，()0f x '≤，()f x 单调递减，()(0)0f x f ≤=.当12a >时，注意1a <，利用1x e x --≤，()(1)(1)x x f x a x axe x a ae --'≥-+=-+，0ln 1ax a<<-时，()0f x '>，则()(0)0f x f >=，不符合要求。

因此原问题中的a 值是存在的，其取值范围是10,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.特别地，取12a =，有不等式:11112xex x --⎛⎫-≤+ ⎪⎝⎭(1.1)由(1.1)再考虑对该不等式的修正，即提出了下面的问题，其中1111x x xp e p e e -----=+--。

例1 （Ⅰ）对于任意正数x ，11x x e x p e p ax ---<--+(1)p >．求证：102p a +≤≤． （Ⅱ）对于任意正数x ，211x x e x p e p x x αβ--->--++(1)p >，若12p α+=，求β的最小值． （I ） 证明：该不等式是(1.1)的变形式，但证明方法有异。

分式1xp ax-+对于一切正数x 有意义，于是0a ≥．设()(1)(1)()x x F x e ax p p e x --=-+---，0x ≥．只需证明()0F x ≤．[]()(1)(1)()(1)(1)(1).x x x x xF x e ax p a e xe p e a x a x a p e -----'=+-+----=-+-+--（i ） 1a ≥时，由于1x e x -≥即(1)(1)x x x e -≤+-，则1作者联系方式：北京市海淀区中关村南大街5号北京理工大学机电学院116信箱，100081； E-mail ：mt_xxx2007@2ln(1)1x x x x <+<+，(1)x >-中取1x n=，再累加，对不等式取极限即可。

[]()(1)(1)(1)(1)(1)(21)(1).x x xF x a x e a x a p e a p e ---'≤-+-+-+--=---112p a +≤≤时，()0F x '≤，()F x 在[0,)+∞单调递减，于是()(0)0F x F ≤=． （ii ） 01a ≤<时，10a -<，()(1)(1)(1)1x xF x a x e p e x --⎡⎤=--+---⎣⎦．由1x e x --≤知，01a ≤<时，()0F x ≤．（iii ） 112p a +>>时，1x e x --≤[][]()(1)(1)(1)(1)(1)21(1).x x x F x a e a x a p e a x a p e ---'≥--+-+--=-+---当2101a p x a --<<-时，(1)210a x a p -+-->，即()0F x '>，于是2101a p x a --<<-时，()F x 单调递增，即()(0)0F x F >=，这与题意矛盾．综上（i ）（ii ）（iii ）所述，102p a +≤≤时，11x xe x p e ax p ---<-+-对于任意的正数x 都成立． （II ） 分式21xp x x αβ-++对于一切正数x 有意义，则0β≥，又由（Ⅰ）知，0β≠，于是0β>．设211()(1)(1)x H x x x e x βα-=++--，0x ≥． 其中11112p αα-==-，11p ββ=-．只需证明()0H x ≥． 22111111()(2)(1)222x H x x x x x e βββ-⎡⎤'=+-+-+-⎢⎥⎣⎦，21112111()(4)2(1)212(1)(4).22x x x xH x x x e e x e e x βββββ---⎡⎤''=-+-+-⎢⎥⎣⎦⎡⎤=--+-⎢⎥⎣⎦（i ） 由1x e x -≥得到不等式212xx e x -≥+， (1.2) 则211111()2(1)(4)(6)222x xx x H x e e x xe βββ--⎡⎤''=--+-≥-⎢⎥⎣⎦，1112β≥时，11()(6)02x H x xe β-''≥-≥，因此()H x '在[)0,+∞是增函数，()(0)0H x H ''≥=，即()H x 在[)0,+∞也是增函数，()(0)H x H ≥．（ii ） 1112β<时，对不等式进行估计有：21x e x x -≤+，0ln 2x ≤<．于是0ln 2x ≤<时， 22111111()2(1)(4)(6)222x xx x H x e e x e x x ββββ--⎡⎤⎡⎤''=--+-≤+-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．取011min{ln 2,6}2x β=-，则()0H x ''<，0(0,)x x ∈．()H x '在0(0,)x 是单调递减，()(0)0H x H ''≤=，即()H x 在0(0,)x 也单调递减，则()(0)H x H ≤．这与题意不符。

综上（i ）（ii ）所述，1β的最小值是112，β的最小值是112p -．由此就有()H x 对应的不等式：121111212xe x x x --⎛⎫->++ ⎪⎝⎭. (1.3)应用上例的方法可以得到 1111(2)(3)12xe x x x x --⎡⎤-<++-⎢⎥⎣⎦(01)x << (1.4)这是x 取值很小时(1.1)的一个修正的估计，在证明一些极限问题中有所应用，在(1.3)中右边分母上添加更高阶的多项式可以得到对1x e --更好的估计。

上例（II ）中对()H x 求二阶导数，是为了判断()H x '的符号，显然(0)0H '≡，因此可以通过()H x '的单调性判断它在0x =的一定范围内的符号，这是以上所述解法的基本原理。

下例是不等式(1.1)和(1.3)在数列中应用，从中可以看出不等式(1.1)、(1.3)与极限的联系。

例2 设数列{}n x 满足：00x >，11exp()n n x x +=--3，(0,1,2,)n = ．求证：lim 2n n nx →∞=．证明：可数学归纳法可以证明：101()n n x x n N ++<<<∈．由式(1.1)得11111121n x n n n x x x e -+-=->-． 上式递推累加得12111111111111(1)22n n n n n x x x x x x x -⎛⎫⎛⎫=-++-+>-+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，即 2n x n<．(2.1)由式(1.3)得1111212n n n x x x +-<+，利用(2.1)即有11111126n n x x n+-<+⋅ 上式递推累加得11121111111111111(1)26n k n n n n x x x x x x x k -=-⎛⎫⎛⎫=-++-+<-++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∑ ．再联系(2.1)，最后得到111111226n k n n n x x k =<<++∑． (2.2)利用11m 10li k n n n k =→∞⎛⎫= ⎪⎝⎭∑，对(2.2)两边取极限，由极限的夹逼原理有11lim2n nnx →∞=.即 lim 2n n nx →∞=。

(2.3)作为极限(2.3)的加强，下面利用不等式(1.3)和(1.4)证明(2)2limln 3n n n nx n →∞-=-。

1122(2)2lim lim 4lim ln ln ln n n n nn n n n nnx x n nx x n nn →∞→∞→∞⎛⎫--⎪-⎝⎭==-，只要证明 121lim ln 6n n n x n →∞-=。

(2.4)首先，利用极限1112lim 1ln n n n→∞+++= ，对(2.2)右边取极限，有 111lim 2ln 6n n n x n →∞⎛⎫-⋅≤ ⎪⎝⎭。

(2.5)由于101()n n x x n N ++<<<∈，应用(1.4)得 211111121212n n n n x x x x +->+-。

(2.6)以下的不等式放缩法推导要用到极限的思想和无穷大量的概念。

112nk l l k =<<∑，122l l n +≤<4，这是一个无穷大量。

于是，存在这样的正数N ，当n N >时，对于(2.2)右边，111111126241n k k nn n x k k ==++⋅<+∑∑。