重金属在土壤中的扩散模型分析

重金属在土壤中扩散模型

【作者】 高云汉 3011202068 ，梁子千 3011202073 ，王冬 3011202082

天津大学精仪学院测控三班

【摘要】随着人类活动对城市环境的污染日益显著，而土壤的重金属污染又是城市

环境污染的重要组成部分，因此分析评价城市土壤中的重金属污染就备受

关注。根据重金属在采样点的土壤中的含量、分布及其空间变异，建立重

金属污染评价标准。

由于城市重金属污染具有多重性，即一个污染区域可能伴随着多种重金属

污染，因此我们对八种元素在各功能区中的平均值、中值、极值、变异系

数等做了统计分析，通过对这些数据的分析，以及对整体数据的相关性分

析，聚类分析，发现Ni 元素主要来源于土壤母质，而其他元素累积主要

受人类活动影响。

【关键词】 综合污染指数 富集因子 反距离加权插值

引言：

对于整个城市区域，首先建立一个扩散系数为常值情况下的扩散模型。以对于一种重金属为例，首先通过Matlab 对原始数据进行整理筛选。以背景值为衡量，将超出该金属背景值浓度n 倍的样本点（n 在5.2中进行了解释）为点源输入的初始点。建立方程形式如下：

2222(,,)x y C C C E E k x y z t x y

δ∂∂∂=⋅+⋅+⋅∂∂∂ 对于方程中的未知系数，本组进行格点搜索取值（取一定的步长）赋给未知量，再利用此函数得出原始数据坐标点上的金属浓度，与原始重金属数据进行契合度的分析，横向比较所有格点搜索得到的函数形式，取到一个较为合理的拟合方程，来代表这个城市区域内的该重金属的分布情况。

最后，我们加入对于海拔Z 的分析。海拔高度的变化直接影响水流以及其他可能影响重金属传输渗透的因素，所以当考虑海拔这个变量的时候，扩散系数不再是一个常量，方程也更加复杂，但是无疑精确度将会更加好。可以优化我们前面给出的模型。

模型假设

环境假设：

● 各个重金属污染的扩散过程相互独立，即一种重金属的污染浓度不会影响另外重金属。

● 不考虑重金属除土壤内扩散的其余所有过程，如人为搬运、空气传播等。 ● 土壤结构均匀恒定，没有土壤固体结构吸附重金属，忽略气候变化，视为理想环境。

● 海拔对于重金属扩散的作用小至忽略，即参数设为常值。（在之后的优化模型过程中，此条不作为假设之一，将把海拔作为影响因素。）

函数假设

● 污染为点源持续输入，其扩散方程也仅考虑两阶扩散，衰减仅考虑在土壤内的一届衰减。

● 水平方向上的每一个方向重金属扩散的系数视为相等。

● 点源输入的输入点选择时，忽略一些浓度不高的样本点，将浓度显著较高

的样本点作为输入点的位置建立函数。

● 点源输入的持续性体现在单位时间施加恒量的污染物。

符号说明

x E

………… 给定坐标系X 方向扩散系数； y E ………… 给定坐标系Y 方向扩散系数；

k ………… 点源单位时间持续输入浓度；

t ………… 时间；

(,)x y δ ………… δ函数；

C ………… 浓度；

,x y ………… 坐标表示；

,s s x y

………… 点源输入点坐标；

扩散模型的初步建立

模型建立主要依靠二阶扩散方程，目标是拟合一个与原始污染情况契合度最

好的扩散方程。

土壤重金属扩散，近似地可以用二阶扩散方程（Laplace 方程）进行解释，

本组也依靠此方程表示来建立优化前的数学模型。模型的建立推导过程见（6.1模型建立与分析），下面给出简单步骤：

1）以初始点源为（0,0）建立方程如下： 2222(,,)x y C C C E E k x y z t x y

δ∂∂∂=⋅+⋅+⋅∂∂∂ 其中(,)x y δ是δ函数，定义见（6.1）

2）解出通解，并如果定义(,)s s x y 为我们所找到的点源输入初始点，则得到该点的浓度表达式：

()(

)22ln +(,)s s x y x x y y k E E C x y ⎡⎤--⋅⎢⎥'=3）对于某给定的重金属元素，对x E ，y E ，k 进行格点搜索跨步取值，带入原

始坐标得到一组新浓度数据，与原始数据进行契合度检验，求出契合度最好

的那一组x E ，y E ，k 。

4）通过此拟合函数找出污染源、污染分布。

数据图像化

● 该城市地理形态图像（X-Y-海拔）

定性分析：

重金属污染主要集中在该城市的工业区以及交通区。这两个区域内的重金属含量经常出现极端值，由此可以断定，该两个区域中的污染源应当为主要污染源。

扩散模型建立与结果分析

扩散模型推导过程

⏹ 设点源坐标为（0,0）根据涨落理论中的物质二阶扩散方程（Laplace ）列出方

程如下：

2222(,,)x y C C C E E k x y z t x y

δ∂∂∂=⋅+⋅+⋅∂∂∂ 其中(,)x y δ函数定义如下，满足：

0(00)1.(,)(0)2.(,)1x y x y x y x y dt δδ+∞-∞

⎧≠≠⎧=⎨⎪⎪∞==⎩⎨⎪=⎪⎩⎰或、 对于齐次式： 22220x y C C C E E t x y

∂∂∂-⋅-⋅=∂∂∂ 可以解得：

22

141x

y t l C e t +-= 21l C = 进而考虑非齐次： 2222(,)x y C C C E E k x y t x y

δ∂∂∂-⋅-⋅=∂∂∂ （1） 如果考虑高度与重金

属扩散有关，则需要对

海拔进行分区，然后在

每一个分区中进行讨

论计算。