高中数学大一轮复习讲义之不等关系与不等式

知识梳理
1.两个实数比较大小的方法
(1)作差法aa－ －bb>＝00⇔⇔aa>＝bb a－b<0⇔a < b
(a，b∈R)
ab>1⇔a > b (2)作商法ab＝1⇔a＝ b
ab<1⇔a < b
(a∈R，b>0)
2.不等式的基本性质 性质 对称性 传递性 可加性
可乘性
性质内容 a>b⇔_b_<__a_ a>b，b>c⇒_a_>__c_ a>b⇔_a_＋__c_>_b_＋__c__ a>b⇒_a_c_>_b_c__ c>0
3.若a<b<0，则下列不等式一定成立的是
11 A.a－b>b
B.a2<ab
√|b| |b|＋1 C.|a|<|a|＋1
D.an>bn
解析 (特值法)取a＝－2，b＝－1，n＝0，逐个检验，可知A，B，D项均不正确； C 项，||ba||<||ba||＋ ＋11⇔|b|(|a|＋1)<|a|(|b|＋1)
则mm＋ －nn＝ ＝32， ，
∴m＝52， n＝12.
即 3x＋2y＝52(x＋y)＋21(x－y)，
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又∵－1<x＋y<4,2<x－y<3，
∴－25<52(x＋y)<10,1<12(x－y)<32，
∴－23<52(x＋y)＋12(x－y)<223，即－32<3x＋2y<223， ∴3x＋2y 的取值范围为－23，223.
A.a－c<b－d
√C.a＋c>b＋d
B.ac<bd D.a＋d>b＋c
解析 由同向不等式具有可加性可知C正确.
题组三 易错自纠
4.已知a，b，c满足c<b<a，且ac<0，那么下列选项中一定成立的是
√A.ab>ac
C.cb2<ab2
B.c(b－a)<0 D.ac(a－c)>0
解析 由c<b<a且ac<0，知c<0且a>0. 由b>c，得ab>ac一定成立.
5.设a，b∈R，则“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的
√A.充分不必要条件
C.充要条件
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解析 若a>2且b>1，则由不等式的同向可加性可得a＋b>2＋1＝3， 由不等式的同向同正可乘性可得ab>2×1＝2. 即“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的充分条件； 反之，若“a＋b>3 且 ab>2”，则“a>2 且 b>1”不一定成立，如 a＝6，b＝21. 所以“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的充分不必要条件.故选A.
跟踪训练2 (1)(2019·天津市河北区模拟)若a，b，c∈R，给出下列命题：①若
a>b，c>d，则a＋c>b＋d；②若a>b，c>d，则b－c>a－d；③若a>b，c>d，则
ac>bd；④a>b，c>0，则ac>bc.其中正确命题的序号是
A.①②④
√B.①④
C.①③④
D.②③
解析 ①∵a>b，c>d，由不等式的同向可加性得a＋c>b＋d，故①正确； ②由①正确，可知②不正确； ③取4>－2，－1>－3，则4×(－1)<(－2)×(－3)，故③不正确； ④∵a>b，c>0，∴ac>bc.故④正确. 综上可知，只有①④正确.故选B.
对于②，因为b<a<0，所以a＋b<0，ab>0，a＋b<ab，故②正确； 对于③，ab2－2a＋b＝a2－2bab＋b2＝a－bb2<0，ab2<2a－b，故③正确.故选 C.
命题点2 求代数式的取值范围 例4 已知－1<x<4,2<y<3，则x－y的取值范围是_(_－__4_,_2_) _，3x＋2y的取值范围 是__(1_,_1_8_)__.
解析 ∵－1<x<4,2<y<3，∴－3<－y<－2， ∴－4<x－y<2. 由－1<x<4,2<y<3，得－3<3x<12,4<2y<6， ∴1<3x＋2y<18.
引申探究 若将本例条件改为－1<x＋y<4,2<x－y<3，求3x＋2y的取值范围.
解 设3x＋2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，
A.p<q
√B.p≤q
C.p>q
D.p≥q
解析 (作差法)p－q＝ba2＋ab2－a－b＝b2－a a2＋a2－b b2＝(b2－a2)·1a－b1 ＝b2－aa2bb－a＝b－aa2bb＋a，
因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0.
若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；
若a≠b，则p－q<0，故p<q.
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(1)判断不等式是否成立的方法 ①逐一给出推理判断或反例说明. ②结合不等式的性质，对数函数、指数函数的性质进行判断. (2)求代数式的取值范围 一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围.
跟踪训练3 A.x2<y2
√C.x2>1
(1)(2019·绵阳月考)若x>y，且x＋y＝2，则下列不等式成立的是
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比较大小的常用方法 (1)作差法：①作差；②变形；③定号；④结论. (2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论.
跟踪训练1 (1)已知p∈R，M＝(2p＋1)(p－3)，N＝(p－6)(p＋3)＋10，则M， N的大小关系为__M_>_N____.
B.
11 x<y
D.y2<1
解析 因为x>y，且x＋y＝2，所以2x>x＋y＝2，即x>1，则x2>1.故选C.
(2)已知 π<α＋β<54π，－π<α－β<－π3，则 2α－β 的取值范围是_－__π__，__π8_ .
解析 设2α－β＝m(α＋β)＋n(α－β)，
则mm＋ －nn＝ ＝2－，1， ∴mn＝＝2312，， 即 2α－β＝21(α＋β)＋32(α－β)， ∵π<α＋β<54π，－π<α－β<－π3， ∴π2<12(α＋β)<58π，－32π<23(α－β)<－π2， ∴－π<21(α＋β)＋32(α－β)<π8，即－π<2α－β<π8， ∴2α－β 的取值范围是－π，π8.
题组二 教材改编
2.若 a，b 都是实数，则“ a－ b>0”是“a2－b2>0”的
√A.充分不必要条件
C.充要条件
B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件
解析 a－ b>0⇒ a> b⇒a>b⇒a2>b2， 但 a2－b2>0⇏ a－ b>0.
3.设b<a，d<c，则下列不等式中一定成立的是
6.(2019·北京市海淀区育英学校期中)若实数a, b满足0<a<2, 0<b<1，则a－b的取 值范围是_(_－__1_,2_)__.
解析 ∵0<b<1，∴－1<－b<0, ∵0<a<2，∴－1<a－b<2.
题型突破 典题深度剖析 重点多维探究
题型一 师生共研 比较两个数(式)的大小
例 1 (1)若 a<0，b<0，则 p＝ba2＋ab2与 q＝a＋b 的大小关系为
综上，p≤q.故选B.
(2)已知a>b>0，比较aabb与abba的大小.
解 ∵aaabbbba＝abaa－ －bb＝aba－b， 又 a>b>0，故ab>1，a－b>0， ∴aba－b>1，即aaabbbba>1， 又abba>0，∴aabb>abba， ∴aabb与abba的大小关系为aabb>abba.
⇔|a||b|＋|b|<|a||b|＋|a|⇔|b|<|a|， ∵a<b<0，∴|b|<|a|成立，故选C.
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4.已知x>y>z，x＋y＋z＝0，则下列不等式成立的是
A.xy>yz
√C.xy>xz
B.xz>yz D.x|y|>z|y|
(2)若a1<1b<0，则下列不等式： ①a＋b<ab；②|a|>|b|；③a<b；④ab<b2中，正确的不等式有__①__④__.(填序号)
解析 因为a1<1b<0，所以 b<a<0，a＋b<0，ab>0， 所以a＋b<ab，|a|<|b|，在b<a两边同时乘以b， 因为b<0，所以ab<b2.因此正确的是①④.
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2.若a，b∈R，且a>|b|，则
A.a<－b C.a2<b2
√B.a>b
D.
11 a>b
解析 由a>|b|得，当b≥0时，a>b，当b<0时，a>－b，综上可知，当a>|b|时， 则a>b成立，故选B.
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a>b⇒__a_c_<_b_c__ c<0
特别提醒 ⇔ ⇒ ⇔
注意c的符号
同向可加性
同向同正可乘性 可乘方性 可开方性
a>b⇒__a_＋__c_>_b_＋__d_ c>d
a>b>0⇒__a_c_>_b_d__ c>d>0 a>b>0⇒ an>bn (n∈N，n≥1) a>b>0⇒n a>n b(n∈N，n≥2)
解析 因为M－N＝(2p＋1)(p－3)－[(p－6)(p＋3)＋10]＝p2－2p＋5＝(p－1)2＋ 4>0， 所以M>N.
(2)若a>0，且a≠7，则
A.77aa<7aa7
√C.77aa>7aa7
B.77aa＝7aa7 D.77aa与7aa7的大小不确定
解析 777aaaa7＝77－aaa－7＝7a7－a， 则当 a>7 时，0<a7<1,7－a<0，则7a7－a>1，∴77aa>7aa7； 当 0<a<7 时，7a>1,7－a>0，则7a7－a>1，∴77aa>7aa7.
题型三 多维探究 不等式性质的综合应用
命题点1 判断不等式是否成立
例3 (2019·北京师范大学附属中学期中)若b<a<0，则下列不等式：①|a|>|b|；
②a＋b<ab；③a2 <2a－b中，正确的不等式有 b
A.0个
B.1个
√C.2个
D.3个
解析 对于①，因为b<a<0，所以|b|>|a|，故①错误；
(2)若a1<1b<0，则下列结论不正确的是
A.a2<b2 C.a＋b<0
B.ab<b2
√D.|a|＋|b|>|a＋b|
解析 由题意可知b<a<0，所以A，B，C正确， 而|a|＋|b|＝－a－b＝|a＋b|，故D错误.
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判断不等式的常用方法：一是用性质逐个验证；二是用特殊值法排除.利用不 等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件.
基础自测
题组一 思考辨析
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种.( √ ) (2)若ba>1，则 a>b.( × ) (3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变.( × ) (4)a>b>0，c>d>0⇒ad>bc.( × )
大一轮复习讲义
§7.1 不等关系与不等式
最新考纲
1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系. 2.了解不等式(组)的实际背景.
考情考向分析
以理解不等式的性质为主，本节在高考中主要以客观题形式考查不等式的性质； 以主观题形式考查不等式与其他知识的综合.属低档题.
INDEX
基础落实 回扣基础知识 训练基础题目
⇒
⇒ a，b同为正数 a，b同为正数
概念方法微思考
1.若 a>b，且 a 与 b 都不为 0，则a1与b1的大小关系确定吗？ 提示 不确定.若 a>b，ab>0，则1a<1b，即若 a 与 b 同号，则分子相同时，分母大 的反而小；若 a>0>b，则1a >1b，即正数大于负数. 2.两个同向不等式可以相加和相乘吗？ 提示 可以相加但不一定能相乘，例如2>－1，－1>－3.
课时精练
基础保分练
1.(2019·张家界期末)下列不等式中，正确的是
√A.若a>b，c>d，则a＋c>b＋d
B.若a>b，则a＋c<b＋c
C.若a>b，c>d，则ac>bd
D.若a>b，c>d，则
ab c>d
解析 若a>b，则a＋c>b＋c，故B错； 设 a＝3，b＝1，c＝－1，d＝－2，则 ac<bd，ac<bd所以 C，D 错，故选 A.
综上，77aa>7aa7.
题型二 师生共研 不等式的基本性质
例2 (1)(2019·武汉部分市级示范高中联考)下列命题中正确的是
A.若 a>b，则 ac2>bc2 C.若 a>b，c>d，则 a－c>b－d
B.若 a>b，c<d，则ac>bd
√D.若 ab>0，a>b，则1a<1b
解析 对于A选项，当c＝0时，不成立，故A选项错误； 当 a＝1，b＝0，c＝－2，d＝－1 时，ac<db，故 B 选项错误； 当a＝1，b＝0，c＝1，d＝0时，a－c＝b－d，故C选项错误，故D选项正确.