第一章 线性空间与线性变换

第一章 线性空间与线性变换

§1 线性空间的概念

定义1 如果复数的一个非空集合P 含有非零的数，且其中任意两数的和、差、积、商（除数不为零）仍属于该集合，则称数集P 为一个数域。

数域有一个简单性质，即所有的数域都包含有理数域作为它的一部分。特别地，每个数域都包含整数0和1。

定义1－1 设V 是一个非空集合，P 是一个数域。如果 （1）在集合V 上定义了一个二元运算“+”（通常称为加法），使得，V ∈∀y x ,，都有

V ∈+y x ；

（2）在数域P 的元素与集合V 的元素之间还定义了数量乘法运算，使得V P ∈∈∀x ,λ有

V ∈x λ；

（3）上述两个运算满足下列八条规则：

1) V ∈∀y x ,，都有x y y x +=+； 2) V ∈∀z y x ,,，有)()(z y x z y x ++=++； 3) V 中存在零元素，记为θ，对于V ∈∀x ，都有x x =+θ； 4) V ∈∀x ，都有V ∈y ，使得θ=+y x 。y 称为x 的负元素； 5) V ∈∀x ，都有x x =1；

P ∈,∀μλ，V ∈∀y x ,，下列三条成立：

6) x x )()(λμμλ=； 7) x x x νλμλ+=+)(； 8) y x y x λλλ+=+)(，

则集合V 叫做数域P 上的线性空间或向量空间。当P 是实数域时，V 叫实线性空间；当P 是复数域时，V 叫复线性空间。

例1－1 若P 是数域，V 是分量属于P 的n 元有序数组的集合

}|),,,{(21P x x x x V i n ∈∀= ，

若对于V 中任两元素

),,,(21n x x x X =，),,,(21n y y y Y =

及每个P k ∈（记作P k ∈∀），定义加法及数量乘法为

),,,(2211n n y x y x y x Y X +++=+ ，),,,(21n kx kx kx kX =

则容易验证，集合V 构成数域P 上的线性空间。这个线性空间记为n

P 。

例1－2 所有元素属于数域P 的n m ⨯矩阵组成的集合，按通常定义的矩阵加法及数与

矩阵的数量乘法，也构成数域P 上的一个线性空间，并把它记为n

m P

⨯。

例1－3 若n 为正整数，P 是数域，则系数属于P 而未定元为t 的所有次数小于n 的多项式的集合。这个集合连同零多项式在内，按通常多项式的加法及数与多项式的乘法构成数域

P 上的线性空间。我们用n t P ][代表这个空间。若把“次数小于n 的”这一限制取消，则也得

到一个线性空间，并记为][t P 。

例1－4 所有定义在区间)](,[b a b a ≤上的实值连续函数构成的集合，按照函数的加法

及数与函数的乘法，显然构成实数域上一个线性空间，记为],[b a R 。

定义1－2 线性相关与线性无关

设V 是数域P 上的线性空间，n ααα,,,21 是V 上的一组向量，如果P 中有一组不全为零的数n k k k ,,,21 ，使得

02211=+++n n k k k ααα 1－1

则称向量n ααα,,,21 线性相关；若等式1－1当且仅当021====n k k k 时才成立，则称这组向量是线性无关的。

定义1－3 设V 是数域P 上的线性空间，如果V 中存在一组向量，满足 （1）向量组线性无关；

（2）V 中任一向量可由向量组线性表示。 则称该组向量构成V 的一个基。 若V 的一个基中向量个数为n ，称n 为V 的维数，记为n V =dim ；若基中向量个数不是有限数时，称V 是无限维向量空间。本书主要讨论有限维线性空间。

定理1－1 设V 是数域P 上的n 维线性空间，n ααα,,21 是V 的一个基，则V 中任一向量α都可以表示为这个基的线性组合，且表示式是唯一的。

向量在基下的坐标。 空间的维数。

§2 基变换与坐标变换

2.1 基变换

设V 是数域P 上的维线性空间，又n ααα,,21 及n βββ,,21 是V 的两个基。假设这两个基的关系（基变换）为

⎪⎪⎩⎪⎪⎨

⎧+++=+++=+++=n

nn n n n n

n n n a a a a a a a a a αααβαααβαααβ 22112222112212211111 1－4 写成矩阵形式记为

A n n ),,,(),,,(2121αααβββ = 1－5

记

⎥⎥⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎢⎣⎡=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211， 则称A 是从基n ααα,,21 到基n βββ,,21 的过渡矩阵。 2.2 坐标变换

设向量α在此二组基下的表示式分别为：∑==

n

i i

i k 1

α

α∑==n

i i i l 1

β，则我们有

⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛=n n k k k 2121),,,(αααα

⎪⎪⎪⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n n l l l A l l l 21212121),,,(),,,(αααβββα

从而有

⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫

⎝⎛n n l l l A k k k 2121， ⎪⎪⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-n n k k k A l l l 21121 §3 子空间与维数定理

3.1 线性子空间