1.1 复数及其代数运算

根形式地表为 5 15与5 15 。在当时，包括他自己在内， 谁也弄不清这样表示有什麽好处。事实上，复数被Cardano引 入后，在很长一段时间内不被人们所理睬，并被认为是没有意
义的，不能接受的“虚数”。
8
背景介绍 3. 直到十七与十八世纪，
随着微积分的产生与发展，情况才有好转。特别是由于 L. Euler的研究结果，复数终于起了重要的作用。例如大家 所熟知的Euler公式 e cos i sin 揭示了复指数函数
3 1 ( 1 2i )(1 i ) i. 2 2 2
25
7
7
第 一 章 复 数
例3
i 1 i i 1 i2 ( i 2)( i 1) 解 i ( 1 i )( i 1 ) i 1 i i 1 (1 3i )( 2 i ) i 2 i 2i 2 1 3 i 2 2 i ( 2 i )( 2 i ) i 1 i
分配律 z1 ( z 2 z 3 ) z1 z 2 z1 z 3 .
19
§1.1 复数 第 二、复数的代数运算 一 2. 共轭复数 章 定义 设 z x i y 是一个复数， 复 数 称 z x i y 为 z 的共轭复数， 记作 z 。 注 共轭复数有许多用途。
1 2 1 2
其中，“ ”可以是 , , , ; (3) z z [Re z ]2 [Im z ]2 x 2 y 2 ;
21
§1.1 复数 第 一 章 复 数
三、小结与思考
本课学习了复数的有关概念、性质及其运 算. 重点掌握复数的运算, 它是本节课的重点.
22
( 15 20) (15 20)i 7 1 i. 25 5 5
z1 7 1 i. 5 5 z2
27
第 一 章 复 数
1 3 i 例5 设 z , 求 Re( z ), Im( z ) 与z z . i 1 i
解
i 3i (1 i ) 3 1 1 3i i, z i i (1 i )(1 i ) 2 2 i 1 i
10
背景介绍
复变函数的理论基础是十九世纪奠定的。 A.L.Cauchy (1789-1866)和 K.Weierstrass(1815-1897)分别应用积分和
级数研究复变函数，G.F.B.Riemann(1826-1866)研究复变函
数的映射性质。他们是这一时期的三位代表人物。经过他们 的巨大努力，复变函数形成了非常系统的理论，且渗透到了 数学的许多分支，同时，它在热力学，流体力学和电学等方 方面也得到了很多的应用。 二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理、 弹性理论和天体力学等方面，与数学中其它分支的联系也日 益密切。 11
y Im z .
(3) 当 x 0 时，z 0 i y i y 称为纯虚数； 当 y 0 时，z x i 0 x 就是实数。 因此，实数可以看作是复数的特殊情形。 16
§1.1 复数 第 一、复数的概念 一 2. 复数 章 相等 设 z1 x1 i y1 与 z2 x2 i y2 是两个复数， 复 数 如果 x1 x2 , y1 y2 , 则称 z1 与 z2 相等。 特别地，z x i y 0 当且仅当 x y 0 . 注 复数与实数不同，两个复数(虚部不为零)不能比较大小， 它们之间只有相等与不相等的关系。
i
与三角函数之间的关系。
9
背景介绍
4. 然而一直到 C. Wessel (挪威.1745-1818)和 R. Argand (法国. 1768-1822) 将复数用平面向量或点来表示，以及 K. F. Gauss (德国.1777-1855)与 W. R. Hamilton (爱尔兰.1805-1865)定义复 数 a ib 为一对有序实数后，才消除人们对复数真实性的长 久疑虑，“复变函数”这一数学分支到此才顺利地得到建立 和发展。
二、教学内容
《复分析》，又称《复变函数论》，是在《数学分析》的基
础上，应用分析与积分方法研究复变量复值可微函数的Fra Baidu bibliotek门分
析数学，它是学习与研究《泛函分析》、《微分方程》等课程 的重要基础。
复分析的内容包括：复数理论、解析函数、积分理论、级 数理论及共形映射理论。
3
复变函数
4
我们以复数为自变量 的函数—复变函数，研究 其在复数域上的微积分， 并以解析函数为中心内容。
i 5 i 4 i 1 i;
i i i 1;
4 2 2
i 6 i 4 i 2 1;
i 7 i 4 i 3 i;
……
i 8 i 4 i 4 1;
一般地，如果n是正整数, 则
i 4 n 1,
i 4 n 1 i ,
i 4 n 2 1,
证明 z1 z2 z1 z2 2 Re( z1 z2 ). z1 z2 z1 z2 ( x1 iy1 )( x2 iy2 ) ( x1 iy1 )( x2 iy2 ) ( x1 x2 y1 y2 ) i ( x2 y1 x1 y2 ) ( x1 x2 y1 y2 ) i ( x2 y1 x1 y2 ) 2( x1 x2 y1 y2 ) 2 Re( z1 z2 ).
解
i 1 i 1 i (1) ( 2) . ; 1 i i 1 i (1 i )2 (1 i )2 1 i i , (1) 2 1 i (1 i )(1 i ) 1 i 7 i. ( i ) 1 i 2 2 i ( 1 i ) i 1 i 1 2i ( 2) (1 i )i 1 i i 1 i
i 4 n 3 i .
15
§1.1 复数 第 一、复数的概念 一 2. 复数 章 定义 (1) 设 x 和 y 是任意两个实数， 将形如 复 z x i y (或者 z x y i ) 数 的数称为复数。
(2) x 和 y 分别称为复数 z 的实部与虚部，并分别表示为：
x Re z ,
计算
i2
.
2 i 6i 3i 2 1 i . 2 2 ( 2 ) i
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第 一 章 复 数
例4
z1 z1 设 z1 5 5i , z2 3 4i , 求 与 . z2 z2
解
(5 5i )( 3 4i ) z1 5 5i z2 3 4i ( 3 4i )( 3 4i )
( x1 i y1 ) ( x2 i y2 ) z1 z2 z1 比如 z ( x 2 i y2 ) ( x 2 i y2 ) z2 z2 z2

x1 x2 y1 y2 x2 y2
2 2
i
x2 y1 x1 y2 x2 2 y2 2
20
§1.1 复数 第 二、复数的代数运算 一 2. 共轭复数 章 性质 (1) z z ; 复 数 (2) z z z z ,
5
学习方法 复变函数中许多概念、理论、和
方法是实变函数在复数域内的推 广和发展，它们之间有许多相似 之处。但又有不同之处，在学习 中要善于比较、区别、特别要注 意复数域上特有的那些性质与结 果。
6
背景介绍
1. 先从二次方程谈起: 公元前400年，巴比伦人发现
和使用
ax bx c 0, (a 0),
z1 z2 ( x1 x2 y1 y2 ) i ( x1 y2 x2 y1 ) ;
如果存在复数 z，使得 z1 z2 z , 则 z
z1 . z2
复数在四则运算这个代数结构下，构成一个复数域 ( 对加、 减、乘、除运算封闭），记为C，复数域可以看成实数域的 扩张。 18
2
则当 b 2 4ac 0 时无解，当 b 2 4ac 0 时有解
b b 2 4ac x 2a
二千多年没有进展。
7
背景介绍
2. 在十六世纪中叶， G. Cardano (1501-1576) 在研究一元二次方程
x 10 x 40
时引进了复数。他发现这个方程没有根，并把这个方程的两个
§1.1 复数 第 一 章 复 数
思考题
复数能否比较大小，为什么？
观察复数 i 和 0, 由复数的定义可知 i 0,
(1) 若 i 0, 则 i i 0 i , 即 1 0, 矛盾; ( 2) 若 i 0, 则 i i 0 i , 同样有 1 0, 矛盾.
17
§1.1 复数 第 二、复数的代数运算 一 1. 复数的四则运算 —相当于代数中的多项运算 章 设 z1 x1 iy1 , z2 x2 i y2 复 数 (1) 复数的加减法：z1 z2 ( x1 x2 ) i ( y1 y2 ); (2) 复数的乘除法 乘法 除法
由此可见, 在复数中无法定义大小关系.
23
第 一 章 复 数
例1
2 ( m 3m 4) 实数m取何值时, 复数
(m 2 5m 6)i 是(1)实数; ( 2)纯虚数.
解
令 x m 2 3m 4,
y m 2 5m 6,
(1) 如果复数是实数 , 则y 0,
第 一 章 复 数
第一章 复数
§1.1 复数及其代数运算 §1.2 复数的几何表示 §1.3 复平面的拓扑
12
§1.1 复数 第 一 章 复 数
§1.1 复数及其代数运算
一、复数的概念 二、复数的代数运算 三、小结与思考
13
§1.1 复数 第 一 章 复 数
一、复数的概念
1. 虚数单位:
实例 : 方程 x 2 1在实数集中无解 .
为了解方程的需要 , 引入一个新数 i , 称为虚数单位.
对虚数单位的规定:
(1) i 2 1;
( 2) i 可以与实数在一起按同 样的法则进行 四则运算.
14
§1.1 复数 第 一、复数的概念 一 1. 虚数单位: 章 虚数单位的特性: 复 1 2 i i ; i 1; 数
i 3 i i 2 i;
3 1 Re( z ) , Im( z ) , 2 2
3 1 5 . 2 2 z z Re( z ) Im( z ) 2 2 2
2
2
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第 一 章 复 数
例6
设两复数 z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2 ,
由m 2 5m 6 0知m 6或m 1.
( 2) 如果复数是纯虚数 , 则x 0且y 0,
由m 2 3m 4 0知m 4或m 1.
但由y 0知m 1应舍去. 即只有m 4.
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第 一 章 复 数
例2 将下列复数表示为x iy 的形式.
复 分析基础
黄丽丽
huang-lili@163.com 广西科技大学理学院
1
一、教学及考核方式
选用教材：《复分析基础》 廖良文 编 科学出版社 2014
参考书目：《复变函数论》 (第三版) 钟玉泉 编 高等教育出版社 2011
课堂教学： 56 学时
作业：
每周一交作业 (信纸)
考试方式： 闭卷 考试成绩： 平时成绩占 30%，考试成绩占 70% 2
§1.1 复数 第 二、复数的代数运算 一 1. 复数的四则运算 章 复 数 (3) 运算法则 交换律 z1 z2 z2 z1 ;
z1 z2 z2 z1 .
结合律 ( z1 z 2 ) z 3 z1 ( z 2 z 3 ) ;
( z1 z 2 ) z 3 z1 ( z 2 z 3 ) .