苏教版必修四第二章 平面向量 第二讲 向量的线性运算1 向量的加减法(习题+解析)

向量的加法

1. 在四边形ABCD中，＋AD＋BA等于________。

*2. 在矩形ABCD＝4＝3 ＝________。

*3. 下列说法：

（1）如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a，b之一的方向相同；

（2）在△ABC中，必有AB＋BC＋CA＝0；

（3）AB＋BC＋CA＝0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点；

（4）若a，b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等。

其中正确说法的个数为________。

4. 如图，已知△ABC是直角三角形且∠A＝90°，则在下列结论中正确的是________。

5. （肇庆高一检测）如图，已知D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，

则下列等式中不正确的是________。

6. 若P为△ABC的外心，且＋＝，求∠ACB的度数。

7. 轮船从A港沿北偏东60°方向行驶了40 km到达B处，再由B处沿正北方向行驶40 km 到达C处，求此时轮船到A港的相对位置。

向量的减法

1. 下列命题中，正确的个数是________。

①在平行四边形ABCD中，BA＋AD－BD＝AB＋CD；

②a＋b＝a⇔b＝0；

③a－b＝b－a；

④AB－CB＋CD－AD的模为0。

2. 已知六边形ABCDEF是一个正六边形，O是它的中心，其中a＝OF，b＝OA，c＝OB，则EF等于________。

*3。已知O是四边形ABCD所在平面内的一点，且满足OA＋OC＝OB＋OD，则四边形ABCD的形状是________。

4. 化简（AB＋CD－EB）＋（BC－BD＋EF）－AF＝________。

*5. 给出以下五个说法：

①若|a|＝|b|，则a＝b；

②任一非零向量的方向都是唯一的；

③|a|－|b|＜|a＋b|；

④若|a|－|b|＝|a|＋|b|，则b＝0；

⑤已知A，B，C是平面上任意三点，则AB＋BC＋CA＝0。

其中正确的说法有________。

**6. 已知OA＝a，OB＝b，若OA＝5，OB＝12，且∠AOB＝90°，则|a＋b|＝________，

|a－b|＝________。

7. 已知菱形ABCD边长都是2，求向量AB－CB＋CD的模。

*8. 如图，在五边形ABCDE中，若AB＝a，BC＝b，CD＝c，DE＝d，EA＝e，求作向量a－c＋b－d－e。

向量的加法

1. 解析：＋＋＝＋＝。

2. 5 解析：如图，根据平行四边形法则得＋＝，而矩形ABCD＝

4＝3＝5+＝5。

3. 1 解析：（1）当a＋b＝0时，命题不成立，（1）错；（2）正确；（3）当A，B，C三点共线时，也可以有AB＋BC＋CA＝0，（3）错；（4）当a，b共线时，若a，b同向，则|a ＋b|＝|a|＋|b|；若a，b反向，则|a＋b|＝a|－|b；当a，b不共线时|a＋b|＜|a|＋|b|，（4）错。

4. ①②③④解析：①正确，以AB，AC为邻边作▱ABDC，又∠A＝90°，

∴平行四边形ABDC为矩形，

∴AD＝BC，

②+；

③+.

④。

5. ④解析：根据三角形法则可知①②正确；

∵D，E，F分别是△ABC的边AB，BC，CA的中点，

∴四边形ADEF和四边形DECF都是平行四边形，

∴DE＋DA＝EC，故③正确，④不正确。

6. 解：如图，

∵PA＋PB＝PC，∴四边形APBC组成平行四边形，又P为△ABC的外心，

∴PA＝PB＝PC，因此∠ACB＝120°。

7. 解：如图，设AB，BC分别是轮船的两次位移，则AC表示两次位移的合位移，即AC ＝AB＋BC，

（9题图）

在Rt△ABD中，DB＝20 km，AD＝km，则DC＝DB＋BC＝60 km，

在Rt△ACD中，AC22

+＝（km），所以∠CAD＝60°，

AD DC

即此时轮船位于A港北偏东30°，且距离A港km处。

向量的减法

1. 3 解析：由向量的加法与减法法则知①④正确，由a＋b＝a⇔a＋b－a＝0⇔（a－a）＋b＝0⇔b＝0知，②正确，

由a－b＝a＋（－b）＝－（b－a）知，③是不正确的。

2. a＋c 解析：由正六边形性质知：EF＝CB＝OA＝b＝a＋c.

3. 平行四边形解析：∵OA＋OC＝OB＋OD，

∴BA ＝CD ，∴BA ∥CD ，且BA =CD ，

∴四边形ABCD 为平行四边形。

4. 0 解析：原式＝（AB ＋BE ）＋（CD ＋DB ）＋BC ＋（EF ＋FA ）＝AE ＋CB ＋BC ＋EA ＝0。

5. ②④⑤ 解析：由|a |＝|b |，得不到a ＝b ，因为两个向量相等需要模相等，方向相同，故①不正确；当b ＝0时，|a |－|b |＝|a ＋b |，故③不正确。

6. 13 13 解析：如图，在矩形OACB 中， OA ＋OB ＝OC ，即|a ＋b |＝OC ＝251213a b +=+=，同理|a －b |＝13。

7. 解：∵AB －CB ＋CD ＝AB ＋BC ＋CD ＝AD ，

8. 解：a －c ＋b －d －e ＝（a ＋b ）－（c ＋d ＋e ）＝（AB ＋BC ）－（CD ＋DE ＋EA ）＝AC －CA ＝AC ＋AC 。

连接AC ，并延长至点F ，使CF ＝AC ，则CF ＝AC ，

∴AF ＝AC ＋AC 即为所求作的向量a －c ＋b －d －e 。如图，