数学物理方法第五章2019
数学物理方法 复变函数 第五章 傅立叶变换
∫
ρ (x) d x = m......(4)
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
也即
-∞
∫
∞
-∞
lim ρ l (x) d x = m
l→ 0
由 (3) 、（ 4）可以看出质点线密度
分布函数的直观图像。
它在
x ≠ 0时 , 为 0; 在 x = 0时，为 ∞ 。它的积分值为 m. 也即由 (3) 、 共 (4) 同来描述。
因此 , 在 Dirac 首次引入 δ 函数时，曾遭到许多数 学家的非难 但它在近代物理学中有 许多重要的应用 , 它可以用来描述物 理学中的一切点量 (点质量 \ 点电荷 \ 瞬时源 )且物理图象清 晰 .这样迫使数学家对 δ 函数的性质等进行研究 和解释 .
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第5章
傅里叶变换(Fourier transforms)
-∞
第5章
傅里叶变换(Fourier transforms)
第5节 δ函数
五 δ函数的性质
2 δ 函数具有挑选性
若 a = 0, 则有
这 一 性 质 表 明 , 虽 然 δ (x) 是 广 义 函 数 ， 但 它 和 任 何 连 续 函 数 的 乘 积 在 （ － ∞， ＋ ∞） 内 的 积 分 都 有 明 确 的 意 义 。 这 使 得 它在近代物理和工程技术中有广泛的应用。
..........
...(1)
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第5章
傅里叶变换(Fourier transforms)
第5节 δ函数
引入δ 一 引入δ函数的物理背景
注意 rect() 的写法 : 即保证 rect() 中的量的绝对值 >
数学物理方法第五章
第五章留数定理习题课
本章内容小结 习题求解与讨论 一、计算留数 二、用留数定理计算围道积分 三、计算实积分 四、计算多值函数的积分 五、其它
Wuhan University
一、计算留数
1、公式：
第五章留数 定理习题课
⎧C −1 ⎧− C −1 ⎪ ⎪ resf (bk ) = ⎨ 1 resf( ∞ ) = ⎨ 1 ⎪ 2πi ∫lk f ( z ) dz ⎪ 2πi ∫ l f ( z ) dz ⎩ ⎩ 1 d n −1 resf (bk ) = ⋅ n −1 [( z − bk ) n f ( z )] z = bk , bk − n阶极点 （ n − 1 ! dz ） n = 1 ⎧ lim [( z − b ) f ( z )] k z → bk ⎪ = ⎨ ϕ (bk ) ⎪ψ ' (b ) k ⎩
答：1
1 答： 2
1 答：−1) n n! (
1 5、 res [ f ( z ⋅ sin ), 0 ] = ? 1 z
res [ f ( z ⋅ sin
Wuhan University
答：1 答：0 (本性) 答：0
), ∞ ] = ? (可去) z
一、计算留数
(2) res [
法一：
第五章留数 定理习题课
−3 −3
第五章留数 定理习题课
(2) res [
e z −1
,0] = ？ （2阶极点）
1 答： 2
z z (−3)(−3 − 1) z 2 z 4 = z −3 [1 + (−3)(− + + L) + (− + + L) 2 + L] 3! 5! 2! 3! 5! 1 2 17 4 1 −1 17 −3 −3 −3 = z [1 + z − z + L)→ sin z = z + z − z + O( z 3 ) 2 120 2 120
数学物理方法
数学物理方法Mathematical Method in Physics西北师范大学物理与电子工程学院豆福全第五章 Fourier 变换法§5 . 0 引言在数学中，为将较复杂的运算转化为较简单的运算，常常采用变换手段。
如数量的乘积或商可以通过对数变成对数的解或差，，而得原来数量的乘积或商。
（实质是将乘除运算（复杂）——加减运算（简单）），再如解析几何中的坐标变换，复变函数中的保角变换等均如此。
所谓积分变换，就是通过积分运算，把一个函数变成另一个函数的变换，一般是含有参变量x 的积分()()(),baF f t k t dt αα=⎰实质是将某函数类A 中的函数f 通过上述积分运算变成另一类函数类B 中的函数()F α ，这里(),k t α 是一个确定的二之函数，称为积分变换的核。
选取不同的积分域和变换核时，就得到不同名称的变换，如(),i t k t e ωα-=积分域()(),,a b =-∞∞则 ()()i t F f t dt e ωω∞--∞=⎰（ω为实变量）------------Fourier 变换(),i t k t e ωα-= 积分域()(),0,a b =∞则()()0tF f t dt e σσ∞-=⎰ （σ为实变量）-------------Laplace 变换()f t 称为象原函数，()F α称为()f t 的象函数，一定条件下，它们是一一对应的，而变换是可逆的。
积分变换可用来求解方程（如微分方程）。
原方程中直接求未知数有困难或较复杂时，则可求它的某种积分变换的象函数，然后再由求得的像函数去找原函数。
这种变换的选择应当使得由原来函数的方程经变换得到象函数的方程，易求解。
积分变换的理论和方法在所有科学和各种工程技术中有广泛的应用，我们重点学习Fourier 变换和Laplace 变换。
§5 . 1 Fourier 级数，积分和Fourier 变5 .1 .0 引言研究一个比较复杂的函数时，往往是将它化作一些简单函数的叠加即展开成无穷级数，再利用无穷级数的积分去近似代替它。
第五章 拉普拉斯变换-数学物理方法
d2 L[t 2 f ( t )] ( 1)2 2 F ( p) dp
……
dn n pt n F ( p) ( t ) f ( t )e dt ( 1) [t n f ( t )]e pt dt n 0 0 dp
dn L[t n f ( t )] ( 1)n n F ( p) dp
这个性质很容易从Laplace变换的定义得到，因为它只不 过是积分运算的线性性质的反映.
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性质2 ：原函数的导数的拉氏变换
L 设f (t)及 f ' (t ) 都满足拉氏变换存在的充分条件， [ f ( t )] F ( p),
则： 0 f ( t )e dt f ( t ) e
' pt
n n
【证明
】 F ( p) f ( t )e pt dt
0
d pt F ( p) t f ( t )e dt [t f ( t )]e pt dt 0 0 dp d L[t f ( t )] F ( p) dp 2 d 2 pt 2 F ( p) ( t ) f ( t )e dt ( 1) [t 2 f ( t )]e pt dt 2 0 0 dp
L[ f ( t )] f ( t )e
'' '' 0 pt
dt e
0
pt
df ( t ) f ( t ) e
' '
pt 0
p f ' ( t )e pt dt
0
f ' (0) p[ pF ( p) f (0)] p2 F ( p) pf (0) f ' (0)
数学物理方法 第5章 傅里叶变换
0 xl l x 0 x l
-l 0
F(x)
l
x
图5.7(a)
1 l 1 l 1 l l a0 F ( x)dx f ( x) xdx l 0 l 0 l 0 2
2 l kx 2 l kx 2 l kx ak F ( x) cos dx f ( x) cos dx x cos dx 0 0 0 l l l l l l
k 1
a0 E (t )dt 2 2
1
0
E0 cost E 0 sin tdt 2
0
E0
E0 a k E0 sin t cos ktdt 0 2
0
[sin(k 1)t sin(k 1)t ]dt
解：
l 2 l kx 2 l kx l bk x sin dx x( ) cos 0 l l l k l 0 k
l 2 l l 2 kx 2l l ( )( 1) k ( ) sin (1) k 1 l k k l 0 k
f ( x)
0
A( ) cosxd
0
B( ) sin xd
（称为傅里叶积分式）
A( )
B( )
1
1
f ( x) cosxdx
f ( x) sin xdx
（称为傅里叶变换式）
在 f (x) 的间断点，傅里叶积分的值
1 [ f ( x 0) f ( x 0)] 2
例4：定义在区间 (0, l ) 上的函数 f ( x) x ，试把它 展开为傅里叶级数。 解:方法一：偶延拓法，所找的周期函数 F (x)为偶 函数,如图5.7(a)所示。
数学物理方法总结
数学物理方法总结第一章 复变函数复数的代数式:z=x+iy复数的三角式和指数式:(cos sin )z ρϕϕ=+和i z e ϕρ=欧拉公式:{1sin ()21cos ()2iz iz iz izz e e iz e e --=-=+柯西-黎曼方程(或称为柯西-黎曼条件):{u u x yv v x y∂∂=∂∂∂∂=-∂∂ (其中f(z)=u+iv)函数f(z)=u+iv 在点0z 及其领域上处处可导,则称f(z)在0z 点解析.在区域B 上每一点都解析,则称f(z)是在区域B 上的解析函数.解析函数的性质:1.若函数f(z)=u+iv 在区域B 上解析,则12(,),(,)u x y C v x y C ==(12,C C 为常数)是B 上的两组正交曲线族.2.若函数在区域B 上解析,则u,v 均为B 上的调和函数,即22220u vx y ∂∂+=∂∂ 例题: 已知某解析函数f(z)的实部22(,)u x y x y =-,求虚部和这个解析函数.解答: 由于22ux∂∂=2;22v y ∂∂=-2;则22220u v x y ∂∂+=∂∂曲线积分法u x ∂∂=2x;u y ∂∂=-2y.根据C-R 条件有:v x∂∂=2y;v y ∂∂=2x.于是 22dv ydx xdy =+;(,0)(,)(0,0)(,0)(,)(,)(,0)(22)(22)(22)22x x y x x y x y x v ydx xdy C ydx xdy ydx xdy Cxdy C xy C=++=++++=+=+⎰⎰⎰⎰凑全微分显式法 由上式可知 22dv ydx xdy =+则易得 (2)dv d xy = 则显然 2v xy C =+不定积分法 上面已有v x∂∂=2y;v y ∂∂=2x则第一式对y 积分,x 视为参数,有 2()2()v xy x xy x ϕϕ=+=+⎰. 上式对x 求导有 2'()vy x xϕ∂=+∂,而由C-R 条件可知 '()0x ϕ=, 从而()x C ϕ=.故 v=2xy+C.222()(2)f z x y i xy C z iC =-++=+第二章 复变函数的积分单连通区域柯西定理 如果函数f(z)在闭单连通区域B 上解析,则沿B 上任意一分段光滑闭合闭合曲线l(也可以是B 的边界),有()0lf z dz =⎰.复连通区域柯西定理 如果f(z)是闭复连通区域上的单值解析函数,则1()()0inll i f z dz f z dz =+=∑⎰⎰.式中l 为区域外边界线,诸i l 为区域内边界线,积分均沿边界线的正方向进行.即1()()inll i f z dz f z dz ==∑⎰⎰.柯西公式 1()()2l f z f dz i z απα=-⎰n 次求导后的柯西公式 ()1!()()2()n n l n f fz d i z ζζπζ+=-⎰第三章 幂级数展开幂级数200102000()()()......()......kk kk k a z z a a z z a z z a z z ∞=-=+-+-++-+∑其中0a ,1a ,2a ,3a ,……都是复常数. 比值判别法(达朗贝尔判别法) 1.若有110100limlim1k k k kk k kk a z z a z z a a z z +++→∞→∞-=-<- 则 2010200............kk a a z z a z z a z z +-+-++-+收敛,200102000()()()......()......kk kk k a z z a a z z a z z a z z ∞=-=+-+-+-+∑绝对收敛.若极限1lim /k k k a a +→∞存在,则可引入记号R,1limkk k a R a →∞+=,于是,若0z z R -<,则 200102000()()()......()......kk kk k a z z a a z z a z z a z z ∞=-=+-+-+-+∑绝对收敛.2.若0z z R ->,则后项与前项的模之比的极限1101l i m l i m 1k k k k k k kk a z z a R a a z z +++→∞→∞->=-,即说明200102000()()()......()k k k k k a z za a z z a z z a z z ∞=-=+-+-+-+∑发散.例题: 求幂级数2461.....z z z -+-+的收敛圆,z 为复变数. 解答: 由题意可得 1lim1kk k a R a →∞+== 故 246211......1z z z z -+-+=+ (1z <). 泰勒级数展开 设f(z)在以0z 为圆心的圆R C 内解析,则对圆内的任意z 点,f(z)可展为幂级数,0()()kkk f z a z z ∞==-∑,其中1()010()1()2()!R n k k C f z f a d iz k ζζπζ+==-⎰,1R C 为圆R C 内包含z 且与R C 同心的圆.例题: 在00z =的领域上将()zf z e =展开 解答: 函数()zf z e =的各阶导数()()n z fz e =,而()()0()(0)1k k f z f ==.则ze 在00z =的领域上的泰勒展开23401............1!2!3!4!!!k kzk z z z z z z e k k ∞==++++++=∑.双边幂级数212010010220......()()()()......a z z a z z a a z z a z z ----+-+-++-+-+洛朗级数展开 设f(z)在环形区域201R z z R <-<的内部单值解析,则对环域上的任一点z,f(z)可展为幂级数0()()kkk f z a z z ∞=-∞=-∑.其中101()2()k k Cf a d iz ζζπζ+=-⎰, 积分路径C 为位于环域内按逆时针方向绕内圆一周的任一闭合曲线.例题1: 在1z <<∞的环域上将2()1/(1)f z z =-展为洛朗级数.解答: 22222460211111111......111kk z z zz z z z z ∞=⎛⎫===+++ ⎪-⎝⎭-∑ 例题2: 在01z =的领域上将2()1/(1)f z z =-展为洛朗级数. 解答: 由题意得21111()()1211f z z z z ==---+ 则有z-1的-1次项,而0111111(1)()111222212kk k z z z z ∞=-===--+-++∑ (12z -<) 故 01111()(1)()2142k kk z f z z ∞=-=---∑.第四章 留数定理留数定理 设函数f(z)在回路l 所围区域B 上除有限个孤立奇点1b ,2b ,……,n b 解析,在闭区域B 上除1b ,2b ,……, n b 外连续,则11()2R e ()2nj lj f z d z i s f b i aππ-===∑⎰. 其中,1111Re ()lim {[()()]}(1)!j m m j j m z b d a sf b z b f z m dz---→==--.推论1: 单极点的留数为000Re ()lim[()()]z z sf z z z f z →=-.推论2: 若f(z)可以表示为P(z)/Q(z)的特殊形式,其中P(z)和Q(z)都在0z 点解析,0z 是Q(z)的一阶零点(0()0Q z =).0()0P z ≠,则000000()()'()()()Re ()lim()lim ()'()'()z z z z P z z z P z P z P z sf z z z Q z Q z Q z →→+-=-==. 上式最后一步应用了罗毕达法则.留数定理的应用 类型一20(cos ,sin )R x x dx π⎰.作自变量代换 ix z e =.则式子变为111(,)22z z z z z dzI R iz--=+-=⎰.例题: 计算 202cos dxI xπ=+⎰.解答: 21201122cos 41(2)2z z dxdz dzI i i z z xzz z π-====-=-+++++⎰⎰⎰,Z的单极点为1,2422z -+==- 则221Re(22241z s i z z z π→--=+-=++, 由于2-1z =内.故 I =. 类型二()f x dx ∞-∞⎰.积分区间是(,)-∞∞;复变函数f(z)在实轴上没有奇点,在上半平面除了有限个奇点外是解析的;当z 在上半平面及实轴上→∞时,zf(z)一致地0→.则式子可以变为()2I f x d x i π∞-∞==⎰{f(z)在上半平面所有奇点的留数之和}.例题: 计算21dx x ∞-∞+⎰. 解答: 21dzI z ∞-∞=+⎰的单极点为1,2z i =±.21Re ()2lim()1z i sf i i z i z ππ→=-=+,故21dxx π∞-∞=+⎰.类型三()cos F x mxdx ∞⎰,0()sin G x mxdx ∞⎰,积分区间是[0,]+∞;偶函数F(x)和奇函数G(x)在实轴上没有奇点,在上半平面除了有限个奇点外是解析的;当z 在上半平面或实轴上→∞,F(z)及G(z)一致地0→.则式子可以变为0()c o s {()i m xF x m x d x i F x e π∞=⎰在上半平面所有奇点的留数之和;()s i n {()i m xG x m x d x G x eπ∞=⎰在上半平面所有奇点的留数之和. 若类型二,类型三的实轴上有有限个奇点,则有()2Re ()Re ()f x dx isf z isf z ππ∞-∞=+∑∑⎰在上平面实轴上.其中,在类型三中f(x)应理解为()imzF x e或()imxG x e.第五章 Fourier 变换傅里叶级数 周期为2l 的函数f(x)可以展开为级数01()(c o s s i n k kk k x k x f x a a b llππ∞==++∑. 其中,{1()cos1()sin lk lk lk l k a f d l lk b f d l lπξξξδπξξξ--==⎰⎰,k δ={2(0)1(0)k k =≠.注: 积分上下限只要满足 上-下=2l 即可. 复数形式的傅里叶级数 ()k xilkk f x c eπ∞=-∞=∑其中 *1()[]2k x i ll k l c f e d lπξξ-=⎰. 傅里叶积分 0()()cos ()sin f x A xd B xd ωωωωωω∞∞=+⎰⎰傅里叶变换式 {1()()cos 1()()sin A f d B f d ωξωξξπωξωξξπ∞-∞∞-∞==⎰⎰复数形式的傅里叶积分{*()()()()[]i xi x f x F e d F f x e dx ωωωωω∞-∞∞-∞==傅里叶变换的性质(1) 导数定理 F [f ’(x)]=iwF(w)(2) 积分定理 F [()()x f d ξξ⎰]=1()F w iw(3) 相似性定理 F [f(ax)]=1()wF a a(4) 延迟定理 F [0()f x x -]=0()iwx e F w -(5) 位移定理 F [0()iw xef x ]=0()f w w -(6) 卷积定理 若F [1()f x ]=1()F w ,F [2()f x ]=2()F w ,则 F [1()f x *2()f x ]=122()()F w F w π. 其中1212()*()()()f x f x f f x d ξξξ∞-∞=-⎰称为1()f x 和2()f x 的卷积.δ函数()x δ={0(0)(0)x x ≠∞=.()bax dx δ=⎰{0(,0,0)1(a<0<b)a b <>都或都.δ函数的一些性质1.()x δ是偶函数.()()'()'()x x x x δδδδ-=-=-2. ()()xH x t dt δ-∞==⎰{0(0)1(0)x x <>.3.00()()()f t d f t τδττ∞-∞-=⎰.第六章 Laplace 变换拉普拉斯变换 0()()pt f p f t e dt ∞-=⎰拉普拉斯变换的一些性质 (1) 线性定理 若11()()f t f p ,22()()f t f p ,则 1121122()()()(c f t c f t c f pc f++. (2) 导数定理 '()()(0)f t p f p f -.(3) 积分定理1()td p ϕττ⎰L [()p ϕ]. (4) 相似性定理 1()()p f at f p a. (5) 位移定理 ()()tef t f p λλ-+.(6) 延迟定理 00()()pt f t t e f p --. (7) 卷积定理 若11()()f t f p ,22()()f t f p ,则1212()*()()(f t f t f p f p, 其中12120()*()()()tf t f t f f t d τττ=-⎰称为1()f t 和2()f t 的卷积.第七章 数学物理定解问题(1) 均匀弦的微小振动,均匀杆的纵振动,传输线方程,均匀薄膜的微小横振动,流体力学与声学方程,电磁波方程的形式为20tt xx u a u -=或220tt u a u -∆=或230tt u a u -∆=.(2) 扩散方程,热传导方程的形式为20t xx u a u -=或20t u a u -∆=.(3) 稳定浓度分布,稳定温度分布,静电场,稳定电流场方程的形式为(拉普拉斯方程)0u ∆=.(4) 以上方程中x u 意为u x∂∂,xx u 意为22ux ∂∂.若以上各方程均为有源,则方程为 各方程=f(x,y,z,t).定解条件初始条件 初始”位移” 0(,,,)(,,)t u x y z t x y z ϕ==, 初始”速度” 0(,,,)(,,)t t u x y z t x y z ψ==. 边界条件 第一类边界条件 (,)(,)u r t f M t ∑=第二类边界条件(,)uf M t n ∑∂=∂ 第三类边界条件 ()(,)uu Hf M t n ∑∂+=∂ 衔接条件 00(0,)(0,)u x t u x t -=+00(0,)(0,)()x x Tu x t Tu x t F t +--=-.(T 为张力) 达朗贝尔公式 定界问题 达朗贝尔公式 11(,)[()()]()22x at x at u x t x at x at d aϕϕψξξ+-=++-+⎰. 其中0()t u x ϕ==,0()tt u x ψ==.()x -∞<<∞第八章 分离变数法泛定方程 20tt xx u a u -=(若该方程可以使用分离变量法,则可以化成2''()''()()()T t X x a T t X x λ==-). ''()()0X x X x λ+=在不同的边界条件下解不同.边界条件(1) {(0)0()0X X l == , X(x)的解为 {2()()sin n n n ln X x C x lπλπ== 其中 n=1,2,3……(2) {'(0)0()0X X l ==, X(x)的解为 {21()2[]1()2()cosn n k lk X x C x lπλπ+=+= 其中 k=0,1,2……(3) {(0)0'()0X X l ==, X(x)的解为 {21()2[]1()2()sinn n k lk X x C x lπλπ+=+= 其中 k=0,1,2……(4) {'(0)0'()0X X l ==, X(x)的解为 {2()()cosn n n ln X x C x lπλπ== 其中 n=0,1,2……T(t)的方程在有n 且n=0时的解为 ()T t At B =+; 在0n ≠时的解为()sincos n a n aT t A t B t l lππ=+; 在有k 的情况下为(21)(21)()sincos 22k a k aT t A t B t l lππ++=+.初始条件 将u(x,t)=T(t)X(x)带入初始条件,确定u(x,t)中的常数项.欧拉型常微分方程 22220d R dRm R d d ρρρρ+-=. 解法为做代换t e ρ=.第九章 二阶常微分方程级数解法 本征值问题拉普拉斯方程 0u ∆=(1) 球坐标系下 2222222111()(sin )0sin sin u u ur r r r r r θθθθθϕ∂∂∂∂∂++=∂∂∂∂∂. 分解为 2222(1)0R R r r l l R r r ∂∂+-+=∂∂ 其解为 11()ll R r Cr D r+=+. 和22211(sin )(1)0sin sin Y Y l l θθθθθϕ∂∂∂+++=∂∂∂(球方程,(,)()()Y θϕθϕ=ΘΦ) 球方程又可以分离为 ''()()0ϕλϕΦ+Φ= 其中有 ()(2)ϕϕπΦ=Φ+,其方程解为 {2()cos sin m A m B m λϕϕϕ=Φ=+ 其中 m=0,1,2……和 22222(1)2[(1)]01d d m x x l l dx dx x ΘΘ--++-Θ=- (连带勒让德方程).(2) 柱坐标系下 2222211()0u u u z ρρρρρϕ∂∂∂∂++=∂∂∂∂.分解为 ''()()0ϕλϕΦ+Φ= 其中有 ()(2)ϕϕπΦ=Φ+,其方程解为{2()cos sin m A m B m λϕϕϕ=Φ=+ 其中 m=0,1,2…… 和 ''0Z Z μ-=和 22221()0d R dR m R d d μρρρρ++-=. 当0μ=时,Z=C+Dz,()R ρ={ln (0)/(1,2,3......)m m E F m E F m ρρρ+=+=; 当0μ>时,()Z z De =+,方程R 转换为 22222()0d R dR x x x m R dx dx++-=(x =,m 阶贝塞尔方程). 当0μ<时,()Z z C D =+,方程R 转换为22222()0d R dR x x x m R dx dx +-+=(x =,m 阶虚宗量贝塞尔方程). 亥姆霍兹方程 20v k v ∆+=.在00x =的领域上l 阶勒让德方程的解为 0011()y x a y a y =+ 其中 2402()(1)(2)()(1)(3)1...2!4!(22)(24)...()(1)(3)...(21)......(2)!k l l l l l l y x x k l k l l l l l k x k -+--++=+++-----+++-++ 35121(1)(2)(3)(1)(2)(4)...3!5!(21)(23)...(1)(2)(4)...(2)......(21)!k l l l l l l y x x x k l k l l l l l k x k +-+--++=+++-----++++++第十章 球函数高次项l x 的系数 2(2)!2(!)l l l a l = (在乘以适当的常数之后),用递推公式改写后为2(2)(1)()(1)k k k k a a k l k l +++=-++,则 22(22)!(1)!2()!(2)!l n l l n a n l n l n --=---.则勒让德多项式为 [/2]20(22)!()(1)!2()!(2)!l kl k l l k l k P x x k l k l k -=-=---∑.[/2]l ={/2()(1)/2()l l l l -为偶数为奇数. ()1o P x =1()cos P x x θ==2211()(31)(3cos 21)24P x x θ=-=+ 3311()(53)(5cos33cos )28P x x x θθ=-=+ 42411()(35303)(35cos 420cos 29)864P x x x θθ=-+=++…… 勒让德多项式是正交的例题1: 以勒让德多项式为基,在区间[-1,1]上把f(x)=3234x x ++展开为广义傅里叶级数.解答: 3234x x ++=00112233()()()()f P x f P x f P x f P x +++ = 23012311(31)(53)22f f x f x f x x ++-+- 则有 02142f f -=, 13332f f -=, 2302f =, 3522f =. 故有3234x x ++=0132144()()()55P x P x P x ++. 例题2: 在半径0r r =的球的内部求解拉普拉斯方程使满足边界条件02cos r r u θ==. 解答: 边界条件与ϕ无关,故选择球坐标,则有10(,)()(cos )l l l l l l B u r A r P r θθ∞+==+∑. 又有自然边界条件 0r u =有限故0l B =.则有(,)(cos )ll ll u r A r P θθ∞==∑. 而02202012cos (cos )()()33l l l r r l u A r P x P x P x θθ∞======+∑,则22200121(,)(cos )(cos )33l l l l u r A r P r P r θθθ∞===+∑.。
数学物理方法chp5-1 傅里叶级变换
3）m阶极点的留数
z z0
lim[(z z0 ) m f ( z )] am 非零有限值， z0为f ( z )的m阶极点
1 d ( m1) Res[ f ( z0 )] a1 lim { ( m1) [(z z0 ) m f ( z )]} z z0 ( m 1)! dz
若m n, 则 lim[(z z0 ) m f ( z )]}
z z0
若m n, 则 lim[(z z0 ) m f ( z )]} a n a m (非零有限)
z z0
z0为f ( z )的m阶极点（对m 1也适用）
5
第五章 傅里叶变换
重点 1、傅立叶（Fourier）级数的展开方法； 2、傅立叶（Fourier）积分与变换；
如要求 f(0)=f(l)=0，则应延拓成奇周期函数，
如要求 f (0) f (l ) ，则应延拓成偶的周期函数。
四 复数形式的傅立叶级数
有些时候利用三角函数和复指数函数的关系，将 函数以复指数函数展开讨论函数的性质更方便。
而利用三角函数的指数形式可将级数表示为:
25
kx kx f x a0 a k cos bk si n l l k 1
例1
设f（x）函数是周期为2π周期函数，它在（π，π） 表达式
1 f ( x) 1
( x 0) (0 x )
将f（x）展为傅立叶级数。
解
函数满足狄氏条件，它在x=kπ（k=0，1，-1，2，-2…)
1 1 0 2
第一类间断点，级数和 且只有有限个极值点
l j 1
留数定理将回路积分归结为被积函数在回路所围 区域上各奇点（有限远点）的留数之和。 推论： 函数在全平面上所有各奇点（有限远和无限远点）的 m 留数和为零。
数学物理方法2019傅里叶变换
Em, Em,
0t t
Em
o
t
将其展开为傅立叶级数.
Em
解 所给函数满足狄利克雷充分条件.
在点x n(n 0,±1,±2, )处不连续.
收敛于 Em Em Em(Em) 0,
2
2
当x n时, 收敛于f ( x). 和函数图象为
ak
1
u(t)cos ktdt
1
0
(
Em
的拉氏逆变换．
5.1 傅里叶级数
1807年12月21日，Fourier向法国科学院宣布：任意的 周期函数都能展开成正弦及余弦的无穷级数。当时整个科学院， 包括拉格朗日等，都认为他的结果是荒谬的。
傅立叶的两个最主要的贡献:
• “周期信号都可表示为谐波关 系的正弦信号的加权和”—— 傅里叶的第一个主要论点
数学物理方法2019傅里叶变换
所谓积分变换，就是把某函数类A中的任意一个函数 f ( t )
，经过某种可逆的积分方法（即为通过含参变量 的积分）
b
F() f (t)K(t,)dt a
变为另一函数类 B中的函数 F ( ) , 这里 K (t, ) 是一个确
定的二元函数，通常称为该积分变换的核．F ( ) 称为 f ( t )
的傅里叶逆变换．
（2）特别当核函数 K(t,p)ept（注意已将积分参变量
改写为变量 p ），当 a0,b，则
F(p) f(t)eptdt 0
称函数 F ( p ) 为函数 f ( t ) 的拉普拉斯 (Laplace)变换，简称
F ( p ) 为函数 f ( t ) 的拉氏变换．同时我们称 f ( t ) 为 F ( p )
记
a0 2
梁昆淼_数学物理方法第5章
l
l
f ( )sin
nx d
l
l
l [a0
k 1
(ak
cos
k
l
bk sin
k )]sin
l
n
l
d
bk
1 l
l l
f ( )sin k d
l
ak bk
称为周期函数 的付里叶系数
狄里系利条件：(付氏级数收敛条件）
若f(x)满足：(1)、处处连续，或在每个周期有有限个第 一类间断点
(2)、或在每个周期有有限个极值点，级数收敛
l0
l
ll
l
f
(x)
a0
k 1
ak
cos
k
l
x
2
ak k l
l f ( ) cos k d
0
l
f '(0) 0 f '(l) 0
例：要求在（- ，）上, f(x)=x2, 展开为Fourier 级数，
在本题展开所得中置 x=0，由此验证
1 1 1 1 2
22 32 42
12
2
0 F () 1 [A( ) iB( )]
2
A() 1
f ( ) cosd
B() 1
f ( ) sin d
F() 1
f ( )(cos i sin )d
2
1
2
f ( )ei d
1
2
f (x)ei xdx
1 f (x)(ei x ) * dx
对于偶函数，有付里叶余弦积分
f (x) 0 A() cos(x)d
A( )
2
0
f
( ) cosd
电子课件 [数学物理方法与仿真(第3版)][杨华军][电子教案(PPT版本)]chapter5
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1． 可去奇点
定义 5.1.3 可去奇点 设 z0 为 f (z) 的
孤立奇点，若 f (z) 在点 z0 的去心邻域内
的罗朗级数无主要部分（即无负幂次项），
则称 z0 为 f (z) 的可去奇点
这时， f (z) 在 z0 的去心邻域内的罗朗级数
实际上就是一个普通的幂级数
a0 a1(z z0 ) ak (z z0 )k （5.1.2） 因此，这个幂级数的和函数 F(z) 是在 z0 解 析的函数，且当 z z0 时， F(z) f (z); 当 z z0 时， F (z0 ) a0 .
可去奇点.
定理 5.1.1 可去奇点的判定定理
（1） f (z) 在奇点 z0 的去心邻域内的罗朗级数中
无主要部分；
（2） lim z z0
f
(z)
a0, (a0
)
；
（3） f (z) 在 z0 的去心邻域内有界；
以上任何一条均可作为判别奇点是否为可去奇点
的判断标准，也可作为可去奇点的定义.
2．极点 由于极点与零点有 一定关系，而零点的概 念易于理解 ，故先给出零点的概念 ，然后介绍 极点的定义 ，以及极点与零点的关系 ，最后介 绍极点的判定定理.
式.
对应于(5.2.2)展开式中的负幂次项，为 (t) 在 t 0的
主要部分，故我们 对应地称（ 5.2.3）展式中的正幂次
ak zk 为 f (z) 在 z 的主要部分.
k 1
由上述定义及前面讨论的有限远奇点的性质，容易
推证下述定理：
定理 5.2.1 函数 f (z) 的孤立奇点 z 为可去
在 z0 点及其邻域| z z0 | 内是解析函数，且 (z0 ) 0 .
数学物理方法习题解答(完整版)
数学物理方法习题解答一、复变函数部分习题解答第一章习题解答1、证明Re z 在z 平面上处处不可导。
证明：令Re z u iv =+。
Re z x =，,0u x v ∴==。
1ux∂=∂，0v y ∂=∂，u v x y ∂∂≠∂∂。
于是u 与v 在z 平面上处处不满足C －R 条件， 所以Re z 在z 平面上处处不可导。
2、试证()2f z z=仅在原点有导数。
证明：令()f z u iv =+。
()22222,0f z z x y u x y v ==+ ∴ =+=。
2,2u u x y x y ∂∂= =∂∂。
v vx y∂∂ ==0 ∂∂。
所以除原点以外，,u v 不满足C －R 条件。
而,,u u v vx y x y∂∂∂∂ , ∂∂∂∂在原点连续，且满足C －R 条件，所以()f z 在原点可微。
()000000x x y y u v v u f i i x x y y ====⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫'=+=-= ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭。
或：()()()2*000lim lim lim 0z z x y z f z x i y z∆→∆→∆=∆=∆'==∆=∆-∆=∆。
22***0*00limlim lim()0z z z z z z zzz z z z z z zz z=∆→∆→∆→+∆+∆+∆∆==+−−→∆∆∆。
【当0,i z z re θ≠∆=，*2i z e z θ-∆=∆与趋向有关，则上式中**1z zz z∆∆==∆∆】3、设333322()z 0()z=00x y i x y f z x y ⎧+++≠⎪=+⎨⎪⎩，证明()z f 在原点满足C －R 条件，但不可微。
证明：令()()(),,f z u x y iv x y =+，则()33222222,=00x y x y u x y x y x y ⎧-+≠⎪=+⎨+⎪⎩， 33222222(,)=00x y x y v x y x y x y ⎧++≠⎪=+⎨+⎪⎩。
数学物理方法1课件——第五章 傅里叶变换
∑ ∑ ∞ sin (2n −1) x
m sin (2n −1) x
f (x) =
= lim
n=1 2n −1
m→∞ n=1 2n −1
(−π < x < π )
m=1 1
0.5
-3 -2 -1 -0.5 -1
1
2
3
m=2 0.75
0.5 0.25
-3 -2 -1 -0.25 -0.5 -0.75
第五章傅里叶变换51傅里叶级数52傅里叶变换53傅里叶变换的性质54函数约瑟夫傅里叶傅立叶早在1807年就写成关于热传导的基本论文热的传播在论文中推导出著名的热传导方程并在求解该方程时发现函数可以由三角函数构成的级数形式表示从而提出任一函数都可以展成三角函数的无穷级数
第五章 傅里叶变换
§ 5.1 傅里叶级数 § 5.2 傅里叶变换 § 5.3 傅里叶变换的性质 § 5.4 δ函数
其中傅里叶变换系数为：
∫ A(k) = 1
∞
f (x) cos(kx)dx
π −∞
∫ B(k) = 1
∞
f (x) sin(kx)dx
π −∞
傅里叶变换存在的条件：
¾
函数
f (x) 在 (−∞, ∞) 区间内绝对可积，即积分
∞
∫−∞
f (x) dx 收敛
¾ 函数 f (x) 在任意有限区间内满足狄里希利条件，即 f (x) 分段
3. 展开式中的波数kn或频率ωn，取值是不连续的，
即 n = 0,1, 2,... (实数形式的展开) 或 n = 0, ±1, ±2,... (复数形式的展开)。
§ 5.2 傅里叶变换
1、实数形式的傅里叶积分变换
傅里叶积分定理：设函数f(x)是区间[-∞, ∞]上的非周期函数，
第五章 数理方程的建立,定解条件,傅里叶级数和傅里叶变换(简介),代尔塔函数的简介
ut = a2uxx + f ( x,t ) （有热源） 或 ut = a2uxx （无热源）。
若用 u 代表物体内某种物质的浓度。则扩散方程与热传导方程是一样的。
（3）泊松方程和拉普拉斯方程
若温度达到了稳定分布，即温度分布不随时间变化， ut = 0 ，则由热传 导方程可得温度稳定分布满足的方程为
dv
（积分形式），
∫v ∇ ⋅
JK Edv
=
1 ε
∫v
ρ dv
⇒
∇⋅
JK E
=
ρ ε
（微分形式）。
( ) 又
v∫l
JK E
⋅
d
K l
=
0
⇒
∫∫s
JK ∇×E
⋅
K ds
=
0
⇒
∇
×
JK E
=
0
，
∇
×
JK E
=
0
⇒
JK E
=
−∇u
，
u
为静电势（无旋场必为梯度场）
72
∴∇2u = − ρ ， 静电势满足的方程为泊松方程。
74
初始条件所反映的必须是物体上各点的初始状态，而不是仅仅某一点。
边界条件
一共有三类边界条件：
1.给定要求解的函数 u 在边界上的值 u ( x, y, z,t ) 边界上的x0 , y0 , z0
=
f
( x0, y0, z0,t ) ，称为
第一类边界条件。
例如：若研究长为 l 、两端固定的弦的振动情况，既然弦的两端 x = 0 ， x = l
所满足的方程。
设弦的质量密度为 ρ ，现在研究位于 x 到 x + dx 这一段弦的运动状况。这
数学物理方法第五章
k
l
d
2 (k 0)
1
(k 0)
编辑ppt
6
Fourier 级数也可展开成
f(x)k 0Ckcokslxk
Ck ak2bk2, k arcta bakk n
编辑ppt
7
三 傅里叶级数的收敛性
狄里希利定理 若函数 f(x) 满足条件： （1）处处连续，或在每个周期中只有有
限个第一类间断点；间断点的跃度有限。 （2）在每个周期只有有限个极值点，则
22
1）余弦部分 若limlf()d 有限 l l
a0ll i m 21l
lf()d0
l
k
,
l
1k l
ll imk 11l
l l
f()coskdcoskx
ll imk 11
l l
f()c编辑opptskdcoskx23k
1
1
l
0
(k)k 0 ()d
k1
01 f()cos)(dcosx)(d
2）正弦部分
lim
l k1
1 l
l l
f
()sin(k)dsin(kx)
01
f
()sin(
)dsin( x)d
1l k ,编辑 pp t k d
24
3）最终得到
f(x)A ()co xsdB()sin xd
1 1111...
k0(2k1)2
32 52 72
编辑ppt
13
五 奇函数和偶函数的傅里叶展开 奇函数: f(x)=-f(-x)，ak=0
f(x)k 1bksinklx,
bk 2 l0l f()sin kld
特征：f(0)=0,f(l)=0
数学物理方法课后答案
数学物理方法课后答案【篇一：数学物理方法习题】1、求解定解问题：utt?a2uxx?0,(0?x?1),u|x?0?u|x?l?0,l?n0hx,(0?x?),?ln0?（p-223） ?u|t?0??hl(l?x),(?x?l),?ln0?l???n0u|t?0?0,(0?x?l).2、长为l的弦，两端固定，弦中张力为t，在距一端为x0的一点以力f0把弦拉开，然后撤出这力，求解弦的震动。
[提示：定解问题为 utt?a2uxx?0,(0?x?l),u(0,t)?u(l,t)?0,?f0l?x0x,(0?x?x0), ??tlu(x,0)???f0x0(l?x),(x?x?l),0??tlut|t?0?0.] (p-227)3、求解细杆导热问题，杆长l，两端保持为零度，初始温度分布u|t?0?bx(l?x)/l2。
[定解问题为k?22u?au?0,(a?)(0?x?l),xx?tc???] (p-230)u|x?0?u|x?l?0,??u|t?0?bx(l?x)/l2.???4、求解定解问题??2u?2u2??a?0,0?x?l,t?022??t?x?ux?0?0,ux?l?0. ??3?x?u?u ?asin,?0.?t?0l?tt?0?4、长为l的均匀杆，两端受压从而长度缩为l(1?2?)，放手后自由振动，求解杆的这一振动。
[提示：定解问题为?utt?a2uxx?0,(0?x?l),?ux|x?0?ux|x?l?0,??](p-236) ?2u|?2?(?x),t?0?l?ut|t?0?0.??5、长为l的杆，一端固定，另一端受力f0而伸长，求解杆在放手后的振动。
[提示：定解问题为?utt?a2uxx?0,(0?x?l),?u|x?0?0,ux|x?l?0,??] (p-238)x?uxf?0?u(x,0)??0dx??0,?xys?ut|t?0?0.??6、长为l的杆，上端固定在电梯天花板，杆身竖直，下端自由、电梯下降，当速度为v0时突然停止，求解杆的振动。
狄拉克函数
当 l 0 ，上式的极限不存在。
但是在积分的意义上来看，
1 x lim rect ( )dx lim rect ( )d 1 l 0 l l 0 l
符合函数 的定义。
数学物理方法
再验证（5.3.9） 。 函数 sin Kx 当 K ，在 x 0 处的“峰”的高度 x K / 无限增高，其宽度无限变窄，其极限不存在。
x0
根据(5.3.2)， 上式右边第一和第三项为零。 对第二项应用中值定理，
f ( x) ( x x0 ) f ( )
x0
令
x0
( x x0 )dx f ( )
0 ，即得证。
数学物理方法
（4）即使连续分布的质量、电荷或持续作用的力也可以 用 函数表出。
H ( x ) 称为阶跃函数 或亥维赛单位函数。从而 H ( x ) 是 ( x) 的原函数， ( x) 是 H ( x ) 的导数 dH ( x ) ( x) （5.3.5） dx
数学物理方法
（3）对于任意一个定义在 (, ) 上的连续函数 f ( x ) 这有时叫做 函数的挑选性。
设质量 m 均匀分布在长 l 的线段 [l / 2, l / 2] 上，则其 线密度 ( x) 可以表为
0, ( x l / 2) l ( x ) m / l , ( x l / 2)
数学物理方法
将 l ( x) 对 x 积分，则得到总质量
m l ( x)dx l / 2 l dx m 如果让上述线段的长度 l 0 ， 那么得到位于坐标原点 质量为 m 的质点，其线密度 ( x) 则有 0,( x 0) ( x) lim l ( x) l 0 ,( x 0) 将 ( x) 对 x 积分，则得到总质量
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频谱分析在现代技术中广泛使用
4
（二）奇函数和偶函数的傅里叶展开
s in k x 是奇函数
l
c o s k x 是偶函数
l
奇函数 f(z) 有
kx
f(x) bk sin
k1
l
,
bk
1 l
l l
f()sinkd.
l
偶函数 f(z) 有
kx
f(x)a0 akcos
k1
l
,
1
ak
kl
l f()coskd.
akk 12cosx2dx
eik xco sk xisink x
Ñ Ñ 1
(12)zk dz i(12)
zkdz
2k
k
z11(z1)2 iz
k
(z1)(z)k
z
8
傅里叶展开与洛朗展开的关系
若f(z)在环域 1|z|1内解析，其洛朗展开
f (z) ck zk k
Ñ ck
1
2i
f (z) zk1
l
l
5
（三） 有限区间中的函数的傅里叶展开 f(x) 定义于 (0, l)
可以认为它是某个周期为 2l 的函数在半个周期中的部 分。即令此周期函数为 g(x), 在半周期 (0, l) 中 g(x)=f(x) 这种做法叫延拓。
例
f (x), g(x)
f (x), g(x)
x
f(x)x, (0,1)
三角函数族：完备性的证明（狄里希利定理）
1 l ll f(x ) a 0 k 1 a kc o sk lx b ksin k lx 2 d x 0
帕塞瓦尔等式（能量守恒）
1 l ll[f(x)]2dx2a0 2k 1 ak 2bk 2
3
例:交流电压 E0 sint 经过全波整流后的傅立叶级数
z
z k
9
5.2 傅里叶积分与傅里叶变换
（一） 实数形式的傅里叶变换
令：
kx
kx
g (x )a 0 {a kco s k 1
l
b ksinl
}.
kkl, kkk1l,
则
l
g (x ) a 0 { a kc o skx b ks inkx } k.
k 1
ak
1
kl
l
l f ( )cosk d ,
E 0sint2 E 04 E 0n 11 (1 2 n )2c o s2 nt.
频谱
幅度
2E 0
4E 0
3
0
2
各个频率分量的幅度
4E 0 15
4E 0 35
4
6
频率
通常，函数 f(t) 表示某系统按时间变化的性质，是时域中的 表示。而在频域中，可用频谱表示。
因此，傅里叶级数也是一种从时域到频域的变换。
狄里希利定理： 若函数 f(z) 满足条件 (1) 处处连续，或在每 个周期内只有有限个第一类间断点；(2) 在每个周期内只有有 限个极值点，则三角级数收敛，且
f(x),
(在 连 续 点 x)
级数和 1 2{f(x0)f(x0)}.
(在 间 断 点 x)
2
f(x)a0k 1 akcosklxbksinklx
1 bk l
l
l f ( )sink d .
若
lim l f ()d 有限，则
l l
1 lli m a0lli m 2l
l l
f()d0.
10
余弦部分
的极限
l1 lim {
l l k1
l l
f()coskdcoskx}k
1
[
0
f()cosd]cosxd.
正弦部分 的极限
l
这种分解不仅具有严格的数学基础，而且还具有真实的物理背景
f(x)a0k 1 akcosklxbksinklx
ak
1
kl
l f ( )cos k d ,
l
l
1 bk l
l f ( )sin k d .
l
l
其中
k
2 1
(k 0) (k 0)
三角函数族：完备性，傅里叶级数平均收敛于f(x)。
lim
l k1
1 l
l l
f()sinkdsinkxk
1
0[
f()sind]sinxd.
故
f(x ) 0 A ( )c o s x d 0 B ( )s in x d ,
其中
1 A () f () c o sd ,
1 B () f () s i nd .
11
傅里叶积分定理：若函数 f(x) 在区间(-，+)上满
2
ak
k
x2coskxdx
0
2 2 4 1
3
k2
k=1
利用帕塞瓦尔等式
1
x4dx2(32)216k =1k14
1 2
k2
k =1
6
1 4
k4
=1
90
例：
1 2
f(x ) 1 2c o sx2k = 0a kc o sk x , ( < 1 )
1 (12)coskx
足条件(1) 在任意有限区间满足狄里希利条件；(2)
在区间 (-，+ )上绝对可积（即
f ( x) dx
收敛），
则f(x) 可表为 傅里叶积分，且傅里叶积分值=
[f(x 0 )f(x 0 )]/2
f(x ) 0A ()c o sx d 0B ()s inx d
第五章 傅里叶变换
5.1 傅里叶级数
（一） 周期函数的傅里叶展开
f(x2l)f(x) 周期2l
三角函数族： 1,cosx,cos2x,L ,coskx,L
l
l
l
sinx,sin2x,L ,sinkx,L
l
l
l
正交性：如
l k x n x
c o s c o s d x0 (kn ),
l
l
l
f(x)a0k 1 akcosklxbksinklx
k
akcosklxbksinklx
（ ak， bk） ak 2ibk,ak 2ibk （ck ，ck）
其中
1
ck
2l
l l
f()[eikl]*d.
ck ck* 7
作业： 证明帕塞瓦尔等式
P72,1,3,4(2),5(2)(3)
例： f(x)x2, (<x<)
x2
2
4 (1)k
3 k=1
1 k2coskx
偶延拓
x
奇延拓
6
（四） 复数形式的傅里叶展开
ik x
ix
x
i
k x
i
L ,e l ,L ,el ,1 ,el ,L ,el ,L
i k x
i k x
cos sin
k l
k l
x x
e l
e
i
k
l
x
e l 2
i k x
e l
2i
ikx
f (x) cke l ,
k
f(x)
dz
若()在区间[0,2]连续，且为2的周期函数，其傅里叶级数为
() ckeik k
ck
1
2
2()eikd
0
z ei
12
f(x)
,
1(z1)2
z
(zeix)
(12)z
11
(1z)(1z)1z1z
< 1 < z < 1 < 1
z <1
<1
z
1 (z 1 ) L k (z k1)L 1 2kc o sk x