一类变系数抛物型微分方程的自由边界问题
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Ｊ ｆ ｎ
，） 硼（ 告 ｆＪ ｔ ， （） ｔ－ 牛 ， ｄ 一０ ） ６
这 个表达式 在物理上 表示 热量的平衡 。
经过积 分推导并 整理得
一
且 Ｐ满足 Ｖ ≤ ， ， ， ， ， ｐ Ｖｉ ２ … 』 ～１的向量 下标 ， 一１ ＼
１Ｅ￣（ ， “（ ， １ ）＋ Ｏ Ａ ｆ￡ ）
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证明： 令 一 （ １ ， ， Ｎ １ ， 么 Ａ ， … Ｖ一 ） 那 ２ ０
记 ＋ 一而＋号， 并于矩形区域 一 ≤ｚ 号 ≤
汁寻， ￡ ＋ 积分式 （ ） 到 ≤ ≤ １ １得
“
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（ ２ １）
且 向量 一（ ７ ， ， 。 ， … “一 ）
解 ， 使导 出的差分 格式 尽 可 能保 持原 微 分方 程 的 应 主要特 征 。由于多数 守 恒 性可 以用积 分关 系表 达 ， 因而从 积分关 系出发构 造差分格 式将会 保持守 恒规 律 。此外 ， 用这种方 法 构 造任 意 网格 上 的差 分 格式 时， 较差商 代替微 商方法会 更简单 ， 而且在变 系数情
… …
０ ０
在平 面（ ｔ￣ 分 网格 ＝ｊ ，—Ｏ １ … ， （ ｚ，） ｌ １ ｈＪ ， ， ． Ｊ ， 是 自然 数 ） ｔ一 ， ， ｒ 一０ ｌ … 。用 “ ，， 来 逼 近在 点 （ ｊｔ） （位 ，ａ ） ｘ， 一 ｎ ｔ的温度 （ ，ｔ） ， ｚ ， 值 即
往 与数 学物理 方 程 结合 在 一 起 。近年 来 ， 自由边 界 问题 吸 引 了 众 多 学 者 的 关 注 ， Ｒ Ｅ ＭＡＮＥ 和 Ｆ ＩＤ 。 ｊ
左 边 界 ｘ－０有 一热 流 量 ｑ （ 于 Ｏ 以及 在 右 边 － （） 小 ）
界 —ｚ 的温度条 件 。 ｚ 。
ＴＡＯｌ等对 自由边 界 的肿 瘤生 长 模 型 进行 研 究 ， ４ 给
分 格 式 。在 方 程 无 相 变 的 情 况 下 ， 应 地 用 隐 式差 分格 式 逼 近 微 分 方 程 ， 到 离 散 点 温 度 值 随 时 间 或 空 间 变 化 的 规 相 得
律。
关键词 ： 系数 ； 变 自由边 界 ； 值 分 析 ； 分 格 式 数 差
中 图 分 类 号 ： ７ ．２ Ｏ１ ５ 文献标志码 ： Ａ 文章 编 号 ：６ １４ ７ （０ １０ —０ ３０ １７ —６９ ２ １ ）１０ ７—２
自由边 界 问题是 指偏微 分方 程 的某些 边界 是未 知的， 它需要 和定 解 问题 的解一 起确 定 ， 知 的边界 未 就称 为 自由边 界［ ］ 自由边 界 问题 存 在 于 自然 科 １。
计算 结果 差异 较大 。 本文 考虑 一维 变 系 数 热传 导 问 题 ， 系数 是 变 其
黑
龙
江
工
程
学
院
学
报（ 自然科学版）
第 ２ 卷 ５
较 实用方便 的数值解 法 。
“ 一 ｕ ＋ ７
（ ， ＞ ０ ￡） ，
（ １ １）
１ 守恒 差分 格 式 的构 造
为 了使 差 分方 程 的解 更 好 地 逼 近 微 分 方 程 的
？： ｂ ｔ）ｔ （ ， ＞ ０ ． 令参数 ｒ 一
ｌ Ｌ
如果 一１考虑 向量 ＡＶ的第一 分量 ，
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（ 一ＯＡ Ａ （ｊｔ）］ １ ） （ ￣ｕｘ ， ）．
量 ｚ的 函数 ， 始 态 为 液 态 的一 种 物 质 的有 限 （ 初 或 半无 限 ） 区域 。在 系统 的左端有 一个 冷冻 装置 ， 本文 讨 论 变 系数 抛 物型方 程 （ ） 在 无 相 变 的情 况 下 ， １， 在
学、 工程 等诸 多领 域 ， 如 水 晶的 生长 、 金 中金 属 例 冶 的熔化 凝 固 、 肿瘤 的生 长与 治愈 等 问题 ， 些 问题往 这
。
界问题 的求 解 已 有 一 些 方 法 ， 扰 动 法Ｌ 、 ｈ ｂ — 如 ７ Ｃ ｅ ｙ ］
ｓ ｅ 谱 方 法 ［ 等 ， 是对 于具 体 问题 ， 同 的方 法 ｈｖ ８ 但 不
收 稿 日期 ：０ ０１－６ ２ １ —２０ 基金 项 目 ： 龙 江 省 教 育厅 科 学技 术 研 究 项 目（ １４ ２ ６ 黑 １５ １９ ） 作者简介 ： 晓 丽（９４ ） 崔 １ ６ 一 ，女 ，副 教 授 ，硕 士 ，研 究 方 向 ： 变 函 复 数 ， 分方程． 微
出了解 的性态 分析 ， ＡＭＡＤｏ 等研 究 了图像 处 理 ＲＩ 中的 自由边界 问题 ｌ ， Ｌ 则 考 虑 了描 述 生 态 学 ＿ 而 Ｎ ５ ］
中具 自由边 界 的两种 群捕 食模 型 ＿ 。 由于这些 问题 ６ ］
此时 ， 出如下初 边值 问题 ： 给
一
（ｚ 一 ， ｚ ， ０１ ａ） ０ ＜ ＜ 。＞ ． ） （ ） ０ （
一
类 变 系数 抛 物 型 微 分 方 程 的 自 由边 界 问题
崔 晓 丽 ， 丽娜 ， 克 林 ， 孟 秦 刘 威
（ 龙 江 工 程 学 院 数 学 系 ，黑龙 江 哈 尔滨 １ Ｏ ５ ） 黑 ５０ Ｏ
摘
要 ： 究 一 类 变 系 数 抛 物 型微 分 方 程 的 自 由边 界 问 题 ， 据 变 系 数 这 一 特 点 ， 积 分 插 值 法 建 立 方 程 的守 恒 差 研 根 用
Ｏ ｘ， ）一 Ｏ （ ， （ Ｏ ｏ ） ０≤ ｚ ≤ ． ， ２ ７ 。
一
（） ２
（） ３ （） ４
与应 用紧密 联 系 ， 以探 讨 自由边 界 问题 的数值 解 所 法具 有十分 重要 的意 义 。但 是 ， 因为 问题 本 身 的 复
ｋ
一 ｇ ， ＞ ０ （ ） ，
比热 和热传 导 系数 Ｃ和 ｋ中至少有 一个 是 变量 ｚ 的 函数 （ 中 ｐ和 Ｃ的变 化较 小 ， 以近 似认 为 只有 其 可 ｋ是 ｚ的 函数） 。初始 温度 ０＝０（ 且 ６ ￡代 表在 ｏ ｏｚ） （） 边界 ｚ ＝ 。 ￡ ０时 的温度 。这是 一个适 定 的 问题 ， ＝ｚ 、 ＝ ＞ 但通 常这类 问题 的解 法 较 复杂 ， 以下 将 讨 论一 种 比
杂性 和非线 性 ， 而使 其 数 值计 算 较 一 般 的偏微 分 方
程组定 解 问题 的求 解要 困难 得 多 。 目前 ， 自由边 对
Ｏ ｘ ，）一 ６ ￡ ， ＞ ０ （０￡ （） ｔ ．
式 中 ：（ ＞ ０ 口 ） ａ ） ， （ 一旦 （ ，、 和 ｋ分别 为密 度 、 ）． ｃ ０
第２ ５卷 第 １期
２１年 ３ ０１ 月
黑
龙
江
工
程
学
院
学
报（ 自然科 学 版）
Ｖｏ ＿ ５№ ． ｌ２ １
Ｍ ａ ．， ｒ ２０１ １
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则离 散 问题 （ ） １ ） 以写成矩 阵形式 ９ ～（ ２ 可
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（ ４ １）
ｄｘ
（） ５
它 表示热 流密度 。
３ 解及 热流 量分 析
定义 １ ＿ 矩 阵 Ｍ 一 （ ） 正 的 ， ［ ９ 是 如果 它所有
的元 素 ｍ ， 均是 非负 的 。特别 地 ， 向量 一 （ｉ是 正 Ｖ） 的， 如果每一 个分量 均是 非负 的 。 定 义 ２９ 实矩 阵是 单调 的 ， ｆ ｊ 如果 它是 可 逆 的 ， 且逆矩 阵是 正的 。 定理 ３ 上面定 义 的矩 阵 Ａ 是单 调的 。
Ａ ｒ ｅ ｂ ｕ ａ ｙ ｐ ｏ ｌ ｍ ｆ ｐ ｒ ｂ ｌｃ ｅ ａ ｉ ｎ ｗｉｈ ｖ ｒ ａ ｌ ｏ ｆ ｉ ｉ ｎ ｆ ｅ ｏ ｎｄ ｒ ｒ ｂ ｅ ｏ ａ ａ ｏ ｉ ｑｕ ｔｏ ｔ ａ ｉ ｂ ｅ ｃ ｅ ｆｃ ｅ ｔ
ＣＵＩ ａ —ｉＭ ＥＮＧ — ａ ＱＩ Ｋｅｌ ， Ｕ ｅ ｏ ｌ， Ｘｉ Ｌｉ ， Ｎ —ｉ ＬＩ Ｗ ｉ ｎ ｎ
，） 硼（ 告 ｆＪ ｔ ， （） ｔ－ 牛 ， ｄ 一０ ） ６
这 个表达式 在物理上 表示 热量的平衡 。
经过积 分推导并 整理得
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且 Ｐ满足 Ｖ ≤ ， ， ， ， ， ｐ Ｖｉ ２ … 』 ～１的向量 下标 ， 一１ ＼
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一 ｊｚ Ａ—ｒ
０ … 一 卜１ ＋２卜１ Ａ ｒ １ Ａ ｒ
是 一１ 向量 维
＝ ＝＝
令式 （ ） ， １中
一 一 口 ）＿ （ ｄ Ｕ
，
（ ｒ 田 （ ）ｋ ０ … ， ， Ａｊ△ ｆ ／ ， ， ＯＡ卜１ （ ） ｒ ｔ ）． ｂ
证明： 令 一 （ １ ， ， Ｎ １ ， 么 Ａ ， … Ｖ一 ） 那 ２ ０
记 ＋ 一而＋号， 并于矩形区域 一 ≤ｚ 号 ≤
汁寻， ￡ ＋ 积分式 （ ） 到 ≤ ≤ １ １得
“
Ｉ ［（， １～“ｚ ）ｄ ＋ “ｚ￡ ） （ ， ］ｒ 抖
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（ ２ １）
且 向量 一（ ７ ， ， 。 ， … “一 ）
解 ， 使导 出的差分 格式 尽 可 能保 持原 微 分方 程 的 应 主要特 征 。由于多数 守 恒 性可 以用积 分关 系表 达 ， 因而从 积分关 系出发构 造差分格 式将会 保持守 恒规 律 。此外 ， 用这种方 法 构 造任 意 网格 上 的差 分 格式 时， 较差商 代替微 商方法会 更简单 ， 而且在变 系数情
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在平 面（ ｔ￣ 分 网格 ＝ｊ ，—Ｏ １ … ， （ ｚ，） ｌ １ ｈＪ ， ， ． Ｊ ， 是 自然 数 ） ｔ一 ， ， ｒ 一０ ｌ … 。用 “ ，， 来 逼 近在 点 （ ｊｔ） （位 ，ａ ） ｘ， 一 ｎ ｔ的温度 （ ，ｔ） ， ｚ ， 值 即
往 与数 学物理 方 程 结合 在 一 起 。近年 来 ， 自由边 界 问题 吸 引 了 众 多 学 者 的 关 注 ， Ｒ Ｅ ＭＡＮＥ 和 Ｆ ＩＤ 。 ｊ
左 边 界 ｘ－０有 一热 流 量 ｑ （ 于 Ｏ 以及 在 右 边 － （） 小 ）
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ＴＡＯｌ等对 自由边 界 的肿 瘤生 长 模 型 进行 研 究 ， ４ 给
分 格 式 。在 方 程 无 相 变 的 情 况 下 ， 应 地 用 隐 式差 分格 式 逼 近 微 分 方 程 ， 到 离 散 点 温 度 值 随 时 间 或 空 间 变 化 的 规 相 得
律。
关键词 ： 系数 ； 变 自由边 界 ； 值 分 析 ； 分 格 式 数 差
中 图 分 类 号 ： ７ ．２ Ｏ１ ５ 文献标志码 ： Ａ 文章 编 号 ：６ １４ ７ （０ １０ —０ ３０ １７ —６９ ２ １ ）１０ ７—２
自由边 界 问题是 指偏微 分方 程 的某些 边界 是未 知的， 它需要 和定 解 问题 的解一 起确 定 ， 知 的边界 未 就称 为 自由边 界［ ］ 自由边 界 问题 存 在 于 自然 科 １。
计算 结果 差异 较大 。 本文 考虑 一维 变 系 数 热传 导 问 题 ， 系数 是 变 其
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第 ２ 卷 ５
较 实用方便 的数值解 法 。
“ 一 ｕ ＋ ７
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（ １ １）
１ 守恒 差分 格 式 的构 造
为 了使 差 分方 程 的解 更 好 地 逼 近 微 分 方 程 的
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如果 一１考虑 向量 ＡＶ的第一 分量 ，
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学、 工程 等诸 多领 域 ， 如 水 晶的 生长 、 金 中金 属 例 冶 的熔化 凝 固 、 肿瘤 的生 长与 治愈 等 问题 ， 些 问题往 这
。
界问题 的求 解 已 有 一 些 方 法 ， 扰 动 法Ｌ 、 ｈ ｂ — 如 ７ Ｃ ｅ ｙ ］
ｓ ｅ 谱 方 法 ［ 等 ， 是对 于具 体 问题 ， 同 的方 法 ｈｖ ８ 但 不
收 稿 日期 ：０ ０１－６ ２ １ —２０ 基金 项 目 ： 龙 江 省 教 育厅 科 学技 术 研 究 项 目（ １４ ２ ６ 黑 １５ １９ ） 作者简介 ： 晓 丽（９４ ） 崔 １ ６ 一 ，女 ，副 教 授 ，硕 士 ，研 究 方 向 ： 变 函 复 数 ， 分方程． 微
出了解 的性态 分析 ， ＡＭＡＤｏ 等研 究 了图像 处 理 ＲＩ 中的 自由边界 问题 ｌ ， Ｌ 则 考 虑 了描 述 生 态 学 ＿ 而 Ｎ ５ ］
中具 自由边 界 的两种 群捕 食模 型 ＿ 。 由于这些 问题 ６ ］
此时 ， 出如下初 边值 问题 ： 给
一
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类 变 系数 抛 物 型 微 分 方 程 的 自 由边 界 问题
崔 晓 丽 ， 丽娜 ， 克 林 ， 孟 秦 刘 威
（ 龙 江 工 程 学 院 数 学 系 ，黑龙 江 哈 尔滨 １ Ｏ ５ ） 黑 ５０ Ｏ
摘
要 ： 究 一 类 变 系 数 抛 物 型微 分 方 程 的 自 由边 界 问 题 ， 据 变 系 数 这 一 特 点 ， 积 分 插 值 法 建 立 方 程 的守 恒 差 研 根 用
Ｏ ｘ， ）一 Ｏ （ ， （ Ｏ ｏ ） ０≤ ｚ ≤ ． ， ２ ７ 。
一
（） ２
（） ３ （） ４
与应 用紧密 联 系 ， 以探 讨 自由边 界 问题 的数值 解 所 法具 有十分 重要 的意 义 。但 是 ， 因为 问题 本 身 的 复
ｋ
一 ｇ ， ＞ ０ （ ） ，
比热 和热传 导 系数 Ｃ和 ｋ中至少有 一个 是 变量 ｚ 的 函数 （ 中 ｐ和 Ｃ的变 化较 小 ， 以近 似认 为 只有 其 可 ｋ是 ｚ的 函数） 。初始 温度 ０＝０（ 且 ６ ￡代 表在 ｏ ｏｚ） （） 边界 ｚ ＝ 。 ￡ ０时 的温度 。这是 一个适 定 的 问题 ， ＝ｚ 、 ＝ ＞ 但通 常这类 问题 的解 法 较 复杂 ， 以下 将 讨 论一 种 比
杂性 和非线 性 ， 而使 其 数 值计 算 较 一 般 的偏微 分 方
程组定 解 问题 的求 解要 困难 得 多 。 目前 ， 自由边 对
Ｏ ｘ ，）一 ６ ￡ ， ＞ ０ （０￡ （） ｔ ．
式 中 ：（ ＞ ０ 口 ） ａ ） ， （ 一旦 （ ，、 和 ｋ分别 为密 度 、 ）． ｃ ０
第２ ５卷 第 １期
２１年 ３ ０１ 月
黑
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报（ 自然科 学 版）
Ｖｏ ＿ ５№ ． ｌ２ １
Ｍ ａ ．， ｒ ２０１ １
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形 也不会遇 到新 的困难 。
则离 散 问题 （ ） １ ） 以写成矩 阵形式 ９ ～（ ２ 可
ＡＵ 一 Ｕ ＋ ． （３ １）
其 中 Ａ 是 如下 Ｊ一１阶方 阵
广＋Ａ】 —Ａｌ １ ｒ ｒ ０ … … ０
ｌ Ａ ｒ １ Ａ ｒ —Ａ ｒ —２ ＋２２ ２ ０ Ａ＝ ｆ ０ －３ Ａｒ … …
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（ ４ １）
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（） ５
它 表示热 流密度 。
３ 解及 热流 量分 析
定义 １ ＿ 矩 阵 Ｍ 一 （ ） 正 的 ， ［ ９ 是 如果 它所有
的元 素 ｍ ， 均是 非负 的 。特别 地 ， 向量 一 （ｉ是 正 Ｖ） 的， 如果每一 个分量 均是 非负 的 。 定 义 ２９ 实矩 阵是 单调 的 ， ｆ ｊ 如果 它是 可 逆 的 ， 且逆矩 阵是 正的 。 定理 ３ 上面定 义 的矩 阵 Ａ 是单 调的 。
Ａ ｒ ｅ ｂ ｕ ａ ｙ ｐ ｏ ｌ ｍ ｆ ｐ ｒ ｂ ｌｃ ｅ ａ ｉ ｎ ｗｉｈ ｖ ｒ ａ ｌ ｏ ｆ ｉ ｉ ｎ ｆ ｅ ｏ ｎｄ ｒ ｒ ｂ ｅ ｏ ａ ａ ｏ ｉ ｑｕ ｔｏ ｔ ａ ｉ ｂ ｅ ｃ ｅ ｆｃ ｅ ｔ
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