两角和与差的正弦余弦正切公式练习题
两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(含答案)
两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(含答案)两角和差的正弦余弦正切公式练题一、选择题1.给出如下四个命题：①对于任意的实数α和β，等式cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ恒成立；②存在实数α，β，使等式cos(α+β)=cosαcosβ+sinαsinβ能成立；③公式tan(α+β)=tanα+tanβ成立的条件是α≠kπ+π(k∈Z)且β≠kπ+π(k∈Z)；1-tanαtanβ/2④不存在无穷多个α和β，使sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ。
其中假命题是（）A。
①②B。
②③C。
③④D。
②③④2.函数y=2sinx(sinx+cosx)的最大值是（）A。
1+2B。
2-1C。
2D。
2/33.当x∈[-π/2,π/2]时，函数f(x)=sinx+3cosx的（）A。
最大值为1，最小值为-1B。
最大值为1，最小值为-1/2C。
最大值为2，最小值为-2D。
最大值为2，最小值为-14.已知tan(α+β)=7，tanαtanβ=2/3，则cos(α-β)的值（）A。
1/2B。
2/2C。
-2D。
±25.已知π/2<β<α<3π/4，cos(α-β)=12/13，sin(α+β)=-3/5，则sin2α=（）A。
56/65B。
-56/65C。
6565/56D。
-5/66.sin15°sin30°sin75°的值等于（）A。
3/4B。
3/8C。
1/8D。
1/47.函数f(x)=tan(x+π/4)+1+tanx/4，g(x)=1-tanx，h(x)=cot(π/4-x)。
其中为相同函数的是（）A。
f(x)与g(x)B。
g(x)与h(x)C。
h(x)与f(x)D。
f(x)与g(x)及h(x)8.α、β、γ都是锐角，tanα=1/2，tanβ=1/5，tanγ=1/8，则α+β+γ等于（）A。
π/3B。
π/4C。
π/5D。
3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式+练习
3.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1、选择题
1．cos750cos150- sin750sin150的值是（）
A． B．-
C． D．0
2．在△ABC中，已知 ， ，
则 的值为（）
A． B．
C． 或 D．
3．已知 ， ，则
（）
A. B.
C. D.
4．已知 ∈( , )，sin = ,则tan( )等于（）
2、填空题
9．若 ， 为第二象限角，则 .
10．已知 ， ，则 =__________
11．sin7°cos37°－sin83°cos53°值为___________.
12．已知α、β均为锐角且sinα＝ ，cosβ＝ ，则α－β的值为______.
三、解答题
13．已知函数 ， ．
（1）求 的值；
（2）设
求 的值．
14.已知
.
15.设函数f（x）= cosx+ sinx+1，
（1）求函数f（x）的值域和函数的单调递增区间;
（2）当f（ ）= ，且 时,求sin（2 + ）的值
附加题
16．是否存在角 、 使等式 同时成立？若存在，求出 的值；若不存在请说明理由。
A. B.7
C. - D. -7
5．若 ≤ ≤ ，则
的取值范围是（）A． B． NhomakorabeaC． D．
6．已知 ，则
（）
A. B.
C. D.
7．下列各式中值等于 的是（）
A．
B.
C.
D.
8.已知tanα，tanβ是方程x2＋3 x＋4＝0的两根，且α，β∈（－ ， ），则α＋β等于（ ）
完整版)两角和与差的正弦、余弦、正切经典练习题
完整版)两角和与差的正弦、余弦、正切经典练习题两角和与差的正弦、余弦、正切cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβcos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ1、求值：1)cos15°2)cos80°cos20°+sin80°sin20°3)cos130°cos10°+sin130°sin10°5)sin75°7)cos(A+B)cosB+sin(A+B)sinB2.1)证明：cos(π/2-α)=sinα4)cos105°6)求cos75°cos105°+sin75°sin105°8)cos91°cos29°-sin91°sin29°2)已知sinθ=15π，且θ为第二象限角，求cos(θ-π)的值．3)已知sin(30°+α)=√3/2，60°<α<150°，求cosα．4)化简cos(36°+α)cos(α-54°)+sin(36°+α)sin(α-54°)．5)已知sinα=-4/5，求cosα的值。
6)已知cosα=-3π/32，α∈(π/2,π)，求sin(α+π/4)的值。
7)已知α，β都是锐角，cosα=32π/53，α∈(π/3,π/2)，cosβ=-3π/52，β∈(π/6,π/4)，求cos(α+β)的值。
8)已知cos(α+β)=-11/53，求cosβ的值。
9)在△ABC中，已知sinA=√3/5，cosB=1/4，求cosC的值.两角和与差的正弦sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβsin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ利用和差角公式计算下列各式的值：1)sin72°cos42°-cos72°sin42°2)3sinx+cosx3)cos2x-sin2x证明：1)sinα+cosα=sin(α+π/2)2)cosθ+sinθ=2sin(θ+π/4)3)2(sin x+cos x)=2cos(x-π/4)1)已知sinα=-3/5，α是第四象限角，求sin(-α)的值。
人教A版数学高二两角和与差的正弦,余弦,正切公式精选试卷练习(含答案)1
乘积的一半），找出 S 与 的函数关系； （2）求 为何值时 S 最大，并求出 S 的最大值．
37．如图所示，在直角坐标系 xOy 中，点 A2, 0 ， B2,0 ，点 P，Q 在单位圆上，
以 x 轴正半轴为始边，以射线 OP 为终边的角为 ，以射线 OQ 为终边的角为 ，满足 .
)
12
的值是（
）
A． 2 3 5
B． 2 10
C． 2 3 5
D． 4 5
21．已知两个向量
a
cos，sin
b
3, 1
，则
2a
b
的最大值是（
）
A． 2
B． 2 2
C． 4
D． 4 2
22．已知函数 f (x) asinx bcosx （ a, b 为常数， a2 b2 0 ）的图象的一个最高点
（2）若
x
0,
2
，求
f
x 的最小值和最大值，并指出
f
x 取得最值时
x 的值.
35．已知向量
m
(2 sin
x,
2
cos
x), (
0)n
(1,1)
记函数
f
(x)
为向量
m
在向量
n
上的投影，且 x 是函数 f (x) 的图像距离 y 轴最近的一条对称轴. 4
B．直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形
A． 6 2 4
B． 6 2 4
C． 6 2 4
D． 2 6 4
16．已知
两角和与差的正弦、余弦与正切公式
两角和与差的正弦、余弦与正切公式1．sin 20cos 40cos 20sin 40+的值等于（ ）A ．14BC ．12D 2．sin(15)-的值是（ ）A ．4-B ．4C 3．已知tan tan 2αβ+=，tan()4αβ+=，则tan tan αβ⋅等于（ ）A ．2B ．1C ．12D ．44．在△ABC 中，tan tan tan A B A B ++=，则C 等于（ ）A ．3πB ．23πC ．6πD ．6π 5．设2tan()5αβ+=，1tan 44πβ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则tan 4πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是（ ） A ．318 B ．322 C ．1318D ．1322 6．函数y=sinx+cosx+2的最小值是 （ ）A ．2B ．C ．0D ．17.在△ABC 中，若0tan tan 1A B <<，则△ABC 是（ ）A ．锐角三角形B ．钝角三角形C ．直角三角形D ．不确定8. 在△ABC 中，3sin A ＋4cos B ＝6,4sin B ＋3cos A ＝1，则C 等于( )A ．30°B ．150°C ．30°或150°D ．60°或120°9．已知α、β均为锐角，且cos sin tan cos sin ααβαα-=+，则tan(α＋β)＝________． 10．若sin(4π－x )＝35，则sin cos x x 的值为 ．11.已知cos(α－6π)＋sin αsin(α＋76π)的值为________．12. 已知向量a ＝(sin(α＋6π),1)，b ＝(4,4cos α)，若a ⊥b ，则sin(α＋43π)等于 . 13．已知435sin(),sin()45413ππαβ-=-+=，且3,0444ππαπβ<<<<，求cos(),cos()4πααβ+-的值．14．求值：[2sin50sin10(1)]︒+︒︒15．已知锐角△ABC 中，3sin()5A B +=，1sin()5A B -=． （1）求证：tanA=2tanB ；（2）求tanA 的值．16．已知α、β为锐角，向量a ＝(cosα，sinα)，b ＝(cosβ，sinβ)，c ＝(12，－12)．(1)若a ·b ＝2，a ·c ＝14，求角2β－α的值；(2)若a ＝b ＋c ，求tanα的值．【答案与解析】1．【答案】B【解析】sin 20cos 40cos 20sin 40+sin(2040)sin 60=︒+︒=︒=2．【答案】D【解析】原式=()sin15sin(4530)sin 45cos30cos 45sin30-=--=--=4 3．【答案】C 【解析】tan tan tan()1tan tan αβαβαβ++=-，∴241x =-，12x =． 4．【答案】A 【解析】A+B+C=π，tan tan tan()1tan tan A B A B A B ++===-⋅，∴tan C =3C π=． 5．【答案】B【解析】 ∵()44ππααββ⎛⎫+=+-- ⎪⎝⎭， ∴21335420tan 212242215420πα-⎛⎫+=== ⎪⎝⎭+⨯． 6．【答案】A【解析】2(sin cos )2)2224y x x x π=++=++，当sin()14x π+=-时，2y =- 7．【答案】B【解析】由tan tan 0A B >，知,A B 不可能一个钝角，一个锐角，又,A B 不可能均为钝角，所以,A B 均为锐角．由tan tan 1A B <，得sin sin 1cos cos A B A B⋅<，又cos 0,cos 0A B >>，所以sin sin cos cos ,A B A B <整理得cos cos sin sin 0,cos()0A B A B A B ->+>，所以cos()0C π->，即cos 0C <，所以C 为钝角，ABC ∆是钝角三角形．8. 【答案】A【解析】已知两式两边分别平方相加，得25＋24(sin A cos B ＋cos A sin B )＝25＋24sin(A ＋B )＝37，∴sin(A ＋B )＝sin C ＝12，∴C ＝30°或150°.当C ＝150°时，A ＋B ＝30°，此时3sin A ＋4cos B ＜3sin30°＋4cos0°＝112，这与3sin A ＋4cos B ＝6相矛盾，∴C ＝30°.9．【答案】1【解析】∵ cos sin tan cos sin ααβαα-=+， ∴ 1tan tan tan()1tan 4απβαα-==-+． 又∵ α、β均为锐角，∴ 4πβα=-，即4παβ+=， ∴ tan()tan14παβ+==． 10．【答案】750【解析】∵sin(4π－x )＝35，∴2cos x －2sin x ＝2 (cos x －sin x )＝35.∴cos x －sin x . ∴(cos x －sin x )2＝1－2sin x cos x ＝1825，∴sin x cos x ＝750. 11. 【答案】－45【解析】∵cos(α－6π)＋sin αcos α＋32sin α，∴12cos αα＝45，∴sin(α＋76π)＝－sin(α＋6π)＝－α＋12cos α) ＝－45. 12. 【答案】 －14【解析】a ·b ＝4sin(α＋6π)＋4cos α＝α＋6cos αα＋3π)0，∴sin(α＋3π)＝14. ∴sin(α＋43π)＝－sin(α＋3π)＝－14. 13．【解析】4cos()cos ()sin()42445ππππααα⎡⎤+=--=-=-⎢⎥⎣⎦． 由已知3,0,444ππαπβ<<<<得，,24442πππππαπβ<+<<+<， 所以3sin()45πα+=， 由35sin(),413πβ+=得5sin cos()24413πππββ⎛⎫++=+= ⎪⎝⎭，所以12sin()413πβ+=， 故16cos()cos 4465ππαβαβ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-=+-+=⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦． 14．【解析】原式2sin 50sin10⎛=︒+︒ ⎝⎭sin102sin 402sin 5080cos10︒⋅︒⎛⎫=︒+︒ ⎪︒⎝⎭2sin 50cos102sin 40sin10cos10︒︒+︒︒=︒︒2(cos 40cos10sin 40sin10)cos10︒︒+︒︒=︒︒=︒== 15【解析】（1）证明：因为3sin()5A B +=，1sin()5A B -=， 所以3sin cos cos sin 51sin cos cos sin 5A B A B A B A B ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，所以2cos cos 51cos sin 5A B A B ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，所以tan 2tan A B =， 所以tanA=2tanB ．（2）因为2A B ππ<+<，3sin()5A B +=所以4cos()5A B +=-，3tan()4A B +=-， 即tan tan 31tan tan 4A B A B +=--．将tanA=2tanB 代入得2tan 2B －4tanB －1=0，得2tan 2B =（舍去），2tan 2B =．所以tan 2tan 2A B ==+．16．【解析】(1)∵a ·b ＝(cos α，sin α)·(cosβ，sin β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝cos(α－β)， ① a ·c ＝(cos α，sin α)·(12，－12) ＝12cos α－12sinα＝14， ② 又∵0＜α＜2π，0＜β＜2π， ∴－2π＜α－β＜2π. 由①得α－β＝±4π，由②得α＝6π. 由α、β为锐角，∴β＝512π. 从而2β－α＝23π. (2)由a ＝b ＋c 可得1cos cos ,21sin sin ,2βαβα⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩③ ④ ③2＋④2得cosα－sinα＝１２， ∴2sinαcosα＝３４. 又∵222sin cos sin cos sin cos αααααα=+２=22tan 3tan 14αα=+， ∴3tan 2α－8tanα＋3＝0.又∵α为锐角，∴tanα＞0，∴tan α=＝43±.。
新人教版数学必修4练习：两角和与差的正弦、余弦、正切公式
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式课后篇巩固探究基础巩固1.已知a =(2sin 35°,2cos 35°),b =(cos 5°,-sin 5°),则a ·b =( )A.12B.1C.2D.2sin 40°·b =2sin 35°cos 5°-2cos 35°sin 5°=2sin(35°-5°)=2sin 30°=1.2.若sin (π6-α)=cos (π6+α),则tan α=( ) A.-1B.0C.12D.1由已知得12cos α-√32sin α=√32cos α-12sin α,因此1-√32sin α=√3-12cos α,于是tan α=-1.3.若tan(α+β)=25,tan(α-β)=14,则tan 2α=( ) A.16B.2213C.322D.1318α=tan [(α+β)+(α-β)]=tan (α+β)+tan (α-β)1-tan (α+β)tan (α-β)=25+141-25×14=1318.4.sin(θ+75°)+cos(θ+45°)-√3cos(θ+15°)的值等于 ( )A.±1B.1C.-1D.0=sin [(θ+45°)+30°]+cos(θ+45°)-√3cos [(θ+45°)-30°]=√32sin(θ+45°)+12cos(θ+45°)+cos(θ+45°)-√3[√32cos (θ+45°)+12sin (θ+45°)] =√32sin(θ+45°)+32cos(θ+45°)-32cos(θ+45°)-√32sin(θ+45°)=0.5.设α∈(0,π2),β∈(0,π2),且tan α=1+sinβcosβ,则( ) A.3α-β=π2 B.3α+β=π2 C.2α-β=π2D.2α+β=π2tan α=1+sinβcosβ,得sinαcosα=1+sinβcosβ,得sin αcos β-cos αsin β=cos α,sin(α-β)=sin (π2-β).又α∈(0,π2),β∈(0,π2), 故α-β=π2-β,即2α-β=π2.6.化简:sin (α-150°)+cos (α-120°)cosα=.=sinαcos150°-cosαsin150°+cosαcos120°+sinαsin120°cosα=-√32sinα-12cosα-12cosα+√32sinαcosα=-1.17.已知锐角α,β满足(tan α-1)(tan β-1)=2,则α+β的值为 .(tan α-1)(tan β-1)=2,所以tan α+tan β=tan αtan β-1. 因此tan(α+β)=tanα+tanβ1-tanαtanβ=-1,因为α+β∈(0,π),所以α+β=3π4.8.已知α∈(0,π2),tan α=2,则cos (α-π4)= .tan α=2,得sin α=2cos α.又sin 2α+cos 2α=1,α∈(0,π2),∴cos α=√55,sin α=2√55.∴cos (α-π4)=cos αcos π4+sin αsin π4=√55×√22+2√55×√22=3√1010.9.tan 23°+tan 37°+√3tan 23°tan 37°的值是 .tan 60°=√3=tan23°+tan37°1-tan23°tan37°,∴tan 23°+tan 37°=√3−√3tan 23°tan 37°, ∴tan 23°+tan 37°+√3tan 23°tan 37°=√3.√3 10.化简求值:(1)sin(α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β);(2)cos(70°+α)sin(170°-α)-sin(70°+α)cos(10°+α); (3)cos 21°·cos 24°+sin 159°·sin 204°.原式=sin(α+β+α-β)=sin 2α.(2)原式=cos(70°+α)sin(10°+α)-sin(70°+α)cos(10°+α) =sin [(10°+α)-(70°+α)]=sin(-60°)=-√32.(3)原式=cos 21°cos 24°+sin(180°-21°)sin(180°+24°)=cos 21°cos 24°-sin 21°sin 24° =cos(21°+24°)=cos 45°=√22.11.已知cos α=-√55,tan β=13,π<α<3π2,0<β<π2,求α-β的值.cos α=-√55,π<α<3π2,得sin α=-2√55,tan α=2,又tan β=13,于是tan(α-β)=tanα-tanβ1+tanαtanβ=2-131+2×13=1.又由π<α<3π2,0<β<π2,可得-π2<-β<0,π2<α-β<3π2,因此α-β=5π4.cos α=-√55,π<α<3π2,得sin α=-2√55.由tan β=13,0<β<π2, 得sin β=√10,cos β=√10. 所以sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β =(-2√55)×√10−(-√55)×(√10)=-√22. 又由π<α<3π2,0<β<π2,可得-π2<-β<0,π2<α-β<3π2,因此,α-β=5π4.能力提升1.已知α∈(-π2,3π2),tan (α-π4)=-3,则sin α=( )A.√55B.-√55C.2√55D.±√55α=tan [(α-π4)+π4]=tan (α-π4)+tan π41-tan (α-π4)tan π4=-12,因为α∈(π2,3π2), 所以α∈(π2,π),故sin α=√5=√55.2.设α,β都为锐角,且cos α=√55,sin(α+β)=35,则sin β等于( )A.2√525B.11√525C.√55D.-√55或11√525α为锐角,cos α=√55,∴sin α=2√55.∵α,β都为锐角,∴0<α+β<π. ∵sin(α+β)=35,∴cos(α+β)=±45.当cos(α+β)=-45时,sin β=sin[(α+β)-α] =sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α =35×√55+45×2√55=11√525;当cos(α+β)=45时,sin β=sin[(α+β)-α] =sin(α+β)cos α-cos(α+β)sin α =35×√55−45×2√55=-√55,与已知β为锐角矛盾.∴sin β=11√525.3.若将函数f (x )=sin 2x+cos 2x 的图象向右平移φ个单位长度,所得图象关于y 轴对称,则φ的最小正值是 ( )A.π8 B.π4C.3π8D.3π4f (x )=sin 2x+cos 2x=√2sin (2x +π4),将其图象向右平移φ个单位长度,得函数y=√2sin [2(x -φ)+π4]=√2sin (2x -2φ+π4)的图象,要使图象关于y 轴对称,则π4-2φ=π2+k π,解得φ=-π8−kπ2,当k=-1时,φ取最小正值3π8.4.已知cos(α+β)=45,cos(α-β)=-45,则cos αcos β= .cos αcos β-sin αsin β=45,cos αcos β+sin αsin β=-45,两式相加得2cos αcos β=0,故cos αcos β=0.5.已知△ABC 中,√3tan A tan B-tan A-tan B=√3,则C 的大小为 .,tanA+tanB1-tanAtanB =-√3,即tan(A+B )=-√3,又0<A+B<π,所以A+B=2π3,故C=π-A-B=π3.6.已知α,β均为锐角,且tan β=cosα-sinαcosα+sinα,求tan(α+β)的值.β=cosα-sinαcosα+sinα=1-tanα1+tanα=tan (π4-α),因为α,β均为锐角,所以-π4<π4-α<π4,0<β<π2, 又y=tan x 在(-π2,π2)上是单调函数,所以β=π4-α,即α+β=π4,tan(α+β)=1. 7.已知向量a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β),|a -b |=25√5.(1)求cos(α-β)的值;(2)若-π2<β<0<α<π2,且sin β=-513,求sin α的值.∵a =(cos α,sin α),b =(cos β,sin β),∴|a |=|b |=1,∴|a -b |2=a 2-2a ·b +b 2=1+1-2(cos αcos β+sin αsin β)=2-2cos(α-β).又∵|a -b |=25√5, ∴|a -b |2=2-2cos(α-β)=45, ∴cos(α-β)=35.(2)∵-π2<β<0<α<π2,∴0<α-β<π,由cos(α-β)=35可得sin(α-β)=45,由sin β=-513,可得cos β=1213,∴sin α=sin [(α-β)+β]=sin(α-β)cos β+cos(α-β)sin β =45×1213+35×(-513)=3365. 8.已知函数f (x )=√22(cos x-sin x )sin (π4+x)-2a sin x+b (a>0)有最大值1和最小值-4,求a ,b 的值.(x )=√22(cos x-sin x )sin (π4+x)-2a sin x+b=12(cos 2x-sin 2x )-2a sin x+b=12(1-2sin 2x )-2a sin x+b=-(sinx+a )2+12+a 2+b.当a ≥1时,f (x )的最小值等于f (π2),最大值等于f (-π2),依题意得{-2a +b -12=-4,2a +b -12=1,解得a=54,b=-1.当0<a<1时,依题意可得{-2a +b -12=-4,12+a 2+b =1, 解得a=√5-1(舍去)或a=-√5-1(舍去). 综上可得a=54,b=-1.。
两角和与差正弦-余弦-正切公式试题
7. 已知角 的终边经过点 P3a,4aa 0 则 sin 2
2 的值等于______. 5 5 1 2 sin cos 1 9.已知 tan ，则 2 2 sin cos 2
.
8. log4 cos log4 cos
两角和、差的正弦、余弦、正切测验题
班级
学号
姓名
得分
.
一、选择题(本大题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。) 1. ( ) A.0 D.
1 2
cos 24o cos 36o cos 66o cos 54o
的
值
等
于
B.
1 2
C.
3 2
2. 在 △ ABC 中 ， 如 果 sinA=2sinCcosB. 那 么 这 个 三 角 形 是 ( ) A.锐角三角形 等边三角形 3. 已 知
10.函数 y 2 x 2 ( x 2) 的反函数是
。
三、解答题(本大题共 3 小题，共 35 分.解答应写出文字说明、证明 过程或演算步骤) 11.( 本 小 题 满 分 10 分 ) 已 知
4 4 7 3 cos , cos , ,2 , , ， 5 5 4 4
1 3
A. a n 34 8n
D. a n 162 ( ) n
1 3
二、填空题(本大题共 5 小题，每小题 8 分，共 40 分)
6.化简 cos 2 x cos x sin 2 x sin x ______.
1 tan 21 1 tan 22 1 tan 23 1 tan 24
5.5.1两角和与差的正弦、余弦、正切公式训练案
年 月 日 主备人： 连茂彬 审核人： 马雪华 二备教师姓名： 马洪军第1页枣庄市第十八中学ZAOZHUANGSHIDISHIBAZHONGXUE高一年级 数学 学科问题式导学理想课堂训练案名称：5.5.1 两角和与差的正弦、余弦、正切公式班级： 姓名： 学号：_________________必做题组1．sin 40°cos 10°－sin 130°sin 10°等于( ) A ．－32 B.32 C ．－12 D.122．与1－tan 21°1＋tan 21°相等的是( )A ．tan 66°B ．tan 24°C ．tan 42°D ．tan 21° 3．(多选)已知cos α＝－45，则tan ⎝⎛⎭⎫π4－α等于( ) A ．－17 B ．－7 C.17D ．74．在△ABC 中，A ＝π4，cos B ＝1010，则sin C 等于( )A.255 B ．－255 C.55 D ．－555．函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3＋sin ⎝⎛⎭⎫x －π3，则f (x )的奇偶性为( ) A ．奇函数B ．偶函数C ．既是奇函数又是偶函数D ．非奇非偶函数6.(多选)cos α－3sin α化简的结果可以是( ) A.12cos ⎝⎛⎭⎫π6－α B ．2cos ⎝⎛⎭⎫π3＋α C.12sin ⎝⎛⎭⎫π3－α D ．2sin ⎝⎛⎭⎫π6－α 7．若α是锐角，且满足sin ⎝⎛⎭⎫α－π6＝13，则cos α的值为( ) A.26＋16 B.26－16 C.23＋14 D.23－148.sin 15°－cos 15°sin 15°＋cos 15°＝________.9．已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________. 10．已知sin α＋cos αsin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.11．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝45，β是第三象限角，求sin ⎝⎛⎭⎫β＋π4的值． 选做题12．在△ABC 中，如果sin A ＝2sin C cos B ，那么这个三角形是( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形D ．等边三角形12．计算：(tan 10°－3)·cos 10°sin 50°＝________.13．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4 等于( )A.1318B.1322C.322D.31814．若α＋β＝3π4，则(1－tan α)·(1－tan β)等于( )A. 3 B ．2 C ．1＋ 2 D ．不确定 15．已知tan ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝2，tan β＝12. (1)求tan α的值； (2)求sin (α＋β)－2sin αcos β2sin αsin β＋cos (α＋β)的值．。
两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式检测题与详解答案
两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式检测题与详解答案A 级——保大分专练1．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝( ) A ．1 B.12C.32D ．－12解析：选B sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝sin 45°·cos 15°＋(－cos 45°)sin 15°＝sin(45°－15°)＝sin 30°＝12.2．若2sin x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1，则cos 2x ＝( ) A ．－89B ．－79C.79D ．－725解析：选C 因为2sin x ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1，所以3sin x ＝1，所以sin x ＝13，所以cos 2x ＝1－2sin 2x ＝79.3．(2018·山西名校联考)若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－33，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＋cos α＝( ) A ．－223B ．±223C ．－1D ．±1解析：选 C cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＋cos α＝12cos α＋32sin α＋cos α＝32cos α＋32sin α＝ 3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π6＝－1.4．tan 18°＋tan 12°＋33tan 18°tan 12°＝( ) A. 3 B. 2 C.22D.33解析：选D ∵tan 30°＝tan(18°＋12°)＝tan 18°＋tan 12°1－tan 18°tan 12°＝33，∴tan 18°＋tan 12°＝33(1－tan 18°tan 12°)，∴原式＝33. 5．若α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，且3cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，则sin 2α的值为( )A ．－118B.118C ．－1718D.1718解析：选C 由3cos 2α＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α，可得3(cos 2α－sin 2α)＝22(cos α－sin α)，又由α∈⎝⎛⎭⎪⎫π2，π，可知cos α－sin α≠0，于是3(cos α＋sin α)＝22，所以1＋2sin αcos α＝118，故sin 2α＝－1718. 6．已知sin 2α＝13，则cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝( )A ．－13B.13C ．－23D.23解析：选D cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝1＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π22＝12＋12sin 2α＝12＋12×13＝23.7．已知sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋α＝12，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3的值为________．解析：由已知得cos α＝12，sin α＝－32，所以cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝12cos α＋32sin α＝－12.答案：－128．(2019·湘东五校联考)已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tan αtan β＝________.解析：因为sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，所以sin αcos β＋cos αsin β＝12，sin αcos β－cos αsin β＝13，所以sin αcos β＝512，cos αsin β＝112，所以tan αtan β＝sin αcos βcos αsin β＝5.答案：59．(2017·江苏高考)若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＝16，则tan α＝________. 解析：tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4tanπ4＝16＋11－16＝75.答案：7510．化简：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝________.解析：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝1－cos 70°2－12cos 10°sin 10°＝－12cos 70°12sin 20°＝－1.答案：－111．已知tan α＝2. (1)求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．解：(1)tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝tan α＋tanπ41－tan αtanπ4＝2＋11－2＝－3.(2)sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1 ＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α2cos 2α－11＝2sin αcos αsin 2α＋sin αcos α－2cos 2α＝2tan αtan 2α＋tan α－2＝2×222＋2－2＝1. 12．已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值； (2)求cos β的值．解：(1)∵α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴－π2<α－β<π2.又∵tan(α－β)＝－13<0，∴－π2<α－β<0.∴sin(α－β)＝－1010. (2)由(1)可得，cos(α－β)＝31010.∵α为锐角，且sin α＝35，∴cos α＝45.∴cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝45×31010＋35×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1010＝91050. B 级——创高分自选1．(2019·广东五校联考)若tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝4cos(2π－θ)，|θ|<π2，则tan 2θ＝________.解析：∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－θ＝4cos(2π－θ)，∴cos θsin θ＝4cos θ，又∵|θ|<π2，∴sin θ＝14，∴0<θ<π2，cos θ＝154，tan θ＝sin θcos θ＝115，从而tan 2θ＝2tan θ1－tan 2θ＝157. 答案：1572．(2018·江西新建二中期中)已知A ，B 均为锐角，cos(A ＋B )＝－2425，sin ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝35，则cos ⎝⎛⎭⎪⎫A －π3＝________.解析：因为A ，B 均为锐角，cos(A ＋B )＝－2425，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝35，所以π2<A ＋B <π，π2<B ＋π3<π，所以sin(A ＋B )＝1－cos2A ＋B ＝725，cos ⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝－ 1－sin 2⎝⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝－45， 可得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫A －π3＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤A ＋B⎝ ⎛⎭⎪⎫B ＋π3＝－2425×⎝ ⎛⎭⎪⎫－45＋725×35＝117125.答案：1171253．(2019·石家庄质检)已知函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π12，x ∈R. (1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4的值； (2)若cos θ ＝45，θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3的值．解：(1)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＋π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π6＝－12.(2)f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＋π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π4＝22(sin 2θ－cos 2θ)．因为cos θ＝45，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，所以sin θ＝35，所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝2425，cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝725，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ－π3＝22(sin 2θ－cos 2θ)＝22×⎝ ⎛⎭⎪⎫2425－725＝17250.。
第三章 第5节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第三章 第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式1.2cos10°－sin20°sin70°的值是 ( )A.12B.32C. 3D. 2 解析：原式＝2cos(30°－20°)－sin20°sin70°＝2(cos30°·cos20°＋sin30°·sin20°)－sin20°sin70°＝3cos20°cos20°＝ 3.答案：C2.2＋2cos8＋21－sin8的化简结果是 ( ) A ．4cos4－2sin4 B ．2sin4 C ．2sin4－4cos4 D ．－2sin4 解析：原式＝4cos 24＋2(sin4－cos4)2＝2|cos4|＋2|sin4－cos4|， ∵5π4＜4＜3π2，∴cos4＜0，sin4＜cos4. ∴原式＝－2cos4＋2(cos4－sin4)＝－2sin4. 答案：D3．(2010·辽宁模拟)已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝________.解析：∵tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，∴tan β＝1－tan α1＋tan α＝tan(π4－α)．又∵α、β均为锐角，∴β＝π4－α，即α＋β＝π4，∴tan(α＋β)＝tan π4＝1.答案：14.sin(π4－x )＝35，则sin2x 的值为 ( )A.725 B.1425 C.1625 D.1925解析：∵sin(π4－x )＝35∴22cos x －22sin x ＝22(cos x －sin x )＝35. ∴cos x －sin x ＝325. ∴(cos x －sin x )2＝1－sin2x ＝1825， ∴sin2x ＝725. 答案：A5．已知α为钝角，且sin(α＋π12)＝13，则cos(α＋5π12)的值为 ( ) A.22＋36 B.22－36 C ．－22＋36 D.－22＋36解析：∵α为钝角，且sin(α＋π12)＝13， ∴cos(α＋π12)＝－223， ∴cos(α＋5π12)＝cos[(α＋π12)＋π3]＝cos(α＋π12)cos π3－sin(α＋π12)sin π3＝(－223)·12－13·32＝－22＋36. 答案：C6．已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π4＝210，x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4. (1)求sin x 的值； (2)求sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3的值．解：(1)法一：因为x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4， 所以x －π4⎝⎛⎭⎫π4，π2，sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝1－cos 2⎝⎛⎭⎫x －π4＝7210.sin x ＝sin[⎝⎛⎭⎫x －π4＋π4]＝sin(x －π4)cos π4＋cos(x －π4)sin π4＝7210×22＋210×22＝45. 法二：由题设得22cos x ＋22sin x ＝210即cos x ＋sin x ＝15.又sin 2x ＋cos 2x ＝1，从而25sin 2x －5sin x －12＝0， 解得sin x ＝45或sin x ＝－35.因为x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，所以sin x ＝45. (2)因为x ∈⎝⎛⎭⎫π2，3π4，故cos x ＝－1－sin 2x ＝－1－⎝⎛⎭⎫452＝－35.sin2x ＝2sin x cos x ＝－2425，cos2x ＝2cos 2x －1＝－725.所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3＝sin2x cos π3＋cos2x sin π3＝－24＋7350.7.已知A 、B ( ) A.5π4 B.7π4 C.5π4或7π4 D.9π4解析：由已知可得cos A ＝－255，cos B ＝－31010，∴cos(A ＋B )＝cos A cos B －sin A sin B ＝22， 又∵π2A ＜π，π2＜B ＜π，∴π＜A ＋B ＜2π，∴A ＋B ＝7π4.答案：B8．在△ABC 中，3sin A ＋4cos B ＝6,4sin B ＋3cos A ＝1，则C 等于 ( ) A ．30° B ．150° C ．30°或150° D ．60°或120°解析：已知两式两边分别平方相加，得25＋24(sin A cos B ＋cos A sin B )＝25＋24sin(A ＋B )＝37， ∴sin(A ＋B )＝sin C ＝12，∴C ＝30°或150°.当C ＝150°时，A ＋B ＝30°，此时3sin A ＋4cos B ＜3sin30°＋4cos0°＝112，这与3sin A ＋4cos B ＝6相矛盾，∴C ＝30°. 答案：A9．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α、β，它们的终边分别与单位圆相交于A 、B 两点．已知A 、B 的横坐标分别为210，255.(1)求tan(α＋β)的值； (2)求α＋2β的值．解：(1)由已知条件及三角函数的定义可知，cos α＝210，cos β＝255.因α为锐角，故sin α ＞0，从而sin α＝1－cos 2α＝7210，同理可得sin β＝55.因此tan α＝7，tan β＝12. 所以tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β＝7＋121－7×123.(2)tan(α＋2β)＝tan[(α＋β)＋β]＝－3＋121－(－3)×12＝－1.又0＜α＜π2，0＜β＜π20＜α＋2β＜3π2，从而由tan(α＋2β)＝－1得α＋2β＝3π4.10.(2010·晋城模拟)已知向量a ＝(sin(α＋π6),1)，b ＝(4,4cos α－3)，若a ⊥b ，则sin(α＋4π3)等于 ( ) A ．－34 B ．－14 C.34 D.14解析：a ·b ＝4sin(α＋π6)＋4cos α－ 3＝23sin α＋6cos α－3＝43sin(α＋π3)－3＝0，∴sin(α＋π3)＝14.∴sin(α＋4π3)＝－sin(α＋π3)＝－14. 答案：B11．已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值为________．解析：∵cos(α－π6)＋sin α＝32cos α＋32sin α＝453，∴12cos α＋32sin α＝45， ∴sin(α＋7π6)＝－sin(α＋π6)＝－(32sin α＋12cos α) ＝－45答案：－4512．(文)已知点M (1＋cos2x,1)，N (1，3sin2x ＋a )(x ∈R ，a ∈R ，a 是常数)，设y ＝OM ON(O 为坐标原点)．(1)求y 关于x 的函数关系式y ＝f (x )，并求f (x )的最小正周期；(2)若x ∈[0，π2]时，f (x )的最大值为4，求a 的值，并求f (x )在[0，π2]上的最小值．解：(1)依题意得：O M ＝(1＋cos2x,1)，O N＝(1，3sin2x ＋a )， ∴y ＝1＋cos2x ＋3sin2x ＋a ＝2sin(2x ＋π6)＋1＋a .∴f (x )的最小正周期为π.(2)若x ∈[0，π2]，则(2x ＋π6)∈[π6，7π6，∴－12sin(2x ＋π6)≤1，此时y max ＝2＋1＋a ＝4，∴a ＝1， y min ＝－1＋1＋1＝1.(理)已知α、β为锐角，向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，c ＝(12，－12)．(1)若a·b ＝22，a·c ＝3－14，求角2β－α的值； (2)若a ＝b ＋c ，求tan α的值． 解：(1)∵a·b ＝(cos α，sin α)·(cos β，sin β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝cos(α－β)＝22， ① a·c ＝(cos α，sin α)·(12，－12)＝12cos α－12sin α＝3－14， ② 又∵0＜α＜π2，0＜β＜π2，∴－π2α－β＜π2由①得α－β＝±π4，由②得α＝π6.由α、β为锐角，∴β＝5π12.从而2β－α＝23π.(2)由a ＝b ＋c 可得⎩⎨⎧cos β＝cos α－12， ③sin β＝sin α＋12， ④③2＋④2得cos α－sin α＝12，∴2sin αcos α＝34.又∵2sin αcos α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝34， ∴3tan 2α－8tan α＋3＝0. 又∵α为锐角，∴tan α＞0， ∴tan α＝8±82－4×3×36＝8±286 ＝4±73.。
最新两角和与差的正弦余弦正切公式练习题(含答案)
两角和差的正弦余弦正切公式练习题一、选择题1．给出如下四个命题①对于任意的实数α和β，等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+恒成立； ②存在实数α，β，使等式βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=+能成立； ③公式=+)tan(βαβαβαtan tan 1tan ⋅-+an 成立的条件是)(2Z k k ∈+≠ππα且)(2Z k k ∈+≠ππβ；④不存在无穷多个α和β，使βαβαβαsin cos cos sin )sin(-=-； 其中假命题是（ ）A ．①②B ．②③C ．③④D ．②③④ 2．函数)cos (sin sin 2x x x y +=的最大值是（ ）A ．21+B ．12-C ．2D ． 2 3．当]2,2[ππ-∈x 时，函数x x x f cos 3sin )(+=的（ ） A ．最大值为1，最小值为－1 B ．最大值为1，最小值为21-C ．最大值为2，最小值为－2D ．最大值为2，最小值为－1 4．已知)cos(,32tan tan ,7)tan(βαβαβα-=⋅=+则的值 （ ）A ．21 B ．22 C ．22-D ．22±5．已知=-=+=-<<<αβαβαπαβπ2sin ,53)sin(,1312)cos(,432则 （ ）A ．6556B ．－6556C ．5665D ．－56656． 75sin 30sin 15sin ⋅⋅的值等于（ ）A ．43 B ．83 C ．81D ．41 7．函数)4cot()(,tan 1tan 1)(),4tan()(x x h x x x g x x f -=-+=+=ππ其中为相同函数的是 （ ）A ．)()(x g x f 与B ．)()(x h x g 与C ．)()(x f x h 与D ．)()()(x h x g x f 及与8．α、β、γ都是锐角，γβαγβα++===则,81tan ,51tan ,21tan 等于 （ ）A ．3π B ．4π C ．π65D ．π459．设0)4tan(tan 2=++-q px x 是方程和θπθ的两个根，则p 、q 之间的关系是（ ）A ．p+q+1=0B ．p －q+1=0C ．p+q －1=0D ．p －q －1=0 10．已知)tan(),sin(4sin ,cos βαβααβ++==则a 的值是（ ）A ．412--a aB ．－412--a aC ．214a a --±D ．412--±a a11．在△ABC 中，90C >，则B A tan tan ⋅与1的关系为（ ）A ．1tan tan >+B A B ．1tan tan <⋅B AC ．1tan tan =⋅B AD ．不能确定12． 50sin 10sin 70cos 20sin +的值是（ ）A ．41B ．23C ．21D ．43二、填空题（每小题4分，共16分，将答案填在横线上）13．已知m =-⋅+)sin()sin(αββα，则βα22cos cos -的值为 . 14．在△ABC 中，33tan tan tan =++C B A ，C A B tan tan tan 2⋅= 则∠B=.15．若),24cos()24sin(θθ-=+ 则)60tan( +θ= . 16．若y x y x cos cos ,22sin sin +=+则的取值范围是 . 三、解答题（本大题共74分，17—21题每题12分，22题14分） 17．化简求值：)34sin(x -π)36cos()33cos(x x +--⋅ππ)34sin(x +⋅π．18．已知 0βαβαcos ,cos ,90且 <<<是方程02150sin 50sin 222=-+- x x 的两根，求)2tan(αβ-的值.19．求证：yx xy x y x 22sin cos 2sin )tan()tan(-=-++．20．已知α，β∈（0，π）且71tan ,21)tan(-==-ββα，求βα-2的值.21．证明：xx xx x 2cos cos sin 22tan 23tan +=-.22．已知△ABC 的三个内角满足：A+C=2B ，B C A cos 2cos 1cos 1-=+求2cos CA -的值.两角和差的正弦余弦正切公式练习题参考答案一、1．C 2．A 3．D 4．D 5．B 6．C 7．C 8．B 9．B 10．D 11．B 12．A二、13．m 14．3π15．32-- 16．]214,214[-三、17．原式=)34cos()33sin()33cos()34sin(x x x x -----ππππ=462-．18．)4550sin(2)2150(sin 4)50sin 2(50sin 222 ±=---±=x ，12sin 95cos5,sin 5cos85,x x ∴====3275tan )2tan(+==- αβ．19．证：yx y x y x y x y x y x y x y x 2222sin sin cos cos )]()sin[()cos()sin()cos()sin(⋅-⋅-++=--+++=左=-=+-=yx xy x x x x 222222sin cos 2sin sin )sin (cos cos 2sin 右． 20．13tan ,tan(2)1,2.34ααβαβπ=-=-=-21．左==+=⋅=⋅-x x x x x x x x x x x x 2cos cos sin 22cos23cos sin 2cos 23cos 2sin23cos 2cos 23sin右．22．由题设B=60°，A+C=120°，设2CA -=α知A=60°+α， C=60°－α，22cos ,2243cos cos cos 1cos 12=-=-=+ααα即CA故222cos =-C A ．。
高一 两角和与差的余弦、正弦、正切公式知识点+例题+练习 含答案
1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β (C (α－β))cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β (C (α＋β))sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β (S (α－β))sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β (S (α＋β))tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β(T (α－β)) tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(T (α＋β)) 2．二倍角公式sin 2α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 3．公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)；(2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2； (3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π4. 【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( √ )(2)在锐角△ABC 中，sin A sin B 和cos A cos B 大小不确定．( × )(3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( × )(4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( √ )(5)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( √ )1．化简cos 40°cos 25°1－sin 40°＝ . 答案 2解析 原式＝cos 40°cos 25°1－cos 50°＝cos (90°－50°)cos 25°·2sin 25°＝sin 50°22sin 50°＝ 2. 2．若sin α＋cos αsin α－cos α＝12，则tan 2α＝ . 答案 34解析 由sin α＋cos αsin α－cos α＝12，等式左边分子、分母同除cos α得，tan α＋1tan α－1＝12，解得tan α＝－3， 则tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝34. 3．(2015·重庆改编)若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝ . 答案 17解析 tan β＝tan [(α＋β)－α]＝tan (α＋β)－tan α1＋tan (α＋β)tan α＝12－131＋12×13＝17. 4．(教材改编)sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝ .答案 22 解析 sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58°＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58°＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77°＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝22. 5．设α为锐角，若cos(α＋π6)＝45，则sin(2α＋π12)的值为 ． 答案 17250解析 ∵α为锐角，cos(α＋π6)＝45， ∴α＋π6∈⎝⎛⎭⎫π6，2π3，∴sin(α＋π6)＝35， ∴sin(2α＋π3)＝2sin(α＋π6)cos(α＋π6)＝2425， ∴cos(2α＋π3)＝2cos 2(α＋π6)－1＝725， ∴sin(2α＋π12)＝sin(2α＋π3－π4) ＝22[sin(2α＋π3)－cos(2α＋π3)]＝17250.题型一 三角函数公式的基本应用例1 (1)已知sin α＝35，α∈(π2，π)，则cos 2α2sin (α＋π4)＝ . (2)设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是 ．答案 (1)－75(2) 3 解析 (1)cos 2α2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos 2α－sin 2α2⎝⎛⎭⎫22sin α＋22cos α＝cos α－sin α，∵sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π， ∴cos α＝－45. ∴原式＝－75. (2)∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α，∴cos α＝－12， 又α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin α＝32，tan α＝－3， ∴tan 2α＝2tan α1－tan 2 α＝－231－(－3)2＝ 3. 思维升华 (1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．(1)若α∈(π2，π)，tan(α＋π4)＝17，则sin α＝ . (2)已知cos(x －π6)＝－33，则cos x ＋cos(x －π3)的值是 ． 答案 (1)35(2)－1 解析 (1)∵tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝17， ∴tan α＝－34＝sin αcos α， ∴cos α＝－43sin α. 又∵sin 2α＋cos 2α＝1，∴sin 2α＝925. 又∵α∈(π2，π)，∴sin α＝35. (2)cos x ＋cos(x －π3)＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋32sin x ＝3(32cos x ＋12sin x ) ＝3cos(x －π6)＝－1. 题型二 三角函数公式的灵活应用例2 (1)sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )·cos(110°－x )的值为 ． (2)求值：cos 15°＋sin 15°cos 15°－sin 15°＝ . 答案 (1)22(2) 3 解析 (1)原式＝sin(65°－x )·cos(x －20°)＋cos(65°－x )cos [90°－(x －20°)]＝sin(65°－x )cos(x －20°)＋cos(65°－x )sin(x －20°)＝sin [(65°－x )＋(x －20°)]＝sin 45°＝22. (2)原式＝1＋tan 15°1－tan 15°＝tan 45°＋tan 15°1－tan 45°tan 15°＝tan(45°＋15°)＝ 3.思维升华 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．公式的逆用和变形应用更能开拓思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力．(1)在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为 ．(2)函数f (x )＝2sin 2(π4＋x )－3cos 2x 的最大值为 ． 答案 (1)π4(2)3 解析 (1)由题意知：sin A ＝－2cos B ·cos C ＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ，在等式－2cos B ·cos C ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C 两边同除以cos B ·cos C 得tan B ＋tan C ＝－2，又tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C＝－1＝－tan A ，所以A ＝π4.(2)f (x )＝1－cos ⎣⎡⎦⎤2(π4＋x )－3cos 2x ＝sin 2x －3cos 2x ＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋1， 可得f (x )的最大值是3.题型三 角的变换问题例3 (1)设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β＝ . (2)已知cos(α－π6)＋sin α＝453，则sin(α＋7π6)的值是 ． 答案 (1)2525 (2)－45解析 (1)依题意得sin α＝1－cos 2α＝255， cos(α＋β)＝±1－sin 2(α＋β)＝±45. 又α，β均为锐角，所以0<α<α＋β<π，cos α>cos(α＋β)．因为45>55>－45， 所以cos(α＋β)＝－45. 于是cos β＝cos [(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45×55＋35×255＝2525. (2)∵cos(α－π6)＋sin α＝453， ∴32cos α＋32sin α＝453， 3(12cos α＋32sin α)＝453， 3sin(π6＋α)＝453， ∴sin(π6＋α)＝45，∴sin(α＋7π6)＝－sin(π6＋α)＝－45. 思维升华 (1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．(2)常见的配角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝(α＋β2)－(α2＋β)等． 若0＜α＜π2，－π2＜β＜0，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝33，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝ . 答案 539解析 cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋α－⎝⎛⎭⎫π4－β2 ＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋αcos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－β2， ∵0＜α＜π2，∴π4＜π4＋α＜3π4， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝223.又－π2＜β＜0，则π4＜π4－β2＜π2， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝63. 故cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝13×33＋223×63＝539.5．三角函数求值忽视角的范围致误典例 (1)已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，则cos(α＋β)的值为 ．(2)已知在△ABC 中，sin(A ＋B )＝23，cos B ＝－34，则cos A ＝ . 易错分析 (1)角α2－β，α－β2的范围没有确定准确，导致开方时符号错误． (2)对三角形中角的范围挖掘不够，忽视隐含条件，B 为钝角．解析 (1)∵0＜β＜π2＜α＜π， ∴－π4＜α2－β＜π2，π4＜α－β2＜π， ∴cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β＝53， sin ⎝⎛⎭⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2＝459，∴cos α＋β2＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭⎫α2－β ＝⎝⎛⎭⎫－19×53＋459×23＝7527， ∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1 ＝2×49×5729－1＝－239729. (2)在△ABC 中，∵cos B ＝－34， ∴π2＜B ＜π，sin B ＝1－cos 2B ＝74. ∵π2＜B ＜A ＋B ＜π，sin(A ＋B )＝23， ∴cos(A ＋B )＝－1－sin 2(A ＋B )＝－53， ∴cos A ＝cos [(A ＋B )－B ]＝cos(A ＋B )cos B ＋sin(A ＋B )sin B＝⎝⎛⎭⎫－53×⎝⎛⎭⎫－34＋23×74＝35＋2712. 答案 (1)－239729 (2)35＋2712温馨提醒 在解决三角函数式的求值问题时，要注意题目中角的范围的限制，特别是进行开方运算时一定要注意所求三角函数值的符号．另外，对题目隐含条件的挖掘也是容易忽视的问题，解题时要加强对审题深度的要求与训练，以防出错．[方法与技巧]1．巧用公式变形：和差角公式变形：tan x ±tan y ＝tan(x ±y )·(1∓tan x ·tan y )；倍角公式变形：降幂公式cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2， 配方变形：1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22， 1＋cos α＝2cos 2α2，1－cos α＝2sin 2α2. 2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．[失误与防范]1．运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升次、降次的灵活运用，要注意“1”的各种变通．2．在三角函数求值时，一定不要忽视题中给出的或隐含的角的范围．A 组 专项基础训练(时间：40分钟)1．cos 85°＋sin 25°cos 30°cos 25°＝ . 答案 12解析 原式＝sin 5°＋32sin 25°cos 25°＝sin (30°－25°)＋32sin 25°cos 25°＝12cos 25°cos 25°＝12. 2．若θ∈[π4，π2]，sin 2θ＝378，则sin θ＝ . 答案 34解析 由sin 2θ＝378和sin 2θ＋cos 2θ＝1得 (sin θ＋cos θ)2＝378＋1＝(3＋74)2， 又θ∈[π4，π2]，∴sin θ＋cos θ＝3＋74. 同理，sin θ－cos θ＝3－74，∴sin θ＝34. 3．若tan θ＝3，则sin 2θ1＋cos 2θ＝ . 答案3 解析 sin 2θ1＋cos 2θ＝2sin θcos θ1＋2cos 2θ－1＝tan θ＝ 3. 4．已知cos α＝－55，tan β＝13，π<α<32π，0<β<π2，则α－β的值为 ． 答案 54π 解析 因为π<α<32π，cos α＝－55，所以sin α＝－255，tan α＝2，又tan β＝13，所以tan(α－β)＝2－131＋23＝1，由π<α<32π，－π2<－β<0得π2<α－β<32π，所以α－β＝54π. 5．已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝ . 答案 322解析 因为α＋π4＋β－π4＝α＋β， 所以α＋π4＝(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4， 所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭⎫β－π41＋tan (α＋β)tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝322. 6.sin 250°1＋sin 10°＝ .答案 12解析 sin 250°1＋sin 10°＝1－cos 100°2(1＋sin 10°)＝1－cos (90°＋10°)2(1＋sin 10°)＝1＋sin 10°2(1＋sin 10°)＝12. 7．已知α、β均为锐角，且cos(α＋β)＝sin(α－β)，则tan α＝ . 答案 1解析 根据已知条件：cos αcos β－sin αsin β＝sin αcos β－cos αsin β，cos β(cos α－sin α)＋sin β(cos α－sin α)＝0，即(cos β＋sin β)(cos α－sin α)＝0.又α、β为锐角，则sin β＋cos β＞0，∴cos α－sin α＝0，∴tan α＝1.8．若tan θ＝12，θ∈(0，π4)，则sin(2θ＋π4)＝ . 答案 7210解析 因为sin 2θ＝2sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝2tan θtan 2θ＋1＝45， 又由θ∈(0，π4)，得2θ∈(0，π2)， 所以cos 2θ＝1－sin 22θ＝35， 所以sin(2θ＋π4) ＝sin 2θcos π4＋cos 2θsin π4＝45×22＋35×22＝7210. 9．已知cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π3－α＝－14，α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2. (1)求sin 2α的值；(2)求tan α－1tan α的值．解 (1)cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π3－α ＝cos ⎝⎛⎭⎫π6＋α·sin ⎝⎛⎭⎫π6＋α ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－14， 即sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－12. ∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α＋π3∈⎝⎛⎭⎫π，4π3， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝－32， ∴sin 2α＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π3 ＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3cos π3－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3sin π3＝12. (2)∵α∈⎝⎛⎭⎫π3，π2，∴2α∈⎝⎛⎭⎫2π3，π， 又由(1)知sin 2α＝12，∴cos 2α＝－32. ∴tan α－1tan α＝sin αcos α－cos αsin α＝sin 2α－cos 2αsin αcos α＝－2cos 2αsin 2α＝－2×－3212＝2 3. 10．已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若sin(α－β)＝－35，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求cos β的值． 解 (1)因为sin α2＋cos α2＝62， 两边同时平方，得sin α＝12. 又π2<α<π，所以cos α＝－32.(2)因为π2<α<π，π2<β<π， 所以－π<－β<－π2，故－π2<α－β<π2. 又sin(α－β)＝－35，得cos(α－β)＝45. cos β＝cos [α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×45＋12×⎝⎛⎭⎫－35 ＝－43＋310. B 组 专项能力提升(时间：20分钟)11．已知tan(α＋π4)＝12，且－π2<α<0，则2sin 2α＋sin 2αcos (α－π4)＝ . 答案 －255解析 由tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝12， 得tan α＝－13. 又－π2<α<0， 所以sin α＝－1010. 故2sin 2α＋sin 2αcos (α－π4)＝2sin α(sin α＋cos α)22(sin α＋cos α)＝22sin α ＝－255. 12．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α－sin αcos α－2cos 2α＝0，则tan ⎝⎛⎭⎫π3－α＝ . 答案 8－5311解析 ∵sin 2α－sin αcos α－2cos 2α＝0，cos α≠0，∴tan 2α－tan α－2＝0.∴tan α＝2或tan α＝－1，∵α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴tan α＝2， tan ⎝⎛⎭⎫π3－α＝tan π3－tan α1＋tan π3tan α ＝3－21＋23＝(3－2)(23－1)(23－1)(23＋1)＝8－5312－1＝8－5311. 13．已知cos 4α－sin 4α＝23，且α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝ . 答案 2－156解析 ∵cos 4α－sin 4α＝(sin 2α＋cos 2α)(cos 2α－sin 2α)＝cos 2α＝23， 又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴2α∈(0，π)，∴sin 2α＝1－cos 22α＝53， ∴cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝12cos 2α－32sin 2α ＝12×23－32×53＝2－156. 14．设f (x )＝1＋cos 2x 2sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ＋sin x ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4的最大值为2＋3，则常数a ＝ . 答案 ±3解析 f (x )＝1＋2cos 2x －12cos x＋sin x ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝cos x ＋sin x ＋a 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＋a 2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 ＝(2＋a 2)sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4. 依题意有2＋a 2＝2＋3， ∴a ＝±3.15．已知函数f (x )＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π8 ·⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π8－cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π8. (1)求函数f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π12，求函数f ⎝⎛⎭⎫x ＋π8的值域． 解 (1)函数f (x )＝1－2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π8[sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π8－cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π8] ＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋π8＋2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π8cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π8 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π2 ＝2cos 2x ，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π. (2)由(1)可知f ⎝⎛⎭⎫x ＋π8＝2cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4. 由于x ∈⎣⎡⎦⎤－π2，π12， 所以2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－3π4，5π12， 所以cos ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1， 则f ⎝⎛⎭⎫x ＋π8∈[－1，2]， 所以f ⎝⎛⎭⎫x ＋π8的值域为[－1，2]．。
三角恒等变换-知识点+例题+练习
两角和与差的正弦、余弦和正切基础梳理1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C (α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； (5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β；(6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．有关公式的逆用、变形等(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan_αtan_β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4. 4．函数f (α)＝a cos α＋b sin α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)或f (α)＝a 2＋b 2cos(α－φ)，其中φ可由a ，b 的值唯一确定． 两个技巧(1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝α＋β2－α－β2；α－β2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋β2－⎝ ⎛⎭⎪⎫α2＋β. (2)化简技巧：切化弦、“1”的代换等． 三个变化(1)变角：目的是沟通题设条件与结论中所涉及的角，其手法通常是“配凑”． (2)变名：通过变换函数名称达到减少函数种类的目的，其手法通常有“切化弦”、“升幂与降幂”等．(3)变式：根据式子的结构特征进行变形，使其更贴近某个公式或某个期待的目标，其手法通常有：“常值代换”、“逆用变用公式”、“通分约分”、“分解与组合”、“配方与平方”等．双基自测1．(人教A 版教材习题改编)下列各式的值为14的是( )． A ．2cos 2 π12－1 B ．1－2sin 275° C.2tan 22.5°1－tan 222.5°D ．sin 15°cos 15°2．(2011·福建)若tan α＝3，则sin 2αcos 2α的值等于( )． 3．已知sin α＝23，则cos(π－2α)等于( )． 4．(2011·辽宁)设sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋θ＝13，则sin 2θ＝( )．5．tan 20°＋tan 40°＋3tan 20° tan 40°＝________.考向一 三角函数式的化简【例1】►化简2cos 4x －2cos 2x ＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－x sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .[审题视点] 切化弦，合理使用倍角公式．三角函数式的化简要遵循“三看”原则：(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式；(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．【训练1】化简：(sin α＋cos α－1)(sin α－cos α＋1)sin 2α.考向二三角函数式的求值【例2】►已知0＜β＜π2＜α＜π，且cos⎝⎛⎭⎪⎫α－β2＝－19，sin⎝⎛⎭⎪⎫α2－β＝23，求cos(α＋β)的值．三角函数的给值求值，关键是把待求角用已知角表示：(1)已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．(2)已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余互补”关系．【训练2】 已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，sin α＝45，tan(α－β)＝－13，求cos β的值．考向三 三角函数的求角问题【例3】►已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，且0＜β＜α＜π2，求β.通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：①已知正切函数值，选正切函数；②已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦较好．【训练3】 已知α，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，且tan α，tan β是方程x 2＋33x ＋4＝0的两个根，求α＋β的值．考向四 三角函数的综合应用【例4】►(2010·北京)已知函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x .(1)求f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3的值；(2)求f (x )的最大值和最小值．高考对两角和与差的正弦、余弦、正切公式及二倍角公式的考查还往往渗透在研究三角函数性质中．需要利用这些公式，先把函数解析式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)的形式，再进一步讨论其定义域、值域和最值、单调性、奇偶性、周期性、对称性等性质．【训练4】 已知函数f (x )＝2sin(π－x )cos x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，π2上的最大值和最小值．三角函数求值、求角问题策略面对有关三角函数的求值、化简和证明，许多考生一筹莫展，而三角恒等变换更是三角函数的求值、求角问题中的难点和重点，其难点在于：其一，如何牢固记忆众多公式，其二，如何根据三角函数的形式去选择合适的求值、求角方法． 一、给值求值一般是给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题的关键在于“变角”，如α＝(α＋β)－β，2α＝(α＋β)＋(α－β)等，把所求角用含已知角的式子表示，求解时要注意角的范围的讨论．【示例】► (2011·江苏)已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π4＝2，则tan x tan 2x 的值为________．二、给值求角“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角．【示例】► (2011·南昌月考)已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．▲三角恒等变换与向量的综合问题两角和与差的正弦、余弦、正切公式作为解题工具，是每年高考的必考内容，常在选择题中以条件求值的形式考查．近几年该部分内容与向量的综合问题常出现在解答题中，并且成为高考的一个新考查方向．【示例】► (2011·温州一模)已知向量a ＝(sin θ，－2)与b ＝(1，cos θ)互相垂直，其中θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)求sin θ和cos θ的值；(2)若5cos(θ－φ)＝35cos φ，0＜φ＜π2，求cos φ的值．【课后训练】A 组 专项基础训练 (时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1． (2012·江西)若tan θ＋1tan θ＝4，则sin 2θ等于( )A.15B.14C.13D.122． (2012·大纲全国)已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝33，则cos 2α等于 ( ) A ．－53B ．－59C.59D.533． 已知α，β都是锐角，若sin α＝55，sin β＝1010， 则α＋β等于( )A.π4B.3π4C.π4和3π4D ．－π4和－3π44． (2011·福建)若α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，且sin 2α＋cos 2α＝14，则tan α的值等于 ( )A.22B.33C. 2D. 3二、填空题(每小题5分，共15分)5． cos 275°＋cos 215°＋cos 75°cos 15°的值等于________． 6.3tan 12°－3(4cos 212°－2)sin 12°＝________.7．sin α＝35，cos β＝35，其中α，β∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则α＋β＝____________.三、解答题(共22分) 8． (10分)已知1＋sin α1－sin α－1－sin α1＋sin α＝－2tan α，试确定使等式成立的α的取值集合．9． (12分)已知α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，且sin α2＋cos α2＝62. (1)求cos α的值；(2)若s in(α－β)＝－35，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，求cos β的值． ＝－32×45＋12×⎝⎛⎭⎫－35＝－43＋310.B 组 专项能力提升 (时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分)1． (2012·山东)若θ∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，sin 2θ＝378，则sin θ等于( )A.35B.45C.74D.342． 已知tan(α＋β)＝25，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，那么tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4等于( )A.1318 B.1322 C.322D.163． 当－π2≤x ≤π2时，函数f (x )＝sin x ＋3cos x 的( )A ．最大值是1，最小值是－1B ．最大值是1，最小值是－12C ．最大值是2，最小值是－2D ．最大值是2，最小值是－1二、填空题(每小题5分，共15分)4．已知锐角α满足cos 2α＝cos ⎝⎛⎭⎫π4－α，则sin 2α＝_______. 5．已知cos ⎝⎛⎭⎫π4－α＝1213，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，则cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝_________. 6． 设x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则函数y ＝2sin 2x ＋1sin 2x的最小值为________．三、解答题7． (13分)(2012·广东)已知函数f (x )＝2cos ⎝⎛⎭⎫ωx ＋π6(其中ω>0，x ∈R )的最小正周期为10π. (1)求ω的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫5α＋53π＝－65，f ⎝⎛⎭⎫5β－56π ＝1617，求cos(α＋β)的值．。
(完整版)两角和与差的正弦、余弦、正切经典练习题
两角和与差的正弦、余弦、正切一、两角和与差的余弦βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+βαβαβαsin sin cos cos )cos(+=-1、求值：（1） 15cos （2） 20802080sin sin cos cos +（3） 1013010130sin sin cos cos +（4）cos105°（5）sin75°（6）求cos75°cos105°＋sin75°sin105°（7）cos （A ＋B ）cosB ＋sin （A ＋B ）sinB ．（8） 29912991sin sin cos cos -2. （1）求证：cos （2π－α） ＝sin α．（2）已知sin θ＝1715，且θ为第二象限角，求cos （θ－3π）的值． （3）已知sin （30°＋α）＝，60°＜α＜150°，求cos α．3. 化简cos （36°＋α）cos （α－54°）＋sin （36°＋α）sin （α－54°）．4. 已知32=αsin ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππα,2，53-=βcos ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈23ππβ,，求)cos(βα+的值.5.已知1312-=αcos ，⎪⎭⎫ ⎝⎛∈23ππα,，求)cos(4πα+的值。
6. 已知α，β都是锐角，31=αcos ，51-=+)cos(βα，求βcos 的值。
7.在△ABC 中，已知sin A ＝53，cos B ＝135，求cos C 的值.二、两角和与差的正弦sin()sin cos cos sin αβαβαβ+=+sin()sin cos cos sin αβαβαβ-=-1利用和差角公式计算下列各式的值（1）sin 72cos 42cos 72sin 42︒︒-︒︒ （2）13cos sin 22x x -（3）3sin cos x x + （4）22cos 2sin 222x x -二、证明： )4cos(2)cos (sin 2)3()4sin(2sin cos )2()6sin(cos 21sin 23)1(ππθθθπααα-=++=++=+x x x3（1）已知3sin 5α=-，α是第四象限角，求sin()4πα-的值。
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(同步练习)
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（同步练习）一、和角与差角公式应用的规律两角和与差的正、余弦公式主要用于求值、化简、证明等三角变换，常见的规律如下：①配角的方法：通过对角的“合成”与“分解”，寻找欲求角与已知角的内在联系，灵活应用公式，如α=(α+β)-β,α=21(α+β)+21(α-β)等.②公式的逆用与变形公式的活用：既要会从左到右展开，又要会从右到左合并，还要掌握公式的变形.③“1”的妙用：在三角函数式中,有许多关于“1”的“变形”，如1=sin 2α+cos 2α，也有1=sin90°=tan45°等.二、备用习题1.在△ABC 中，sinAsinB<cosAcosB,则△ABC 是( )A.直角三角形B.钝角三角形C.锐角三角形D.等腰三角形 2.3cos 12π-sin 12π的值是( ) A.0 B.-2 C.2 D.23.在△ABC 中，有关系式tanA=BC C B sin sin cos cos --成立，则△ABC 为( ) A.等腰三角形 B.A=60°的三角形C.等腰三角形或A=60°的三角形D.不能确定4.若cos(α-β)=31,cosβ=43,α-β∈(0,2π),β∈(0,2π),则有( ) A.α∈(0,2π) B.α∈(2π,π) C.α∈(-2π,0) D.α=2π 5.求值：25cos 25sin 5cos 2-=_________ 6.若sinα·sinβ=1，则cosα·cosβ=____________7.已知cos(α+β)=31,cos(α-β)=51,则t anα·tanβ=___________ 8.求函数y=2sin(x+10°)+2cos(x+55°)的最大值和最小值.9.求tan70°＋tan50°-3tan50°tan70°的值.10.已知sinβ＝ｍ·sin （2α＋β）.求证：tan （α＋β）＝m m -+11tanα. 11.化简AB A sin )2sin(+-2cos(A+B). 12.已知5sinβ=sin(2α+β).求证：2tan(α+β)=3tanα.13.(2007年高考湖南卷,16) 已知函数f(x)=1-2sin 2(x+8π)+2sin(x+8π)cos(x+8π).求: (1)函数f(x)的最小正周期;(2)函数f(x)的单调增区间.参考答案：1.B2.C3.C4.B5.36.07.41- 8.∵y=2sin(x+10°)+2cos ［(x+10°)+45°］=2sin(x+10°)+cos(x+10°)-sin(x+10°)=sin(x+10°)+cos(x+10°) =2cos ［(x+10°)+45°］ =2cos(x+55°),又∵-1≤sin(x+55°)≤1,∴当x+55°=k·360°-90°,即x=k·360°-145°(k ∈Z)时，y min =-2;当x+55°=k·360°+90°,即x=k·360°+35°(k ∈Z)时，y max =2.9.原式＝tan （70°＋50°）（1-tan70°tan50°）-3tan50°tan70°＝-3（1-tan70°tan50°）-3tan50°tan70°＝-3＋3tan70°tan50°-3tan50°tan70° ＝-3.∴原式的值为-3.10.证明：由sinβ＝ｍsin （2α＋β）sin ［（α＋β）-α］＝ｍsin ［（α＋β）＋α］sin （α＋β）cosα-cos （α＋β）sinα=m ［sin （α＋β）cosα＋cos （α＋β）sinα］（1-ｍ）·sin （α＋β）cosα=（1＋ｍ）·cos （α＋β）sinαtan （α＋β）＝mm -+11tanα. 点评：仔细观察已知式与所证式中的角，不要盲目展开，要有的放矢，看到已知式中的2α＋β可化为结论式中的α＋β与α的和，不妨将α＋β作为一个整体来处理.此方法是综合法，利用综合法证明恒等式时，必须有分析的基础，才能顺利完成证明.11.原式=AA B A A B A A A B A A B A sin sin )cos(cos )sin(sin sin )cos(2])sin[(+-+=+-++ =.sin sin sin ])sin[(A B A A B A =-+ 点评：本题中三角函数均为弦函数，所以变换的问题只涉及角.一般来说，三角函数式的化简问题首先考虑角，其次是函数名，再次是代数式的结构特点.12.∵β=(α+β)-α，2α+β=(α+β)+α，∴5sin ［(α+β)-α］=sin ［(α+β)+α］,即5sin(α+β)cosα-5cos(α+β)sinα=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα.∴2sin(α+β)cosα=3cos(α+β)sinα.∴2tan(α+β)=3tanα.点评：注意到条件式的角是β和2α+β，求证式中的角是α+β和α，显然“不要”的角β和2α+β应由要保留下来的角α+β与α来替代.三角条件等式的证明，一般是将条件中的角（不要的）用结论式中的角（要的）替代，然后选择恰当的公式变形.三角变换中经常要化复角为单角，化未知角为已知角.因此，看准角与角的关系十分重要.哪些角消失了，哪些角变化了，结论中是哪些角，条件中有没有这些角，在审题中必须对此认真观察和分析.常见的变角方式有：α=(α+β)-β,2α=(α+β)+(α-β),2α-β=(α-β)+α当然变换形式不唯一，应因题而异，要具体问题具体分析. 13.f(x)=cos(2x+4π)+sin(2x+4π) =2sin(2x+4π+4π) =2sin(2x+2π) =2cos2x.(1)函数f(x)的最小正周期是T=22π=π; (2)当2kπ-π≤2x≤2kπ,即kπ-2π≤x≤kπ(k ∈Z )时,函数f(x)=2cos2x 是增函数,故函数f(x)的单调递增区间是［kπ-2π,kπ］(k ∈Z ).。