《大学数学概率论及试验统计》第六章_课后答案(余家林主编)
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课
25 ⋅ 0.077 2 25 ⋅ 0. 077 2 ns2 ns2 ， )= 2 2 χ 2 (25 − 1) , χ 2 (25 − 1) χ1 χ0 0.975 0.025 −0.5 α (n − 1) .5 α (n − 1)
2.916 2 .916 ,21.1 + 2.774 = (17.5,24.7 ) 5 5
2 2 2 ˆ ˆ 2 ˆ ˆ ∴ c1 + c2 = 1 , 而 D c1θˆ 1 + c 2 θ 2 = c1 D θ 1 + c 2 D θ 2 = (2c1 + c 2 )Dθ 2
(
)
(
)
w.
)=2D( θ$
2
案 网
co m
1 2 X1 + X2 ，② 3 3
x<0 0 n x X(n)的分布函数为 F*max(x)=[F(x)] n = n 0 ≤ x ≤ θ ， θ x >θ 1 +∞ θ 1 n EX (n ) = ∫ xdF ∗ mzx (x ) = ∫ n n x n dx = θ。 −∞ 0 θ n +1 n ∴ lim EX ( n) = lim θ = θ , 所以 θ 的极大似然估计量是渐近无偏估计量。 n +1
1 4 3 4
1 4
3 4
ˆ Dμ 2=D( X1 + X2 )=
ˆ Eμ 3 =E( X1 + X2 )=
1 2 1 2 1 2 1 2
w.
ˆ Dμ 3 =D( X1 + X2 )=
8. 若 θ$
1
ˆ ˆ 因为 Dμ 3 最小, 所以 µ 3 = X 是最有效的。
和 θ$
1 2
kh
+c 2 θ$
2
)， 试确定常数 c 1 与 c 2 ，
110
2 令 f = 2c12 + c 2 = 2c12 + (1 − c1 ) = 3c12 − 2c1 + 1
2
要 f 取最小值，则
∂f 1 2 = 6c1 − 2 = 0 ，∴ c1 = ，从而 c 2 = 。 ∂c1 3 3
ww
w.
kh
111
da
课
后 答
ˆ 解：由第一题知矩估计量 θ = 2 X ，所以 ˆ Eθ = 2 EX =2•θ/2= θ 。所以 θ 的矩估计量是无偏估计量。
109
da
1− xi
2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ + Dθ ˆ 解: Eϑ = Eθ = θ 2 + Dθ ,Q Dθ > 0 , ∴ Eϑ ≠ θ 2 ，所以 θ 不是 θ 2 无偏估计量。
2. 调查13岁至14岁儿童的身高(单位:米)，若容量n＝25，样本均值 x ＝1.57，样本标准差s ＝ 0.077，试求总体均值μ的双侧0.95置信区间及总体方差σ 2 的双侧0.95置信区间。 解：总体均值μ的双侧 0.95 置信区间为： ( x -t1-0.5α(n-1) s n − 1 , x +t1-0.5α(n-1) s n − 1 )
习题 6.1 答案 1. 设 X1 ，X2 ，… ，Xn 是总体 X 的一个样本，试求下列分布中未知参数的矩估计量和极大 似然估计量：①U(0,θ)中的θ；②E(λ)分布中的λ。
ˆ 解：①Ⅰ：EX=θ/2,∴θ=2EX，所以矩估计量 θ = 2X
1 Ⅱ：总体 X 的分布密度为： p ( x ) = θ 0
n−
xi ∑ i =1
n
co m
观测到的升数 17 20 10 2 1 问平均每升水中大肠菌的个数是多少时，才能使上述情况出现的概率最大?
ˆ= max{X , X ,L , X }=X ， 由第一题知 θ 的极大估计量为∴θ 1 2 n (n)
0 x 总体 X 的分布函数为： F ( x ) = θ 1 x <0 0≤ x≤θ ， x>θ
n
dp
i =1
i= 1
ww
ˆ= p
1 n ˆ= X 。 ∑ x i = x 。∴ p 的极大似然估计量为 p n i=1
由于 E ( p ˆ ) = EX = p ，所以 p ˆ= X 是 p 的无偏估计量。 6. 设总体 X 服从 U(0,θ)分布，试验证：未知参数θ的矩估计量是无偏估计量，θ的极大似 然估计量是渐近无偏估计量。
ˆ 7. 若 X 1 、 X 2 是取自分布为 N( μ,1)的总体 X 的样本，试判断①μ 1=
4 4 2
1 3 1 1 $ ˆ ˆ μ 2= X 1 + X 2 ，③μ 3 = X 1 + X 2 都是μ的无偏估计量，且 μ 3 最有效。 2
解：因为 X1 ,X2 的系数之和等于 1，
ˆ Eμ 2=E( X1 + X2 )=
∑ xi
i =1 n
ˆ= max{X , X ,L , X }。 所以 θ 的极大估计量为∴θ 1 2 n
λ
n ˆ= n / X = 1 。 ，∴λ的极大似然估计量 x λ ∑ i ∑ i X i =1 i =1
ww
∫ x(1 + α )x
α
dx = ∫ (1 + α )x
1 0
α +1
ˆ= (1 − 2 EX ) /( X − 1) . ∴ α = (1 − 2 EX ) /( EX − 1) ，所以矩估计量 α
ww
是θ的两个互不相关的无偏估计量， D( θ$
课
ˆ Dμ 1=D( X1 + X2 )=
1 3
2 3
1 4 1 4 5 D(X1 )+ D(X2 )= + = ; 9 9 9 9 9
1 3 1 3 E(X1 )+ E(X2 )= μ+ μ=μ; 4 4 4 4
1 9 1 9 5 D(X1 )+ D(X2 )= + = 16 16 16 16 8
∏ p (1 − p )
xi i =1
n
w.
n
n n ∴ ln L( p ) = ∑ x i ⋅ ln p + n − ∑ xi ln (1 − p ) i =1 i =1
由 d ln L( p ) = ∑ x i / p − ( n − ∑ x i ) /(1 − p ) =0 得: p 的极大似然估计值为
= 1.57 − 2 .064
(
3. 某地年平均气温X(单位：℃)的分布可看作正态分布，近5年平均气温的观测值为24.3, 20.8,23.7,19.3,17.4，试求 EX 的双侧 0.95 置信区间及 DX 的双侧 0.95 置信区间。 解： x = 21.1 ， s ∗ = 2.916 ,EX 的双侧 0.95 置信区间：
2
( )
后 答
4. 设 θ$ 是未知参数θ的无偏估计量且有 D( θ$ )>0，试论述( θ$ ) 2 不是θ 2 的无偏估计量。
=p
xi ∑ i =1
(1 − p )
w.
i =1
案 网
∴ ln L(λ ) = n ln λ − λ ∑ x i ， d ln L(λ ) / dλ = n / λ − ∑ x i = 0,
似然函数： L(θ ) = (1 / θ )n ，
0 ≤ x ≤θ 其他
(0
≤ x 1 , x 2 ,L , x n ≤ θ )，
x1 ，x2 ，… ，xn 为样本的观测值，由小到大排序为 x(1)≤x(2)≤…≤x(n), 为使 L(θ)达到最大，要求θ 尽可能小，但 θ 不能小于 x(n),
ˆ= max{x , x , L, x } 。 所以θ的极大估计值为∴θ 1 2 n
∴λ的极大似然估计值 λ ˆ= n / X = 1 / ∑ i
i =1
n
X，
解：Ⅰ：设总体 X~B(1,p)，∴p=EX，所以矩估计量为 p ˆ= X
课
5. 求事件概率p的矩估计量和极大似然估计量，讨论估计量的无偏性。 。
kh
n
Ⅱ：总体 X 的分布律为：P(X=x)=px(1−p)1 −x，x=0,1, 似然函数： L( p ) =
使 c1 θ$
仍是θ的无偏估计量并在这一类无偏估计量中是有效估计量。
ˆ,θ ˆ是 θ 的两个互不相关的无偏估计量， 解：因为 θ 1 2 ˆ = Eθ ˆ = Eθ ，且 E c θ ˆ ˆ ˆ ˆ 所以 Eθ 1 2 1 1 + c 2θ 2 = c1 Eθ 1 + c 2 Eθ 2 = (c1 + c2 )Eθ = Eθ ，
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w.
案 网
co m
习题 6.2答案
1. 测量海岛棉与陆地棉杂交后的单铃籽棉重X(单位： g)， 若X～N(μ,0.09) ， 样本容量n＝15， 样本均值 x ＝2.88，试求总体均值μ的双侧0.95置信区间。 解： α = 0.05 ，双侧置信区间为：( x -u1-0.5ασ / n , x +u1-0.5ασ / n ) = 2 .88 − u 0.975
Ⅱ：似然函数：L(α)=(1＋α)n x1 αx2 α… xn α (0<xi <1, i=1,2,… ,n)
n d ln L(α ) n = + ∑ ln xi = 0 ， dα 1 + α i=1
∴ ln L (α ) = n ln (1 + α ) + α ∑ ln xi ，
i =1
n
w.
x >0 ， 其他
n
kh
dλ
n
w.
解：Ⅰ： EX =
1 0
ˆ= n / ∴λ的极大似然估计值 λ
2. 设 X1 ， X2 ， …， Xn 是总体 X 的一个样本， X 的分布密度 p(x)＝(1+α)xα， 式中的 x∈(0,1)， 试求未知参数α的矩估计量和极大似然估计量
da
=λ e
n −λ
课
案 网
λe − λx 0
后 答
ˆ= 1 / X ②Ⅰ：∵EX=1/λ, ∴λ=1/EX，所以矩估计量 λ
Ⅱ：总体 X 的分布密度为： p ( x ) =
似然函数： L(λ ) =
∏ λe
i =1
n i =1
n
− λxi
d ln L(λ ) n ∴ ln L(λ ) = n ln λ − λ ∑ x i ， = − ∑ xi = 0,
1 1 1 1 E(X1 )+ E(X2 )= μ+ μ=μ; 2 2 2 2 1 1 1 1 1 D(X1 )+ D(X2 )= + = , 4 4 4 4 2
da
1
后 答
ˆ Eμ 1=E( X1 + X2 )=
1 3
2 3
1 2 1 2 E(X1 )+ E(X2 )= μ+ μ=μ; 3 3 3 3
( xi
> 0, i = 1, 2, L, n )
i =1
1 + α 2 +α 1+ α dx = x = 2 +α 2 +α 0
1
co m
108
，
ˆ= −n / ∑ ln x i －1， ∴α 的极大似然估计值 α
i =1
n
3. 设X1 ，X2 ，… ，Xn 是总体X的一个样本，试求P(λ)分布中未知参数λ的极大似然估计量。 又已知1升自来水中所含大肠菌的个数服从上述分布，为检查自来水设备消毒的效果，从消 毒后的水中随机地抽取了50个1升，化验每升水中大肠菌的个数得到数据如下： 大肠菌个数/升 0 1 2 3 4
解：总体 X 的分布律为： P ( X = x ) = λ x e − λ k ! ， 似然函数： L(λ ) =
(λ > 0, x = 0,1, L)
( xi
n
∏ λe
i =1 n i =1
n
− λx i
= λ exp{ − λ ∑ x i }
n i= 1
n
> 0, i = 1, 2, L, n )
2 χ1 ) − 0.5 α ( n − 1
，
(n − 1)s ∗2
χ2 ) 0.5 α ( n − 1
4. 若某车间生产的滚珠直径 X(单位:mm)服从正态分布， 随机地从产品中抽出 5 件, 测量直径 得到 14.6,15.1,14.9,15.2,15.1，试求 EX 的双侧 0.95 置信区间及 DX 的双侧 0.95 置信区间。 解：由计算器算得： x = 14.98 ， s ∗ = 0.239
w.
( x -t1-0.5α(n-1) = 21 .1 − 2.774
s* n
ww
(
DX 的双侧 0.95 置信区间：
(n − 1)s ∗2
kh
, x +t1-0.5α(n-1)
s* n
2 2 = 25 ⋅ 0. 077 , 25 ⋅ 0.077 = (0.004,0.012 ) 39. 4 12.4
课
25 ⋅ 0.077 2 25 ⋅ 0. 077 2 ns2 ns2 ， )= 2 2 χ 2 (25 − 1) , χ 2 (25 − 1) χ1 χ0 0.975 0.025 −0.5 α (n − 1) .5 α (n − 1)
2.916 2 .916 ,21.1 + 2.774 = (17.5,24.7 ) 5 5
2 2 2 ˆ ˆ 2 ˆ ˆ ∴ c1 + c2 = 1 , 而 D c1θˆ 1 + c 2 θ 2 = c1 D θ 1 + c 2 D θ 2 = (2c1 + c 2 )Dθ 2
(
)
(
)
w.
)=2D( θ$
2
案 网
co m
1 2 X1 + X2 ，② 3 3
x<0 0 n x X(n)的分布函数为 F*max(x)=[F(x)] n = n 0 ≤ x ≤ θ ， θ x >θ 1 +∞ θ 1 n EX (n ) = ∫ xdF ∗ mzx (x ) = ∫ n n x n dx = θ。 −∞ 0 θ n +1 n ∴ lim EX ( n) = lim θ = θ , 所以 θ 的极大似然估计量是渐近无偏估计量。 n +1
1 4 3 4
1 4
3 4
ˆ Dμ 2=D( X1 + X2 )=
ˆ Eμ 3 =E( X1 + X2 )=
1 2 1 2 1 2 1 2
w.
ˆ Dμ 3 =D( X1 + X2 )=
8. 若 θ$
1
ˆ ˆ 因为 Dμ 3 最小, 所以 µ 3 = X 是最有效的。
和 θ$
1 2
kh
+c 2 θ$
2
)， 试确定常数 c 1 与 c 2 ，
110
2 令 f = 2c12 + c 2 = 2c12 + (1 − c1 ) = 3c12 − 2c1 + 1
2
要 f 取最小值，则
∂f 1 2 = 6c1 − 2 = 0 ，∴ c1 = ，从而 c 2 = 。 ∂c1 3 3
ww
w.
kh
111
da
课
后 答
ˆ 解：由第一题知矩估计量 θ = 2 X ，所以 ˆ Eθ = 2 EX =2•θ/2= θ 。所以 θ 的矩估计量是无偏估计量。
109
da
1− xi
2 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ + Dθ ˆ 解: Eϑ = Eθ = θ 2 + Dθ ,Q Dθ > 0 , ∴ Eϑ ≠ θ 2 ，所以 θ 不是 θ 2 无偏估计量。
2. 调查13岁至14岁儿童的身高(单位:米)，若容量n＝25，样本均值 x ＝1.57，样本标准差s ＝ 0.077，试求总体均值μ的双侧0.95置信区间及总体方差σ 2 的双侧0.95置信区间。 解：总体均值μ的双侧 0.95 置信区间为： ( x -t1-0.5α(n-1) s n − 1 , x +t1-0.5α(n-1) s n − 1 )
习题 6.1 答案 1. 设 X1 ，X2 ，… ，Xn 是总体 X 的一个样本，试求下列分布中未知参数的矩估计量和极大 似然估计量：①U(0,θ)中的θ；②E(λ)分布中的λ。
ˆ 解：①Ⅰ：EX=θ/2,∴θ=2EX，所以矩估计量 θ = 2X
1 Ⅱ：总体 X 的分布密度为： p ( x ) = θ 0
n−
xi ∑ i =1
n
co m
观测到的升数 17 20 10 2 1 问平均每升水中大肠菌的个数是多少时，才能使上述情况出现的概率最大?
ˆ= max{X , X ,L , X }=X ， 由第一题知 θ 的极大估计量为∴θ 1 2 n (n)
0 x 总体 X 的分布函数为： F ( x ) = θ 1 x <0 0≤ x≤θ ， x>θ
n
dp
i =1
i= 1
ww
ˆ= p
1 n ˆ= X 。 ∑ x i = x 。∴ p 的极大似然估计量为 p n i=1
由于 E ( p ˆ ) = EX = p ，所以 p ˆ= X 是 p 的无偏估计量。 6. 设总体 X 服从 U(0,θ)分布，试验证：未知参数θ的矩估计量是无偏估计量，θ的极大似 然估计量是渐近无偏估计量。
ˆ 7. 若 X 1 、 X 2 是取自分布为 N( μ,1)的总体 X 的样本，试判断①μ 1=
4 4 2
1 3 1 1 $ ˆ ˆ μ 2= X 1 + X 2 ，③μ 3 = X 1 + X 2 都是μ的无偏估计量，且 μ 3 最有效。 2
解：因为 X1 ,X2 的系数之和等于 1，
ˆ Eμ 2=E( X1 + X2 )=
∑ xi
i =1 n
ˆ= max{X , X ,L , X }。 所以 θ 的极大估计量为∴θ 1 2 n
λ
n ˆ= n / X = 1 。 ，∴λ的极大似然估计量 x λ ∑ i ∑ i X i =1 i =1
ww
∫ x(1 + α )x
α
dx = ∫ (1 + α )x
1 0
α +1
ˆ= (1 − 2 EX ) /( X − 1) . ∴ α = (1 − 2 EX ) /( EX − 1) ，所以矩估计量 α
ww
是θ的两个互不相关的无偏估计量， D( θ$
课
ˆ Dμ 1=D( X1 + X2 )=
1 3
2 3
1 4 1 4 5 D(X1 )+ D(X2 )= + = ; 9 9 9 9 9
1 3 1 3 E(X1 )+ E(X2 )= μ+ μ=μ; 4 4 4 4
1 9 1 9 5 D(X1 )+ D(X2 )= + = 16 16 16 16 8
∏ p (1 − p )
xi i =1
n
w.
n
n n ∴ ln L( p ) = ∑ x i ⋅ ln p + n − ∑ xi ln (1 − p ) i =1 i =1
由 d ln L( p ) = ∑ x i / p − ( n − ∑ x i ) /(1 − p ) =0 得: p 的极大似然估计值为
= 1.57 − 2 .064
(
3. 某地年平均气温X(单位：℃)的分布可看作正态分布，近5年平均气温的观测值为24.3, 20.8,23.7,19.3,17.4，试求 EX 的双侧 0.95 置信区间及 DX 的双侧 0.95 置信区间。 解： x = 21.1 ， s ∗ = 2.916 ,EX 的双侧 0.95 置信区间：
2
( )
后 答
4. 设 θ$ 是未知参数θ的无偏估计量且有 D( θ$ )>0，试论述( θ$ ) 2 不是θ 2 的无偏估计量。
=p
xi ∑ i =1
(1 − p )
w.
i =1
案 网
∴ ln L(λ ) = n ln λ − λ ∑ x i ， d ln L(λ ) / dλ = n / λ − ∑ x i = 0,
似然函数： L(θ ) = (1 / θ )n ，
0 ≤ x ≤θ 其他
(0
≤ x 1 , x 2 ,L , x n ≤ θ )，
x1 ，x2 ，… ，xn 为样本的观测值，由小到大排序为 x(1)≤x(2)≤…≤x(n), 为使 L(θ)达到最大，要求θ 尽可能小，但 θ 不能小于 x(n),
ˆ= max{x , x , L, x } 。 所以θ的极大估计值为∴θ 1 2 n
∴λ的极大似然估计值 λ ˆ= n / X = 1 / ∑ i
i =1
n
X，
解：Ⅰ：设总体 X~B(1,p)，∴p=EX，所以矩估计量为 p ˆ= X
课
5. 求事件概率p的矩估计量和极大似然估计量，讨论估计量的无偏性。 。
kh
n
Ⅱ：总体 X 的分布律为：P(X=x)=px(1−p)1 −x，x=0,1, 似然函数： L( p ) =
使 c1 θ$
仍是θ的无偏估计量并在这一类无偏估计量中是有效估计量。
ˆ,θ ˆ是 θ 的两个互不相关的无偏估计量， 解：因为 θ 1 2 ˆ = Eθ ˆ = Eθ ，且 E c θ ˆ ˆ ˆ ˆ 所以 Eθ 1 2 1 1 + c 2θ 2 = c1 Eθ 1 + c 2 Eθ 2 = (c1 + c2 )Eθ = Eθ ，
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w.
案 网
co m
习题 6.2答案
1. 测量海岛棉与陆地棉杂交后的单铃籽棉重X(单位： g)， 若X～N(μ,0.09) ， 样本容量n＝15， 样本均值 x ＝2.88，试求总体均值μ的双侧0.95置信区间。 解： α = 0.05 ，双侧置信区间为：( x -u1-0.5ασ / n , x +u1-0.5ασ / n ) = 2 .88 − u 0.975
Ⅱ：似然函数：L(α)=(1＋α)n x1 αx2 α… xn α (0<xi <1, i=1,2,… ,n)
n d ln L(α ) n = + ∑ ln xi = 0 ， dα 1 + α i=1
∴ ln L (α ) = n ln (1 + α ) + α ∑ ln xi ，
i =1
n
w.
x >0 ， 其他
n
kh
dλ
n
w.
解：Ⅰ： EX =
1 0
ˆ= n / ∴λ的极大似然估计值 λ
2. 设 X1 ， X2 ， …， Xn 是总体 X 的一个样本， X 的分布密度 p(x)＝(1+α)xα， 式中的 x∈(0,1)， 试求未知参数α的矩估计量和极大似然估计量
da
=λ e
n −λ
课
案 网
λe − λx 0
后 答
ˆ= 1 / X ②Ⅰ：∵EX=1/λ, ∴λ=1/EX，所以矩估计量 λ
Ⅱ：总体 X 的分布密度为： p ( x ) =
似然函数： L(λ ) =
∏ λe
i =1
n i =1
n
− λxi
d ln L(λ ) n ∴ ln L(λ ) = n ln λ − λ ∑ x i ， = − ∑ xi = 0,
1 1 1 1 E(X1 )+ E(X2 )= μ+ μ=μ; 2 2 2 2 1 1 1 1 1 D(X1 )+ D(X2 )= + = , 4 4 4 4 2
da
1
后 答
ˆ Eμ 1=E( X1 + X2 )=
1 3
2 3
1 2 1 2 E(X1 )+ E(X2 )= μ+ μ=μ; 3 3 3 3
( xi
> 0, i = 1, 2, L, n )
i =1
1 + α 2 +α 1+ α dx = x = 2 +α 2 +α 0
1
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，
ˆ= −n / ∑ ln x i －1， ∴α 的极大似然估计值 α
i =1
n
3. 设X1 ，X2 ，… ，Xn 是总体X的一个样本，试求P(λ)分布中未知参数λ的极大似然估计量。 又已知1升自来水中所含大肠菌的个数服从上述分布，为检查自来水设备消毒的效果，从消 毒后的水中随机地抽取了50个1升，化验每升水中大肠菌的个数得到数据如下： 大肠菌个数/升 0 1 2 3 4
解：总体 X 的分布律为： P ( X = x ) = λ x e − λ k ! ， 似然函数： L(λ ) =
(λ > 0, x = 0,1, L)
( xi
n
∏ λe
i =1 n i =1
n
− λx i
= λ exp{ − λ ∑ x i }
n i= 1
n
> 0, i = 1, 2, L, n )
2 χ1 ) − 0.5 α ( n − 1
，
(n − 1)s ∗2
χ2 ) 0.5 α ( n − 1
4. 若某车间生产的滚珠直径 X(单位:mm)服从正态分布， 随机地从产品中抽出 5 件, 测量直径 得到 14.6,15.1,14.9,15.2,15.1，试求 EX 的双侧 0.95 置信区间及 DX 的双侧 0.95 置信区间。 解：由计算器算得： x = 14.98 ， s ∗ = 0.239
w.
( x -t1-0.5α(n-1) = 21 .1 − 2.774
s* n
ww
(
DX 的双侧 0.95 置信区间：
(n − 1)s ∗2
kh
, x +t1-0.5α(n-1)
s* n
2 2 = 25 ⋅ 0. 077 , 25 ⋅ 0.077 = (0.004,0.012 ) 39. 4 12.4