第十章 散度旋度曲线积分

i
解:
j
y
k
z 2
rot A x
(0 , 0 , 1)
2y
3x
z
I cos d S

8
第十章 曲线积分与曲面积分 知识总结
1. 第一类曲线积分 （物质曲线质量） 2. 第二类曲线积分 （变力作功、环量） 3. 第一类曲面积分 （曲面薄板质量） 4. 第二类曲面积分 （通量）
例. 设均匀螺旋形弹簧L的方程为
求它的质心 .
解: 设其密度为 ρ (常数).
L的质量 而
m
L
2 2 2 a k ds 2 2
a a k a a k
2 2 2
0 0
2
0
2
cos t d t 0
sin t d t 0 t d t 2 2 k a 2 k 2
x y z
P cos
x
Q cos
y z
R cos dS R


P
Q
的侧与 的正向符合右手法则,
在包含 在内的一 个空间域内具有连续一阶偏导数,
例. 为柱面
轴正向看为顺时针, 计算
与平面 y = z 的交线,从 z
解: 设为平面 z = y 上被 所围椭圆域 , 且取下侧, 则其法线方向余弦
L L
f ( x, y ) ds f ( x( y), y )
c

d
1 x 2 ( y ) d y
f ( x, y ) ds f ( ( ) cos , ( )sin ) 2 ( ) 2 ( ) d
例. 计算
其中 L 是抛物线
上点 O (0,0)
曲线积分
曲面积分
1. 第一类曲线积分的计算
(1)利用参数方程化为定积分 • 对光滑曲线弧 L : x (t ) , y (t ) , ( t ) ,
L
f ( x, y ) ds f [ (t ), (t )] 2 (t ) 2 (t ) d t
L
L
Pd x Qd y Rd z ? v s ds
0 L

定义:
蜒 Pd x Qd y Rd z

A d r 称为向量场A
沿有向闭曲线 的环量.
环量密度:
M
lim
Ñ Ad r

s
向量 rot A 称为向量场 A 的 旋度 :
定理:若 A ( P, Q, R) C
r 2 3x 2 r 2 3 y 2 r 2 3z 2 q 5 5 5 r r r ( r 0) 0
计算结果与仅原点有点电荷的事实相符.
第七节 斯托克斯公式与旋度

P d x Q d y R d z

d yd z d zd x d xd y
kபைடு நூலகம் a k
2
2
故重心坐标为 ( 0 , 0 , k )
例. L为球面 x 2 y 2 z 2 R 2 在第一卦限与三个坐标 面的交线 , 求其形心 .
R L2 解: 如图所示 , 交线长度为 2 R 3 R L3 l 3 ds 3 R o L1 2 4 y 由对称性 , 形心坐标为 R L1 x 1 z yx x ds l L1 L2 L3 2 1 x ds x ds x ds x d s L2 L3 l L1 l L1
与点 B (1,1) 之间的一段弧 . 解: L : y x 2 ( 0 x 1 )
x x 1 4 x 2 dx
0 0 1
1
y
B(1,1)
y x2 L
1 (1 4x 2 ) 12 1 ( 5 5 1) 12
3
2
1
0
o
1x
推广: 设空间曲线弧的参数方程为
2013-2014学年第二学期期中考试知识点
1. 求全微分 2. 多元函数连续,偏导数存在,可微,偏导数连 续之间的关系 3. 求曲面的切平面方程 4. 求复合函数的偏导数 5. 二重积分的计算 6. 各种方法计算三重积分 7. 各类积分的对称性 8. 第一类曲线积分的计算
9. 计算曲线型构件的质心 10.第二类曲线积分的计算 11.格林公式 12.曲线积分与路径无关的条件 13. 解全微分方程 14.第一类曲面积分的计算 15.第二类曲面积分的计算 16.高斯公式 17.各类积分的几何、物理背景

(2) 在G内存在某一函数 u, 使d u P d x Q d y R d z
P y

Q Q , x z
R , R P y x z
(4) 对G内任一分段光滑闭曲线 , 有
P d x Q d y R d z 0
例. 验证曲线积分 ( y z ) d x ( z x) d y ( x y )dz 与路径无关, 并求函数


A d S

若 为方向向外的闭曲面, 则单位时间通过 的流量为
P d y d z Q d z d x Rdx d y

n n
当 > 0 时, 说明流入 的流体质量少于
流出的, 表明 内有源（正源）; 当 < 0 时, 说明流入 的流体质量多于流出的, 表明
则

: x (t ), y (t ) , z (t ) ( t ) f ( x, y , z ) d s

f ( (t ) , (t ), (t ) ) 2 (t ) 2 (t ) 2 (t ) d t
(2)要结合利用第一类曲线积分的性质简化计算 • 曲线L方程可带入被积函数 • 可使用对称性与轮换对称性
x d y ( x y) d z
y
z
z
o x
( x, y , z )
xy ( x y) z xy yz zx
0
0
( x,0,0)
y
( x, y,0)
三、 环流量与旋度 曲线 L的单位切向量为 s 0 (cos , cos , cos )
蜒 v dr
4R 2 2 R cos R d l 0 3
z
2．第二类曲线积分的计算 (1)利用参数方程化为定积分

A dS V
存在
称此极限值为向量场 A 在点 M 的散度，记为 div A
注:
散度是通量对体积的变化率, 且
div A 0 表明该点处有正源, div A 0 表明该点处有负源, div A 0 表明该点处无源,
散度绝对值的大小反映了源的强度. 若向量场 A 处处有 div A 0 , 则称 A 为无源场. 例如, 匀速场 v (v x , v y , v z ) (其中v x , v y , v z 为常数 ),
P Q R x y z
M
注：
P Q R div A x y z
1．高斯公式：

2．性质

divA d v Ò A d S

div(kA) kdivA
div( A B) divA divB
div(uA) udivA Aggradu
z


y
利用斯托克斯公式得
cos cos cos
I

o x
dS
2
0
y
x 2
y
z
xy
xz
二、空间曲线积分与路径无关的条件
定理. 设 G 是空间一维单连通域,函数 P, Q, R 在G内 具有连续一阶偏导数, 则下列四个条件相互等价: (1) 对G内任一分段光滑曲线 , P d x Q d y R d z 与路径无关 (3) 在G内处处有
例. 置于原点, 电量为 q 的点电荷产生的场强为 q q ( r 0) E 3 r 3 ( x, y , z ) r r
求 div E . x y z 3 3 3 解: div E q x r y r z r
1
则
rot A x y z P Q R
斯托克斯公式的物理意义:
i
j
k


(rot A) n d S Ñ Ad r

向量场 A 产生的旋度场 穿过 的通量
为向量场 A 沿 的环流量
例. 设
的外法向量, 计算 I rot A n dS .

n 为
ds s (周长)
L
第一类曲线积分对称性与轮换对称性
(a) 设f ( x, y) C( L), 且光滑弧L关于y轴对称, 则

L
0 f ( x, y ) d s 2 f ( x, y ) d s L右
f ( x, y )关于x为奇函数 f ( x, y )关于x为偶函数
u ( x, y , z )
( x, y , z ) (0,0,0)
( y z )d x ( z x) d y ( x y ) d z
解: 令 P y z , Q z x , R x y P Q Q R R P 1 , 1 , 1 y x z y x y 积分与路径无关, 因此
当区域关于 x轴对称, 函数关于y 有奇偶性时, 仍有类似结果.
(b) 设f ( x, y) C( L), 且光滑弧L的方程中x和y对称, 则

L
f ( x, y ) d s f ( y , x ) d s
L
例: 设L :| x | + | y |= 1, 则ò Ñ( xy+ | x |)ds =
L
答案： 2 2
例. 计算
其中为球面 所截的圆周.
被平面 解: 由对称性可知
2

2 2 x 2 ds y ds z ds
1 x d s ( x 2 y 2 z 2 ) ds 3 1 2 1 2 a ds a 2 a 3 3 2 3 a 3
内有洞 （负源）;
当 = 0 时, 说明流入与流出 的流体质量相等 . 注：反映了内源的性质和强度
定义: 设有向量场 A( x, y, z ), M(x, y, z)为场内一点
是包含点 M 且 方向向外的任一闭曲面 , 记 所围域为, 的体积 为V, 如果极限
M
Ò lim
b

• 对光滑曲线弧 L : y y( x) ( a x b ) ,
2 f ( x , y ) d s f ( x , y ( x ) ) 1 y ( x) d x L a • 对光滑曲线弧 L : x x( y) ( c y d ) ,
• 对光滑曲线弧 L : ( ) ( ),
div v 0
故它是无源场.
定理: 设有向量场
A( x, y, z ) P( x, y, z ) i Q( x, y, z ) j R( x, y, z ) k
其中P, Q, R 具有连续一阶偏导数,则 P Q R div A x y z 证：
1 P Q R lim d xd yd z lim x y z M V M V P Q R (( , , ) ) lim M x y z ( , , )
三、向量场的散度
设稳定流动的不可压缩流体的密度为1, 速度场为
v( x, y, z ) P( x, y, z ) i Q( x, y, z ) j R( x, y, z ) k
设 为场中任一有向曲面, 则由对坐标的曲面积分的物 理意义可知, 单位时间通过曲面 的流量为
P d y d z Q d z d x Rdx d y