弹塑性力学大题

已知某材料在纯剪作用下应力—应变关系如图所示，弹性剪切模量为G ，Poisson 比为ν，剪切屈服极限为s τ，进入强化后满足const G d d ==,/γτ。若采用Mises 等向硬化模型，试求 （1）材料的塑性模量

（2）材料单轴拉伸下的应力应变关系。

解：（1）因为

τττγ2

21

232*12312

1J d J h d p

⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡= 所以 τγd h d p *3*1

=

,

3*

3G d d h p

==γ

τ （2） 弹性阶段。 因为)

1(2υ+=

E

G ，所以)1(2υ+=G E 由于是单轴拉伸，所以εσE = 塑性阶段。

ij

p ij f

d d σλ

ε∂∂= 1111)1(

σσσε∂∂∂∂=f

d f h d kl kl p

解：在板的固定端，挠度和转角为零。 显然：()0)(b y ==±=±=ωωa x 满足

0)(2)(2)(

222221=-⋅-=∂∂±=b y x a x C x

a x ω

故222222111)()(b y a x C w C w --==满足所有的边界条件。

2、用Ritz 法求解简支梁在均布荷载作用下的挠度（位移变分原理）

步骤：（1）设挠度的试验函数 w (x ) = c 1x (l -x )+c 2x 2(l 2-x 2)+…显然，该挠度函数满足位移边界w (0) =0，w (l ) = 0。

（2）求总势能()⎰⎰-''=+=∏l

002q w d x dx w EI 2

1

l

V U 仅取位移函数第一项代入，得

()()⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡---=∏l

012

1dx

x l qx c c 2EI 21

（3）求总势能的极值

EI

24ql c 0c 2

11=

=∂∏∂ 代入挠度函数即可

02))((2)y

(

222221=⋅--=∂∂±=y b y a x C b y ω

1.假定矩形板支承与承受荷载如图所示， 试写出挠度表示的各边边界条件： 解：

简支边OC 的边界条件是：

()00==y ω

()

0022220

)(M x

y D M y y y -=∂∂+∂∂-===ω

νω

自由边AB 的边界条件是：

()

0)(2222=∂∂+∂∂===b x b

y y x y M ω

νω，()()q y x y D V b

y b y y -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂-+∂∂-===23332ωνω 两自由边的交点B ：

()0,===b y a x ω

()

B b

y a x xy R M ===,2是B 点支座的被动反力。

如右图所示，矩形板在四个角点作用分别作用大小为F 的集中力，其中A 点和C 点的集中力向上，B 点和D 点的集中力向下，四条边均为自由，求板的挠度。

解：板边的边界条件为：

()02

=±=a x x M ，()02

=±=a

x x V

()

02

=±=b

y y M ，()02

=±=b y y V

4个角点的边界条件均为：F M x

b y a x xy =±

=±=,2)

2(

由于横向分布荷载0=q ，因此基本微分方程变为：022=∇∇ω

假定坐标圆点的挠度为零，上式的解是xy βω= 式中的β是待定常数。

使用)(2222y w x w D M x ∂∂+∂∂-=ν )(2222x w y w D M y ∂∂+∂∂-=ν y x w

D M xy ∂∂∂--=2)1(ν

])2([2

333y

x w

x w D V x ∂∂∂-+∂∂-=ν ])2([2333y

x w

y w D V y ∂∂∂-+∂∂-=ν

B B xy B y

x w

D M R ])1(2[-)(22∂∂∂-==ν ω2x Q ∇∂∂-=x D

ω2

y Q ∇∂∂-=y

D

则有：0==y x M M ，βν)1(--=D M xy ，0==y x Q Q ，0==y x V V 显然板边的边界条件能自然满足，为满足角点的边界条件，应有

()3

)1(62332

,2

β

νβGt Et M F b

y a x xy -

=+-==±=±=，因此得：33Gt F -=β 挠度解就是：xy Gt

F

33-=ω

如图所示的楔形体受水压力作用，水的容重为γ，试写出边界条件 解：在x =0上，l = -1，m =0， (σx )x=0⋅ (-1)+(τyx )x =0⋅0 = γy (τxy )x =0⋅ (-1)+(σy )x =0⋅0 = 0 (σx )x =0=－γy (τxy )x =0⋅ 在斜边上l = cos α，m = -sin α

σx cos α-τyx sin α = 0

τxy cos α-σy sin α = 0

O α

1

y x