线性代数行列式计算方法总结

a=2
a2
总结：当行列式元素排列很有规律且维数与n有关是可以考虑递推法
例7 求下列行列式的值
1 200 0
3 400 0
分块三角形法
D= 1 2 2 1 5 3 410 2
5 6 8 4 14
21 5
1 2
1 解：不妨令D1
2 ，D2 1
0
5
C 3
4 所以，原行列式可化
34
8 4 14
0
0
0 an b n1
= (a1 b)(a2 b)
(an
b)(1
n i1
b) ai b
例6 计算n阶行列式
a a 1 0 0 1 a a 1 0
01 Dn
a a 1
递推法
00 0 0 00 0 0
00 0 00 0 00 0
1 a a 1 01 a
解：按第一行展开，得Dn aDn1 (a 1)Dn2 ,等号两端减Dn1，得 Dn Dn1 aDn1 Dn1 (a 1)Dn2 (a 1)(Dn1 Dn2 )
AO
简记为
= A B ， 这里的A,B必须为方阵。
CB
而 O Am (1)mn A B Bn C
b11 ... b1t ... ... bt1 ... btt
放映结束 感谢各位观看！
谢 谢！
让我们共同进步
=
000 000
2n 3 n 1 2 1 2 1
2 1 0 1
= (-1)n1(n 1)2n2
例5 计算n阶行列式 加边法
a1 b b b a2 b Dn b b a3
bb
b b
, b ai , i 1, , n. b b an
解： 用加边法，即构造n+1阶行列式，使其按第一列（行）展开后，等 于原行列式
式 特征，亦可以使用以简化运算。
例4 计算n阶行列式 Dn aij ,其中 aij i j (i, j 1, 2, , n)
解：由题意得
012 101
210 Dn
n 2 n 1 n3 n2 n4 n3
逐行相减法
n2 n3 n4 n 1 n 2 n 3
01 10
即 Dn Dn1 (a 1)n
从而 Dn Dn1 (a 1)n Dn2 (a 1)n1 (a 1)n a (a 1)2 (a 1)n1 (a 1)n

n 1

(a 1)2 (a 1)n1
2 a a
1b b
b
1b
b
b
0 a1 b
b
ri r1 1 a1 b
0
0
Dn 0 b a2
b 1 i2, ,n1
0
a2 b
b
0
0b
b an
1 0
0 an b n1
n b
1 i1 ai b
b
b
b
c1

ai
1
bci1
0 0
a1 b 0 0 a2 b
0
0
4 r4 _ 2r1
1 8 1 1
1 8 1 1 1 8 1 1
0
2
0
21 8
1 4
0 4
r2 r4
0 0
2 8
46 0
=2
44 0
1 8
2 3 r3 8r2 4 4 r4 19r2
0 19 3 6
0 19 3 6 0 19 3 6
1 8 1 1
1 8 1 1 1 8 1 1
1 0
2 1
3 1
=128
005 3 005 3
000 8
a0 b1
例2 计算下列行列式
c1 a1
Dn1 c2 0
箭形
解：将第i+1（i=1,2,…,n）列的 ci ai
a0

n i 1
bi ci ai
b1
cn 0
b2
0
Dn1
0
a1 0 0 a2
b2
bn
0
0
a2
0 , ai 0,i 1, 2, , n
20
0
1 0
2 12
3 20
r4

3r3
2
0 0
1 0
2 12

3 20
=8
0 0
1 0
2 3
3 5
r3

r4
0 0 41 63
00 5 3 00 5 3
1 8 1 1 1 8 1 1
1 8 1 1
80
0
1 0
2 2
3 2
=16
0 0
1 0
2 1
3 1
r4

5r3
16
0 0
这是一个关于Dn Dn1的递推公式，反复使用递推公式，得，
Dn Dn1 (a 1)2 (Dn2 Dn3 ) (a 1)n2 (D2 D1)
因为
a D2 1
a 1 a

a2

a
1,
D1

a,
D2

D1

(a
1)2
所以 Dn Dn1 = (a 1)n2 (D2 D1) = (a 1)n
56
为 D= D1 C
O D2 = D1 D2 = 12
规律总结：当遇到如下形式的行列式时，
a11 ... a1k
ຫໍສະໝຸດ Baidu
... ...
0
a11 ... a1k
ak1 ... akk
... ...
c11 ... c11 b11 ... b1t
ak1 ... akk
... ... ... ...
ct1 ... ctk bt1 ... btt
a
a
x
i 1,2,...,n
x
a
a
x (n 1)a a
x
11
x (n 1)a a x
aa
11
x (n 1)a 0 x a
00
1 a ri ar1
i 2,...,n
x
1
0 x (n 1)a(x a)n1
xa
小提示: 在求矩阵特征值时若特征多项式满足上述行列
将第n-1行的（-1）倍加至第n行，第n-2行的（-1）倍加至第n-1行，… ，第1行的（-1）倍加至第2行，有
01 2
n-2 n 1
1 1 1
1 1
将第n列分1别加1到前1边的第 1 1 Dn
1,2，…，n-1列. 11 1
1 1
11 1
1 1
n 1 n n 1 0 2 2 0 0 2
例1 计算四阶行列式
5 2 3 5
D=
2 1
5 0
1 3
2 5
2 3 5 4
解 利用行列式的性质，将 D 化为上三角行列式.
5 2
D=
1 2
2 5 0 3
3 1 3 5
5
1
2 5
r1
2r2
2 1
4
2
8 5 0 3
1 1 3 5
1 2 5
r2 r3

2r1 r1
0
an
倍加到第1列，得
bn
上三角行列式
0 0
0
00
an
a1a2
an (=a0

n i1
bici ai
)
例3 计算n阶行列式 x a
a
ax
a
加法
aa
x
解：这个行列式的特点是各列（行）的元素之和相等，故可将各行加到第
一行，提出公因子，再化为上三角行列式。
xa ax
aa
a r1 ri x (n 1)a x (n 1)a