导数在研究函数中的应用(含标准答案)

导数在研究函数中的应用

【自主归纳，自我査验】

一、自主归纳

1.利用导函数判断函数单调性问题

函数沧)在某个区间(a, b)的单调性与其导数的正负有如下关系

(1)若____________________ ，则刃力在这个区间上是增加的.

(2)若____________________ ,则心)在这个区间上是减少的.

(3)若____________________ ,则兀丫)在这个区间是常数.

2.利用导数判断函数单调性的一般步骤

⑴求/(x).

(2)在立义域解不等式/(x)>0或/(x)<0.

(3)根据结果确定心)的单调区间•

3.函数的极大值

在包含“的一个区间(a，b\函数y=Ax)在任何一点的函数值都_____ 卞点的函数值，称点x()为函数y=J(x)的极大值点,英函数值夬旺)为函数的极大值.

4.函数的极小值

在包含xo的一个区间(a, b),函数y=j(X)在任何一点的函数值都____ %点的函数值，称点x°xo为函数y=J(x)的极小值点，英函数值久比)为函数的极小值.极大值与极小值统称为

______ ，极大值点与极小值点统称为极值点.

5.函数的最值与导数

1■函数y 在0, b］上的杲大值点心指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都

_______ v0)-

2.函数严金)在0,甸上的杲小值点儿指的是：函数在这个区间上所有点的函数值都

_______ •")-

二、自我查验

1 -函数Ax)=x±elnx的单调递增区间为()

A . (0,十 8)

B . (一 8 0)

C . (一8, 0)和(0,十 8)

D . R

2・若函数Ax)=x3 +W十MT十1是R上的单调增函数则加的取值围是____ ・

3.函数心)的定义域为开区间(a, b),导函数f '⑴在(a, b)的图象如

图所示，则函数刃力在开区间(a, b)有极小值点()

A・1个 B . 2个

C . 3个

D . 4个4 •若函数X X)=X3+^X2+3X-9在“-3时取得极值则a等于()

5.函数V =的最大值为( )

X

A.e_l

B. e

C. e2

【典型例题】

考点一利用导数研究函数的单调性

【例1] (2015•高考全国卷II)已知函数金) = lnx十a(l-x).

⑴讨论心)的单调性；

(2)当心)有最大值，且最大值大于2a-2时，求a的取值围.

【变式训练1】已知/(x) = x'+a¥‘一a'x + 2・

(1)若d = l时，求曲线y = /(x)在点(1,/(1))处的切线方程:

(2)若d>0,求函数/(x)的单调区间.

考点二刮用导困救研丸困救憑值问题

【例2】已知函数f（X）= Inx-rt¥+3,6/ e R .

（1）当d = l时，求函数的极值；

（2）求函数的单调区间.

x 4

e

【变式训练2】（2011 ）设= 其中Q为正实数当"了时

求冗0的极值点；

考点三利用导曲數求岳數最值问题

[例3】已知a为实数，

（1）求导数

（2）若求./3在[-2,2]上的最大值和最小值.

【应用体验】

1•函数y = x-\nx的单调递减区间为（）

A. （-1,1]

B.（O,P）

C. [l,+oo）

D.（0,1]

2.函数/(x) = xe-A的单调递减区间是(

A. (1,F) B・(Y,-1) C・(Y,1) D・(-1,2)

3•函数/(x) = (x-3)e v的单调递增区间是(

C. (2,+oo) D・(P,2)

2

4•设函数/(x) = - + lnx,则

A. x = |为/(x)的极大值点

B •兀=*为/(x)的极小值点

C • x = 2为/(x)的极大值点

D . x = 2为/(x)的极小值点

5•函数f(x) = 2x i-3x2+a的极大值为6,那么Q的值是()

A . 0

B . 1

C . 5

D . 6

【复习与巩固】

A组夯实基础

一、选择题

1•已知泄义在R上的函数/(A),其导函数广(x)的大致图象如图所示，则下列叙述正确的是()

B.f(b)>f{a)>f{e)

D. /(c)>/(e)>/(〃)

2.函数f{x) = ^+a\nx在X = 1处取得极值，则d等于(

A. (0,3) B・(1,4)

C.

A. f(b)>f{c)>f{d)

3•函数/(x) = e v-x (e为自然对数的底数)在区间［—1,1］上的最大值是1

A. 1+-

B. 1

e

C.e+1

D. e—1

二、填空题

4•若函数/(x) = x3+x2+/nr+l是R上的单调增函数，则实数m

、 3 V，+ ux

5•若函数/©) = ——在x = 0处取得极值，则"的值为_____________

e

6.函数/(x) = e r-x在［一1,1］上的最小值是___________ •

三、解答题

7•已知函数/(x) = lx2-ln儿求函数f (x)的单调区间

8•已知函数/(x) = = + ar,x> 1・

\nx

(1)若/(X)在(1,2)上单调递减，数d的取值围；

⑵若a = 2,求函数/(X)的极小值.