O《金融数学》练习题参考答案

= 1.8776(109.42 +
X)
AV6 − AV3 = (109.42 + X )(0.87761) = X ⇒ X = 784.61
1.24
t=
4
时的累积值
AV
=
1000e
∫3 0
0.02tdt
⋅ e0.045
= 1000e0.09e0.045
= 1144.54
设名义利率为 x，则 1000(1+ x)16 = 1144.54 ⇒ x = 0.03388 4
n
=
2 n
d = a(n + 1) − a(n) = n2 − (n −1)2
a(n +1)
n2
第2章
等额年金
2.1 1363 元
2.2 27943 元
2.3 月实际利率为 0.5％，年金的领取次数为 123，截至 2005 年 12 月 31 日，领取次数为
70。因此
200a =18341 123 0.5%
1.23
δ0.5 = (0.02 −0.5+0.03) / a (0.5) = 0.039
AV3
=
100
⋅
e
∫
3 0
t
2
/
100
dt
+
X
= 100⋅ e27 / 300
+
X
= 109.42 +
X
AV6
=
(109.42 +
X
6
t2 /100dt
)⋅ e∫3
=
(109.42 +
X ) ⋅ e(216−27) / 300
基金 A :
a(t) =
⎡n
⎤
exp ⎢ (a + bt)dt ⎥
⎣0
⎦
=
exp
⎡⎣an
+
1 2
bn2
⎤⎦
基金 B
:
a(t) =
exp
⎡⎣ gn
+
1 2
hn2
⎤⎦
an +
1 2
bn2
=
gn +
1 2
hn2
⇒
n
=
2(a − g) h−b
∫ 1.17
a(t) =
a(t)
= 100(1 − δ )−8 4
200a 123
0.5%
×(1+
0.5%)123
=
33873
1
200a ×(1+ 0.5%)70 = 26005 123 0.5%
2.4
基金在第
30
年初的价值为 10000× s 20
6%
×(1+
6%)9
=
658773.91
如果限期领取
20
年，每次可以领取
658773.91÷
a 20
6%
=
57435
∫ 1.20
a−1 (3)
=
exp
⎡ ⎢− ⎣
3 0
t3 dt
100
⎤ ⎥ ⎦
=
e −0.2025
.
1.21
aA (t)
=1+0.1t ⇒
δ tA
=
0.1 1+ 0.1t
,
aB (t)
=
(1 − 0.5t)−1
⇒
δ tB
=
0.05 1 − 0.05t
δtA = δtB ⇒ t = 5
1.22 设 a (t) = at2 + bt +c，则 a (0) = c =1，a (0.5) = 0.25a + 0.5b + c= 1 + 2.5%，a (1) = a + b + c = 1 + 7% ，故 a = 0.04, b = 0.03，a (t) = 0.04 t2 + 0.03 t + 1
2.10 49099.50 元 2.11 0.2 2.12 4 年 2.13 设月实际利率为 j，则有
(1+
j)12
=
(1+
4% )4 4
⇒
j
=
0.003322 ⇒
a∞ 0.0201
=
1 j
(1+
j) = 302
2.14 设月实际利率为 i，则季度实际利率为 j = (1+ i)3 −1
1000×1×(1+ i
15
i
i
i
45
2.19
a = 1− vn = x, a = 1− v2n = y
n
i
2n
i
⇒ 1− (1− ix)2 = y ⇒ i = 2x + y ⇒ d = i = 2x + y
i
x2
1+ i x2 + 2x + y
2.20
x
∫1
a(t)=e 0
20−t dt
= e−
ln(20−t
)
x 0
= e−ln(20−x)+ln 20
1.25
i(2)
= 0.075 ， δ
+
d (4)
=
ln
⎡⎢⎢⎢⎣⎛⎜⎜⎝1+
i(2 2
)
⎞2 ⎟ ⎟ ⎠
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
+
4
⎡⎢⎢⎢⎣1−⎛⎜⎜⎝1+
i(2) 2
⎞−1/ ⎟ ⎟ ⎠
2
⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦
=
0.1466
1.26
(1.01)12T
=
exp
⎡ ⎢ ⎣
T2 12
⎤ ⎥ ⎦
⇒ 12Tln(1.01)
−1 =
n 2
⇒
n
= 16
∫ 1.29
⎡2 ⎤ AV = 1000 ⋅ exp ⎢⎣ 0 δtdt ⎥⎦ = 1068.94
1.30 500(1 + 2.5i) + 500(1+1.75i) + 500(1+ 0.25i) = 500(3 + 4.5i) = 1635 ⇒ i = 6%
3
1.31
AVJoe = 10[1+10(0.11)]+ 30[1+ 5(0.11)] = 67.5 AVTina = 10(1.0915)10−n + 30(1.0915)10−2n
1.7 在 T 月的贴现值 (1.05)−T /12 ，故：
−T
−1
−18
− 24
1004(1.05) 12 = 314(1.05) 12 + 272(1.05) 12 + 419(1.05) 12 ⇒ T = 14.75
1.8 1000 = 400 (1.03)−4 + 800 (1.03)−20 + P (1.03)−40 ⇒ P = 657.86
i)
=
3020×
1 j
=
3020×
(1+
1 i)3
−1
⇒
i
=
0.3326
故年实际利率为 4.06%。
2.15 假设最后一次付款的时间为 n，则：10000 = 1000an−4 0.05 (1+ 0.05)−4 ⇒ n = 23.18
4
假设在 23 年末的非正规付款额为 X，则有
10000 = 1000a (1+ 0.05)−4 + X (1+ 0.05)−23 ⇒ X = 176.23 19 0.05
)
0
−4ln(10+0.5t) x 0
4ln⎜⎝⎛⎜⎜10+100.5 x⎠⎞⎟⎟⎟
10 10 + 0.5x
4
a 4
=
⎛ ⎜⎝
10 10 + 0.5
⎞4 ⎟⎠
+
⎛ ⎜⎝
10
10 + 0.5×
2
⎞4 ⎟⎠
+
⎛ ⎜⎝
10
10 + 0.5×
3
⎞4 ⎟⎠
+
⎛ ⎜⎝
10
10 + 0.5×
4
⎞4 ⎟⎠
= 2.56
故最后一次付款的时间是 23 年末，付款额为 1176.23 元。
2.16
1
4
∫− δtdt
∫− δtdt
a = v + v2 + v3 + v4 = e 0 +…+ e 0
4
x
x
∫ ∫ ⎛⎜⎜ ⎞⎟⎟ e = e = e = e = − δtdt ⎜⎝ ⎠⎟ 0
−2×2
1 10+0.5t
d
(10+0.5t
⋅
exp
⎡ ⎢ ⎣
5 2
1
1 +
t
⎤ dt ⎥
⎦
=百度文库
260 ⇒ δ
=
0.129
1.18
d
δA
=
(1 + t) dt
1+ t
=
1 1+ t
,
δ
d (1 + t 2 )
= dt
=
2t
B 1+t2 1+t2
δ A = δB ⇒ t2 + 2t −1 = 0 ⇒ t = 0.41
2
1.19 a(t) = (1+ t)2 , a(t) = (1+ t)−2 300×a−1(3) + 600×a−1(6) = 200×a−1(2) + X ×a−1(5) ⇒ X =315.82
2.17 100a = 4495.5038 = 6000vk ⇒ vk = 0.7493 ⇒ k = 29 60
( ) ( ) 2.18 a 1+ v15 + v30 = 1− v15 1+ v15 + v30 = 1+ v15 + v30 − v15 − v30 − v45 = 1− v45 = a
1.12 由已知得 e27.72δ = 2 ⇒ δ = 0.025
n
当 i0.5 = δ 时， (1+ 2δ )2 = 7.04 ⇒ n = 80
1.13 100×(1－4×6%)-1/4×2=114.71
1.14
1+
i
=
⎡⎢⎢⎣1+
im m
⎤⎥⎥⎦ m
=
⎡⎢⎢⎣1−
dm m
⎤⎥⎥⎦ −m
= 1−
d
20
= eln 20−x
=
20 20 − x
s = a(10) + a(10) + ... + a(10) = 14.5
10 a(1) a(2)
a(10)
2.21
s 2n
s n
s +n
s 2n
=
(1 + i)2n −1 (1+ i)n −1
+
(1 + (1 +
i)n i)n
−1 −1
=
⎡⎣(1 + )i 2n −1⎤⎦2 + ⎡⎣(1+ i)n −1⎤⎦2 ⎡⎣(1+ i)n −1⎤⎦ ⋅ ⎡⎣(1+ )i 2n −1⎤⎦
⇒
m=
⋅ i d (m) (m)
i(m) − d (m)
=8
1.15
∫ 基金 A :
a(t) =
(1.01)12t , 基金 B :
a(t) =
⎡t t ⎤ exp ⎢⎣ 0 6 dt ⎥⎦
=
et2 /12
(1.01)12t = et2 /12 ⇒ t = 144 ln(1.01) = 1.43
∫ 1.16
1.3 364.46 = 100 + 200v + 100v2 ⇒ i = 0.100009 1.4 −8000 + 900v + 8900v2 = 0 ⇒ i = 0.1125 1.5 300(1 + i)3 + 200(1+ i)2 +100(1+ i) = 800 ⇒ i = 0.1293
1.6 120(1+ v) = K = 150(v2 + v3 ) ⇒ v = 0.8944 K = 120×(1+ 0.8944) = 227.328
(1+ i)n +1
(1+ i)n +1
s
(1 + )i 3n −1 (1 + i)2n −1+ (1+ )i 3n −1
1+ 3n = 1+
=
s 2n
(1 + i )2n −1
(1 + )i 2n −1
(1+ i)n +1+ (1+ )i 2n + (1+ i)n +1 (1+ i)2n + 2 (1+ i)n + 2
1.9 由 500(1 + i) 25 = 3000 得 i = 0.0743 故 10000 [(1 + i) -20 + (1 + i)-40 + (1 + i)-80] = 3089.4
1.10 小王的单利账户：即 i (2X ) = i ⋅ X 2
1
小张的复利账户：
X
⎛⎜⎜⎜⎝1+
i 2
⎞⎟⎠⎟⎟16
=
=
(1+ i)n +1
(1+ i)n +1
2.22 1538a = 1072a ⇒ 1072v20 −1538v10 + 466 = 0 ⇒ i = 0.08688
10
20
5
2.23 设 j 为等价利率，则有 j = (1.01)3 −1 = 0.030301， 累积值 = 100(s + s ) = 2999
−
X
⎛⎜⎝⎜⎜1+
i 2
⎞⎠⎟⎟⎟15
X [(1+ i )16 − (1+ i )15 ] = i ⋅ X ⇒ i = 0.09458
2
2
1.11 每季度的实际利率为 12% = 3% ，设最后一笔是 X，有 4
10000 = 4000(1.03)−4 + 8000(1.03)−20 + X (1.03)−40 ⇒ X = 6578.3747
= ⎡⎣(1+ i)n −1⎤⎦2 ⋅ ⎡⎣(1+ i)n + 1⎤⎦2 + ⎡⎣(1+ i)n −1⎤⎦2 ⎡⎣(1+ i)n −1⎤⎦ ⋅ ⎡⎣(1+ i)n −1⎤⎦ ⋅ ⎡⎣(1+ i)n + 1⎤⎦
= ⎡⎣(1+ i)n + 1⎤⎦2 +1 = (1+ )i 2n + 2 (1+ i)n + 2
《金融数学》
（孟生旺 编著，中国人民大学出版社 2007 版）
参考答案和勘误表
（2008 年 1 月 10 日修订）
第1章 利息的度量
1.1 由 600×2 i = 150 得 i = 0.125，故 2000 (1 + i)3 = 2848 1.2 1004vT /12 = 314v1/12 + 271v18/12 ⇒ T = 141.6
=
T2 12
,
T = 144ln(1.01) = 1.43
5
10
1.27
∫ ktdt e0
1 kt2dt
∫ 25 ⋅e5
25 k
=e2
35 k
⋅e 2
= 2.7183 ⇒
k
=
0.414
∫ 1.28
a(t)
⎡t ⎤ = exp ⎢ δtdt ⎥
⎣0 ⎦
=
2+t 2
，δ
=
a(n) − a(0)
=
2+n n
如果无限期地领下去，每次可以领取 658773.91÷ a∞ 6% = 658773.91×6% = 39526
2.5 31941.68 元，21738.97 元，46319.35 元
2.6 9 年
2.7 29 月末
2.8 0.1162
2.9 2000×(1.063 +1.062 +1.05 +1) = 8729.23
⇒ 67.5 = 10(1.0915)10−n + 30(1.0915)10−2n ⇒ n = 1.262
∫ ∫ 1.32
a(n)
=
exp
⎡ ⎢⎣
n 2
δ t
dt
⎤ ⎥⎦
=
exp
⎡ ⎢⎣
n 2
t
2 −1
dt
⎤ ⎥⎦
=
(n
− 1) 2
,
d (2)
=
2 ⎡⎣1− (1− d )0.5 ⎤⎦
=
2(1 −
n −1 )