§8.6[1]Gauss公式散度与旋度
(梯度,散度,旋度)
P 2 + Q 2 + R2 = C
所以有： 所以有：
PPx + QQ x + RRx = 0，PPy + QQ y + RR y = 0， PPz + QQz + RRz = 0
i ∂ − A × rot ( A) = − ( P,Q, R ) × ∂x P j ∂ ∂y Q k ∂ =− ∂z R i P ∂R ∂Q − ∂y ∂z j Q ∂P ∂R − ∂z ∂x k R ∂Q ∂P − ∂x ∂y
义 斯托克斯公式的物理意 :
向量场 F 沿封闭曲线 Γ 的环流量 , 等于F
的旋度场 rotF通过 Γ 张成的曲面的通量 .
中 常 ; 性质: (1) ∇×(cF) = c ∇× F, 其 c为 数
(2) ∇×(F + F2 ) = ∇× F + ∇× F2; 1 1
( 3) 设ϕ是数量函数 , 则有
例1 设径向量 p = ( x , y , z ), 令p =|| p ||, 求梯度 ∇p.
2 2 2 2 解： Q p = p ⋅ p = x + y + z ,
∴ 2 p∇p = ∇p 2 = ∇ ( x 2 + y 2 + z 2 ) = 2( x , y , z ) = 2 p,
因此， 当 因此， p ≠ 0时,
k ∂ ∂z R
也可写成向量积的形式 : rotF = ∇× F
设 S 为双侧曲面 , Γ 为其边界曲线 , 其中 S 的 侧和 Γ 的方向满足 右手法则 .
设t = (cos α t , cos β t , cos γ t )是曲线 Γ正向上的单
位切向量 , 定义弧长元素向量 :
散度和旋度的计算公式
散度和旋度的计算公式散度和旋度是向量场中两个重要的概念，在物理学和工程学中有着广泛的应用。
散度描述了向量场的流出或流入程度，而旋度则描述了向量场的旋转程度。
下面分别介绍散度和旋度的计算公式。
散度的计算公式向量场$ \mathbf{F} = \left( P, Q, R \right) $的散度定义为：$abla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} $其中，$ \frac{\partial}{\partial x} 、 \frac{\partial}{\partial y} 和\frac{\partial}{\partial z} 分别表示对x、y和z的偏导数。
若向量场\mathbf{F}$是二维的，则散度的计算公式简化为：$abla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} $ 旋度的计算公式向量场$ \mathbf{F} = \left( P, Q, R \right) $的旋度定义为：$abla \times \mathbf{F} = \begin{pmatrix} i & j & k \\ \frac{\partial}{\partial x} &\frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{pmatrix} $ 展开计算后，可得到旋度的具体计算公式：$abla \times \mathbf{F} = \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partialQ}{\partial z} \right) \mathbf{i} + \left( \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x} \right) \mathbf{j} + \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \mathbf{k} $总结散度和旋度是向量场的两个重要性质，通过计算散度和旋度可以揭示向量场的流动和旋转规律。
散度,旋度
如何理解高等数学中的散度、旋度李伯忍(东莞理工学院 计算机学院, 广东东莞 523808)摘要: 曲线积分和曲面积分是高等数学课程中的重点和难点, 格林(Green)公式,高斯(Gauss)公式和斯托克斯(Stokes)公式是沟通上述几类积分内在联系的几个重要积分公式. 本文研究了高斯公式和斯托克斯公式中的散度和旋度的物理含义.关键词: 曲线积分; 曲面积分; 散度; 旋度中图分类号: O113, O335 文献标识码: A1 引言理工类专业学生在学习课程“高等数学”的过程中, 对曲线积分和曲面积分往往感到困难. 这是因为这部分的课程内容的理论性较强, 概念较抽象, 尤其是第二类曲线积分和第二类曲面积分以及两个重要的积分公式即高斯公式和斯托克斯公式, 它们涉及到场论中通量和散度、环流量和旋度等物理概念, 但在常见的“高等数学”教材中较少涉及这部分内容, 因此导致学生对这部分的教学内容难以理解. 据此本文将从这些概念的物理含义作较为详细地介绍, 以期减少学生学习中的困难.曲线积分和曲面积分实际上是积分的区域分别是平面或空间中的一段曲线和一片曲面的情形, 这有别于积分的区域是数轴上的区间, 平面上的区域和空间中的区域. 曲线积分和曲面积分分别有第一类曲线积分和曲面积分及第二类曲线积分和曲面积分. 格林(Green)公式,高斯(Gauss)公式和斯托克斯(Stokes)公式是沟通上述几类积分内在联系的几个重要积分公式.高斯公式可以认为是格林公式在三维空间中的推广. 格林公式揭示了平面区域上的二重积分与该区域边界曲线上的曲线积分之间的联系, 可以把在某一坐标平面上分段光滑的闭合曲线上的第二类曲线积分转化为相应坐标平面上的二重积分来计算. 而高斯公式揭示了空间闭合区域上的三重积分与其边界曲面上的曲面积分之间的关系, 可以把坐标空间中分片光滑的闭合曲面的第二类曲面积分转化为空间中闭合曲面围成的区域的三重积分来计算, 反之亦然. 斯托克斯公式建立了沿空间曲面的曲面积分与该曲面的边界闭合曲线的曲线积分的联系, 是联系第二类曲线积分和第二类曲面积分的桥梁, 是格林公式的推广. 本文着重研究了高斯公式和斯托克斯公式中的散度和旋度的物理含义.2 通量与散度定义向量微分算子k zj y i x ∂∂+∂∂+∂∂=∇ (2.1) 它被称为哈密尔顿算子, 也称之为矢量微商符.定义流速场k z y x R j z y x Q i z y x P V ),,(),,(),,(++=→, 取哈密尔顿算子∇与流速场→V 的数量积, 即→→=∂∂+∂∂+∂∂=++⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂+∂∂=⋅∇V div z R y Q x P Rk Qj Pi k z j y i x V )( (2.2)现在我们要问, 这样运算得到的到底是一个什么样的物理量? 为什么称它为散度? 为了说明此问题, 引入体积通量F , 它定义为→→⋅=∫∫σσd V F (2.3)式中σ为流体中某一封闭曲面, σσd n V d V →→→→⋅=⋅为单位时间经σd 面元的流体体积的通量, 因此(2.3)式为单位时间内流经整个闭曲面σ的流体体积通量. 按曲面积分和体积积分之间转换的高斯公式, 于是(2.3)式的右端可改写为 τστσd V d V ∫∫∫∫∫→→→⋅∇=⋅ (2.4) 式中τ为闭合曲面所围成的体积. 当闭合曲面向内无限缩小, 即0→τ时, 则→→→⋅∇=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅∇∫∫∫∫∫∫V d d V τττττ0lim (2.5) 结合(2.2)-(2.5)式, 即有ττF V div 0lim →→= (2.6)此时说明流体的散度其实就是单位体积的流体体积通量. 当σ为几何面时, 如果0)(>→M V div , 表示流点M 有外流的体积通量, 犹如泉水的源头, 在流体力学中称之为源, 它的大小表示源的强度; 如果0)(<→M V div , 表示流点M 是汇, 它的大小表示汇的强度; 如果0)(=→M V div , 表示流点M 既不是源也不是汇. 当σ为流点组成的物质面, 外流体积通量相当于流点组成的闭曲面σ的向外膨胀, 故0)(>→M V div , 表示流点M 的体积膨胀, 它的大小表示膨胀的强度; 反之, 表示流点M 的体积收缩, 它的大小表示收缩的强度.3 环流量与旋度取哈密尔顿算子∇与流速场→V 的矢量积, 即→→=∂∂∂∂∂∂=×∇V rot R Q P z y xk j iV (3.1) 在流体力学中称之为涡度或旋度, 同样要问, 这样运算得到的物理量究竟代表了什么样的物理意义? 为什么称它为旋度? 在微积分学中, 函数)(x f y =的几何图形通常为一曲线, 相应的一阶导数dx df 为该曲线在相应点的切线的斜率, 它是反映该曲线特征的一个量. 相仿地, 流场→V 是空间坐标) , ,(z y x 的函数, 对它作一阶矢量微商运算即→×∇V , 也应是反映该流速场特征的一个量. 所以, 旋度是流速场的一个微商量, 为了说明它的物理含义, 再引入一个与它密切有关的流速场的积分量即速度环流, 可清晰的说明(3.1)式的物理含义. 为此, 在流体中取一闭曲线l , 该曲线上某一点的矢量微元→l d 与该点流速矢量→V 的方向通常并不一致. 但是, 一般情况下该点的流速矢量→V 在→l d 方向总具有分量, 然后沿闭合曲线l 将所有这些流速分量进行求和, 记作Γ, 于是 →→⋅=Γ∫l d V (3.2)这个数值称作环流量, 实际上也是矢量函数→V 沿有向闭合曲线l 的第二类曲线积分. 当l 为闭合曲线时, 环流量Γ表示了流体完全沿着闭合曲线l 流动; 环流量Γ也表示了流体沿闭合曲线流动趋势的程度.引用曲线积分和曲面积分的转换公式, 即斯托克斯公式, 有 →→→→⋅×∇=⋅=Γ∫∫∫σσd V l d V l (3.3) 式中σ为以闭合曲线l 为周界的任意曲面, 曲面的单位法向→n 则顺着周界按右手螺旋法则确定. 如果闭合曲线向内无限收缩, 即0→σ, 于是→→→→→⋅×∇=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅×∇∫∫∫∫n V d d V σσσσσ0lim (3.4) 将(3.3)式代入(3.4)式, 可得σσΓ=⋅×∇→→→0lim n V (3.5) 由此可知, 流体某点的旋度矢量在相应单位面元法向的分量就是单位面积环流量的极限值. 在一般情况下, 由于旋度→×∇V 是空间矢量, 而环流量Γ仅是一个标量, 因此只能认为旋度矢量的模(即||→×∇V ), 正好等于跟旋度矢量相垂直的某面元上单位面积环流量的极限值. 若以运动员在闭合跑道上跑步比作速度环流量, 则当闭合跑到无限缩小时, 运动员就只能在原地打转了. 从这个比喻可知, 流体单位面积环流量的极限值(即→→⋅×∇n V )是量度流体旋转程度的物理量, 故把→×∇V 称作旋度. 由于流速矢量→V 为场的分布, →×∇V 称作旋度矢量场. 下面以一个简单的例子来对旋度的含义作些解释.设有刚体绕定轴L 转动, 角速度为→ω, M 为刚体内任意一点, 在定轴L 上任取一点O 为坐标原点, 作空间直角坐标系, 使z 轴与定轴L 重合, 则k ωω=→, 而点M 可用向量) , ,(z y x OM r ==→→来确定, 有力学知识知道, 点M 的线速度→v 可表示为→→→×=r v ω, 由此有)0 x, ,(00ωωωy zy x k j i v −==→, 而→→==−∂∂∂∂∂∂=ωωωω2)2 0, ,0(0xy zy x kj i v rot 这说明对刚体上任意一点的旋度刚好等于角速度的两倍, 当刚体无限收缩的情况下即变为流点, 这表明旋度不但是量度流体旋转的物理量, 而且其值正好等于流点角速度的两倍. 此结论对一般三维流动情况也成立.4 结束语高等数学是理工类专业的基础课程, 从本文的研究, 我们看到曲线积分和曲面积分等内容与流体力学的紧密联系. 可以说, 能够较好的掌握高等数学知识, 是理工类专业的学生进一步学习相关专业课程必备的专业技能.参考文献[1] 吴赣昌. 高等数学(下册)[M]. 北京: 中国人民大学出版社, 2007.[2] 同济大学应用数学系.高等数学(下册)[M]. 北京: 高等教育出版社, 2002.[3] 余志豪, 苗曼倩, 蒋全荣, 杨平章. 流体力学[M]. 北京: 气象出版社, 2004.。
高斯公式与散度
为
立方体0 x a , 0 y a ,0 z a 的全表面,流
向外侧的通量 .
四、求向量场 A e xy i cos( xy) j cos( xz2 )k 的散
度.
五、设u( x, y, z) , v( x, y, z)是两个定义在闭区域 上的
具有二阶连续偏导数的函数,u , v 依次表示 n n
Q y
R z
)dV
(P cos Q cos Rcos )dS.
这里cos ,cos ,cos 是 ＋上点( x, y, z)
处的外法向量的方向余弦.
Gauss公式的实质
沟通了空间闭区域上的三重积分与其边界曲面 上的曲面积分之间的关系.
二、高斯公式的简单应用
流量）.
2. 散度（或通量密度）的定义:
设向量场
F
(
x,
y,
z)
P( x, y, z)i Q( x, y, z) j R( x, y, z)k
称数量 P Q R
x y z ( x, y,z)
为F在点( x, y, z)处的散度(divergence),记为divF ,
思考题
曲面应满足什么条件才能使高斯公式成立？
思考题解答
曲面应是光滑或分片光滑的闭曲面.
练习题
一、利用高斯公式计算曲面积分:
1、 x 3dydz y 3dzdx z 3dxdy,其中 为球面 x 2 y 2 z 2 a 2 外侧；
2、 xdydz ydzdx zdxdy,其中 是界于z 0 和 z 3之间的圆柱体 x 2 y 2 9的整个表面的外 侧；
高斯公式与斯托克斯公式
P d y d z Q d z d x Rdx d y
(Gauss 公式)
下面先证: R R d x d y d x d y d z z
©
证明: 设
为XY型区域 , 1 2 3 , 1 : z z1 ( x, y ) ,
三式相加, 即得斯托克斯公式 ;
©
情形2 曲面 与平行 z 轴的直线交点多于一个, 则可
通过作辅助线面把 分成与z 轴只交于一点的几部分, 在每一部分上应用斯托克斯公式, 然后相加,由于沿辅助
曲线方向相反的两个曲线积分相加刚好抵消, 所以对这
类曲面斯托克斯公式仍成立. 证毕
注意: 如果 是 xoy 面上的一块平面区域,则斯托克斯
设 为场中任一有向曲面, 则由对坐标的曲面积分的物 理意义可知, 单位时间通过曲面 的流量为
P d y d z Q d z d x Rdx d y
由两类曲面积分的关系, 流量还可表示为
P cos Q cos R cos d S
v n d S
©
若 为方向向外的闭曲面, 则单位时间通过 的流量为
P d y d z Q d z d x Rdx d y
n n
当 > 0 时, 说明流入 的流体质量少于
流出的, 表明 内有泉; 当 < 0 时, 说明流入 的流体质量多于流出的, 表明
内有洞 ;
当 = 0 时, 说明流入与流出 的流体质量相等 .
根据高斯公式, 流量也可表为
③
©
为了揭示场内任意点M 处的特性, 设 是包含点 M 且
散度和旋度的计算公式高数
散度和旋度的计算公式高数在高等数学中，散度和旋度是矢量场的两个重要性质，它们可以帮助我们理解矢量场的性质和变化规律。
本文将介绍散度和旋度的定义及计算公式。
1. 散度（Divergence）散度是矢量场在单位体积内，每单位体积所包含矢量的增量随体积元体积趋于零时的极限值。
用数学符号表示为：$$ \ abla \\cdot F = \\lim_{\\Delta V\\to 0} \\frac{\\iint_{S} F \\cdot ndS}{\\Delta V} $$其中，F为矢量场，S为封闭曲面，n为曲面的法向量。
矢量场F的散度计算公式为：$$ \ abla \\cdot F = \\frac{\\partial P}{\\partial x} + \\frac{\\partialQ}{\\partial y} + \\frac{\\partial R}{\\partial z} $$其中，$F = \\langle P, Q, R \\rangle$是矢量场F的三个分量。
2. 旋度（Curl）旋度是矢量场在单位面积内，每单位面积所包含矢量的增量随面积元趋于零时的极限值。
用数学符号表示为：$$ \ abla \\times F = \\lim_{\\Delta S\\to 0} \\frac{\\oint_{C} F \\cdotdr}{\\Delta S} $$其中，F为矢量场，C为封闭曲线，dr表示曲线的微元位移向量。
矢量场F的旋度计算公式为：$$ \ abla \\times F = \\left( \\frac{\\partial R}{\\partial y} - \\frac{\\partial Q}{\\partial z} \\right) \\mathbf{i} + \\left( \\frac{\\partial P}{\\partial z} -\\frac{\\partial R}{\\partial x} \\right) \\mathbf{j} + \\left( \\frac{\\partialQ}{\\partial x} - \\frac{\\partial P}{\\partial y} \\right) \\mathbf{k} $$ 其中，$F = \\langle P, Q, R \\rangle$是矢量场F的三个分量。
高斯公式散度
包围的区域为V ,记体积为V .若当V 收缩成点 M 时,
极限
lim
lim
A dS
存在,
V V M
V M
V
则称此极限值为 A在点 M 处的散度, 记为divA.
根据高斯公式, 流量可表为
lim VM V
17
lim VM V
积分中值定理,
P x
Q y
ndS AndS
其中是空间闭区域的边界曲面，
An是向量A在曲面的外侧法向量上的投影.
(
An
A
n
P
cos
Q cos
R cos
)
19
内容小结
1. 高斯公式及其应用
公式: P d y d z Q d z d x R d x d y
量的方向余弦.
2
证明:设闭区域在面 xoy上的投影区域为 Dxy.
由1 ,2 和3 三部分组成,
z
1 : z z1( x, y)
2
2 : z z2(x, y)
3
3 : 柱面
1
下面先证:
R z
d
v
R
d
x
d
y
o
Dxy
x
y
3
根据三重积分的计算法
R dv { z2(x,y) R dz}dxdy
x
12
解： 空间曲面在 xoy 面上的投影域为 Dxy
z
曲面不是封闭曲面, 为利用高斯公式
第六节 Gauss公式、通量与散度
1 lim S →M V
vn dS = ( ∂X + ∂Y + ∂Z )( x, y, z ) ∫∫ ∂x ∂y ∂z S
上式左端的极限称为向量场 v 在点 M ( x, y, z ) 处的散度， 处的散度， 记作 divv. 即
Σ1取上侧， 取上侧，
⋅h
Σ
构成封闭曲面， Σ + Σ1构成封闭曲面， Σ + Σ1围成空间区域 Ω .
在Ω上使用高斯公式 ,
Dxy
o
y
x
z
Σ + Σ1
( x 2 cos α + y 2 cos β + z 2 cos γ )dS ∫∫
Σ1
⋅h
Σ
= 2 ∫∫∫ ( x + y + z )dv
Ω
Dxy
1 ∂X ∂Y ∂Z = + + ) 应用积分中值定理， 应用积分中值定理， ( ∂x ∂y ∂z (ξ ,η ,ζ ) V 1 lim S →M V
∫∫ v dS
n S
令V 缩成一点 M (x, y, z), 此时 (ξ ,η , ζ ) → ( x, y, z ), 因此
∂X ∂Y ∂Z ∫∫ vn dS = ( ∂x + ∂y + ∂z )( x, y, z ) S
∂X ∂Y ∂Z 由高斯公式， 由高斯公式， ∫∫∫ ( + + )dV = ∂x ∂y ∂z V
∫∫ v dS
n S
由此得
1 V
∂X ∂Y ∂Z 1 ∫∫∫ ( ∂x + ∂y + ∂z )dV = V V
∫∫ v dS
n S
单位时间单位体积所 产生流体量的平均值
散度定理和旋度定理
如果场域有限，给定边界条件后，矢量场就唯一地被确定了。
2、无论是静态场，还是时变场，关注的重点都是围绕着它 们的旋度、散度和边界条件展开研究的。
《电磁场理论》
主讲教师：李志刚 辽宁科技大学电信学院通信系 2012年05月
§1.6 基本规律
§1.6.1 （Gauss）散度定理 一、内容
任意矢量场 A 的散度在场中任意一个体积 V 内的体积分等
于矢量场 A 穿出限定该体积的闭合曲面 S 的通量，即 ( A)dv A ds
S
实现面积分和体积分相互转换的公式
§1.6.2 （Stokes）旋度定理 一、内容
任意矢量场 A 的旋度在场中任意一个曲面S 内的面积分等于
矢量场 A 围绕限定该面积的闭合曲线L 的环量，即
二、意义
L
A dl ( A) ds
S
实现线积分和面积分相互转换的公式
§1.6.3 亥姆霍兹定理 一、内容
在空间有限区域 V 内某一矢量场 A ，由它的散度、旋度
和边界条件唯一地确定
边界条件：包围区域 V的闭合面 S 上的矢量场的分布。
二、实质
矢量场中如果场的分布一定，若其散度源和旋度源一定
（场源一定），则该矢量场唯一确定。
三、意义
1、当矢量场的散度和旋度给定后，就确定了“源”的分布。
电磁学讲义04-散度、环路、旋度定理
思考：如果已经知道电场分布，如何求电荷分布？•如图以P(x,y,z)点为中心，∆x ，∆y 和∆z 为边长，取小立方体。
先考虑与x 轴垂直的两个面贡献的通量，则只考虑A的x 分量即可：同理有：zy z y xx A z y z y x x A x x x ΔΔ•Δ−−ΔΔ•Δ+=),,2(),,2(φz y x yA yy ΔΔΔ∂∂=φz y x z A zz ΔΔΔ∂∂=φ则有散度：A A A A zy x z y x ∂+∂+∂=++=•∇φφφK )2(),,(),,2(x x A z y x A z y x x A x x x Δ±⋅∂∂+≈Δ±zy x x A z y x x A x x A x x x x ΔΔΔ∂∂=ΔΔ•⎥⎦⎤⎢⎣⎡Δ−∂∂−Δ∂∂≈)2(2φ利用全微分概念，有：则：电场的散度－讨论•电场某处的单位体积内的电通量正比于此处单位体积内的电荷量。
•电场的散度定理说明，在电荷体密度不是无穷大的点，场强矢量在该点连续，在各方向可求导。
•只适用于电荷体密度–而不能用于点电荷、线电荷、面电荷所在的位置，那些位置没法定义电荷的体密度。
同时这些位置的电场强度值无意义。
•可用于计算电荷分布。
•计算场强一般采用高斯定理积分形式，不必采用微分形式，即散度定理。
–教材P54例题4用散度定理求电场的方法少见。
§2.4静电场的高斯定理和环路定理－－静电场的矢量场理论(二)•静电场环路定理•静电场旋度定理# 旋度的定义•如前所述，在矢量场空间任意点，取任意一个方向，则存在一个围绕此方向的环量面密度。
在这一点，有无数个方向可以选择，也因此相应的存在无数个环路面密度。
这些环量面密度之间存在确定的关系。
•旋度：是一个矢量，取矢量场某一点的环量面密度的最大值为模，并取相应的曲面法线方向。
称为矢量场在该点的旋度，记为：–旋度是矢量!•绕任一方向的环量面密度等于旋度在这一方向的投影（证明略）A K ×∇n ˆn ˆA KA K静电场矢量场原理的总结•静电场：有源、无旋场。
在直角坐标系中梯度散度旋度的计算公式
在直角坐标系中梯度散度旋度的计算公式在数学和物理学中，直角坐标系是一种常用的坐标系，用于描述空间中的点的位置。
在直角坐标系中，对于矢量场的梯度、散度和旋度的计算公式是非常重要的，可以帮助我们理解矢量场的性质和行为。
梯度梯度是矢量场中变化率最快的方向。
在直角坐标系中，对于标量场f(x, y, z)，其梯度可以用如下的公式表示：•梯度表示为：∇f = (∂f/∂x)i + (∂f/∂y)j + (∂f/∂z)k其中，∇是梯度算子，i、j、k分别是x、y、z轴方向的单位矢量。
散度散度描述的是矢量场在某一点的流出量和流入量的差异。
在直角坐标系中，对于矢量场F(x, y, z) = P(x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k，其散度可以用如下的公式表示：•散度表示为：∇·F = (∂P/∂x) + (∂Q/∂y) + (∂R/∂z)其中，∇·是散度算子，P、Q、R分别是F在x、y、z方向的分量。
旋度旋度描述的是矢量场围绕某一点旋转的强度和方向。
在直角坐标系中，对于矢量场F(x, y, z) = P(x, y, z)i + Q(x, y, z)j + R(x, y, z)k，其旋度可以用如下的公式表示：•旋度表示为：∇×F = [(∂R/∂y) - (∂Q/∂z)]i - [(∂R/∂x) - (∂P/∂z)]j + [(∂Q/∂x) - (∂P/∂y)]k其中，∇×是旋度算子，P、Q、R分别是F在x、y、z方向的分量。
梯度、散度和旋度是矢量分析中的重要概念，它们可以帮助我们理解矢量场的性质和变化规律。
通过上述公式的计算，我们可以准确地求解直角坐标系中矢量场的梯度、散度和旋度，进一步推动数学和物理学的发展。
第六节 高斯公式与散度解析
解 记 所围立体区域为 , 则
原积分 (z x y)dxdydz
2 0
d
1
0
d
01[z
(cos
sin
)]dz
2 0
d
01[
2
(cos
sin
)
1 2
]d
2 0
[
1 3
(cos
sin )
1]d
4
Байду номын сангаас
2 3
8
.
例2 计算 I
ez dxdy , 其中 为 z
x2 y2
u( x, y, z) , v( x, y, z)沿 的外法线方向的方向导
数.
证明: (uv
vu)dxdydz
(u
v n
v
u )ds
n
其中 是空间闭区域 的整个边界曲面.
(注
2 x 2
2 y 2
2 z 2
,称为拉普拉斯算子)
练习题答案
一、1、12 a5； 2、81 ； 3、 R4 .
5
4
z 1, z 2围成的区域 边界的外侧.
x2 y2,
解 I
ez dxdydz 2 ezdz
1 dxdy
x2 y2
1
x y 2
2
x2 y2z2
2
1
ezdz 2 0
d
z 0
d
2
2
1
ze
zdz
2 e2 .
解法二
I
ez dxdydz
x2 y2
2 d 2d 2ezdz 2 d 1d 1 ezdz
Dxy
根据曲面积分的计算法
旋度和散度计算公式
旋度和散度计算公式一、旋度的计算公式旋度是描述向量场旋转性质的一种物理量，用于描述向量场在给定点附近的回旋情况。
旋度的计算公式如下：设向量场F(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k，其中P、Q、R 是关于空间坐标变量的函数，i、j、k是三个单位向量。
则向量场F的旋度为：∇×F=(∂R/∂y-∂Q/∂z)i+(∂P/∂z-∂R/∂x)j+(∂Q/∂x-∂P/∂y)k其中∂P/∂x、∂Q/∂y、∂R/∂z表示分别对x、y、z求偏导数。
旋度的含义如下：当旋度∇×F=0时，称向量场F为无旋场，表示向量场在任一闭合曲线上的环量为零。
反之，当旋度∇×F≠0时，称向量场F为有旋场。
旋度的计算公式可以通过矢量分析中的叉乘和偏导数的运算规则推导得到，其实现过程较为繁琐，这里不做详细阐述。
旋度在电磁学中有重要应用，可以描述磁场的旋转情况，通过计算旋度可以得到磁场的环量。
同时，在流体力学中，旋度可以用来描述流体的涡旋性质，通过计算旋度可以得到流体的涡度。
二、散度的计算公式散度是描述向量场收敛性质的一种物理量，用于描述向量场在给定点附近的扩散情况。
散度的计算公式如下：设向量场F(x,y,z)=P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k，其中P、Q、R 是关于空间坐标变量的函数，i、j、k是三个单位向量。
则向量场F的散度为：∇·F=∂P/∂x+∂Q/∂y+∂R/∂z其中∂P/∂x、∂Q/∂y、∂R/∂z表示分别对x、y、z求偏导数。
散度的含义如下：当散度∇·F>0时，称向量场F为发散场，表示向量场从给定点向外扩散。
当散度∇·F<0时，称向量场F为收敛场，表示向量场向给定点收敛。
当散度∇·F=0时，称向量场F为无散场，表示向量场在任一闭合曲面上的通量为零。
散度的计算公式可以通过矢量分析中的点乘和偏导数的运算规则推导得到，其实现过程较为繁琐，这里不做详细阐述。
散度旋度的意义
散度旋度的意义散度和旋度是向量场的两个重要概念，它们在物理学、数学和工程学等领域中都有广泛的应用。
散度和旋度分别描述了向量场的局部特征，可以帮助我们更好地理解向量场的性质和行为。
散度是一个标量，描述了向量场在某一点的“发散程度”。
具体来说，散度表示了向量场在该点的流量密度与该点的体积之比。
如果散度为正，则表示向量场在该点的流量密度向外扩散；如果散度为负，则表示向量场在该点的流量密度向内收缩；如果散度为零，则表示向量场在该点的流量密度保持不变。
散度的计算公式为div F = ∂Fx/∂x + ∂Fy/∂y + ∂Fz/∂z，其中Fx、Fy和Fz分别表示向量场在x、y和z方向上的分量。
旋度是一个向量，描述了向量场在某一点的“旋转程度”。
具体来说，旋度表示了向量场在该点的环流密度与该点的面积之比。
如果旋度为正，则表示向量场在该点的环流密度顺时针旋转；如果旋度为负，则表示向量场在该点的环流密度逆时针旋转；如果旋度为零，则表示向量场在该点没有旋转。
旋度的计算公式为curl F = (∂Fz/∂y - ∂Fy/∂z)i + (∂Fx/∂z - ∂Fz/∂x)j + (∂Fy/∂x - ∂Fx/∂y)k，其中i、j和k 分别表示x、y和z方向上的单位向量。
散度和旋度的意义在于它们可以帮助我们更好地理解向量场的局部特征。
例如，在流体力学中，散度描述了流体在某一点的流量变化情况，可以帮助我们分析流体的输运和扩散行为；而旋度描述了流体在某一点的旋转情况，可以帮助我们分析流体的涡旋和湍流行为。
在电磁学中，散度和旋度分别描述了电场和磁场的局部特征，可以帮助我们分析电磁波的传播和反射行为。
散度和旋度是向量场的两个重要概念，它们可以帮助我们更好地理解向量场的局部特征和行为。
在实际应用中，我们可以利用散度和旋度来分析和优化各种物理和工程问题，从而提高系统的性能和效率。
Gauss公式与散Stokes公式
有向封闭曲面
外侧的流量
v ndS
，其中n
为
外
侧的单位法向量 ， 所围成的区域为 。
总流量 流出的流量—流入的流量。
（1） 0 ，流出大于流入，表明 内 有“源”； （2） 0 ，流出小于流入，表明 内 有“洞”；
（3）0 ，流出等于流入。
比式
1 V
vndS
表示流速场中单位时间内从单位
体积内流出 的平均流量，称为流速场 v在内的
(1,1,0)
2
.
3.5 斯托克斯公式与旋度
一、斯托克斯 (Stokes) 公式
高斯公式是格林公式在三维空间的推广，而格林 公式还可从另一方面推广，就是将曲面 的曲面积分 与该曲面 的边界闭曲线 C 的曲线积分 联系起来。
定理3.4（斯托克斯定理）
n
设分片光滑曲面 的边界是分段光滑闭曲线 C 。 空间
（2）若当积P分 x曲, 面Q y不, 封R 闭z，时则，添由加G辅au助ss 曲公面式使得之封闭；
当封闭xd曲y面dz取内yd侧z时dx，Gzdaxussd公y 式3中的dV符号3V应，为负号；
应用 Gauss 公式前首先要检验 P, Q,R, P , Q , R 的
x y z
故连续V条件。dV
Dxy
二、旋度
1、环量
定义设有向量场 A {P(x, y, z),Q(x, y, z), R(x, y, z)} ，
称 A 沿有向闭曲线 C 的 曲线积分
C Ads C Pdx Qdy Rdz
为向量场 A 沿有向闭曲线 C 的 环量。
环量表示了向量场 A 沿有向闭曲线 C 旋转的整体
则 1 是一个封闭曲面的内侧， 记其所围成的空间区域为 ，
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W S
�
Gauss 公式的实质
表达了空间闭区域上的三重积分与其边界曲 面上的曲面积分之间的关系.
二,简单的应用
例 1 计算曲面积分
òò (x- y)dxdy+ (y- z)xdydz
S
其中∑为柱面x2 + y2 = 1 及
, 平面z=0 z= 3所围成的空
z
间闭区域 W 的整个边界曲面 的外侧.
解 P = (y- z)x Q= 0 , , R= x- y , = y- z P , x Q = 0 , y R = 0 , z
散度在直角坐标系下的形式 P Q R ( + òòò x y + z )dv= òò vndS W S 1 P Q R 1 ( + + ) = òò v dS dv V òòò x y z V S n W 积分中值定理, 两边取极限, P Q R 1 ( + + )(x , , ) = òò v dS x y z h z V S n P Q R 1 + + = lim òò v dS x y z W M V S n
P + Q + R. divA= x y z
高斯公式可写成
r n òòò divAdv= òò A dS.
W S
其中 S是空间闭区域 W 的边界曲面, A 是向量 A在曲面 S 的外侧法向量上的投影 . n (A = A× n = Pcos + Qcosb + Rcosg ) a n
0
四,小结
2 p 1 3
得标坐面柱用利
P Q R = òòò ( + + ) = òòò (y- z) dv dxdydz x y z W
x
)
使用Guass公式时应注意:
1.P, Q, R是对什么变量求偏导数;
2.是否满足高斯公式的条件; 3.∑是取闭曲面的外侧.
例2
利用高斯公式计算曲面积分
(x2cos + y2cosb + z2cosg ) , a ds òò
或
高斯公式
P + Q + R) = (Pcos + Qcosb + Rcos ) a g dS òòò (x y z dv òò W
这里 是 W 的整个边界曲面的外侧, a , cosb , cos cosg是 上点(x,y,z)处的法向量的方向余弦.
P Q R ( + òòò x y + z )dv= òò Pdydz+ Qdzdx+ Rdxdy W S = òò (Pcos + Qcosb + Rcosg ) a dS
三,物理意义----通量与散度
1. 通量的定义:
设有向量场
A x y z)= P(x y z)i + Q x y z)j + R x y z) ( , , , , ( , , ( , , k 沿场中某一有向曲面∑的第二类曲面积分为
F= òò A× dS = òò A× n dS
S S
0
= òò Pdydz+ Qdzdx+ Rdxdy
o x
1
y
z 解 P =(y- z)x Q= 0 , , R= x- y , = y- z P , x Q = 0 , y R = 0 , z o
1
òò (xS
y) dxdy + (y- z)xdydz
y
(
W
= òòò ( sin - z)× rdrd dz r q q
W
= ò0 d ò0drò0r( sin - z)dz = - 9p . q r q 2
S + S1
D xy
o
y
x
p ì0 q 2 , =2 (x+ y+ z) dv òòò W: í0 r h , W r z h . 2 p h h =2 0 d ò0 dròr ( cos + rsin + z)× rdz r q q ò q q ì x=rcos , q í y= rsin , 1ph . 4 = z= z. 2
S : z= h . 1
a , , . zx =0 zy = 0 cos = 0 cosb = 0 cosg = 0 , .
(x2cos + y2cosb + z2cosg ) a dS = òò z 2dS òò
S1Байду номын сангаасS1
S : z= h . 1
a , , . zx =0 zy = 0 cos = 0 cosb = 0 cosg = 0 , .
y
R= z2,
P + Q + R = 2 x+ y+ z). ( x y z
z 在 W上使用高斯公式 , Q= y2, P= x ,
2
R= z2,
S 1
h ××h ×h
P + Q + R = 2 x+ y+ z). ( x y z (x2cos + y2cosb + z2cosg ) a dS òò
(x2cos + y2cosb + z2cosg ) a dS = òò z2dS òò
S1 2 4 = òò h dxdy = p h . D xy S1
故所求积分为 (x2cos + y2cosb + z2cosg ) a dS òò
S
1 4 4 4 = ph -p h = - 1p h . 2 2
S
称为向量场 A(x,y,z)向正侧穿过曲面∑的通量.
2. 散度的定义:
设有向量场A x,y,z),在场内作包围点 M 的闭曲 ( 面 S , S 包围的区域为V,记体积为V.若当V收缩 成点 M 时,极限
òò A×dS
lim
V M S
V
存在,
div 则称此极限值为 A 在点 M 处的散度, 记为 A.
一,高斯公式 二,简单应用 三,物理意义—通量与散度 四,小结
一,高斯公式
设空间闭区域 W 由分片光滑的闭曲面∑围成.函数
P(x y z) Q x,y z),R x,y z)在W 上具有一阶连 , , , ( , ( ,
续偏导数, 则有公式
+ Q + R) = Pdydz+ Qdzdx+ Rdxdy ( P òòò x y z dv òò W
o x
y
z 解 曲面 S 不是封闭曲面, 不能直接用高斯公式.
2 S1 : z= h (x2 + y2 h ) 补充
S 1
h ××h ×h
S 取上侧, 1 S + S 1围成空间区域 W . S+ S 1 恰好是空间区域 W 的外侧 . 在 W上使用高斯公式 , Q= y2, P= x ,
2
o x
(x2cos + y2cosb + z2cosg ) a dS òò
S + S1
p ì0 q 2 , =2 (x+ y+ z) dv òòò W: í0 r h , W r z h . 2 p h h =2 0 d ò0 dròr ( cos + rsin + z)× rdz r q q ò q q ì x=rcos , q í y= rsin , 1 4 = ph . z= z. 2
S
其中∑为锥面 x2 + y2 = z2介于平面 z=0及
z=h ( > 0 之间的部分的 h )
z h ××h ×h
a 下侧,cos , cosb , cosg 是
∑在 (x,y,z) 处的法向量的 方向余弦.
S 1
解 曲面 S 不是封闭曲面, 不能直接用高斯公式.
2 补充 S1 : z= h (x2 + y2 h )