中值定理构造函数
罗尔中值定理构造函数
罗尔中值定理构造函数罗尔中值定理构造函数是一个非常重要的数学定理，它与微积分密切相关，可以用于解决许多实际问题。
下面就从定义、意义和构造函数等方面来探讨一下这一定理。
一、罗尔中值定理的定义罗尔中值定理是微积分中的一个定理。
它表述如下：如果函数f(x)在[a,b]上连续，且在(a,b)内可导，那么在(a,b)内至少存在一点c，满足f'(c)=0。
其中，a,b,c是任意三个实数，a<b。
f'(c)表示f(x)在c点的导数。
二、罗尔中值定理的意义罗尔中值定理是微积分中的一个基本定理，它告诉我们，当一个函数在一个有限区间内满足一定的条件时，它在这个区间内会有一个点的导数为0。
这个点可以用来刻画函数在这个区间内的一些特性或性质。
比如说，如果函数的导数恒为正，则该函数在这个区间内是递增的；如果导数恒为负，则该函数在这个区间内是递减的；如果导数为0，则可以说明这个函数在这个点上取得了局部最值。
三、罗尔中值定理构造函数我们可以利用罗尔中值定理来构造一些函数，这些函数的一些特性或性质可以利用罗尔中值定理来证明。
例如，我们可以构造一个满足下列条件的函数：(1) 在区间[-1,1]上连续；(2) 在(-1,1)内可导；(3) 在端点处取值相等，即f(-1)=f(1)；(4) 在(-1,1)内的导数恒为正。
我们可以构造这样一个函数： f(x)=a(x+1)^2+b(x-1)^2。
其中a,b是待定系数。
我们可以先求出f(-1)和f(1)：f(-1)=a(0)^2+b(-2)^2=4b。
f(1)=a(2)^2+b(0)^2=4a。
根据条件(3)，我们可以得到4b=4a，即b=a。
因此，我们可以用f(x)=a(x+1)^2+a(x-1)^2来表示f(x)。
接下来，我们可以求出f(x)在(-1,1)内的导数：f'(x)=2a(x+1)+2a(x-1)=4ax由于a>0，因此f'(x)>0。
中值定理构造辅助函数的方法
中值定理构造辅助函数的方法
中值定理是微积分中重要的定理之一，它是用来描述凸函数的性质的。
在构造辅助函数时，我们可以使用中值定理来简化问题或某些证明。
具体方法如下：
1. 构造辅助函数：根据问题的特点，构造一个合适的辅助函数。
辅助函数的选择要根据具体问题来决定，可以是原函数的导数，原函数的积分等。
2. 应用中值定理：利用构造的辅助函数应用中值定理来得到有关函数的性质。
中值定理通常有两种形式：拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
具体选择哪个中值定理要根据辅助函数的性质和问题的要求来决定。
3. 利用中值定理的结论解决问题：根据中值定理的结论，进一步推导出问题的解决方法或者证明某些性质。
需要注意的是，构造辅助函数和应用中值定理需要根据具体的问题进行判断和分析。
不同的问题可能需要不同的辅助函数和中值定理形式来求解或证明。
因此，在使用中值定理构造辅助函数的时候，需要根据问题的特点灵活运用。
高等数学 第3章 第一节 中值定理
（函数
即
6
,
y
5
6
ln sin x
是 y
是初等函数， 且当
x
6
ln sin x 定义域内的一部分；
,
5
6
时，cossixn
y'
sin x
x
0,
cot x.)
且ln s in
lnsin 5
ln 1 .
6
62
令 y' cos x cot x 0, sin x
得 x , 5 .
F(b) F(a)
( x) 满足罗尔定理的全部条件，且：
'(x) f '(x) f (b) f (a) F '(x)
F(b) F(a)
Y F , f Fb, f b
C•
•B
由罗尔定理，至少存在一点 ∈（a，b） ，
即：
使
f
'( )
'( ) 0,
f (b) f (a) F '( ) 0
即 1、 2、 3都是方程 f 'x 0 的根。 注意到 f ' x 0 为三次方程， 它最多有三个根。
我们已经找到它的三个实根
1、 2、 3 ,
所以这三个根就是方程
f 'x 0 的全部根。
14
例3 证明当x 0时， x ln1 x x
1 x
证 设f x ln1 x, 显然，函数 f x 在 0, x 上满足
f (b) f (a)
O a
bx
结论等价于： f f b f a
ba
或： f f b f a 0
ba
AB的方程为：
由微分中值定理构造函数
2.期刊论文 王耀富.WANG Yao-fu 微积分在求数列前n项和中的应用 -西南师范大学学报（自然科学版） 2008,33(4)
求数列的前n项和问题无通用的解决办法,在教学过程中通过一些实例介绍求数列前n项和的导数法、极限法、积分法、代换法、复分析法、构造函 数法显得十分必要和重要.
3.期刊论文 袁顺芬 在教学中应用构造函数的思想证明不等式 -康定民族师范高等专科学校学报2003,12(4)
参考文献： ［!］ ［"］ ［#］ ［@］ ［:］ 滕桂兰， 杨万禄A《 高等数学》 ［ B］ A天 津： 天津大学出版社， ";;;A
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由微分中值定理构造函数
作者： 作者单位： 刊名： 英文刊名： 年，卷(期)： 被引用次数： 孟祥云， 王恩亮， MENG Xiang-yun， WANG En-liang 孟祥云,MENG Xiang-yun(河北理工大学)， 王恩亮,WANG En-liang(河北能源职业技术学院 ,河北,唐山,063000) 河北能源职业技术学院学报 JOURNAL OF HEBEI ENERGY INSTITUTE OF VOCATION AND TECHNOLOGY 2005，5(2) 0次
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数学分析简明教程答案数分5_微分中值定理及其应用
壹第五章微分中值定理及其应用第一节微分中值定理331231.(1)30()[0,1];(2)0(,,),;(1)[0,1]30[0,1]()3nx x c c x px q n p q n n x x c x x f x x x c证明：方程为常数在区间内不可能有两个不同的实根方程为正整数为实数当为偶数时至多有两个实根当为奇数时,至多有三个实根。
证明：设在区间内方程有两个实根,即有使得函数值为零012023(,)[0,1],'()0.'()33(0,1)(3,0)30()[0,1] (2)2220nx x x f x f x x x x c c n n k x px q x 。
那么由罗尔定理可知存在使得 但是在内的值域为是不可能有零点的,矛盾。
因此有:方程为常数在区间内不可能有两个不同的实根。
当时,方程至多只可能有两个实根,满足所证。
当时,设方程有三个实根,即存在实数1230112022301021010110202()0(,),(,),'()'()0,'()0(*'()0n n n x x f x x px q x x x x x x f x f x f x nx p f x nx p使得函数成立。
那么由罗尔定理可知存在使得即0010220000102),(,),''(0)0,''()(1)0,0,0,0.2(*).212n nx x x f f x n n x x x x n k p n n k x px q 再次利用罗尔定理可以知道,存在使得即显然必有那么就有 那么由于为偶数,可以知道此时不存在满足式的实数因此当为偶数时方程至多有两个实根。
当时,设方程1234111212231334111213111110()0(,),(,),(,)'()0,'()0,'()0,'()0'(nn x x x x f x x px q x x x x x x x x x f x f x f x f x nx p f x 有三个实根,即存在实数使得函数成立。
运用中值定理证题时构造辅助函数的三种方法
运用中值定理证题时构造辅助函数的三种方法微分中值定理应用中，怎么寻找辅助函数，是比较头疼的一件事。
今天笔者就介绍下三种方式帮忙寻找到这个函数。
首先声明：这三种方式也不是万能的，但对常见题目还是挺有帮助的，而且学霸们应该都知道这些方法，故慎入。
因此本文目的是向还没留意过这些方法的同学做普及，尤其是线下笔者所带的那些可爱的学生们。
至于还有些仗着自己有点学识就恨不得鄙视这个、鄙视那个，恨不得日天日地日地球的所谓学霸请自行绕道。
一、积分原函数法具体方法简述：将要证明的式子整理为φ(ξ)=0 （一般不包含分式），然后令 F′(ξ)=φ(ξ) ，对两边式子分别积分，则有 F(ξ)=∫φ(ξ)dξ，那么F(x)就是我们所求的辅助函数。
说白了，就是将所证明的表达式进行积分还原，如果能够还原成功，那么成功找到的这个F(x)就是我们苦苦寻找的辅助函数。
还不懂？没事，举两个例子。
例1：设f(x)、g(x)在[a,b]上连续，(a,b)内可导，且 g′(x)≠0 ，证明：在（a,b）存在ξ，使得 f(ξ)−f(a)g(b)−g(ξ)=f′(ξ)g′(ξ) 。
解析：这是非常常见的一道题。
估计即使做过了这道题，还有很多同学很迷惑，解答中的辅助函数到底是咋构建出来的。
其实利用原函数法，很容易就找到这个辅助函数了。
首先先所证明的分式整理成易观的式子，如下：F′(ξ)=g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)然后我们令：F′(ξ)=g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)好，对上式两边进行积分，如下：F(ξ)=∫g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)dξ=∫f(ξ)dg(ξ)+∫g(ξ)df(ξ)−f(a)g(ξ)−g(b)f(ξ)=f(ξ)g(ξ)−∫g(ξ)df(ξ)+∫g(ξ)df(ξ)−f(a)g(ξ)−g(b)f(ξ)=f(ξ)g(ξ)−f(a)g(ξ)−g(b)f(ξ)所以我们要寻找的辅助函数就为：F(x)=f(x)g(x)−f(a)g(x)−g(b)f(x)很容易验证：F(a)=F(b)=−f(a)g(b)于是根据罗尔定理，在(a,b)上存在一点ξ，使得 F′(ξ)=0 ，也就是：g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g′(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)=0整理便可得题目中的式子，因此原题得证。
关于中值定理中构造函数的方法
关于中值定理中构造函数的方法第一篇：关于中值定理中构造函数的方法关于中值定理中创立函数的方法(1)n先举个例子：已知f(x)在（0,1）可导，在[0,1]内连续。
而且f(1)=0.证明：存在§∈（0，1），使得nf(§)+§f´(§)=0.证明:设F(x)=xf(x)则F（0）=F（1）=0∴存在§使得F´（§）=0§∈（0，1）即：§n-1[nf(§)+§f´(§)]=0原式得证。
本题中函数的构造方法：将要证式子变形，f´(§)／f(§)=-n／§,两边取不定积分。
㏑|f(§)|=-n㏑§即§f(§)=1那么所构造函数即为F(x)=xf(x)nn第二篇：构造函数构造函数1.设f(x)，g(x)分别为定义在R上的奇函数和偶函数，当x<0时，f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0，且g(-3)=0，则不等式f(x)g(x)<0的解集为______.2.设f(x)是定义在R上的奇函数，且f(2)=0，当x>0时，有x⋅f'(x)-f(x)<0恒成立，则不等式x2f(x)>0的解集为__________.3.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x∈(-∞,0)时，有x⋅<0成立，若a=30.3⋅bf'(x)+f(x)13f(30.3)，b=(logπ3)⋅f(logπ3)，c=(log9)⋅f(log9)，则a、、c的大小关系为__________.f(x)，则当a>04.已知可导函数f(x)满足f'(x)>系为__________.时，f(a)与ea⋅f(0)的大小关5.若函数f(x)对任意的x∈R都有f'(x)>A.3f(ln2)>2f(ln3)f(x)成立，则__________.B.3f(ln2)=2f(ln3)C.3f(ln2)<2f(ln3)D.3f(ln2)与2f(ln3)的大小关系不确定6.设f(x)是R上的奇函数，且f(-1)=0，当x>0时，(x2+1)⋅f'(x)-2x⋅f(x)<0，则不等式f(x)>0的解集为__________.7.已知函数f(x)是定义在(0,+∞)的非负可导函数，且满足x⋅对任意正数a、b，若af'(x)+f(x)≤0，B.af(b)≥bf(a)C.af(a)≤f(b)D.bf(b)≤f(a)，8.已知f(x)与g(x)都是定义在R上的函数，g(x)≠0，f'(x)g(x)-f(x)=a⋅g(x)，xf(x)g'(x)<0f(1)g(1)+f(-1)g(-1)=.在有穷数列⎨⎧f(n)⎫⎬(n=1,2,Λ,10)中，前kg(n)⎩⎭项和为1516，则k=__________.第三篇：有关中值定理的证明题中值定理证明题集锦1、已知函数f(x)具有二阶导数，且limx→0f(x)=0，f(1)=0，试证：在区间(0,1)内至少x存在一点ξ，使得f''(ξ)=0.证：由limf(x)，由此又得=0=0，可得limf(x)=0，由连续性得f(0)x→0x→0xf(x)-f(0)f(x)f'(0)=lim=lim=0，由f(0)=f(1)=0及题设条件知f(x)在[0,1]x→0x→0x-0x上满足罗尔中值定理条件，因此至少存在一点 c∈(0,1)，使得f'(c)=0，又因为f'(0)=f'(c)=0，并由题设条件知f'(x)在[0,c]上满足拉格朗日中值定理的条件，由拉格朗日中值定理知，在区间(0,1)内至少存在一点ξ，使得f''(ξ)=0.2、设f(x)在[0,a]上连续，在(0,a)内可导，且f(a)=0，证明：存在一点ξ∈(0,a)，使得f(ξ)+ξf'(ξ)=0.证：分析：要证结论即为：[xf(x)]'x=ξ=0.令F(x)=xf(x)，则F(x)在[0,a]上连续，在(0,a)内可导，且F(0)=F(a)=0，因此故存在一点ξ∈(0,a)，使得F'(ξ)=0，F(x)=xf(x)在[0,a]上满足罗尔中值定理的条件，即f(ξ)+ξf'(ξ)=0.注1：此题可改为：设f(x)在[0,a]上连续，在(0,a)内可导，且f(a)=0，证明：存在一点ξ∈(0,a)，使得nf(ξ)+ξf'(ξ)=0.)ξnf'ξ(=)（0给分析：要证结论nf(ξ+)ξ'f(ξ=)等价于nξn-1f(ξ+nn-1n，而nξf(ξ)+ξf'(ξ)=0即为[xf(x)]'x=ξ=0.nf(ξ+)ξ'f(ξ=)两端同乘以ξn-1）故令F(x)=xf(x)，则F(x)在[0,a]上满足罗尔中值定理的条件，由此可证结论.注2：此题与下面例题情况亦类似：设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=0，∀x∈(0,1)，有f(x)≠0，证：n∀n∈N+，∃ξ∈(0,1)，使得nf'(ξ)f'(1-ξ)=成立.f(ξ)f(1-ξ)分析：要证结论可变形为nf'(ξ)f(1-ξ)-f(ξ)f'(1-ξ)=0，它等价于nfn-1(ξ)f'(ξ)f(1-ξ)-fn(ξ)f'(1-ξ)=0(给nf'(ξ)f(1-ξ)-f(ξ)f'(1-ξ)=0两端同乘以fn-1(ξ))，而nfn-1(ξf)'ξf(-ξ)-(fn1ξf')-ξ=(即)为(1)0[fn(x)-f'x=ξ1=(x，用罗尔中值定理)]0.以上三题是同类型题.3、已知函数f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内可导，且f(0)=f(1)=0，f()=1，证明：（1）存在一点ξ∈(,1)，使f(ξ)=ξ.（2）存在一点η∈(0,ξ)，使f'(η)=1.（3）存在一点x0∈(0,ξ)，使f'(x0)-1=λ(f(x0)-x0).证：（1）分析：要证结论即为：f(ξ)-ξ=0.12121211111显然F(x)在[,1]上连续，且F()=f()-=>0，F(1)=f(1)-1=-1<0，2222211因此F(x)在[,1]上满足零点定理的条件，由零点定理知，存在ξ∈(,1)，使F(ξ)=0，22令F(x)=f(x)-x，则只需证明F(x)在(,1)内有零点即可。
利用中值定理证明问题时辅助函数的几种构造方法
ｘ Ｘ ＋Ｃ ２ ｅ ｆ（ ） ＝ Ｃ ￣ ｅ
－
ｘ
得 到 厂 ） ＝
）
７ ，
２ ｃ ， ＝ ［ ， ） ＋ 厂 ） ］ ～ ， ２ Ｃ ２ ＝ ［ ） 一 ｆ ） ］ ｅ。 所 求 辅 助函 数 为： Ｆ ） ＝ ［ ） ＋ ／ ） ］ ｅ － Ｘ 或
（ ｂ ） － ｒ ２ ） ＝
即 兰
ｂ— — ａ
又设 ） ＝ ， 则由已 知 ） ＝ ｇ 在［ ， ６ ］ 上 二 、使 用 拉 格 朗 日定 理 时 用 “ 单 边 积 满足拉 格朗日 中 值定理条件， 所以 存在号 ∈ａ ， ６ ） ， 使 分法 ＂构 造辅 助 函数
的方法。
关键词 ：中值定理 ；构造 ；辅助函数
引言
在高等数学的学习过程 中，用 中值定理证 明问题 ， 是教师和学生都感到困难 的问题 。实际上 ，证 明的关键
是如何构造辅助函数 ，如果辅助 函数构造 出来 了，问题 也就证 明出来了。本人在教学过程中做了一些探讨 ，总
两 边积 分 得， － ａ ｌ ｎ （ ｂ － ｘ ） ＋ ｌ ｎ Ｃ ＝ ｌ ｎ ｆ （ ｘ ） ， 解 得 Ｃ ＝ （ ６ 一 厂 ） ，
从而得所求辅助函数为Ｆ ） ＝ （ ６ 一 ｘ ｙ ： （ ｘ ） 证设Ｆ ） ＝ — ｘ ｙ 厂 ） 。 因 为ｆ （ ） 在［ ａ ， ｂ 】 上
连 续 ，在 （ ａ ， ｂ ） 内可 导 ，其 中 ａ ＞ ０ Ｉ ￣ ｔ ｆ （ 口 ） ＝ ０ 。 所 以
结 了几种证明问题构造辅助 函数的方法 ，供教师和学生
∈ （ ｏ ， １ 、 ） ， 使 得 Ｆ ） ＝ ［ 厂 ） 一 厂 ） ］ 已 一 ＝ ｏ ， 即
求中值定理证明的几种构造函数的方法
求中值定理证明的几种构造函数的方法1 原函数法此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢，凑出适当的原函数作为辅助函数，主要思想分为四点1)将要证的结论中的换成；(2)通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式；(3)用观察法或积分法求出原函数（等式中不含导数符号），并取积分常数为零；(4)移项使等式一边为零，另一边即为所求辅助函数 . 例1:证明柯西中值定理分析:在柯西中值定理的结论中令，得，先变形为再两边同时积分得，令，有故为所求辅助函数. 例2:若, , ,…, 是使得的实数.证明方程在（0，1）内至少有一实根. 证:由于并且这一积分结果与题设条件和要证明的结论有联系，所以设（取），则 1）在[0，1]上连续 2）在（0，1）内可导 3） =0，故满足罗尔定理的条件，由罗尔定理，存在使，即亦即 . 这说明方程在（0，1）内至少有实根.2 积分法对一些不易凑出原函数的问题，可用积分法找相应的辅助函数. 例3:设在[1，2]上连续，在（1，2）内可导，， .证明存在使 . 分析:结论变形为，不易凑成 .我们将换为，结论变形为，积分得: ，即，从而可设辅助函数为，有 .本题获证. 例4:设函数，在上连续，在内可微， .证明存在，使得: . 证:将变形为，将换为，则，两边关于积分，得: ，所以，其中，由可得 .由上面积分的推导可知，为一常数，故其导数必为零，从整个变形过程知，满足这样结论的的存在是不成问题的.因而令，易验证其满足罗尔定理的条件，原题得证.3 几何直观法此法是通过几何图形考查两函数在区间端点处函数值的关系，从而建立适当的辅助函数. 例5:证明拉格朗日中值定理. 分析:通过弦两个端点的直线方程为，则函数与直线AB的方程之差即函数在两个端点处的函数值均为零，从而满足罗尔定理的条件故上式即为要做辅助函数. 例6:若在上连续且 .试证在内至少有一点，使 . 分析:由图可看出，此题的几何意义是说，连续函数的图形曲线必跨越这一条直线，而两者的交点的横坐标，恰满足 .进而还可由图知道，对上的同一自变量值，这两条曲线纵坐标之差构成一个新的函数，它满足 <0, >0,因而符合介值定理的条件.当为的一个零点时，恰等价于 .因此即知证明的关键是构造辅助函数 .4 常数k值法此方法构造辅助函数的步骤分为以下四点: 1）将结论变形，使常数部分分离出来并令为 . 2）恒等变形使等式一端为及构成的代数式，另一端为及构成的代数式. 3）观察分析关于端点的表达式是否为对称式.若是，则把其中一个端点设为，相应的函数值改为 . 4）端点换变量的表达式即为辅助函数 . 例7:设在上连续，在内可导，，试证存在一点，使等式成立. 分析:将结论变形为，令，则有，令，可得辅助函数 . 例8:设在上存在，在，试证明存在，使得 . 分析:令，于是有，上式为关于，，三点的轮换对称式，令（or: ，or: ），则得辅助函数 .5 分析法分析法又叫倒推法，就是从欲证的结论出发借助于逻辑关系导出已知的条件和结论. 例9:设函数在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，证明在（0，1）内存在一点，使得 . 分析:所要证的结论可变形为: ，即，因此可构造函数，则对与在[0，1]上应用柯西中值定理即可得到证明. 例10:设函数在[0,1]上连续，在（0，1）内可导，且 =0，对任意有 .证明存在一点使（为自然数）成立. 分析:欲证其成立，只需证由于对任意有，故只需证: 即，于是引入辅助函数（为自然数）. 例11:设函数在区间［0，+ ］上可导，且有个不同零点: .试证在[0，+ ]内至少有个不同零点.（其中，为任意实数）证明:欲证在[0，+ ）内至少有个不同零点，只需证方程 =0在[0，+ ]内至少有个不同实根. 因为，，，故只需证方程在内至少有个不同实根. 引入辅助函数，易验证在区间[ ]，[ ]，…，[ ]上满足罗尔定理的条件，所以，分别在这个区间上应用罗尔定理，得，其中且以上说明方程在[ ] [ ] … [ ] [0，+ ]内至少有个不同实根，从而证明了方程 =0在[0，+ ]内至少有个不同实根。
拉格朗日中值定理证明不等式的技巧
拉格朗日中值定理证明不等式的技巧为了证明不等式，我们可以利用拉格朗日中值定理来转化函数的性质。
以下是一些常见的技巧：1. 构造函数：我们可以人为地构造一个满足定理条件的函数。
例如，我们可以定义一个新函数g(x) = f(b) - f(a) - kf'(x)(b - a) ，其中k为一些常数。
然后，我们可以使用拉格朗日中值定理来证明不等式，即证明g(x)满足一些条件。
通过巧妙地选择k的值，我们可以得到需要的结果。
2.使用导数的性质：通过研究函数的导数，我们可以从函数的变化率中获得有关不等式的信息。
例如，如果我们证明了函数f(x)在[a,b]上的导数满足一些条件，比如导数大于零或导数单调递增，那么可以推断出函数在这个区间上是递增的，从而可以得到不等式。
若证明f'(x)>0,则有f(a)<f(b),即f(x)在[a,b]上是单调递增的函数。
3.利用函数的凸性与凹性：如果函数f(x)在一些区间上是凸函数，那么可以使用拉格朗日中值定理来证明不等式。
如果函数f(x)满足f''(x)≥0，那么我们可以通过证明f(b)-f(a)≥f'(c)(b-a)，其中c∈(a,b)，来得到所需的不等式。
4.最大最小值：如果函数在一些区间上的最大值或最小值发生在区间的端点上，那么可以利用拉格朗日中值定理来证明不等式。
通过假设函数的最大值或最小值在(a,b)之间的特定点c处达到，我们可以使用函数的导数来推导出不等式的限制条件。
5.二分法与中值的选择：在证明不等式时，我们可以应用二分法来选择合适的区间，并使用拉格朗日中值定理来证明不等式。
通过逐步缩小区间的范围，并选择合适的中值点，我们可以得到不等式的证明过程。
这些技巧只是在使用拉格朗日中值定理证明不等式时的一些常见方法和思路。
在具体的证明过程中，我们还需要根据不等式的具体形式和所给的条件灵活选择合适的方法。
同时，还需要注意在使用拉格朗日中值定理时，对函数和导数的要求，以及定理条件的合理性。
中值定理构造辅助函数
中值定理构造辅助函数微分中值定理证明中辅助函数的构造1 原函数法此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢，凑出适当的原函数作为辅助函数，主要思想分为四点：(1)将要证的结论中的ξ换成x ；(2)通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式；(3)⽤观察法或积分法求出原函数（等式中不含导数符号），并取积分常数为零；(4)移项使等式⼀边为零，另⼀边即为所求辅助函数()F x ．例1：证明柯西中值定理．分析：在柯西中值定理的结论()()'()()()'()f b f a f g b g a g ξξ-=-中令x ξ=，得()()'()()()'()f b f a f x g b g a g x -=-，先变形为()()'()'()()()f b f a g x f x g b g a -=-再两边同时积分得()()()()()()f b f ag x f x C g b g a -=+-，令0C =，有()()()()0()()f b f a f x g x g b g a --=-故()()()()()()()f b f a F x f xg x g b g a -=--为所求辅助函数．例2：若0a ,1a ,2a ,…,n a 是使得1200231n a a a a n ++++=+…的实数．证明⽅程20120n n a a x a x a x ++++=…在（0，1）内⾄少有⼀实根．证：由于2231120120()231n n n n a a a a a x a x a x dx a x x x x C n +++++=++++++?…… 并且这⼀积分结果与题设条件和要证明的结论有联系，所以设231120()231n n a a a F x a x x x x n +=+++++…（取0C =），则 1）()F x 在[0，1]上连续2）()F x 在（0，1）内可导3）(0)F =0， 120(1)0231n a a a F a n =++++=+… 故()F x 满⾜罗尔定理的条件，由罗尔定理，存在(0,1)ξ∈使'()0F ξ=，即231120()'0231n n x a a a a x x x x n ξ+=++++=+…亦即20120n n a a a a ξξξ++++=…．这说明⽅程20120n n a a x a x a x ++++=…在（0，1）内⾄少有实根x ξ=．2 积分法对⼀些不易凑出原函数的问题，可⽤积分法找相应的辅助函数．例3：设()f x 在[1，2]上连续，在（1，2）内可导，1(1)2f =，(2)2f =．证明存在(1,2)ξ∈使2()'()f f ξξξ=．分析：结论变形为'()2()0f f ξξξ-=，不易凑成'()0x F x ξ==．我们将ξ换为x ，结论变形为'()20()f x f x x -=，积分得：2()ln ()2ln ln ln f x f x x c x -==，即2()f x c x=，从⽽可设辅助函数为2()()f x F x x =，有1(1)(2)2F F ==．本题获证．例4：设函数()f x ，()g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可微，()()0f a f b ==．证明存在(,)a b ξ∈，使得：'() ()'()0f f g ξξξ+=．证：将'()()'()0f f g ξξξ+=变形为'()()'()f f g ξξξ=-?'()'()()f g f ξξξ=-，将ξ换为x ，则'()'()()f x g x f x =-，两边关于x 积分，得：'()'()()f x dx g dx f x ξ=-1[()][()]l n ()()()d f x d g x f x g x C f x =-?=-+??，所以()(())e x p ((f x e x pg x C g x C =-+=-e x p ((K g x =-，其中e x p ()K C =，由()(()f x K e x p g x =-可得()exp(())K f x g x =．由上⾯积分的推导可知，()exp(())f x g x 为⼀常数K ，故其导数必为零，从整个变形过程知，满⾜这样结论的ξ的存在是不成问题的．因⽽令()()exp(())F x f x g x =，易验证其满⾜罗尔定理的条件，原题得证．3 ⼏何直观法此法是通过⼏何图形考查两函数在区间端点处函数值的关系，从⽽建⽴适当的辅助函数．例5：证明拉格朗⽇中值定理．分析：通过弦AB 两个端点的直线⽅程为()()()()f b f a y f a x a b a-=+--，则函数()f x 与直线AB 的⽅程之差即函数()()()()[()()]f b f a F x f x f a x a b a -=-+--在两个端点处的函数值均为零，从⽽满⾜罗尔定理的条件故上式即为要做辅助函数．例6：若()f x 在[,]a b 上连续且(),()f a a f b b <>．试证在(,)a b 内⾄少有⼀点ξ，使()f ξξ=．分析：由图可看出，此题的⼏何意义是说，连续函数()y f x =的图形曲线必跨越y x =这⼀条直线，⽽两者的交点的横坐标ξ，恰满⾜()f ξξ=．进⽽还可由图知道，对[,]a b 上的同⼀⾃变量值x ，这两条曲线纵坐标之差()f x x -构成⼀个新的函数()g x ，它满⾜()g a <0,()g b >0,因⽽符合介值定理的条件．当ξ为()g x 的⼀个零点时，()0g ξ=恰等价于()f ξξ=．因此即知证明的关键是构造辅助函数()()g x f x x =-．4 常数k 值法此⽅法构造辅助函数的步骤分为以下四点：1）将结论变形，使常数部分分离出来并令为k ．2）恒等变形使等式⼀端为a 及()f a 构成的代数式，另⼀端为b 及()f b 构成的代数式． 3）观察分析关于端点的表达式是否为对称式．若是，则把其中⼀个端点设为x ，相应的函数值改为()f x ．4）端点换变量x 的表达式即为辅助函数()F x ．例7：设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，(0)a b <<，试证存在⼀点(,)a b ξ∈，使等式()()ln '()a f b f a f bξξ-=成⽴．分析：将结论变形为()()'()ln ln f b f a f b a ξξ-=-，令()()l n l nf b f a k b a -=-，则有()ln ()ln f b k b f a k a -=-，令b x =，可得辅助函数()()ln F x f x k x =-．例8：设''()f x 在[,]a b 上存在，在a c b <<，试证明存在(,)a b ξ∈，使得()()()1''()()()()()()()2f a f b f c f a b a c b a b c c a c b ξ++=------．分析：令()()()()()()()()()f a f b f c k a b a c b a b c c a c b ++=------，于是有()()()()()()b c f a a b f c c a f b k a b a c b c -+-+-=---，上式为关于a ，b ，c 三点的轮换对称式，令b x =（or ：c x =，or ：a x =），则得辅助函数()()()()()()()()()()F x x c f a a x f c c a f x k a x a c x c =-+-+-----．5 分析法分析法⼜叫倒推法，就是从欲证的结论出发借助于逻辑关系导出已知的条件和结论．例9：设函数()F x 在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，证明在（0，1）内存在⼀点C ，使得1(1)(0)()'()c c F F e e F C --=+-．分析：所要证的结论可变形为：11(1)(0)()'()'()c c c e F F e e F c F c e----=-=，即(1)(0)'()1c F F F c e e-=-，因此可构造函数()x G x e =，则对()F x 与()G x 在[0，1]上应⽤柯西中值定理即可得到证明．例10：设函数()f x 在[0,1]上连续，在（0，1）内可导，且(0)f =0，对任意(0,1)x ∈有()0f x ≠．证明存在⼀点(0,1)ξ∈使'()'(1)()(1)nf f f f ξξξξ-=-（n 为⾃然数）成⽴．分析：欲证其成⽴，只需证'()(1)'(1)()0nf f f f ξξξξ---=由于对任意(0,1)x ∈有()0f x ≠，故只需证：1(())'()(1)'(1)n n n f f f f f ξξξξξ----=即'[(())(1)]0n x f x f x ξ=-=，于是引⼊辅助函数()(())(1)n F x f x f x =-（n 为⾃然数）．例11：设函数()f x 在区间［0，+∞］上可导，且有n 个不同零点：120n x x x <<<<…．试证()'()af x f x +在[0，+∞]内⾄少有1n -个不同零点．（其中，a 为任意实数）证明：欲证()'()af x f x +在[0，+∞）内⾄少有1n -个不同零点，只需证⽅程()'()af x f x +=0在[0，+∞]内⾄少有1n -个不同实根．因为，[0,+)x ∈∞，ax e 0≠，故只需证⽅程ax e [()'()]0af x f x +=在[0,+)∞内⾄少有1n -个不同实根．引⼊辅助函数()()ax F x e f x =，易验证()F x 在区间[12,x x ]，[23,x x ]，…，[1,n n x x -]上满⾜罗尔定理的条件，所以，分别在这1n -个区间上应⽤罗尔定理，得121'()'()'()0n F F F ξξξ-====…，其中1122231(,),(,),(,)n n n x x x x x x ξξξ--∈∈∈…且1210n ξξξ-<<<<… 以上说明⽅程'()0F x =在[12,x x ][23,x x ]…[1,n n x x -]?[0，+∞]内⾄少有1n -个不同实根，从⽽证明了⽅程()'()af x f x +=0在[0，+∞]内⾄少有1n -个不同实根．6 待定系数法在⽤待定系数法时，⼀般选取所证等式中含ξ的部分为M ，再将等式中⼀个端点的值b 换成变量x ，使其成为函数关系，等式两端做差构造辅助函数()x ?，这样⾸先可以保证()b ?=0，⽽由等式关系()a ?=0⾃然满⾜，从⽽保证()x ?满⾜罗尔定理条件，再应⽤罗尔定理最终得到待定常数M 与'()f ξ之间的关系．例12：设()f x 是[,]a b 上的正值可微函数，试证存在(,)a b ξ∈，使()'()l n ()()()f b f b a f a f ξξ=-．证明：设()ln ()()f b M b a f a =-，令()()ln ()()f x x M x a f a ?=--容易验证()x ?在[,]a b 上满⾜罗尔定理条件，由罗尔定理，存在(,)a b ξ∈使'()0?ξ=，解得'()()f M f ξξ=，故()'()ln()()()f b f b a f a f ξξ=-．例13：设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，则在(,)a b 内⾄少存在⼀点ξ使222[()()]()'()f b f a b a f ξξ-=-．证明：将所证等式看作22'()()()()2f f b f a b a ξξ-=-，设22()()()f b f a M b a -=-，令22()()()()x f x f a M x a ?=---，则()x ?满⾜罗尔定理条件，由罗尔定理得，存在⼀点(,)a bξ∈，使'()0?ξ=，即'()2f M ξξ=，若ξ=0，则'()0f ξ=，结论成⽴；若0ξ≠，则'()2f M ξξ=，从⽽有222[()()]()()f b f a f b a ξξ-=-．例14：设120x x <<，则存在12(,)x x ξ∈使211212(1)()x x x e x e e x x ξξ-=--．分析：对于此题设211212()x x x e x e M x x -=-作函数11()x x x x e xe ?=-1()M x x --．应⽤罗尔定理可得存在12(,)x x ξ∈，使'()0?ξ=，即110x x e e M ξ-+=，从⽽11x M e x e ξ=-，这样并不能证明原结论，遇到这种情况，说明所作的辅助函数不合适，则需要将所证明的等式变形，重新构造辅助函数．证明：将所证等式变形为21212111(1)()x x e e e x x x x ξξ-=--，设2121x x e e x x -=2111()M x x -，令11()x x e e x x x ?=-111()M x x --，则()x ?满⾜罗尔定理条件，⽤罗尔定理可得存在12(,)x x ξ∈，使'()0?ξ=，即2210e e M ξξξξξ-+=，于是(1)M e ξξ=-，故211212(1)()x x x e x e e x x ξξ-=--．总之，证明微分中值命题的技巧在于：⼀是要仔细观察，适当变换待证式⼦；⼆是要认真分析，巧妙构造辅助函数．抓住这两点，即可顺利完成证明．。
应用微分中值定理构造辅助函数的三种方法
应用微分中值定理构造辅助函数的三种方法微分中值定理是微积分中最重要的定理之一，它可以用来构造辅助函数。
在这里，我将介绍三种常见的方法。
方法一：构造辅助函数来证明微分中值定理我们首先回顾微分中值定理的陈述：如果函数f在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，那么存在c∈(a,b)，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
为了证明这一定理，我们可以构造一个辅助函数g(x)=f(x)-(f(b)-f(a))/(b-a)*(x-a)。
我们可以计算g(a)和g(b)：g(a)=f(a)-(f(b)-f(a))/(b-a)*(a-a)=f(a)g(b)=f(b)-(f(b)-f(a))/(b-a)*(b-a)=f(b)由于g(x)是f(x)的线性函数，我们可以得出g(a)=f(a)和g(b)=f(b)。
根据罗尔定理，存在c∈(a,b)，使得g'(c)=0。
将g(x)展开得到：g'(x)=f'(x)-(f(b)-f(a))/(b-a)当x=c时：0=g'(c)=f'(c)-(f(b)-f(a))/(b-a)因此，存在c∈(a,b)，使得f'(c)=(f(b)-f(a))/(b-a)。
方法二：构造辅助函数来确定函数的最大值和最小值微分中值定理的一个重要应用是确定函数的最大值和最小值。
我们可以利用此定理构造辅助函数来确定函数在给定闭区间上的最大和最小值。
假设我们要确定函数f在闭区间[a,b]上的最大值和最小值。
我们可以构造辅助函数h(x)=f(x)-M(x-a)，其中M是一个足够大的常数。
我们可以选择一个足够大的M，使得h(x)在[a,b]上永远不小于0。
当x=a时，h(a)=f(a)-M(a-a)=f(a)>=0当x=b时，h(b)=f(b)-M(b-a)=f(b)-M(b-a)<=0根据微分中值定理，存在c∈(a,b)，使得h'(c)=0。
中值定理构造辅助函数课件.doc
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例8：设f''(x)在[a,b]上存在，在acb，试证明存在(a,b)，使得
f(a)f(b)f(c)1
f''()．(ab)(ac)(ba)(bc)(ca)(cb)2
分析：令
f(a)f(b)f(c)
k，于是有
(ab)(ac)(ba)(bc)(ca)(cb)
(bc)f(a)(ab)f(c)(ca)f(b，)上式k为关a于ab，b，ac三点cbc
aaa
23n1
12n
0x
23n1
⋯亦即
2n
a0a1a2⋯a0．
n
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这说明方程
2n
a0a1xa2x⋯ax0在（0，1）内至少有实根x．
n
2积分法பைடு நூலகம்
对一些不易凑出原函数的问题，可用积分法找相应的辅助函数．
例3：设f(x)在[1，2]上连续，在（1，2）内可导，
1
f(1)，f(2)2．证明存
2
例1：证明柯西中值定理．
f(b)f(a)f'()
分析：在柯西中值定理的结论
g(b)g(a)g'()
中令x，得
f(b)f(a)f'，(x先)变形为()()'()'()
fbfa
gxfx再两边同时积分得g(b)g(a)g'(x)g(b)g(a)
f(b)f(a)，令C0，有()f(b)f(a)()0
g(x)f(x)Cfxgx故
助函数．
例5：证明拉格朗日中值定理．
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分析：通过弦AB两个端点的直线方程为
f(b)f(a)
yf(a)(xa)
罗尔中值定理怎么构造函数
罗尔中值定理怎么构造函数
罗尔中值定理是微积分中的基本定理之一，它表明如果一个函数在某个区间内满足一定条件，那么在这个区间内必定存在一点，使得函数在这个点处的导数等于其在区间两端点处的导数之差的比值。
接下来我们来看看如何构造这个函数。
首先，我们需要满足一个条件，即函数在该区间内必须连续。
因此，我们可以构造一条连续的曲线，例如一条二次函数。
假设我们要在区间[a,b]内找到函数f(x)在两端点处的导数之差的比值等于
f'(c)，则我们可以构造一个二次函数f(x) = ax^2 + bx + c，使得f(a)和f(b)分别为函数的两个端点值。
接下来，我们需要满足第二个条件，即函数在该区间内必须可导。
因此，我们需要计算出f(x)的导数f'(x)，即2ax + b。
接着，我们可以使用罗尔中值定理，找到一个点c∈(a,b)，使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
由于f(a)和f(b)已知，我们可以求出f(b) - f(a)，因此我们可以求出c的值。
最后，我们需要满足第三个条件，即函数在该区间内必须满足
f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。
由于我们已经求出了c的值，因此我们可以将c代入f'(x)中，求出f'(c)的值，并将其与(f(b) - f(a))/(b - a)进行比较，从而验证罗尔中值定理的成立。
综上所述，通过构造一条连续的二次函数，我们可以使用罗尔中值定理来寻找函数在区间内的某个点，使得函数在这个点处的导数等于其在两个端点处的导数之差的比值。
拉格朗日中值定理构造函数
拉格朗日中值定理构造函数拉格朗日中值定理，又称拉格朗日中位数定理，是一个重要的几何分析定理，它强调几何图形的对称性和相交性。
拉格朗日中值定理经常用于构造函数，其中函数的参数是三个特定点的位置。
拉格朗日中值定理的正式定义为：给定任意三个不同的点A、B、C，在非空线段AB上存在点D，使得△ADC:△ABC=AD:AC=BD:BC。
其中，AD、AC、BD、BC分别表示从A到D、A到C、B到D和B到C的距离。
根据拉格朗日中值定理，我们可以构造函数。
假设我们要建立函数f(x)，其中三点A、B、C的坐标和函数值分别为(x1,y1)、(x2,y2)和(x3,y3)。
根据拉格朗日中值定理，有：f(x) =(x-x1)*(x-x2)*(x-x3)/((x2-x1)*(x3-x1))*y1 + (x-x1)*(x-x2)*(x2-x3)/((x2-x1)*(x3-x2))*y2 + (x-x1)*(x3-x1)*(x3-x2)/((x3-x1)*(x3-x2))*y3 上式就是由拉格朗日中值定理构造的函数f(x)了，其中x1、x2、x3是三点A、B、C的横坐标，y1、y2、y3分别为它们的纵坐标。
下面，我们来看看该函数在实际应用中的一个例子：假设有三个点A(0,1) 、B(1,-1)、C(2,1)，这三个点构成一条线段，我们可以用拉格朗日中值定理构造函数f(x)，其中即为：f(x)=-x^3/6+x^2/2+x/2−1/6拉格朗日中值定理是几何分析中的一项重要定理，它着眼于几何图形的对称性和相交性。
根据它，我们可以构造函数，这是一种简便有效的方法。
我们将参数设置为给定的三个点的位置，然后用中值定理构造函数，就可以解决一些函数求解问题了。
罗尔中值定理怎么构造函数
罗尔中值定理怎么构造函数
罗尔中值定理是微积分学中的一个重要定理，它指出在一定条件下，对于一个连续函数，它在两个端点处取相同的函数值，那么在这两个端点间必定存在一点，该点的导数为零。
构造函数的方法是通过利用罗尔中值定理的条件来设计函数，使得在满足条件的前提下，函数在特定的位置取相同的函数值，并且在这些位置处的导数为零。
例如，我们考虑一个函数f(x)，它在区间[a,b]上连续可导，且f(a)=f(b)。
那么我们可以构造一个函数g(x)=f(x)-kx，其中k是一个常数，使得g(a)=g(b)，那么根据罗尔中值定理，存在c∈(a,b)，使得g'(c)=0，即f'(c)-k=0。
因此，我们就得到了一个在满足条件下的函数f(x)，它在端点处取相同的函数值，并且在某个点处的导数为零。
除了上述方法外，还有其他的构造函数的方法，比如通过泰勒展开式、幂级数等方法来构造函数，使得满足罗尔中值定理的条件。
总之，构造函数是解决数学问题的重要手段之一，通过灵活的构造函数方法，可以得到很多有趣的结论和解法。
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中值定理命题证明中的辅助函数构造
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图３是运行是系统生成的排课数据所见即所得 的界面，界面上 部可以按照班 级、教师和教室 选择的控件，下 部是具体数据信 息浏览效果．
３ 结论
图３输出运行结果
ｘＭＬ以其合理的数据组织结构和可扩展特性， 结合目前的ｎｅｔ和Ｊａｖａ技术，使得开发的过程更加便 捷．但由于ｘＭＬ推出时问较短，特别是大多数行业
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构造辅助函数法在微积分证明中的运用石琼芳【摘要】《数学分析》的微积分证明中，证明某个问题的结论时，经常会遇到通过已有的条件无法直接推导证明出结论，而这时可以尝试运用构造函数法，根据命题中的条件，将结论变换，从而构造出一个辅助函数，再运用有关的定理结论推导出命题的结论，这往往对命题的证明能起到事半功倍的结果。
构造函数法是一种重要的数学方法，其构造方法思路也是多种多样的，本文通过构造函数法在一些著名的定理，公式以及经典例题的运用，尝试找出如何构造辅助函数的几种方法，并通过这些方法在一些具体实例中的运用归纳出构造函数法的一些思路。
【关键词】构造函数法微积分等式微分中值定理极值微积分学是数学分析中的核心内容，其命题十分的抽象复杂。
因此，在微积分中常见命题的解决时，通常会遇到这样的问题：对于与命题相关的定理与知识所熟悉，但不知如何通过题设，运用定理来解题。
这时，单凭对定理的一般运用是无法解决问题的，而是需要构造出一个既能运用题设条件又能应用相关定理得辅助函数，将抽象的关系通过具体的函数表达出来，转化为比较直观的，易于解决的问题。
构造函数法在数学领域中广泛地被采用着，它们所起的作用是桥梁式的作用，甚至有些是起着无法替代的作用。
所谓构造函数法，就是利用数学中的概念和方法，按固定的模式经过有限个步骤能够定义的概念和能都实现的方法。
而构造函数，简而言之，就是为了使某一数学命题或者某一数学概念通过已知的数学概念和方法，人为地构造出来的函数，这些函数的存在，往往依赖于已知命题的函数的存在，在条件的约束下，去达到证明或者说明某种结论或概念的正确性。
在本文，将在不等式证明这个领域中分别讨论构造函数法的运用，将会解决构造函数法在这个领域中运用的一些思路和如何构造辅助函数的方法。
再探讨这些方法时，首先，对一些经典的定理以及公式的证明进行分析，找到这些证明的思路，进而将这些思路运用到一些具体的实例当中，进行探讨验证，最后在总结出完成这些思路的一类方法。
“构造函数法”是微积分学里经常用来证明一些重要定理的重要方法。
许多文献中，lagrange 中值定理，罗尔定理和Cauchy 定理的证明都运用到了构造辅助函数，其推理过程简单明了。
一、构造辅助函数法在微分中值定理证明中的运用及其引申微分中值的定理证明代表着构造函数法的一个重要的思路，这个思路是当构造一个辅助函数时，其辅助函数的构造的条件必须满足现有某个已证定理的条件，进而解决问题。
具体的来说罗尔定理证明中是构造出了满足Fermat 引理的函数，进而推导出了结果；而lagrange 中值定理和Cauchy 定理则都是构造出了满足罗尔定理条件的辅助函数，来推导出了最终的结果。
构造函数法的思想是十分发散的，所以其在微分中值定理的证明中的辅助函数的构造也是多种多样的，这种多态化的思想启发出，在使用构造函数法时，我们可以使用各种所学知识，根据命题条件，构造出满足题意的辅助函数来。
微分中值定理的证明实现了函数与导数之前的沟通，是利用导数的局部性质研究函数整体性质的重要工具。
以微分中值定理为基础的各种中值问题，成为数学分析中的重要内容。
这类问题的常见形式是：设函数()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 上可导，且满足某些附加条件，求证存在一点(,)z a b 使得某个含有z 的等式成立。
处理这类问题，关键在于如何构造出能够满足罗尔，lagrange 定理和Cauchy 定理条件的辅助函数。
通常采用的构造函数方法大多限于几个初等的试探方法，比如，利用函数的几何图像，借助于行列式等。
用这些方法构造函数往往需要很高的技巧，实际处理具体问题不好运用和掌握。
如果考虑到lagrange 中值定理和Cauchy 中值定理是罗尔中值定理的推广形式，罗尔中值定理的结论为一个导数形式，那么构造辅助函数其实就是要寻找一个能够满足罗尔中值定理条件的原函数，这样，我们可以利用微分运算的逆过程——积分运算，来构造辅助函数，以解决有关微分中值的问题。
二、 构造辅助函数法在newton-leibniz 公式证明中的运用这个著名的牛顿—莱布尼茨公式()()bba a f x dx F x =⎰里的()F x 连续函数()f x 在[],a b 上的一个原函数。
在证明了这一结论的过程中，非常巧妙的运用了积分上限函数()()xa x f t dt φ=⎰，这是个构造函数，最大的特点就是满足()()x f x φ'=。
正是由于有了这个函数，才最终证明了这个可以说是积分中非常重要的公式。
三、构造辅助函数法结合微分中值定理证明等式众多等式命题的证明中，结合微分中值定理的命题证明占据着一个非常重要的地位，其证明的方法也是多种多样的，但是主要的方法归纳起来还是以下几种。
1、 原函数法其实是一种逆向思维的方法，在结合微分中值定理求解介值定理（或者零点）问题时，要证明的结论往往是一个函数的导函数的零点，这时可通过不定积分反求出原函数构造出辅助函数，这个证明的步骤：1.将结论通过恒等变换，化为容易积分的函数形式，在结论积分不是很复杂的情况下一般常用的变换方法是移项将等式一端变换为常数0；2.用x 替换变换后等式中的变量；3.用观察法或者凑微分法求出原函数，则原函数即为所要构造的辅助函数。
4.最后结合微分中值定理，推导出结论来。
例1． 设函数()f x 在[,]a b 上可导，试证明存在(,)z a b ∈，使得()()()()bf b af a f z z f z b a-'+⋅=-。
证明：将要证的结论变形为 ()()()()0bf b af a f z z f z b a-'+⋅-=-, 则根据积分构造辅助函数 ()()()[()()]bf b af a F x f x x f x dx b a-'=+⋅--⎰ ()()()bf b af a x f x x b a-=⋅--。
可知函数满足罗尔定理的条件，即()()F a F b =,所以，存在(,)z a b ∈，使得()()()()()0bf b af a F z f z x f z b a-''=+⋅-=-。
可知结论得证。
证毕本例题按照归纳的证明步骤，将结论通过恒等变换，移项将等式一端变换为常数0，然后用x 替换变换后等式中的变量z ,再求出原函数，即函数()f x ，则完成了辅助函数的构造，最后运用罗尔得出结论。
例2．()f x 在[],a b 连续，(),a b 可导，则存在(,)a b ξ∈，使222(()())()()f b f a b a f ξξ'-=-。
证明（证明一）：将要证的结论变形得22()()()2f b f a f x b aξ-'=⋅-， 将等式中的ξ记为x ，即22()()()2f b f a f x x b a -'=⋅-， 然后积分得222()()()f b f a f x x c b a -=⋅+-， 得到辅助函数 222()()()()f b f a F x c f x x b a -==-⋅-， 显然()F x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，又因为2222()()()()b f a a f b F a F b b a-==-，满足罗尔定理，所以存在(,)a b ξ∈，使得()0F ξ'=，故222(()())()()f b f a b a f ξξ'-=-。
证毕例2证明中在构造辅助函数时用了一个技巧，即将积分后的原函数的常数，独立出来移项到一端，则利用常数在区间[,]a b 上的性质，然后运用罗尔定理推导出结论。
如果严格按照归纳的步骤来做依然能够得出结论，如下例2．证明（证明二）：将要证明的等式中的ξ记为x ，然后积分得222(()())()()x f b f a b a f x -=-，得到辅助函数222()(()())()()F x x f b f a b a f x =---，可知，()()F a F b =。
故由罗尔定理可得222(()())()()f b f a b a f ξξ'-=-。
证毕通过例2的两个证明我们可以看出，构造函数法是一个发散性思维很强的方法，可以从不同的角度来考虑辅助函数的构造。
存在多种构造函数的思路，并且构造函数的形式多种多样，但是我们从中要把握住核心的思路：观察要证明的结论，并进行一定的变换，得出原函数即为构造函数，让这个构造函数能够满足微分中值定理的条件，进而利用中值定理得出要证明的结论。
例3．设()f x 在[0,1]上二阶可导，且(0)(1)0f f ==，求证存在(0,1)ξ∈，使2()()1f f ξξξ'''=-。
证明：设辅助函数2()(1)()F x x f x '=-，因为()f x 在[0,1]上二阶可导，则()f x在[0,1]上连续且在(0,1)内可导，而(0)(1)0f f ==满足罗尔定理,则存在1(0,1)ξ∈内，使1()0f ξ'=。
在1(,1)ξ内，又22111()(1)()0F f ξξξ=-=，2(1)(11)(1)0F f '=-=，则可知()F x 满足罗尔定理，所以存在1(,1)(0,1)ξξ∈⊂，使得()0F ξ'=， 又2()2(1)()(1)()F x x f x x f x ''''=--+-，所以2()2(1)()(1)()0F f f ξξξξξ''''=--+-=，即得：2()()1f f ξξξ'''=-。
证毕 这个构造的辅助函数依然按照根据要证结论的等式进行变换，则可知()2()1f x f x x''='-，两边积分可得ln ()2ln 1ln f x x c '=--+，得2(1)()c x f x '=-，这样我们就找出了所需要构造的辅助函数。
2、 微分方程通解法在命题中经常会遇到这样的形式，函数()f x 在区间[],a b 上连续，在(,)a b 内可导，且满足一定的条件，求证存在一点(,)a b ξ∈，使得()[,()]f f ξφξξ'=。
在处理这一类的问题时，可以先解微分方程(,)y x y φ'=，得到通解(,)G x y c =，则可构造出辅助函数为()(,)F x G x y =，这种处理的方法就是微分方程通解法。
例1．设函数()f x 在区间[],a b 上连续，在(,)a b 内可导，且()0f x ≠，(,)x a b ∈。
若()()0f a f b ==。