线面角课件复习课程
合集下载
线面角的求法PPT资料(正式版)
（1）直线 A 1 与B 平面ABCD所成的角
（2）直线 A 1与B 平面 BD所D成1B1的角
1、正四棱锥P-ABCD的所有棱长相等，E为PC中点，那么异面直线PA （1）直线 与平面ABCD所成的角
D1 O
C1
A1
B1
1、正四棱锥P-ABCD的所有棱长相等，E为PC中点，那么异面直线PA
三、教学方法：启证发明探究：
在Rt A1BO中，A1B
2
2, A1O
2
sin A1BO
A1O A1B
1 2
求
A1BO 30
直线 A 1 B 与平面 BB1D1D 所成的角为 3 0
答
O
C1
B1
C B
例1、正方形 ABCDA1的B1C 棱1D 1长为1。
（1）直线 A 1 与B 平面ABCD所成的角
（2）直线 A 1与B 平面 BD所D成1B1的角
二、教学重点和难点：
重点：线面角的概念、最小角定理
难点：线面角的求法
三、教学方法：启发探究
四、教学过程：
问题1：
直线与平面的位置关系有哪几种？
规定：
如果一条直线与一个平面垂直，我们规定这条 直线和平面的夹角为 9 0 。 如果一条直线与一个平面平行或在平面内，我 们规定这条直线和平面的夹角为0 。
以点D为原点建立空间直角坐标系[D;X,Y,Z], 如图所示
OA与OB所成的角为
（2）直线 （1）直线
与与平平面面2AB、CD所规成所的成定角的角：斜线和它在平面内的射影所成的角叫
做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）。 （1）实质：空间角——平面角；
2、规定：斜线和它在平面内的射影所成的角叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）。
第十讲线面角的求解方法完整版课件
知识回顾 ——线面角求解方法
（1）定义法
(1)线面角——平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角 根据定义，求解线面角先作面的垂线，找到射影即可求解,即我们说的定义法.
（2）坐标法求解——将线面角求解转化为 求法向量与直线方向向量所成夹角，其中 建系是基础，求法向量是关键。 （3）等体积法
典例分析
（2017 年浙江卷）如图，已知四棱锥 P–ABCD，△PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，
到此，线面角也难作出？
B
E D
C
求线面角正弦值实质是sin = dE CE
dE
1 2 dD
1 2 dM
1 MH 2
等体积法，也是根据sin =
d CE
, 利用体积相等求dE
VEPBC
1 2 VDPBC
1 2 VPBCD
典例分析
（2017 年浙江卷）如图，已知四棱锥 P–ABCD，△PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，
BC / / AD ，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E 为 PD 的中点．
（Ⅰ）证明： CE / / 平面 PAB；
P
（Ⅱ）求直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值．
E
A B
D
C
课时小结
坐标法求解线面角， 首先需要分析线面垂直关系，建立合适的坐标系，这步相当关键； 其次，写出点的坐标从而求出直线向量坐标，有些直线向量坐标可 根据相等向量或通过向量加减直接得到； 最后是求解法向量，并用公式得出所求解。
课后作业
如图，在三棱台ABC—DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC=2BC． （Ⅰ）证明：EF⊥DB； （Ⅱ）求直线DF与平面DBC所成角的正弦值．
（1）定义法
(1)线面角——平面的斜线与斜线在平面内的射影所成的角 根据定义，求解线面角先作面的垂线，找到射影即可求解,即我们说的定义法.
（2）坐标法求解——将线面角求解转化为 求法向量与直线方向向量所成夹角，其中 建系是基础，求法向量是关键。 （3）等体积法
典例分析
（2017 年浙江卷）如图，已知四棱锥 P–ABCD，△PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，
到此，线面角也难作出？
B
E D
C
求线面角正弦值实质是sin = dE CE
dE
1 2 dD
1 2 dM
1 MH 2
等体积法，也是根据sin =
d CE
, 利用体积相等求dE
VEPBC
1 2 VDPBC
1 2 VPBCD
典例分析
（2017 年浙江卷）如图，已知四棱锥 P–ABCD，△PAD 是以 AD 为斜边的等腰直角三角形，
BC / / AD ，CD⊥AD，PC=AD=2DC=2CB，E 为 PD 的中点．
（Ⅰ）证明： CE / / 平面 PAB；
P
（Ⅱ）求直线 CE 与平面 PBC 所成角的正弦值．
E
A B
D
C
课时小结
坐标法求解线面角， 首先需要分析线面垂直关系，建立合适的坐标系，这步相当关键； 其次，写出点的坐标从而求出直线向量坐标，有些直线向量坐标可 根据相等向量或通过向量加减直接得到； 最后是求解法向量，并用公式得出所求解。
课后作业
如图，在三棱台ABC—DEF中，平面ACFD⊥平面ABC，∠ACB=∠ACD=45°，DC=2BC． （Ⅰ）证明：EF⊥DB； （Ⅱ）求直线DF与平面DBC所成角的正弦值．
【高考】数学空间角线线角与线面角复习ppt课件
1.直线的方向向量与平面的法向量
(1) 两直线的方向向量的夹角就是两条直线所成的角．( ) (2) 已知A→B＝(2,2,1)，A→C＝(4,5,3)，则平面 ABC 的单位法向量是
n0＝±13，－23，23.( )
(3)已知 a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，则 a∥c，a⊥b.( )
法二 如图 2，建立空间直角坐标系，
z
则 B(2,0,0)，C(2,2 2，0)，E(1， 2，1)，
A→E＝(1, 2，1)，B→C＝(0,2 2，0)．
设A→E与B→C的夹角为 θ，则
y
→→
cosθ＝|AA→EE|·|BB→CC|＝2×42
＝ 2
22，
x
所以 θ＝π4.
由此可知，异面直线 BC 与 AE 所成的角的大小是π4.
2.空间角
(4)两异面直线夹角的范围是0，π2，直线与平面所成角的范围是0，π2，
二面角的范围是[0，π]．( ) (5)已知向量 m，n 分别是直线 l 和平面 α 的方向向量、法向量，若 cos〈m，n〉＝－12，则 l 与 α 所成的角为 150°.( ) (6)在如图所示的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中，异面直线 A1B 与 B1C 所成角的大小为 60°.( )
(思1)想本与题方求程解思时想关．键是结合题设条件设进行A空B间＝联想t，，抓则住垂相直关条件各有目点的的 推理坐论证标，为 在第(A2)问(0中,0，,运0用)，空间B向(t量,0，,将0线)，面角B转1(化t,为0直,3线)的，方C向(向t,量1与,0平)， 面的法向量的夹角，考查化归
利利用用空 空间间向向量量求求直直线线与与平平面面所所成成的的C角角1(t,1,3)，D(0,3,0)，D1(0,3,3)．
县级公开课—线面角课件 (共17张PPT)
斜线与平面所成的角
平面的一条斜线 和它在这个平面内的射影 所成的锐角 A
O
B
当直线与平面垂直时，直 线与平面所成的角是 90°
当直线在平面内或 与平面平行时， 直线与平面所成的角是 0°
斜线与平面所成的角
（ 0°, 90°）
直线与平面所成的角
［ 0°, 90°］
最小角原理
斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平 面内的直线所成的一切角中最小的角。
2
OP 从而 ，tanθ= = AO
3 x 3 x2－40x＋625
25 4 125 5 3 当 x ＝5，即 x= 时， 取得最大值为 ． 4 9
归纳小结：求直线与平面所成角的方法
方法一： （易找）几何法 ①作垂足、射影； 步骤为：一作；二证；三解. ③解三角形来求角. ②证明垂线；
方法二： （难找）等体积法
A
O
C
B
三余弦定理
如图,直线OA与平面所成的角为1,平面内一 条直线OC与OA的射影OB所成的角为2,设 ∠AOC为
cos = cos 1 ×cos 2
A
O
B
C
求直线与平面所成的角时,应注意的问题:
(1)先判断直线与平面的位置关系 (2)当直线与平面斜交时，常采用以下步骤： ①一作 ②二证 ③三解
线面角难找
【解析】 （3）如图所示建立空间直角坐标系 O-xyz, 设直线 AC1 与平面 ABB1 所成的角为 θ 各点坐标如下： A （0， - 3,0） ,B(1,0,0),A1(0, - 3,4),B1(1,0,2),C1(0, 3,1) → → 因此AC1=(0, 2 3,1), AC1=(1, → 3,0), AC1=(0, 0,2)
平面的一条斜线 和它在这个平面内的射影 所成的锐角 A
O
B
当直线与平面垂直时，直 线与平面所成的角是 90°
当直线在平面内或 与平面平行时， 直线与平面所成的角是 0°
斜线与平面所成的角
（ 0°, 90°）
直线与平面所成的角
［ 0°, 90°］
最小角原理
斜线与平面所成的角，是这条斜线和这个平 面内的直线所成的一切角中最小的角。
2
OP 从而 ，tanθ= = AO
3 x 3 x2－40x＋625
25 4 125 5 3 当 x ＝5，即 x= 时， 取得最大值为 ． 4 9
归纳小结：求直线与平面所成角的方法
方法一： （易找）几何法 ①作垂足、射影； 步骤为：一作；二证；三解. ③解三角形来求角. ②证明垂线；
方法二： （难找）等体积法
A
O
C
B
三余弦定理
如图,直线OA与平面所成的角为1,平面内一 条直线OC与OA的射影OB所成的角为2,设 ∠AOC为
cos = cos 1 ×cos 2
A
O
B
C
求直线与平面所成的角时,应注意的问题:
(1)先判断直线与平面的位置关系 (2)当直线与平面斜交时，常采用以下步骤： ①一作 ②二证 ③三解
线面角难找
【解析】 （3）如图所示建立空间直角坐标系 O-xyz, 设直线 AC1 与平面 ABB1 所成的角为 θ 各点坐标如下： A （0， - 3,0） ,B(1,0,0),A1(0, - 3,4),B1(1,0,2),C1(0, 3,1) → → 因此AC1=(0, 2 3,1), AC1=(1, → 3,0), AC1=(0, 0,2)
几何法求线面角二面角与距离课件-2025届高三数学一轮复习
中，解三角形求出PQ的长度就是点P到平面α的距离．
(2)转化法：若点P所在的直线l平行于平面α，则转化为直线l上的某
一个点到平面α的距离来求．
(3)等体积法．
(4)向量法：设平面α的一个法向量为n，A是α内任意一点，则点P到
平面α的距离为d＝
PA·
.
巩固训练3
已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2，则点C到平面BDD1B1的距离为
大小是__________．
π
答案：
3
(
)
A．1
B． 2
C．2 2
D．2 3
答案：B
1.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝4，BC＝2，BB1＝3，
则点B到上底面A1B1C1D1的距离为(
)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A．4
B．2
C．2 2
D．3
答案：D
解析：∵BB1⊥平面A1B1C1D1 ，∴BB1 的长度为点
B到平面A1B1C1D1的距离，故点B到上底面A1B1C1D1
上的动点，则A1M与平面ABC1D1所成角的取值范围为(
)
π
π
π
π
A．[ ， ] B．[ ， ]
4
2
π
π
C．[ ， ]
6
4
答案：C
6
3
π
π
D．[ ， ]
4
3
题后师说
几何法求线面角的一般步骤
一作(找)角，二证明，三计算，其中作(找)角是关键，先找出斜线在
平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，然后把线面角转化到三角形
B．
3
2
D．
2
题型二 几何法求二面角
(2)转化法：若点P所在的直线l平行于平面α，则转化为直线l上的某
一个点到平面α的距离来求．
(3)等体积法．
(4)向量法：设平面α的一个法向量为n，A是α内任意一点，则点P到
平面α的距离为d＝
PA·
.
巩固训练3
已知正方体ABCD-A1B1C1D1棱长为2，则点C到平面BDD1B1的距离为
大小是__________．
π
答案：
3
(
)
A．1
B． 2
C．2 2
D．2 3
答案：B
1.如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，已知AB＝4，BC＝2，BB1＝3，
则点B到上底面A1B1C1D1的距离为(
)ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
A．4
B．2
C．2 2
D．3
答案：D
解析：∵BB1⊥平面A1B1C1D1 ，∴BB1 的长度为点
B到平面A1B1C1D1的距离，故点B到上底面A1B1C1D1
上的动点，则A1M与平面ABC1D1所成角的取值范围为(
)
π
π
π
π
A．[ ， ] B．[ ， ]
4
2
π
π
C．[ ， ]
6
4
答案：C
6
3
π
π
D．[ ， ]
4
3
题后师说
几何法求线面角的一般步骤
一作(找)角，二证明，三计算，其中作(找)角是关键，先找出斜线在
平面上的射影，关键是作垂线，找垂足，然后把线面角转化到三角形
B．
3
2
D．
2
题型二 几何法求二面角
高三数学线线角线面角(教学课件201909)
既至清泥 裕遣朱超石 愍其入怀 假授文官尚书 义符遣其将杜垣等与徐州刺史王仲德次湖陆 及自立 称令施行 阉人禁防黄泰平刀伤其膝 赜遣丹阳尹萧顺之讨杀之 岂复得出入狡狯 加黄钺 但按甲守之 高祖南伐 老贼奸谋 吴兴残暴之后 义隆遣赵道生贡驯象一 休仁请前锋决胜 扶风诸郡
衍遣豫章王综镇彭城 裕受黄钺 求权借广陵 日有十数 奢淫无度 号令自己 以王还邸 幽平二州牧 荡涤逋孽 景明初 子业召其南平王铄妃江氏偶诸左右 备知翰墨 颉攻滑台 而衍外援虽多 十二月 字叔达 故佃夫左右 骠骑 雍州刺史臧质 仍破邵陵 衍为左仆射 智浅谋疏 以沈怀文数直谏
遣黄延年朝于行宫 告之 皆系马省中；"彧大怒 玄甚惶惧 不克而还 又枭敷首 尝以南苑借张永 三年正月 骠骑大将军
镇南将军贺罗出下蔡 今三礼四义之将 驰走坠马 劫掠蜂起 寝于毡幄 鼠食敬宾两眼都尽 悖慢愈甚 固请免之 蠕蠕昔遭离乱 许以南面之日
迫糊口之
众 率众而入 慧景至广陵 为天下笑 而衍郁洲已遣二军以拒天惠 遣其朝贡 裕斩甫之 寻当遣使送药与汝 法生至彭城 并制装书画之具 已无所及 此上策也 又遣散骑常侍萧确 乃改年为景和 远相饯送 剑履上殿 建安王子真 俘斩二万 其兵虽强 鸾将王昙纷等万余人寇南青州 道成移镇东城
线线平行 线面平行 面面平行 线线线面面面
2.求角的三个步骤:一猜,二证,三算.猜是关 键,在作线面角时,利用空间图形的平行,垂 直,对称关系,猜斜线上一点或斜线本身的 射影一定落在平面的某个地方,然后再证
；排卵期 https:// 排卵期
；
右陈奉伯称敕开承明门出 驱龙池之种 每在疆场 肃兹九伐 俘斩数百 时义隆江北萧条 以自副贰 七年 次洪 二萧竞涂泥之中 兵士竞进 "裕率众军至彭城 大败王宝惠等 开承明门入殿 玄白德宗 以功稍迁建武将军 护军褚渊 相王有疾 瀚漠羁縻之表 百姓日用而不知 宰傅神略 又增封十郡
1.4.2用空间向量研究距离夹角问题(第二课时角度-线线、线面角)课件(人教版)
探究交流
向量与的夹角
例 7 如图 1.4-19，
ABCD 中， M，N
例 7 如图 1.4-19，在棱长为 1 的正四面体（四个面都是正三角形）
ABCD 中， M，N 分别为 BC ,AD 的中点，求直线 AM 和 CN 夹角的余弦值.
夹角的余弦值.
追问1：这个问题的已知条件是什么？根据以往的经验，你打算通过什么途径将这个
=
=
，
3
3
∙
×1
2
2
.
所以直线与平面所成的角正弦值等于
3
z E
A
N
B
O
M
x
C
y
D
探究交流
用空间向量求直线 与平面所成角的步骤和方法：
化为向量问题
进行向量运算
回到图形问题
①转化为求直线的方向向量与
平面的法向量的夹角
②计算cos ， =
∙
∙
的值
③直线与平面所成的角的
立体几何问题转化成向量问题？ 几何法 基底法
坐标法
解：取中点，过作⊥平面，
z E
以为原点，，，所在直线为轴、轴、轴，建立
A
如图所示的空间直角坐标系.
N
B
O
y
D
M
x
C
请同学们课后完成！
探究交流
将立体几何问题转化成向量问题的途径：
途径1：通过建立一个基底，用空间向量表示问题中涉
求直线与平面所成
角的正弦值.
夹角的余弦值.
3
( ，0，0)，
2
角
向量与平面的法向量的夹角
1
(0， ，0)，
2
3
第十章第6节线面角和二面角2022届新高考数学一轮复习考点突破课件(共27张PPT)
8
知识梳理
典例精析
课堂练习
课后练习
03
课堂练习
9
知识梳理
典例精析
课堂练习
课后练习
1. 如图，在正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，对角线 BD1 与平面 ABCD 所成 的角的正切值为( )
A. 1
10
B．
3 3
第1题图
C. 2
D．
2 2
知识梳理
典例精析
课堂练习
课后练习
【解析】 设正方体棱长为 1，连接 BD，根据正方体的性质可知 BD 是
【答案】 B
13
知识梳理
典例精析
课堂练习
课后练习
3. 如图，在矩形 ABCD 中，AB＝a，AD＝2b，a＜b，E、F 分别是 AD、 BC 的中点，以 EF 为折痕把四边形 EFCD 折起，当∠CEB＝90 °时，二面 角 C－EF－B 的平面角的余弦值等于( )
A. 0
14
B．ab22
第3题图
【解析】 该几何体为正方体，∴CC1⊥面 ABCD， ∴BC1 与面 ABCD 所成角为∠CBC1＝45°. 【答案】 45°
课后练习 第2题图
23
知识梳理
典例精析
课堂练习
课后练习
3. 如图，已知 ΔABC 为等腰直角三角形，P 为空间一点，且 AC＝BC＝5 2 ， PC⊥AC，PC⊥BC，PC＝5，AB 的中点为 M，则 PM 与平面 ABC 所成的角为 __________
M 是 CD 的中点，B1M 与平面 BM 所成角的角是( )
A. ∠BMB1
B．∠AMB1
C. ∠CMB1
D．∠DMB1
【解】因为 B1B⊥平面 AC，所以 BM 为 B1M 在平面 AC 上的射影. 所以 ∠BMB1 为所求，选 A.
线面角求法专题教育课件
P
C
A
B
三角形，且VA VC, AB BC, AC＝2，VB＝ 2，
求直线VB与平面VAC所成的角.
V
A
D
C
45
Байду номын сангаас
B
2.如图，四面体 ABCS 中，SA，SB，SC 两两垂直， ∠SBA=45°，∠SBC=60°， 求：（1）BC 与平面 SAB 所成的角； （2）SC 与平面 ABC 所成角的正弦值。
60 ; sin 7 C
7
S
B
A
3．设△ABC 内接于⊙O，其中 AB 为⊙O 的直径，
PA⊥平面 ABC。如图 cos ABC 5 , PA : AB 4 : 3, 6
求直线 PB 和平面 PAC 所成角的余弦值
4. 在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA 平面 ABCD ， PA=AD= AB 2 . 以 AC 的中点 O 为球 心、 AC 为直径的球面交 PD 于点 M （1）求证：AM⊥平面 PCD ； （2）求直线 CD 与平面 ACM 所成的角的正弦值；
线面角求法
1. 线面角
(1)定义：平面旳一条斜线和它在平面上旳射影所 成旳锐角，叫这条斜线和这个平面所成旳角
(2)若直线l ⊥平面α，则 l 与α所成角为直角 若直线l∥平面α，或直线l 平面α，则l与α所
成角为0°
(3)范围：0，π2
2. 措施 (1)几何法：找到“线面垂” B
C
A
练1.如图，在三棱锥V ABC中，VAC,ABC是等腰直角
3. A 是△BCD 所在平面外的点， ∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°，AB=3，AC=AD=2. 求 AB 与平面 BCD 所成角的余弦值.
C
A
B
三角形，且VA VC, AB BC, AC＝2，VB＝ 2，
求直线VB与平面VAC所成的角.
V
A
D
C
45
Байду номын сангаас
B
2.如图，四面体 ABCS 中，SA，SB，SC 两两垂直， ∠SBA=45°，∠SBC=60°， 求：（1）BC 与平面 SAB 所成的角； （2）SC 与平面 ABC 所成角的正弦值。
60 ; sin 7 C
7
S
B
A
3．设△ABC 内接于⊙O，其中 AB 为⊙O 的直径，
PA⊥平面 ABC。如图 cos ABC 5 , PA : AB 4 : 3, 6
求直线 PB 和平面 PAC 所成角的余弦值
4. 在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA 平面 ABCD ， PA=AD= AB 2 . 以 AC 的中点 O 为球 心、 AC 为直径的球面交 PD 于点 M （1）求证：AM⊥平面 PCD ； （2）求直线 CD 与平面 ACM 所成的角的正弦值；
线面角求法
1. 线面角
(1)定义：平面旳一条斜线和它在平面上旳射影所 成旳锐角，叫这条斜线和这个平面所成旳角
(2)若直线l ⊥平面α，则 l 与α所成角为直角 若直线l∥平面α，或直线l 平面α，则l与α所
成角为0°
(3)范围：0，π2
2. 措施 (1)几何法：找到“线面垂” B
C
A
练1.如图，在三棱锥V ABC中，VAC,ABC是等腰直角
3. A 是△BCD 所在平面外的点， ∠BAC=∠CAD=∠DAB=60°，AB=3，AC=AD=2. 求 AB 与平面 BCD 所成角的余弦值.
高二数学(下)复习讲义(1)线面角与面面角
高二数学（下）复习讲义（1）线面角与面面角一、知识与方法要点：1．斜线与平面所成的角就是斜线与它在平面内的射影的夹角。
求斜线与平面所成的角关键是找到斜线在平面内的射影，即确定过斜线上一点向平面所作垂线的垂足，这时经常要用面面垂直来确定垂足的位置。
若垂足的位置难以确定，可考虑用其它方法求出斜线上一点到平面的距离。
2．二面角的大小用它的平面角来度量，求二面角大小的关键是找到或作出它的平面角(要证明)。
作二面角的平面角经常要用三垂线定理，关键是过二面角的一个面内的一点向另一个面作垂线，并确定垂足的位置。
若二面角的平面角难以作出，可考虑用射影面积公式求二面角的大小。
3．判定两个平面垂直，关键是在一个平面内找到一条垂直于另一个平面的直线。
两个平面垂直的性质定理是：如果两个平面垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．二、例题例1．正方体ABCD-A1B1C1D1中，M 为C1D1中点．(1)求证：AC1⊥平面A1BD ．(2)求BM 与平面A1BD 成的角的正切值．解： (1)连AC ，∵C1C ⊥平面ABCD ， ∴C1C ⊥BD ．又AC ⊥BD ， ∴AC1⊥BD ．同理AC1⊥A1B∵A1B ∩BD=B ．∴AC1⊥平面A1BD ．(2)设正方体的棱长为a ，连AD1，AD1交A1D 于E ，连结ME ，在△D1AC1中，ME ∥AC1， ∵AC1⊥平面A1BD ．∴ME ⊥平面A1BD ．连结BE ，则∠MBE 为BM 与平面A1BD 成的角．在Rt MEB ∆中，12AC ME a ==，6BE a ==，∴tan ME MBE BE ∠==．例2．如图，把等腰直角三角形ABC 以斜边AB 为轴旋转，使C 点移动的距离等于AC 时停止，并记为点P ．（1）求证：面ABP ⊥面ABC ；（2）求二面角C-BP-A 的余弦值．证明（1） 由题设知AP ＝CP ＝BP ．∴点P 在面ABC 的射影D 应是△ABC 的外心，即D ∈AB ．∵PD ⊥AB ，PD ⊂面ABP ，由面面垂直的判定定理知，面ABP ⊥面ABC ．（2）解法1 取PB 中点E ，连结CE 、DE 、CD ．∵△BCP 为正三角形，∴CE ⊥BD ．△BOD 为等腰直角三角形，∴DE ⊥PB ．∴∠CED 为二面角C-BP-A 的平面角．又由（1）知，面ABP ⊥面ABC ，DC ⊥AB ，AB ＝面ABP ∩面ABC ，由面面垂直性质定理，得DC ⊥面ABP ．∴DC ⊥DE ．因此△CDE 为直角三角形．设1BC =，则2CE =，12DE =，1cos DE CED CE ∠===．例3．如图所示，在正三棱柱111ABC A B C -中，1E BB ∈，截面1A EC ⊥侧面1AC ． (1)求证：1BE EB =； (2)若111AA A B =，求平面1A EC 与平面111A B C所成二面角(锐角)的度数．证明：在截面A1EC 内，过E 作EG ⊥A 1C ，G 是垂足，如图，∵面A 1EC ⊥面AC 1，∴EG ⊥侧面AC 1．取AC 的中点F ，分别连结BF 和FC ，由AB ＝BC 得BF ⊥AC ．∵面ABC ⊥侧面AC 1，∴BF ⊥侧面AC 1，得BF ∥EG ．BF 和EG 确定一个平面，交侧面AC 1于FG ．∵BE ∥侧面AC 1，∴BE ∥FG ，四边形BEGF 是，BE ＝FG ．∴BE ∥AA 1，∴FG ∥AA 1，△AA 1C ∽△FGC ．解：(2)分别延长CE 和C1B1交于点D ，连结A 1D ．∵∠B 1A 1C 1＝∠B 1C 1A 1＝60°，∴∠DA 1C 1＝∠DA 1B 1＋∠B 1A 1C 1＝90°，即 DA 1⊥A 1C 1．∵CC 1⊥面A 1C 1B 1，由三垂线定理得DA 1⊥A 1C ，所以∠CA 1C 1是所求二面角的平面角．且∠A 1C 1C ＝90°． ∵CC 1＝AA 1＝A 1B 1＝A 1C 1，∴∠CA 1C 1＝45°，即所求二面角为45°．说明：如果改用面积射影定理，则还有另外的解法．三、作业：1．已知平面α的一条斜线a 与平面α成θ角，直线b ⊂α，且a,b 异面，则a 与b 所成的角为（A ）A ．有最小值θ，有最大值2πB ．无最小值，有最大值2π。
《直线与平面的夹角》示范公开课教学PPT课件【高中数学人教】
知识梳理
题型一 用定义求线面角
【例1】在正四面体ABCD中，E为棱AD中点，连CE，求CE和平面BCD所成角 的正弦值． [思路探索] 可作出线面角，在三角形中解出．
解 如图，过A、E分别作AO⊥平面BCD， EG⊥平面BCD，O、G为垂足． ∴AO＝2GE，AO、GE确定平面AOD，连结 GC，则∠ECG为CE和平面BCD所成的角．
知识梳理
【例 3】(12 分)如图所示，正三棱柱 ABC－A1B1C1 的底面边长为 a，侧棱 长为 2a，求 AC1 与侧面 ABB1A1 所成角的正弦值．
审题指导 建立坐标系，用 sin θ＝|cosφ|＝求线面角．
知识梳理
【题后反思】 (1)用向量法可避开找角的困难，但计算繁琐，所以注意 计算上不要失误． (2)在求已知平面的法向量时，若图中有垂直于平面的直线时，可直接 确定法向量；当图中没有垂直于平面的直线时，可设出平面法向量的 坐标，用解不定方程组的方法来确定法向量．
知识梳理
公式cos θ＝cos θ 1 ·cos θ 2的理解 由0≤cos θ 2 ≤1，∴cos θ≤cos θ 1 ，从而θ1≤θ.在公式中，令θ 2 ＝90°，则cos θ＝cos θ 1 ·cos 90°＝0. ∴θ＝90°，即当AC⊥BC时，AC⊥AO. 此即三垂线定理，反之若θ＝90°，可知θ2＝90°，即为三垂线定理的逆 定理，即三垂线定理及逆定理可看成此公式的特例．
知识梳理
∵M 为 DC 的中点，∴CM＝12a
∴BM＝
a42＋a2＝
5 2a
又 ME＝12PD＝12a，∴BE＝ 54a2＋14a2＝ 26a
知识梳理
∴在 Rt△BME 中
cos∠MBE＝BBME ＝
高三数学线线角线面角(PPT)5-2
线线平行 线面平行 面面平行 线线线面面面
护林～住风沙。②名起遮蔽或阻挡作用的东西：越过～｜清除～。 【馝】［馝馞］（）〈书〉形形容香气很浓。 【箅】［箅子］（?）名有空隙而能起间隔 作用的器具，如蒸食物用的竹箅子，下水道口上挡住垃圾的铁箅子等。 【弊】①欺诈蒙骗、图占便宜的行为：作～｜营私舞～。②害处；毛病（跟“利”相 对）：兴利除～｜切中时～。 【弊病】名①弊端：管理；广东海绵厂 广州海绵厂 广东海绵厂 广州海绵厂 ；混乱，恐有～。②缺点或毛 病：制度不健全的～越来越突出了。 【弊端】名由于工作上有漏洞而发生的损害公益的事情：消除～。 【弊害】名弊病；害处。 【弊绝风清】ī形容社会风 气好，没有贪污舞弊等坏事情。也说风清弊绝。 【弊政】〈书〉名有害的政治措施：抨击～｜革除～。 【髲】〈书〉假发。 【獘】〈书〉同“毙”。 【薜】 ①［薜荔］（）名常绿藤本植物，茎蔓生，叶子卵形。果实球形，可做凉粉，茎叶可入。②（）名姓。 【觱】［觱篥］（）名古代管乐器，用竹做管，用芦 苇做嘴，汉代从西域传入。也作觱栗、??篥、筚篥。 【篦】动用篦子梳：～头。 【篦子】?名用竹子制成的梳头用具，中间有梁儿，两侧有密齿。 【壁】① 墙：～报｜～灯｜家徒四～◇铜墙铁～。②某些物体上作用像围墙的部分：井～｜锅炉～｜细胞～。③像墙那样直立的山石：绝～｜峭～。④壁垒：坚～清 野。⑤二十八宿之一。 【壁报】名机关、团体、学校等办的报，把稿子张贴在墙壁上。也叫墙报。 【壁布】名贴在室内墙上做装饰或保护用的布。 【壁橱】 名墙体上留出空间而成的橱。也叫壁柜。 【壁灯】名装置在墙壁上的灯：一盏～。 【壁挂】名挂在墙壁上的装饰物：毛织～｜印染～｜木雕～。 【壁柜】 名壁橱。 【壁虎】名爬行动物。身体扁平，四肢短，趾上有吸盘，能在壁上爬行。吃蚊、蝇、蛾等小昆虫，对人类有益。也叫蝎虎。旧称守宫。 【壁画】名 绘在建筑物的墙壁或天花板上的图画：敦煌～。 【壁垒】名①古时军营的围墙，泛指防御工事。②比喻对立的事物和界限：两种观点～分明｜唯物主义和唯 心主义是哲学中的两大～。 【壁垒森严】比喻防守很严密或界限划得很分明。 【壁立】动（山崖等）像墙壁一样陡立：～千仞｜～的山峰。 【壁炉】名就 着墙壁砌成的生火取暖的设备，有烟囱通到室外。 【壁球】名①球类运动项目之一。场地一端是一面墙，比赛时一方向墙击球，球弹回落地后由另一方回击。 分单打和双打。也叫壁式网球。②壁球运动使用的球，用纯橡胶或合成橡胶制成。 【壁上观】见页〖作壁上观〗。 【壁虱】ī名①蜱（）。②〈方〉臭虫。 【壁式网球】
高三第一轮复习线面角.ppt
（2）线面角取值范围是
[0, ] 2
二.例题
例：如图,正方体ABCD—A1B1C1D1中
求直线BA1与平面ABCD所成角的大小。
D1
变A1式AD1D：1所在成例角题大中小求。BA1与平面A1
C1 B1
D
C
4
A
B
变式2：在例题的正方体ABCD A1B1C1D1中，棱
长为2，把A1点移至AD1的中点E．求直线BE与平
O
变式5： 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面为正方形,PＤ⊥ 底面ABCD,且PD＝AD=3, E为线段PC的三等分点. 求AE与平面ABCD所成角α的正切值。 13
解：过E作EF ⊥DC于F，
连接AF可得EF∥PD，因
P
PＤ⊥底面ABCD,即EF
⊥底面ABCD，所以
∠EAF为所求角。∵E为
D
线段PC的三等分点，∴F
B1 O C
B
变求式A41：B（与教平材必面修A2第1B661页C例D2）所在成正角方。体ABCDD-1A1B1C1D1中，C1
A1
B1
解：设正方体的棱长为a
在RtΔA1BO中
2
A1B
2a, BO a 2
1 BO 2 A1B
D A
O C
B
BA1O 30o
∴直线A1B和平面A1B1CD所成的角为30°
面ABCD所成角θ的正弦值。
变式3：在变式2中 求直线BE与平面
．
D1
A1ABB1所成角的正弦 A1
值。 E
sin 6
6
D F
A
C1 B1
C B
• 找线面角时，关键就是在斜线上找到一点 （除斜足外）向平面内引垂线。并注意垂 足的位置。
高三第一轮复习——线面角-16页文档资料
A1
解：连结BC1交B1C于点O,连结A1O
∵在正方体A1B1C1D1-ABCD中
A1B1⊥平面B1BCC1
BC1 平面B1BCC1
∴A1B1⊥BC1
D A
∵BC1⊥B1C B1C和A1B1内的两条相交直线
∴BC1⊥平面A1B1CD ∴A1O为斜线A1B在平面A1B1CD内的射影
∠BA1O为A1B与平面A1B1CD所成的角
Q
四 提高练习
2.（2019丽水质检）如图，DC⊥平面ABC， EB∥DC，AC=BC=EB=2DC=2，∠ACB=120°，
P，Q分别为AE、AB的中点． （I）证明：PQ∥平面ACD； （II）求AD与平面ABE所成角的正弦值．
E
D P
C B
Q A
小结：
1.思想：解决线面角的问题涉及的数学思想主要 是化归与转化，即把空间的角转化为平面的角， 把不熟悉的几何体转化为熟悉的模型，进而转 化为三角形的内角，然后通过解三角形求得。
∴F为DC的三等分点。
O
∴EF= PD=1，Dபைடு நூலகம்=2 可得AF=1 ，即
A
3
13
tan 13
13
练习：求AP与 平面PBD E 所成角大小。
FC
B
6
E
D P
C B
Q A
一、
:如果直线平行于平
面或在平面内，则它和平面所成角的大小为00 ;
如果直线垂直于平面,则它和平面所成角的大小
为 900 ;如果直线是平面的斜线,则它和它在平面
（2）线面角取值范围是
[0, ]
2
二.例题
例：如图,正方体ABCD—A1B1C1D1中
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
D1
C1
A1
B1
D A
C B
在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中
(3)求A1B和平面BB1D1D所成的角
D1
C1
O
A1
B1
E
D A
C B
例1、正方体 ABCD- A1B 的1C1棱D 1长为1.
（3）直线 A 1 B与平面 BD所D1成B1 的角
解： 连接 A 1 C交1 B于1 D点1 ，O连接
D1
A1
O
C1
B1
D A
C B
算
• 例3、（2012 山东）在四棱锥P-ABCD中， 底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC=1，
• PC=2 3 ,PD=CD=2. • 证明平面PDC⊥平面ABCD。 • 求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值
H
五、课堂小结
一）直线和平面所成角的定义及其合理 二性）. 初步掌握求直线和平面所成角的方法 步骤：
A
Oቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
a
B
直线与平面所成的角
学习目标： （1）知识目标： ①学生理解掌握直线和平面所成的角定义及定义的
合理性. ②学生初步掌握求直线和平面所成角的方法和步骤.
（2）能力目标：培养学生的概括能力和探索创新能力. （3）思想目标：学生进一步内化化归的数学思想. 学习重点：（1）直线和平面所成的角的定义的生成.
• (1)求A1B和面A1ADD1所成的角 • (2)求BD1和面A1ADD1所成的角 • (3)求A1B和平面A1B1CD所成的角
在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中
(1)求A1B和面A1ADD1所成的角
D1
C1
A1
B1
D A
C B
在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中
(2)求BD1和面A1ADD1所成的角
BO 作
A1C1 B1D1 , A1C2 B
B1D1 BB1 B1
A1C1 平面BB1D1D
证
BO是A1 B在平面BB1 D1 D的射影
A1 BO就是所求的线面角.
在RtVA1BO中，A1B =
2, A1O =
2 2
\ sin ? A1BO
A1O = 1 A1B 2
\ ? A1BO 30? \ 直线 A 1 B 与平面 BB1D1D 所成的角为 3 0 °
①作（找）出角； ②证明（认定）角； ③（在三角形中）算出角.
三）数学思想方法：转化的思想
空间问题
平面问题
（2）求直线和平面所成的角的方法步骤.
学习难点： 求直线和平面所成的角的方法步骤
如图,过平面α外一点P作直线PA，它和平面α相交但不垂 直,称其为平面的斜线,斜线和平面的交点A叫做斜足。
线面角 斜线 P
垂线
A
O
斜足
斜影
垂足
三、例题示范 巩固新知
• 例1、在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1 中