万有引力定律 经典例题

１．天体运动的分析方法

2．中心天体质量和密度的估算

(1）已知天体表面的重力加速度g 和天体半径R G Mm R

2＝m ｇ⇒错误! （２)已知卫星绕天体做圆周运动的周期T 和轨道半径r

错误!

１.火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知（)

A ．太阳位于木星运行轨道的中心

B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等

C.火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方

Ｄ.相同时间内,火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积

解析:由开普勒第一定律(轨道定律）可知，太阳位于木星运行轨道的一个焦点上,A 错误；火星和木星绕太阳运行的轨道不同，运行速度的大小不可能始终相等，B 错误;根据开普勒第三定律(周期定律)知所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的平方的比值是一个常数,Ｃ正确；对于某一个行星来说，其与太阳连线在相同的时间内扫过的面积相等,不同行星在相同的时间内扫过的面积不相等,D 错误.

答案：C

2．(2016·郑州二检）据报道,目前我国正在研制“萤火二号”火星探测器．探测器升空后,先在近地轨道上以线速度v 环绕地球飞行，再调整速度进入地火转移轨道,最后再一次调整速度以线速度v ′在火星表面附近环绕飞行．若认为地球和火星都是质量分布均匀的球体,已知火星与地球的半径之比为1∶２,密度之比为5∶７,设火星与地球表面重力加速度分别为g ′和g ,下列结论正确的是()

A.g ′∶g ＝4∶１Ｂ．g ′∶g ＝10∶7

C ．v ′∶v ＝＼r （＼f(5,28))D.ｖ′∶v ＝错误!

解析:在天体表面附近,重力与万有引力近似相等，由G Mｍ

Ｒ2

＝mg，Ｍ＝ρ错误!πR３,解

两式得g=＼f(4,3)GπρＲ,所以g′∶g=5∶14，A、B项错；探测器在天体表面飞行时，万有

引力充当向心力，由ＧMｍ

Ｒ2=ｍ错误!，M=ρ错误!πR3,解两式得v=2R错误!,所以v′∶v＝

错误!,C项正确,D项错.

答案：C

３.嫦娥三号”探月卫星于2０13年12月2日1点30分在西昌卫星发射中心发射，将实现“落月”的新阶段．若已知引力常量G,月球绕地球做圆周运动的半径r１、周期T1,“嫦娥三号”探月卫星绕月球做圆周运动的环月轨道(见图)半径r2、周期T2,不计其他天体的影响，则根据题目条件可以（)

A．求出“嫦娥三号”探月卫星的质量

B．求出地球与月球之间的万有引力

Ｃ.求出地球的密度

D.错误!＝错误!

解析：绕地球转动的月球受力为错误!=Ｍ′ｒ1错误!得T1=错误!=错误!．由于不知道地球半径r,无法求出地球密度,C错误；对“嫦娥三号”而言，错误!=mr2错误!，T2=

4π２r23

GM′

，已知“嫦娥三号”的周期和半径,可求出月球质量M′,但是所有的卫星在万有引力提供向心力的运动学公式中卫星质量都约掉了,无法求出卫星质量，因此探月卫星质量无法求出，A错误；已经求出地球和月球质量，而且知道月球绕地球做圆周运动的半径r１,

根据F＝GMM′

ｒ12

可求出地球和月球之间的引力,B正确;由开普勒第三定律即半长轴三次方与公转周期二次方成正比,前提是对同一中心天体而言,但是两个圆周运动的中心天体一个是地球一个是月球，D错误.

答案:B

估算天体质量和密度时应注意的问题

(１)利用万有引力提供天体做圆周运动的向心力估算天体质量时，估算的只是中心天体的质量，并非环绕天体的质量．

(2)区别天体半径R和卫星轨道半径r,只有在天体表面附近的卫星才有r≈R；计算天

体密度时,V＝4

Ｒ3中的R只能是中心天体的半径．

３π

考点二人造卫星的运行

授课提示:对应学生用书第57页

１.人造卫星的ａ、ω、v、T与r的关系

＼f（ＧMｍ,r2)=错误!

2．近地时ｍｇ＝错误!―→ＧM＝ｇＲ２．

1.地球同步卫星的特点

(１）轨道平面一定：轨道平面和赤道平面重合.

(２）周期一定:与地球自转周期相同，即T=24ｈ＝86400s．

(3)角速度一定:与地球自转的角速度相同．

(４)高度一定：根据G错误!=m错误!r得r＝错误!＝4.23×104ｋｍ，卫星离地面高度h ＝ｒ-R≈6R(为恒量)．

(5)绕行方向一定：与地球自转的方向一致.

２．极地卫星和近地卫星

(1)极地卫星运行时每圈都经过南北两极,由于地球自转，极地卫星可以实现全球覆盖．

（2)近地卫星是在地球表面附近环绕地球做匀速圆周运动的卫星,其运行的轨道半径可近似认为等于地球的半径，其运行线速度约为７.９kｍ/s.

(3)两种卫星的轨道平面一定通过地球的球心.

１.(2015·高考福建卷）如图，若两颗人造卫星ａ和b均绕地球做匀速圆周运动，a、b 到地心O的距离分别为r１、r2，线速度大小分别为v１、v２，则()

A.＼f(ｖ1,v ２)＝错误!

B.错误!=错误!

C ．＼f(v 1，v 2)=错误!2D.错误!=错误!2

解析：根据万有引力定律可得G 错误!=m 错误!，即v =错误!，所以有错误!=错误!,所以Ａ项正确，B 、Ｃ、D 项错误．

答案:A

２．2０15年3月30号晚上9点５２分，我国在西昌卫星发射中心用长征三号丙运载火箭,将我国首颗新一代北斗导航卫星发射升空，于31号凌晨3点３4分顺利进入预定轨道.这次发射的新一代北斗导航卫星,是我国发射的第17颗北斗导航卫星．北斗卫星导航系统空间段计划由35颗卫星组成,包括5颗静止轨道卫星、27颗中地球轨道卫星、3颗倾斜同步轨道卫星．中地球轨道卫星和静止轨道卫星都绕地球球心做圆周运动，中地球轨道卫星离地面高度低,则中地球轨道卫星与静止轨道卫星相比，做圆周运动的()

A.周期大Ｂ．线速度小

Ｃ.角速度小D ．向心加速度大

解析:卫星离地面的高度越低，则运动半径越小．根据万有引力提供圆周运动向心力得G Mm r 2＝ｍ错误!＝ｍω２r ＝m 错误!=m ａ，则周期Ｔ＝错误!,知半径r 越小,周期越小，故A 错误；线速度v ＝错误!，知半径ｒ越小，线速度越大，故B 错误；角速度ω=错误!,知半径ｒ越小，角速度越大，故C 错误；向心加速度ａ＝＼f(GM,r 2)，知半径r 越小，向心加速度越大,故D 正确．

答案：Ｄ

3．“空间站”是科学家进行天文探测和科学试验的特殊而又重要的场所．假设“空间站”正在地球赤道平面内的圆周轨道上运行,其离地球表面的高度为同步卫星离地球表面高度的十分之一，且运行方向与地球自转方向一致．下列说法正确的有()

A.“空间站”运行时的加速度小于同步卫星运行的加速度

B.“空间站”运行时的速度等于同步卫星运行速度的错误!倍

C ．站在地球赤道上的人观察到“空间站”向东运动

D.在“空间站”工作的宇航员因不受重力而可在舱中悬浮

解析:根据G Ｍm r 2＝ma 得a =＼f(Gm,ｒ2）,知“空间站”运行的加速度大于同步卫星运