高二上学期期中数学考试试卷及答案
广东省部分名校2024-2025学年高二上学期期中联考数学试题(含解析)
2024—2025年度高二上学期期中考试数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.4.本试卷主要考试内容：北师大版选择性必修第一册第一章至第三章.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.绕原点逆时针旋转90°后所对应的直线的斜率为（ ）A.C.2.椭圆的两个焦点分别为，，长轴长为10，点在椭圆上，则的周长为（ ）A.16B.18C. D.203.已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，定点，则的最小值为（ ）A.6B.7C.8D.94.已知双曲线的两个焦点分别为，，双曲线上有一点，若，则（ ）A.9B.1C.1或9D.11或95.在正方体中，，，则（ ）A. B.C. D.6.过抛物线的焦点作圆的切线，该切线交抛物线C 于A ，B 两点，则（ ）0y +=22:19x y C m+=1F 2F P C 12PF F △10+212y x =F P (5,2)Q ||||PQ PF +22:1412x y C -=1F 2F C P 15PF =2PF =1111ABCD A B C D -13AE AB = 134BF BD = EF =11231234AB AD AA -++ 11331244AB AD AA -+11121243AB AD AA --+ 11331244AB AD AA -++2:4C y x =22:(3)1P x y -+=||AB =A. B.14 C.15 D.167.如图，在四棱锥中，平面，与底面所成的角为，底面为直角梯形，，，，三棱锥的外接球为球，则平面截球所得截面圆的面积为（ ）A.B.C.D.8.圆幂是指平面上任意一点到圆心的距离与半径的平方差.在平面上任给两个不同圆心的圆，则两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这条线被称为这两个圆的根轴.已知圆与圆，是这两个圆根轴上一点，则的最大值为（ ）B. C. D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线，直线，圆，则下列选项正确的是（ ）A.若，则B.若，则C.若与圆相交于，两点，则D.过上一点向圆作切线，切点为，则10.在菱形中，，，E 为AB 的中点，将沿直线DE 翻折至的位置，使得二面角为直二面角，若为线段的中点，则（ ）P ABCD -PA ⊥ABCD PB ABCD π4ABCD π2ABC BAD ∠=∠=2AD =1PA BC ==P ACD -O PBC O 9π811π89π411π421:2C x x +20y +=222:68160C x y x y +--+=P 21PC PC -1:(1)50l ax a y ++-=2:3450l x y -+=22:(3)(4)9C x y ++-=12//l l 37a =-12l l ⊥4a =-1l C A B min ||2AB =2l P C Q min ||PQ =ABCD 2AB =60BAD ∠=︒ADE △1A DE △1A DE C --P 1A CA.平面B.C.异面直线，所成的角为D.与平面11.已知椭圆的左、右焦点分别为，，是上任意一点，则下列结论正确的是（ ）A.若存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为B.若存在点，使得，则椭圆的离心率的取值范围为C.若存在点，使得，且，则椭圆D.若存在点，使得，且，则椭圆三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知向量，，则向量在向量上的投影向量的模为___________.13.双曲线以椭圆的焦点为顶点，长轴的顶点为焦点，则双曲线的标准方程为___________，渐近线方程为___________.14.已知圆，直线，为圆上一动点，为直线上一动点，定点，则的最小值为___________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知椭圆上的点到其焦点的距离的最大值为16，最小值为4.（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆相交于A ，B 两点，若线段AB 的中点坐标为，求直线的方程.16.（15分）//BP 1A DE DP EC⊥PB 1A D π31A B PBD 2222:1(0)x y C a b a b+=>>1F 2F P C P 12π2F PF ∠=C ⎛ ⎝P ||2aOP =C ⎫⎪⎪⎭P 122PF PF =12π3F PF ∠=C P 2||3a OP =122π3F PF ∠=C (5,9,1)a =(2,1,1)b = a b C 2212036x y +=C 22:(1)(3)4C x y ++-=:280l x y --=M C N l (7,4)P --||||MN PN +2222:1(0)x y C a b a b+=>>C l C (3,4)--l已知的顶点，，顶点满足，记顶点的轨迹为.（1）求曲线的方程.（2）过点的直线（斜率不为0）与曲线交于不同的两点P ，Q ，O 为坐标原点，试判断直线OP ，OQ 的斜率之积是否为定值.若为定值，求出该定值；若不是，说明理由.17.（15分）如图，在几何体中，平面平面，四边形和是全等的菱形，且平面平面，是正三角形，，.（1）求该几何体的体积；（2）求平面与平面夹角的余弦值.18.（17分）已知动点到点的距离比它到直线的距离小，记动点的轨迹为.（1）求轨迹的方程.（2）已知直线与轨迹交于A ，B 两点，以A ，B 为切点作两条切线，分别为，，且，相交于点.若，求.19.（17分）在平面内，若直线将多边形分为两部分，且多边形在两侧的顶点到的距离之和相等，则称为多边形的一条“等线”.已知双曲线与双曲线有相同的离心率，，分别为双曲线的左、右焦点，为双曲线右支上一动点，双曲线在点处的切线与双曲线的渐近线交于A ，B 两点（A 在B 上方），当轴时，直线为的等线.（1）求双曲线的方程；（2）若是四边形的等线，求四边形的面积；（3）已知为坐标原点，直线OP 与双曲线的右支交于点，试判断双曲线在点处的切线是否为的等线，请说明理由.ABC △(2,0)A -(3,0)B C 3||2||CA CB =C W W A l W 111ABDC A B C -111//A B C ABDC 11A ACC ABDC 11A ACC ⊥ABDC 111A B C △2AB =160A AC BAC ︒∠=∠=11A ABB 11B C D M 30,2⎛⎫⎪⎝⎭30y +=32M C C :3l y kx =+C 1l 2l 1l 2l P ||||AB AP =k l l l l 22122:1(0,0)x y C a b a b-=>>222:31C x y -=1F 2F 1C P 1C 1C P 1l 1C 2PF x ⊥y =12PF F △1C y =12AF BF 12AF BF O 2C Q 2C Q 2l 12AF F △[注]双曲线在其上一点处的切线方程为.2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>()00,P x y 00221x x y y a b -=2024—2025年度高二上学期期中考试数学参考答案1.D的斜率为，倾斜角为120°，所以绕原点逆时针旋转90°后所对应的直线的倾斜角为30°，斜率为.2.B 因为长轴长为10，所以长半轴长，短半轴长，半焦距，故的周长为.3.C 因为等于点到准线的距离，所以当PQ 垂直于准线时，有最小值，最小值为.4.A因为，所以，故.5.D 因为，，所以.因为，所以.6.D 记抛物线的焦点为，则.记切点为，因为圆的圆心为，所以，，所以，所以直线AB 的方程为.设，，联立方程组得，所以，所以.7.A 如图，建立空间直角坐标系，则，，.易知三棱锥的外接球球心为PD 的中点，所以.设平面的法向量为，因为，，所以令，得.因为，所以点到平面的距离.0y +=tan 30=︒5a =3b =4c ==12PF F △2218a c +=||PF P ||||PQ PF +82Q px +=156PF a c =<+=2124PF PF a -==29PF =13AE AB = 134BF BD = 12334EF EB BF AB BD =+=+111BD BD DD AD AB AA =+=-+()1123133341244EF AB AD AB AA AB AD AA =+-+=-++C F (1,0)F Q P (3,0)P ||2PF =||1PQ =30PFQ ∠=︒1)y x =-()11,A x y ()22,Bx y 21),4,y x y x ⎧=-⎪⎨⎪=⎩21410x x -+=1214x x +=12||16AB x x p =++=(0,0,1)P (1,0,0)B (1,1,0)C P ACD -O 10,1,2O ⎛⎫ ⎪⎝⎭PBC (,,)n x y z = (1,0,1)BP =- (0,1,0)BC = 0,0,n BP x z n BC y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅==⎪⎩1x =(1,0,1)n = 10,1,2OP ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ O PBC ||||OP n d n ⋅===设截面圆的半径为，则，所以截面圆的面积为.8.A 由题知，圆的圆心为，半径；圆的圆心为，半径.设点为圆与圆的根轴上的任意一点，则，所以，整理得，即圆与圆的根轴为直线.取关于对称的点，则.因为，所以在上，所以当，，三点共线时，取得最大值.因为到到，所以，即的最大值为.9.ABD 若，则，得，故A 正确.若，则，得，故B 正确.因为过定点，所以，故C 不正确.因为，所以当时，取得最小值.因为圆心到直线的距离，所以，故D 正确.10.AC 如图，建立空间直角坐标系，则，，，，.r222519||488r OP d =-=-=9π81C 1(1,0)C -11r =2C 2(3,4)C 23r =(,)P x y 1C 2C l 22221122PC r PC r -=-()()()22222211343x y x y++-=-+--20x y +-=1C 2C l 20x y +-=1C l1C '11PC PC '=12C C l ⊥1C '12C C P 1C '2C 2121PC PC PC PC '-=-12C C '1C l 2C l 12C C '=21PC PC -12//l l 15345a a +-=≠-37a =-12l l ⊥34(1)0a a -+=4a =-1l (5,5)M -min ||4AB ===2222||||||||9PQ PC CQ PC =-=-2PC l ⊥||PQ C 2l 4d ==min ||PQ ==1(0,0,1)A (1,0,0)B C D 12P ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭对于A ，因为，平面的一个法向量为，所以，所以平面，故A 正确.对于B ，因为，，所以，所以DP ，EC 不垂直，故B 错误.对于C ，因为，，所以，所以异面直线，所成的角为，故C 正确.对于D ，设平面的法向量为，因为，，所以令，得.设与平面所成的角为，因为，所以，，故D 错误.11.BCD 对于A ，只需，因为，所以，所以，故A 错误.对于B ，若存在，则只需，所以，故B 正确.对于C，因为，，所以，.因为，所以，，所以，故C 正确.12BP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭1A DE (1,0,0)m =0BP m ⋅= //BP 1ADE 11,2DP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭EC =102DP EC ⋅=≠ 10,2PB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 11)A D =-1cos ,PB A D = 1112PB A D PB A D ⋅=PB 1A D π3PBD (,,)n x y z =12BP ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭(BD =- 10,20,n BP y z nBD x ⎧⋅=+=⎪⎨⎪⋅=-+=⎩ x =n = 1A B PBD θ1(1,0,1)A B =-111sin cos ,A B n A B n A B nθ⋅====cos θ=b c ≤222b ac =-2222b ac c =-≤c e a ⎫=∈⎪⎪⎭||2a OP =2ab ≥e ⎫=⎪⎪⎭122PF PF =122PF PF a +=143a PF =223aPF =12π3F PF ∠=2221644214299332a a c a a =+-⨯⨯⨯223c a =c e a ==对于D ，因为，所以.因为，所以，所以.因为，所以，所以.由，得D 正确.向量在向量上的投影向量的模为.13.； 设双曲线的方程为，因为椭圆的焦点为，长轴顶点为，所以，，所以.故双曲线的标准方程为，渐近线方程为.14.11 设圆心关于对称的点为，则解得即，连接，（图略），所以，故的最小值为.15.解：（1）由题意，可知解得因为，所以椭圆的方程为.（2）设，，则122PF PF PO += 2221212122cos 4||PF PF PF PF F PF PO ++∠=122PF PF a +=()2222121212121639PF PF PF PF PF PF PF PF a +-=+-=2122027PF PF a =222121212122cos PF PF PF PF F PF F F +-∠=()2212124PF PF PF PF c +-=221244PF PF a c =-222204427a a c =-e =ab ||||b a b ⋅= 2211620y x -=y x =C 22221(0,0)y x a b a b-=>>2212036x y +=(0,4)±(0,6)±4a =6c =b ==C 2211620y x -=a y x x b =±=(1,3)C -l ()000,C x y 000013280,2232,1x y y x -+⎧-⨯-=⎪⎪⎨-⎪=-+⎪⎩005,9,x y =⎧⎨=-⎩0(5,9)C -0C N 0C P 0013CN PN C N PN C P +=+≥=MN PN +13211-=16,4,a c a c +=⎧⎨-=⎩10,6.a c =⎧⎨=⎩22264b a c =-=C 22110064x y +=()11,A x y ()22,B x y 221122221,100641,10064x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得，整理可得.因为线段AB 的中点坐标为，所以，，.所以直线的斜率，故直线的方程为，即.16.解：（1）设，因为，所以，所以，所以的方程为.（2）设，，.联立方程组得，所以，.因为，所以，故直线OP ，OQ 的斜率之积为定值，且定值为.17.解：取AC 的中点，连接，，则，.因为平面平面，且交于AC ，所以平面.如图，以为坐标原点，，，的方向分别为x ，y ，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，则，，，，，，，.（1）连接BC .因为，所以.因为，，所以，2222121210064x x y y --+=121212121625y y x xx x y y -+=-⨯-+(3,4)--126x x +=-128y y +=-l 1212121216166122525825y y x x k x x y y -+-==-⨯=-⨯=--+-l 124(3)25y x +=-+12251360x y ++=(,)C x y 3||2||CA CB =22229(2)94(3)4x y x y ++=-+22120x y x ++=W 22120(0)x y x y ++=≠:2l x my =-()11,P x y ()22,Q x y 222,120,x my x y x =-⎧⎨++=⎩()2218200m y my ++-=12281m y y m +=-+122201y y m =-+()()()222121212122222016422244111m m x x my my m y y m y y m m m -=--=-++=++=+++12125OP OQ y y k k x x ⋅==-5-O 1A O BO 1A O AC ⊥BO AC ⊥11A ACC ⊥ABDC 1A O ⊥ABDC O OB OC 1OA(0,1,0)A -B (0,1,0)C 2,0)D 1A 1B 1(0,C 1222ABC S =⨯⨯=△1OA =11113A B C ABC ABC V S OA -=⋅=△(BC = 1BB = 1cos ,BC BB = 1114||BC BB BC BB ⋅=则.设平面的法向量为，则令，得，因为，所以点到平面的距离所以，所以该几何体的体积.（2）设平面的法向量为，因为，，所以令，则.设平面的法向量为，因为，，所以所以.设平面与平面的夹角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.18.解：（1）由题意知动点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线，所以轨迹的方程为.（2）设，，联立方程组得，则，.易知，的斜率存在，设的方程为，1sin B BC ∠=11B BCC S =四边形11B BCC (,,)n x y z = 10,0,n BC y n BB y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 1x =()1n =- (0,2,0)DB =- D 11B BCC ||||DB n d n ⋅==1111123D B BCC B BCC V S d -=⋅=四边形111115A B C ABC D B BCC V V V --=+=11A ABB ()111,,p x y z =AB = 1AA = 111110,0,p AB y p AA y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 11x =(1,p = 11B C D ()222,,q x y z =11(B C = 1(0,1,B D = 11221220,0,q B C y q B D y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩q = 11A ABB 11B C D θ||1cos |cos ,|||||5p q p q p q θ⋅=〈〉==11A ABB 11B C D 15M 30,2⎛⎫⎪⎝⎭32y =-C 26x y =2111,6A x x ⎛⎫ ⎪⎝⎭2221,6B x x ⎛⎫⎪⎝⎭26,3,x y y kx ⎧=⎨=+⎩26180x kx --=126x x k +=1218x x =-1l 2l 1l ()21116y x m x x -=-联立方程组得.由，解得，所以的方程为.同理可得，的方程为. 由解得即点.因为，，，且，所以，即，化简得，因此或故.因为直线为的等线，所以点在轴的上方，即.由，得因为双曲线的离心率为2，所以双曲线的离心率为，又因为，所以，所以，，所以双曲线的方程为.（2）设，则双曲线在点处的切线的方程为.双曲线的渐近线方程为，可得，()21121,66y x m x x x y⎧-=-⎪⎨⎪=⎩2211660x mx mx x -+-=()221136460m mx x ∆=--=13x m =1l 2111136y x x x =-2l 2221136y x x x =-21122211,3611,36y x x x y x x x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩1212,2,6x x x x x y +⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩1212,26x x x x P +⎛⎫ ⎪⎝⎭222121,6x x AB x x ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭ ()12121,26x x x x x AP -⎛⎫-=⎪⎝⎭()22121,26x x x x x PB -⎫-⎛=⎪ ⎝⎭ ||||AB AP =()0AB AP PB +⋅=()()()()()222221212212112210236436x x x x x x x x x x x x x AB PB AP PB -+---⋅+⋅=+++= 22122227290x x x x ++=-=126,3x x =-⎧⎨=⎩126,3,x x =⎧⎨=-⎩12k =±y =12PF F △P x 2,b Pc a⎛⎫ ⎪⎝⎭2b a -=2b a=2C 1C 2ca=222c a b =+223b a =a =3b =1C 22139x y -=()00,P x y 1C P 1l 00139x x y y-=1C y =A x =B x =所以，所以是线段AB 的中点.因为点，到过原点的直线的距离相等，所以过原点的等线必定满足点A ，B 到该等线的距离相等，且分别位于两侧，所以该等线必过点，即直线OP 的方程为.方程组解得或所以.所以，，所以，故.（3）设，则双曲线在点处的切线的方程为.易知与在的右侧，在的左侧，因为，，所以点到的距离由得.因为，，所以，，所以因为点到的距离，点到的距离所以，即为的等线.02A B x x x +=+=P 1F 2F O O P y =22,1,39y x y⎧=⎪⎨-=⎪⎩3,x y =⎧⎪⎨=⎪⎩3,x y =-⎧⎪⎨=-⎪⎩P A A y ===+B B y ===--A B y y -=1212113622A B AF BF S F F y y =⋅-=⨯=四边形()11,Q x y 2C Q 2l 11310x x y y --=A 2F 2l 1F 2l A x =A y =A 2l 1d 0022,31,y y x x x y ⎧=⎪⎨⎪-=⎩22022003x x x y =-10x >220039x y -=013x x =013y y =1d 2F 2l 2d =1(F -2l 3d =123d d d +=2l 12AF F △。
吉林省白城市2024-2025学年高二上学期10月期中考试数学试题含答案
白城市2024-2025学年度高二上学期期中考试数学试卷（答案在最后）一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知空间三点()1,0,3A ，()1,1,4B -，()2,1,3C -，若//AP BC ，且AP =uu u v 则点P 的坐标为（）A.()4,2,2-B.()2,2,4-C.()4,2,2-或()2,2,4- D.()4,2,2--或()2,2,4-【答案】C 【解析】【分析】设P 点坐标，由//AP BC可解出P 坐标，再用空间向量模长公式即可.【详解】设(),,P x y z ，则()1,,3AP x y z =--uu u r ，()3,2,1BC =--uu u r，因为//AP BC ，所以()3,2,AP BC λλλλ==--uu u r uu u r ，1323x y z λλλ-=⎧⎪=-⎨⎪-=-⎩，3123x y z λλλ=+⎧⎪=-⎨⎪=-+⎩，所以()31,2,3P λλλ+--+，又AP =uu u v=解得1λ=或1λ=-，所以()4,2,2P -或()2,2,4-，故选:C2.已知圆221:(2)(3)1C x y -+-=和圆222:(3)(4)9C x y -+-=，,M N 分别是圆12,C C 上的动点，P 为x轴上的动点，则PM PN +的最小值为（）A.4-B.1-C.6-D.【答案】A 【解析】【分析】求出圆1C 关于x 轴的对称圆的圆心坐标A ，以及半径，然后求解圆A 与圆2C 的圆心距减去两个圆的半径和，即可求出||||PM PN +的最小值.【详解】圆1C 关于x 轴的对称圆的圆心坐标()2,3A -，半径为1，圆2C 的圆心坐标为(3,4)，半径为3，∴若M '与M 关于x 轴对称，则PM PM '=，即||||||||PM PN PM PN '+=+，由图易知，当,,P N M '三点共线时||||PM PN '+取得最小值，∴||||PM PN +的最小值为圆A 与圆2C 的圆心距减去两个圆的半径和，∴()()222||3132344524AC --=-+---=-.故选：A.3.直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP 面积的取值范围是A.[]26， B.[]48， C.22 D.2232⎡⎣【答案】A 【解析】【详解】分析：先求出A ，B 两点坐标得到AB ，再计算圆心到直线距离，得到点P 到直线距离范围，由面积公式计算即可详解： 直线x y 20++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点()()A 2,0,B 0,2∴--,则AB 2= 点P 在圆22x 22y -+=（）上∴圆心为（2，0），则圆心到直线距离120222d ++=故点P 到直线x y 20++=的距离2d的范围为则[]2212,62ABP S AB d ==∈ 故答案选A.点睛：本题主要考查直线与圆，考查了点到直线的距离公式，三角形的面积公式，属于中档题．4.在四面体ABCD 中，E 为AD 的中点，G 为平面BCD 的重心．若AG 与平面BCE 交于点F ，则AF AG=（）A.12B.23C.34D.45【答案】C 【解析】【分析】根据共线定理及空间向量线性运算可得结果.【详解】如图：连接DG 交BC 于H ，则H 为BC 中点，连接,,AH EH AG ,因为AG ⊂平面AHD ，EH ⊂平面AHD ，设AG EH K = ，则,K EH K AG ∈∈，又EH ⊂平面BCE ，所以K ∈平面BCE ，故K 为AG 与平面BCE 的交点，又因为AG 与平面BCE 交于点F ，所以F 与K 重合，又E 为AD 的中点，G 为平面BCD 的重心，因为点A ，F ，G 三点共线，则()23AF mAG m AD DG m AD DH ⎛⎫==+=+ ⎪⎝⎭()21323DB DC m AD m AD AB AD AC AD ⎛⎫+⎡⎤=+⨯=+⨯-+- ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭()13m AD AB AC =++又因为点E ，F ，H 三点共线，则(),1AF xAH y AE x y =++=，()22x y AF x AH y AE AB AC AD =+=++ ,所以32132m xx y m y⎧=⎪⎪+=⎨⎪⎪=⎩，解得34m =，即34AF AG = ，故34AF AG =.故选：C.5.O 为空间任意一点，若1148AP OA OB tOC =-++，若A ，B ，C ，P 四点共面，则t =（）A.1B.98C.18D.14【答案】C 【解析】【分析】将1148AP OA OB tOC =-++化简为：3148OP OA OB OC t =++ ，利用四点共面定理可得31148t ++=，即可求解.【详解】因为AP OP OA =- ，所以1148AP OA OB tOC =-++，可化简为：1148OP OA OA OB tOC -++-=，即3148OP OA OB OC t =++ ，由于A ，B ，C ，P 四点共面，则31148t ++=，解得：18t =；故选：C6.已知直线1:420l ax y +-=与直线2:250l x y b -+=互相垂直，垂足为()1,c 则a b c ++=（）A.24B.20C.2D.4-【答案】D 【解析】【分析】根据两直线垂直可求出a 的值，将公共点的坐标代入直线1l 的方程，可得出c 的值，再将公共点的坐标代入直线2l 的方程，可得出b 的值，由此可得出a b c ++的值.【详解】因为直线1:420l ax y +-=与直线2:250l x y b -+=互相垂直，则2200a -=，可得10a =，由题意可知，点()1,c 为两直线的公共点，则10420c +-=，解得2c =-，再将点()1,2-的坐标代入直线2l 的方程可得()2520b -⨯-+=，解得12b =-，因此，101224a b c ++=--=-.故选：D.7.已知圆221:(1)(2)1C x y -+-=，圆222:(3)(4)4C x y -++=，,M N 分别是圆12,C C 上两个动点，P 是x 轴上动点，则PN PM -的最大值是（）A. B. C.D.【答案】A 【解析】【分析】由两圆的标准方程写出其圆心坐标及半径，再由2211||||(||)(||)PN PM PC r PC r -≤+--，求出点2C 关于x 轴的对称点3C ，结合2113||||||PC PC C C -≤即可求得结果.【详解】由题意知，圆1C 的圆心为1(1,2)C ，半径11r =，圆2C 的圆心为2(3,4)C -，半径22r =，作2(3,4)C -关于x 轴的对称点3(3,4)C ，如图所示，22112121||||(||)(||)||||PN PM PC r PC r PC PC r r -≤+--=-++31211321||||||PC PC r r C C r r =-++≤++213=+=+13,,P C C 共线时等号成立，所以||||PN PM -的最大值为3+.故选：A.8.已知抛物线24x y =的焦点为F ，过F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，点O 为坐标原点，则下列命题中正确的个数为（）①AOB V 面积的最小值为4；②以AF 为直径的圆与x 轴相切；③记OA ，OB ，AB 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，则123k k k +=；④过焦点F 作y 轴的垂线与直线OA ，OB 分别交于点M ，N ，则以MN 为直径的圆恒过定点.A.1 B.2C.3D.4【答案】C 【解析】【分析】依次判断每个选项：AB 的斜率为0时，2AOB S =△，所以①错误，计算1||||2EG AF =②正确，证明1212123124y y x x k k k x x ++=+==，所以③正确，根据等式令0x =，得1y =-或3，所以④正确，得到答案.【详解】当AB 的斜率为0时，2AOB S =△，所以①错误.设AF 的中点为E ，作EG x ⊥轴交x 轴于点G ，作AD ⊥准线交准线于点D ，交x 轴于点C ，则||||2E OFG AC +=，又1OF CD ==，所以||||11||||||222CD AC EG AD AF +===，所以②正确.直线AB 的方程为31y k x =+，联立24x y =，得23440x k x --=.设()11,A x y ，()22,B x y ，则1234x x k +=，124x x =-，所以1212123124y y x x k k k x x ++=+==，所以③正确.直线111:4y x OA y x x x ==，所以14,1M x ⎛⎫ ⎪⎝⎭.同理可得24,1N x ⎛⎫⎪⎝⎭.所以以MN 为直径的圆的方程为()()2217122121222(1)x x x x x y x x x x +-⎡⎤⎡⎤-+-=⎢⎥⎢⎥⋅⋅⎣⎦⎣⎦，即()222332(1)44x k y k ++-=+.令0x =，得1y =-或3，所以④正确.故选：C.【点睛】本题考查了抛物线的面积，斜率，定值问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.二、多项选择题（本大题共4小题.每题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.）（2023·四川省成都市树德中学期中）9.点()00,P x y 是圆22:86210C x y x y +--+=上的动点，则下面正确的有（）A.圆的半径为3B.03y x -既没有最大值，也没有最小值C.002x y +的范围是11⎡-+⎣D.2200023x y x +++的最大值为72【答案】BC 【解析】【分析】将圆方程化为标准方程可判断选项A 错误.设03y k x =-，则转化为直线与圆有交点，可算得003y k x =-既没有最大值，也没有最小值，选项B 正确.对于选项C 和D ，可用三角换元化简，再结合辅助角公式即可判断.【详解】圆22:86210C x y x y +--+=转化为()()22434x y -+-=，则圆的圆心为()4,3，半径为2，选项A 错误.设003y k x =-，则直线()003y k x =-与圆有交点，即2≤，整理得23650k k +-≥，解得33k --≤或33k -+≥.既03y x -没有最大值，也没有最小值，选项B 正确.设042sin x θ=+，032cos yθ=+，则()002114sin 2cos 11x y θθθϕ+=++=++，其中1tan 2ϕ=.则002x y +的取值范围为11⎡-+⎣，选项C 正确.又22000086210x y x y +--+=，则2200008621x y x y +=+-，因此()2200000231061820sin 12cos 4040x y x x y θθθα+++=+-=++=++其中3tan 5α=.则2200023x y x +++的最大值为40，选项D 错误.故选：BC.10.在棱长为1正方体1111ABCD A B C D -中，点P 为线段1CC 上异于端点的动点，（）A.三角形1D BP 面积的最小值为4B.直线1D B 与DP 所成角的余弦值的取值范围为0,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭C.二面角1A BD P --的正弦值的取值范围为6,13⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D.过点P 做平面α，使得正方体的每条棱所在直线与平面α所成的角都相等，则α截此正方体所得截面面积的取值范围为0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】AB 【解析】【分析】根据三角形的面积公式，转化为求P 到直线1BD 距离最小值，进而转化为异面直线1CC 和1BD 的距离，也就是直线1CC 到平面11BDD B 的距离，等于C 到BD 的距离，从而得到三角形1D BP 面积的最小值，判定A ；1BD 在平面1DC 中的射影为1CD ,设1BD 与1CD 所成的角为α，设直线DP 与直线1CD 所成的角为β，设直线1D B 与DP 所成角为γ，则根据射影三余弦定理cos cos cos γαβ=，计算求得其取值范围，进而判定B ；二面角的平面角的范围，可以排除C ；考虑到各种情况，取面积最大的的一个截面，可以排除D.【详解】对于A ，要使三角形1D BP 面积的最小，即要使得P 到直线1BD 距离最小，这最小距离就是异面直线1CC 和1BD 的距离，也就是直线1CC 到平面11BDD B 的距离，等于C 到BD 的距离，为2.由于1BD =，所以三角形1D BP 面积的最小值为1224=，故A 正确；对于B ，先证明一个引理：直线a 在平面M 中的射影直线为b ,平面M 中的直线c ,直线,,a b c 所成的角的余弦值满足三余弦定理，直线,a b 的角为α，直线,b c 的角为β，直线,a c 的角为γ，则cos cos cos γαβ=.证明：如上图，在平面M 内任意取一点O 为原点，取两条射线分别为,x y 轴，得到坐标平面xOy ，然后从O 作与平面M 垂直的射线作为z 轴，建立空间直角坐标系，设直线a 的方向向量为()111,,x y z ,则()11,,0x y 为射影直线b 的方向向量,设直线c 的方向向量坐标为()22,,0x y ，则cos α=，cos β=，cos γ=，所以cos cos αβ=，cos γ=，引理得证.如上图所示，根据正方体的性质可知1BD 在平面1DC 中的射影为1CD ,设1BD 与1CD 所成的角为α，cosα=设直线DP 与直线1CD 所成的角为β，,42ππβ⎛⎫∈⎪⎝⎭,2cos 0,2β⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭.设直线1D B与DP所成角为γ，根据上面的引理可得：cos cos cos0,3γαββ⎛⎫==∈ ⎪⎪⎝⎭，故B正确；对于C，如上图所示，设AC、BD交点为M，连接1A M，PM，由正方体性质易知1,BD AC BD AA⊥⊥，11,,AC AA A AC AA⋂=⊂平面11ACC A，所以BD⊥平面11ACC A，故1,BD A M BD MP⊥⊥,1A MP∠为二面角1A BD P--的平面角，当P与1C重合时，111π2A MC A MA∠=-∠，11tan122AAA MAAM∠===>，所以1ππ43A MA<∠<，∴11π2A MC∠<，P在1C C上从下往上移动时，1A MP∠逐渐变大，最终是钝角，其正弦值可以等于1，故C错误；对于D，因为过正方体顶点与各棱所成的角的都相等的直线是体对角线所在的直线，所以过点P的平面与各棱所成的角相等必须且只需与某一条体对角线垂直，过P与对角线1BD垂直的截面中，当P为1CC中点时取得最大值，是一个边长为2的正六边形，如下图所示，面积为1223336sin6022242⨯⨯⨯⨯︒=>，不在区间0,2⎛⎫⎪⎪⎝⎭内，故D不正确.故选：AB【点睛】直线a 在平面M 中的射影直线为b ,平面M 中的直线c ,直线,,a b c 所成的角的余弦值满足三余弦定理，,a b 的角为α，,b c 的角为β，,a c 的角为γ，则cos cos cos γαβ=.这是常见的很好用的一个公式.11.已知直线1:880l ax y +-=与直线20:2l x ay a +-=，下列说法正确的是（）A.当8a =时，直线1l 的倾斜角为45︒B.直线2l 恒过()0,1点C.若4a =，则1//l 2l D.若0a =，则12l l ⊥【答案】BD 【解析】【分析】利用直线斜率与倾斜角的关系判断A ，利用直线过定点的求解判断B ，利用直线平行与垂直的性质判断CD ，从而得解.【详解】A 中，当8a =时，直线1l 的斜率11k =-，设其倾斜角为,[0,π)αα∈，所以1tan 1k α==-，则135α=︒，所以A 不正确；B 中，直线20:2l x ay a +-=，整理可得2(1)0x a y +-=，令2010x y =⎧⎨-=⎩，可得0,1x y ==，即直线2l 恒过定点(0,1)，所以B 正确；C 中，当4a =时，两条直线方程分别为：220,220x y x y +-=+-=，则两条直线重合，所以C 不正确；D 中，当0a =时，两条直线方程分别为：1,0y x ==，显然两条直线垂直，所以D 正确.故选：BD.12.正方体1111ABCD A B C D -棱长为4，动点P 、Q 分别满足1AP mAC nAD =+ ，其中()0,1m ∈，Rn ∈且0n ≠，14QB QC +=；R 在11B C 上，点T 在平面11ABB A 内，则（）A.对于任意的(0,1)m ∈，R n ∈且0n ≠，都有平面ACP ⊥平面11A B DB.当1m n +=时，三棱锥1B A PD -的体积不为定值C.若直线RT 到平面1ACD的距离为1DD 与直线RT所成角正弦值最小为3．D.1AQ QD ⋅的取值范围为[]28,4-【答案】ACD 【解析】【分析】建空间直角坐标系，用向量知识求解四个选项.【详解】对于A ，以A 为坐标原点，AB ，AD ，1AA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，则()0,0,0A ，()0,4,0D ，()4,4,0C ，()10,4,4D ，()10,0,4A ，()14,0,4B ，()4,0,0B 设平面11A B D 的法向量为()111,,m x y z =，()114,0,0A B =，()10,4,4A D =- 则11111140440m A B x m A D y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令11y =，则10x =，11z =，则()0,1,1m =，()4,4,0AC =，()10,4,4AD = ，()()()14,4,00,4,44,44,4AP mAC nAD m n m m n n =+=+=+，设平面ACP 的法向量为()222,,x n y z =，则()2222244044440n AC x y n AP mx m n y nz ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+++=⎪⎩ ，令21x =，则21y =-，21z =，则()1,1,1n =-，又()11110m n ⋅=-⨯+⨯=，所以m n ⊥，所以对于任意的(0,1)m ∈，R n ∈且0n ≠，都有平面ACP ⊥平面11A B D ，故A 正确；对于B ，当1m n +=时，()4,4,4P m n 设平面1A BD 的法向量为()333,,u x y z =()14,0,4BA =- ，()4,4,0BD =-，则133334+404+40u BA x z u BD x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-=⎪⎩ ，令31x =，则31y =，31z =，所以()1,1,1u =，又()4,4,4BP n n =-，点P 到平面1A BD的距离为3BP u d u⋅=== 又11B A PD P A BD V V --=，又因为1A BD 的面积为定值，所以三棱锥1B A PD -的体积为定值，故B 错误；对于C ，设()4,,4R b ，(),0,T a c ,则()4,,4RT a b c =---因为直线RT 到平面1ACD的距离为RT //平面1ACD ，()4,4,0AC =，()10,4,4AD = 设面1ACD 为()444,,k x y z =，则44144440440k AC x y k AD y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令41y =-，则441,1x z ==，所以()1,1,1k =-所以440RT k a b c ⋅=-++-=，即8a b c ++=，又()4,,4AR b =，则AR k k⋅==2b =或14b =，若2b =，所以6a c +=，()4,2,4R ，又()10,0,4DD =，设直线1DD 与直线RT 所成角为θ，所以11cos RT DD RT DD θ⋅====当cos θ最大时，sin θ最小，令()22421224c g c c c -=-+，()()()224421224c c g c c c -'=-+，()g c 在[]0,4单调递增，所以()()max 142g c g ==，()()min 106g c g ==-，cos θ63=，所以sin θ最小为3，所以直线1DD 与直线RT 所成角正弦值最小为3；若14b =，所以6a c +=-，()4,14,4R ，根据对称性可得sin θ最小为33，故C 正确；对于D ，设(),,Q x y z 因为14QB QC += ，所以()4,,QB x y z =--- ，()4,4,4QC x y z =--- ，()182,42,42QB QC x y z +=---，所以14QB QC +=，整理得222844200x y z x y z ++---+=，即()()()2224224x y z -+-+-=所以点p 的运动轨迹为一个以()4,2,2为球心，半径为2的球面上一点，所以26x ≤≤，()()1,,4,,4,A Q x y z QD x y z =-=---所以222144208AQ QD x y z y z x ⋅=---++=- ，当6x =时，1AQ QD ⋅ 最小为28-，当2x =时，1AQ QD ⋅最大为4所以1AQ QD ⋅的取值范围为[]28,4-，故D 正确.故选：ACD.三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13.直线()()()112360x y R λλλλ+--+-=∈被圆2225x y +=截得的弦长的最小值是______．【答案】8.【解析】【分析】首先化简直线求出直线恒过定点(0,3)P ，并判断点在圆内，由圆的性质知：当该直线与OP 垂直时，直线被圆截得的弦长最短.用弦长公式计算弦长即可.【详解】直线的方程可化简为：2360x x y y λλλ+-++-=，整理得：(26)(3)0x y x y λ+-+-+=.令26030x y x y +-=⎧⎨-+=⎩，解得：03x y =⎧⎨=⎩.所以直线恒过定点(0,3)P .又因为220325+<，所以点(0,3)P 在2225x y +=内.所以当该直线与OP 垂直时，直线被圆截得的弦长最短.3d ==，故最短弦长为.故答案为：8.【点睛】本题主要考查了含参直线恒过定点问题以及过圆内一点求最短弦长问题，考查了学生的图形转化计算的能力，属于中档题.14.若点()sin ,cos P θθ-与ππcos ,sin 44Q θθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭关于直线y x =对称，写出一个符合题意的θ值为______．【答案】3π8（答案不唯一）【解析】【分析】由,P Q 中点在直线y x =上且所成直线斜率为1-，并应用和角正余弦公式展开化简得πsin sin()4θθ=+且πcos cos 4θθ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，进而求θ值.【详解】由题设，,P Q 中点ππsin cos()cos sin()44(,)22θθθθ++-++在直线y x =上，且1PQ k =-，所以ππsin cos()cos sin()4422θθθθ++-++=，且πsin()cos 41πcos()sin 4θθθθ++=-+-，即ππsin cos()cos sin()44θθθθ++=-++，且ππsin()cos sin cos(44θθθθ++=-+，所以sin cos sin cos cos sin 2222θθθθθθ+-=-++，且sin cos cos sin cos sin 2222θθθθθθ++=-+，πsin cos )4θθθθ=+=+πsin cos )4θθθθ=-=+，所以πsin sin(4θθ=+，且πcos cos(4θθ=-+，综上，π2(21)π,Z 4k k θ+=+∈，可得1π()π,Z 28k k θ=+-∈，显然3π8满足.故答案为：3π8（答案不唯一）15.如图，点C 是以AB 为直径的圆O 上的一个动点，点Q 是以AB 为直径的圆O 的下半个圆（包括A ，B两点）上的一个动点，,3,2PB AB AB PB ⊥==，则1)3AP BA QC +⋅（的最小值为___________.【答案】3-【解析】【分析】建立合适的平面直角坐标系，利用三角换元法和辅助间公式得到1)344AP BA QC ππαθ⎛⎫⎛⎫+⋅=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ （，最后根据正弦函数的性质即可得到答案.【详解】以O 为原点,以AB 为x 轴,以AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系O xyz -,则圆O 的半径为32,(3,2)AP = ,(3,0)BA =-,1(2,2)3AP BA ∴+= ,设3333cos ,sin ,cos ,sin 2222C Q ααθθ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,[)[]0,2π,π,0a θ∈∈-,则3333cos cos ,sin sin 2222QC αθαθ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭,()()1ππ3cos cos 3sin sin 3344AP BA QC αθαθαθ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+⋅=-+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ [)[]0,2π,π,0a θ∈∈- ,ππ9ππ3ππ,,,442444αθ⎡⎫⎡⎤∴+∈+∈-⎪⎢⎢⎥⎣⎭⎣⎦,∴当π3πππ,4244αθ+=+=时,1)3AP BA QC +⋅ （取得最小值3-，故答案为：3-.【点睛】关键点点睛：本题的关键是建立合适的直角坐标系，利用三角换元法表示出相关点的坐标，最后计算向量数量积，再根据三角恒等变换和三角函数性质即可求出最值.16.已知A ，B是曲线||1x -=(0,1)C ，则CA CB +的取值范围是________.【答案】【解析】【分析】由曲线方程，结合根式的性质求x 的范围，进而判断曲线的形状并画出草图，再由圆的性质、数形结合法判断CA CB +的最值，即可得其范围.【详解】由||1x -=22(||1)(1)4x y -+-=.由||10x -=，所以1x ≤-或1x ≥.当1x ≤-时，22(1)(1)4x y ++-=；当1x ≥时，22(1)(1)4x y -+-=.所以||1x -=22:(1)(1)4P x y ++-=的左半部分和圆22:(1)(1)4Q x y -+-=的右半部分.当A ，B 分别与图中的M ，N 重合时，||||CA CB +取得最大值，为6；当A ，B 为图中E ，F ，G ，H 四点中的某两点时，||||CA CB +取得最小值，为.故||||CA CB +的取值范围是.故答案为：.四、解答题：写出必要的文字描述、解题过程.共6题.17.已知直线l ：12y x =和两个定点(1,1),(2,2)A B ，问直线l 上是否存在一点P ，使得|22||||PA PB +取得最小值？若存在，求出点P 的坐标和22||||PA PB +的最小值；若不存在，说明理由.【答案】存在，95,910⎛⎫ ⎪⎝⎭，1910【解析】【分析】设()002,P x x ，根据坐标运算22||||PA PB +可转化为关于0x 的二次函数，利用二次函数的最值求解即可.【详解】假设直线l 上存在一点()002,P x x ，使得22||||PA PB +取得最小值，如图，则22||||PA PB +()()()()22222000000211222101810x x x x x x =-+-+-+-=-+，因为0R x ∈，所以当01892010x -=-=，即点P 的坐标为99,510⎛⎫⎪⎝⎭时，22||||PA PB +取得最小值，且最小值为1910.18.在平面直角坐标系xOy 中，设二次函数()()22f x x x b x =++∈R 的图像与两坐标轴有三个交点，经过这三个交点的圆记为C .（1）求实数b 的取值范围；（2）求圆C 的方程；（3）请问圆C 是否经过某定点（其坐标与b 无关）？请证明你的结论.【答案】（1）{|1b b <，且0b ≠}（2）222(1)0x y x b y b ++-++=（1b <，且0b ≠）；（3）过定点(0,1)和(2,1)-，证明见解析.【解析】【分析】（1）令0x =得抛物线与y 轴交点，此交点不能是原点；令()0f x =，则方程∆＞0，即可求b 的范围．（2）设出所求圆的一般方程，令0y =得到的方程与220x x b ++=是同一个方程；令0x =得到的方程有一个根为b ，由此求得参数及圆C 的一般方程．（3）把圆C 方程里面的b 合并到一起，令b 的系数为零，得到方程组，求解该方程组，即得圆过的定点．【小问1详解】令0x =得抛物线与y 轴交点是(0,)b ；令2()20=++=f x x x b ，由题意0b ≠，且440b ∆=->，解得1b <，且0b ≠．即实数b 的取值范围{|1b b <，且0b ≠}．【小问2详解】设所求圆的一般方程为220x y Dx Ey F ++++=，由题意得函数()()22f x x x b x =++∈R 的图像与两坐标轴的三个交点即为圆220x y Dx Ey F ++++=和坐标轴的交点，令0y =得，20x Dx F ++=，由题意可得，这与220x x b ++=是同一个方程，故2D =，F b =．令0x =得，20y Ey F ++=，由题意可得，此方程有一个根为b ，代入此方程得出1E b =--，∴圆C 的方程为222(1)0x y x b y b ++-++=（1b <，且0b ≠）．【小问3详解】把圆C 的方程改写为222(1)0x y x y b y ++---=，令22201x y x y y ⎧++-=⎨=⎩，解得01x y =⎧⎨=⎩或21x y =-⎧⎨=⎩，故圆C 过定点(0,1)和(2,1)-．19.如图，已知ABC V 的三个顶点分别为)(4,3A ，)(1,2B ，)(3,4C -．（1）试判断ABC V 的形状；（2）设点D 为BC 的中点，求BC 边上中线的长．【答案】（1）直角三角形；（2）.【解析】【分析】(1)利用两点间距离公式直接计算三角形三边长即可判断作答.(2)求出点D 坐标，再用两点间距离公式计算作答.【小问1详解】根据两点间的距离公式，得AB ==，BC ==，CA ==((222+=，即222AB BC CA +=，所以ABC V 是直角三角形.【小问2详解】依题意，线段BC 的中点(2,1)D -，AD ==，所以BC 边上中线的长为.（2023·安徽省淮北市树人高级中学期中）20.如图，在三棱锥P ABC -中，1AB BC ==，PA PB PC AC ====，O 为棱AC 的中点（1）证明：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）若点M 在棱BC 上，且PC 与平面PAM 所成角的正弦值为4，求二面角M PA C --的大小【答案】（1）证明见解析（2）30°【解析】【分析】对于（1），通过题目条件，可以分别得到BO 和PO 长度，分别通过勾股定理和等腰三角形的三线合一得到PO OB ⊥和PO AC ⊥，从而得到⊥PO 平面ABC ，从而得到平面PAC ⊥平面ABC ；对于（2），先建立空间直角坐标系，因为已知PC 与平面PAM 所成角的正弦值为4，同时点M 在棱BC 上，所以设点M 的坐标，从而分别求出PC和平面PAM 的法向量，并得到点M 的坐标。
山东省德州市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题含答案
高二数学试题（答案在最后）2024.11主考学校：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷1-2页，第Ⅱ卷3-4页，共150分，测试时间120分钟.注意事项：选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，不能答在测试卷上.第Ⅰ卷选择题（共58分）一、选择题（本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）1.已知直线l 320y --=，则l 的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】A 【解析】【分析】由直线方程计算直线斜率，由斜率得到倾斜角.【详解】由题意得，直线斜率为3k =，即tan 3α=，又0180α≤< ，则30α=︒.故直线的倾斜角为30︒.故选：A.2.已知直线()1:1210l m x y +++=与直线2:310l x my ++=平行，则m 的值为（）A.3-B.1- C.2D.3-或2【答案】A 【解析】【分析】由两直线平行公式计算m 的值，代入验证排除直线重合的情况即可得到结果.【详解】由两直线平行得：(1)230m m +-´=，解得2m =或3m =-.当2m =时，1:3210l x y ++=，2:3210l x y ++=，两直线重合，不合题意.当3m =-时，1:2210l x y -++=，即2210x y --=，23310:x y l -+=，两直线平行，符合题意.故m 的值为3-.故选：A.3.已知双曲线()2222:10,0x y E a b a b -=>>，若点()0,2到E的渐近线距离为3，则双曲线E 的离心率为（）A.B.C.2D.3【答案】B 【解析】【分析】利用点到直线的距离公式结合已知条件求出ba的值，即可求出该双曲线的离心率的值.【详解】双曲线的渐近线方程为b y x a=±，即0bx y a ±=，因为点()0,2到E 的渐近线距离为233，即233=，解得ba=，因此，该双曲线的离心率为c e a ====.故选：B.4.在四面体O ABC -中，点D 为BC 的中点，点E 在AD 上，且2AE ED =，用向量OA ，OB ，OC 表示OE ，则OE =（）A.111333OA OB OC-++u u ur u u u r u u u r B.1133OA OB OC-+u u u r u u u r u u u rC.111333OA OB OC +-u u ur u u u r u u u r D.111333OA OB OC ++【答案】D 【解析】【分析】利用空间向量的线性运算即可得到结果.【详解】如图，由题意得，()221332OE OA AE OA AD OA AB AC=+=+=+⋅+ ()11113333OA OB OA OC OA OA OB OC =+-+-=++ .故选：D.5.已知圆()()221x m y n -+-=不经过坐标原点，且与圆224x y +=相切，则mn 的最大值为（）A.1B.32C.92D.814【答案】C 【解析】【分析】根据两圆相切以及()()221x m y n -+-=不过原点先求解出,m n 的关系式，然后结合基本不等式求解出最大值.【详解】因为()()221x m y n -+-=与224x y +=相切，21=+21=-，所以229m n +=或221m n +=，因为()()221x m y n -+-=不经过原点，所以221m n +≠，所以229m n +=，又因为222m n mn +≥，所以22922m n mn +≤=，当且仅当2m n ==±时取等号，所以mn 的最大值为92，故选：C.6.已知菱形ABCD 的边长为2，60BAC ∠=︒，现将ACD 沿AC 折起，当BD =时，二面角D AC B--平面角的大小为（）A.30︒B.60︒C.120︒D.150︒【答案】B 【解析】【分析】设AC BD E = ，由菱形的性质得出BED ∠就是二面角D AC B --的平面角，求出BED 的边长可得答案.【详解】设AC BD E = ，菱形ABCD 满足2AB BC ==，60BAC ∠=︒，则ABC V 和ADC △都为等边三角形，所以2AC =，BE DE ==，又AC BD ⊥，则,BE AC DE AC ⊥⊥，所以BED ∠就是二面角D AC B --的平面角，由于BD =，所以BE DE BD ==，所以BED 是等边三角形，所以60BED ∠=︒，即二面角D AC B --平面角的大小为60︒.故选：B.7.已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>上存在两点M 、N 关于直线10x y --=对称.若椭圆离心率为33，则MN 的中点坐标为（）A.()5,4 B.()4,3 C.()3,2 D.()2,1【答案】C 【解析】【分析】设点1,1、2,2，线段MN 的中点为()00,E x y ，由已知条件可得出2223b a =，利用点差法以及点M 在直线10x y --=上，可得出关于0x 、0y 的值，解出这两个量的值，即可得出线段MN 的中点坐标.【详解】设点1,1、2,2，线段MN 的中点为()00,E x y ，则12012022x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，由题意，椭圆的离心率为3c e a ===，可得2223b a =，因为M 、N 关于直线10x y --=对称，且直线10x y --=的斜率为1，则12121MN y y k x x -==--，将点M 、N 的坐标代入椭圆方程可得22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，上述两个等式作差可得22221212220x x y y a b--+=，可得222121212222121212y y y y y y b x x x x x x a -+-=⋅=--+-，即()0022123y x ⋅-=-，即0023y x =，即0023x y =，①又因为点()00,E x y 在直线10x y --=上，则0010x y --=，②联立①②可得0032x y =⎧⎨=⎩，故线段MN 的中点为()3,2E .故选：C.8.已知四棱锥P ABCD -的各侧棱与底面所成的角都相等，其各个顶点都在球O 的球面上，满足4PA =，6AB AD ==，120BCD ∠=︒，则球O 的表面积为（）A.100πB.64πC.36πD.32π【答案】B 【解析】【分析】首先根据侧棱与底面所成角相等推出顶点在底面的射影是底面外接圆的圆心，然后利用底面四边形的条件求出底面外接圆的半径，再结合四棱锥的棱的长度求出该几何体外接球的半径，最后根据球的表面积公式求出表面积即可.【详解】因为四棱锥P ABCD -的各侧棱与底面所成的角都相等，所以顶点P 在底面ABCD 的射影O '是底面四边形ABCD 外接圆的圆心.因为6AB AD ==，所以△ABD 为等腰三角形.因为120BCD ∠=︒，所以60BAD ∠=︒，故△ABD 为等边三角形，则6BD =.设底面四边形ABCD 外接圆半径为r ，则根据正弦定理得2sin BD r BAD =∠，即62sin60r =，解得r =.设线段BD 的中点E ,则AE BD ⊥，那么由勾股定理可知AE ===，所以32AE r =，故O '是等边三角形ABD 的中心，则2PO '===.设球O 的半径为R ，根据题意可知球心O 在射线PO '上，当球心O 在线段PO '上时，如图1所示，则222OA O A O O ''=+，即222(2)R r R =+-，解得4R =，此时220R -=-<，不符合题意舍去.当球心O 在射线PO '上且在平面ABD 的下方时，如图2所示，222OA O A O O ''=+，即222(2)R r R =+-，解得4R =，此时220R -=>符合题意，故球O 的半径4R =，所以根据球体的表面积公式知该四棱锥外接球的表面积为24π64πR =.故选：B.【点睛】求解几何体外接球问题的关键是通过找到球体球心的位置确定球体的半径.二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.已知空间中四点()0,1,0A ，()2,2,0B ，()1,3,1C -，()1,1,1D ，则（）A.3AB = B.AC BD⊥ C.BC 在AD上的投影数量为 D.,AB AD为锐角【答案】BCD 【解析】【分析】A ：表示出AB的坐标，利用模长公式计算；B ：表示出,AC BD 的坐标，然后根据数量积判断是否垂直；C ：计算出,BC AD AD ⋅ ，根据BC AD AD⋅可计算出投影数量；D ：根据AB AD ⋅的正负并结合是否共线作判断.【详解】A ：因为()2,1,0AB =，所以AB == ，故错误；B ：因为()()1,2,1,1,1,1AC BD =-=-- ，所以1210AC BD ⋅=-+= ，所以AC BD ⊥ ，故正确；C ：因为()()3,1,1,1,0,1BC AD =-= ，所以312BC AD ⋅=-+=-，AD == ，所以BC 在AD上的投影数量为BC AD AD ⋅==，故正确；D ：因为()()2,1,0,1,0,1AB AD == ，所以20AB AD ⋅=>，由坐标可知,AB AD不共线，所以,AB AD 为锐角，故正确；故选：BCD.10.已知直线:0-+=l kx y k ，圆22:430C x y x +-+=，()00,P x y 为圆C 上任意一点，则（）A.直线l 过定点()1,0B.若圆C 关于直线l 对称，则0k =C.00y x的最大值为3D.2200x y +的最大值为3【答案】BC 【解析】【分析】A ：将直线方程化为():10l k x y +-=，根据100x y +=⎧⎨=⎩可确定出定点坐标；B ：考虑直线经过圆心的情况；C ：根据0y x 的几何意义，考虑OP 与圆相切；D ：根据2200x y +的几何意义，先计算max OP ，然后可求结果.【详解】22:430C x y x +-+=化为标准方程为()22:21C x y -+=，圆心为2,0，半径为1；A ：因为():0:10l kx y k l k x y -+=⇔+-=，令100x y +=⎧⎨=⎩，可得10x y ⎧⎨⎩=-=，所以l 过定点()1,0-，故错误；B ：若圆C 关于l 对称，则l 过圆心2,0，所以200k k -+=，解得0k =，故正确；C ：0y x 表示OP 连线的斜率，设:OP y kx =，即:0OP kx y-=，如下图，当:0OP kx y -=与()22:21C x y -+=相切时，此时k 取最值，1=，解得3k =±，所以k的最大值为3，即00yx的最大值为3，故正确；D ：2200x y +表示2OP ，因为max 213OP OC r =+=+=，所以()2max9OP=，故错误；故选：BC.11.在直三棱柱111ABC A B C -中，AB AC ⊥，AB =，1AC =，12AA =，点M 为线段1CC 的中点，N 为线段1A M 上的动点，则（）A.1BM A M⊥B.存在点N 使得1C N 垂直于平面1A BM C.若1//C N 平面ABM ，则1A N NM =D.直线BN 与平面11ACC A 所成角的最大值为π4【答案】ACD 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量逐项判断即可.【详解】如图，以A 为原点，以1,,AB AC AA 所在直线为,,x y z 轴建立空间直角坐标系，则())()()()()110,0,0,,0,1,0,0,0,2,0,1,2,0,1,1A BC A C M ，对于A，因为()()1,0,1,1BM A M ==-，所以()1011110BM A M ⋅=+⨯+⨯-=，则1BM A M ⊥，即1BM A M ⊥，故A 正确；对于B ，由A知，()()1,0,1,1BM A M ==-，设()1101A N A M λλ=≤≤ ，则()10,,A N λλ=-，即()0,,2N λλ-，所以()10,1,C N λλ=--，又1C N ⊥平面1A BM ，则1111010C N BM C N A M λλλλ⎧⋅=--=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，无解，所以不存在点N 使得1C N 垂直于平面1A BM ，故B 错误；对于C ，由B 知，设()1101A N A M λλ=≤≤ ，可得()10,1,C N λλ=--，又()(),0,1,1BM AM ==，设平面ABM 的一个法向量为 =1,1,1，则11111100m BM y z m A M y z ⎧⋅=++=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令11y =，得()0,1,1m =- ，因为1//C N 平面ABM ，所以1C N m ⊥，则110C m N λλ⋅=-+= ，解得12λ=，此时1A N NM =，故C 正确；对于D ，由B 知，设()1101A N A M λλ=≤≤，可得()0,,2N λλ-，所以(),2BN λλ=- ，易知平面11ACC A 的一个法向量为()1,0,0n =，设直线BN 与平面11ACC A 所成角为θ，则sin cos ,BN n BN n BN nθ⋅===⋅，所以当1λ=时，sin θ取得最大值2，即直线BN 与平面11ACC A 所成角的最大值为π4，故D 正确.故选：ACD.第Ⅱ卷非选择题（共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）12.已知ABC V 的三个顶点()2,1A -，()2,13B ，()5,12C ，则AB 边上的高为________.【答案】10【解析】【分析】求出直线AB 的方程，再利用点到直线的距离公式即可.【详解】131322AB k -==+，则直线AB 的方程为()132y x -=+，即370x y -+=，则点()5,12C 到直线AB 351271010⨯-+=，则AB 10.10.13.在三棱锥P ABC -中，已知1AB AC AP ===，2BC =P 到AC ，AB 的距离均为32，那么点P 到平面ABC 的距离为________.【答案】22【解析】【分析】如图，取BC 中点为D ，连接PD ，AD ，过P 作AD 垂线，垂足为G ，可证PG 与平面ABC 垂直及D 和G 重合，即可得答案.【详解】过P 作AC ，AB 垂线，垂足为E ，F ，由题，则32PE PF ==.又π2PA PA PE PF PEA PFA ==∠=∠=，，，则PAE PAF ≅△△，又1AP =，32PE PF ==，则1212AE AF FB EC ==⇒==.则1212AE AF FB EC ==⇒==，又由勾股定理，可得1PB PC ==.取BC 中点为D ，连接PD ，AD .由以上分析可知PD BC AD BC ⊥⊥，.因PD AD D PD AD ⋂=⊂，，平面PAD ，则⊥BC 平面PAD .过P 作AD 垂线，垂足为G ，则PG AD ⊥，又PG ⊂平面PAD ，则PG BC ⊥.因BC AD D BC AD ⋂=⊂，，平面ABC ，则PG ⊥平面ABC ，即PG 为P 到平面ABC 的距离.在PBC △中，因1PB PC ==，2BC =，则22PD =.又在ABC V 中，12AB AC BC ===，，则22AD =；又1AP =，则APD △为以D 为直角顶点的直角三角形，则PD AD⊥即D 和G 重合，则22PD PG ==.故答案为：2214.已知直线24y x =-+与抛物线()220y px p =>交于A 、B 两点，且OA OB ⊥（O 为坐标原点），则p =________；AOB V 的面积为________.【答案】①.1②.17【解析】【分析】设点1,1、2,2，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，由题意可得出0OA OB ⋅= ，结合韦达定理可求得p 的值，然后利用三角形的面积公式可求得AOB V 的面积.【详解】设点1,1、2,2，联立2242y x y px =-+⎧⎨=⎩可得240y py p +-=，2160p p ∆=+>，由韦达定理可得12y y p +=-，124y y p =-，所以，221212*********y y OA OB x x y y y y p p⋅=+=+=-= ，解得1p =，所以，121y y +=-，124y y =-，则()2121212411617y y y y y y -=+-=+=，直线24y x =-+交x 轴于点()2,0E ，所以，12112171722OAB S OE y y =⋅-=⨯= 故答案为：117.四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）15.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 过点(3，()3,2，且圆关于x 轴对称.（1）求圆C 的标准方程；（2）已知直线l 经过点()0,1，与圆C 交于A ，B 两点，若2AB =，求直线l 的方程.【答案】（1）()2234x y -+=（2）770x y -+=或10x y +-=【解析】【分析】（1）设出圆心并根据圆上的两点坐标，即可得出圆心和半径可得圆C 的标准方程；（2）利用弦长公式计算求得圆心到直线的距离，即可求得直线方程.【小问1详解】由圆关于x 轴对称可知圆心在x 轴上，设圆心(),0C a ，半径为r ；即可得()(()()2222203302a a -+-=-+-，解得3a =，半径2r =，所以圆C 的标准方程为()2234x y -+=【小问2详解】当直线l 的斜率不存在时，直线方程为0x =，显然不合题意；当直线l 的斜率存在时，设方程为1y kx =+；易知圆心到直线1y kx =+的距离d =又AB ==可解得17k =或1k =-，即直线l 的方程为770x y -+=或10x y +-=.16.已知点F 为抛物线()220y px p =>的焦点，点()2,P m 在抛物线上，且4PF =.（1）求抛物线的方程及m ；（2）斜率为2的直线l 与抛物线的交点为A 、B （A 在第一象限内），与x 轴的交点为M （M 、F 不重合），若2AM MB =，求ABF △的周长.【答案】（1）抛物线方程为28y x =，4m =±（2）14+【解析】【分析】（1）由抛物线的定义结合4=PF 可求得p 的值，可得出抛物线的方程，再将点P 的坐标代入抛物线方程，即可求得m 的值；（2）设点(),0M n ，则2n ≠，可得直线l 的方程为12x y n =+，设点1,1、2,2，则10y >，由平面向量的坐标运算可得出122y y =-，将直线l 的方程与抛物线方程联立，结合韦达定理可求出n 、1y 、2y 的值，进而可求得ABF △的周长.【小问1详解】抛物线的焦点为,02p F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，准线方程为2p x =-，由抛物线的定义可得242p PF =+=，可得4p =，所以，抛物线的方程为28y x =，将点P 的坐标代入抛物线方程可得28216m =´=，解得4m =±.【小问2详解】设点(),0M n ，则2n ≠，因为直线l 的斜率为2，则直线l 的方程为12x y n =+，设点1,1、2,2，则10y >，由2AM MB =，可得()()1122,2,n x y x n y --=-，则122y y -=，可得122y y =-，联立2128x y n y x ⎧=+⎪⎨⎪=⎩，可得2480y y n --=，16320n ∆=+>，可得12n >-，由韦达定理可得124y y +=，128y y n =-，所以，1211111422y y y y y +=-==，可得18y =，24y =-，所以，12832n y y -==-，可得4n =，所以，12122AB y y =-=⨯=，()12121484284142AF BF x x y y +=++=+++=++=，所以，ABF △的周长为14AF BF AB ++=+.17.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面是边长为2的正方形，4PA =，60PAD ∠=︒，120PDC ∠=︒.（1）求证：AD PC ⊥；（2）求平面DPA 与平面BPA 所成角的余弦值.【答案】（1）证明见详解；（2）1313【解析】【分析】（1）通过线面垂直的判定定理证明AD ⊥平面PCD 即可证得；（2）建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可.【小问1详解】在PAD △中，由余弦定理得222142cos cos 602242PD PAD +-∠===⨯⨯ ，解得23PD =所以222PD AD PA +=，故AD PD ⊥，又,,,AD CD CD PD D CD PD ⊥=⊂ 平面PCD ，所以AD ⊥平面PCD ，又PC ⊂平面PCD ，所以AD PC ⊥；【小问2详解】以D 为坐标原点，,DA DC 分别为,x y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,3,3)D A B P -，所以(2,0,0),(0,3,3),(0,2,0),(2,3,3)DA DP AB AP ====--，设平面DPA 的一个法向量为111(,,)m x y z = ，则11120330m DA x m DP z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，令11z =，则110,3x y ==3,1)m = ，设平面BPA 的一个法向量为222(,,)n x y z = ，则222220230n AB y n AP x z ⎧⋅==⎪⎨⋅=--+=⎪⎩ ，令23x =，则220,2y z ==，所以(3,0,2)n = ，故cos ,13m n m n m n ⋅=== ，所以平面DPA 与平面BPA所成角的余弦值为13.18.已知双曲线G22−22=1>0,>0过点2,30y -=.（1）求双曲线C 的标准方程；（2）若点P 为双曲线右支上一点，()(),00A t t >，求PA 的最小值；（3）过点()2,0F 的直线与双曲线C 的右支交于M ，N 两点，求证：11||||MF NF +为定值.【答案】（1）2213y x -=（2）答案见解析（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意列方程组，即可求得答案；（2）设()000,,1P x y x ≥，表示出PA ，结合二次函数性质，讨论即可得答案；（3）讨论直线斜率是否存在，存在时，设直线方程并联立双曲线方程，可得根与系数关系，求出11||||MF NF +的表达式，化简即可证明结论.【小问1详解】由题意知双曲线G 22−22=1>0,>0过点2,30y -=，则22491a b b a⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，解得1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩故双曲线C 的标准方程为2213y x -=；【小问2详解】点P 为双曲线右支上一点，设()000,,1P x y x ≥，()(),00A t t >，则PA ====当14t ≤，即04t <≤时，PA1t =-，当14t >，即4t >时，PA；【小问3详解】当过点()2,0F 的直线斜率不存在时，方程为2x =，此时不妨取(2,3),(2,3)M N -,则11112||||333MF NF +=+=；当当过点()2,0F 的直线斜率存在时，设直线方程为()()1122(2),,,,y k x M x y N x y =-，不妨令122,12x x ><<，联立22(2)13y k x y x =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，得()222234430k x k x k -+--=，由于直线过双曲线的右焦点，必有0∆>，直线与双曲线C 的右支交于M ，N两点，需满足k >k <则22121222443,33k k x x x x k k---+==--，则11MF NF +=()()121212112222x x x x x x ⎛⎫-=+=⎪----⎭()12121224x x x x x x -=+--1212=222433k k=-----⎪--⎝⎭293k=-26129933k --===--，综合以上可知11||||MF NF +为定值.【点睛】难点点睛：本题考查了直线和双曲线位置关系的综合应用，综合性强，计算量大，难点在于证明定值问题，解答时要注意计算的准确性，基本都是字母参数的运算，需要十分细心.19.已知椭圆的中心为坐标原点，左、右焦点分别为1F ，2F 1-，直线:l y x m =+与椭圆交于A 、B 两点（其中点A 在x 轴上方，点B 在x 轴下方），当AB 过1F 时，2ABF △的周长为.（1）求椭圆的标准方程；（2）将平面xOy 沿x 轴折叠，使y 轴正半轴和x 轴所确定的半平面（平面12A F F '）与y 轴负半轴和x 轴所确定的半平面（平面12B F F '）垂直.①当B 为椭圆的下顶点时，求折叠后直线1A F '与平面2A B F ''所成角的正弦值；②求三棱锥12A B F F ''-体积的最大值.【答案】（1）2212x y +=（2）①15025；②1445【解析】【分析】（1）由题意列出方程组，解得,,a b c 的值，直接写出椭圆方程；（2）①求出平面中,A B 坐标，再建立空间直角坐标系得到,A B ''坐标，利用空间向量求得线面角的正弦值；②在平面内求出,A B 坐标的关系，再建立空间直角坐标系得到,A B ''坐标，从而列出三棱锥的体积的表达式，利用二次函数求得最大值.【小问1详解】由题意可得221442ABF a c C a ⎧-=⎪⎨==⎪⎩ 21a c ⎧=⎪⎨=⎪⎩1b =，∴椭圆的标准方程为：2212x y +=，【小问2详解】翻折后，如图：①当B 为椭圆的下顶点时，由题意知()0,1B -，直线:1l y x =-，联立方程组可得22112y x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得4313x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或01x y =⎧⎨=-⎩，∴41,33A ⎛⎫ ⎪⎝⎭令原来y 轴负半轴为z 轴，则41,,033A ⎛'⎫ ⎪⎝⎭，()0,0,1B '，()11,0,0F -，()21,0,0F ，∴171,,033A F ⎛⎫=--⎪⎝⎭' ，41,,133A B ''⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ ，211,,033A F ⎛⎫=--⎪⎝⎭' ，设 =s s 为平面2A B F ''的一个法向量，则24103311033A B n a b c A F n a b ⎧⋅=--+=⎪⎪⎨⎪⋅=⎪⎩'-''-= ，令1a =，所以111a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，即()1,1,1n =- ，设直线1A F '与平面2A B F ''的夹角为θ，则()1122212271015033sin cos ,257111133A F n A F n A F n θ-++⋅===⎛⎫⎛⎫-+-⨯+-+ '''⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，②联立方程组2212x y y x m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，整理得2234220x mx m ++-=，()()222Δ443222480m m m =-⨯⨯-=->，∴33m -<<，设1,1，2,2，则1243m x x +=-，212223m x x -=，()()222212121212224542333m m m m y y x m x m x x x x m m ---=++=+++=-+=，()11,,0A x y '，()22,0,B x y -，∴()121212112111542233239A B F F B F F y y m m V y S y y ''-'-++==⨯⨯⨯-=-= ，令函数()(2542,f m m m m =-++<，由二次函数的对称轴：25m =，∴()21455f m f ⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，所以当25m =时，12A B F F ''-的体积最大，此时121445A B F F V ''-=.【点睛】方法点睛：本题由平面解析几何转变成立体几何，需要自己建立新的坐标系，并能通过平面直角坐标系的点坐标得到对应在空间直角坐标系的坐标，然后利用立体几何的知识来解得答案.。
江西省景德镇市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题含答案
乐平2024-2025学年度上学期期中考试高二数学试卷（答案在最后）满分：150分考试时间：120（分钟）命题人：第一部分选择题（共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线l 过点()1,2A ，()3,4B ，则直线l 的倾斜角为（）A.π6-B.π3-C.π4 D.π3【答案】C 【解析】【分析】求出直线的斜率，由斜率与倾斜角关系即可求解.【详解】由题可得：42131l k -==-，所以直线l 的倾斜角为：45︒；故选：C2.直线210x y -+=的方向向量是（）A.()2,1 B.()2,1- C.()1,2 D.()1,2-【答案】A 【解析】【分析】根据直线的斜率及方向向量定义判断即可.【详解】直线210x y -+=的斜率为12，所以方向向量是()2,1.故选：A.3.“13m =-”是“两条直线10x my +-=，()3210m x y -+-=平行”的（）A .充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】利用直线平行的条件计算可得结论.【详解】当13m =-时，两条直线330x y --=，310x y -+=，两直线平行，所以“13m =-”是“两条直线10x my +-=，()3210m x y -+-=平行”的充分条件；因为直线()3210m x y -+-=的斜率存在且为23m -，由两直线平行，所以10x my +-=的斜率存在且为1m-，所以123m m -=-，解得1m =或13m =-，当1m =时，直线方程均为10x y +-=，此时直线重合，故1m =不符合题意，舍去；所以“13m =-”是“两条直线10x my +-=，()3210m x y -+-=平行”的充要条件.故选：C .4.定义：通过24小时内降水在平地上的积水厚度（mm ）来判断降雨程度；其中小雨（0mm 10mm -），中雨（10mm 25mm -），大雨（25mm 50mm -），暴雨（50mm 100mm -）；小明用一个圆锥形容器（如图）接了24小时的雨水，则这天降雨属于哪个等级（）A .小雨B.中雨C.大雨D.暴雨【答案】B 【解析】【分析】计算圆锥的体积，进而可得降雨高度，即可判断.【详解】做出容器的轴截面，如图所示，则200AB =，300OC =，150CF =，则F 为OC 中点，则11002DE AB ==，50DF =，由已知在直径为200mm 的圆柱内的降雨总体积231π125000πmm 3V DF CF =⋅⋅⋅=，则降雨高度为2125000π12.5mm π10000πV OA ==⋅，所以降雨级别为中雨，故选：B.5.直线3y x =关于=1对称直线l ，直线l 的方程是（）A.20y +-= B.20y ++=C.20x +-=D.20x +=【答案】C 【解析】【分析】根据题意可知直线3y x =与直线1x =交于点(1,3A ，求出原点关于直线1x =对称的对称点B ，利用两点坐标求直线斜率公式和直线的点斜式方程即可得出结果.【详解】如图，直线33y x =与直线1x =交于点(1,3A ，直线33y x =过原点(0,0)，因为直线33y x =与直线l 关于直线1x =对称，所以原点关于直线1x =的对称点为(2,0)B ，且直线l 过点A 、B ，则直线l 的斜率为03123l k -==--，所以直线l 的方程为0(2)3y x -=--，即20x +-=.故选：C6.若P 是ABC V 所在平面外一点，且PA BC ⊥，PB AC ⊥，则点P 在ABC V 所在平面内的射影O 是ABC V 的（）A.内心B.外心C.重心D.垂心【答案】D 【解析】【分析】根据且PA BC ⊥，PB AC ⊥，利用线面垂直的判定定理得到BC OA ⊥，OB AC ⊥即可.【详解】解：如图所示：因为,⊥⊥PA BC PO BC ，且PA PO P =I ，所以⊥BC 平面PAO ，则BC OA ⊥，同理得OB AC ⊥，所以O 是ABC V 的垂心．故选：D7.四边形ABCD 是矩形，3AB AD =，点E ，F 分别是AB ，CD 的中点，将四边形AEFD 绕EF 旋转至与四边形BEFC 重合，则直线,ED BF 所成角α在旋转过程中（）A.逐步变大B.逐步变小C.先变小后变大D.先变大后变小【答案】D 【解析】【分析】根据初始时刻ED 与BF 所成角可判断BC ，由题可知D 在平面BCFE 内的投影P 一直落在直线CF上，进而某一时刻EP BF ⊥，可得DE 与BF 所成角为π2，可判断AD.【详解】由题可知初始时刻ED 与BF 所成角为0，故B C ,错误，在四边形AEFD 绕EF 旋转过程中，,EF DF EF FC ⊥⊥，,,DF FC F DF FC =⊂ 平面DFC ，所以⊥EF 平面DFC ，EF ⊂平面EFCB ，所以平面DFC⊥平面EFCB ，故D 在平面BCFE 内的投影P 一直落在直线CF 上，所以一定存在某一时刻EP BF ⊥，而DP⊥平面EFCB ，DP BF ⊥，又,,DP PE P DP PE =⊂ 平面DPE ，所以BF ⊥平面DPE ，此时DE 与BF 所成角为π2，然后α开始变小，故直线,ED BF 所成角α在旋转过程中先变大后变小，故选项A 错误，选项D 正确.故选：D.8.半径是（）A.1+B.+ C.+ D.【答案】D 【解析】【分析】根据条件求出以三个小球的球心1O 、2O 、3O 构成的三角形的外接圆半径，再通过勾股定理求解即可.【详解】三个小球的球心1O 、2O 、3O 构成边长为的正三角形，则其外接圆半径为2．设半球的球心为O ，小球1O 与半球底面切于点A ．如图，经过点O 、1O 、A 作半球的截面，半圆O 的半径OC OA ⊥，1O B OC ⊥于点B ．则12OA O B ==．在1Rt OAO 中，由(()2222R R =+⇒=．故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题中，正确的有（）A.若向量a 、b 与空间任意向量都不能构成一组基，则//a b r rB.若非零向量a ，b ，c满足a b ⊥ ，b c ⊥ ，则有//a cr r C.“倾斜角相等”是“斜率相等”的充要条件D.若{},,a b b c c a +++ 是空间的一组基，则{},,a b c也是空间的一组基【答案】AD 【解析】【分析】根据空间向量共线、垂直、基底、共面、倾斜角和斜率的关系、充要条件等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A 选项，∵a ，b与任何向量都不构成空间向量的基底，∴a ，b 只能为共线向量，∴//a b r r，A 对；B 选项，取()1,0,1a = ，()1,1,1b =- ，()1,2,1c =-，显然满足a b ⊥ ，a c ⊥ ，但b 与c不平行，B 不对；C 选项，倾斜角相等时，可能倾斜角都是90︒，此时直线没有斜率，所以C 选项错误.D 选项，∵a b + ，b c + ，c a +为一组基底，∴对于空间任意向量d，存在实数m ，n ，t ，使()()()()()()d m a b n b c t c a m t a m n b n t c =+++++=+++++，∴a ，b ，c也是一组基底，D 对；故选：AD10.用一个平面去截正方体，所得截面不．可能是（）A.直角三角形 B.直角梯形C.正五边形D.正六边形【答案】ABC 【解析】【分析】根据正方体的几何特征，我们可分别画出用一个平面去截正方体得到的几何体的图形，然后逐一与四个答案中的图形进行比照，即可判断选项．【详解】当截面为三角形时，可能出现正三角形，但不可能出现直角三角形；截面为四边形时，可能出现矩形，平行四边形，等腰梯形，但不可能出现直角梯形；当截面为五边形时，不可能出现正五边形；截面为六边形时，可能出现正六边形，故选：ABC ．11.如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在线段1B C 上运动，则下列结论正确的是（）A.直线1BD ⊥平面11A C DB.三棱锥11P AC D -的体积为定值C.异面直线AP 与1A D 所成角的取值范围是ππ,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D.直线1C P 与平面11A C D 所成角的正弦值的最大值为3【答案】ABD 【解析】【分析】在选项A 中，利用线面垂直的判定定理，结合正方体的性质进行判断即可；在选项B 中，根据线面平行的判定定理、平行线的性质，结合三棱锥的体积公式进行求解判断即可；在选项C 中，根据异面直线所成角的定义进行求解判断即可；在选项D 中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法进行求解即可.【详解】在选项A 中，∵1111AC B D ⊥，111A C BB ⊥，1111B D BB B ⋂=，且111,B D BB ⊂平面11BB D ，∴11A C ⊥平面11BB D ，1BD ⊂平面11BB D ，∴111A C BD ⊥，同理，11DC BD ⊥，∵1111A C DC C ⋂=，且111,AC DC ⊂平面11A C D ，∴直线1BD ⊥平面11A C D ，故A 正确；在选项B 中，∵11//A D B C ，1A D ⊂平面11A C D ，1B C ⊄平面11A C D ，∴1//B C 平面11A C D ，∵点P 在线段1B C 上运动，∴P 到平面11A C D 的距离为定值，又11A C D 的面积是定值，∴三棱锥11P AC D -的体积为定值，故B 正确；在选项C 中，∵11//A D B C ，∴异面直线AP 与1A D 所成角为直线AP 与直线1B C 的夹角.易知1AB C △为等边三角形，当P 为1B C 的中点时，1AP B C ⊥；当P 与点1B 或C 重合时，直线AP 与直线1B C 的夹角为π3.故异面直线AP 与1A D 所成角的取值范围是ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故C 错误；在选项D 中，以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，1DD 为z轴，建立空间直角坐标系，如图，设正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，则(),1,P a a ，()10,1,1C ，()1,1,0B ，()10,0,1D ，所以()1,0,1C P a a =- ，()11,1,1D B =-.由A 选项正确：可知()11,1,1D B =-是平面11A C D 的一个法向量，∴直线1C P 与平面11A C D所成角的正弦值为：1111C P D B C P D B⋅==⋅ ∴当12a =时，直线1C P 与平面11A C D所成角的正弦值的最大值为3，故D 正确.故选：ABD第二部分非选择题（共92分）三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.设直线1l ，2l 的方向向量分别为()2,2,1a =-，()3,2,b m =- ，若12l l ⊥，则m =__________.【答案】10【解析】【分析】根据向量垂直的坐标表示可得方程，解方程即可.【详解】由已知12l l ⊥，即a b ⊥，则()()232210a b m ⋅=-⨯+⨯-+⨯=，解得10m =，故答案为：10.13.有一根高为3π，底面半径为1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为________.【答案】5π【解析】【分析】考虑圆柱的侧面展开图，将其延展一倍后矩形的对角线的长度即为铁丝的最短长度.【详解】如图，把圆柱的侧面展开图再延展一倍，所以铁丝的最短长度即为AB 的长，又5AB π==，填5π.【点睛】几何体表面路径最短问题，往往需要考虑几何体的侧面展开图，把空间问题转为平面问题来处理.14.如图，已知正三棱锥P ABC -的侧棱长为l ，过其底面中心O 作动平面α，交线段PC 于点S ，交PA ，PB 的延长线于M ，N 两点.则111PS PM PN++=______.【解析】【分析】利用空间向量的线性运算得到333PA PB PC PO PM PN PS x y z=⋅+⋅+⋅ ，再利用空间四点共面的性质即可得解.【详解】依题意，设,,PM x PN y PS z ===，则PA PA PM x =⋅ ，PB PB PN y =⋅ ，PC PC PS z=⋅，由O 为底面ABC V 中心，连接PO ，OA ，()2132PO PA AO PA AB AC =+=+⨯+ ()()133PA PB PC PA PB PA PC PA ++⎡⎤=+-+-=⎣⎦ 111333zPA PB PC PM PN PS x y =⨯⋅+⨯⋅+⨯⋅ 333PA PB PC PM PN PS x y z =⋅+⋅+⋅ ，又因为,,,S M N O 四点共面，所以+1333PA PB PCx y z += 且PA PB PC l === ，所以+1333l l l x y z +=，即1113+x y z l+=，即1113PS PM PN l++=.【点睛】关键点睛：空间向量的有效运用：空间向量是解决空间几何问题的有力工具.通过设定向量的关系，可以有效地将几何问题转化为代数问题，简化求解过程.共面条件的判断：四点共面的条件在空间几何中非常重要.利用这一条件，可以将空间中的复杂关系转化为简单的线性关系，方便求解.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知直线():20R l x ky k k -++=∈．（1）若直线l 不经过．．．第一象限，求k 的取值范围；（2）若直线l 交x 轴负半轴于A ，交y 轴正半轴于B ，AOB V 的面积为S （O 为坐标原点），求S 的最小值和此时直线l 的方程．【答案】（1）[]2,0-（2）S 的最小值为4，此时直线l 的方程为240x y -+=【解析】【分析】(1)验证0k =时，直线l 是否符合要求，当0k ≠时，将直线方程化为斜截式，结合条件列不等式求k 的取值范围；(2)先求直线在x 轴和y 轴上的截距，表示AOB V 的面积，利用基本不等式求其最小值.【小问1详解】当0k =时，方程20x ky k -++=可化为2x =-，不经过第一象限；当0k ≠时，方程20x ky k -++=可化为121y x k k=++，要使直线不经过第一象限，则10210k k⎧≤⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩解得20k -≤<．综上，k 的取值范围为[]2,0-．【小问2详解】由题意可得0k >，由20x ky k -++=取0y =得2x k =--，取0x =得2k y k+=，所以()11214124442222k S OA OB k k k k ⎛⎫+⎛⎫==⋅⋅+=++≥+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，当且仅当4k k =时，即2k =时取等号，综上，此时min 4S =，直线l 的方程为240x y -+=．16.如图，AE ⊥平面ABCD ，//CF AE ，//AD BC ，AD AB ⊥，1AB AD ==，22AE BC CF ===．（1）求证：//BF 平面ADE ；（2）求直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值；【答案】（1）证明见解析（2）49【解析】【分析】（1）根据题意可利用面面平行的判定定理证明平面//BCF 平面ADE ，再由面面平行的性质可得结论；（2）由几何体特征建立以A 为原点的空间直角坐标系A xyz -，利用空间向量求出直线CE 的方向向量与平面BDE 的法向量，即可求出直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值.【小问1详解】由//CF AE ，CF ⊂/平面ADE ，AE ⊂平面ADE ，则//CF 平面ADE ，由//AD BC ，BC ⊂/平面ADE ，AD ⊂平面ADE ，则//BC 平面ADE ，而CF BC C = ，,CF BC ⊂平面BCF ，故平面//BCF 平面ADE ，又BF ⊂平面BCF ，则//BF 平面ADE ；【小问2详解】AE ⊥平面ABCD ，,AB AD ⊂平面ABCD ，则AE AB ⊥，AE AD ⊥，又AD AB ⊥，以A 为原点，分别以,,AB AC AE 为,,x y z 轴构建空间直角坐标系A xyz -，如下图所示：又1AB AD ==，22AE BC CF ===，所以()1,0,0B ，()1,2,0C ，()0,1,0D ，()0,0,2E ，则(1,2,2)CE =-- ，(1,0,2)BE =- ，(0,1,2)DE =- ，令平面BDE 的一个法向量(),,m x y z = ，则2020m BE x z m DE y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令1z =，则2,2x y ==，即(2,2,1)m = ，所以44cos ,339m CE m CE m CE⋅〈〉===⨯ ，即直线CE 与平面BDE 所成角的正弦值为49．17.如图，PDCE 为矩形，ABCD 为梯形，平面PDCE ⊥平面ABCD ，90BAD ADC ∠=∠=︒，112AB AD CD ===，2PD =（1）若M 为PA 中点，求证：//AC 平面MDE ；（2）求直线PB 与直线CD 所成角的大小；（3）设平面PAD ⋂平面EBC l =，试判断l 与平面ABCD 能否垂直？并证明你的结论.【答案】（1）证明见解析（2）π3（3）能垂直，证明见解析【解析】【分析】（1）先证明MN AC ∥，再利用线面垂直的判定定理即可证明；（2）利用线线平行可得PBA ∠是直线PB 与直线CD 所成角，利用面面垂直可得PD AB ⊥，结合已知条件可得PA =，利用线面垂直可得AB PA ⊥，可得出tan PBA ∠的值，即可求解.（3）根据题意可得EC l ∥，利用平行的传递性，可证明l ⊥平面ABCD .【小问1详解】连结PC ，交DE 于N ，连接MN ，∵PDCE 为矩形，∴N 为PC 的中点，在PAC 中，M ，N 分别为PA ，PC 的中点，∴MN AC ∥，因为MN ⊂面MDE ，AC ⊄面MDE ，所以AC ∥平面MDE .【小问2详解】∵90BAD ADC ∠=∠=︒，∴AB CD ∥，∴PBA ∠是直线PB 与直线CD 所成角.∵PDCE 为矩形，∴PD CD ⊥，∵平面PDCE ⊥平面ABCD ，又PD ⊂平面PDCE ，平面PDCE ⋂平面ABCD CD =，∴PD ⊥平面ABC ，∵,AD AB ⊂平面ABCD ，∴PD AD ⊥，PD AB ⊥，在Rt PDA 中，∵1AD =，PD =PA =，∵90BAD ∠=︒，∴AB AD ⊥，又∵PD AB ⊥，=PD AD D ⋂，PD ⊂平面PAD ，AD ⊂平面PAD ，∴AB ⊥平面PAD ，∵PA ⊂平面PAD ，∴AB PA ⊥，在Rt PAB △中，∵1AB =，∴tan PA PBA AB ∠==∴π3PBA ∠=，从而直线PB 与直线CD 所成的角为π3；【小问3详解】l 与平面ABCD 垂直.证明如下：∵PDCE 为矩形，∴EC PD ∥，∵PD ⊂平面PAD ，EC ⊄平面PAD ，∴EC ∥平面PAD ，EC ⊂平面EBC ，∵平面PAD ⋂平面EBC l =，∴EC l ∥，则∥l PD ，由（2）可知PD ⊥平面ABCD ，∴l ⊥平面ABCD .18.如图，平行六面体1111ABCD A B C D -的所有棱长均为，底面ABCD 为正方形，11π3A AB A AD ∠=∠=，点E 为1BB 的中点，点F 为1CC 的中点，动点P 在平面ABCD 内．（1）若O 为AC 中点，求证：1A O AO ⊥；（2）若//FP 平面1D AE ，求线段CP 长度的最小值．【答案】（1）证明见解析（2）5【解析】【分析】（1）由条件先求1AD AA ⋅ ，1AB AA ⋅ ，AD AB ⋅ ，再证明10AO AO ⋅= ，由此完成证明；（2）建立空间直角坐标系，设(),,0P m n ，求平面1D AE 的法向量和直线FP 的方向向量，由条件列方程确定,m n 的关系，再求CP 的最小值即可.【小问1详解】由已知1AB A A AD ===1π3A AD ∠=，1π3A AB ∠=，π2BAD ∠=，所以11π122cos 232AD AA ⋅=⨯⨯⨯= ，11π122cos 232AB AA ⋅=⨯⨯⨯= ，0AD AB ⋅= ，因为O 为AC 中点，所以111222AO AC AB AD ==+ ，又()11111112222A O AO AO AA AO AB AD AA AB AD ⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅=+-⋅+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以111110002244A O AO ⋅=+++--= ，所以1AO AO ⊥ 所以1A O AO⊥【小问2详解】连接1A D ，1A B ，∵12A A AD ==1π3A AD ∠=∴12A D =，∵12A A AB ==，1π3A AB ∠=∴12A B =连接BD ，由正方形的性质可得,,B O D 三点共线，O 为BD 的中点，所以1AO BD ⊥，由第一问1A O AO ⊥，,AO BD ⊂平面ABCD ，AO BD O = ，所以1A O ⊥平面ABCD ，以O 为坐标原点，1,,OA OB OA 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系()1,0,0A 、()0,1,0D -、()10,0,1A 、()0,1,0B 、()1,0,0C -()112,1,1AD AD AA =+=-- 1131,1,222AE AB BE AB AA ⎛⎫=+=+=- ⎪⎝⎭，设平面1D AE 法向量为n ，(),,n x y z =r，则100n AD n AE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，所以203022x y z z x y --+=⎧⎪⎨-++=⎪⎩，∴73022x z -+=，令3x =，则7z =，1y =．∴()3,1,7n =为平面1D AE 的一个法向量，因为点P 在平面ABCD 内，故设点P 的坐标为(),,0m n ，因为()112FP OP OF OP OC CF OP OC AA =-=-+=-- ，所以31,,22FP m n ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭ ，0FP n ⋅= ，则310m n ++=，所以CP ==== ，所以当25m =-时，CP有最小值，最小值为5.19.在空间直角坐标系中，若平面α过点()000,,P x y z ，且平面α的一个法向量为 =s s ，则平面α的方程为()()()0000a x x b y y z z z -+-+-=，该方程称为平面α的点法式方程，整理后为0ax by cz t +++=（其中000t ax by cz =---），该方程称为平面α的一般式方程.如图，在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是平行四边形，BC ，BD ，1BC 两两垂直，1AD =，BD =，直线1CC 与平面ABCD 所成的角为π4，以B 为坐标原点，BC ，BD ，1BC 的方向分别是x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.（1）求平面11DC D 的一般式方程.（2）求1A 到直线11C D 的距离.（3）在棱1BB 是否存在点M ，使得平面1A DM ⊥平面11C D M ？若存在，求出1MB BB 的值；若不存在，请说明理由.【答案】（10y ++-=（2）2（3）存在，且14MB BB =-【解析】【分析】（1）根据直线1CC 与平面ABCD 所成的角求得1BC ，根据平面的点法式方程求得正确答案.（2）利用等面积法来求得1A 到直线11C D 的距离.（3）设出M 点的坐标，利用面面垂直列方程，化简求得正确答案.【小问1详解】由于11,,,,BC BC BC BD BC BD B BC BD ⊥⊥⋂=⊂平面ABCD ，所以1⊥BC 平面ABCD ，所以1C BC ∠是直线1CC 与平面ABCD 所成的角，所以14πC BC ∠=，所以11BC BC ==.所以()()()()111,0,0,1,1,0,0,1,D C C CD C D =-= ，所以()()()111110,0,11,BD BC C D BC CD =+=+=+-=- ,()11,0,1DD =- ，设平面11DC D 的法向量为(),,n x y z = ，则11100n C D x n DD x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，故可设n = ，D ∈平面11DC D ，则平面11DC D的方程为()(()0100x y z -+⋅-+-=，0y +=.【小问2详解】在Rt BCD △中，π2CBD ∠=，1,2BC BD CD ===，设B 到CD 的距离为h，则1121,222h h ⨯==，由于平行四边形ABCD 和平行四边形1111D C B A 全等，所以1A 到直线11C D 的距离等于设B 到CD 的距离，即1A 到直线11C D 的距离为32.【小问3详解】()11,0,1B -，()11,0,1BB =-，()A -，()()()1111,0,1BA BA AA BA BB =+=+=-+-=- ，即()1A -，而()()1,1,D D -，所以()12,0,1DA =- ，设1,01MB BB λλ=≤≤，则()1,0,BM BB λλλ==- ，即(),0,M λλ-，所以()12,1A M λλ=--，(),DM λλ=-，()11,1D M λλ=--，()11C D =- ，设平面1A DM 的法向量为()111,,u x y z =，则111111200u DA x z u DM x z λλ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=--+=⎪⎩，故可设,u λ= .设平面11C D M 的法向量为()222,,v x y z = ，则()()112212220110v C D x v D M x z λλ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+-=⎪⎩，故可设)v λ=-- ，若平面1A DM ⊥平面11C D M ，则0u v ⋅= ，即()()23116830λλλλλλ-+-+=+-=，解得4λ=-，负根舍去，所以存在符合题意的点M，且14MB BB =-.。
2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学高二上学期期中考试数学试卷(含答案)
2024-2025学年湖南省长沙市长郡中学高二上学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线x+y−12=0的倾斜角是( )A. π4B. π2C. 3π4D. π32.已知点B是点A(3,4,5)在坐标平面Oxy内的射影，则|OB|等于A. 5B. 34C. 41D. 523.长轴长是短轴长的3倍，且经过点P(3,0)的椭圆的标准方程为A. x29+y2=1 B. x281+y29=1C. x29+y2=1或y281+x29=1 D. y29+x2=1或x281+y29=14.已知方程x22+m −y2m+1=1表示双曲线，则m的取值范围为A. (−2,−1)B. (−∞,−2)∪(−1,+∞)C. (1,2)D. (−∞,1)∪(2,+∞)5.在正四棱锥P−ABCD中，PA=4,AB=2,E是棱PD的中点，则异面直线AE与PC所成角的余弦值是( )A. 612B. 68C. 38D. 56246.已知椭圆C:x29+y25=1的右焦点为F,P是椭圆上任意一点，点A(0,23)，则▵APF的周长的最大值为A. 9+21B. 14C. 7+23+5D. 15+37.已知A(−3,0),B(0,3)，从点P(0,2)射出的光线经x轴反射到直线AB上，又经过直线AB反射到P点，则光线所经过的路程为A. 210B. 6C. 26D. 268.已知A,B两点的坐标分别是(−1,0),(1,0)，直线AM,BM相交于点M，且直线AM的斜率与直线BM的斜率的差是2，则点M的轨迹方程为A. y=−x2+1(x≠±1)B. y=x2+1(x≠±1)C. x=−y2+1(y≠±1)D. x=y2+1(y≠±1)二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知A(−3,−4),B(6,3)两点到直线l:ax+y+1=0的距离相等，则a的值可取A. −13B. 13C. −79D. 7910.已知双曲线C:x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的左､右焦点分别为F1､F2，过点F1的直线与C的左支相交于P,Q两点，若PQ⊥PF2，且4|PQ|=3|PF2|，则( )A. |PQ|=4aB. 3PF1=PQC. 双曲线C的渐近线方程为y=±223x D. 直线PQ的斜率为411.已知椭圆C1:x29+y25=1，将C1绕原点O沿逆时针方向旋转π2得到椭圆C2，将C1上所有点的横坐标、纵坐标分别伸长到原来的2倍得到椭圆C3，动点P,Q在C1上，且直线PQ的斜率为−12，则A. 顺次连接C1,C2的四个焦点构成一个正方形B. C3的面积为C1的4倍C. C3的方程为4x29+4y25=1D. 线段PQ的中点R始终在直线y=109x上三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
山东省济南市山东省实验中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题(含答案)
山东省实验中学2024～2025学年第一学期期中高二数学试题 2024.11（选择性必修—检测）说明：本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第4页.试题答案请用2B 铅笔或0.5mm 签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效。
考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（共58分）一、单选题（本题包括8小题，每小题5分，共40分。
每小题只有一个选项符合题意）1.已知空间向量，，，若，，共面，则实数（ ）A.1B.2C.3D.42.“”是“直线与直线平行”的（ ）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.给出下列说法，其中不正确的是（）A.若，则，与空间中其它任何向量都不能构成空间的一个基底向量B.若，则点是线段的中点C.若，则，，，四点共面D.若平面，的法向量分别为，，且，则3.若三条直线，，不能围成三角形，则实数的取值最多有（ ）A.2个B.3个C.4个D.5个4.实数，满足，则的最小值为（ ）A. B.7C. D.36.若直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围是（ ）A.()1,2,0a = ()0,1,1b =- ()2,3,c m = a b cm =1m =-()1:2310l mx m y +++=2:30l x my ++=a b ∥a b c2PM PA PB =+M AB 2OA OB OC OD =+-A B C D αβ()12,1,1n =- ()21,,1n t =-αβ⊥3t =1:43l x y +=2:0l x y +=3:2l x my -=m x y 2222x y x y +=-3x y -+3+:20l kx y --=:1C x =-k k >5k <≤k <<1k <≤7.在三棱锥中，为的重心，，，，，，若交平面于点，且，则的最小值为（ ）A.B.C.1D.8.已知椭圆的左、右焦点分别为，，点在上且位于第一象限，圆与线段的延长线，线段以及轴均相切，的内切圆为圆.若圆与圆外切，且圆与圆的面积之比为4，则的离心率为（ ）A.C.二.多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分.）9.下列说法正确的是（）A.若直线的倾斜角越大，则直线的斜率就越大B.圆与直线必有两个交点C.在轴、轴上的截距分别为，的直线方程为D.设，，若直线与线段有交点，则实数的取值范围是10.已知椭圆的离心率为，长轴长为6，，分别是椭圆的左、右焦点，是一个定点，是椭圆上的动点，则下列说法正确的是（ ）A.焦距为2B.椭圆的标准方程为P ABC -G ABC △PD PA λ= PE PB μ= 12PF PC =λ()0,1μ∈PG DEF M 12PM PG =λμ+122343()2222:10x y C a b a b+=>>1F 2F P C 1O 1F P 2PF x 12PF F △2O 1O 2O 1O 2O C 123522:4O x y +=10mx y m +--=x y a b 1x y a b+=()2,2A -()1,1B :10l ax y ++=AB a (]322⎡⎫-∞-+∞⎪⎢⎣⎭，，()2222:10x y E a b a b +=>>23F F '()1,1A P E E 22195x y +=C.D.的最大值为11.立体几何中有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体，半正多面体因其最早由阿基米德研究发现，故也被称作阿基米德体.如图，这是一个棱数24，棱长为的半正多面体，它所有顶点都在同一个正方体的表面上，可以看成是由一个正方体截去八个一样的四面体所得的，下列结论正确的有（）A.平面B.，，，四点共面C.点到平面的距离为D.若为线段上的动点，则直线与直线所成角的余弦值范围为第Ⅱ卷（非选择题，共92分）三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分，其中14题第一空2分，第二空3分.）12.已知直线的倾斜角，则直线的斜率的取值范围为______.13.如图，已知点，，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是______.14.杭州第19届亚运会的主会场——杭州奥体中心体育场，又称“大莲花”（如图1所示）.会场造型取意于杭州丝绸纹理与纺织体系，建筑体态源于钱塘江水的动态，其简笔画如图2所示.一同学初学简笔画，先AF '=PA PF +6AG ⊥BCDG A F C D B ACD E BC DE AF 12⎡⎢⎣l 2,43ππθ⎛⎫∈⎪⎝⎭l ()8,0A ()0,4B -()3,0P AB OB OB P画了一个椭圆与圆弧的线稿，如图3所示.若椭圆的方程为，下顶点为，为坐标原点，为圆上任意一点，满足，则点的坐标为______；若为椭圆上一动点，当取最大值时，点恰好有两个，则的取值范围为______.图1 图2 图3四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15.（13分）已知两直线和的交点为.（1）直线过点且与直线平行，求直线的一般式方程；（2）圆过点且与相切于点，求圆的一般方程.16.（15分）已知椭圆，且过点.（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为的直线与椭圆交于，两点，且点在第一象限，点，分别为椭圆的右顶点和上顶点，求四边形面积的最大值.17.（15分）在梯形中，，，，为的中点，线段与交于点（如图1）.将沿折起到位置，使得（如图2）.图1 图2（1）求证：平面平面；（2）线段上是否存在点，使得与平面的值；若不存在，请说明理由.E()222210x ya ba b+=>>10,2A⎛⎫-⎪⎝⎭O P C2PO PA=C Q QC Q a1:20l x y++=2:3210l x y-+=Pl P310x y++=lC()1,01l P C()2222:10x yC a ba b+=>>⎛⎝C12l C M N M A B CAMBN SABCD AB CD∥3BADπ∠=224AB AD CD===P AB AC DP O ACD△AC ACD'△D O OP'⊥D AC'⊥ABCPD'Q CQ BCD'PQPD'18.（17分）已知直线，半径为2的圆与相切，圆心在轴上且在直线的右上方.（1）求圆的方程；（2）直线与圆交于不同的，两点，且，求直线的斜率；（3）过点的直线与圆交于，两点（在轴上方），问在轴正半轴上是否存在定点，使得轴平分？若存在，请求出点的坐标：若不存在，请说明理由.19.（17分）已知点，是平面内不同的两点，若点满足（，且），则点的轨迹是以有序点对为“稳点”的-阿波罗尼斯圆.若点满足，则点的轨迹是以为“稳点”的-卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系中，，.（1）若以为“稳点”的-阿波罗尼斯圆的方程为，求，，的值；（2）在（1）的条件下，若点在以为“稳点”的5-卡西尼卵形线上，求（为原点）的取值范围；（3）卡西尼卵形线是中心对称图形，且只有1个对称中心，若，，求证：不存在实数，，使得以—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称.:40l x ++=C l C x l C 2y kx =-C M N 120MCN ︒∠=2y kx =-()0,1M C A B A x y N y ANB ∠N A B P PAPBλ=0λ>1λ≠P (),A B λQ ()0QA QB μμ⋅=>Q (),A B μ()2,0A -()(),2B a b a ≠-(),A B λ221240x y x +-+=a b λQ (),A B OQ O 0b =λ=a μ(),A B μ山东省实验中学2024～2025学年第一学期期中高二数学试题参考答案 2024.11选择题1234567891011ABCBDDCCBDBCDABD填空题12..13.，.解答题15.【答案】（1）（2）.【详解】（1）直线与直线平行，故设直线为，……1分联立方程组，解得.直线和的交点.……3分又直线过点，则，解得，即直线的方程为.……5分（2）设所求圆的标准方程为，的斜率为，故直线的斜率为1，由题意可得，……8分解得，……11分故所求圆的方程为.(()1,-∞-+∞ ,20,3⎛⎫-⎪⎝⎭a >340x y ++=221140333x y x y +++-=l 310x y ++=l 130x y C ++=203210x y x y ++=⎧⎨-+=⎩11x y =-⎧⎨=-⎩∴1:20l x y ++=2:3210l x y -+=()1,1P --l P 1130C --+=14C =l 340x y ++=()()222x a y b r -+-=1:20l x y ++=1-CP ()()()()2222221110111a b r a b r b a ⎧--+--=⎪⎪-+-=⎨⎪+⎪=+⎩216162518a b r ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪⎪=⎪⎩2211256618x y ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭化为一般式：.……13分16.【答案】（1）（2）【详解】（1）由椭圆，解得，……2分由椭圆过点，得，联立解得，，……4分所以椭圆的方程为.……5分（2）由题意可设，点在第一象限，，……6分设，，点，到直线的距离分别为，，由，消可得，，，……8分10分，，直线的一般式方程：，，，，……12分14分当时，有最大值为……15分17.【答案】（1）证明见解析（2）存在，【详解】（1）证明：在梯形中，，22114333x y x y+++-=2214xy+=2222:1x yCa b+==2a b= C⎛⎝221314a b+=2a=1b=C2214xy+=1:2l y x m=+M11m∴-<<()11,M x y()22,N x y A B l1d2d221412xyy x m⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩y222220x mx m++-=122x x m∴+=-21222x x m=-MN∴===()2,0A()0,1B l220x y m-+=1d∴=2d=12d d∴+=()121122AMN BMNS S S MN d d∴=+=⋅+==△△m=S13ABCD AB CD∥，，为的中点，，，，……1分是正三角形，四边形为菱形，，，……3分，，又，，平面，平面，……5分平面，平面平面.……6分（2）存在，，理由如下：……8分平面，，，，两两互相垂直，如图，以点为坐标原点，，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系.则，，，，，，设平面的一个法向量为，则，即，令，则，，，……11分设，，，， (12)分设与平面所成角为，则，即，，解得，224AB AD CD ===3BAD π∠=P AB CD PB ∴∥CD PB =BC DP =ADP ∴△DPBC AC BC ∴⊥AC DP ⊥AC D O ⊥' D O OP '⊥AC OP O = AC OP ⊂ABC D O ∴'⊥ABC D O ⊂' D AC '∴D AC '⊥ABC 13PQ PD '=D O ⊥' BAC OP AC ⊥OA ∴OP OD 'O OA OP OD 'x y z ()C ()2,0B ()0,0,1D '()0,1,0P )2,1BD ∴'=- )CD '=CBD '(),,n x y z =00n BD n CD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩'' 200y z z -+=+=⎪⎩1x =0y =z =(1,0,n ∴=()01PQ PD λλ'=≤≤)CP =()0,1,1PD =-'),CQ CP PQ CP PD λλλ∴=+=+=- CQ BCD 'θsin cos ,CQ n CQ n CQ n θ⋅====23720λλ-+=01λ≤≤ 13λ=线段上存在点，且，使得与平面……15分18.【答案】（1）（2）（3）【详解】（1）设圆心，则，……2分解得或（舍），故圆的方程为.……4分（2）由题意可知圆心到直线的距离为，……6分，解得.……8分（3）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，，，由得，……10分，……12分若轴平分，则，即，即，即，即，即，……14分当时，上式恒成立，即；……15分当直线的斜率不存在或斜率为0时，易知满足题意；综上，当点的坐标为时，轴平分.……17分19.【答案】（1），，（2）（3）证明见解析【详解】（1）因为以为“稳点”的—阿波罗尼斯圆的方程为，设是该圆上任意一点，则，……1分所以，……3分∴PD 'Q 13PQ PD '=CQ BCD '224x y +=k =()0,4N ()(),04C a a >-422a +=0a =8a =-C 224x y +=C 2y kx =-2sin 301︒=1=k =AB AB ()10y kx k =+≠()()0,0N t t >()11,A x y ()22,B x y 224,1x y y kx ⎧+=⎨=+⎩()221230k x kx ++-=12221k x x k -∴+=+12231x x k -=+y ANB ∠AN BN k k =-12120y t y t x x --+=1212110kx t kx tx x +-+-+=()()1212210kx x t x x +-+=()()22126011t k k k k -⨯--+=++40k kt -+=4t =()0,4N AB ()0,4N N ()0,4y ANB ∠2a =0b =λ=[]1,3(),A B λ221240x y x +-+=(),P x y 22124x y x +=-()()()()22222222222222244162212224PA x y x y x x x y ax by a b a x by a bx a y b PB+++++===+--++--+-+-+-因为为常数，所以，，且，……5分所以，，.……6分（2）解：由（1）知，，设，由，所以，……7分，整理得，即，所以，……9分，……10分由，得，即的取值范围是.……12分（3）证明：若，则以—阿波罗尼斯圆的方程为，整理得，该圆关于点对称.……15分由点，关于点对称及，可得—卡西尼卵形线关于点对称，令，解得，与矛盾，所以不存在实数，，使得以—阿波罗尼斯圆与—卡西尼卵形线都关于同一个点对称……17分22PA PB2λ2240a b -+=0b =2a ≠-2a =0b =λ==()2,0A -()2,0B (),Q x y 5QA QB ⋅=5=()222242516x y x ++=+2240y x =--≥42890x x --≤()()22190x x +-≤209x ≤≤OQ ==209x ≤≤13OQ ≤≤OQ []1,30b =(),A B ()()222222x y x a y ⎡⎤++=-+⎣⎦()22244240x y a x a +-++-=()22,0a +()2,0A -(),0B a 2,02a -⎛⎫⎪⎝⎭QA QB μ⋅=μ2,02a -⎛⎫⎪⎝⎭2222a a -+=2a =-2a ≠=-a μ(),A B μ。
2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市高二上学期11月期中考试数学检测试题(含解析)
2024-2025学年黑龙江省哈尔滨市高二上学期11月期中考试数学检测试题一、单选题（本大题共10小题）1．直三棱柱中，若，则（ ）111ABC A B C -1,,CA a CB b CC c === 1A B =A ．B ．a b c+-r r ra b c-+r r r C ．D ．a b c -++ a b c-+- 2．已知点，，若直线的斜率为，则（ ）()1,0A (),B n m AB 21n m -=A ．B ．C ．D ．22-1212-3．已知，则（ ）()()1,5,1,3,2,5a b =-=-a b -= A ．B ．C ．D ．()4,3,6--()4,3,6--()4,3,6-()4,3,64．已知焦点在轴上的椭圆的焦距为6，则实数等于（ ）x 2213x y m +=mA ．B ．C ．12D ．3421412-5．已知正方体的棱长为1，则（ ）1111ABCD A B C D -A ．B ．C ．D ．11ACB D ⊥1AC BC⊥1B D BC⊥1B D AC^6．已知圆，圆，则这两圆的位置关系为（ 22:(2)(4)25E x y -+-=22:(2)(2)1F x y -+-=）A ．内含B ．相切C ．相交D ．外离7．设直线的方向向量为，平面的法向量为，若，则（ ）l a αb0a b ⋅= A ．B ．C ．D ．或//l αl α⊂l α⊥l α⊂//l α8．与平行，则（ ）1:10l ax y -+=2:2410l x y +-==aA ．B ．C ．D ．21212-2-9．经过点，斜率为的直线方程为（ ）(3,1)12A ．B ．210x y --=250x y +-=C ．D ．250x y --=270x y +-=10．已知，则该圆的圆心坐标和半径分别为（ ）221:202C x y x y ++-+=A ．，B ．，1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭()1,2-C ．，D ．，1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,2-二、多选题（本大题共2小题）11．下列结论错误的是（ ）A ．过点，的直线的倾斜角为()1,3A ()3,1B -30︒B ．若直线与直线平行，则2360x y -+=20ax y ++=23a =-C ．直线与直线之间的距离是240x y +-=2410x y ++=D ．已知，，点在轴上，则的最小值是5()2,3A ()1,1B -P x PA PB+12．以A （1，1），B (3，-5)两点的线段为直径的圆，则下列结论正确的是（）A ．圆心的坐标为（2，2）B ．圆心的坐标为（2，-2）C ．圆心的坐标为（-2，2）D ．圆的方程是()222)210x y ++-=（E ．圆的方程是22(2)(2)10x y -++=三、填空题（本大题共4小题）13．已知平面的法向量是，平面的法向量是，若，则的α()2,3,1-β()4,,2λ-//αβλ值是.14．直线与圆的位置关系是.34120x y ++=()()22119-++=x y 15．三条直线与相交于一点，则的值为.280,4310ax y x y +-=+=210x y -=a16．在空间直角坐标系中，直线的一个方向向量为，平面的一个法向l ()1,0,3m =-α量为，则直线与平面所成的角为.()2n =l α四、解答题（本大题共3小题）17．求满足下列条件的直线方程（要求把直线的方程化为一般式）：(1)已知，，，求的边上的中线所在的直线方程.(1,2)A (1,4)B -(5,2)C ABC V AB (2)直线经过点，倾斜角为直线的倾斜角的2倍，求的方程.l (2,1)B --12y x=l 18．如图，在棱长为2的正方体中，分别是的中点，G 在棱CD 上，且,E F 1,DD DB ，H 是的中点．建立适当的空间直角坐标系，解决下列问题：13CG CD=1C G(1)求证：；1EF B C ⊥(2)求异面直线EF 与所成角的余弦值.1C G 19．已知圆C 经过坐标原点O 和点（4，0），且圆心在x 轴上(1)求圆C 的方程；(2)已知直线l ：34110x y +-=与圆C 相交于A 、B 两点，求所得弦长的值．AB答案1．【正确答案】D【详解】.()11111A A B B a b B A B cCC C CB =+=-+=-+--+ 故选：D ．2．【正确答案】C【详解】若直线的斜率为，则，AB 221mn =-所以，211n m -=故选：C.3．【正确答案】C【详解】向量，则.()()1,5,1,3,2,5a b =-=- (4,3,6)a b -=- 故选：C4．【正确答案】C【详解】由题意知，，3,3m a b c >==又，所以，222a b c =+3912m =+=即实数的值为12.m 故选：C5．【正确答案】D 【详解】以为原点，为单位正交基底建立空间直角坐标系，D {}1,,DA DC DD 则，，，，，，()0,0,0D A (1,0,0)1(1,0,1)A ()1,1,0B ()11,1,1B ()0,1,0C 所以，，，．()11,1,1A C =-- ()11,1,1B D =--- ()1,0,0BC =- ()1,1,0AC =-因为，所以．111111,1,1,0AC B D AC BC BC B D AC B D ⋅=⋅==⋅=⋅ 1B D AC ^故选：D.6．【正确答案】A【详解】圆的圆心为，半径；22:(2)(4)25E x y -+-=E (2,4)15r =圆的圆心为，半径，22:(2)(2)1F x y -+-=F (2,2)11r =，故，所以两圆内含；2=12EF r r <-故选：A7．【正确答案】D【详解】∵直线的方向向量为，平面的法向量为且，即，l a αb0a b ⋅= a b ⊥ ∴或.l α⊂//l α故选：D8．【正确答案】B【详解】由与平行，得，所以.1:10l ax y -+=2:2410l x y +-=11241a -=≠-12a =-故选：B9．【正确答案】A【详解】经过点，斜率为的直线方程为，即.(3,1)1211(3)2y x -=-210x y --=故选：A.10．【正确答案】A【详解】的标准方程为，故所求分别为221:202C x y x y ++-+= ()2213124x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭，1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭故选：A.11．【正确答案】AC 【详解】对于A ，，即，故A 错误；131tan 312AB k α-===--30α≠︒对于B ，直线与直线平行，所以，解得，故B 2360x y -+=20ax y ++=123a =-23a =-正确；对于C ，直线与直线（即）之间的距离为240x y +-=2410x y ++=1202x y ++=C 错误；d 对于D ，已知，，点在轴上，如图()2,3A ()1,1B -P x取关于轴的对称点，连接交轴于点，此时()1,1B -x ()1,1B '--AB 'x P，5=所以的最小值是5，故D 正确；PA PB+故选：AC.12．【正确答案】BE 【详解】AB 的中点坐标为，则圆心的坐标为()2,2-()2,2-=r =所以圆的方程是22(2)(2)10x y -++=故选：BE13．【正确答案】6【详解】∵，∴的法向量与的法向量也互相平行.//αβαβ∴，∴.23142λ-==-6λ=故6.14．【正确答案】相交【详解】圆的圆心为，半径为，()()22119x y -++=()1,1-3因为圆心到直线，()1,1-34120x y ++=1135<所以直线与圆相交.34120x y ++=()()22119x y -++=故相交15．【正确答案】3【详解】由，即三条直线交于，431042102x y x x y y +==⎧⎧⇒⎨⎨-==-⎩⎩(4,2)-代入，有.280ax y +-=44803a a --=⇒=故316．【正确答案】π6【分析】应用向量夹角的坐标表示求线面角的正弦值，即可得其大小.【详解】设直线与平面所成的角为，l απ20θθ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭则，所以.1sin cos ,2m n m n m n θ⋅====π6θ=故π617．【正确答案】(1)x +5y ﹣15＝0(2)4x ﹣3y +5＝0【详解】（1）因为，则的中点，(1,2),(1,4)A B -AB (0,3)D 因为的边上的中线过点，ABC V AB (5,2),(0,3)C D 所以的方程为，即，CD 233050y x --=--（）5150x y +-=故的边上的中线所在的直线方程为；ABC V AB 5150x y +-=（2）设直线的倾斜角为， 则，则所求直线的倾斜角为，12y x=απ0,4α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭2α因为，所以，1tan 2α=22tan 4tan 21tan 3ααα==-又直线经过点，故所求直线方程为，即4x ﹣3y+5＝0；(2,1)B --4123y x +=+（）18．【正确答案】(1)证明见解析【详解】（1）证明：如图，以D 为原点，以射线DA 、DC 、分别为x 轴、y 轴、1DD z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系，D xyz -则，，，，，()0,0,0D E (0,0,1)()1,1,0F ()0,2,0C ()10,2,2C ，，()12,2,2B 40,,03G ⎛⎫ ⎪⎝⎭所以，，()1,1,1EF =- ()12,0,2B C =--所以，()()()()()11,1,12,0,21210120EF B C ⋅=-⋅--=⨯-+⨯+-⨯-=所以，故．1EF B C ⊥1EF B C ⊥（2）因为，所以120,,23C G ⎛⎫=-- ⎪⎝⎭1C G =因为，EF =()12241,1,10,,22333EF C G ⎛⎫⋅=-⋅--=-+=⎪⎝⎭所以．1114cos ,3EF C G EF C G EF C G ⋅=====19．【正确答案】(1)()2224x y -+=(2)【分析】（1）求出圆心和半径，写出圆的方程；（2）求出圆心到直线距离，进而利用垂径定理求出弦长.(1)由题意可得，圆心为(2，0)，半径为2．则圆的方程为()2224x y -+=；(2)由（1）可知：圆C 半径为2r =，设圆心（2，0）到l 的距离为d ，则61115d -==，由垂径定理得：AB ==。
江苏省连云港市灌云县第一中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题(含答案)
灌云县第一中学高二年级上学期期中考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1.已知数列2， 6，2 2， 10，⋯， 2n +2，⋯，则 46是这个数列的( )A. 第20项B. 第21项C. 第22项D. 第19项2.已知经过点A (1,2)，B (m ,4)的直线l 的斜率为2，则m 的值为A. ―1B. 0C. 1D. 23.等比数列{a n }中，a 2=4，a 3⋅a 4=128，则a 5的值为( )A. 8B. 16C. 32D. 644.若双曲线经过点(― 3,6)，且它的两条渐近线方程是y =±3x ，则此双曲线的离心率是( )A. 103 B. 113 C. 2 33 D. 1435.如图的形状出现在南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法⋅商功》中，后人称为“三角垛”.“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球⋯⋯，设各层球数构成一个数列{a n }，则a 21=( )A. 58B. 225C. 210D. 2316.已知圆C 的圆心在直线x ―y ―5=0上，并且圆C 经过圆x 2+y 2+6x ―4=0与圆x 2+y 2+ 6y ―28=0 的交点，则圆C 的圆心是( )A. (92,―12)B. (12,―92)C. (1,―4)D. (4,―1)7.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，a 2=2，a n +1+a n =3n ，则( )A. S 19=300B. n 为奇数时，S n =3n 2+14C. S 31=720D. a 4=68.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)上有一点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为椭圆的右焦点，且AF ⊥BF ，∠ABF =π12，则椭圆的离心率为( )A. 63 B. 12 C. 33 D.22二、多选题：本题共3小题，共18分。
重庆市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷含答案
重庆市2024—2025学年度上期高2026级半期考试数学试题（答案在最后）（满分150分，考试时间120分钟）注意事项1.答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知直线l 经过点()3,1，()2,0，则直线l 的倾斜角为（）A.π4 B.π3C.2π3 D.3π4【答案】A 【解析】【分析】由两点坐标结合斜率公式直接求出斜率，再求出倾斜角，然后由点斜式写出直线方程.【详解】设直线l 的倾斜角为θ.直线l 经过点()3,1，()2,0，所以01123l k -==-，所以tan 1θ=,又0πθ≤<，所以π4θ=.故选：A.2.若直线210x ay ++=与直线220x y +-=互相垂直，则实数a 的值是（）A.1 B.－1 C.4D.－4【答案】B 【解析】【分析】直接利用两直线垂直时系数的关系求解即可.【详解】由题可知，220a +=，解得1a =-.故选：B3.如图，在空间四边形ABCD 中，设,E F 分别是BC ，CD 的中点，则1()2AD DB DC →→→++=（）A.AD →B.FA →C.AE →D.EF→【答案】C 【解析】【分析】根据平面向量的平行四边形法则得出2DB DC DE →→→+=，再由平面向量的三角形加法运算法则即可得出结果.【详解】解：由题可知，,E F 分别是BC ，CD 的中点，根据平面向量的平行四边形法则，可得2DB DC DE →→→+=，再由平面向量的三角形加法法则，得出：11()222AD DB DC AD DE AD DE AE →→→→→→→→++=+⨯=+=.故选：C.4.平面内点P 到()13,0F -、()23,0F 的距离之和是10，则动点P 的轨迹方程是（）A.221259x y += B.2212516x y +=C.221259y x += D.2212516y x +=【答案】B 【解析】【分析】求出,,a b c 即可得出动点P 的轨迹方程.【详解】由题意，平面内点P 到()13,0F -、()23,0F 的距离之和是10，∴动点P 的轨迹E 为椭圆,焦点在轴上,3,210c a ==,解得：5a =，∴22216b a c =-=，∴轨迹方程为:2212516x y +=，故选:B.5.已如12,F F 是椭圆2212449x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一点，1234PF PF =，则12PF F 的面积等于（）A.24B.26C.D.【答案】A 【解析】【分析】由定义可得12214PF PF a +==，结合条件求出12,PF PF 即可求出面积.【详解】由椭圆方程可得焦点在y 轴上，7a =，b =，5c ==，由椭圆定义可得12214PF PF a +==，又1234PF PF =，则可解得128,6PF PF ==，12210F F c == ，满足2221212PF PF F F +=，则12PF PF ⊥，121212186242PF F PF P S F ⋅=⨯⨯∴==.故选：A.6.我国汉代初年成书的《淮南子毕术》中记载：“取大镜高悬，置水盆于下，则是四邻矣.”这是我国古代人民利用平面镜反射原理的首个实例，体现了传统文化中的数学智慧.已知从点()5,3-发出的一束光线，经x 轴反射后，反射光线恰好平分圆：()()22115x y -+-=的圆周，则反射光线所在的直线方程为（）A.2310x y -+=B.2310x y --=C.3210x y -+=D.3210x y --=【答案】A 【解析】【分析】求得点()5,3-关于x 轴的对称点的坐标与圆的圆心坐标，由两点式可求反射光线所在直线方程.【详解】由()()22115x y -+-=，可得圆心(1,1)C ，由反射定律可知，点()5,3-关于x 轴的对称点()5,3--在反射光线上，又反射光线恰好平分圆：()()22115x y -+-=的圆周，所以反射光线过(1,1)C ，由直线的两点式方程可得反射光线所在直线方程为113151y x --=----，即2310x y -+=.故选：A.7.点P 是圆C ：()()22332x y -+-=上一动点，过点P 向圆O ：221x y +=作两条切线，切点分别为A ，B ，则四边形PAOB 面积的最大值为（）A.B. C.D.【答案】D 【解析】【分析】将四边形PAOB 的面积表示为S =||PO 的最大值即可.【详解】由圆()()22:332C x y -+-=为，可得圆心为(3,3)，由22:1O x y +=，可得圆心(0,0)O ，半径为1，连接PO ，则在PAO 中，||PA ==，所以四边形PAOB 的面积122||1||2PAO S S PA PA ==⨯⨯⨯== 所以||PO 最大时，四边形PAOB 面积的最大值，因为||CO ==，所以max ||||PO CO ==，所以四边形PAOB =故选：D.8.设A ，B 分别为椭圆C ：22221x y a b+=（0a b >>）的左、右顶点，M 是C 上一点，且::3:5:7MA MB AB =，则C 的离心率为（）A.13B.182C.11D.143【答案】D 【解析】【分析】由题意，根据余弦定理和同角的商数关系可得tan 11MA MAB k ∠==，tan 13MB MBA k ∠==-，设()00,M x y ，则22MA MBb k k a ⋅=-，得2245143b a =，结合离心率的概念即可求解.【详解】在MAB △中，由22237511cos 23714MAB +-∠==⨯⨯，得14sin MAB ∠=，所以tan 11MA MAB k ∠==，由22257313cos 25714MBA +-∠==⨯⨯，得sin MBA ∠=，所以tan 13MB MBA k ∠==-，设()00,M x y ，则200022000MA MBy y y k k x a x a x a⋅=⋅=+--，又2200221x y a b +=，∴()2222002b y x a a =--，∴22MA MB b k k a⋅=-，又451113143MA MBk k ⎛⎫⋅=⨯-=- ⎪ ⎪⎝⎭，∴2245143b a =，∴143e ==.故选：D.【点睛】关键点点睛：关键在于求得22MA MB b k k a ⋅=-，进而得2245143b a =，从而求得离心率，求解离心率问题常常需得到或构造,,a b c 的齐次式求解.二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知椭圆C 的中心为坐标原点，焦点12F F 、在x 轴上，短轴长等于2，焦距为，过焦点1F 作x 轴的垂线交椭圆C 于P 、Q 两点，则下列说法正确的是（）A.椭圆C 的方程为2214x y += B.椭圆C的离心率为2C.1PQ =D.23PF =【答案】ABC 【解析】【分析】求出,,a b c 的值，可判断AB 选项的正误；设点1F为椭圆的左焦点，x =将代入椭圆方程，可求得||PQ 的长，可判断C 选项的正误；利用椭圆的定义可判断D 选项的正误.【详解】对于椭圆C，由已知可得222b c =⎧⎪⎨=⎪⎩1,2b c a ===，.对于A 选项，因为椭圆的焦点在x 轴上，故椭圆的方程为2214xy +=，故A 对；对于B选项，椭圆的离心率为2c e a ==，故B 正确；对于C 选项，设点1F为椭圆的左焦点，易知点1(F ，将x =代入椭圆方程可得12y =±，故||1PQ =，故C 正确；对于D 选项，111|||22|P PQ F ==，故212|17|2||42a PF PF =-=-=，故D 错误.故选：ABC.10.已知直线l ：10kx y -+=和圆M ：()()22124x y -+-=，则下列选项正确的是（）A.直线l 恒过点()0,1B.圆M 与圆C ：221x y +=有三条公切线C.直线l 被圆M 截得的最短弦长为D.圆M 上恰有4个点到直线l 的距离等于32，则474733k ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭【答案】ACD 【解析】【分析】根据定点的特征即可求解可判断A ，根据两圆的位置关系即可求解可判断B ，根据垂直时即可结合圆的弦长公式求解可判断C12<，求解即可判断D.【详解】对于A ，由直线l 的方程10kx y -+=，可知直线l 恒经过定点(0,1)P ，故A 正确；对于B ，由圆()()22124x y -+-=的方程，可得圆心(1,2)M ，半径2r =，由221x y +=，可得圆心(0,0)C ，半径为1，又||MC ==2121-<<+，所以圆M 与圆221x y +=相交，圆M 与圆C 有两条公切线，故B 错误；对于C ，由||PM =，根据圆的性质，可得当直线l 和直线PM 垂直时，此时截得的弦长最短，最短弦长为=，故C 正确；对于D ，当圆M 上恰有4个点到直线l 的距离等于32，则圆心M 到直线l ：10kx y -+=的距离小于12，12<，整理得23830k k -+<，解得4433k +<<，故D 正确.故选：ACD.11.如图，点P 是棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -的表面上一个动点，则（）A.当P 在平面11BCC B 上运动时，三棱锥1P AA D -的体积为定值43B.当P 在线段AC 上运动时，1D P 与11A C 所成角的取值范围是ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.若F 是11A B 的中点，当P 在底面ABCD 上运动，且满足//PF 平面11B CD 时，PF 5D.使直线AP 与平面ABCD 所成的角为45°的点P 的轨迹长度为2π42+【答案】AB 【解析】【分析】对A ：由1AA D △的面积不变，点P 到平面11AA D D 的距离不变，求出体积即可；对B ：以D 为原点，建立空间直角坐标系，设(),2,0P x x -，则()1,2,2D P x x =-- ，()112,2,0A C =-，结合向量的夹角公式，可判定B 正确；对C ：设(),,0P m n ，求得平面11CB D 的一个法向量为()1,1,1n =--，得到()2216FP m =-+ C 错误.对D ：由直线AP 与平面ABCD 所成的角为45︒，作PM ⊥平面ABCD ，得到点P 的轨迹，可判定D 正确.【详解】对于A ：1AA D △的面积不变，点P 到平面11AA D D 的距离为正方体棱长，所以三棱锥1P AA D -的体积不变，且1111142223323P AA D AA D V S AB -=⋅=⨯⨯⨯⨯= ，所以A 正确；对于B ：以D 为原点，DA ，DC ，1DD 所在的直线分别为x 轴、y 轴和z 轴，建立空间直角坐标系，可得()12,0,2A ，()0,0,2D ，()10,2,2C ，设(),2,0P x x -，02x ≤≤，则()1,2,2D P x x =-- ，()112,2,0A C =-，设直线1D P 与11A C 所成角为θ，则111111111cos cos ,D P A C D P A C D P A C θ⋅===，因为011x ≤-≤，当10x -=时，可得cos 0θ=，所以π2θ=；当011x <-≤时，1cos 2θ==，由π0,2θ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以ππ32θ≤<，所以异面直线1D P 与11A C 所成角的取值范围是ππ,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦，所以B 正确；对于C ，由()12,2,2B ，()10,0,2D ，()0,2,0C ，()2,1,2F ，设(),,0P m n ，02m ≤≤，02n ≤≤，则()12,0,2CB = ，()10,2,2CD =- ，()2,1,2FP m n =---设平面11CB D 的一个法向量为 =s s ，则11220220n CD b c n CB a c ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 取1a =，可得1b =-，1c =-，所以()1,1,1n =--，因为//PF 平面1B CD ，所以()()2120FP n m n ⋅=---+=，可得1n m =+，所以FP =，当1m =时，等号成立，所以C 错误.对于D ：因为直线AP 与平面ABCD 所成的角为45°，由1AA ⊥平面ABCD ，得直线AP 与1AA 所成的角为45°，若点P 在平面11DCC D 和平面11BCC B 内，因为145B AB ∠=︒，145D AD ∠=︒，故不成立；在平面11ADD A 内，点P 的轨迹是12AD =；在平面11ABB A 内，点P 的轨迹是122AB =；在平面1111D C B A 时，作PM ⊥平面ABCD ，如图所示，因为45PAM ∠=︒，所以PM AM =，又因为PM AB =，所以AM AB =，所以1A P AB =，所以点P 的轨迹是以1A 点为圆心，以2为半径的四分之一圆，所以点P 的轨迹的长度为12π2π4⨯⨯=，综上，点P 的轨迹的总长度为π42+D 错误；故选：AB.【点睛】方法点拨：对于立体几何的综合问题的解答方法：（1）立体几何中的动态问题主要包括：空间动点轨迹的判断，求解轨迹的长度及动态角的范围等问题，解决方法一般根据线面平行，线面垂直的判定定理和性质定理，结合圆或圆锥曲线的定义推断出动点的轨迹，有时也可以利用空间向量的坐标运算求出动点的轨迹方程；（2）对于线面位置关系的存在性问题，首先假设存在，然后在该假设条件下，利用线面位置关系的相关定理、性质进行推理论证，寻找假设满足的条件，若满足则肯定假设，若得出矛盾的结论，则否定假设；（3）对于探索性问题用向量法比较容易入手，一般先假设存在，设出空间点的坐标，转化为代数方程是否有解的问题，若有解且满足题意则存在，若有解但不满足题意或无解则不存在.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知空间的量()6,2,1a = ，()2,,3b x =，若()a b a -⊥ ，则x =______.【答案】13【解析】【分析】利用空间向量的坐标表示及数量积公式计算即可.【详解】因为()a b a -⊥ ，所以()0a b a -=，所以20a a b -=，又因为()6,2,1a = ，()2,,3b x = ，所以3641(1223)0x ++-++=，解得13x =.故答案为：13.13.设b 为实数，若直线y x b =+与曲线x =有公共点，则实数b 的取值范围是______.【答案】2⎡⎤-⎣⎦【解析】【分析】曲线x =表示是以原点为圆心，2为半径的半圆，直线y x b =+是一条斜率为1的直线，画出图象，结合图象，即可得出答案.【详解】由x =可得()2240x y x +=≥，即x =表示以原点为圆心，2为半径的半圆，直线y x b =+是一条斜率为1的直线，()2240x y x +=≥与y 轴交于两点分别是()0,2A ，()0,2B -，当点()0,2A 在直线y x b =+上时2b =；当直线y x b =+与()2240x y x +=≥2=，所以b =(舍)或b =-所以直线y x b =+与曲线x =有公共点，实数b满足2b -≤≤.实数b的取值范围为2⎡⎤-⎣⎦.故答案为：2⎡⎤-⎣⎦.14.我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微．”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决．如：若实数,x y 满足228130x y x +-+=，则x y +的最小值为______，______．【答案】①.4-②.13+【解析】【分析】利用直线和圆的位置关系可得x y +的最小值，把转化为点(),x y到直线10x +-=的距离与它到()1,0A 距离比值的2倍，结合图形可得答案.【详解】由228130x y x +-+=得()2243x y -+=，令x y t +=，则直线x y t +=与圆()2243x y -+=有公共点，所以圆心到直线x y t +=的距离为d =≤44t ≤≤+所以x y +的最小值为4-2=可以看作点(),x y到直线10x +-=的距离与它到()1,0A 距离比值的2倍，设过点()1,0A 的直线与圆相切于点(),P x y.设直线方程为()1y k x =-，由()()22143y k x x y ⎧=-⎪⎨-+=⎪⎩，得()()2222182130k x k x k +-+++=，()()()22228241130k k k ∆=+-++=，解得2k =±，结合图形可知2k =，把2k =代入联立后的方程可得切点(P ，代入可得13+.故答案为：4613+.【点睛】关键点点睛：本题求解的关键是把目标式转化为点(),x y到直线10x +-=的距离与它到()1,0A 距离比值的2倍，数形结合可得答案.四、解答题：本题共5小题，共77分，（15题13分，16-17题15分，18-19题17分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.如图所示，在几何体ABCDEFG 中，四边形ABCD 和ABFE 均为边长为2的正方形，//AD EG ，AE ⊥底面ABCD ，M 、N 分别为DG 、EF 的中点，1EG =.（1）求证：//MN 平面CFG ；（2）求直线AN 与平面CFG 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）3【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得直线MN 的方向向量31,,12MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，求得平面CFG 的法向量1n ，然后利用10n MN ⋅= ，证明1MN n ⊥，从而得出//MN 平面CFG ；（2）求得直线AN 的方向向量()1,0,2AN = ，由（1）知平面CFG 的法向量1n，结合线面角的向量公式即可得解.【小问1详解】因为四边形ABCD 为正方形，AE ⊥底面ABCD ，所以AB ，AD ，AE 两两相互垂直，如图，以A 为原点，分别以AB ，AD ，AE方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系A xyz -，由题意可得0,0,0，()2,0,0B ，()2,2,0C ，()0,2,0D ，()0,0,2E ，()2,0,2F ，()0,1,2G ，30,,12M ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,0,2N ，则()0,2,2CF =- ，()2,1,2CG =-- ，31,,12MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 设平面CFG 的一个法向量为1 =1,1,1，则11n CFn CG ⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ，故11·=0·=0n CF n CG ⎧⎪⎨⎪⎩ ，即11111220220y z x y z -+=⎧⎨--+=⎩，则111112y z x z =⎧⎪⎨=⎪⎩，令12z =，得()11,2,2n =，所以()1331,2,21,,111221022n MN ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅-=⨯+⨯-+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，所以1MN n ⊥，又MN ⊄平面CFG ，所以//MN 平面CFG .【小问2详解】由（1）得直线AN 的一个方向向量为()1,0,2AN = ，平面CFG 的一个法向量为()11,2,2n =，设直线AN 与平面CFG 所成角为θ，则111sin cos ,3n AN n AN n AN θ⋅=====⋅ ，所以直线AN 与平面CFG所成角的正弦值为3.16.已知点()2,3-在圆22:860C x y x y m +-++=上．（1）求该圆的圆心坐标及半径长；（2）过点()1,1M -，斜率为43-的直线l 与圆C 相交于,A B 两点，求弦AB 的长．【答案】（1）圆心坐标为()4,3-，半径长为2（2）165【解析】【分析】（1）先根据点在圆上求出参数m ，再将圆的方程化为标准方程，即可得出圆心及半径；（2）先写出直线方程，求出圆心到直线的距离，再根据圆的弦长公式l =.【小问1详解】因为点()2,3-在圆22:860C x y x y m +-++=上，所以4916180m +--+=，解得21m =，所以该圆的标准方程为()()22434x y -++=，所以该圆的圆心坐标为()4,3-，半径长为2；【小问2详解】因为直线l 过点()1,1M -，斜率为43-，所以直线l 的方程为()4113y x +=--，即4310x y +-=，则圆心()4,3-到直线l 的距离65d ==，所以165AB ===.17.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>经过点1,2M ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，1F 、2F 是椭圆C 的左、右两个焦点，12F F =，P 是椭圆C 上的一个动点．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若点P 在第一象限，且1214PF PF ⋅≤ ，求点P 的横坐标的取值范围．【答案】（1）2214x y +=（2）(．【解析】【分析】（1）依题意得焦点坐标，再利用椭圆的定义求得a ，进而求得b 即可；（2）设(),(0,0)P x y x y >>，从而可求得()2212134PF PF x y ⋅=--+≤ ，再把2214x y =-代入求解即可.【小问1详解】由已知得2c =c ∴=，()1F ∴，)2F ，142MF +==，同理2432MF =，1224a MF MF ∴=+=，2a ∴=，1b ∴==，∴椭圆C 的标准方程为2214x y +=．【小问2详解】设(),(0,0)P x y x y >>，且2214x y +=，则()1,PF x y =- ，)2,PF x y =- ，()2212134PF PF x y ∴⋅=--+≤ ．由椭圆方程可得()2213144x x --+-≤，整理得239x ≤，所以0x <≤，即点P 的横坐标的取值范围是(．18.如图，在三棱柱111ABC A B C -中，底面是边长为2的等边三角形，12CC =，D ，E 分别是线段AC ，1CC 的中点，1C 在平面ABC 内的射影为D .（1）求证：1A C ⊥平面BDE ；（2）若点F 为棱11B C 的中点，求点F 到平面BDE 的距离；（3）若点F 为线段11B C 上的动点（不包括端点），求平面FBD 与平面BDE 夹角的余弦值的取值范围.【答案】（1）证明过程见解析（2）4（3）1,22⎛ ⎝⎭【解析】【分析】（1）作出辅助线，得到BD ⊥平面11ACC A ，BD ⊥1AC ，又平行四边形11ACC A 为菱形，故1AC ⊥1AC ，又1//DE AC ，从而得到线面垂直，（2）建立空间直角坐标系，由（1）知，1AC ⊥平面BDE ；故平面BDE的一个法向量为(10,3,A C =- ，利用点到平面的距离向量公式求出答案；（3）设111,01C F C B λλ=<<，求出,Fλ，求出平面FBD 的法向量，结合平面BDE 的一个法向量为(10,3,A C =-，从而得到1cos ,A C m =，换元后，得到11cos ,,22AC m ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭ .【小问1详解】连接11,C D AC ，因为1C 在平面ABC 内的射影为D ，所以1C D ⊥平面ABC ，因为,BD AC ⊂平面ABC ，所以1C D ⊥BD ，1C D ⊥AC ，因为ABC V 为边长为2的等边三角形，D 是线段AC 的中点，所以BD ⊥AC ，因为1C D AC D = ，1,C D AC ⊂平面11ACC A ，所以BD ⊥平面11ACC A ，因为1A C ⊂平面11ACC A ，所以BD ⊥1AC ，因为112C C AC ==，四边形11ACC A 为平行四边形，所以平行四边形11ACC A 为菱形，故1AC ⊥1AC ，因为D ，E 分别是线段AC ，1CC 的中点，所以1//DE AC ，故1AC ⊥DE ，因为DE BD D ⋂=，,DE BD Ì平面BDE ，所以1AC ⊥平面BDE ；【小问2详解】由（1）知，1,,C D AC BD 两两垂直，以D 为坐标原点，1,,BD DA C D 所在直线分别为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系，因为1C D ⊥AC ，D 是线段AC 的中点，所以由三线合一可得112C C AC ==，又2AC =，故1ACC △为等边三角形，(()()11110,,0,1,0,,,,,22A C B C F B ⎛- ⎝，由（1）知，1AC ⊥平面BDE ；故平面BDE的一个法向量为(10,3,A C =-，点F 到平面BDE 的距离11334DF A C d A C⋅== ；【小问3详解】点F 为线段11B C 上的动点（不包括端点），设111,01C F C B λλ=<<，(,Fs t ，则()),,0s t λ=，故,s tλ==，故,Fλ，设平面FBD 的法向量为(),,m x y z =，则())(),,0,,,0mDB x y z m DF x y z x y λλ⎧⋅=⋅==⎪⎨⋅=⋅=+=⎪⎩，解得0x =，令1y =，则33z =-，故30,1,3m ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，又平面BDE的一个法向量为(10,3,A C =-，故111cos ,A C m A C m A C m ⋅==⋅ ，令()32,3q λ-=∈，则1cos ,A C m ==，因为111,32q⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，故2111124443q ⎛⎫⎛⎫-+∈ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，13,22⎛⎫ ⎪⎪⎝⎭，平面FBD 与平面BDE 夹角的余弦值取值范围是1,22⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭.【点睛】立体几何二面角求解方法：（1）作出辅助线，找到二面角的平面角，并结合余弦定理或勾股定理进行求解；（2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量相关公式求解.19.已知点A ，B 是平面内不同的两点，若点P 满足PAPBλ=(0λ>，且1λ≠)，则点P 的轨迹是以有序点对(),A B 为“稳点”的λ—阿波罗尼斯圆.若点Q 满足QA QB μ⋅=(0μ>)，则点Q 的轨迹是以(),A B 为“稳点”的μ—卡西尼卵形线.已知在平面直角坐标系中，()2,0A -，(),B a b (2a ≠-）.（1）当2a =，0b =时，若点P 的轨迹是以(),A B 为“稳点”阿波罗尼斯圆，求点P 的轨迹方程；（2）在(1)的条件下，若点Q 在以(),A B 为“稳点”的5—卡西尼卵形线上，求OQ (O 为原点）的取值范围；（3）卡西尼卵形线是中心对称图形，且只有1个对称中心，若0b =，λ=试判断是否存在实数a ，μ，使得以(),A B 为“稳点”—阿波罗尼斯圆与μ—卡西尼卵形线都关于同一个点对称，若存在，求出实数a ，μ的值，若不存在，请说明理由.【答案】（1）221240x y x +-+=（2）[]1,3（3）不存在，理由见解析【解析】【分析】(1)由题意可知PA PB =，设：(),P x y=，整理计算即可求解；(2)设(),Q x y ，由定义得到()222242516x y x ++=+，从而有2240y x =-≥，求得209x ≤≤，再由OQ =(3)由0b =，λ=(),A B 为“稳点”一阿波罗尼斯圆的方程：()22244240x y a x a +-++-=，再结合对称性及QA QB μ⋅=得到μ—卡西尼卵形线，关于点2,02a -⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，从而得到2222a a -+=推出矛盾，即可解决问题.【小问1详解】由已知()2,0A -，()2,0B 且PA PB=(),P x y=，∴()()22222222++=-+x y x y ，整理得：221240x y x +-+=，∴点P 的轨迹方程为：221240x y x +-+=.【小问2详解】由(1)知()2,0A -，()2,0B ，设(),Q x y，由5QA QB ⋅=，5=，所以()222242516x y x ++=+，2240y x =-≥，整理得42890x x --≤，即()()22190x x +-≤，所以209x ≤≤，OQ ==209r ≤≤，得13OQ ≤≤，即OQ 的取值范围是[]1,3.【小问3详解】若0b =，则以(),A B 为“稳点”—阿波罗尼斯圆的方程为()()222222x y x a y ⎡⎤++=-+⎣⎦，整理得()22244240x y a x a +-++-=，该圆关于点()22,0a +对称.由点()2,0A -，(),0B a 关于点2,02a -⎛⎫ ⎪⎝⎭对称及QA QB μ⋅=，可得μ—卡西尼卵形线关于点2,02a -⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，令2222a a -+=，解得2a =-，与2a ≠-矛盾，所以不存在实数a ，μ，使得以(),A B 一阿波罗尼斯圆与μ—卡西尼卵形线都关于同一个点对称.。
辽宁省沈阳市辽宁省实验中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷(含解析)
辽宁省实验中学2024-2025学年高二上学期期中阶段测试数学试卷考试时间：120分钟试题满分：150分一.选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．不选、多选、错选均不得分．1．已知正方体的棱长为1，则直线与所成角的正弦值为（ ）A ．0B ．CD2．在空间直角坐标系中，已知，若共面，则的值为（ ）A ．B ．0C ．1D ．23的倾斜角为（ ）A ．B ．C ．D ．4．圆和圆的公切线有（ ）A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条5．已知且，则的最大值为（ ）A ．1BCD ．56．若椭圆（ ）A ．1B ．4C ．1或4D ．以上都不对7．已知是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于两点，若是正三角形，则这个椭圆的离心率是（ ）AB CD8．曲线所围成图形的面积为（ ）A ．2B ．C ．4D．二.选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9．已知且，则的值可能是（ ）1111ABCD A B C D -1A D AC 12Oxyz (1,1,0),(0,1,1),(2,1,)a b c z === ,,a b cz 1-340y ++=150︒120︒60︒30︒222410x y x y ++-+=224210x y x y +--+=,x y ∈R 221x y +=43x y -2212x y m +=m =12,F F 1F AB 2ABF △21||x y y -=-3π2,,x y z ∈R 2221x y z ++=222(1)(1)(2)x y z -+-+-A ．1B ．2C ．3D ．410．在空间直角坐标系Oxyz 中，已知，点，点，且P ，O 不重合，P ，A 不重合，则（ ）A ．若，则x ，y ，z 满足：B ．若，则x ，y ，z 满足：C ．若，则x ，y ，z 满足：D ．若，则x ，y ，z 满足：11．现有圆锥顶点为，底面所在平面为，母线PM 与底面直径MN 的长度都是2.点是PM 的中点，平面经过点与所成二面角（锐角）为.已知平面与该圆锥侧面的交线是某椭圆（或其一部分），则该椭圆长轴的长可能是（ ）AB ．1C ．D ．2三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12．直线经过点垂直，则直线的方程是 .13．已知点，点B ，C 是直线与圆的交点，则经过点A ，B ，C 的圆的方程是 ．14．已知点在椭圆上，点，则的取值范围是 .四.解答题：本题共5小题，共7分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．15．已知椭圆的长轴端点是和(1)求椭圆的方程；(2)若点在椭圆上，求点到点的距离的取值范围.16．如图，正四棱锥中，，侧棱与底面所成的角为.(1)求侧面与底面所成的二面角（锐角）的余弦值；(2)在线段上是否存在一点，使得？若存在，确定点的位置；若不存在说明理由.(1,1,1)n =(1,0,0)A (,,)P x y z ||1AP =2221x y z ++=AP n ⊥1x y z ++=//AP n1x y z-==,45OP n ︒〈〉=2224440x y z xy yz zx ++---=P αA βA α30︒β32l P 50y -+=l (5,0)A 1x =225x y +=M 22:1169x y C +=(3,0)(3,0)P Q -、||||MP MQ +C (A -B C P C P (0,1)M P ABCD -AB =PA ABCD 60o PAB ABCD PB E AE PC ⊥E17．如图，在三棱柱中，点是棱AC 的中点.侧面底面ABC ，底面ABC 是等边三角形，.(1)求证：平面ABC ；(2)求平面与平面所成锐二面角平面角的余弦值.18．已知点与点关于直线对称.(1)求点的坐标m ，n （用表示）；(2)若点在曲线所在曲线的方程.19．在平面直角坐标系中，已知点，点的轨迹为.(1)求的方程；(2)已知点，设点M ，N 在上，点M ，N 与点不重合，且直线MN 不与轴垂直，记分别为直线AM ，AN 的斜率.（ⅰ）对于给定的数值入（且，若，证明：直线MN 经过定点；（ⅱ）记（ⅰ）中的定点为Q ，求点的轨迹方程.111ABC A B C -O 11AA C C ⊥11,AB AA A B AC =⊥1A O ⊥11AA B B 11CC B B (,)P m n ()00,Q x y :l y =P 00,x y (,)P m n y (,)Q x y 12(1,0),(2,0)F F P P C C (1,1)A C A x 12,k k λR λ∈1)λ≠12k k λ=Q答案1．D解析：在正方体中，可得，，所以四边形是平行四边形，所以，所以是异面直线直线与所成的角，又易得是等边三角形，所以，所以与故选：D.2．A解析：由空间向量共面定理可得存在实数，使得，即，所以，解得.故选：A 3．A得故直线的斜率为，所以倾斜角为．故选：A ．4．B1111ABCD A B C D -11A B AB CD ∥∥11A B AB CD ==11A B CD 11A D B C P 1B CA ∠1A D AC 1B CA V 160B CA =∠︒1sin B CA ∠1A D AC ,x y a xb yc =+()()()1,1,00,,2,,x x y y yz =+1210y x y x yz=⎧⎪=+⎨⎪=+⎩12121x y z ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩340y ++=43y =-)0,180︒⎡⎣150︒解析：由题意得，圆，即以为圆心，为半径的圆，圆，即以为圆心，为半径的圆，则故，因此两圆相交，则有2条公切线.故选：B.5．D解析：令，则，其中，因为，则，所以的最大值为.故选：D 6．C解析：当焦点在轴上时，；当焦点在轴上时，.故选：C 7．A解析：是正三角形，，故选：.8．A 解析：()()222222410122x y x y x y ++-+=⇔++-=()11,2C -12r =()()222224210212x y x y x y +--+=⇔-+-=()22,1C =22r =12C C ==12022224C C =-<<+=[]cos ,sin ,0,2x y θθθπ==∈()434sin 3cos 5sin x y θθθϕ-=-=-3tan 4ϕ=()[]sin 1,1θϕ-∈-()[]5sin 5,5θϕ-∈-43x y -5x e =1m =y e ==4m =2ABF V 212|||AF F F ∴==1212||2||,||||2AF AF AF AF a ∴==+==e ∴A由可得，即，所以，又，即，当且时，则方程为，即，所以，当且时，则方程为，即，当时，则，所以方程为，即，画出如图所示图像，其中弓形与弓形相等，由割补法可知，围成图形的面积为.故选：A 9．CD解析：因，则表示以原点为球心，半径为1的球表面上的点.则表示到距离的平方.类比点到圆上距离的范围，可得，，则 ，.故，则只有CD 满足条件.故选：CD 10．BCD解析：A 由题，，因，则A 错误；B 因，则，故B 正确；C 因，则，故C 正确；21x y y -=-10y -≥1y ≤11y -≤≤22221x y y x y y x x =-+≥-+==11x -≤≤[]0,1∈y 20x y -≥21x y y -+=21x =1x =±[]0,1∈y 20x y -<21y x y -+=212x y +=[)1,0y ∈-20x y ->21x y y --=212x y -=AB CD 212⨯=2221x y z ++=(),,x y z 222(1)(1)(2)x y z -+-+-(),,x y z ()1,1,2)2222(1)(1)(2)17x y z -+-+-≤=+)2222(1)(1)(2)17x y z -+-+-≥+=-1.414 1.732≈≈ 2.449≈711.898+≈7 2.102-≈22222(1)(1(1)2)x y z <-+-<-+()1,,AP x y z =- ()2222221112AP x y z x y z x =⇒-++=⇒++= AP n ⊥101AP n x y z x y z ⋅=-++=⇒++= //AP n 11111x y zx y z -==⇒-==D 因，则.即，故D 正确.故选：BCD.11．ABC解析：如上图，做出过点的轴截面，由已知条件可知，平面与轴截面相交得到的线段最短为，最长为，当平面与圆锥面所截得的椭圆的长轴落在平面内时，长轴长或.根据已知的几何关系可以计算出当与圆锥所截得的椭圆的长轴不在图中所作的轴截面内时，长轴长度满足：.对于A对于B，长轴长度可以为；对于C；对于D 选项，.故选：ABC 12．的斜率为所以的方程为：，即.故答案为：13．,45OP n ︒〈〉=()()22221cos ,23x y z OP n x y z ++〈〉==⇒=++ ()()2222222324440x y z x y z x y z xy yz zx ++=++⇒++---=A PMN β1AA AM βPMN 12a AA =2a AM =1AA =AM =βPMN 12AA a AM <<1<<132<322>240x -=50y -+=l l )1y x =-40x -=40x -=2250x y x -=+解析：因点B ，C 是直线与圆的交点，则设过B ，C 的圆的方程为：，代入，则，则过过点A ，B ，C 的圆的方程是：.故答案为：14．解析：由椭圆与椭圆有相同的短轴，由椭圆与椭圆有相同的长轴，又椭圆与椭圆有相同的焦点，即点，由椭圆方程可知椭圆在椭圆上及其内部，椭圆在椭圆上及其内部，当点在上时，因椭圆方程可知椭圆在椭圆上及其内部，所以，当点在短轴的端点时取等号，当点在上时，，因椭圆方程可知椭圆在椭圆上及其内部，所以，当点在长轴的端点时取等号，所以的取值范围是.故答案为：.1x =225x y +=()22510x y x λ+-+-=(5,0)A 255405λλ-+=⇒=-()2222551050x y x x y x +---=⇔+-=2250x y x -=+22:1169x y C +=221:1189x y C +=22:1169x y C +=222:1167x y C +=222:1167x y C +=221:1189x y C +=12(3,0),(3,0)F F -(3,0)(3,0)P Q -、22:1169x y C +=221:1189x y C +=222:1167x y C +=22:1169x y C +=P 221:1189x y C +=12||||2PF PF a +==22:1169x y C +=221:1189x y C +=12||||||||MP MQ PF PF +≤+=P P 222:1167x y C +=12||||28PF PF a +==222:1167x y C +=22:1169x y C +=12||||||||8MP MQ PF PF +≥+=P ||||MP MQ +15．(1)(2)解析：（1）由题意得：，解得：.故椭圆的方程为：（2）设是椭圆上的任意一点，所以，所以..故点到点的距离的取值范围是.16．(2)在线段上存在点，点满足，使得.解析：（1）设为底面的中心，以点为原点，分别为轴，轴，轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示．由题意知，.设，其中，则，向量是平面的法向量.22182x y +=-222a c a a b c ⎧=⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩C 22182x y +=(,)P x y 2284x y =-PM ==[y ∈1||PM ≤≤P (0,1)M -PB E E 13BE BP =AE PC ⊥O ABCD O ,,OB OC OPx y z (0,1,0),(1,0,0),(0,1,0)A B C -(0,0,)P h 0h >(0,1,)AP h =1(0,0,1)n = ABCD由题意得，，解得设平面的法向量为.因为，，所以，即，令，则，则.则故侧面与底面（2）由（1）知，，设，则.因为，若，则.即，解得，故在线段上存在点，点满足，使得17．(1)证明见解析(2)解析：（1）连结OB .在中，，所以，且.又因为，所以平面.从而．又因为平面平面ABC，A C 是平面与平面ABC 的交线，111cos ,cos30AP n AP n AP n ⋅==⋅h =PAB ()2222,,n x y z =(AP = (1,1,0)AB =2200AP n AB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 222200y x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩21y =221x z =-⎧⎪⎨=⎪⎩21,1,n ⎛=- ⎝ 12cos n n ⋅==PAB ABCD (1,1,0)AB =(BP =- BE BP λ=(()(1,1,0)1AE AB BE λλ=+=+-=- (0,CP =-AE PC ⊥()(10,0AE CP λ⋅=-⋅-= 130λ-+=13λ=PB E E 13BE BP =.AE PC ⊥35ABC V ,BA BC AO OC ==BO AC ⊥BO AC 1A B AC ⊥AC ⊥1A BO 1AC AO ⊥11AA C C ⊥11AA C C所以平面ABC（2）在中，，所以.设.以点为原点，分别为轴轴轴正方向，建立空间直角坐标系Oxyz ，如图所示．有，，.设平面的法向量为，平面的法向量为.由题意得：.则取平面的法向量为，平面的法向量为.则.故平面与平面所成锐二面角平面角的余弦值是18．(1)(2).1AO ⊥1AA O 1190,2A OA AA AO ︒∠==1A O AC =2AC =O 1,,OB OC OA x y z (0,1,0),(0,1,0)A B C -11,0)A AB CB ==- 11AA BB == 11AA B B ()1111,,n x y z = 11CC B B ()2222,,n x y z = 111112221112220000AA n y BB n y AB n y CB n y ⎧⎧⋅==⋅=+=⎪⎪⎨⎨⋅=+=⋅=-=⎪⎪⎩⎩，11AA B B 1(1,n = 11CC B B 21)n =- 13cos 5n ⋅ 11AA B B 11CC B B 35m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩22162x y -=解析：（1）依题意，，解得（2）依题意，整理得：（其中），所以点所在曲线的方程为.19．(1)(2)（ⅰ）证明见解析，（ⅱ）点的轨迹方程为直线（除去点）解析：（1）设，整理得，所以的方程为.（2）设直线MN 的方程为：，其中.点M ，N 满足：所以满足：，即.从而.（ⅰ）证明：因为，所以，整理得，其中（即直线MN 不经过点）.所以直线MN 的方程为：，且直线MN 不经过点.所以直线MN 过定点 .000022y n x m y n x m -⎧=⎪-⎪⎨++⎪⎪⎩m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩m n n ⎧=⎪⎪⎪⎪=⎨⎪⎪=⎪⎪⎩=2200162x y -=000x ≠(,)Q x y 22162x y -=222x y +=Q y x =-(1,1)-(),P x y =222x y +=C 222x y +=y kx m =+1k m +≠222x y y kx m⎧+=⎨=+⎩,M N x x 22()2x kx m ++=()2221220k x kmx m +++-=22222,11M N M N km m x x x x k k -+=-=++()()()()()()()()2222222222222111211111122111111111M N M N M N N M M N M N M N M N m km k km k m m kx m kx m k x x km k x x m m y y k m k k m km x x x x x x x x k m k k -⎛⎫⋅+--+-+ ⎪+-+-+-++-+---+++⎝⎭⋅====-------++++++++11k m k m λ-+-=++1(1)1m k λλ+=+-10k m ++≠(1,1)-111(1)111y kx k k x λλλλλλ+++⎛⎫=++=++ ⎪---⎝⎭(1,1)-11,11λλλλ++⎛⎫- ⎪--⎝⎭（ⅱ）解：由得（其中）,所以点的轨迹方程为直线（除去点）.1,11.1Q Q x y λλλλ+⎧=-⎪⎪-⎨+⎪=⎪-⎩Q Q y x =-1Q x ≠Q y x =-(1,1)-。
河北省张家口市2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题含答案
2024－2025学年第一学期11月高二期中考试数学（答案在最后）考试说明：1．本试卷共150分.考试时间120分钟.2．请将各题答案填在答题卡上.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有—项是符合题目要求的.1.三点()2,2A ，()5,1B ，(),4C m 在同一条直线上，则m 的值为（）A.2B.4C.2- D.4-【答案】D 【解析】【分析】根据两点斜率表达式得到方程，解出即可.【详解】显然5m ≠，则BC AB k k =，即4112552m --=--，解得4m =-.故选：D .2.若点()1,1P 在圆22222240x y mx my m m +-++-=的外部，则实数m 的取值范围是（）A.()2,+∞B.()1,+∞C.()()0,11,+∞ D.()()0,22,+∞U 【答案】C 【解析】【分析】根据圆的一般式结合点与圆的位置关系计算即可.【详解】根据题意有()()()2222222242401122240m m m m m m m m ⎧-+-->⎪⎨+-++->⎪⎩，即()2010m m >⎧⎪⎨->⎪⎩，解之得()()0,11,m ∈+∞ .故选：C3.如图，直线1l ，2l ，3l ，4l 的斜率分别为1k ，2k ，3k ，4k ，则（）A.1234k k k k <<<B.2134k k k k <<<C.1243k k k k <<<D.2143k k k k <<<【答案】D 【解析】【分析】由图可知直线12,l l 的倾斜角为钝角，斜率为负，直线34,l l 的倾斜角为锐角，斜率为正，以及根据倾斜角的大小判断斜率的大小可得答案.【详解】直线12,l l 的倾斜角为钝角，斜率为负，且直线1l 的倾斜角大于直线2l 的倾斜角，直线34,l l 的倾斜角为锐角，斜率为正，直线3l 的倾斜角大于直线4l 的倾斜角，所以21430k k k k <<<<．故选：D.4.已知动圆过点()1,0A -，并且在圆22:(1)16B x y -+=内部与其相切，则动圆圆心的轨迹方程为（）A.22132x y += B.221169x y += C.22143x y += D.22154x y +=【答案】C 【解析】【分析】设动圆圆心为(,)P x y ，半径为R 2222(1)(1)4x y x y +++-+=，再利用椭圆的定义，即可求解.【详解】设动圆圆心为(,)P x y ，半径为R因为圆22:(1)16B x y -+=的圆心为(1,0)B ，半径为4r=，由题有r R PB -=，又动圆过点()1,0A -，得22224(1)(1)x y x y -++=-+，2222(1)(1)4x y x y +++-+=，则(,)P x y 到两定点(1,0),(1,0)-的距离之和为4，由椭圆的定义可知，点(,)P x y 在以12(1,0),(1,0)F F -为焦点，长轴长为24a =的椭圆上，因为2,1a c ==，得到2413b =-=，所以动圆圆心的轨迹方程为22143x y+=，故选：C.5.已知圆221:20C x y x +-=，圆222:40C x y mx y n ++-+=，若圆2C 平分圆1C 的周长，则m n +=（）A.2B.－2C.1D.－1【答案】B 【解析】【分析】根据两圆的方程作差求出公共弦所在直线方程，再由题中条件，得到公共弦所在直线过点1(1,0)C ，由此列出方程求解，即可得出结果.【详解】由2220x y x +-=与2240x y mx y n ++-+=两式作差，可得两圆的相交弦所在的直线为(2)40m x y n +-+=，又圆1C 的标准方程为22(1)1x y -+=，记圆心为1(1,0)C ；因为圆2C 平分圆1C 的圆周，所以公共弦所在直线过点1(1,0)C ，因此20m n ++=，所以2m n +=-.故选：B .6.如图，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 为矩形，且1AB =，PA ⊥平面ABCD ，且E 为PC 的中点，则AE CD ⋅= （）A.13B.12C.13-D.12-【答案】D 【解析】【分析】首先利用基底{},,AB AD AP 表示向量AE，然后再根据空间向量的数量积的运算法则进行求解即可【详解】已知点E 为PC 中点，则1111122222AE AP AC AP AB AD =+=++ ，因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以PA CD ⊥，又四边形ABCD 为矩形，所以AD CD ⊥；因此111111222222AE CD AP AB AD CD AP CD AB CD AD CD ⎛⎫⋅=++⋅=⋅+⋅+⋅ ⎪⎝⎭()110111022=+⨯⨯⨯-+=-.故选：D7.已知点(),P x y 为直线0x y +=上的动点n =，则n 的最小值为（）A.5B.6C.D.【答案】C 【解析】【分析】根据两点之间距离最小，结合点关于直线的对称性即可利用两点间距离公式求解.【详解】n =+(,)P x y 到点(2,4)B -和点(2,1)A 的距离之和，令点(2,4)B -关于直线0x y +=的对称点为(,)B a b '，则41224022b a a b -⎧=⎪⎪+⎨-+⎪+=⎪⎩，解得42a b =-⎧⎨=⎩，即(4,2)B '-，因此||||||||||n PB PA PB PA AB ''=+=+≥=，当且仅当点P 为线段AB '与直线0x y +=的交点时取等号，所以n.故选：C8.阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠，他对圆锥曲线有深刻且系统的研究，主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是：已知动点M 与两定点A ，B 的距离之比为(0,1)λλλ>≠，那么点M 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.如动点M 与两定点()()0,0,2,0O A 22时，则直线:1l x =-被动点M 所形成的轨迹截得的弦长为（）A.2 B.23C.25D.27【答案】D 【解析】【分析】设(,)M x y ，利用两点间距离公式代入2MA MO=化简得到点M 的轨迹，再联立轨迹与直线:1l x =-得弦长.【详解】设(,)M x y ，()()0,0,2,0O A ，则2222(2)2MA x y MOx y-+==+，整理得22440x x y +-+=，与直线:1l x =-联立得7y =±，所以所求弦长为27.故选：D二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.关于空间向量，以下说法正确的是（）A.若两个不同平面α，β的法向量分别是,u v，且()1,1,2u =- ，()6,4,1v =- ，则αβ⊥B.若直线l 的方向向量为()0,4,0e = ，平面α的法向量为()3,0,2n =-，则直线//l αC.若对空间中任意一点O ，有23AP OA OB OC =+-，则P ，A ，B ，C 四点共面D.两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线【答案】ACD 【解析】【分析】由面面垂直的向量表示可判断A ；由线面平行的向量表示可判断B ；根据向量共线定理，可判断C ；由空间向量基底的表示可判断D.【详解】对于A ，6420u v ⋅=--= ，所以u v ⊥，则αβ⊥，A 正确；对于B ，0e n ⋅= ，所以e n⊥，则直线//l α或者l α⊂，B 错误;对于C ，对空间中任意一点O ，有23AP OA OB OC =+-，即23OA OB O OA C OP =--+ ，则223OP OA OB OC =+-满足2231+-=，则P ，A ，B ，C 四点共面，可知C 正确；对于D ，两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线，所以D 正确.故选：ACD.10.直线l 经过点()1,3，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等，则直线l 的方程可能是（）A.30x y -=B.30x y += C.40x y +-= D.20x y -+=【答案】ACD 【解析】【分析】根据条件，分截距为0和不为0两种情况讨论，再利用点斜式和截距式，即可求解.【详解】当直线在两坐标轴上的截距均为0时，直线方程为3y x =，即30x y -=，当直线在两坐标轴上的截距不为0时，设直线方程为1(0,0)x ya b a b+=≠≠，由题有131a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩或131a b a b⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，由131a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=⎩，得到4a b ==，此时直线方程为144x y +=，即40x y +-=，由131a b a b ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，得到2,2a b =-=，此时直线方程为122x y +=-，即20x y -+=，故选：ACD.11.下列结论正确的是（）A.已知0ab ≠，O 为坐标原点，点(),P a b 是圆222x y r +=外一点，直线m 的方程是2(0)ax by r r +=>，则m 与圆相交B.直线:230l kx y k +--=与圆22:(1)9C x y +-=恒相交C.若直线:230l kx y k +--=平分圆22:(1)9C x y +-=的周长，则1k =-D.若圆222:(4)(4)(1)M x y r r -+-=>上恰有两点到点()1,0N 的距离为1，则r 的取值范围是()3,6【答案】ABC 【解析】【分析】利用点到直线距离公式计算判断A ；求出直线所过定点判断B ；求出圆心坐标计算判断C ；利用相交两圆求出范围判断D.【详解】对于A ，由点(),P a b 在圆222x y r +=外，得222a b r +>，圆心(0,0)到直线m的距离2r d r r =<=，m 与圆相交，A 正确；对于B ，直线:(2)30l k x y -+-=恒过定点(2,3)，而222(31)89+-=<，即点(2,3)在圆C 内，因此直线:230l kx y k +--=与圆22:(1)9C x y +-=恒相交，B 正确；对于C ，圆22:(1)9C x y +-=的圆心为(0,1)，依题意，点(0,1)在直线:230l kx y k +--=上，则1230k --=，解得1k =-，C 正确；对于D ，依题意，以()1,0N 为圆心，1为半径的圆与圆M 相交，而圆M 的圆心为()4,4，半径为r ，则11r MN r -<<+，又5MN ==，151r r -<<+，解得46r <<，D 错误.故选：ABC三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.平面内，已知两点()13,0F -，()23,0F 及动点M ，若直线1MF ，2MF 的斜率之积是3-，则点M 的轨迹方程为______．【答案】221(3)927x y x +=≠±【解析】【分析】设动点(,)M x y ，斜率用坐标表示，由斜率之积为3-可得出,x y 之间的关系式，进而得M 的轨迹方程.【详解】设动点M 的坐标为(,)x y ，又()13,0F -，()23,0F ，所以1MF 的斜率1(3)3MF y k x x =≠-+，2MF 的斜率2(3)3MF y k x x =≠-，由题意可得3(3)33y y x x x ⨯=-≠±+-，化简，得点M 的轨迹方程为221(3)927x y x +=≠±.故答案为：221(3)927x y x +=≠±13.已知圆22:(1)(3)8M x y -++=与圆22:(3)(1)8N x y ++-=，则圆M 和圆N 的一条公切线的方程为_______.【答案】0x y -=；20x y +-=；60x y ++=（三个任意一个都算正确）【解析】【分析】先判断两个圆的位置关系，再判断公切线的条数，然后求公切线即可.【详解】由题可知：()()1,3,3,1M N --所以MN ==两个圆的半径和为+=所以两个圆外切，所以有三条公切线,设公切线为y kx b =+由圆心到切线的距离等于半径得==解得10k b =⎧⎨=⎩或12k b =-⎧⎨=⎩或16k b =-⎧⎨=-⎩所以切线方程为y x =，2y x =-+或6y x =--故答案为：0x y -=；20x y +-=；60x y ++=14.在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 满足1AP AA AB λ=+，点Q 满足1AQ AA AB AD μ=++，其中[]0,2λ∈，[]0,2μ∈当μ=________时，DP BQ ⊥．【解析】【分析】将点P 和点Q 满足的向量式转化，分析得出P ,Q 的位置，然后利用线面垂直的判定以及性质即可求得答案.【详解】111AP AA AB AP AA AB A P AB λλλ=+⇔-=⇔=，又[]0,2λ∈，所以点P 在射线11A B 上；11111AQ AA AB AD AQ AA AC AQ AC AA CQ AA μμμμ=++⇔=+⇔-=⇔=，又[]0,2μ∈，所以点Q 在射线1CC 上；因为当λ变化时，DP ⊂平面11A B CD ，故只需考虑过B 且与平面11A B CD 垂直的线，因为正方体有11A B ⊥平面11BB C C ，而1BC ⊂平面11BB C C ，所以111,A B BC ⊥又11,BC B C ⊥，1111111,,A B B C B A B B C =⊂ 平面11A B CD ，所以1⊥BC 平面11A B CD ，DP ⊂平面11A B CD ，所以1BC DP ⊥，所以当点Q 在1C 上时DP BQ ⊥，即1μ=时DP BQ ⊥，故答案为：1.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知ABC V 的顶点()3,2A -，若AB 边上的中线CM 所在直线方程为10x y -+=，AC 边上的高线BN 所在直线方程为530x y +-=．（1）求顶点B 的坐标；（2）求直线BC 的方程．【答案】（1）()1,2-（2）570x y --=【分析】（1）设()00,B x y ，则0032,22x y M -+⎛⎫ ⎪⎝⎭，根据已知列出方程组，求解即可得出答案；（2）根据已知求出直线AC 的方程，进而联立方程得出C 的坐标，代入两点式方程化简即可得出答案.【小问1详解】设()00,B x y ，则0032,22x y M -+⎛⎫⎪⎝⎭，由已知可得0000530321022x y x y +-=⎧⎪⎨-+-+=⎪⎩，解得0012x y =⎧⎨=-⎩，所以点B 的坐标为()1,2-.【小问2详解】由已知可设直线AC 的方程为50x y m -+=，又点A 在直线上，所以有3100m --+=，解得13m =，所以，直线AC 的方程为5130x y -+=.联立直线AC 与CM 的方程513010x y x y -+=⎧⎨-+=⎩可得，C 点坐标为2,3.将,B C 坐标代入两点式方程有213221y x +-=+-，整理可得，570x y --=.16.已知()4,2P -，()1,3Q -，(0,T 在圆C 上．（1）求圆C 的标准方程；（2）若直线//l PQ ，且l 与圆C 交于点A 、B ，O 为坐标原点，90AOB ∠=︒，求直线l 的方程．【答案】（1）22(1)13x y -+=（2）30x y ++=或40x y +-=【解析】【分析】（1）先设圆C 的标准方程为222()()x a y b r -+-=，根据条件建立方程组，求出,,a b r ，即可求解；（2）根据条件设直线方程为0x y m ++=，联立直线与圆的方程得222(22)120x m x m +-+-=，由韦达定理得21212121,2m x x m x x -+=-=，进而可求得2122122m m y y +-=，结合条件12120x x y y +=，即可求解.【小问1详解】设圆C 的标准方程为222()()x a y b r -+-=，因为()4,2P -，()1,3Q -，(0,T 在圆C 上，所以222(4)(2)a b r -+--=①，222(1)(3)a b r --+-=②，222())a b r -+=③，由①②③解得1,0,a b r ===，所以圆C 的标准方程22(1)13x y -+=.【小问2详解】因为3(2)114PQ k --==---，又直线//l PQ ，不妨设l 为0x y m ++=，由()220113x y m x y ++=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，消y 得222(22)120x m x m +-+-=，则22(22)8(12)0m m ∆=--->，即22250m m --+>，设1122()A x y B x y ,,(,)，则21212121,2m x x m x x -+=-=，所以222221212121212212()()()22m m m y y m x m x m m x x x x m m m -+-=----=+++=+-+=，又90AOB ∠=︒，则OA OB ⊥ ，又1122(,),(,)OA x y OB x y == ，所以12120x x y y +=，得到2221212022m m m --+=+，即2120m m +-=，解得3m =或4m =-（均满足0∆>），所以直线l 的方程为30x y ++=或40x y +-=.17.已知椭圆22:184x y C +=的左，右焦点分别为1F ，2F ，P 为椭圆C 上一点．（1）当P 为椭圆C 的上顶点时，求12F PF ∠的大小；（2）直线()2y k x =-与椭圆C 交于A ，B ，若1627AB =，求k 的值．【答案】（1）π2（2）3【解析】【分析】（1）根据条件得21(2,0),(2,0),(0,2)F P F -，从而可得2221212F F PF PF =+，即可求解；（2）联立直线与椭圆方程，消y 得2222()128880k x k x k +-+-=，再利用弦长公式，即可求解.【小问1详解】因为椭圆方程为22184x y +=，则22,2a b ==，842c =-=，所以21(2,0),(2,0),(0,2)F P F -，又121224,2F F c PF PF ====2221212F F PF PF =+，所以12π2F PF ∠=.【小问2详解】设1122()A x y B x y ,,(,)，由()221842x y y k x ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消y 得2222()128880k x k x k +-+-=，则42226432(12)(1)32(1)0k k k k ∆=-+-=+>，由韦达定理知22121222888,1212-+==++k k x x x x k k ，由求根公式可得221232(1)12k x x k +-=则22221232(1)16211127k AB k x k k +=+-=+=，化简得到23k =，解得3k =.18.如图所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是矩形，PB ⊥底面ABCD ，3AB BC BP ===，2AE ED =.（1）在PC 上找一点F ，使得//EF 平面ABP ；（2）在（1）的条件下，求平面ADF 与平面ABCD 夹角的余弦值.【答案】（1）F 为PC 的三等分点，且2PF FC=（2【解析】【分析】（1）当F 为PC 的三等分点，且2PF FC =，在CB 上取点H ，且13CH CB =，利用几何关系可得//FH PB ，//EH BA ，从而可得面//HEF 面ABP ，再利用面面平行的性质即可说明结果成立；（2）建立空间直角坐标系，求出平面ADF 与平面ABCD 的法向量，再利用面面角的向量法，即可求角.【小问1详解】当F 为PC 的三等分点，且2PF FC =时，//EF 平面ABP ，理由如下，在CB 上取点H ，使13CH CB =，连接,FH EH ，因为13CF CHCP CB ==，所以//FH PB ，又FH ⊄平面ABP ，PB ⊂平面ABP ，所以//FH 平面ABP ，又因为2AE ED =，即13DE DA =，所以//EH BA ，又EH ⊄平面ABP ，AB ⊂平面ABP ，所以//EH 平面ABP ，又,,EH HF H EH HF ⋂=⊂面HEF ，所以面//HEF 面ABP ，又EF ⊂面HEF ，所以//EF 平面ABP .【小问2详解】因为PB ⊥底面ABCD ，底面ABCD 是矩形，建立如图所示的空间直角坐标系，又3AB BC BP ===，则(0,3,0),(3,3,0),(2,0,1)A D F ，所以(3,0,0)AD = ，(2,3,1)AF =-，设平面ADF 的一个法向量为(,,)n x y z =，则30230n AD x n AF x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取0,1,3x y z ===，所以(0,1,3)n = ，易知平面ABCD 的一个法向量为(0,0,1)m = ，设平面ADF 与平面ABCD 的夹角为θ，则cos cos ,10n m n m n m θ⋅====⋅ ，所以平面ADF 与平面ABCD夹角的余弦值为10.19.已知椭圆C 的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为12，短轴长为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）已知点1A ，2A 分别为椭圆的左、右顶点，P 为椭圆C 上异于1A ，2A 的动点，()3,0N -，直线PN 与曲线C 的另一个公共点为Q ，直线1A P 与2A Q 交于点M ，求证：当点P 变化时，点M 恒在一条定直线上．【答案】（1）22143x y +=；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出椭圆知半轴长，结合离心率求出长半轴长即可.（2）设直线PQ 的方程为：3x my =-，()()1122,,,P x y Q x y ，联立直线与椭圆，再表示出直线又直线1A P 与2A Q 的方程，联立求出交点，即可计算推理得证.【小问1详解】设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，由短轴长为b =，由离心率为12，得12a ==，解得2a =，所以椭圆C 的标准方程为22143x y +=.【小问2详解】设直线PQ 的方程为：3x my =-，()()1122,,,P x y Q x y ，而12(2,0),(2,0)A A -，由223143x my x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 得：22(34)18150m y my +-+=，22232460(34)48(35)0m m m ∆=-+=->，则1212221815,3434m y y y y m m +==++，121252()3my y y y =+，又直线1PA 的方程为：11(2)2y y x x =++，即11(2)1y y x my =+-，又直线2QA 的方程为：22(2)2y y x x =--，即22(2)5y y x my =--，由1122(2)1(2)5y y x my y y x my ⎧=+⎪-⎪⎨⎪=-⎪-⎩，得2121122121212121042()(5)2(25)43335553y y y y my y y y x y y y y y y ----====--+-+-+，所以当点P 运动时，点M 恒在定直线43x =-上.。
江苏省扬州市扬州中学2024-2025学年高二上学期11月期中考试数学试题(含答案)
江苏省扬州中学2024-2025学年第一学期期中试卷高 二 数 学 2024.11一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．圆的圆心和半径分别是（ ）A ．，1B ．，3C ．，2D ．，22．经过两点，的直线的斜率为（ ）A ．B ．C ．D ．3．椭圆x 225+y 216=1的焦点为为椭圆上一点，若，则（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知双曲线的离心率大于实轴长，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D．5．两平行直线与之间的距离为（ ）ABCD6．已知圆关于直线对称，则实数（ ）A ．1或B ．1C ．3D ．或37．已知抛物线C :y 2=2px (p >0)的焦点为，若抛物线上一点满足|MF |=2，∠OFM =60°，则（ ）A ．3B ．4C ．6D ．88．如图，双曲线的左右焦点分别为、，过的直线与该双曲线的两支分别交于、两点（在线段上），⊙与⊙分别为与的内切圆，其半径分别为、，则的取值范围是（ ）A ．B ．C ．D ．(0，+∞)二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.9．下列说法正确的是（ ）A ．若，且直线不经过第二象限，则，.()()22232x y +++=()2,3-()2,3-()2,3--()2.3-(2,7)A (4,6)B 12-2-12212,,F F P 13PF =2PF =435722:1y C x m -=m (3,)+∞)+∞(0,3)320mx y --=4670x y --=22:330C x y mx y +-++=:0l mx y m +-=m =3-1-F M p =2218y x -=1F 2F 1F l A B A 1F B 1O 2O 12AF F △2ABF △1r 2r 12r r 1132⎛⎫ ⎪⎝⎭，1233⎛⎫⎪⎝⎭，1223⎛⎫ ⎪⎝⎭，0abc ≠0ax by c ++=0ab >0bc <B ．方程（）表示的直线都经过点.C ．，直线不可能与轴垂直.D ．直线的横、纵截距相等.10．已知曲线．点，，则以下说法正确的是（ ）A ．曲线C 关于原点对称B ．曲线C 存在点P，使得C ．直线与曲线C 没有交点D ．点Q 是曲线C 上在第三象限内的一点，过点Q 向作垂线，垂足分别为A ，B ，则.11．已知集合.由集合中所有的点组成的图形如图中阴影部分所示，中间白色部分形如美丽的“水滴”.给出下列结论，正确的有（ ）A ．白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为B ．在阴影部分任取一点，则到坐标轴的距离小于等于3.C ．阴影部分的面积为.D ．阴影部分的内外边界曲线长为.三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12．若双曲线的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角的大小为 .13．已知椭圆的左、右焦点分别为F 1、F 2，过点的直线交椭圆于A 、B 两点，若，则该椭圆的离心率为 .14．已知为曲线y =1+4―x 2上的动点，则的最大值为 .四、解答题:本题共5小题，共77分.解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤.15．已知△ABC 的顶点坐标是为的中点.(1)求中线的方程；(2)求经过点且与直线平行的直线方程.16．已知双曲线C :x 2a2―y 2b 2=1(a >0,b >0)的离心率为为双曲线的右焦点，且点到直线的()()21250x y λλ++--=R λ∈()2,1m ∈R 220m x y ++=y 3310x y +-=:44C x x y y =-1F 2(0,F 124PF PF -=2y x =2y x =±45QA QB ⋅=(){}22,(cos )(sin )4,0πP x y x y θθθ=-+-=≤≤∣P 1M M 8π8π()222210,0y x a b a b -=>>22221(0)x y a b a b+=>>2F 1AB F B ⊥，14sin 5F AB ∠=(),P a b 223a b a b --++()()()2,0,6,2,2,3,A B C M --AB CM B AC ()5,,03F c F 2a x c=距离为.(1)求双曲线的方程；(2)若点，点为双曲线左支上一点，求的最小值.17．已知，是抛物线：上的两点．(1)求抛物线的方程；(2)若斜率为的直线经过的焦点，且与交于，两点，求的最小值．18．椭圆与椭圆：有相同的焦点，且经过点.(1)求椭圆的方程；(2)椭圆的右焦点为，设动直线与坐标轴不垂直，与椭圆交于不同的，两点，且直线和的斜率互为相反数.①证明：动直线恒过轴上的某个定点，并求出该定点的坐标.②求△OMN 面积的最大值.19．定义：M 是圆C 上一动点，N 是圆C 外一点，记的最大值为m ，的最小值为n ，若，则称N 为圆C 的“黄金点”；若G 同时是圆E 和圆F 的“黄金点”，则称G 为圆“”的“钻石点”.已知圆165C ()12,0A P C PA PF +()6,2A m +()24,8B m +C ()221y px p =>C ()0k k ≠l C C P Q 2PQ k +C 1C 2212x y +=31,2Q ⎛⎫ ⎪⎝⎭C C B l l C M N BM BN l x MN MN 2m n =E F -A ：，P 为圆A 的“黄金点”(1)求点P 所在曲线的方程.(2)已知圆B ：，P ，Q 均为圆“”的“钻石点”.①求直线的方程.②若圆H 是以线段为直径的圆，直线l ：与圆H 交于I ，J 两点，对于任意的实数k ，在y 轴上是否存在一点W ，使得y 轴平分？若存在，求出点W 的坐标；若不存在，请说明理由.()()221113x y +++=()()22221x y -+-=A B -PQ PQ 13y kx =+IWJ ∠江苏省扬州中学2024-2025学年第一学期期中试卷高二数学（参考答案）2024.11参考答案：题号12345678910答案C A D A C C A C BD CD 题号11 答案ABD8．【详解】设，∴S △AF 1F 2=12r 1(8+2m )=(4+m )r 1，S △ABF 2=12r 2(2m +2p )=(m +p )r 2，.在△与△中：，即，，当双曲线的斜率为正的渐近线时，取最大，此时，，当与轴重合时，取最小，此时，经上述分析得：，.故选：C.10．【详解】当时，曲线，即；当时，曲线，即；不存在；时，曲线，即；时，曲线，即；画出图形如右：对于A ，由图可得A 错误，故A 错误；对于B ，方程是以为上下焦点的双曲线，当时，曲线C 存在点P ，使得，故B 错误；对于C ，一三象限曲线的渐近线方程为，所以直线与曲线C 没有交点，故C 正确；对于D ，设，设点在直线上，点在直线，11222,,6,2,2AF m BA p F F AF m BF m p ====+=+-()()11224m r S m S p m p r +∴==+12AF F 2AF B 122cos cos F AF F AB ∠=-∠()()()()()2222222262222224m m m p m p m p m m m pm++-++-+-=-⇒=⋅⋅+⋅+⋅-32212324444444m m r m mp m m m r p mp m m m++-∴===+++--//l m p →+∞404m m ∴-=⇒=l x m 2m =()2,4m ∈1212,23r r ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭0,0x y ≥>22:44C x y =-2214y x -=0,0x y ≥<22:44C x y =--2214y x +=-0,0x y ≤≥22:44C x y -=-2214y x +=0,0x y <≤22:44C x y -=--2214y x -=2214y x -=12,F F 0,0x y ≥>214PF PF -=2y x =2y x =()00,Q x y A 2y x =B 2y x =-又点Q 是曲线C 上在第三象限内的一点，代入曲线方程可得，故D 正确；故选：CD.11．【详解】对于A ，由于，令时，整理得，解得，“水滴”图形与轴相交，最高点记为A ，则点A 的坐标为，点，白色“水滴”区域（含边界）任意两点间距离的最大值为，故A 正确；对于B ，由于，整理得：，所以，所以到坐标轴的距离为或，因为，所以，，所以到坐标轴的距离小于等于3，故B正确；对于C ，由于，令时，整理得，解得，因为表示以为圆心，半径为的圆，则，且，则在x 轴上以及x 轴上方，故白色“水滴”的下半部分的边界为以为圆心，半径为1的半圆，阴影的上半部分的外边界是以为圆心，半径为3的半圆，根据对称可知：白色“水滴”在第一象限的边界是以以为圆心，半径为2的圆弧，设，则，即AN 所对的圆心角为，同理AM 所在圆的半径为2，所对的圆心角为，阴影部分在第四象限的外边界为以为圆心，半径为2的圆弧，设，可得，DG 所对的圆心角为，同理DH 所在圆的半径为2，所对的圆心角为，故白色“水滴”图形由一个等腰三角形，两个全等的弓形，和一个半圆组成，22004455x y QA QB -⋅==22(cos )(sin )4x y θθ-+-=0x =[]32sin 0,2y yθ=-∈[1]y ∈- y (0,1)B -||1AB =22(cos )(sin )4x y θθ-+-=2cos cos 2sin sin x y αθαθ=+⎧⎨=+⎩2cos cos ,2sin sin )(M αθαθ++M ||2cos cos αθ+|2sin sin |αθ+cos [1,1],sin [0,1]θθ∈-∈2cos cos ||2cos ||cos |213|αθαθ+≤+≤+=|2sin sin ||2sin ||sin |213αθαθ+≤+≤+=M 22(cos )(sin )4x y θθ-+-=0y =[]32cos 2,2y yθ=-∈-[3,1][1,3]x ∈-- 22(cos )(sin )4x y -+-=θθ()cos ,sin Q θθ2r =13r OQ OP OQ r =-≤≤+=0πθ≤≤()cos ,sin Q θθO O ()1,0M -()1,0N 2AN AM MN ===π3π3()1,0N ()()3,0,3,0G H -π1,3ON OD OND ==∠=2π32π3所以它的面积是.轴上方的半圆（包含阴影和水滴的上半部分）的面积为，第四象限的阴影和水滴部分面积可以看作是一个直角三角形和一个扇形的面积的和，且等于所以阴影部分的面积为C 错误；对于D ，轴上方的阴影部分的内外边界曲线长为，轴下方的阴影部分的内外边界曲线长为，所以阴影部分的内外边界曲线长为，故D 正确.故选：ABD.12．13【详解】如图，设，因为，所以．由椭圆定义可知，，由，可得，所以．在Rt △F 1BF 2中，由，可得，即得，故得14．【详解】曲线，由于在曲线上，令，则，（其中），，又，，当时取得最大值15．【详解】（1）因为，所以，212π111π2π1222326S S S S ⎛=++=⨯⨯+⨯+⨯=⎝V 弓形半圆x 219π3π22⨯=2114π21π323⨯⨯+=941116π2(πππ2363++-=+x 1π4132π3223πππ2333⨯⨯+⨯⨯=+=x 111112π1(2π2π2)2π2233⨯⨯+⨯⨯-⨯⨯=13π11π8π33+=π314BF t =1AB F B ⊥，14sin 5F AB ∠=15,3AF t AB t ==21212=25,224AF a AF a t BF a BF a t =--=-=-22493AB AF BF a t t =+=-=13t a =1242,33BF a BF a ==2221212||||||F F BF BF =+222424(()33a a c =+2295c a =c e a ==9+1y =()()22141x y y +-=≥(),P a b ()2cos ,0π12sin a b θθθ=⎧≤≤⎨=+⎩()()222232cos 12sin 32cos 12sin a b a b θθθθ--++=---+++2cos 2sin 454sin 42sin 2cos 54sin θθθθθθ=--++=+-++()96sin 2cos 9θθθϕ=+-=+-sin ϕ=cos ϕ=π0,2ϕ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭[][]0,π,πθθϕϕϕ∈∴-∈-- π,02ϕ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭ππ,π2ϕ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭∴π2θϕ-=223a b a b --++9+()()2,0,6,2A B -()4,1M -故的方程是，即；（2）因为直线的斜率，所以经过点且与直线平行的直线方程为，即.16．【详解】（1）由题意知，解得，则，所以双曲线的方程为.（2）记双曲线的左焦点为，则，可得，当三点共线时，最小，且最小值为.故的最小值为.17．【详解】（1）∵，是抛物线C ：上的两点，∴，则，整理得，解得， 当时，，解得，不合题意；当时，，解得．故抛物线C 方程为y 2=6x ．（2）由（1）知C 的焦点为，故直线l 的方程为，联立，得，必有，设，，则，∴， ∴，即所以的最小值为18．【详解】（1）椭圆：的焦点坐标为，所以椭圆的焦点坐标也为，即得焦距为，∵椭圆过点，∴，CM 143124y x +-=+--2350x y +-=AC 303224ACk -==---B AC ()3264y x +=--34100x y +-=253165c a a c c ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩35a c =⎧⎨=⎩4b ==C 221916x y -=C 0F ()05,0F -0026PA PF PA PF a PA PF +=++=++0,,P F A 0PA PF +017AF =PA PF +17623+=()6,2A m +()24,8B m +()221y px p =>()()22212,848m p m p⎧+=⎪⎨+=⎪⎩()()22842m m +=+216m =4m =±4m =-()21224p m =+=113p =<4m =()212236p m =+=31p =>3,02⎛⎫⎪⎝⎭32y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭2632y xy k x ⎧=⎪⎨⎛⎫=- ⎪⎪⎝⎭⎩()222293604k x k x k -++=0∆>()11,P x y ()22,Q x y 212236k x x k ++=2122236636k PQ x x p k k+=++=+=+222666PQ k k k +=++≥+226k k=2k =2PQ k +6+1C 2212x y +=()1,0±C ()1,0±22c =C 31,2Q ⎛⎫⎪⎝⎭24a +=∴，，∴椭圆的标准方程为.（2）①设直线：（），由，得，设M (x 1,y 1)，N (x 2,y 2)，所以，，所以，因为直线和的斜率互为相反数，所以，所以，所以，所以.即，所以，因为，所以，所以动直线恒过轴上的定点②由①知，，且，即，又S △OMN =12⋅|OT |⋅|y 1―y 2|=12⋅4⋅(y 1+y 2)2―4y1y 2令，则，∴S △OMN=24⋅n (3n +16)2≤24⋅n (2⋅3n⋅16)2=24⋅n 4⋅3n ⋅16=3（当且仅当时取“＝”）∴(S △OMN )max =3.19．【详解】（1）因为点P 为圆A 的“黄金点”，即，所以点P的轨迹是以AP 所在曲线的方程为（2）①因为P 为圆B 的“黄金点”，则所以，即点P 在圆上，则P 是圆和的交点.因为P ，Q 均为圆“”的“钻石点”，所以直线即为圆和的公共弦所在直线，2a =b =22143x y +=l x my t =+0m ≠223412x my t x y =+⎧⎨+=⎩()2223463120m y mty t +++-=122634mt y y m +=-+212231234t y y m -=+()()()()1221121212111111MF NF y x y x y yk k x x x x -+-+=+=----()()()()1221121111y my t y my t x x +-++-=--BM BN 0MB NB k k =+()()()()12211211011y my t y my t x x +-++-=--()()1221110y my t y my t +-++-=()()1212210my y t y y +-+=()22231262103434t mtm t m m --⨯+-⨯=++()640m t -=0m ≠4t =l x ()4,0T 1222434m y y m +=-+1223634y y m =+()()22Δ24434360m m =-+⋅>24m >224==240n m =->24m n =+316n ==PA =()()2211 3.x y +++=()121PB PB +=-||3PB =()()22229x y -+-=()()22113x y +++=()()22229x y -+-=A B -PQ ()()22113x y +++=()()22229x y -+-=两圆方程相减可得，故直线的方程为.②设的圆心为的圆心为，半径为.直线的方程为，得的中点坐标为，点S 到直线，则，所以圆H 的方程为.假设轴上存在点满足题意，设，.若轴平分，则，即，整理得又，所以代入上式可得，整理得①，由可得，所以x 1+x 2=―23k k 2+1,x 1x 2=―89k 2+1，代入①并整理得，此式对任意的都成立，所以.故轴上存在点，使得轴平分.0x y +=PQ 0x y +=22(1)(1)3x y +++=(11),S --()()22229x y -+-=(2,2)T 3ST y x =PQ (0,0)0x y +==12PQ ==221x y +=y (0),W t ()()1122,,,I x y J x y 120x x ≠y IWJ ∠0IM JW k k +=12120y t y tx x --+=()()21120.x y t x y t -+-=11223,113y kx y kx =+=+211211)33(()0x kx t x kx t +-++-=()12121203kx x t x x ⎛⎫+-+= ⎪⎝⎭22131y kx x y ⎧=+⎪⎨⎪+=⎩()22281039k x kx ++-=2203k kt -+=k 3t =y ()0,3W y IWJ ∠。
北京市2024-2025学年高二上学期期中考试数学试卷含解析
2024-2025学年第一学期高二数学期中考试2024.11（答案在最后）一、单选题（每小题4分，共40分）1.已知α，β是两个不同的平面，l ，m 是两条不同的直线，下列说法正确的是（）A.若//αβ，l α⊂，m β⊂，则//l mB.若αβ⊥，l α⊂，则l β⊥C.若l α⊥，αβ⊥，则//l βD.若l α∥，m α⊥，则l m⊥【答案】D 【解析】【分析】根据空间中直线与平面，以及平面与平面的关系，即可结合选项逐一求解.【详解】对于A ，若//αβ，l α⊂，m β⊂，则//l m 或者l m ,异面，故A 错误，对于B ，若αβ⊥，l α⊂，且l 与α，β的交线垂直，才有l β⊥，否则l 与β不一定垂直，故B 错误，对于C ，若l α⊥，αβ⊥，则//l β或者l β⊂，故C 错误，对于D ，若l α∥，m α⊥，则l m ⊥，D 正确，故选：D2.下列可使非零向量,,a b c构成空间的一组基底的条件是（）A.,,a b c两两垂直B.b cλ=C.a mb nc=+ D.0a b c ++= 【答案】A 【解析】【分析】由基底定义和共面定理即可逐一判断选项A 、B 、C 、D 得解.【详解】由基底定义可知只有非零向量,,a b c不共面时才能构成空间中的一组基底.对于A ，因为非零向量,,a b c 两两垂直，所以非零向量,,a b c不共面，可构成空间的一组基底，故A 正确；对于B ，b c λ= ，则,b c 共线，由向量特性可知空间中任意两个向量是共面的，所以a 与,b c 共面，故B错误；对于C ，由共面定理可知非零向量,,a b c共面，故C 错误；对于D ，0a b c ++=即a b c =--，故由共面定理可知非零向量,,a b c共面，故D 错误.故选：A.3.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，则点B 到直线1AC 的距离为（）A.23B.33C.3D.223【答案】C 【解析】【分析】利用解直角三角形可求点B 到直线AC 1的距离.【详解】如图，连接1BC ，由正方体的性质可得1BC =1AB BC ⊥，故B 到1AC 的63=，故选：C.4.已知直线l 的方向向量为()1,2,4v =- ，平面α的法向量为(),1,2n x =-，若直线l 与平面α垂直，则实数x 的值为（）A.10-B.10C.12-D.12【答案】D 【解析】【分析】根据线面垂直得到()1,2,4v =- 与(),1,2n x =- 平行，设v kn =r r ，得到方程组，求出12x =.【详解】直线l 与平面α垂直，故()1,2,4v =- 与(),1,2n x =-平行，设v kn =r r ，即1224kx k k =⎧⎪=⎨⎪-=-⎩，解得12x =.故选：D5.《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图，在堑堵111ABC A B C -中，,M N 分别是111,AC BB 的中点，G 是MN 的中点，若1AG xAB y AA z AC =++，则x y z ++=（）A.1B.12C.32D.34【答案】C 【解析】【分析】连接,AM AN ，由()111312244AG AM AN AB AA AC =+=++，即可求出答案.【详解】连接,AM AN如下图：由于G 是MN 的中点，()12AG AM AN=+∴11111222AA AC AB AA ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭1131244AB AA AC =++.根据题意知1AG xAB y AA z AC =++ .32x y z ∴++=.故选：C.6.已知直线1:3470l x y -+=与直线()2:6110l x m y m -++-=平行，则1l 与2l 之间的距离为（）A.2B.3C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】根据两条直线平行，求出m 值，再应用平行线间的距离公式求值即可.【详解】因为直线1:3470l x y -+=与直线()2:6110l x m y m -++-=平行，所以6(1)1=347m m -+-≠-，解之得7m =.于是直线2:6860l x y --=，即2:3430l x y --=，所以1l 与2l2=.故选：A7.若直线y kx =与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线20x y b ++=对称，则k ，b 的直线分别为（）A.12k =，4b =- B.12k =-，4b =C.12k =，4b = D.12k =-，4b =-【答案】A 【解析】【分析】由圆的对称性可得20x y b ++=过圆的圆心且直线y kx =与直线20x y b ++=垂直，从而可求出,k b .【详解】因为直线y kx =与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线20x y b ++=对称，故直线y kx =与直线20x y b ++=垂直，且直线20x y b ++=过圆心()2,0，所以()21k ⨯-=-，2200b ⨯++=，所以12k =，4b =-.故选：A【点睛】本题考查直线方程的求法，注意根据圆的对称性来探求两条直线的位置关系以及它们满足的某些性质，本题属于基础题.8.已知圆()()22:349C x y -+-=，直线l 过点()2,3P ，则直线l 被圆C 截得的弦长的最小值为（）A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】先判断出()2,3P 与圆的位置关系，然后根据圆心到直线l 的距离的最大值求解出弦长的最小值.【详解】直线l 恒过定点()2,3P ，圆()()22:349C x y -+-=的圆心为()3,4C ，半径为3r =，又()()222233429PC=-+-=<，即P 在圆内，当CP l ⊥时，圆心C 到直线l 的距离最大为d PC =，此时，直线l 被圆C 截得的弦长最小，最小值为=．故选：A .9.已知圆C 的方程为22(2)x y a +-=，则“2a >”是“函数y x =的图象与圆C 有四个公共点”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】找出||y x =与圆有四个公共点的等价条件，据此结合充分条件、必要条件概念判断即可.【详解】由圆C 的方程为22(2)x y a +-=可得圆心()0,2，半径r =，若圆与函数y x =相交，则圆心到直线y x =的距离d ==<即2a >，若函数y x =的图象与圆C 有四个公共点，则原点在圆的外部，即220(02)a +->，解得4a <，综上函数y x =的图象与圆C 有四个公共点则24a <<，所以“2a >”是“函数y x =的图象与圆C 有四个公共点”的必要不充分条件，故选：B10.古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A 、B 的距离之比为定值(1)λλ≠的点所形成的图形是圆，后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)A -，(4,0)B .点P 满足||1||2PA PB =，设点P 所构成的曲线为C ，下列结论不正确的是（）A.C 的方程为22(4)16x y ++=B.在C 上存在点D ，使得D 到点(1,1)的距离为3C.在C 上存在点M ，使得||2||MO MA =D.C 上的点到直线34130x y --=的最小距离为1【答案】C 【解析】【分析】对A ：设点 th ，由两点的距离公式代入化简判断；对B ：根据两点间的距离公式求得点(1,1)到圆上的点的距离的取值范围，由此分析判断；对C ：设点 th ，求点M 的轨迹方程，结合两圆的位置关系分析判断；对D ：结合点到直线的距离公式求得C 上的点到直线34130x y --=的最大距离，由此分析判断.【详解】对A ：设点 th ，∵12PA PB =12=，整理得()22416x y ++=，故C 的方程为()22416x y ++=，故A 正确；对B ：()22416x y ++=的圆心()14,0C -，半径为14r =，∵点(1,1)到圆心()14,0C -的距离1d==，则圆上一点到点(1,1)的距离的取值范围为[]1111,4d r d r ⎤-+=⎦，而)34∈，故在C 上存在点D ，使得D 到点(1,1)的距离为9，故B 正确；对C ：设点 th ，∵2MO MA ==，整理得2281639x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，∴点M 的轨迹方程为2281639x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭，是以28,03C ⎛⎫- ⎪⎝⎭为圆心，半径243r =的圆，又12124833C C r r =<=-，则两圆内含，没有公共点，∴在C 上不存在点M ，使得2MO MA =，C 不正确；对D ：∵圆心()14,0C -到直线34130x y --=的距离为25d ==，∴C 上的点到直线34130x y --=的最小距离为211d r -=，故D 正确；故选：C.【点睛】思路点睛：利用点与圆的位置关系来判定B ，利用圆与圆的位置关系来判定C ，结合数形思想即可.二、填空题（每小题5分，共25分）11.已知圆锥的母线与底面所成角为45 ，高为1.则该圆锥的体积为________.【答案】1π3##π3【解析】【分析】根据圆锥的结构特征，圆锥底面半径、高、母线长构成一个直角三角形，从而求出圆锥底面半径，再利用锥体的体积公式即可求解.【详解】因为圆锥底面半径OA 、高PO 、母线PA 构成一个Rt PAO △，又45PAO ∠= ，1PO =，所以底面圆半径1OA =，则该圆锥的体积22111π×π11π333V OA PO =⨯⨯=⨯⨯⨯=，故答案为：1π3.12.已知平面α的一个法向量为(2,3,5)n =，点(1,3,0)A --是平面α上的一点，则点(3,4,1)P --到平面α的距离为__________.【答案】3819【解析】【分析】利用空间向量法可得出点P 到平面α的距离为PA nd n⋅= ，即可求解.【详解】由题意可知()2,1,1PA =-，根据点P 到平面α的距离为19PA nd n⋅==.故答案为：381913.过两条直线1:30l x y -+=与2:20l x y +=的交点，倾斜角为π3的直线方程为____________（用一般式表示）20y -++=【解析】【分析】联立两方程求出交点坐标，再由点斜式写出直线方程，然后化为一般形式即可；【详解】由题意可得12:30:20l x y l x y -+=⎧⎨+=⎩，解得交点坐标为()1,2-，又所求直线的倾斜角为π3，故斜率为πtan 3=所以直线方程为)21y x -=+，20y -++=.14.已知某隧道内设双行线公路，车辆只能在道路中心线一侧行驶，隧道截面是半径为4米的半圆，若行驶车辆的宽度为2.5米，则车辆的最大高度为______________米．【答案】392【解析】【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，得出半圆方程，设(2.5,0)A ，求出A 点处半圆的高度即可得．【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，O 是圆心， 2.5OA =，半圆方程为2216x y +=（0y ≥）(2.5,0)A ，B 在半圆上，且BA ⊥x 轴，则2216 2.59.75B y =-=，2B y =，故答案为：2．15.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，点M 在线段1BC （不包含端点）上运动，则下列结论正确的是______.（填序号）①正方体1111ABCD A B C D -的外接球表面积为48π；②异面直线1A M 与1AD 所成角的取值范围是,32ππ⎛⎤⎥⎝⎦；③直线1//A M 平面1ACD ；④三棱锥1D AMC -的体积随着点M 的运动而变化.【答案】②③【解析】【分析】由正方体的对角线即为外接球的直径求得球表面积判断①，由异面直线所成角的定义确定1A M 与1BC 的夹角范围判断②，根据线面平面平行的判定定理判断③，换度后由三棱锥体积公式判断④．【详解】正方体对角线长为，即这外接球直径，因此球半径为r =2412ππ==S r ，①错；正方体中AB 与11C D 平行且相等，11ABC D 是平行四边形，11//AD BC ，11A BC V 是正三角形，1A M 与1BC 的夹角（锐角或直角）的范围是[,32ππ，因此②正确；由②上知11//BC AD ，而1BC ⊄平面1ACD ，1AD ⊂平面1ACD ，所以1//BC 平面1ACD ，同理1//A B 平面1ACD ，又11A B BC B ⋂=，11,A B BC ⊂平面11A BC ，所以平面11//A BC 平面1ACD ，而1A M ⊂平面11A BC ，所以1//A M 平面1ACD ，③正确；由1//BC 平面1ACD ，因此M 到平面1ACD 的距离不变，所以11D AMC M ACD V V --=不变，④错．故答案为：②③．三、解答题（共85分）16.已知ABC V 顶点()1,2A 、()3,1B --、()3,3C -．（1）求线段BC 的中点及其所在直线的斜率；（2）求线段BC 的垂直平分线1l 的方程；（3）若直线2l 过点A ，且2l 的纵截距是横截距的2倍，求直线2l 的方程．【答案】（1）中点为()0,2-，13-（2）320x y --=；（3）2y x =或240x y +-=.【解析】【分析】（1）根据中点坐标公式和斜率公式求解；（2）根据（1）中结果结合两直线垂直的斜率关系，得出中垂线斜率，然后利用点斜式方程求解；（3）分类讨论直线是否过原点结合截距式方程即可求解【小问1详解】由()3,1B --、()3,3C -，可知BC 中点为()0,2-，且()()311333BC k ---==---，【小问2详解】由（1）可得13BC k =-，BC 垂直平分线斜率1k 满足11BC k k ⋅=-，即13k =，又BC 的垂直平分线过(0,2)-，所以边BC 的垂直平分线1l 的方程为()()230y x --=-，即320x y --=；【小问3详解】当直线2l 过坐标原点时，2221k ==，此时直线2:2l y x =，符合题意；当直线2l 不过坐标原点时，由题意设直线方程为12x y a a +=，由2l 过点()1,2A ，则1212a a +=，解得2a =，所以直线2l 方程为124x y +=，即240x y +-=，综上所述，直线2l 的方程为2y x =或240x y +-=.17.在平面直角坐标系xOy 中，圆C 经过点()1,0A 和点()1,2B -，且圆心在直线220x y -+=上.（1）求圆C 的标准方程；（2）若直线3x ay =+被圆C 截得弦长为a 的值.【答案】（1）()2214x y ++=（2）a =【解析】【分析】（1）先求线段AB 的垂直平分线所在直线的方程，进而求圆心和半径，即可得方程；（2）由垂径定理可得圆心到直线的距离1d =，利用点到直线的距离公式运算求解.【小问1详解】因为()1,0A ，()1,2B -的中点为()0,1E ，且直线AB 的斜率20111AB k -==---，则线段AB 的垂直平分线所在直线的方程为1y x =+，联立方程1220y x x y =+⎧⎨-+=⎩，解得10x y =-⎧⎨=⎩，即圆心()1,0C -，2r CA ==，所以，圆C 的方程为()2214x y ++=.【小问2详解】因为直线3x ay =+被曲线C截得弦长为，则圆心到直线的距离1d ==，由点到直线的距离公式可得1=，解得a =18.已知圆22:68210C x y x y +--+=，直线l 过点()1,0A .（1）求圆C 的圆心坐标及半径长；（2）若直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程；（3）设直线l 与圆C 相切于点B ，求 R .【答案】（1）圆心坐标为 th ，半径长为2.（2）1x =或3430x y --=.（3）4.【解析】【分析】（1）将圆化为标准方程即可求出圆心坐标以及半径长；（2）讨论直线l 的斜率不存在与存在两种情况，不存在时设出直线方程kx y k 0--=根据点到直线距离公式求解即可；（3）根据两点间距离公式求出AC 长，再根据勾股定理求解即可.【小问1详解】圆C 方程可化为:()()22344x y -+-=，圆心坐标为 th ，半径长为2.【小问2详解】①当直线l 的斜率不存在时，方程为 ，圆心 th 到直线l 距离为2，满足题意．②当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程是h ，即kx y k 0--=.由圆心()34，到直线l2=，解得34k =，此时直线l 的方程为3430x y --=.综上，直线l 的方程为 或3430x y --=.【小问3详解】∵圆C 的圆心坐标为 th ，()1,0A ，∴()()22314025AC =-+-=.如图，由相切得，AB BC ⊥，2BC =，∴222044AB AC BC =-=-=.19.如图所示，在几何体ABCDEFG 中，四边形ABCD 和ABFE 均为边长为2的正方形，//AD EG ，AE ⊥底面ABCD ，M 、N 分别为DG 、EF 的中点，1EG =.（1）求证：//MN 平面CFG ；（2）求直线AN 与平面CFG 所成角的正弦值．【答案】（1）证明见解析（2）53【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，求得直线MN 的方向向量31,,12MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，求得平面CFG 的法向量1n ，然后利用10n MN ⋅= ，证明1MN n ⊥ ，从而得出//MN 平面CFG ；（2）求得直线AN 的方向向量()1,0,2AN = ，由（1）知平面CFG 的法向量1n ，结合线面角的向量公式即可得解.【小问1详解】因为四边形ABCD 为正方形，AE ⊥底面ABCD ，所以AB ，AD ，AE 两两相互垂直，如图，以A 为原点，分别以AB ，AD ，AE 方向为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系A xyz -，由题意可得 t t ，()2,0,0B ，()2,2,0C ，()0,2,0D ，()0,0,2E ，()2,0,2F ，()0,1,2G ，30,,12M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1,0,2N ，则()0,2,2CF =- ，()2,1,2CG =-- ，31,,12MN ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ 设平面CFG 的一个法向量为 th t ，则11n CF n CG⎧⊥⎪⎨⊥⎪⎩ ，故11·=0·=0n CF n CG ⎧⎪⎨⎪⎩ ，即11111220220y z x y z -+=⎧⎨--+=⎩，则111112y z x z =⎧⎪⎨=⎪⎩，令12z =，得()11,2,2n = ，所以()1331,2,21,,111221022n MN ⎛⎫⎛⎫⋅=⋅-=⨯+⨯-+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1MN n ⊥ ，又MN ⊄平面CFG ，所以//MN 平面CFG .【小问2详解】由（1）得直线AN 的一个方向向量为()1,0,2AN = ，平面CFG 的一个法向量为()11,2,2n = ，设直线AN 与平面CFG 所成角为θ，则111sin cos,3n ANn ANn ANθ⋅=====⋅，所以直线AN与平面CFG 所成角的正弦值为53.20.如图，已知等腰梯形ABCD中，//AD BC，122AB AD BC===，E是BC的中点，AE BD M=，将BAE沿着AE翻折成1B AE△，使1B M⊥平面AECD.（1）求证：CD⊥平面1B DM；（2）求平面1B MD与平面1B AD夹角的余弦值；（3）在线段1B C上是否存在点P，使得//MP平面1B AD，若存在，求出11B PB C的值；若不存在，说明理由.【答案】（1）证明见解析（2）155（3）存在，1112B PB C=.【解析】【分析】（1）作出辅助线，得到四边形ABED是菱形，AE BD⊥，得到1,AE B M AE DM⊥⊥，证明出AE⊥平面1B DM，再证明出四边形AECD是平行四边形，故//AE CD，所以CD⊥平面1B DM；（2）证明出1,,AE B M DM两两垂直，建立空间直角坐标系，写出点的坐标，求出两平面的法向量，利用面面角的余弦向量公式求出平面1B MD与平面1B AD夹角余弦值；（3）假设线段1B C上存在点P，使得//MP平面1B AD，作出辅助线，得到A M P Q，，，四点共面，四边形AMPQ为平行四边形，所以12PQ AM CD==，所以P是1B C的中点，求出11B PB C.【小问1详解】如图，在梯形ABCD 中，连接DE ，因为E 是BC 的中点，所以12BE BC =，又122AD BC ==，所以AD BE =，又因为//AD BE ，所以四边形ABED是平行四边形，因为AB AD =，所以四边形ABED 是菱形，从而AE BD ⊥，BAE 沿着AE 翻折成1B AE △后，有1,AE B M AE DM⊥⊥又11,,B M DM M B M DM =⊂ 平面1B DM ，所以AE ⊥平面1B DM ，由题意，易知//,AD CE AD CE =，所以四边形AECD 是平行四边形，故//AE CD ，所以CD ⊥平面1B DM .【小问2详解】因为1B M ⊥平面AECD ，DM ⊂平面AECD ，则有1B M DM ⊥，由（1）知1,AE B M AE DM ⊥⊥，故1,,AE B M DM 两两垂直，以M 为坐标原点，1,,ME MD MB 所在直线分别为,,x y z轴，建立空间直角坐标系，因为AB BE AE ==，所以ABE 为等边三角形，同理ADE V 也为等边三角形，则(()()1,1,0,0,0,B A D -，设平面1B AD 的一个法向量为 tht ，则()()()(1,,0,,0m AD x y z x m B D x y z ⎧⋅=⋅=+=⎪⎨⋅=⋅=-=⎪⎩ ，令1y =得1x z ==，故()m = ，又平面1B MD 的一个法向量为()1,0,0n = ，则cos ,5m n m n m n ⋅==⋅ ，故平面1B MD 与平面1B AD 夹角的余弦值为5；【小问3详解】假设线段1B C 上存在点P ，使得//MP 平面1B AD ，过点P 作PQ CD∥交1B D 于Q ，连接MP AQ ，，如图所示：所以////AM CD PQ ，所以A M P Q ，，，四点共面，又因为//MP 平面1B AD ，所以//MP AQ ，所以四边形AMPQ 为平行四边形，所以12PQ AM CD ==，所以P 是1B C 的中点，故在线段1B C 上存在点P ，使得//MP 平面1B AD ，且1112B P B C =.21.“曼哈顿几何”也叫“出租车几何”，是在19世纪由赫尔曼·闵可夫斯基提出来的．如图是抽象的城市路网，其中线段AB 是欧式空间中定义的两点最短距离，但在城市路网中，我们只能走有路的地方，不能“穿墙”而过，所以在“曼哈顿几何”中，这两点最短距离用(),d A B 表示，又称“曼哈顿距离”，即(),d A B AC CB =+，因此“曼哈顿两点间距离公式”：若()11,A x y ，()22,B x y ，则()2121,d A B x x y y =-+-（1）①点()A 3,5，()2,1B -，求(),d A B 的值．②求圆心在原点，半径为1的“曼哈顿单位圆”方程．（2）已知点()10B ,，直线220x y -+=，求B 点到直线的“曼哈顿距离”最小值；（3）设三维空间4个点为(),,i i i i A x y z =，1,2,3,4i =，且i x ，i y ，{}0,1i z ∈．设其中所有两点“曼哈顿距离”的平均值即d ，求d 最大值，并列举最值成立时的一组坐标．【答案】（1）①7；②1x y +=；（2）2；（3）2，()10,0,0A ，()21,0,1A ，()31,1,0A ，()40,1,1A .【解析】【分析】（1）①②根据“曼哈顿距离”的定义求解即可；（2）设直线220x y -+=上任意一点坐标为()11,22C x x +，然后表示(),d C B ，分类讨论求(),d C B 的最小值；（3）将i A 的所有情况看做正方体的八个顶点，列举出不同情况的d ，即可得到d 的最小值.【小问1详解】①(),32517d A B =-++=；②设“曼哈顿单位圆”上点的坐标为(),x y ，则001x y -+-=，即1x y +=.【小问2详解】设直线220x y -+=上任意一点坐标为()11,22C x x +，则()11,122d C B x x =-++，当11x <-时，()1,31d C B x =--，此时(),2d C B >；当111x -≤≤时，()1,3d C B x =+，此时(),2d C B ≥；当11x >时，()1,31d C B x =+，此时(),4d C B >，综上所述，(),d C B 的最小值为2.【小问3详解】如图，A B C D E F G H ''''''''-为正方体，边长为1，则i A 对应正方体的八个顶点，当四个点在同一个面上时，（i ）例如：,,,A B C D ''''，此时121121463d +++++==；（ii ）例如：,,,A E G C ''''，此时23113226d +++++==；当四个点不在同一个平面时，（iii ）例如：,,,A C H D ''''，此时22222226d +++++==；（iiii ）例如：,,,A B E D ''''，此时221112563d +++++==；（iiiii ）例如：,,,A B E H ''''，此时112231563d +++++==；（iiiiii ）例如：,,,A B E G ''''，此时1223121166d +++++==；综上所述，d 的最大值为2，例如：()10,0,0A ，()21,0,1A ，()31,1,0A ，()40,1,1A .。
2024学年天津市南开中学高二数学上学期期中检测试卷及答案解析
2024学年天津市南开中学高二数学上学期期中检测试卷考试时间：120分钟，试卷满分150分2024.11第I 卷（选择题共60分）一.单选题（共12小题，每小题5分，在每题列出的四个选项中，只有一项最符合题目要求）1.已知空间向量()(),1,0,21,1,1a b ==-，则下列结论正确的是（）A.向量a在向量b 上的投影向量是12,0,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B.()0,1,3a b -=--C .a b ⊥D.cos ,15a b =2.已知直线l 经过点()1,2-，且与直线2310x y +-=垂直，则l 的方程为（）A.2340x y ++= B.2380x y +-= C.3270x y --= D.3210x y --=3.设圆224470x y x y +-++=上的动点P 到直线0x y +-=的距离为d ，则d 的取值范围是A.[]0,3 B.[]2,4 C.[]2,5 D.[]3,54.已知圆的方程为2220x y x +-=，(),M x y 为圆上任意一点，则21y x --的取值范围是（）A.⎡⎣B.[]1,1-C.(),-∞+∞D.(][),11,-∞-+∞5.已知点M ，椭圆2214x y +=与直线(y k x =+交于点,A B ，则ABM 的周长为（）A.4B.8C.12D.166.已知圆C 的圆心是直线10x y ++=与直线10x y --=的交点，直线34110x y +-=与圆C 相交于A ，B 两点，且6AB =，则圆C 的方程为（）A.()22118x y ++= B.()221x y +-=C.()22118x y -+= D.()221x y -+=7.已知圆22:2410C x y x y +-++=关于直线:3240l ax by ++=对称，则由点(,)M a b 向圆C 所作的切线中，切线长的最小值是（）A.2B.C.3D.8.已知,M N 分别是曲线1C ：222410x y x y ++-+=，2C ：226290x y x y +--+=上的两个动点，P 为直线220x y ++=上的一个动点，则||||PM PN +的最小值为（）A .3- B.3C.1- D.49.已知椭圆C ：2213620x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线l ：y kx =与椭圆C 交于A ，B 两点，若122AF AF =，则1ABF ∆的面积是（）A. B. C.8D.410.设双曲线224x y -=的焦点为1F ，2F ，点P 在双曲线右支上，且1290F PF ︒∠=，则点P 的横坐标为（）A.B.2C.D.611.如图，1F ，2F 分别是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，且()1F ，过1F 的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点A ，B ．若2ABF △为等边三角形，则双曲线的方程为（）A.22551728x y -= B.2216x y -= C.2216y x -= D.22551287x y -=12.已知椭圆的两焦点1F ，2F 和双曲线的两焦点重合，点P 为椭圆和双曲线的一个交点，且121cos 4F PF ∠=，椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则2212e e +的最小值为（）A.1514+B.2C.14D.4第II 卷（非选择题共90分）二.填空题（共8小题，每小题5分）13.过点()2,1-且方向向量为()1,2的直线的方程为___________．14.已知圆C 的圆心在直线x ＋y ＝0上，圆C 与直线x －y ＝0相切，且在直线x －y －3＝0上截得的弦长，则圆C 的方程为________．15.已知圆22460x y x y +--=，则过点()1,1M 的最短弦所在的直线方程是_________.16.已知()2,1,3a →=-，()3,4,2b →=-，()7,,5c λ→=，若,,a b c →→→共面，则实数λ=______．17.椭圆221369x y +=的一条弦被点(4,2)A 平分,那么这条弦所在的直线方程是________.18.双曲线22221x y a b-=的其中一条渐近线方程为2y x =，且焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的方程为_______19.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线被圆22650x y x +-+=截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为__________．20.已知F 1､F 2为双曲线2222x y a b-=1(a >0，b >0)的左､右焦点，过F 2作倾斜角为60°的直线l 交双曲线右支于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，则12AF F △的内切圆半径r 1与12BF F △的内切圆半径r 2之比12r r 为___________.三.解答题（共4小题，共50分）21.如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长为2，高为4．（1）求1A B 与1AD 所成角的余弦值；（2）1CC 与平面1ACD 所成角的正弦值．22.已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的离心率为2，焦距为2.（1）求椭圆E 的方程；（2）设O 为坐标原点，过左焦点F 的直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，若OAB ∆的面积为23，求直线l 的方程.23.如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面1,,2,4ABC AB AC AB AA AC ⊥===，M 是1CC 的中点，N 是1A B 的中点．（1）求证：1C N ∥平面ABM ；（2）求直线1AC 与平面ABM 所成角的正弦值；（3）求平面ABM 与平面1A BC 夹角的余弦值．24.已知椭圆()222210+=>>x y a b a b左顶点为M ，上顶点为N ，直线MN 的斜率为12．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）直线()1:02l y x m m =+≠与椭圆交于,A C 两点，与y 轴交于点P ，以线段AC 为对角线作正方形ABCD ，若2BP =．（i ）求椭圆方程；（ii ）若点E 在直线MN 上，且满足090EAC ∠=，求使得EC 最长时，直线AC 的方程．2024学年天津市南开中学高二数学上学期期中检测试卷第I 卷（选择题共60分）一.单选题（共12小题，每小题5分，在每题列出的四个选项中，只有一项最符合题目要求）1.已知空间向量()(),1,0,21,1,1a b ==-，则下列结论正确的是（）A.向量a在向量b 上的投影向量是12,0,55⎛⎫- ⎪⎝⎭B.()0,1,3a b -=--C.ab⊥D.15cos ,15a b =【答案】A 【解析】【分析】对于A 选项，根据投影向量的定义计算即可；对于B 选项，根据空间向量的减法运算法则即可；对于C 选项，根据向量法垂直的判别即可；对于D 选项，根据向量夹角的余弦公式计算即可.【详解】A.a在b 上的投影5||a b b ⋅=-，与b 同向的单位向量为,0,)55||b b =-，所以向量a 在向量b 上的投影向量是552512,0,)(,0,)55555--=-，故A 正确；B.()0,1,3a b -=，故B 错误；C.因为0a b ⋅≠r r ，所以a 与b 不垂直，故C 错误；D.cos 15|,|||a b a b a b <>⋅==-⋅，故D 错误.故选：A.2.已知直线l 经过点()1,2-，且与直线2310x y +-=垂直，则l 的方程为（）A.2340x y ++=B.2380x y +-=C.3270x y --=D.3210x y --=【答案】C 【解析】【分析】求出直线l 的斜率，利用点斜式可得出直线l 的方程.【详解】 直线l 与直线2310x y +-=垂直，且直线2310x y +-=的斜率为23-，所以直线l 的斜率为32，又因为直线l 经过点()1,2P -，所以直线l 的方程为()3212y x +=-，化简得3270x y --=.故选：C ．3.设圆224470x y x y +-++=上的动点P 到直线0x y +-=的距离为d ，则d 的取值范围是A.[]0,3 B.[]2,4 C.[]2,5 D.[]3,5【答案】B 【解析】【详解】分析：先把圆的方程化为标准形式，求出圆心坐标和半径，求出圆心到直线的距离，此距离减去圆的半径得最小值，加上半径得最大值.详解：由题意得，圆224470x y x y +-++=，即()()22221x y -++=，圆心为()2,2-，半径1r =，由圆心到直线的距离3d ==，∴圆上动点到直线的最小距离为312-=，最大距离为314+=，即d 的取值范围是[]2,4，故选B.点睛：本题考查圆的标准方程及几何性质，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，意在考查综合运用所学知识解答问题的能力，属于中档题.4.已知圆的方程为2220x y x +-=，(),M x y 为圆上任意一点，则21y x --的取值范围是（）A.⎡⎣B.[]1,1-C.(),-∞+∞D.(][),11,-∞-+∞ 【答案】C 【解析】【分析】将圆的方程化为标准式，21y x --表示圆上的点与点()1,2A 的连线的斜率，求出过点()1,2A 与圆相切的切线的斜率，即可求出21y x --的取值范围.【详解】圆的方程为2220x y x +-=，即()2211x y -+=，圆心为()1,0C ，半径1r =，则21y x --表示圆上的点与点()1,2A 的连线的斜率，过点()1,2A 作圆的切线方程，显然，切线斜率存在，设切线方程为2(1)y k x -=-，即20kx y k -+-=．=1，解得k =，所以21y x --的取值范围为(),-∞+∞ ．故选：C ．5.已知点M ，椭圆2214x y +=与直线(y k x =+交于点,A B ，则ABM 的周长为（）A.4B.8C.12D.16【答案】B 【解析】【分析】求出椭圆中c =，发现点M 为椭圆的右焦点，直线过左焦点，从而根据椭圆定义得到ABM 的周长为4a .【详解】由椭圆方程可知224,1a b ==，所以2223c a b =-=，c =，所以点M 为椭圆的右焦点，直线(y k x =+过左焦点(，由椭圆定义可知：ABM 的周长为48a =故选：B6.已知圆C 的圆心是直线10x y ++=与直线10x y --=的交点，直线34110x y +-=与圆C 相交于A ，B 两点，且6AB =，则圆C 的方程为（）A.()22118x y ++= B.()221x y +-=C.()22118x y -+= D.()221x y -+=【答案】A 【解析】【分析】求出两直线的交点坐标即圆心坐标，根据勾股定理求解半径即可.【详解】直线10x y ++=与直线10x y --=的交点为()0,1-，所以圆心为()0,1C -，设半径为r ，由题意得2223r +=，即解得218r =，故圆C 为()22118x y ++=.故选：A.7.已知圆22:2410C x y x y +-++=关于直线:3240l ax by ++=对称，则由点(,)M a b 向圆C 所作的切线中，切线长的最小值是（）A.2B.C.3D.【答案】B 【解析】【分析】依题可求出圆心及半径，过点(,)M a b 向圆C 所作的切线长l =线长的最小值，只需求||MC 的最小值，依题可得圆心在直线:3240l ax by ++=上，从而可得点(,)M a b 所在直线，由点到直线的距离公式可求出||MC 的最小值，从而得到答案.【详解】因为22:2410C x y x y +-++=即22:(1)(2)4C x y -++=，所以圆心为(1,2)C -，半径为2R =;因为圆C 关于直线:3240l ax by ++=对称，所以:3440l a b -+=，所以点(,)M a b 在直线1:3440l x y -+=上，所以||MC 的最小值为：|384|=35d ++=，=【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，切线长的表示方法，最值的转化，体现出转化与化归数形结合的思想.8.已知,M N 分别是曲线1C ：222410x y x y ++-+=，2C ：226290x y x y +--+=上的两个动点，P 为直线220x y ++=上的一个动点，则||||PM PN +的最小值为（）A.3-B.3C.1- D.4【答案】A 【解析】【分析】根据题意，将问题转化为求12,PC PC 的最小值，求得1C 的对称点，根据对称性即可求得结果.【详解】曲线2212410C x y x y ++-+=是以1(1,2)C -为圆心,2为半径的圆,2226290C x y x y +--+=是以2(3,1)C 为圆心,1为半径的圆,则||PM 的最小值为12PC PN -，的最小值为21PC -,如下图所示,作点1C 关于直线220x y ++=的对称点3C ,设其坐标为(,)m n,可得2211222022n m m n -⎧=⎪⎪+⎨-+⎪+⨯+=⎪⎩,解得32m n =-⎧⎨=-⎩,即3(3,2)C --,连接23C C ,分别交直线220x y ++=､圆2C 于点,P N ,连接1PC ，交圆1C 于点M ,可得123223PC PC PC PC C C +=+≥==,当且仅当23,,C P C 三点共线时32PC PC +的最小值为,则||||PM PN +的最小值为3-,故选：A .【点睛】本题综合考查了点与圆,点关于直线对称的应用,需要学生能灵活运用所学知识.9.已知椭圆C ：2213620x y +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，直线l ：y kx =与椭圆C 交于A ，B 两点，若122AF AF =，则1ABF ∆的面积是（）A. B. C.8D.4【答案】B 【解析】【分析】根据题意，结合椭圆定义可求出12AF F ∆的三边长，利用余弦定理求出12cos F AF ∠，即可得12sin F AF ∠值，故可得12AF F ∆的面积，由对称性可知1ABF ∆的面积.【详解】解：由题意可得6a =，4c =，则12212AF AF a +==，128F F =.因为122AF AF =，所以18AF =，24AF =，所以126416641cos 2844F AF +-∠==⨯⨯，则12sin 4F AF ∠=，故12AF F ∆的面积是121211sin 84224AF AF F AF ⋅∠=⨯⨯⨯=，由对称性可知1ABF ∆的面积是.故选：B.【点睛】本题考查了椭圆定义、考查了余弦定理三角形面积公式及图形的对称性，属于中档题.10.设双曲线224x y -=的焦点为1F ，2F ，点P 在双曲线右支上，且1290F PF ︒∠=，则点P 的横坐标为（）A.B.2C.D.6【答案】C 【解析】【分析】设(),P m n ，由点在曲线上及1290F PF ︒∠=，列出等式求解即可.【详解】由题意可得：()()12,F F -，设s ,>0，由题意可得：224m n -=1=-，两方程联立解得：26m =，所以m =故选：C11.如图，1F ，2F 分别是双曲线22221x y a b-=（0a >，0b >）的左、右焦点，且()1F ，过1F 的直线l 与双曲线的左、右两支分别交于点A ，B ．若2ABF △为等边三角形，则双曲线的方程为（）A.22551728x y -= B.2216x y -= C.2216y x -= D.22551287x y -=【答案】C 【解析】【分析】由双曲线定义结合等边三角形求得2BF ，1BF ，再由余弦定理求得,a b ，即可求得双曲线方程.【详解】根据双曲线的定义，有212AF AF a -=①，122BF BF a -=②，由于2ABF △为等边三角形，因此22AF AB BF ==，由①＋②，得114BF AF a -=，则224AB AF BF a ===，16BF a =，又因为1260F BF ∠=︒，所以()()()22212642642c a a a a =+-⨯⨯⨯，即2277a c ==，解得21a =，则2226b c a =-=，所以双曲线的方程为2216y x -=．故选：C .12.已知椭圆的两焦点1F ，2F 和双曲线的两焦点重合，点P 为椭圆和双曲线的一个交点，且121cos 4F PF ∠=，椭圆和双曲线的离心率分别为1e ，2e ，则2212e e +的最小值为（）A.1514+B.152C.14D.154【答案】A 【解析】【分析】设1PF x =，2PF y =，不妨设P 在第一象限，椭圆的长轴长为2a ，双曲线的实轴长为2a '，122F F c =，由椭圆与双曲线的定义用,a a '表示出,x y ，然后用余弦定理得出,,a a c '的关系即12,e e 的关系式，然后由基本不等式求得最小值．【详解】设1PF x =，2PF y =，不妨设P 在第一象限，椭圆的长轴长为2a ，双曲线的实轴长为2a '，122F F c =，则22x y a x y a '+=⎧⎨-=⎩，解得x a a y a a =+⎧⎨='-'⎩，在12PF F 中由余弦定理得222121212122cos F F PF PF PF PF F PF =+-∠，∴22222114242c x y xy x y xy =+-⨯=+-，1c e a =，2ce a ='，222221354()()()()222c a a a a a a a a a '''''=++--+-=+，∴2212358e e +=，∴()22222212121222221221531351888e e e e e e e e e e ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(11881884⎛≥+=+=+ ⎝，当且仅当2212222153e e e e =时等号成立．所以2212e e +的最小值为1514+．故选：A ．【点睛】本题考查椭圆与双曲线的定义，考查它们的离心率，解题关键是利用定义表示出焦半径12,PF PF ，然后用余弦定理求得12,e e 的关系式，用基本不等式求得最小值．第II 卷（非选择题共90分）二.填空题（共8小题，每小题5分）13.过点()2,1-且方向向量为()1,2的直线的方程为___________．【答案】250x y --=【解析】【分析】由题意可得直线的斜率，再由点斜式方程即可求解【详解】因为直线过点()2,1-且方向向量为()1,2，所以直线的斜率为221k ==，所以直线的方程为()122y x +=-，即250x y --=，故答案为：250x y --=14.已知圆C 的圆心在直线x ＋y ＝0上，圆C 与直线x －y ＝0相切，且在直线x －y －3＝0上截得的弦长，则圆C 的方程为________．【答案】(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.【解析】【分析】设圆的圆心，由直线与圆相切可得半径，再由垂径定理即可得解.【详解】由圆C 的圆心在直线x ＋y ＝0上，∴设圆C 的圆心为(a ,－a )，又∵圆C 与直线x －y ＝0相切，∴半径r ==.又圆C 在直线x －y －3＝0，圆心(a ,－a )到直线x －y －3＝0的距离d =∴2222d r ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭，即22(23)3222a a -+=，解得a ＝1，∴圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.故答案为：22(1)(1)2x y -++=.15.已知圆22460x y x y +--=，则过点()1,1M 的最短弦所在的直线方程是_________.【答案】230x y +-=【解析】【分析】由题知，弦最短时，圆心与点M 的连线与直线l 垂直，进而求解直线方程即可.【详解】解：根据题意：弦最短时，圆心与点M 的连线与直线l 垂直,因为圆22460x y x y +--=，即()()222313x y -+-=，圆心为：()2,3O ，所以31221OMk -==-，所以112l OM k k -==-，所以所求直线方程为：230x y +-=.故答案为：230x y +-=.16.已知()2,1,3a →=-，()3,4,2b →=-，()7,,5c λ→=，若,,a b c →→→共面，则实数λ=______．【答案】12313-【解析】【分析】由空间向量的共面定理，列出方程组求出实数λ的值．【详解】因为,,a b c →→→共面，所以a x b y c →→→=+，则23732514x y x y x y λ-=+⎧⎪=+⎨⎪=-+⎩，解得311312313x y λ⎧⎪=-⎪=⎨⎪⎪=-⎩，故答案为：12313-17.椭圆221369x y +=的一条弦被点(4,2)A 平分,那么这条弦所在的直线方程是________.【答案】280x y +-=【解析】【分析】利用点差法即得直线斜率，再根据点斜式求直线方程.【详解】设这条弦的端点坐标为()()1122,,,x y x y ，则22111369x y +=，22221369x y +=，12128,4x x y y +=+=，∴221222120363699y x y x -+-=，22121222369y x x y -=--，所以()()1212121291362x x y y x x y y ++=-=---，因此这条弦所在的直线方程为1242()y x -=--，即280x y +-=.故答案为：280x y +-=.18.双曲线22221x y a b-=的其中一条渐近线方程为2y x =，且焦点到渐近线的距离为2，则双曲线的方程为_______【答案】2214y x -=【解析】【分析】由双曲线的渐近线方程可得2ba=，再由焦点到渐近线的距离为2可得2b =，即可得答案；【详解】由题意得：2,12,b a ab ⎧=⎪⇒=⎨⎪=⎩，∴双曲线的方程为2214y x -=，故答案为：2214y x -=.【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程和焦点到渐近线的距离为b ，考查运算求解能力，属于基础题.19.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线被圆22650x y x +-+=截得的弦长为2，则该双曲线的离心率为__________．【答案】62【解析】【详解】圆的标准方程为22(3)4x y -+=，圆心为(3,0)，半径为2r =，一条渐近线方程为0bx ay -=，圆心到渐近线距离为d =，因为弦长为2，所以22221=-，所以62c e a ==．20.已知F 1､F 2为双曲线2222x y a b-=1(a >0，b >0)的左､右焦点，过F 2作倾斜角为60°的直线l 交双曲线右支于A ，B 两点(A 在x 轴上方)，则12AF F △的内切圆半径r 1与12BF F △的内切圆半径r 2之比12r r 为___________.【答案】3【解析】【分析】连接12O O 交AB 于D 点，由题意可得1122122O D r r r r ==++，即求.【详解】由内切圆的性质可知，12AF F △的内切圆1O 和12BF F △的内切圆2O 都与x 轴相切于双曲线的右顶点C ，可知12,,O C O 三点共线.连接12O O 交AB 于D 点，如图：直线l 的倾斜角为60°，所以1160CO T ∠=，2260DO T ∠= ，在11Rt DO T 与22Rt DO T 中，则1122122O D r r r r ==++，则12r r 为3.故答案为：3三.解答题（共4小题，共50分）21.如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面边长为2，高为4．（1）求1A B 与1AD 所成角的余弦值；（2）1CC 与平面1ACD 所成角的正弦值．【答案】（1）45（2）13【解析】【分析】（1）利用棱柱中的平行关系转化异面直线为共面直线，余弦定理解三角形求夹角即可；（2）利用棱柱中的平行关系转化线面夹角，结合（1）解三角形计算即可.【小问1详解】连接1A B ，由正四棱柱的性质可知11//A B D C ，1A B 与1AD 所成角为1AD C ∠，由已知可得2211245,2AD D C AC ==+=由余弦定理可知：22211111324cos 22205D A D C AC AD C AD D C +-∠===⋅⨯；【小问2详解】由题意可知11//CC DD ，则1CC 与平面1ACD 所成角即1DD 与平面1ACD 所成角,连接DB 与AC 交于O ，结合（1）与条件易知1,D O AC BD AC ⊥⊥,而11,DC D O O DC D O =⊂ 、面1DD O ，故AC ⊥面1DD O ，又AC ⊂面1ACD ，所以面1ACD ⊥面1DD O ,显然面1ACD ⋂面11DD O D O =，即直线1DD 在面1ACD 上的投影在直线1D O 上,故1DD 与平面1ACD 所成角为1DDO ∠，易得221112,222AC DO AC D O D A ⎛⎫===- ⎪⎝⎭,所以111sin 3DO DD O D O ∠==.22.已知椭圆()2222:10x y E a b a b+=>>的离心率为22，焦距为2.（1）求椭圆E 的方程；（2）设O 为坐标原点，过左焦点F 的直线l 与椭圆E 交于A ，B 两点，若OAB ∆的面积为23，求直线l 的方程.【答案】(1)2212x y +=(2)10x y -+=或10x y ++=.【分析】（1）由离心率合焦距可得出a 、c 的值，可求出b 的值，于是可得出椭圆E 的方程；（2）设直线l 的方程为1x my =-，设点()11,A x y 、()22,B x y ，于是得出ΔA 的面积为1212ABC S OF y y ∆=⋅-，将直线l 的方程与椭圆E 的方程联立，将韦达定理代入ΔA 的面积表达式可求出m 的值，从而可得出直线l 的方程．【详解】（1）由2c a =，22c =，222a b c =+，解得a =1b =所以，椭圆E 的方程为2212x y +=；（2）设过()1,0F -的直线方程为1x my =-，代入椭圆E 的方程，化简得()222210m y my +--=，显然0∆>.设()12,A x x ,()12,B x x ，则12222m y y m +=+,12212y y m -=+从而12y y -=.所以121223OABS OF y y ∆=⋅-=，解得1m =±，所以直线l 的方程为10x y -+=或10x y ++=.【点睛】本题考查椭圆方程的求解，考查椭圆中的面积问题，在求解直线与圆锥曲线的综合问题时，一般采用将直线与圆锥曲线方程联立的方法，结合韦达定理求解，易错点就是计算量大，所以在计算中充分运用一些运算技巧，简化计算．23.如图，三棱柱111ABC A B C -中，1AA ⊥平面1,,2,4ABC AB AC AB AA AC ⊥===，M 是1CC 的中点，N 是1A B 的中点．（1）求证：1C N ∥平面ABM ；（2）求直线1AC 与平面ABM 所成角的正弦值；（3）求平面ABM 与平面1A BC 夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）31010（3）3030【分析】（1）取AB 中点为E ，连接,NE ME ，易证四边形1NEMC 为平行四边形，则可得1//NC EM ，再由线面平行的判定定理即可得证；（2）由题意建立A xyz -空间直角坐标系，则可得1(0,4,4)A C =- ，平面ABM 的法向量1(0,1,2)n =-，再由直线1AC 与平面ABM 所成角的正弦值111111cos ,A C n A C n A C n ⋅=⋅求出答案；（3）由题意易知1(0,1,2)n =- ，可求出平面1A BC 的法向量2(2,1,1)n =，由平面ABM 与平面1A BC 夹角的余弦值121212cos ,n n n n n n ⋅=⋅即可求出答案.【小问1详解】如图所示：取AB 中点为E ，连接,NE ME ，在1ABA △中，,N E 分别为1,BA BA 中点，所以NE 为1ABA △的中位线，所以1//NE AA ,且12AA NE =，又1111//,AA CC AA CC =，M 为1CC 中点，所以11//,NE C M NE C M =,所以四边形1NEMC 为平行四边形，所以1//NC EM ，又1NC ⊄平面ABM ，EM ⊂平面ABM ，所以1//C N 平面ABM；【小问2详解】如图所示：建立A xyz -空间直角坐标系，则()()()()()10,0,0,2,0,0,0,4,0,0,4,2,0,0,4A B C M A ，所以1(2,0,0),(0,4,2),(0,4,4)AB AM A C ===- ，设平面ABM 的法向量为1(,,)n x y z = ，则1120420n AB x n AMy z ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ ，取1y =，则0x =，2z =-，则1(0,1,2)n =- ，所以直线1AC 与平面ABM所成角的正弦值为111111cos ,10A C n A C n A C n ⋅==⋅；【小问3详解】由题意知1(2,0,4),(2,4,0)A B BC =-=-，设平面1A BC 的法向量为2(,,)n x y z =，则212240240n A B x z n BC x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，取2x =，则1y =，1z =，则2(2,1,1)n =，平面ABM 与平面1A BC夹角的余弦值121212cos ,30n n n n n n ⋅===⋅.24.已知椭圆()222210+=>>x y a b a b左顶点为M ，上顶点为N ，直线MN 的斜率为12．（Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）直线()1:02l y x m m =+≠与椭圆交于,A C 两点，与y 轴交于点P ，以线段AC 为对角线作正方形ABCD，若2BP =．（i ）求椭圆方程；（ii ）若点E 在直线MN 上，且满足090EAC ∠=，求使得EC 最长时，直线AC 的方程．【答案】（Ⅰ）2（Ⅱ）()()221414221x i y ii y x +==-【分析】（Ⅰ）根据直线MN 的斜率可得2a b =，即可求出离心率；（Ⅱ）()i 将直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦长公式求得AC 及PQ ，根据勾股定理即可求出b 的值；()ii 根据平行间的距离公式求出AE ，再根据勾股定理和二次函数的性质即可求出EC 最长时m 的值，即可求出直线AC 的方程．【详解】解：（Ⅰ） 左顶点为M ，上顶点为N ，直线MN 的斜率为12．12b a ∴=，2c e a ∴===，（Ⅱ）()i 由(Ⅰ)知椭圆方程为22244x y b +=，设()11,A x y ，()22,C x y ，线段AC 中点Q 则2221244y x m x y b⎧=+⎪⎨⎪+=⎩，整理得：2222220x mx m b ++-=，由()22222(2)422840m m b b m =-⨯-=-> ，则122x x m +=-，221222x x m b =-，()1212122y y x x m m +=++=，则1,2Q m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由l 与y 轴的交点()0,P m ，PQ ==，()()()()()2222222121212125||14844AC x x y y k x x x x b m ⎡⎤=-+-=++-=-⎣⎦，()2222222221551010||||||244444BP BQ PQ AC PQ b m m b ∴=+=+=-+==，21b ∴=，即1b =，∴椭圆方程为2214x y +=；()ii 由()i 可知AC =，直线MN 的方程为112y x =+，∴直线MN 与直线l 点E 在直线MN 上，且满足90EAC ∠= ，AE ∴=，()222222421854||||(1)525555EC AE AC m m m m ∴=+=-+-=--+，当421m =-时，此时EC 最长，故直线AC 的方程14221y x =-.【点睛】本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，弦长公式及中点坐标公式，考查计算能力，属于中档题．。
北京市通州区2024-2025学年高二上学期期中质量检测数学试卷(含答案)
通州区2024-2025学年第一学期高二年级期中质量检测数学试卷2024年11月本试卷共4页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后，请将答题卡交回.第一部分（选择题共40分）一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.若直线与直线平行，则（）A.2B.C. D.2.若向量，，满足条件，则（）A. B. C.0D.23.在空间直角坐标系Oxyz 中，点关于坐标平面Oyz 的对称点坐标为（）A. B.C. D.4.已知直线的方向向量与平面的法向量分别为，，则（）A. B. C.或 D.相交但不垂直5.法向量为的平面内有一点，则平面外点到平面的距离为（）A.1B.26.过点作圆的两条切线，则这两条切线的夹角为（）A.B.C.D.7.圆和圆的位置关系是（）A.相离B.相交C.外切D.内切8.如图，在平行六面体中，AC 与BD 的交点为M ，若，则（）1y kx =+2y x =k =122-12-(1,2,)a x = (1,2,1)b =- (1,2,2)c =-()4c a b -⋅=- x =4-2-(1,2,4)A (1,2,4)---(1,2,4)-(1,2,4)-(1,2,4)--α(1,0,1)a =- (2,3,2)u =-//l αl α⊥//l αl α⊂,l α(1,0,1)n =α(1,1,0)A -(1,1,0)P α(4,-22:40C x y x ++=π4π2π32π3221:20C x y x +-=222:40C x y y +-=1111ABCD A B C D -1MC xAB y AD =++ 1z AAx y z ++=A. B.C.D.29.如果，那么“”是“直线不通过第三象限”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10.如图，空间直角坐标系中，点，，定义.正方体的棱长为3，E 为棱BC 的中点，平面yDz 内两个动点P ，M ，分别满足，，则的取值范围是（）A. B.C. D.第二部分（非选择题共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.已知向量，分别是直线，的一个方向向量，若，则________.12.过点的直线平分圆，则这条直线的倾斜角为________.13.直线与圆相交于A 、B 两点，当弦AB 最短时，________.14.已知两点，和圆，则直线AB 与圆C的位置关系为________.若点M 在圆C 上，且，则满足条件的点M 共有________个.2-32-120A B C ⋅⋅≠0A C ⋅<0Ax By C ++=D xyz -()111,,N x y z ()222,,F x y z 12NF x x =-+1212y y z z -+-1111ABCD A B C D -12PD =AMD CME ∠=∠PM 2⎤-+⎥⎦2⎡⎤+⎣⎦2⎤-+⎥⎦2⎡⎤+⎣⎦(1,2,4)a =-(2,4,1)b x y =+ 1l 2l 12//l l x y +=(3,1)-22:(1)(3)5M x y -++=10()x my m +-=∈R 224x y +=m =(0,1)A (3,4)B -22:8C x y +=3ABM S =△15.直三棱柱中，，，，，使棱上存在点P ，满足，则下列正确结论的序号是________.①满足条件的点P 一定有两个；②三棱锥的体积是三棱柱体积的；③三棱锥的体积存在最小值；④当的面积取最小值时，异面直线与所成的角的余弦值为.三、解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.（本小题13分）在平面直角坐标系xOy 中，点，，.（I ）求直线BC 的方程；（II ）求过点A 与直线BC 垂直的直线l 的方程；（III ）求直线BC 与直线l 交点的坐标.17.（本小题13分）在平面直角坐标系xOy 中，点，，且圆M 是以AB 为直径的圆.（I ）求圆M 的方程；（II ）若直线与圆M 相交，求实数k 的取值范围.18.（本小题15分）如图，在棱长是2的正方体中，E ，F 分别为AB ，的中点.（I ）证明：平面；（II ）求异面直线EF 与所成角的大小.19.（本小题15分）如图，在四棱锥中，平面ABCD ，，，111ABC A B C -CA CB ⊥3CA =4CB =1CC a =1BB 1PC PC ⊥1C ACP -111ABC A B C -131C APC -1APC △1AA 1PC 23(1,1)A (1,3)B -(2,0)C (2,0)A (0,2)B 1y kx =-1111ABCD A B C D -1A C EF ⊥1A CD 1CD P ABCD -PD ⊥AD DC ⊥//AB DC，，E ，M 分别为棱PB ，PC 的中点.（I ）求线段BM 的长；（II ）求平面PDM 和平面DME 夹角的余弦值；（III ）在线段AP 上是否存在点G ，使得直线DG 在平面DME内，若存在，求的值；若不存在，请说明理由.20.（本小题15分）如图①，在直角梯形ABCD 中，，，，点E 是BC 边的中点，将沿BD 折起至，使平面平面BCD ，得到如图②所示的几何体，从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，完成以下问题.条件①：；条件②：.注：如果选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分.图①图②（I ）求证：；（II ）求直线与平面所成角的正弦值.21.（本小题14分）在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 过点且圆心C 在x 轴上，与直线交于不同的两点M ，N，且.（I ）求圆C 的方程；（II ）设圆C 与y 轴交于A ，B 两点，点P 为直线上的动点，直线PA ，PB 与圆的另一个交点分别为R ，S ，且R ，S 在直线AB 两侧，求证：直线RS 过定点，并求出的值.122AB AD CD ===2PD =PGPA2AD AB ==//AD BC AB BC ⊥ABD △1A 1A BD ⊥1A BCD -1BD A E ⊥11A B A E =1A B CD ⊥1A C 1A DE (1,Q :1l y x =+QN QM =4y =(0,)H t通州区2024-2025学年第一学期高二年级期中质量检测数学参考答案及评分标准2024年11月一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）题号12345678910答案ADBCDCBDBA二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分）11.612.13.014.相交；415.②③④三、解答题（共6小题，共85分）16.（共13分）（I ）直线的斜率，故直线的方程为，化简得.（II ）因为直线与直线垂直，故，所以，直线的方程为，化简得.（III ）直线和的交点即，17.（共13分）解：（I ）由已知，，则圆心.半径.（II ）由直线，即，又直线与圆相交，可得，，解得.18.（共15分）解：（I ）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，，，所以，所以.135︒BC 30112BC k -==---BC (2)y x =--20x y +-=BC 1l BCk k ⋅=-1l k =11y x -=-0x y -=20x y +-=0x y -=201,01,x y x x yy ⎧+-==⎧⇒⎨⎨-==⎩⎩(1,1)(2,0)A (0,2)B (1,1)M 12r AB ===22(1)(1)2x y -+-=1y kx =-10kx y --=d =2420k k +->(,2(2)k ∈-∞---++∞ D 1(2,0,2)A (0,2,0)C (2,1,0)E (1,1,1)F 1(2,2,2)A C =-- (1,0,1)EF =-1(2)(1)20(2)10A C EF ⋅=-⨯-+⨯+-⨯=1EF A C ⊥同理，，故平面.（II ），，，所以，所以.19.（共15分）（I ）因为平面，，平面，则，，且，以为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图所示，由已知，，，，，，可得，，故线段（II ），，设平面的法向量为，所以，令，则，.所以平面的一个法向量为，易知为平面的一个法向量，所以所以平面和平面（III ）假设线段上存在点，使得直线在平面内，，EF DC ⊥1A C DC C = EF ⊥1A CD 1(0,0,2)D 1(0,2,2)CD =- EF = 1CD =1(1)00(2)122EF CD ⋅=-⨯+⨯-+⨯=1111cos ,2EF CD EF CD EF CD ⋅===PD ⊥ABCD AD DC ⊂ABCD PD AD ⊥PD DC ⊥AD DC ⊥D DA DC DP x y z D xyz -(0,0,0)D (2,0,0)A (2,2,0)B (0,4,0)C (0,0,2)P (0,2,1)M (1,1,1)E (2,0,1)BM =-BM = BM (0,2,1)DM = (1,1,1)DE =DME (,,)n x y z =200n DM y z n DE x y z ⎧⎪⎨⎪⋅=+=⋅=+=⎩+1y =1x =2z =-DME (1,1,2)n =-DAPDM cos ,n DA n DA n DA⋅〈〉===PDM DME AP G DG DME ([0,1])PGPAλλ=∈则，，因为在平面内，故，所以，.故线段上存在点，使得直线在平面内，此时.20.（共15分）解：（I ）证明若选条件①，取中点，连，OE ，，故，，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面.因为平面，所以.又因为，且，所以平面，所以.以为坐标原点，，，分别为，，轴非负半轴建立空间直角坐标系如图所示，，，，，，，，，，，，，所以，所以.（II ）设平面的法向量为，则，取，，(2,0,2)PGPA λλλ==-(2,0,22)DGDP PG λλ=+=-+DG DME DGn ⊥2101(22)(2)0DG n λλ⋅=⨯+⨯+-+⨯-= 23λ=AP G DG DME 23PG PA =BD O1A O 2ADAB ==1A O BD ⊥12OE DC =1A BD ⊥BCD 1ABD BCD BD =1A O ⊂1ABD 1A O ⊥BCD OE ⊂BCD 1AO OE ⊥1BD A E ⊥111A O A E A =BD ⊥1A OEBD OE ⊥O OBOE 1OA x y z 2AD AB ==1A O OB OE ===45ABD DBE ︒∠=∠=CD =1AB (C (DE 1A B = (0,CD=-1A E = DE =1(A C =100((00A B CD ⋅=+⨯-+⨯=1A B CD ⊥1A DE (,,)n x y z =-==+(1,1,1)n =- 1cos ,A C n ==故与平面.若选条件②，取中点，连，，，故，，，因为平面平面BCD ，平面平面，平面，所以平面.因为平面，所以，，又因为，所以，所以，所以.以下同条件①.21.（共14分）解：（I ）因为圆心在轴上，故设.因为交于不同的两点，，且，所以.则，解得，，故圆的方程为：.（II ），设，，，记，，则直线的方程为：，代入圆的方程消去得：，，，，同理，，设直线过定点，则直线斜率为：，所以，故直线过定点.1A C 1A DE BD O 1A O OE 2AD AB ==1A O BD ⊥12OE DC =45ABD OBE ︒∠=∠=1A BD ⊥1A BD BCD BD =1A O ⊂1A BD 1A O ⊥BCD OE ⊂BCD 1A O OE ⊥1A O OB ⊥11A B A E =11A OB A OE ≅△△BO OE ==BD OE ⊥C x (,0)C a 1y x =+M N QN QM =QC l ⊥QC k ==0a =2r CQ ==C 224x y +=(0,2)A -(0,2)B ()0,4P x ()11,R x y ()22,S x y 063PA k m x ==02PB k m x ==PA 32y mx =-y ()2219120m x mx +-=0∆>121219m x m ∴=+21218219m y m -=+2241mx m -=+222221m y m -+=+RS (0,)H t RS 1212y t y tx x --=()2124(1)0m t +-=1t =RS (0,1)H。
福建省厦门2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题(含答案)
福建省厦门2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题本试卷共4页。
全卷满分150分。
考试用时120分钟。
注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将答题卡交回。
一、单选题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若经过两点的直线的倾斜角为，则等于（）A.-3B.-1C.0D.22.已知双曲线的离心率为，则该双曲线的渐近线方程为（）A. B. C. D.3.已知圆与圆关于直线对称，则的方程为（）A. B. C. D.4.已知抛物线的焦点为，过点且斜率大于0的直线交于A，B两点，若，则的斜率为（）5.如图，椭圆的两个焦点分别为，以线段为边作等边三角形若该椭圆恰好平分的另两边，则椭圆的离心率为（）(3,1)(2,1)A y B+-、3π4y22221(0,0)x ya ba b-=>>542y x=±12y x=±43y x=±34y x=±22:(1)(2)1M x y+++=22(3)(4)1N x y-++=：l l 250x y++=250x y--=250x y++=250x y--=2:4C y x=F F l C16||3AB=l22221(0)x ya ba b+=>>12,F F12F F12AF F 12AF FV12,AF AF6.已知为双曲线的右焦点，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为E ，O 为坐标原点，若的面积为1，则的焦距的最小值为（ ）A.1B.2C.4D.7.如图，已知直线与抛物线交于A ，B 两点，且交AB 于点，点的坐标为，则方程为（ ）A. B. C. D.8.已知是椭圆与双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的中垂线经过.记椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.已知为双曲线的一个焦点，则下列说法中，正确的是（ ）A.的虚轴长为6B.的离心率为C.的渐近线方程为D.点到的一条渐近线的距离为410.已知动点在直线上，动点在圆上，过点作圆的两条切线，切点分别为A 、B ，则下列描述正确的有（ ）1-F 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>F C OEF V C l 22y x =,OA OB OD AB ⊥⊥D D (1,1)l 20x y +-=20x y ++=20x y -+=20x y --=12,F F P 12PF PF >1PF 2F 1e 2e 2114e e +(5,)+∞(6,)+∞(7,)+∞(6,7)F 22:1169x y Γ-=ΓΓ54Γ430x y ±=F ΓP :60l x y +-=Q 22:(1)(1)4C x y -+-=P CA.直线与圆相交B.|PQ |的最小值为C.四边形PACB 面积的最小值为4D.存在点，使得11.如图，曲线可以看作“蝴蝶结”的一部分，已知曲线上除原点外的所有点均满足其到原点的距离的立方与该点横纵坐标之积的绝对值的商恒为定值，则（ ）A.曲线关于直线对称B.曲线经过点，其方程为C.曲线围成的图形面积小于D.存在，使得曲线上有5个整点（即横、纵坐标均为整数的点）三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知椭圆的焦距是2，则的值是_____________.13.已知抛物线，从抛物线内一点发出平行于轴的光线经过抛物线上点反射后交抛物线于点，则的面积为____________.14.双曲线的离心率可以与其渐近线有关，比如函数的图象是双曲线，它的实轴在直线上，虚轴在直线上，实轴顶点是，焦点坐标是，已知函数.则其在一象限内的焦点横坐标是__________.四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（本小题13分）已知圆与轴交于A ，B 两点，动点与点A 的距离是它与点距离倍.（1）求点的轨迹方程;l C 2-P 120APB ︒∠=C C (0)a a >C y x =C (1,1)--()322||x yxy +=C 2π8a (2,6)a ∈C 221(4)4x y m m +=>m 24y x =A x B C ABC V 1y x=y x =y x =-(1,1),(1,1)--(y x =+e 22O :4x y +=x P B P（2）过点作倾斜角为直线交点的轨迹于M ，N 两点，求弦长|MN |.16.（本小题15分）已知双曲线的一条渐近线方程为，且经过点.（1）求双曲线的方程;（2）直线与双曲线相交于两点，若线段AB 的中点坐标为，求直线的方程.17.（本小题15分）已知椭圆分别为椭圆的左、右顶点.（1）求椭圆的方程;（2）过点作斜率不为0的直线，直线与椭圆交于P ，Q 两点，直线AP 与直线BQ 交于点，记AP 的斜率为的斜率为.求证:为定值.18.（本小题17分）已知抛物线的焦点为，点是上的一点，且.（1）求抛物线的方程;（2）设点（其中）是上异于的两点，的角平分线与轴垂直，为线段AB 的中点.（i ）求证:点N 在定直线上;（ii ）若的面积为6，求点A 的坐标.19.（本小题17分）通过研究，已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点逆时针方向旋转角得到点，（1）已知平面内点，点，把点绕点逆时针旋转得到点，求点的坐标；（2）已知二次方程的图像是由平面直角坐标系下某标准椭圆绕原点逆时针旋转所得的斜椭圆，B 45︒l P 2222:100x y C a b a b-=>>（，）0x -=P C l C ,A B (3,2)l 2222:1(0)x y C a b a b+=>>,F A B C C (1,0)D l l C M 1,k BQ 2k 12k k 2:2(0)C y px p =>F (,2)M t C ||2MF =C ()()1122,,,A x y B x y 12x x <C M AMB ∠x N MAB ∆(,)AB x y =AB A θ(cos sin ,sin cos )AP x y x y θθθθ=-+B A θP (A B -B A π3P P 221x y xy +-=22221(0)x y a b a b+=>>O π4C（i ）求斜椭圆的离心率;（ii ）过点作与两坐标轴都不平行的直线交斜椭圆于点M 、N ，过原点作直线与直线垂直，直线交斜椭圆于点G 、H是否为定值，若是，请求出定值，若不是，请说明理由.C Q 1l C O 2l 1l 2l C 21||OH +福建省厦门2026届高二上期中考试数学试题参考答案及评分标准一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
河南省部分学校大联考2024-2025学年高二上学期11月期中数学试题(含答案)
大联考2024—2025学年（上）高二年级期中考试数学考生注意：1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知直线的倾斜角为，且经过点，则的方程为（）A B. C. D. 2. 椭圆与，且的（）A. 长轴长相等B. 短轴长相等C. 焦距相等D. 离心率相等3. 已知中心在原点的双曲线的一条渐近线的斜率为2，且一个焦点的坐标为，则的方程为（）A. B. C. D. 4. 在四面体中，为棱的中点，为线段的中点，若，则（）A.B. 1C. 2D. 3l 3π4l ()1,2-l 30x y ++=10x y +-=240x y -+=20x y +=22194x y +=221(494x y m m m+=<--0)m ≠C (C 22128x y -=2214y x -=22146y x -=22182-=y x ABCD M CD E AM BE aBC bBD cBA =++ca=125. 若直线与圆相离，则点（）A. 在圆外 B. 在圆内C. 在圆上D. 位置不确定6. 设为椭圆上一动点，分别为椭圆的左､右焦点，，则的最小值为（）A. 8B. 7C. 6D. 47. 已知为抛物线的焦点，的三个顶点都在上，且为的重心.若的最大值为10，则（）A. 1B. 2C. 3D. 48. 如图，在多面体中，底面是边长为1的正方形，为底面内的一个动点（包括边界），底面底面，且，则的最小值与最大值分别为（）A.B. C.D.二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知方程，则（）A. 当时，方程表示椭圆B. 当时，方程表示焦点在轴上的双曲线C. 存在，使得方程表示两条直线D. 存在，使得方程表示抛物线10. 已知直线的方程为，则下列结论正确的是（）A. 点不可能在直线上:40l ax by --=22:4O x y +=(),P a b O O O P 221259x y +=12,F F ()1,0Q -2||||PF PQ +F ()2:20E x py p =>ABC V E F ABC V FA FB +p =EF ABCD -ABCD M ABCD AE ⊥,ABCD CF ⊥ABCD 2AE CF ==ME MF ⋅7,423,47,5257,22()()22:251C m x m y -+-=25m <<C 5m >C x m C m C l ()()0,1,1,3,3ax y a M N --=-M lB. 直线恒过点C. 若点到直线的距离相等，则D. 直线上恒存在点，满足11. 如图，在三棱锥中，平面分别为中点，是的中点，是线段上的动点，则（）A. 存在，使得B. 不存在点，使得C.的最小值为D. 异面直线与三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 在空间直角坐标系中，点与关于原点对称，则点坐标为__________.13. 若圆关于直线对称，则点与圆心的距离的最小值是__________.14. 已知椭圆的任意两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，它的圆心与椭圆的中心重合，半径的平方等于椭圆长半轴长和短半轴长的平方和.如图为椭圆及其蒙日圆，点分别为蒙日圆与坐标轴的交点，分别与相切于点，则四边形与四边形EFGH 的面积的比值为__________.的的l ()1,0,M N l 2a =l Q 0MQ NQ ⋅=A BCD -,BD BC AB ⊥⊥,2,,,,BCD AB BC BDEFGH ===,,,AB BD BC CD M EF N GH 0,0a b >>GM aGH bGE =+N MN EH⊥MN AG EF Oxyz (),0,23P a b -(),0,Q a b O Q 22:(2)(1)1C x y -+-=220ax by ++=(),a b C ()2222Ω:10x y a b a b+=>>,ΩO ,,,A B C D O ,,,AB BC CD AD Ω,,,E F G H ABCD四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 已知圆的圆心在直线和直线的交点上，且圆过点.（1）求圆的方程；（2）若圆的方程为，判断圆与圆的位置关系.16. 如图，在四棱锥中，四边形是矩形，为的中点.（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值.17. 已知是抛物线的焦点，是上一点，且在的准线上的射影为.（1）求方程；（2）过点作斜率大于的直线与交于另一点，若的面积为3，求的方程.18. 如图，在斜三棱柱中，平面平面是边长为2的等边三角形，为的中点，且为的中点，为的中点，.的C 2y x =240x y +-=C ()1,1-C B 224430x y x y +-++=B C P ABCD -ABCD 2,4,PA AB AD PB PD N =====CD PA BN ⊥AB PBN F 2:2(03)C y px p =<<()0,4P x C P C ,5Q PQ =C P 43l C M PFM △l 111ABC A B C -11AA C C ⊥,ABC ABC △11,AA A C O =AC 12,A O D =1AC E AD 114BF BB =（1）设向量为平面的法向量，证明：；（2）求点到平面距离；（3）求平面与平面夹角的余弦值.19. 已知双曲线的离心率为2，左､右焦点分别是是的右支上一点，的中点为，且（为坐标原点），是的右顶点，是上两点（均与点不重合）.（1）求的方程；（2）若不关于坐标轴和原点对称，且的中点为，证明：直线与直线的斜率之积为定值；（3）若不关于轴对称，且，证明：直线过定点.的a ABC 0EF a ⋅=A BCD BCD 1B DC ()2222:10,0x y C a b a b-=>>12,,F F P C 1PF Q 11QF QO -=O A C ,M N C AC ,M N MN H OH MN ,M N y AM AN ⊥MN大联考2024—2025学年（上）高二年级期中考试数学一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.【答案】B2.【答案】C3.【答案】D4.【答案】C5.【答案】B6.【答案】B7.【答案】D8.【答案】A二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.【答案】BC10.【答案】ABD11.【答案】BCD三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.【答案】13.【答案】14.【答案】##四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15. 【解析】【分析】（1）先求出两直线的交点，结合两点的距离公式和圆的标准方程计算即可求解；（2）由题意知的圆心为，半径，结合两圆的位置关系即可下结论.【小问1详解】由，得，即圆心坐标为.圆的方程为.【小问2详解】由（1）知，圆的圆心为，半径圆的方程可化为，则圆的圆心为，半径.，，圆与圆相交.16. 【解析】【分析】（1）根据已知数据结合勾股定逆定理可证得，，然后利用线面垂直的判定定理得平面，再由线面垂直的性质可证得结论；(0,0,1)83223B ()2,2B -2r =2240y x x y =⎧⎨+-=⎩12x y =⎧⎨=⎩()1,2=∴C 22(1)(2)5x y -+-=C ()1,2C 1r =B 224430x y x y +-++=22(2)(2)5x y -++=B ()2,2B -2r =CB == 12120r r CB r r ∴=-<<+=∴C B PA AD ⊥PA AB ⊥PA ⊥ABCD（2）由题意可得两两垂直，所以以为坐标原点，直线分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可.【小问1详解】证明：，，.，，.平面，平面，又平面，.【小问2详解】解：四边形是矩形，，平面，平面，，所以以为坐标原点，直线分别为轴､轴､轴建立如图所示的空间直角坐标系，则，.设平面的法向量为，则，令，可得，,,AB AD AP A ,,AB AD AP x yz 2,4PA PD AD === 222PD PA AD ∴=+PA AD ∴⊥2,PA AB PB === 222PB PA AB ∴=+PA AB ∴⊥,,AB AD A AB AD ⋂=⊂ ABCD PA ∴⊥ABCD BN ⊂ABCD PA BN ∴⊥ ABCD AB AD ∴⊥PA ⊥ ABCD ,AB AD ⊂ABCD ,PA AB PA AD ∴⊥⊥A ,,AB AD AP x y z ()()()()0,0,0,2,0,0,1,4,0,0,0,2A B N P ()()()2,0,0,1,4,0,2,0,2AB BN BP ∴==-=-PBN 40220n BN x y n BP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ 1y =4,4x z ==平面的一个法向量为.设直线与平面所成的角为，则，直线与平面.17. 【解析】【分析】（1）根据点在抛物线上得，结合抛物线定义列方程求参数，即可得方程；（2）设直线，联立抛物线，应用韦达定理、弦长及点线距离公式，结合三角形面积列方程求参数t ，即可得结果.【小问1详解】是上一点，，则，由抛物线的定义，知，，则，的方程为.【小问2详解】由（1），知.∴PBN ()4,1,4n =AB PBN θsin θ∴AB PBN 08x p=()3:4404l x t y t ⎛⎫-=-<< ⎪⎝⎭()0,4P x C 2042px ∴=01682x p p==852pPQ p =+=03p << 2p =C ∴24y x =()()1,0,4,4F P设直线，即，代入，整理得，，，又点到的距离为，，即，解得或（舍去），直线的方程为，即.18. 【解析】【分析】（1）先建立空间直角坐标系，应用面面垂直性质定理得出平面，进而得出法向量,最后应用空间向量数量积运算即可；（2）应用空间向量法求法向量及向量应用公式运算即可；（3）应用空间向量法求二面角余弦值即可.【小问1详解】如图，连接.，平面平面，平面平面平面，平面.是边长为2的等边三角形，.以为坐标原点，直线分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，则，.()3:4404l x t y t ⎛⎫-=-<<⎪⎝⎭44x ty t =-+24y x =2416160y ty t -+-=4161644M P M M y y y t y t ∴==-⇒=-(4442P PM y t ∴=-=--=-F l d (1142322PMF S PM d t ∴==⨯-= 2(2)(34)3t t --=12t =94t =∴l ()1442x y -=-240x y --=1A O ⊥ABC ()0,2,0,AC =BO 111,AA A C A O AC =∴⊥ 11AA C C ⊥ABC 11AA C C 1,ABC AC AO =⊂11AAC C 1A O ∴⊥ABC ABC ,BO AC BO ∴⊥=O 1,,OB OC OA x y z ()()0,0,0,0,1,0O A -)()())11111,0,1,0,0,0,2,2,0,,1,0,,242BC A BDE ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭是平面的一个法向量，令.，，.【小问2详解】.设平面的法向量为，则令，可得，平面的一个法向量为，点到平面的距离为.【小问3详解】.设平面的法向量为，则令，可得，()10,0,2OA = ABC 1a OA = ()111110,1,2,0,,442BB BF BB ⎛⎫=∴== ⎪⎝⎭111,,,0422F EF ⎫⎫∴∴=⎪⎪⎭⎭1000202EF a ∴⋅=+⨯+⨯= ()()10,2,0,,0,,12AC BC CD ⎛⎫===- ⎪⎝⎭ BCD (),,m x y z =0,10,2m BC y m CD y z ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩2x=z =∴BCD (2,m = ∴ABCD d)12CB = 1B DC (),,n a b c =120,10,2n CB c n CD b c ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩2a=b c =-=平面的一个法向量为.由（2）可知平面的一个法向量为.设平面与平面的夹角为，则，平面与平面夹角的余弦值为..19.【解析】【分析】（1）由题设及双曲线定义得，再结合离心率、双曲线参数关系求双曲线方程；（2）设且，应用点在双曲线上、中点公式得，即可证结论；（3）设直线的方程为，联立双曲线，应用韦达定理及向量垂直的坐标表示列方程求参数t ，即可证结论.【小问1详解】设，连接.是的中点，是的中点，，，则.又.，的方程为.【小问2详解】设且的中点为，则，∴1B DC (2,n =- BCD (2,m = BCD 1B DC θ11cos 19n m n m θ⋅=== ∴BCD 1B DC 11191a =()()()(1122000,,,,,0M x y N x y H x y x ≠)00y ≠0121203x y y x x y -=-MN ()1x my t t =+≠()()()12,0,,00F c F c c ->2PF Q 1PF O 12F F //QO ∴221,2PF QO PF =1212222a PF PF QF QO ∴=-=-=1a =e 222c c a a==⇒==22222213b c a ∴=-=-=C ∴2213y x -=()()()(1122000,,,,,0M x y N x y H x y x ≠)00y ≠MN H 1201202,2x x x y y y +=+=是上的两点，①，②，①②，得，即，即，可得，，直线与直线的斜率之积为定值3.【小问3详解】易知，且不关于轴对称，直线的斜率不为0，设直线的方程为，代入，整理得，，，,M N C 221113y x ∴-=222213y x -=-2222121203y y x x ---=()()()()1212121203y y y y x x x x +-+--=()()0120122203y y y x x x ---=0121203x y y x x y -=-012120030MN OH y y y k k x x x --∴=⨯=--OH MN ()1,0A ,M N y ∴MN MN ()1x my t t =+≠2213y x -=()222316330m y mty t -++-=()()()222222310,Δ(6)4313312310,m mt m t m t ⎧-≠⎪∴⎨=---=+->⎪⎩2121222633,3131mt t y y y y m m -∴+=-=--AM AN ⊥ ()()()()112212121,1,11AM AN x y x y x x y y ∴⋅=-⋅-=--+ ()()()()()22121212121111(1)my t my t y y m y y m t y y t =+-+-+=++-++-()()()2222213361(1)3131m t mt m t t m m +-⨯-=-+---22222222222223333663632131m t m t m t m t m t m t m t t m -+--++-+-+-=-，解得或（舍去），直线过定点.22224031t t m +-==-2t =-1t =∴MN ()2,0-。
安徽A10联盟2024—2025学年高二上学期11月期中数学试题及答案
2023级高二上学期11月期中考数学（人教A 版）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
满分150分，考试时间120分钟。
请在答题卡上作答。
第I 卷（选择题共58分）一、选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题所给四个选项中，只有一项是符合题意的.1.在空间直角坐标系Oxyz 中，已知点()2,1,4A --，点()2,1,4B ---，则（）A.点A 和点B 关于x 轴对称B.点A 和点B 关于Oyz 平面对称C.点A 和点B 关于y 轴对称D.点A 和点B 关于Oxz 平面对称2.已知空间向量()2,1,3a =- ，()1,2,2b =- ，()1,,2c m =- ，若a ，b ，c共面，则实数m 的值为（）A.1B.0C.-1D.-23.已知入射光线所在的直线的倾斜角为π3，与y 轴交于点（0，2），则经y 轴反射后，反射光线所在的直线方程为（）20y +-=20y ++=20y --=20y -+=4.若点（-2，1）在圆220x y x y a ++-+=的外部，则实数a 的取值范围是（）A.()2,-+∞ B.(),2-∞- C.12,2⎛⎫- ⎪⎝⎭D.()1,2,2⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭5.已知空间向量()2a =，1,0,22b ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，则向量a 在向量b 上的投影向量为（）A.)B.()C.(D.1,0,44⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭6.已知椭圆C ：2216x y m+=（0m >且6m ≠），直线340x y +-=与椭圆C 相交于A ，B 两点，若（1，1）是线段AB 的中点，则椭圆的焦距为（）A.2B.4C.7.古希腊数学家阿波罗尼奥斯与欧几里得、阿基米德齐名.他的著作《圆锥曲线论》是古代数学光辉的科学成果，阿氏圆（阿波罗尼斯圆）是其成果之一.在平面上给定相异两点A ，B ，设点P 在同一平面上，且满足PA PB λ=，当0λ>且1λ≠时，点P 的轨迹是圆，我们把这个轨迹称之为阿波罗尼斯圆.在ABC △中，2AB =，且2CA CB =，当ABC △面积取得最大值时，cos C =（）A.5B.5C.35D.458.已知点P 在椭圆C ：22143x y +=上（点P 不是椭圆的顶点），1F ，2F 分别为椭圆C 的左、右焦点，2PF 交y 轴于点G ，且112PF G GF F ∠=∠，则线段1PF 的长为（）A.32B.53C.85D.374二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知直线1l ：()1230m x y m +++-=，2l ：220x my m ++-=，则下列说法正确的是（）A.若12l l ∥，则1m =或2m =-B.若12l l ⊥，则23m =-C.若直线1l 不经过第四象限，则1m <-D.若直线1l 与x 轴负半轴和y 轴正半轴分别交于点A ，B ，O 为坐标原点，则AOB △面积的最小值是2010.已知椭圆C ：2214x y +=的左、右焦点分别是1F ，2F ，左、右顶点分别是A ，B ，M 是椭圆C 上的一个动点（不与A ，B 重合），则（）A.离心率1e 2=B.12MF F △的周长与点M 的位置无关C.122MF -<<+D.直线MA 与直线MB 的斜率之积为定值11.如图，正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，P 为上底面1111A B C D 内部一点（包括边界），M ，N 分别是棱AB 和BC 的中点，则下列说法正确的是（）A.当直线1AA 和直线AP 所成的角是30°时，点P的轨迹长度是3B.若AP ∥平面1B MN ，则1B P的最小值为2C.若()111111A P mA D m A B =+-，则直线AP 和底面ABCD 所成的最大角是45°D.平面1D MN 被正方体所截的截面形状是六边形第Ⅱ卷（非选择题共92分）三、填空题：本大题共3个小题，每小题5分，共15分.12.已知圆C 过()1,3A ，()4,2B 两点，且圆心C 在直线30x y +-=上，则该圆的半径为_________.13.已知实数x ，y满足1y =+，则14y x ++的取值范围为_________.14.已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>，1F ，2F 分别是椭圆C 的左、右焦点122F F c =，若椭圆上存在点P ，满足12111PF PF c+=，则椭圆C 的离心率的取值范围为_________.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（13分）已知直线l 过点()2,1A -，求满足下列条件的直线l 的方程.（1）与直线m ：50x y +-=垂直；（2）两坐标轴上截距相反.16.（15分）如图，在四棱锥P ABCD -中，四边形ABCD 为正方形，PA ⊥平面ABCD ，M ，N 分别为PB ，BC 的中点，2AF AE PGFD EB GC===，3AB PA ==.（1）求证：异面直线EF 和MN 垂直；（2）求点A 到平面MFG 的距离17.（15分）已知过点()1,0P 的直线l 与圆O ：224x y +=相交于A ，B 两点.（1）若弦AB l 的方程；（2）在x 轴正半轴上是否存在定点Q ，无论直线l 如何运动，x 轴都平分AQB ∠?若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由.18.（17分）如图1，在矩形ABCD 中，2AB =，BC =，连接AC ，DAC △沿AC 折起到PAC △的位置，如图2，PB =.（1）求证：平面PAC ⊥平面ABC ；（2）若点M 是线段PA 的中点，求平面MBC 与平面PAB 夹角的余弦值.19.（17分）已知椭圆E ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，离心率5e 5=，短轴长为4.（1）求E 的标准方程；（2）过点()2,0T 的直线交E 于P ，Q 两点，若以PQ 为直径的圆过E 的右焦点2F ，求直线PQ 的方程；（3）两条不同的直线1l ，2l 的交点为E 的左焦点1F ，直线1l ，2l 分别交E 于点A ，B 和点C ，D ，点G ，H 分别是线段AB 和CD 的中点，1l ，2l 的斜率分别为1k ，2k ，且1240k k +=，求OGH △面积的最大值（O 为坐标原点）2023级高二上学期11月期中考数学（人教A 版）参考答案一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是最符合题目要求的.题号12345678答案BDACABDC1.B 已知点A 和点B 的横坐标互为相反数，纵坐标和竖坐标相等，所以点A 和点B 关于Oyz 平面对称.故选B.2.D 由题意得，c xa yb =+ ，即()()()1,,22,1,31,2,2m x y -=-+-，所以122232x y m x y x y =-⎧⎪=+⎨⎪-=-+⎩，解得012x y m =⎧⎪=-⎨⎪=-⎩.故选D.3.A由题意得，所求直线的斜率为πtan 3⎛⎫-=⎪⎝⎭，且与y 轴交于点（0，2），则所求直线的方程为2y =+20y +-=.故选A.4.C 由点（-2，1）在圆220x y x y a ++-+=的外部，得()()2222114021210a a ⎧+-->⎪⎨-+--+>⎪⎩，解得122a -<<，故选C.5.A 向量a 在向量b上的投影向量为)230313,0,122a bb a b b bb b⎛⋅⋅+⋅=⋅== ⎝⎭.故选A.6.B 设()11,A x y ，()22,B x y ，则12122x x y y +=+=，将A ，B 的坐标代入椭圆方程得：221116x y m +=，222216x y m +=，两式相减，得：2222121206x x y y m--+=，变形为()()121212126m x x y y x x y y +-=--+，又直线AB 的斜率为121213yy x x -=--，所以12362m ⨯-=-⨯，即2m =，因此椭圆的焦距为4=，故选B.7.D 由题意设()1,0A -，()1,0B ，()(),0C x y y ≠，由2CA CB ==化简得()22516039x y y ⎛⎫-+=≠ ⎪⎝⎭.∵122ABC S y y =⨯⨯=△，∴当43y =时，ABC △面积最大，此时不妨设54,33C ⎛⎫ ⎪⎝⎭，则453CA =，253CB =.∴22245252334cos 5C ⎛⎫⎛+- ⎪ ==.故选D.8.C 根据对称，不妨设()00,P x y ，00x <.由题意得，2a =，b =，1c =则离心率1e 2c a ==，左准线方程为24a x c=-=-，所以()()1001442PF e x x =+=+，因为112PF G GF F ∠=∠，所以由角平分线定理得1122PF PGF F GF =，即()0014221x x +-=，解得045x =-，所以185PF =.故选C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。
北京市延庆区2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题(含答案)
延庆区2024-2025学年第一学期期中试卷高二数学2024.11本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.已知向量且，那么（ ）A. B.6C.9D.183.在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点为（）A. B. C. D.4.设分别是空间中直线的方向向量，则直线所成角的大小为（ ）A. B. C. D.5.过和两点的直线的倾斜角是（）A. B.1 C. D.6.“”是“直线与平行”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.在平行六面体中，，点在上，且，则（ ）1i +()()1,2,1,3,,a b x y =-= a ∥b b = ()1,2,3P xOy ()1,2,3-()1,2,3-()1,2,3--()1,2,3-()()120,1,1,1,0,1v v ==- 12,l l 12,l l π65π6π32π3()2,0-()0,21-3π4π41a =1:20l ax y +-=()2:2120l x a y +++=1111ABCD A B C D -1,,AA a AB b AD c === P 1AC 1:1:2A P PC =AP =A. B.C. D.8.已知正方体的棱长为为的中点，则到平面的距离为（ ）9.在正方体中，点是线段上任意一点，则与平面所成角的正弦值不可能是（ ）A. B.10.已知点，直线，若直线上至少存在三个，使得为直角三角形，直线倾斜角的取值范围是（ ）211333a b c ++ 122333a b c ++ 112333a b c -++ 122333a b c -- 1111ABCD A B C D -2,E 1BB 1B 11A D E 1111ABCD A B C D -E 11A C AE ABCD 1323()()0,1,0,1A B -:2l y kx =-l M MAB V lA. B.C. D.第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.复数，则__________.12.已知点，点在线段上，且，则点坐标为__________.13.若平面，平面的法向量为，平面的法向量为，写出平面的一个法向量__________.14.已知点，直线与线段无交点，则直线在轴上的截距为__________；的取值范围是__________.15.如图：在直三棱柱中，，.记，给出下列四个结论：①存在，使得任意，都有；②对于任意点，都不存在点，使得平面平面；③的最小值为3；④当取最小时，过点作三棱柱的截面，则截面周长为.其中，所有正确结论的序号是__________.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.（本小题13分）已知的顶点坐标为.π5π0,,π66⎛⎤⎡⎤⋃ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦πππ2π,,3223⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦πππ3π,,4224⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦πππ5π,,6226⎡⎫⎛⎤⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦5i 12iz =-z =()()1,1,4,1,4,2A B -C AB 2AC CB =C αβ⊥α()11,2,3n = β()2,,0n x y = β()()1,3,1,4A B -:2l y ax =-AB l y a 111ABC A B C -13,90AB BB BC ABC ∠==== 1,(01,01)CH xCB CP yCB x y ==<≤≤≤ (),f x y AH HP =+H P AH HP ⊥H P AHP ⊥11A B C (),f x y (),f x y ,,A H P 5ABC V ()()()1,52,14,3A B C ---､､（1）求过点且与直线平行的直线的方程；（2）求边上的中线所在直线的方程；（3）求边上的高所在直线的方程.17.（本小题14分）如图，在三棱柱中，底面是的中点，且.（1）求证：平面；（2）若，求直线与平面所成角的正弦值；（3）若，求平面与平面所成角的余弦值.18.（本小题14分）设的内角对应的边分别为，且.（1）求角的大小；（2）从下列三个条件中选择一组作为已知，使存在且唯一，并求的面积.条件①：；条件②：；条件③：.注：如果选择的条件使不存在或不唯一，第（2）问得0分.19.（本小题14分）已知函数，且的图像过点.（1）求函数的最小正周期和单调递减区间；（2）若函数在上与直线有交点，求实数的取值范围；（3）设函数，记函数在上的最大值为，求的最小B AC BC AB 111ABC A B C -1CC ⊥,ABC D 11A C 12AC BC CC ===1BC ∥1AB D AC BC ⊥1CC 1AB D AC BC ⊥1AB D 11ACC A ABC V ,,A B C ,,a bc sin cos b A B =B ABC V ABC V 3,sin 2sin b C A ==5b a ==b C ==ABC V ()22sin cos 2cos f x a x x x =+()f x π,06⎛⎫- ⎪⎝⎭()f x ()f x π,12m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3y =m ()()()g x f x t t =-∈R ()g x π11π,612⎡⎤⎢⎥⎣⎦()M t ()M t值及此时的值.20.（本小题15分）如图，已知四棱锥中，底面是边长为4的正方形，平面是正三角形，分别为的中点.（1）求证：平面；（2）求点到平面的距离；（3）线段上是否存在点，使得三棱锥的值；若不存在，说明理由.21.（本小题15分）给定正整数，设集合.对于集合中的任意元素和，记.设，且集合，对于中任意元素，若则称具有性质.（1）判断集合是否具有性质，集合是否具有性质；（直接写出答案，结论不需要证明）（2）判断是否存在具有性质的集合，并加以证明；（3）若集合具有性质，证明：.t P ABCD -ABCD CD ⊥,PAD PAD V ,,,E F G O ,,,PC PD BC AD PO ⊥ABCD A EFG PC M M EFG -PM PC 2n ≥(){}{}12,,,,0,1,1,2,,n k M t t t t k n αα==∈= ∣M ()12,,,n x x x β= ()12,,,n y y y γ= 1122n n x y x y x y βγ⋅=+++ A M ⊆(){}12,,,,1,2,,i i i i in A t t t i n αα=== ∣A ,i j αα,,1,,i j p i j i j αα=⎧⋅=⎨≠⎩A (),T n p ()()(){}1,1,0,1,0,1,0,1,1A =()3,2T ()()()(){}1,1,0,0,1,0,1,0,0,1,1,0,1,0,0,1B =()4,2T ()4,T p A A (),T n p ()121,2,,j j nj t t t p j n +++==延庆区2024-2025学年第一学期期中考试高二数学参考答案及评分标准2024.11一､选择题（共10小题，每小题4分，共40分）1.D2.A3.B4.C5.D6.C7.A8.B9.A 10.B二､填空题（共5小题，每小题5分，共25分）12. 13.（不唯一，共线即可）14.，（注：第一问3分，第二问2分）15.①③④（注：对一个2分，两个3分，有选错0分）三､解答题（共6小题，共85分）16.（共13分）解：（1）直线的斜率过点且与直线平行的直线的斜率为过点且与直线平行的直线方程为（2）设边的中点为，因为，所以点的坐标为，即，所以边的中线所在直线方程为()1,3,0()2,1,0-2-()6,5-AC 532145AC k -==---B AC 25-B AC ()21225905y x x y +=-+⇒++=BC D ()()2,14,3B C --､D 2413,22-+-+⎛⎫ ⎪⎝⎭()1,1D 51211AD k -==---BC ()121230y x x y -=--⇒+-=（3）因为，所以边的高线所在直线的斜率为，因此边的高线所在直线方程为.17.（共14分）（1）证明：连接，设，连接，由为三棱柱，得.又是的中点，所以是的中位线，.平面平面，平面；（2）解：底面，以为原点，的方向分别为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设平面的法向量为由，得；15621AB k --==-+AB 16-AB ()13462206y x x y -=--⇒+-=1A B 11A B AB E ⋂=DE 111ABC A B C -1A E BE =D 11A C DE 11ΔA BC 1BC ∴∥DE 1BC ⊄ 1,AB D DE ⊂1AB D 1BC ∴∥1AB D 1CC ⊥ ,ABC AC BC ⊥C 1,,CA CB CC ,,x y z ()()()0,0,0,2,0,0,0,2,0C A B ()()()()1112,0,2,0,2,2,0,0,2,1,0,2A B C D ()()()110,0,2,2,2,2,1,0,2CC AB AD ==-=- 1AB D (),,n x y z =12220220n AB x y z n AD x z ⎧⋅=-++=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ()2,1,1n =设直线与平面所成角为.则.直线与平面.（3）设平面与平面所成角为为锐角，平面的法向量为，，平面与平面.18.（共14分）解：（1），由正弦定理得，在中，，，.（2）若选①，由余弦定理，得，解得若选③，1CC 1AB Dθ111sin cos ,n CC n CC n CC θ⋅=<>== ∴1CC 1AB D 1AB D 11ACC A ,αα11ACC A ()0,1,0m =cos cos ,n m n m n m α⋅=<>== 1AB D 11ACC A sin cos b A B =sin sin a b A B =sin sin cos B A A B =ABC V sin 0,tan A B ≠=()0,πB ∈ π3B ∴=sin 2sin ,2C A c a== 2222cos b a c ac B =+-222944cos a a a B =+-a c ==1sin 2S ac B ∴==b C == ()sin sin sin cos cos sin A B C B C B C =+=+=由正弦定理可得：选择②，面积公式2分；余弦定理2分.不超过4分.19.（共14分）解：（1）由题意，，解得，，，的最小正周期；的单调减区间为（2）函数在区间上与直线有交点所以，函数在区间上的最大值为3，又因为所以，解得.实数的取值范围是.（3）当时，取最大值4c =1sin 2S bc A ==2πππ3sin 2cos 206364f a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-+-=+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭a =()22cos f x x x ∴=+cos21x x =++π2sin 216x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭()f x 2ππ2T ==()f x π2ππ,π,63k k k z ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦()f x π,12m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦3y =()f x π,12m ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ππ20,266x m ⎡⎤+∈+⎢⎥⎣⎦ππ262m +≥π6m ≥∴m π,6∞⎡⎫+⎪⎢⎣⎭()()ππ11πππ2sin 21,,,2,2π661262g x f x t x t x x ⎛⎫⎡⎤⎡⎤=-=++-∈+∈ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππ262x +=()f x t -3t -当时，取最小值所以，当时，当时，所以，当时，20.（共15分）（1）证明：因为是正三角形，是的中点，所以.又因为平面平面，平面，所以面；解：（2）因为两两互相垂直.以点为原点，的方向分别为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系.则，设平面的法向量为，由，得，点到平面的距离π3π262x +=()f x t -1t --1t ≤()3M t t=-1t >()1M t t =+1t =min ()2M t =PAD V O AD PO AD ⊥CD ⊥,PAD PO ⊂,PADCD PO ⊥,,AD CD D CD AD ⋂=⊂ABCD PO ⊥ABCD ,,OA OG OP O ,,OA OG OP,,x y z ()()()()()(0,0,0,2,0,0,2,4,0,2,4,0,2,0,0,0,0,O A B C D P --((()1,,,0,4,0,E F G --()((0,2,0,1,2,,1,4,EF EG FG =-==EFG (),,n x y z =2020n EF y n EG x y ⎧⋅=-=⎪⎨⋅=+=⎪⎩ )n = (3,AE =- A EFG AE n d n ⋅==（3）设所以点到面的距离为定值解得：或.21.（共15分）（1）集合具有性质，集合B 不具有性质.（2）当时，集合A 中的元素个数为4.由题设.假设集合A 具有性质，则①当时，，矛盾.②当时，，不具有性质，矛盾.③当时，.因为和至多一个在A 中；和至多一个在A 中；和至多一个在A 中，故集合A 中的元素个数小于4，矛盾.④当时，，不具有性质，矛盾.⑤当时，，矛盾.综上，不存在具有性质的集合.11,0,,122PM PC λλ⎡⎫⎛⎤=∈⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦()()2,4,,12,4M EM λλλλ-=-- M EFG 2PF n d nλ⋅== cos ,||||EF EG EF EG EF EG ⋅<>=== 1sin ,22EFG S EF EG EF EG =<>=V 11sin ,36M EFGEFG V S h EF EG EF EG h -==<>=V 14PM PC λ==34A ()3,2T ()4,2T 4n ={}0,1,2,3,4p ∈()4,T p 0p =(){}0,0,0,0A =1p =()()()(){}1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1A =()4,1T 2p =()()()()()(){}1,1,0,0,1,0,1,0,1,0,0,1,0,1,1,0,0,1,0,1,0,0,1,1A ⊆()1,1,0,0()0,0,1,1()1,0,1,0()0,1,0,1()1,0,0,1()0,1,1,03p =()()()(){}1,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,0,1,1,1A =()4,3T 4p =(){}1,1,1,1A =()4,T p A（3）记，则.若，则，矛盾.若，则，矛盾.故.假设存在使得，不妨设，即.当时，有或成立.所以中分量为1的个数至多有.当时，不妨设.因为，所以的各分量有个1，不妨设.由时，可知，中至多有1个1，即的前个分量中，至多含有个1.又，则的前个分量中，含有个1，矛盾.所以.因为，所以.所以.()121,2,,j j j nj c t t t j n =+++= 12n c c c np +++= 0p =(){}0,0,,0A = 1p =(){}1,0,0,,0A = 2p ≥j 1j c p +…1j =11c p +…1c n =0j c =()12,3,,j c j n == 12,,,n ααα ()1212n n n n np +-=-<…11p c n +<…11211,111,0p n t t t t +===== n n p αα⋅=n αp 23,11n n n p t t t +==== i j ≠1i j αα⋅={}121,2,3,,1,,,,q q p q q p t t t +∀∈+ 121,,,p ααα+ 1p +121p p p ++=+()11,2,,1i n i p αα⋅==+ 121,,,p ααα+ 1p +()()1122p p p +++=+()1,2,,j c p j n = …12n c c c np +++= ()1,2,,j c p j n == ()121,2,,j j nj t t t p j n +++==。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高二上学期期中数学考试试卷及答案Document number【980KGB-6898YT-769T8CB-246UT-18GG08】高二年级上学期期中考试数学试卷一、单项选择题（每小题5分，共40分，请将正确选项填到答题栏里面去）1、设,0<<b a 则下列不等式中不．成立的是Ab a 11> B ab a 11>- C b a -> D b a ->- 2、原点O 和点A （1，1）在直线x+y=a 两侧，则a 的取值范围是 A a ＜0或 a ＞2 B 0＜a ＜2 C a=0或 a=2 D 0≤a ≤2 3、在⊿ABC 中，已知bac b a 2222+=+，则∠C= A 300 B 1500 C 450 D 1350 4、等差数列}a {n 中，已知前15项的和90S 15=，则8a 等于A245 B 12 C 445D 6 5、若a,b,c 成等比数列，m 是a,b 的等差中项，n 是b,c 的等差中项，则=+ncm a A 4 B 3 C 2 D 1 6、等比数列{a n }中，a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n =2n －1，则a 12＋a 22＋a 32＋…+a n 2等于A 2)12(-nB )12(31-nC 14-nD )14(31-n7、若c b a 、、成等比数列，则关于x 的方程02=++c bx ax A 必有两个不等实根B 必有两个相等实根C 必无实根D 以上三种情况均有可能8、下列结论正确的是A 当2lg 1lg ,10≥+≠>xx x x 时且 B 21,0≥+>xx x 时当C 21,2的最小值为时当x x x +≥D 无最大值时当xx x 1,20-≤<二、填空题（每小题5分，共30分，请将正确选项填到答题栏里面去）9、若0＜a ＜b 且a +b=1则 21， a ， 2a b ， 22b a +，中的最大的是 ．10、若x 、y ∈R +, x +4y =20,则xy 的最大值为 ．11、飞机沿水平方向飞行，在A 处测得正前下方地面目标C 得俯角为30°，向前飞行10000米，到达B 处，此时测得目标C 的俯角为75°，这时飞机与地面目标的水平距离为12、实数x 、y 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤--≥-≥02200y x y x y ，则13+-=x y k 的取值范围为 .13、数列 121, 241, 381, 4161, 5321, …, n n 21, 的前n 项之和等于 ．14、设.11120,0的最小值，求且yx y x y x +=+>> ．试 卷 答 题 栏 班级______姓名__________分数_________二、填空题：（每小题5分，共30分）9、 10、 11、12、 13、． 14、 三、解答题15、在⊿ABC 中，已知030,1,3===B b c .（Ⅰ）求出角C 和A ； （Ⅱ）求⊿ABC 的面积S ；16、已知等差数列{}n a 的首项为a ，公差为b ，且不等式2)6x 3ax (log 22>+- 的解集为{}1|x x x b <>或 ．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式及前n 项和n S 公式 ；（Ⅱ）求数列{11+⋅n n a a }的前n 项和T n17、解关于x的不等式ax2－2(a＋1)x＋4＜0．18、某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨；生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨，每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨．甲、乙两种棉纱应各生产多少(精确到吨)，能使利润总额最大19、设,4,221==a a 数列}{n b 满足：,1n n n a a b -=+ .221+=+n n b b （Ⅰ）求证数列}2{+n b 是等比数列(要指出首项与公比), （Ⅱ）求数列}{n a 的通项公式.20、（Ⅰ）设不等式2x －1＞m (x 2－1)对满足22≤≤-m 的一切实数m 的取值都成立，求x 的取值范围；（7分）（Ⅱ）是否存在m 使得不等式2x －1＞m (x 2－1)对满足22≤≤-x 的实数x 的取值都成立．（7分）高二年级期中考试数学试卷参考答案二、填空题：（每小题5分，共30分）9、 22b a + 10、 25 11、5000米12、-3≤K ≤31- 13、n n n 21222-++ 14、3+22 15、（1）bcB C =sin sin，23sin =C 000030,120,90,60,,====∴>>A C A C B C b c 此时或者此时（2）S==43,23 16、解 ：（Ⅰ）∵不等式2)6x 3ax (log 22>+-可转化为02x 3ax 2>+-， 所给条件表明：02x 3ax 2>+-的解集为{}b x or 1x |x ><，根据不等式解集的意义可知：方程02x 3ax 2=+-的两根为1x 1=、b x 2=． 利用韦达定理不难得出2b ,1a ==． 由此知1n 2)1n (21a n -=-+=，2n s n = （Ⅱ）令)121121(21)12()12(111+--=+⋅-=⋅=+n n n n a a b n n n则⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=++++=12112171515131)3111(21321n n b b b b T n n =⎪⎭⎫⎝⎛+-121121n17、解：当a ＝0时，不等式的解为x ＞2； 当a ≠0时，分解因式a (x －a2)(x －2)＜0当a ＜0时，原不等式等价于(x －a2)(x －2)＞0，不等式的解为x ＞2或x ＜a2；当0＜a ＜1时，2＜a2，不等式的解为2＜x ＜a2；当a ＞1时，a2＜2，不等式的解为a2＜x ＜2；当a ＝1时，不等式的解为 Φ 。
18、分析：将已知数据列成下表：解：设生产甲、乙两种棉纱分别为x 吨、y 吨，利润总额为z 元，那么⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+0025023002y x y x y x z =600x +900y ．作出以上不等式组所表示的平面区域(如图)，即可行域．作直线l ：600x +900y =0，即直线l ：2x +3y =0,把直线l 向右上方平移至l 1的位置时，直线经过可行域上的点M ，且与原点距离最大，此时z =600x +900y 取最大值．解方程组产品 甲种棉纱 （1吨） 乙种棉纱 （1吨） 资源限额 （吨） 一级子棉（吨） 2 1 300 二级子棉（吨） 1 2 250 利 润（元） 600 9005050xy2x+y=300x+2y=250资源消耗量⎩⎨⎧=+=+2502;3002y x y x 得M 的坐标为x =3350≈117，y =3200≈67． 答：应生产甲种棉纱117吨，乙种棉纱67吨，能使利润总额达到最大．19、解：(1)),2(222211+=+⇒+=++n n n n b b b b ,2221=+++n n b b又42121=-=+a a b , ∴ 数列}2{+n b 是首项为4,公比为2的等比数列.(2)2224211-=⇒⋅=+∴+-n n n n b b . .221-=-∴-n n n a a 令),1(,,2,1-=n n 叠加得)1(2)222(232--+++=-n a n n ,22)2222(32+-++++=∴n a nn .222212)12(21n n n n -=+---=+20．(1)解：令f (m )＝2x －1－m (x 2－1)＝(1－x 2)m ＋2x －1，可看成是一条直线，且使|m |≤2的一切实数都有2x －1＞m (x 2－1)成立。
所以，⎩⎨⎧ 02)f( 0)2(＞－＞f ，即⎩⎨⎧032x 2x 012x 2x 22＜－＋＞－－，即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧271x 271x 231x 231＋－＞或－－＜＋＜＜－ 所以，213x 217＋＜＜－。
(2) 令f (x )= 2x －1－m (x 2－1)= －mx 2+2x +(m －1)，使|x |≤2的一切实数都有2x －1＞m (x 2－1)成立。
当0=m 时，f (x )= 2x －1在221<≤x 时，f (x )0≥。
（不满足题意）当0≠m 时，f (x )只需满足下式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>--≤<>-0)2(21)0(,0f m m m 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<∆<<-<>-0012)0(,0m m m 或⎪⎩⎪⎨⎧>->><-0)2(0)2()0(,0f f m m解之得结果为空集。
故没有m满足题意。