八年级数学下册 第19章 矩形、菱形与正方形 19.1 矩形 19.1.2 矩形的判定 第1课时 矩

第19章 矩形、菱形与正方形
19.1.2.1 矩形的判定
1．下列关于矩形的说法，正确的是( ) A ．对角线相等的四边形是矩形 B ．对角线互相平分的四边形是矩形 C ．矩形的对角线互相垂直且平分 D ．矩形的对角线相等且互相平分
2．[xx·上海]已知平行四边形ABCD ，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是( )
A ．∠A ＝∠
B B ．∠A ＝∠
C C ．AC ＝B
D D ．AB ⊥BC
3．在ABCD 中增加下列条件中的一个，这个四边形就是矩形，则增加的条件是( ) A ．对角线互相平分 B ．AB ＝BC
C ．∠A ＋∠C ＝180°
D ．AB ＝1
2
AC
4．如图，在ABCD 中，请再添加一个条件，使得四边形ABCD 是矩形，你所添加的条件是__________________．
5．延长等腰△ABC 的腰BA 到点D ，CA 到点E ，分别使AD ＝AB ，AE ＝AC ，则四边形BCDE 是________，其判别的依据是__________________________．
6．[xx·紫阳县期末]如图，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BAD ＝90°，AB ＝5，BC ＝12，
AC ＝13.
求证：四边形ABCD 是矩形．
7．[xx·厦门期末]如图，在ABCD中，BE平分∠ABC，且与AD边交于点E，∠AEB＝45°，证明：四边形ABCD是矩形．
8．[xx·宁波模拟]如图，在平行四边形ABCD中，E、F为BC上两点，且BE＝CF，AF ＝DE，求证：
(1)△ABF≌△DCE；
(2)四边形ABCD是矩形．
9．[铜山区月考]如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AB、DC上的点，且AE＝CF.
(1)证明：△ADE≌△CBF；
(2)当∠DEB＝90°时，试说明四边形DEBF为矩形．
10．如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H，四边形EFGH 是怎么样的特殊四边形？证明你的结论．
11．[日照]如图，已知BA＝AE＝DC，AD＝EC，CE⊥AE，垂足为E.
(1)求证：△DCA≌△EAC；
(2)只需添加一个条件，即________________，可使四边形ABCD为矩形．请加以证明．
12．[xx·通辽]如图，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，且AF＝CD，连结CF.
(1)求证：△AEF≌△DEB；
(2)若AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．
13．如图，在等边△ABC中，点D是BC边的中点，以AD为边作等边△ADE.
(1)求∠CAE的度数；
(2)取AB边的中点F，连结CF、CE，试证明四边形AFCE是矩形．
参考答案
1． D 2． B 3． C
4． AC ＝BD (答案不唯一)
5．矩形对角线互相平分且相等的四边形是矩形 6．证明：四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BAD ＝90°， ∴∠ADC ＝90°，
又∵在△ABC 中，AB ＝5，BC ＝12，AC ＝13， 满足132
＝52
＋122
，
∴△ABC 是直角三角形，且∠B ＝90°， ∴四边形ABCD 是矩形．
7．证明：∵四边形ABCD 为平行四边形， ∴AD ∥BC ， ∴∠AEB ＝∠EBC .
∵BE 平分∠ABC ，∠AEB ＝45°， ∴∠ABE ＝∠EBC ＝45°， ∴∠ABC ＝90°， ∴四边形ABCD 是矩形．
8．解：(1)证明：∵BE ＝CF ，BF ＝BE ＋EF ，CE ＝CF ＋EF ， ∴BF ＝CE .
∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ＝DC .
在△ABF 和△DCE 中，
⎩⎪⎨⎪
⎧AB ＝DC ，BF ＝CE ，AF ＝DE ，
∴△ABF ≌△DCE (SSS)．
(2)∵△ABF≌△DCE，
∴∠B ＝∠C .
∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，
∴∠B ＋∠C ＝180°， ∴∠B ＝∠C ＝90°， ∴四边形ABCD 是矩形．
9．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AD ＝CB ，∠A ＝∠C ， 在△ADE 和△CBF 中，
⎩⎪⎨⎪
⎧AD ＝CB ，∠A ＝∠C ，AE ＝CF ，
∴△ADE ≌△CBF .
(2)∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ＝CD ，AB ∥CD . ∵AE ＝CF ，∴BE ＝DF ， ∴四边形DEBF 是平行四边形． 又∵∠DEB ＝90°， ∴四边形DEBF 是矩形．
10．解：四边形EFGH 是矩形，理由如下： ∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，
∴∠ABC ＋∠BCD ＝180°.
∵BH 、CH 分别平分∠ABC 与∠BCD ， ∴∠HBC ＝12∠ABC ，∠HCB ＝1
2
∠BCD ，
∴∠HBC ＋∠HCB ＝12(∠ABC ＋∠BCD )＝1
2×180°＝90°，∴∠H ＝90°.
同理可得∠HEF ＝∠F ＝90°， ∴四边形EFGH 是矩形． 11．AD ＝BC (答案不唯一)
解： (1)证明：在△DCA和△EAC中，
⎩⎪⎨⎪
⎧DC ＝EA ，AD ＝CE ，AC ＝CA ，
∴△DCA ≌△EAC .
(2)添加AD ＝BC ，可使四边形ABCD 为矩形；理由如下： ∵AB ＝DC ，AD ＝BC ，
∴四边形ABCD 是平行四边形． ∵CE ⊥AE ，∴∠E ＝90°， 由(1)得：△DCA ≌△EAC ， ∴∠D ＝∠E ＝90°， ∴四边形ABCD 为矩形．
12．解：(1)证明：∵E 是AD 的中点，∴AE ＝DE . 又∵AF ∥BC ，∴∠AFE ＝∠DBE ，∠EAF ＝∠EDB ， ∴△AEF ≌△DEB (AAS )． (2)四边形ADCF 是矩形． 证明：∵AF ∥CD ，且AF ＝CD ， ∴四边形ADCF 是平行四边形． ∵△AEF ≌△DEB ， ∴AF ＝BD ，
∴BD ＝CD ，即AD 是△ABC 的中线． ∵AB ＝AC ，
∴AD ⊥BC ，∴∠ADC ＝90°， ∴四边形ADCF 是矩形． 13．解：(1)在等边△ABC 中， ∵点D 是BC 边的中点， ∴∠DAC ＝30°.
又∵△ADE 是等边三角形， ∴∠DAE ＝60°，∴∠CAE ＝30°. (2)在等边△ABC 中，
∵点F 是AB 边的中点，点D 是BC 边的中点，
由(1)知∠CAE＝30°，∴∠EAF＝60°＋30°＝90°.
∴∠CFA＋∠EAF＝180°，∴CF∥AE.
∴四边形AFCE是平行四边形．
又∵∠CFA＝90°，∴平行四边形AFCE是矩形．
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