量子力学第一章态矢量

4.量子力学与经典力学的比较：
量子力学
研究对象在
无法确定
t 时刻的位置
t 时刻的 动量和速度
只能确定在 x ~ x dx 的出现概率
无法确定，速度无意义
只能确定具有 p ~ p dp 的概率
且不可同时确定位置和动量
研究对象的
波函数 （复函数）
状态的描述
或态矢量 （复矢量）
经典力学 可以确定
位置、动量和速度 同时确定
①在介绍量子力学使用的数学空间（希尔伯特空间）前，先来回顾线性代数的基本理论：
②实线性空间的定义：见同济高数第ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ章第一节
③复线性空间的定义：在上述定义基础上，把条件
改写成
（复数域）
2.三维实线性空间：三维实向量全体构成三维实线性空间 ，为我们所熟知的空间
3
①向量的展开：一个向量 可以被表示为 a1e1 a2e2 a3e3 aiei ，其中 ei 称为基
（2）狄拉克符号：把 v 称为右矢(ket)， u 称为左矢(bra)，合起来就是 u v ，表示内积
左右矢关系： * T ，物理上称两量子态共轭
（3）范数：规定 1，这是因为 , 1（见第三章第三节）
（4）相位：规定 z 和 描述粒子的同一个状态，由范数要求知 ，但相位无影响
间统称为希尔伯特空间，记作 。无穷维内积空间中，只有希尔伯特空间是完备的
（3）函数系的完备性：函数空间中有一标准正交函数系gi ，若对任何连续函数 f ，都有
N
2
0,N, M f Ci gi dx ，就称gi 是完备的，简称「完备基」。
i 1
性质：任意连续函数
f
都可用同一完备基展开，即
5.内积空间：现在我们在 里定义内积，它可看作 中两个复向量 和 的“点积”
n
①内积定义：定义运算 ai*bi ，若运算满足下列四条性质就称为内积 i 1
（1） * （2） z w z w
（3） 0 且 0 0 （4） z z , z z*
取一切正实数 的无穷维向量，虽然这说法不严密，但它能帮助你更快理解后几章的内容）
n
①函数的内积：仿照向量的内积 ai*bi ，不妨定义函数内积为 f , g f *gdx i 1
这样就要求范数平方 f , f
f * fdx
2
f dx 可积，从而去掉了所有平方不可积的函数
②函数的正交性： f , g 0 称两函数正交，这概念已经与“垂直”无关
⑦左矢和右矢的理论综述：
（1）左矢和右矢的关系：左矢为右矢的共轭转置，记作 * T
（2）左右矢的展开： a1 e1 ... an en ， a1* e1 ... an* en ， ei ej ij
（3）左右矢和范数的矩阵表示： α a1 ... an T ， α a1* ... an*
（5）态矢量的展开：这个问题涉及到表象的相关理论，将在第三章讨论 ②第一公设——量子态公设：量子系统在任意时刻的状态（量子态）可以由无限维希尔伯特
空间中一个范数为 1 的态矢量 来描述，这态矢量完整地给出系统的所有信息，并且遵守
态叠加原理
8.（附录）完备性：从内积空间到我们的目标，希尔伯特空间，它们之间只相隔一个完备性。
现在就从数学观点来讨论什么是完备性。
（1）向量集的完备性：若一组标准正交矢量 ei并不包含在一个比它更大的标准正交矢量
集合中，就称这标准正交矢量集是完备的，简称「完备基」。换而言之，在有限维向量空间 中，若标准正交矢量集的元素数=空间维数，就一定是完备的 性质：向量空间中的任意向量都可用同一组完备基展开（或“一组完备基生成这个空间”）
1.态矢量：狄拉克指出粒子的量子态满足叠加原理。在经典物理学，用向量来描述符合叠加 原理的物理量（如电场强度、力…）是惯用的做法。叠加原理适用于任何线性空间，于是， 考虑在向量空间（又称线性空间）中处理量子力学。简单来说，用一个称为「态矢量」的矢
量来描述粒子的状态，一般记作 。考虑到波函数是复变函数，它应该是一个复矢量。
（6）德布罗意假设：物质波假说，粒子动量 p k （1924 年）
（7）乌伦贝克-古兹米特自旋假说；泡利不相容原理；海森堡-矩阵力学（1925 年） （8）薛定谔-波动力学（1926 年）
波函数统计诠释： 2 是概率密度函数， 2 dx 1 （1926 年）
（9）海森堡不确定性原理；玻尔的互补原理：观测影响状态（1927 年） （10）态叠加原理；《量子力学原理》（狄拉克，1930 年）
④向量在标准正交基下展开：我们在高中就知道向量用标准正交基展开是非常简便的，从这
一节开始往后，凡是涉及到向量展开，都只讨论在标准正交基 ei 下的展开
⑤对偶空间：之前提到复空间中引入了「复共轭」操作，现在就来讨论它。对复数 z 取共轭
得到共轭复数 z* ，那么对复矢量取共轭应该也得到共轭向量。可以证明，完备内积空间 内
主要性质：在此列举几条重要性质（ z, wC ）
（1） （2） （3） z z z （4） z w z w （5） zw zw （6）展开： z1 d1 ... zn dn ， di 称为基， zi 称为坐标
矩阵表示： α z1 ... zn T
i1
（向量）， ai R 称为向量 在基 ei 下的坐标。需要指出这样的分解是唯一的。
②向量的矩阵表示：一个向量
还可以被表示为一个列矩阵，
a1
a2
a3 T
注意矩阵表示中不出现基向量
③基：空间里的一组向量构成基向量组的条件是
（1）这组向量线性无关（2）任一向量在这组基下的坐标是唯一的
④维数：空间的维数是最大基向量组中向量的个数
确定的值
确定的值
*量子力学的测量：在量子领域，在实验中通常事先准备好大量具有相同状态 的粒子（这 称为「系综」（esemble）），同时测量它们的「物理量」Q，然后考察统计平均值 Q 。这是
由于测量行为会直接改变粒子的状态（所谓的“坍缩”），导致重复实验的结果平均值失去意 义（一旦某粒子坍缩到了状态 A，之后的一切实验结果也都只会是 A） 关于力学量测量结果的详细讨论，见第三章
n
②范数：仿照 中向量长度的定义，定义（广义的）长度
ai 2
i1
称为范数(norm)，若 1就称为单位向量/标准化向量(normalized vector)
③正交性：仿照 中向量垂直关系的定义，定义（广义的）垂直 0 ，称为正交
至此可定义两矢量标准正交（orthonormal）的条件： ei ej ij
对一个空间来说，完备基的选择不是唯一的
示例：在 中，xˆ, yˆ是标准正交矢量集但不完备（包含于xˆ, yˆ, z，无法展开带 z 分量的
向量），xˆ, yˆ, zˆ才是一个完备基， rˆ,ˆ,ˆ 也是完备基
（2）内积空间的完备性：数学上对空间完备性的定义是——空间中的任何柯西序列都收敛 在该空间之内。有限维内积空间都是完备的（证明见泛函分析）；数学上把一切完备内积空
*不确定性原理：位置和动量无法同时确定，严格来说是指其之一的测量标准差可以任意地 大以至于无法确定真实结果，这是不确定性原理的结果，详见第二章第 7 节
第一章 态矢量和态空间
本章提要：本章讨论量子力学的研究对象——态矢量和态空间。沿着三维实空间→复空间→ 内积空间&函数空间→无穷维空间的路线，将三维线性空间中的向量展开、矩阵形式、坐标、 基、内积、长度、正交性等概念推广到高维向量空间及函数空间，最后再到无穷维空间。然 后介绍态矢量的相关性质。在这过程中，引入了简洁的狄拉克符号重新表示这些概念。最后 给出量子力学第一条公设作为总结。
序章 基本背景知识
1.量子力学的基本要素是：「态」(状态)、「演化」、「可观测量」(力学量)、「观测行为」
（简单解说：粒子在任一时刻都具有一个「状态」，粒子具有的某些可测量的性质（位置、
动量、角动量、自旋，etc）称为「可观测量」，而测量粒子的这些性质的过程就是「观测行
为」，俗称“做实验”）
2.初等量子力学的任务是：
n
则 αα ai 2 i1
n
（4）内积的矩阵表示： ai*bi αβ ，当 b1 e1 ... bn en i1
n
n
（5）向量在标准基下的坐标： ck ek ，ci ei ； ck* ek ，c*j ej
k 1
k 1
n
n
（6）两个常用投影形式： ei ei ， ej ej
i1
j 1
6.函数空间： 波函数是复变函数，且根据玻恩的统计诠释，它还是（模）平方可积的。 我们先不详细研究波函数，考察所有平方可积函数（它们显然满足加法和标量乘规则）构成 的复线性空间（暂不讨论定义域），并试图按内积的四条性质给函数定义“函数的内积”
（你可以把函数理解为：①在第 x （比如）个基方向上坐标恰为 f x ②分量式中指标 i 可
③函数的归一化： f f , f
f * fdx
f
2
dx
1称函数可归一化
于是一族正交归一的函数 fi 定义如下： fi , f j fi* f jdx ij
④函数在标准正交基下展开： f Ci gi i 1
7.无穷维希尔伯特空间：定义在复数域上的、完备的、无穷维内积空间 ，就是量子力学所 要求的空间，又称「态空间」。 ①态矢量的基本概念： （1）定义：态矢量是态空间中的矢量，描述粒子的一个状态（量子态）
rt, pt（实矢量函数）
状态的 演化方程
观测行为
测量精度
预测的 测量结果 实际的 测量结果
薛定谔方程（复系数方程）
会影响对象 （只有时间测量不影响）
受不确定性原理限制 且“某些”量无法同时测定
某个结果出现的概率
确定的值 或可能取值的统计平均
牛顿第二定律（实系数方程）
不会影响对象 可达到任意高 可以同时测定所有物理量
（1）预测「对一个系统（“态”）进行实验（“观测”）得到的实验结果（观测结果）」
（2）寻找“态”随时间的「演化」规律
3.从旧量子论到现代量子力学：
（1）普朗克能量量子化假设（1900 年） （2）爱因斯坦光量子假说（1905 年）
（3）光的波粒二象性（1909 年）
（4）玻尔模型（1913 年）
（5）斯特恩-盖拉赫实验（1922 年）
示例：所有多项式组成的空间
P
中，包含一个函数序列
xk k!
，但却没有包含序列的极
限 ex xk ，所以 P 是不完备空间
k 0 k!
向量组内任意两向量满足 ei
ej
ij
，就称为这组基为「标准正交基」，比如 xˆ,
yˆ, zˆ
3.三维复线性空间：在 基础上，在标量乘向量的规则中允许标量为复数，这时向量也就成 为复向量（「坐标」是复数的矢量），这样就得到三维复线性空间 。这时，要注意引入复 共轭带来的变化
4.复线性空间：现在考虑 n 维复线性空间 ，把这空间里的一个矢量记作 ，称为右矢
3
⑤点积：又称数量积，两个向量的点积被定义为 a1b1 a2b2 a3b3 aibi ，它也
i 1
有矩阵形式
T
；点积（内积）具有的性质是（同济线代第五版
P111）
⑥向量的长度：定义
T
为模长。特别地，若
1，称其为单位向量
⑦垂直： 0 时称两个向量垂直。至此可对直角坐标系的常用基下精确定义：如果基
的每个右矢的共轭向量构成一个 ，这空间称为对偶空间，且对偶空间与原空间同构（即 两空间的向量一一对应） ⑥左矢：不妨称右矢的复共轭为左矢。但是，若我们再把右矢的矩阵表示考虑进来，知道右 矢可表示为一 n 列矩阵，内积是一个数，则左矢应该要表示为一 n 行矩阵。综合转置和共
轭的要求，重新定义：左矢为右矢的共轭转置，记作 * T
f
i 1
Ci
gi
（条件为
lim
N
M
0）
对一个空间来说，完备函数基的选择不是唯一的
示例：勒让德多项式、三角函数系 x , 、拉盖尔多项式、厄米多项式
（4）函数空间的完备性：函数空间是以函数为元素的内积空间。故当空间内的函数组成的 任何柯西序列都收敛在空间内，就称该函数空间是完备的 （5）函数空间完备化：把所有的柯西列的极限（函数）都“扔进”空间里把“洞”填上