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高数下册试题及答案
高数下册试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，求f'(x)。
A. 3x^2 - 3B. x^2 - 3xC. 3x^2 + 3D. 3x^2 - 3x答案：A2. 设函数f(x) = sin(x) + cos(x)，则f'(x)等于：A. cos(x) - sin(x)B. cos(x) + sin(x)C. -sin(x) - cos(x)D. -sin(x) + cos(x)答案：B3. 求极限lim(x→0) (sin(x)/x)的值。
A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B4. 若函数f(x) = e^x，则f'(x)等于：A. e^xB. e^(-x)C. x * e^xD. 1答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 已知曲线y = x^2 + 2x + 1，求该曲线在x = 1处的切线斜率。
答案：42. 设函数f(x) = ln(x)，则f'(x) = ________。
答案：1/x3. 求定积分∫(0,1) x^2 dx的值。
答案：1/34. 若函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 15，求f'(x)。
答案：3x^2 - 12x + 9三、解答题（每题10分，共60分）1. 求函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6的极值。
答案：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 12x + 11。
令f'(x) = 0，解得x = 1 和 x = 11/3。
计算f''(x) = 6x - 12，可以判断x = 1处为极大值点，x = 11/3处为极小值点。
极大值为f(1) = 0，极小值为f(11/3) = -2/27。
2. 计算定积分∫(0,2) (3x^2 - 2x + 1) dx。
答案：首先求原函数F(x) = x^3 - x^2 + x。
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p p 122222-+--y x y x )11)1)1¶¶4,p y z2222p nA.x -11B.x -22C.x -12D.x-21 10.微分方程0ln =-¢y y y x 的通解为（的通解为（ ）. A.x ce y =B.x e y =C.x cxe y =D.cxe y =二.填空题（4分´5）1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________. 3.设13323+--=xy xy y x z ，则=¶¶¶yx z 2_____________________________. 4.x +21的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+¢+¢¢y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分´6）1.设v e z u sin =，而y x v xy u +==,，求.,yz x z ¶¶¶¶ 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,y z x z ¶¶¶¶ 3.计算s d y x D òò+22sin ，其中22224:p p £+£y x D . 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R为半径）. 5.求微分方程x e y y 23=-¢在00==x y 条件下的特解. 四.应用题（10分´2）1.要用铁板做一个体积为23m 的有盖长方体水箱，的有盖长方体水箱，问长、问长、宽、高各取怎样的尺寸时，高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？才能使用料最省？才能使用料最省？2..曲线()x f y =上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的2倍，且曲线过点÷øöçèæ31,1，求此曲线方程求此曲线方程. 试卷1参考答案一.选择题选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题填空题1.0622=+--z y x . 2.()()xdy ydx xy +cos . 3.19622--y y x . 4. ()n n n nx å¥=+-0121. 5.()x ex C C y 221-+= . 三.计算题计算题1.()()[]y x y x y e xz xy +++=¶¶cos sin ，()()[]y x y x x e y z xy +++=¶¶cos sin . 2.12,12+=¶¶+-=¶¶z y y z z x x z . 3.òò=×p p p p r r r j 202sin d d 26p -. 4.3316R . 5.xx e e y 23-=. 四.应用题应用题1.长、宽、高均为m 32时，用料最省. 2..312x y =M 12131415p p p p ))0)0p)0p1¶¶xzr4nA.cx e y =B.x ce y =C.x e y =D.xcxe y =二填空题（4分´5） 1.直线l 过点()1,2,2-A 且与直线ïîïíì-==+=tz t y t x 213平行，则直线l 的方程为__________________________. 2.函数xye z =的全微分为___________________________. 3.曲面2242y x z -=在点()4,1,2处的切平面方程为_____________________________________. 4.211x +的麦克劳林级数是______________________. 5.微分方程03=-ydx xdy 在11==x y 条件下的特解为______________________________. 三.计算题（5分´6）1.设k j b k j i a 32,2+=-+=，求.b a ´2.设22uv v u z -=，而y x v y x u sin ,cos ==，求.,yz x z ¶¶¶¶ 3.已知隐函数()y x z z ,=由233=+xyz x 确定，求.,y z x z ¶¶¶¶ 4.如图，求球面22224a z y x =++与圆柱面ax y x 222=+（0>a）所围的几何体的体积. 5.求微分方程023=+¢+¢¢y y y 的通解. 四.应用题（10分´2）1.试用二重积分计算由x y x y 2,==和4=x 所围图形的面积. 2.如图，以初速度0v 将质点铅直上抛，不计阻力，求质点的运动规律().t x x =（提示：g dt x d -=22.当0=tdt yx ¶¶,、二阶行列式 2 -3 4 4p 22,22222222222222y x z z z z z z z zA 、å¥=-0)1(n n)!2(2n x n B 、å¥=-1)1(n n )!2(2n x n C 、å¥=-0)1(n n )!2(2n x n D 、å¥=-0)1(n n )!12(12--n x n 9、微分方程(y``)4+(y`)5+y`+2=0的阶数是（的阶数是（ ）A 、一阶、一阶B 、二阶、二阶C 、三阶、三阶D 、四阶、四阶10、微分方程y``+3y`+2y=0的特征根为（的特征根为（ ）A 、-2，-1 B 、2，1 C 、-2，1 D 、1，-2 二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分）分）1、直线L 1：x=y=z 与直线L 2：的夹角为z y x =-+=-1321___________。
大学高数下册试题及答案
大学高数下册试题及答案《高等数学》测试题一一、选择题1．设有直线及平面，则直线A．平行于平面；B．在平面上；C．垂直于平面；D．与平面斜交. 2．二元函数在点处A．连续、偏导数存在； B．连续、偏导数不存在；C．不连续、偏导数存在；D．不连续、偏导数不存在. 3．设为连续函数，，则＝A．； B．；C．D．. 4．设是平面由，，所确定的三角形区域，则曲面积分＝A．7；B．；C．；D．. 5．微分方程的一个特解应具有形式A．；B．；C．；D．. 二、填空题1．设一平面经过原点及点，且与平面垂直，则此平面方程为；2．设，则＝；3．设为正向一周，则0 ；4．设圆柱面，与曲面在点相交，且它们的交角为，则正数； 5．设一阶线性非齐次微分方程有两个线性无关的解，若也是该方程的解，则应有 1 . 三、设由方程组确定了，是，的函数，求及与. 解：方程两边取全微分，则解出从而四、已知点及点，求函数在点处沿方向的方向导数. 解：，从而五、计算累次积分）. 解：依据上下限知，即分区域为作图可知，该区域也可以表示为从而六、计算，其中是由柱面及平面围成的区域. 解：先二后一比较方便，七．计算，其中是抛物面被平面所截下的有限部分. 解：由对称性从而八、计算，是点到点在上半平面上的任意逐段光滑曲线. 解：在上半平面上且连续，从而在上半平面上该曲线积分与路径无关，取九、计算，其中为半球面上侧. 解：补取下侧，则构成封闭曲面的外侧十、设二阶连续可导函数，适合，求．解：由已知即十一、求方程的通解. 解：解：对应齐次方程特征方程为非齐次项，与标准式比较得,对比特征根，推得，从而特解形式可设为代入方程得十二、在球面的第一卦限上求一点，使以为一个顶点、各面平行于坐标面的球内接长方体的表面积最小. 解：设点的坐标为，则问题即在求最小值。
令，则由推出，的坐标为附加题：1．判别级数是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？解：由于，该级数不会绝对收敛，显然该级数为交错级数且一般项的单调减少趋于零，从而该级数条件收敛2．求幂级数的收敛区间及和函数. 解：从而收敛区间为，3．将展成以为周期的傅立叶级数. 解：已知该函数为奇函数，周期延拓后可展开为正弦级数。
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大学高等数学下考试题库(附答案)一、填空题（每题2分，共20分）1. 设函数f(x)在区间I上单调递增，若a < b，则必有__________。
【答案】f(a) < f(b)2. 函数y = e^x在区间（-∞，+∞）上的最小值为__________。
【答案】03. 设函数f(x) = x^3 - 6x + 9，则f'(x) =__________。
【答案】3x^2 - 64. 设矩阵A = [a_{ij}]，则矩阵A的行列式det(A) = __________。
【答案】a_{11}a_{22}...a_{nn} -a_{11}a_{23}...a_{n2} + a_{12}a_{21}...a_{n3} - ... + (-1)^(n+1)a_{1n}a_{21}...a_{n1}5. 向量组α = (α1, α2, α3)和β = (β1, β2, β3)垂直的条件是__________。
【答案】α1β1 + α2β2 + α3β3 = 06. 设线性方程组Ax = b的解集为N，则N是__________。
【答案】向量空间7. 若函数f(x)在区间（a，b）上连续，且f(a) = f(b)，则函数f(x)在区间（a，b）上必有零点，此结论称为__________。
【答案】零点定理8. 设函数f(x)在区间I上单调递减，若a < b，则必有__________。
【答案】f(a) > f(b)9. 设函数f(x) = ln(x)，则f''(x) =__________。
【答案】1/x10. 设矩阵A = [a_{ij}]，则矩阵A的逆矩阵A^-1 = __________。
【答案】(1/det(A))[c_{ij}]，其中c_{ij} = (-1)^(i+j)det(A)/a_{ii}a_{jj}二、选择题（每题2分，共20分）1. 下列函数在区间（0，1）上单调递增的是__________。
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精品文档n 02《高等数学》试卷1 （下）•选择题（3分10）n 1n A. p 1B. p 1C. p 1D. p 18.幕级数n x的收敛域为（).n 1nA. 1,1 B1,1C.1,1 D. 1,1A. a b 0B. a b 0C. a b 0D. a b 05屈数z 33x y3xy 的极小值是（）.A.2B. 2C.1D. 1z =( ).6.设zxsin y ，贝U —y1, 4昴A. 一B. ——C. <2D.42.2 2a 与b 垂直的充要条件是（ 4.两个向量 17.若p 级数—收敛，则（ ）1.点 M 1 2,3,1 到点 M 2 2,7,4 的距离M 1M 2A.3B.4C.5D.62.向量a i 2j k,b2ij ，则有（A. a // bB. a 丄 bC. a 4 -D. ： a,b3屈数y1 x2 y 2 1的定义域是A. x, y 1 x 2B. x,y 1 x 2C. x, y 1x 2D x, y 1x 29.幕级数x n在收敛域内的和函数是（)n 0 21 A.1 x2 2C ・-1 x1D.-2 xB・2 x10・微分方程xy yin y0的通解为（)•xB・ xxD. y eA. y cey e C. y cxe填空题（4分5）2•函数 z sin xy 的全微分是 ____________________________________1 4.^^的麦克劳林级数是 ___________________________________2 x5.微分方程y 4y 4y 0的通解为三.计算题（5分6）1.设 z e u sin v ,而 u xy, v xy ，求-^,x zy2.已知隐函数z z x, y由方程x C222y z4x 2z 50确定，求,x y/ 2 23.计算 sin 、x y d ，其中D2 2x 2 2y 4 .D 四•应用题（10分2）1•一平面过点A 0,0,3且垂直于直线 AB ，其中点B 2, 1,1，则此平面方程为 _________________________ 532^33•设 z x y 3xy2/ 小 zxy 1，贝U ------x y4•如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（ R 为半径）2x5•求微分方程y 3y e 在y xo 0条件下的特解1•要用铁板做一个体积为2 m3的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省?2..曲线y f x上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的求此曲线方程2倍，且曲线过点1,3一.选择题 CBCAD ACCBD 二填空题1.2x y2z 6 0.2. cos xy ydx xdy .3.6x 2y9y 2 1 .三.计算题Z xy, e xsin x y cos x y yz2.— X 2 X J 1 zy2y z 1 .z 2 23.dsind 6 216 34.- R 3 . 33x 2x5. y e e四.应用题1. 长、宽、高均为3 2m 时，用料最省1 2 2. y x .3《高数》试卷2 （下）一.选择题（3分10）1.点 M 1 4,3,1，M 2 7,1,2 的距离 M 1M 2 （ ）.2.设两平面方程分别为 x 2y 2z 1 0和 x y 5 0，则两平面的夹角为（试卷1参考答案4.1n2n5. yC i C 2X e2x.z xy .1. e ysin x xcos x y A. 12B. 13C. 14D. 15A. 6B.4C. 3D.?3.函数 z arcs in x 2 y 2的定义域为（ A. x, y 0B. x,y 0 y 2 1C. x, y 0 x 2D. x,y 0 x 2 4•点P 1, 2,1 到平面 x 2y 2z 0的距离为（ A.3 B.4 C.5 D.6 5屈数z 2xy 3x 2 2y 2的极大值为（ ） A.0 B.1 C. 1 1 D.- 26.设z2 小 x 3xy y 2，则—1 x 1,2 ( ）.A.6B.7C.8D.9 7.若几何级数 ar n 是收敛的，则（ ）.n 0A. r 1B. r 1C. ” 1D. r8.幕级数 n 1 x n 的收敛域为 ( )n 0A. 1,1B. 1,1C. 1,1D.1,1sin na 9.级数 4 疋（ ）. n 1 nA.条件收敛B.绝对收敛 c.发散 10.微分方程xy yl ny 0的通解为 （ A. y e cx B. x — y ceC. y x e 二填空题（4分 5) x 3 1.直线l 过点A 2,2, 1且与直线y t)•D. D.不能确定 xy cxe平行，则直线I 的方程为2t2.函数z e xy 的全微分为3•曲面z 2x2 4y2在点2,1,4 处的切平面方程为 _______________________________________________ 14. 12的麦克劳林级数是__________________________ •1 x25•微分方程xdy 3ydx 0在y x11条件下的特解为________________________________ •三•计算题（5分6）1. 设a i 2j k,b2j 3k ,求a b.四.应用题（10分2）2.设z u2v uv2，而u xcosy,v xsin y，求—z3.已知隐函数z z x,y3由x 3xyz 2确定，求5.求微分方程y 3y2ax（a 0）所围的几何体的体积4a2与圆柱面x2 2 y2y 0的通解.1.试用二重积分计算由y x,y 2 x和x 4所围图形的面积.2.如图，以初速度v。
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一.选择题（3分⨯10）1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）.A.3B.4C.5D.62.向量j i b k j i a+=++-=2,2，则有（ ）.A.a ∥bB.a ⊥bC.3,π=b aD.4,π=b a3.函数1122222-++--=y x y x y 的定义域是（ ）.A.(){}21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+<y x y xC.(){}21,22≤+<y xy x D (){}21,22<+≤y x y x4.两个向量a 与b垂直的充要条件是（ ）.A.0=⋅b aB.0 =⨯b aC.0 =-b aD.0 =+b a5.函数xy y x z 333-+=的极小值是（ ）. A.2 B.2- C.1 D.1- 6.设y x z sin =，则⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂4,1πyz ＝（ ）.A.22B.22-C.2D.2-7.若p 级数∑∞=11n pn收敛，则（ ）. A.p 1< B.1≤p C.1>p D.1≥p8.幂级数∑∞=1n nn x 的收敛域为（ ）.A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1-9.幂级数nn x ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛02在收敛域内的和函数是（ ）.A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x-2110.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）.A.xce y = B.xe y = C.xcxe y = D.cxe y =二.填空题（4分⨯5）1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________.2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________.3.设13323+--=xy xy y x z ，则=∂∂∂yx z2_____________________________. 4.x+21的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分⨯6）1.设v e z usin =，而y x v xy u +==,，求.,yz x z ∂∂∂∂ 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,yz x z ∂∂∂∂ 3.计算σd y x D⎰⎰+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.如图，求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）.5.求微分方程xey y 23=-'在00==x y条件下的特解.四.应用题（10分⨯2）1.要用铁板做一个体积为23m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？2..曲线()x f y =上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的2倍，且曲线过点⎪⎭⎫ ⎝⎛31,1，求此曲线方程试卷1参考答案一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题1.0622=+--z y x .2.()()xdy ydx xy +cos .3.19622--y y x .4.()n n n n x ∑∞=+-0121.5.()xe x C C y 221-+= .三.计算题 1.()()[]y x y x y e xzxy +++=∂∂cos sin ，()()[]y x y x x e y z xy +++=∂∂cos sin . 2.12,12+=∂∂+-=∂∂z yy z z x x z . 3.⎰⎰=⋅πππρρρϕ202sin d d 26π-.4.3316R . 5.x xe ey 23-=.四.应用题1.长、宽、高均为m 32时，用料最省.2..312x y =《高数》试卷2（下）一.选择题（3分⨯10）1.点()1,3,41M ，()2,1,72M 的距离=21M M （ ）. A.12 B.13 C.14 D.152.设两平面方程分别为0122=++-z y x 和05=++-y x ，则两平面的夹角为（ ）. A.6π B.4π C.3π D.2π 3.函数()22arcsin yx z +=的定义域为（ ）.A.(){}10,22≤+≤y x y x B.(){}10,22<+<y x y x C.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+≤20,22πy x y x D.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+<20,22πy x y x 4.点()1,2,1--P 到平面0522=--+z y x 的距离为（ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 5.函数22232y x xy z --=的极大值为（ ）. A.0 B.1 C.1- D.21 6.设223y xy x z ++=，则()=∂∂2,1xz （ ）.A.6B.7C.8D.9 7.若几何级数∑∞=0n nar是收敛的，则（ ）.A.1≤rB. 1≥rC.1<rD.1≤r8.幂级数()nn xn ∑∞=+01的收敛域为（ ）.A.[]1,1-B.[)1,1-C.(]1,1-D. ()1,1-9.级数∑∞=14sin n n na是（ ）. A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.不能确定二.填空题（4分⨯5）1.直线l 过点()1,2,2-A 且与直线⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z t y t x 213平行，则直线l 的方程为__________________________.2.函数xye z =的全微分为___________________________.3.曲面2242y x z -=在点()4,1,2处的切平面方程为_____________________________________.4.211x+的麦克劳林级数是______________________. 三.计算题（5分⨯6）1.设k j b k j i a32,2+=-+=，求.b a ⨯2.设22uv v u z -=，而y x v y x u sin ,cos ==，求.,y z x z ∂∂∂∂ 3.已知隐函数()y x z z ,=由233=+xyz x 确定，求.,yz x z ∂∂∂∂ 4.如图，求球面22224a z y x =++与圆柱面ax y x 222=+（0>a ）所围的几何体的体积.四.应用题（10分⨯2） 1.试用二重积分计算由x y x y 2,==和4=x 所围图形的面积.试卷2参考答案一.选择题 CBABA CCDBA. 二.填空题 1.211212+=-=-z y x . 2.()xdy ydx exy+.3.488=--z y x .4.()∑∞=-021n n nx .5.3x y =. 三.计算题1.k j i238+-.2.()()()y y x y y y y x yz y y y y x x z 3333223cos sin cos sin cos sin ,sin cos cos sin +++-=∂∂-=∂∂ . 3.22,z xy xz y z z xy yz x z +-=∂∂+-=∂∂. 4.⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223323πa . 四.应用题 1.316.《高等数学》试卷3（下）一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分） 1、二阶行列式 2 -3 的值为（ ）4 5A 、10B 、20C 、24D 、222、设a=i+2j-k,b=2j+3k ，则a 与b 的向量积为（ ） A 、i-j+2k B 、8i-j+2k C 、8i-3j+2k D 、8i-3i+k3、点P （-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、54、函数z=xsiny 在点（1，4π）处的两个偏导数分别为（ ）A 、,22 ,22 B 、,2222- C 、22- 22- D 、22-,225、设x 2+y 2+z 2=2Rx ，则yzx z ∂∂∂∂,分别为（ ） A 、z y z R x --, B 、z y z R x ---, C 、zyz R x ,-- D 、zyz R x ,- 6、设圆心在原点，半径为R ，面密度为22y x +=μ的薄板的质量为（ ）（面积A=2R π）A 、R 2AB 、2R 2AC 、3R 2A D 、A R 221 7、级数∑∞=-1)1(n nnn x 的收敛半径为（ ）A 、2B 、21C 、1D 、3 8、cosx 的麦克劳林级数为（ ）A 、∑∞=-0)1(n n)!2(2n x n B 、∑∞=-1)1(n n )!2(2n x n C 、∑∞=-0)1(n n )!2(2n x n D 、∑∞=-0)1(n n)!12(12--n x n9、微分方程(y``)4+(y`)5+y`+2=0的阶数是（ ） A 、一阶 B 、二阶 C 、三阶 D 、四阶 10、微分方程y``+3y`+2y=0的特征根为（ ） A 、-2，-1 B 、2，1 C 、-2，1 D 、1，-2 二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分） 1、直线L 1：x=y=z 与直线L 2：的夹角为z y x =-+=-1321___________。
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《高等数学》试卷1（下）一.选择题（3分⨯10）1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）.A.3 B 。
4 C 。
5 D 。
62.向量j i b k j i a+=++-=2,2，则有（ ）.A 。
a ∥bB 。
a ⊥b C.3,π=b a D 。
4,π=b a3.函数1122222-++--=y x y x y 的定义域是（ ）.A 。
(){}21,22≤+≤y x y x B 。
(){}21,22<+<y x y xC 。
(){}21,22≤+<y xy x D (){}21,22<+≤y x y x4。
两个向量a 与b垂直的充要条件是（ ）.A 。
0=⋅b a B.0 =⨯b a C 。
0 =-b a D.0 =+b a5。
函数xy y x z 333-+=的极小值是（ )。
A.2 B.2- C 。
1 D.1- 6。
设y x z sin =，则⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂4,1πyz ＝( ).A 。
22B.22-C.2 D 。
2-7。
若p 级数∑∞=11n p n 收敛，则（ ）. A 。
p 1< B 。
1≤p C 。
1>p D.1≥p8。
幂级数∑∞=1n nnx 的收敛域为（ ）。
A 。
[]1,1-B ()1,1- C.[)1,1- D 。
(]1,1-9。
幂级数nn x ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛02在收敛域内的和函数是( ）.A.x -11 B 。
x -22 C.x -12 D.x-21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）。
A 。
xce y = B 。
xe y = C.xcxe y = D.cxe y =二.填空题（4分⨯5)1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________. 2。
函数()xy z sin =的全微分是______________________________。
大一高数下考试题及答案
大一高数下考试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 极限的定义中，当x趋近于a时，f(x)的极限为L，是指对于任意给定的正数ε，存在正数δ，使得当0<|x-a|<δ时，|f(x)-L|<ε。
这个定义描述的是（）。
A. 函数在某点的连续性B. 函数在某点的可导性C. 函数在某点的极限D. 函数在某点的间断性答案：C2. 以下哪个函数是偶函数？（）A. f(x) = x^2 + xB. f(x) = x^3 - xC. f(x) = cos(x)D. f(x) = sin(x)答案：C3. 以下哪个积分是收敛的？（）A. ∫(1/x)dx 从1到∞B. ∫(1/x^2)dx 从1到∞C. ∫(1/x^3)dx 从1到∞D. ∫(1/x)dx 从0到1答案：B4. 以下哪个级数是发散的？（）A. 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ...B. 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + ...C. 1 + 1/2^2 + 1/3^2 + 1/4^2 + ...D. 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...答案：D5. 以下哪个是二阶导数？（）A. f''(x) = 2xB. f'(x) = 2xC. f(x) = x^2D. f'(x) = 2答案：A二、填空题（每题4分，共20分）1. 函数f(x) = x^3 - 3x在x=0处的导数是________。
答案：02. 函数f(x) = e^x的不定积分是________。
答案：e^x + C3. 函数f(x) = sin(x)的不定积分是________。
答案：-cos(x) + C4. 函数f(x) = x^2在区间[0,1]上的定积分是________。
答案：1/35. 函数f(x) = x^2 + 2x + 1的极值点是________。
答案：x = -1三、计算题（每题10分，共30分）1. 计算极限：lim(x→0) [(x^2 + 1) / (x^2 - 1)]。
高等数学试卷含答案下册
高等数学II 试题一、填空题每小题3分,共计15分1．设(,)z f x y =由方程xzxy yz e -+=确定,则 zx ∂=∂ ;2．函数232u xy z xyz =-+在点0(0,1,2)P --沿方向l = 的方向导数最大;3．L 为圆周224x y +=,计算对弧长的曲线积分⎰+L dsy x 22= ;4．已知曲线23,,x t y t z t ===上点P 处的切线平行于平面22x y z ++=,则点P 的坐标为 或 ;5．设()f x 是周期为2的周期函数,它在区间(1, 1]-的定义为210()01x f x x x -<≤⎧=⎨<≤⎩,则()f x 的傅里叶级数在1x =收敛于 ;二、解答下列各题每小题7分,共35分1．设) ,(y x f 连续,交换二次积分1201(,)x I dx f x y dy-=⎰⎰的积分顺序;2．计算二重积分D,其中D 是由y 轴及圆周22(1)1x y +-=所围成的在第一象限内的区域;3．设Ω是由球面z =与锥面z =围成的区域,试将三重积分222()I f x y z dxdydzΩ=++⎰⎰⎰化为球坐标系下的三次积分;4．设曲线积分[()]()xLf x e ydx f x dy--⎰与路径无关,其中()f x 具有一阶连续导数,且(0)1f =,求()f x ;5．求微分方程2xy y y e -'''-+=的通解;三、10分计算曲面积分2y dzdx zdxdy∑+⎰⎰,其中∑是球面2224(0)x y z z ++=≥的上侧;四、10分计算三重积分()x y z dxdydzΩ++⎰⎰⎰,其中Ω由22z x y =+与1z =围成的区域;五、10分求221z x y =++在1y x =-下的极值; 六、10分求有抛物面221z x y =--与平面0z =所围立体的表面积;七、10分求幂级数113n nn x n -∞=∑的收敛区间与和函数;高等数学II 试题解答一、填空题每小题3分,共计15分1．设(,)z f x y =由方程xzxy yz e -+=确定,则 z x∂=∂xz xzxe y zey --++-; 2．函数232u xy z xyz =-+在点0(0,1,2)P --沿方向l =4,0,-12 的方向导数最大; 3．L 为圆周224x y +=,计算对弧长的曲线积分⎰+L ds y x 22=8π;4．已知曲线23,,x t y t z t ===上点P 处的切线平行于平面22x y z ++=,则点P 的坐标为(1,1,1)--或111(,,)3927--;5．设()f x 是周期为2的周期函数,它在区间(1, 1]-的定义为210()01x f x x x -<≤⎧=⎨<≤⎩,则()f x 的傅里叶级数在1x =收敛于32;二、解答下列各题每小题7分,共35分6．设) ,(y x f 连续,交换二次积分1201(,)xI dx f x y dy-=⎰⎰的积分顺序;解：1201122010(,)(,)(,)x y I dx f x y dy dy f x y dx dy f x y dx--==+⎰⎰⎰⎰⎰7．计算二重积分D,其中D 是由y 轴及圆周22(1)1x y +-=所围成的在第一象限内的区域;解：2sin 220169Dd r dr πθθ==⎰⎰8．设Ω是由球面z =与锥面z =围成的区域,试将三重积分222()I f x y z dxdydzΩ=++⎰⎰⎰化为球坐标系下的三次积分;解：9．设曲线积分[()]()xLf x e ydx f x dy--⎰与路径无关,其中()f x 具有一阶连续导数,且(0)1f =,求()f x ;解：[()]x P f x e y =-,()Q f x =-;由[()]()x L f x e ydx f x dy --⎰与路径无关,得x y Q P ''=,即()()0xf x f x e '+-=;解微分方程xy y e '+=,得其通解12x xy ce e -=+;又(0)1f =,得21=c ;故xx e e x f 2121)(+=-10． 求微分方程2xy y y e -'''-+=的通解;解：20y y y '''-+=的通解为12()xy c c x e =+; 设原方程的一个特解*xy ce -=,代入原方程,得14c =;其通解为三、10分计算曲面积分2y dzdx zdxdy∑+⎰⎰,其中∑是球面2224(0)x y z z ++=≥的上侧;解：补上221:0 (4)z x y ∑=+≤下侧; 四、10分计算三重积分()x y z dxdydzΩ++⎰⎰⎰,其中Ω由22z x y =+与1z =围成的区域;解：五、10分求221z x y =++在1y x =-下的极值; 解：222(1)1222z x x x x =+-+=-+令420z x '=-=,得12x =;40z ''=>,12x =为极小值点;故221z x y =++在1y x =-下的极小值点为11(,)22,极小值为32;六、10分求有抛物面221z x y =--与平面0z =所围立体的表面积; 解：221 (0)z x y z =-->的面积为平面0z =部分的面积为π;故立体的表面积为π+;七、10分求幂级数113n nn x n -∞=∑的收敛区间与和函数;解：收敛区间为[3,3)-;设11()3n n n x s x n -∞==∑,1111(())()333n n n nn n x x xs x n x -∞∞==''===-∑∑;故⎪⎩⎪⎨⎧=≠--=0310)3ln(13ln )(x x x x x x s ;。
高等数学下期末试题(((七套附答案)))
（C）单调增加且单调减少；(D)可能增加;可能减少。
4、已知向量 与向量 则 为.
（A）6（B）-6
（C）1（D）-3
5、已知函数 可导，且 为极值， ，则 .
（A） （B） （C）0 （D）
三．计算题（3小题，每题6分，共18分）
1、求极限
2、求极限
3、已知 ，求
四． 计算题（每题6分，共24分）
．已知函数 ，则 。
．已知 ，则 。
．设L为 上点 到 的上半弧段，则 。
．交换积分顺序 。
.级数 是绝对收敛还是条件收敛？。
．微分方程 的通解为。
二．选择题（每空3分，共15分）
．函数 在点 的全微分存在是 在该点连续的（ ）条件。
A．充分非必要 B．必要非充分 C．充分必要 D．既非充分，也非必要
1、已知 ，求 。
2、求过点 且平行直线 的直线方程。
3、利用极坐标计算 ，其中D为由 、 及 所围的在第一象限的区域。
四．求解下列各题（共 分，第 题 分，第 题 分）
、利用格林公式计算曲线积分 ，其中L为圆域 ： 的边界曲线，取逆时针方向。
、判别下列级数的敛散性：
五、求解下列各题（共 分，第 、 题各 分，第 题 分）
．平面 与 的夹角为（ ）。
A． B． C． D．
．幂级数 的收敛域为（ ）。
A． B． C． D．
．设 是微分方程 的两特解且 常数，则下列（ ）是其通解（ 为任意常数）。
A． B．
C． D．
． 在直角坐标系下化为三次积分为（ ），其中 为 ， 所围的闭区域。
A． B． C． D．
三．计算下列各题（共 分，每题 分）
高等数学下考试题库(附答案)
高等数学下考试题库(附答案) 高等数学》试卷1（下）一、选择题（3分×10）1.点M1(2,3,1)到点M2(2,7,4)的距离M1M2=（）.A.3B.4C.5D.62.向量a=-i+2j+k，b=2i+j，则有（）.A.a∥bB.a⊥bC.a,b=D.a,b=3.函数y=2-x^2-y^2+1/x+y-12/2+y^2的定义域是（）.A.{(x,y)|1<x<2,1≤x^2+y^2≤2}B.{(x,y)|x,y<0}C.{(x,y)|1<x≤2,2+y^2<2}D.{(x,y)|2+y^2<x}4.两个向量a与b垂直的充要条件是（）.A.a·b=0B.a×b=0C.a-b=0D.a+b=05.函数z=x+y-3xy的极小值是（）.A.2B.-2C.1D.-16.设z=xsiny，则∂z/∂y|(π/4,3/4)=（）.A.2/√2B.-2/√2C.2D.-27.若p级数∑n=1∞pn收敛，则（）.A.p1 D.p≥18.幂级数∑n=1∞xn/n的收敛域为（）.A.[-1,1]B.(-1,1)C.[-1,1)D.(-1,1]9.幂级数∑n=2∞x^n/(n-1)在收敛域内的和函数是（）.A.1/(1-x)B.2/(1-x)^2C.2/(1+x)D.1/(1+x)10.微分方程xy'-ylny=0的通解为（）.A.y=cxB.y=e^xC.y=cxe^xD.y=ex二、填空题（4分×5）1.一平面过点A(1,2,3)且垂直于直线AB，其中点B(2,-1,1)，则此平面方程为______________________.2.函数z=sin(xy)的全微分是______________________________.3.设z=xy-3xy^2+1，则(∂^2z)/(∂x∂y)|3/2=-___________________________.三、计算题（5分×6）4.1.设z=esinv，而u=xy,v=x+y，求u∂z/∂x-∂z/∂y.2.已知隐函数z=z(x,y)由方程x^2+y^2+z^2=1确定，求∂z/∂x.3.设f(x,y)=x^2y-xy^2，求f在点(1,1)处的方向导数沿向量i+j的值.4.设z=f(x^2+y^2)，其中f(u)在u=1处可导，求∂z/∂x|P，其中P为曲线x^2+y^2=1,z=1上的点.5.设z=ln(x+y)cos(x-y)，求∂^2z/∂x^2-2∂^2z/∂x∂y+∂^2z/∂y^2.6.设f(x,y)在点(0,0)处可微，且f(0,0)=0，证明：∂f/∂x和∂f/∂y在点(0,0)处连续.1.已知函数f(x)在区间[0,1]上连续，且f(0)=0，f(1)=1，则方程f(x)=0在区间(0,1)内至少有（）个实根。
(完整word版)同济版高等数学下册练习题(附答案)
第八章 测 验 题一、选择题：1、若a →，b →为共线的单位向量，则它们的数量积 a b →→⋅= ( ).(A) 1； (B)-1； (C) 0； (D)cos(,)a b →→.向量a b →→⨯与二向量a →及b →的位置关系是( ). 共面； (B)共线； (C) 垂直； (D)斜交 .3、设向量Q →与三轴正向夹角依次为,,αβγ，当 cos 0β=时，有()()();();()A Q xoy B Q yoz C Q xoz D Q xoz ⊥rrrr面；面面面5、2()αβ→→±=( )(A)22αβ→→±； (B)222ααββ→→→→±+； (C)22ααββ→→→→±+； (D)222ααββ→→→→±+.6、设平面方程为0Bx Cz D ++=，且,,0B C D ≠， 则 平面().(A) 平行于轴；x ；(B) y 平行于轴； (C) y 经过轴；(D) 经过轴y .7、设直线方程为11112200A x B y C z D B y D +++=⎧⎨+=⎩且111122,,,,,0A B C D B D ≠,则直线( ). (A) 过原点； (B)x 平行于轴； (C)y 平行于轴； (D)x 平行于轴. 8、曲面250z xy yz x +--=与直线513x y -=- 107z -=的交点是( ). (A)(1,2,3),(2,1,4)--；(B)(1,2,3)；(C)(2,3,4)； (D)(2,1,4).--9、已知球面经过(0,3,1)-且与xoy 面交成圆周 22160x y z ⎧+=⎨=⎩，则此球面的方程是( ). (A)2226160x y z z ++++=；(B)222160x y z z ++-=； (C)2226160x y z z ++-+=； (D)2226160x y z z +++-=.10、下列方程中所示曲面是双叶旋转双曲面的是( ).(A)2221x y z ++=； (B)224x y z +=；(C)22214y x z -+=； (D)2221916x y z +-=-. 二、已知向量,a b r r 的夹角等于3π，且2,5a b →→==，求(2)(3)a b a b →→→→-⋅+ .三、求向量{4,3,4}a →=-在向量{2,2,1}b →=上的投影 . 四、设平行四边形二边为向量{1,3,1};{2,1,3}a b →→=-=-{}2,1,3b =-，求其面积 .五、已知,,a b →→为两非零不共线向量，求证：()()a b a b →→→→-⨯+2()a b →→=⨯.六、一动点与点(1,0,0)M 的距离是它到平面4x =的距离的一半，试求该动点轨迹曲面与yoz 面的交线方程 .七、求直线L ：31258x ty t z t =-⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩在三个坐标面上及平面π380x y z -++=上的投影方程 .八、求通过直线122232x y z -+-==-且垂直于平面3250x y z +--=的平面方程 .九、求点(1,4,3)--并与下面两直线1L ：24135x y z x y -+=⎧⎨+=-⎩，2:L 24132x ty t z t=+⎧⎪=--⎨⎪=-+⎩都垂直的直线方程 .十、求通过三平面：220x y z +--=，310x y z -++=和30x y z ++-=的交点，且平行于平面20x y z ++=的平面方程 .十一、在平面10x y z +++=内，求作一直线，使它通过直线1020y z x z ++=⎧⎨+=⎩与平面的交点，且与已知直线垂直 .十二、判断下列两直线 111:112x y z L +-==, 212:134x y z L +-==,是否在同一平面上，在同 一平面上求交点，不在同一平面上求两直线间的距离 .第九章 测 验 题一、选择题:1、二元函数221arcsin z x y =+的定义域是( ).(A)2214x y ≤+≤； (B)2214x y <+≤；(C)2214x y ≤+<； (D)2214x y <+<. 2、设2(,)()xf xy x y y=+,则(,)f x y =( ).(A)221()x y y +； (B) 2(1)x y y+；(C) 221()y x x +； (D) 2(1)yy x +. 3、222200lim()x y x y x y →→+=( ).(A) 0 ； (B) 1 ； (C) 2 ； (D) e .4、函数(,)f x y 在点00(,)x y 处连续,且两个偏导数 0000(,),(,)x y f x y f x y 存在是(,)f x y 在该点可微的( ). (A)充分条件,但不是必要条件； (B)必要条件,但不是充分条件； (C)充分必要条件；(D)既不是充分条件,也不是必要条件.5、设(,)f x y 222222221()sin ,00,0x y x y x y x y ⎧++≠⎪+=⎨⎪+=⎩则在原点(0,0)处(,)f x y ( ).(A)偏导数不存在； (B)不可微；(C)偏导数存在且连续； (D)可微 .6、设(,),(,)z f x v v v x y ==其中,f v 具有二阶连续偏导数.则22zy∂=∂( ).(A)222f v f v v y y v y ∂∂∂∂⋅+⋅∂∂∂∂∂； (B)22f v v y∂∂⋅∂∂；(C)22222()f v f v y v v y ∂∂∂∂+⋅∂∂∂∂； (D)2222f v f v y v v y∂∂∂∂⋅+⋅∂∂∂∂.7、曲面3(0)xyz a a =>的切平面与三个坐标面所围成的四面体的体积V=( ). (A)332a ； (B) 33a ； (C) 392a ； (D) 36a . 8、二元函数333()z x y x y =+--的极值点是( ).(A) (1,2)； (B) (1.-2)； (C) (-1,2)； (D) (-1,-1). 9、函数sin sin sin u x y z =满足 (0,0,0)2x y z x y z π++=>>>的条件极值是( ).(A) 1 ； (B) 0 ； (C) 16； (D)18.10、设函数(,),(,)u u x y v v x y ==在点(,)x y 的某邻 域内可微分,则 在点(,)x y 处有 ()grad uv =( ).();();();().A gradu gradvB u gradv v graduC u gradvD v gradu ⋅⋅+⋅⋅⋅二、讨论函数33x yz x y +=+的连续性，并指出间断点类型. 三、求下列函数的一阶偏导数: 1、ln yz x= ；2、(,,),(,)u f x xy xyz z x y φ==；3、22222220(,)00x y x y f x y x y x y ⎧+≠⎪=+⎨⎪+=⎩.四、设(,)u f x z =,而(,)z x y 是由方程()z x y z φ=+所 确的函数,求du .五、设(,,),yz u x y u xe ==,其中f 具有连续的二阶偏导 数,求2zx y∂∂∂.六、设cos ,sin ,uux e v y e v z uv ===,试求z x ∂∂和z y∂∂ .七、设x 轴正向到方向l 的转角为,φ求函数22(,)f x y x xy y =-+在点(1,1)沿方向l 的方向导数,并分别确定转角,φ使这导数有(1)最大值；(2)最小值；(3)等于零 . 八、求平面1345x y z++=和柱面221x y +=的交线上与xoy 平面距离最短的点 . 九、在第一卦限内作椭球面2222221x y z a b c++=的切平面, 使该切平面与三坐标面所围成的四面体的体积最小,求这切平面的切点,并求此最小体积 .第十章 测 验 题一、选择题: 1、110(,)xdx f x y dy -⎰⎰=( )(A)110(,)x dy f x y dx -⎰⎰； (B)110(,)x dy f x y dx -⎰⎰；(C)11(,)dy f x y dx ⎰⎰； (D)110(,)ydy f x y dx -⎰⎰.2、设D 为222x y a +≤,当a =( )时,Dπ=.(A) 1 ；(B)；(C)(D) .3、当D 是( )围成的区域时二重积分1.Ddxdy =⎰⎰(A),220;轴轴及x y x y +-=11(B),;23x y == (C),4,3;轴轴及x y x y ==(D)1,1;x y x y +=-=4、xy Dxe dxdy ⎰⎰的值为( ).其中区域D 为01,10.x y ≤≤-≤≤(A)1;e (B) e ; (C) 1;e- (D) 1. 5、设22()DI x y dxdy =+⎰⎰,其中D 由222x y a +=所 围成,则I =( ).(A)22400a d a rdr a πθπ=⎰⎰;(B)2240012a d r rdr a πθπ⋅=⎰⎰;(C)2230023a d r dr a πθπ=⎰⎰;(D)22402ad a adr a πθπ⋅=⎰⎰.6、设Ω是由三个坐标面与平面2x y z +-=1所围成的 空间区域,则xdxdydz Ω⎰⎰⎰=( ).(A) 148 ； (B) 148- ； (C) 124 ； (D) 124- .7、设Ω是锥面222222(0,z x y a c a b=+>0,0)b c >>与平面 0,0,x y z c ===所围成的空间区域在第一卦限的部分,则Ω=( ).(A)2136a b ；(B) 22136a b(C) 2136b c ；(D) 1368、计算I zdv Ω=⎰⎰⎰,其222,1z x y z Ω=+=中为围成的 立体,则正确的解法为( )和( ). (A)21100I d rdr zdz πθ=⎰⎰⎰；(B)211rI d rdr zdz πθ=⎰⎰⎰；(C)21100rI d dz rdr πθ=⎰⎰⎰；(D)120zI dz d zrdr πθ=⎰⎰⎰.9、曲面z =222x y x +=内部的那部分面积s =( ).；(B) ；；(D) .10、由直线2,2,2x y x y +===所围成的质量分布均匀(设面密度为μ)的平面薄板,关于x 轴的转动惯量x I =( ).(A) 3μ； (B) 5μ； (C) 4μ； (D) 6μ. 二、计算下列二重积分: 1、22()Dxy d σ-⎰⎰,其中D 是闭区域:0sin ,0.y x x π≤≤≤≤ 2、Dyarctgd xσ⎰⎰,其中D 是由直线0y =及圆周 22224,1x y x y +=+=,y x =所围成的在第一象 限内的闭区域 . 3、2(369)D y x y d σ+-+⎰⎰,其中D 是闭区 域:222x y R +≤4、222Dx y d σ+-⎰⎰,其中D :223x y +≤.三、作出积分区域图形并交换下列二次积分的次序: 1、123301(,)(,)y y dy f x y dx dy f x y dx -+⎰⎰⎰⎰；2、110(,)dx f x y dy ⎰；3、(cos ,sin )ad f r r rdr θθθθ⎰⎰.四、将三次积分110(,,)yxxdx dy f x y z dz ⎰⎰⎰改换积分次序为x y z →→.五、计算下列三重积分: 1、cos(),y x z dxdydz Ω+Ω⎰⎰⎰:抛物柱面y =,,2y o z o x z π==+=及平面所围成的区域 .2、22(),y z dv Ω+⎰⎰⎰其中Ω是由xoy 平面上曲线 22y x =绕x 轴旋转而成的曲面与平面5x =所围成的闭区域 .3、222222ln(1),1z x y z dv x y z Ω++++++⎰⎰⎰其中Ω是由球面 2221x y z ++=所围成的闭区域 .六、求平面1x y za b c++=被三坐标面所割出的有限部分 的面积 . 七、设()f x 在[0,1]上连续,试证: 111301()()()[()]6yxxf x f y f z dxdydz f x dx =⎰⎰⎰⎰ .第十一章 测 验 题一、选择题:设L 为03,02x x y =≤≤,则4L ds ⎰的值为( ).(A)04x ， (B)6, (C)06x .设L 为直线0y y =上从点0(0,)A y 到点0(3,)B y 的有向直线段,则2Ldy ⎰=( ).(A)6; (B) 06y ; (C)0. 若L 是上半椭圆cos ,sin ,x a t y b t =⎧⎨=⎩取顺时针方向,则Lydx xdy -⎰的值为( ).(A)0; (B)2ab π; (C)ab π.4、设(,),(,)P x y Q x y 在单连通区域D 内有一阶连续 偏导数,则在D 内与LPdx Qdy +⎰路径无关的条件,(,)Q Px y D x y∂∂=∈∂∂是( ). (A)充分条件; (B)必要条件; (C)充要条件.5、设∑为球面2221x y z ++=,1∑为其上半球面,则 ( )式正确. (A)12zds zds ∑∑=⎰⎰⎰⎰;(B)12zdxdy zdxdy ∑∑=⎰⎰⎰⎰;(C)1222z dxdy z dxdy ∑∑=⎰⎰⎰⎰.6、若∑为222()z x y =-+在xoy 面上方部分的曲面 , 则ds ∑⎰⎰等于( ).(A)200d rdr πθ⎰⎰;(B)20d rdr πθ⎰⎰;(C)20d rdr πθ⎰.7、若∑为球面2222x y z R ++=的外侧,则22xy zdxdy ∑⎰⎰等于( ).(A)2xyD x y ⎰⎰;(B) 22xyD xy ⎰⎰; (C) 0 .8、曲面积分2z dxdy ∑⎰⎰在数值上等于( ).向量2z i r穿过曲面∑的流量；面密度为2z 的曲面∑的质量；向量2z k r穿过曲面∑的流量 .9、设∑是球面2222x y z R ++=的外侧,xy D 是xoy 面 上的圆域222x y R +≤,下述等式正确的是( ).(A)222xyD xy zds xy ∑=⎰⎰⎰⎰；(B)2222()()xyD xy dxdy xy dxdy ∑+=+⎰⎰⎰⎰；(C)2xyD zdxdy ∑=⎰⎰⎰⎰.10、若∑是空间区域Ω的外表面,下述计算中运用奥-高 公式正确的是( ). (A)2(2)x dydz z y dxdy ∑++⎰⎰Ò外侧=(22)x dxdydz Ω+⎰⎰⎰；(B)32()2x yz dydz x ydzdx zdxdy ∑--+⎰⎰Ò外侧=22(321)x x dxdydz -+⎰⎰⎰； (C)2(2)x dydz z y dxdy ∑++⎰⎰Ò内侧=(21)x dxdydz Ω+⎰⎰⎰.二、计算下列各题:1、求zds Γ⎰,其中Γ为曲线cos ,sin ,,x t t y t t z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩0(0)t t ≤≤；2、求(sin 2)(cos 2)x x Le y y dx e y dy -+-⎰,其中L 为上半圆周222()x a y a -+=,0y ≥,沿逆时针方向 .三、计算下列各题: 1、求222dsx y z ∑++⎰⎰其中∑是界于平面0z z H ==及 之间的圆柱面222x y R +=； 2、求222()()()y z dydz z x dzdx x y dxdy ∑-+-+-⎰⎰， 其中∑为锥面(0)z z h =≤≤的外侧；∑其中∑为曲面22(2)(1)15169z x y ---=+(0)z ≥的上侧 .四、证明:22xdx ydyx y ++在整个xoy 平面除去y 的负半轴及原点的开区域G 内是某个二元函数的全微分,并求出一个这样的二元函数 .五、求均匀曲面z = .六、求向量A xi yj zk =++r r r r通过区域:Ω01,x ≤≤01,01y z ≤≤≤≤的边界曲面流向外侧的通量 .七、流体在空间流动,流体的密度μ处处相同(1μ=),已知流速函数222V xz i yx j zy k =++r r r r ,求流体在单位时间内流过曲面222:2x y z z ∑++=的流量(流向外侧)和沿曲线:L 2222x y z z ++=,1z =的环流量(从z 轴正向看去逆时针方向) .第十二章 测 验 题一、选择题:1、下列级数中,收敛的是( ).(A)11n n ∞=∑；(B)n ∞=；(C)1n ∞=； (D)1(1)nn ∞=-∑.2、下列级数中,收敛的是( ).(A) 115()4n n ∞-=∑； (B)114()5n n ∞-=∑；(C)1115(1)()4n n n ∞--=-∑； (D)1154()45n n ∞-=+∑. 3、下列级数中,收敛的是( )(A)221(!)2n n n ∞=∑； (B)13!n n n n n∞=∑； (C) 221sinn nππ∞=∑； (D)11(2)n n n n ∞=++∑.4、部分和数列{}ns 有界是正项级数1n n u ∞=∑收敛的( )(A)充分条件； (B)必要条件；(C)充要条件； (D)既非充分又非必要条件 . 5、设a 为非零常数,则当( )时,级数1nn ar∞=∑收敛 .(A)1r <； (B)1r ≤；(C)r a <； (D)1r >.6、幂级数11(1)(1)nn n x n∞-=--∑的收敛区间是( ).(A) (0,2]； (B) [0,2)； (C) (0,2]； (D) [0,2].7、若幂级nn n a x∞=∑的收敛半径为1:R 10R <<+∞;0nn n b x∞=∑的收敛半径为2:R 20R <<+∞,则幂级数()nnn n ab x ∞=+∑的收敛半径至少为( )(A)12R R +； (B)12R R ⋅；(C){}12max ,R R ； (D){}12min ,R R .8、当0R >时,级数21(1)nn k nn ∞=+-∑是( ) (A)条件收敛； (B)绝对收敛； (C)发散； (D)敛散性与k 值无关. 9、lim 0n n u →∞=是级数1nn u∞=∑收敛的( )(A)充分条件； (B)必要条件；(C)充要条件； (D)既非充分又非必要条件 .10、幂级数1(1)n n n n x ∞=+∑的收敛区间是( )(A) (1,1]-； (B) (1,1]-； (C) (1,1]-； (D) [1,1]-. 二、判别下列级数的收敛性:1、221(!)2n n n ∞=∑； 2、21cos 32nn n n π∞=∑.三、判别级数11(1)lnn n n n∞=+-∑的敛散性 . 四、求极限 111139273lim[248(2)]nn n →∞⋅⋅⋅⋅L .五、求下列幂级数的收敛区间:1、135n n n n x n ∞=+∑； 2、212n n n nx ∞=∑. 六、求幂级数1(1)nn x n n ∞=+∑的和函数 .七、求数项级数21!n n n ∞=∑的和 .八、试将函数21(2)x -展开成x 的幂级数. 九、设()f x 是周期为2π的函数,它在[,]ππ-上的表达式为0,[,0)(),[0,)x x f x e x ππ∈-⎧=⎨∈⎩将()f x 展开成傅立叶级数 .十、将函数1,0()0,x hf x h x π≤≤⎧=⎨<≤⎩分别展开成正弦级数和余弦级数 .十一、证明:如果()(),()f x f x f x π-=-以2π为周期, 则()f x 的傅立叶系数 00a =,220,0(1,2,)k k a b k ===L .第八章 测 验 题 答 案一、1、D ； 2、C ； 3、C ； 4、A ； 5、B ； 6、B ； 7、C ； 8、A ； 9、D ； 10、D. 二、-103. 三、2.四、六、221330y z x ⎧+=⎪⎨⎪=⎩. 七、3120x t y t z =⎧⎪=-+⎨⎪=⎩,3058x t y z t =-⎧⎪=⎨⎪=+⎩, 01258x y t z t =⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩, 1411260380x y z x y z +--=⎧⎨-++=⎩. 八、81390x y z --+=.九、1124463x ty t z t =--⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩.十、240x y z ++-=.十一、21010x y z x y z +-+=⎧⎨+++=⎩.十二、直线12L L 与为异面直线,3d =.第九章 测 验 题 答 案一、1、A ； 2、B ； 3、B ； 4、B ； 5、D ； 6、C ； 7、A ； 8、A ； 9、D ； 10、B. 二、(1)当0x y +≠时,在点(,)x y 函数连续； (2)当0x y +=时,而(,)x y 不是原点时,则(,)x y 为可去间断点,(0,0)为无穷间断点.三、1、ln 1(ln )y x z y x -=,ln ln y y x z x y=； 2、123(),x x u f yf yz xyz f =+++23()y y u xf xz xyz f =++.3、322222222,0()(,),0,0x xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩ 2222222222(),0()(,),0y x x y x y x y f x y o x y ⎧-+≠⎪+=⎨⎪+=⎩.四、221()()()1()1f f z f dx dy y z y z φφφ--''--.五、2yy y y uuuy xu xy u xef e f xe f f e f '''''''''++++. 六、(cos sin ),(cos sin ).u u z zv v u v e u v v v e x y--∂∂=-=+∂∂ 七、cos sin ,fl φφ∂=+∂ 537(1)(2)(3)4444ππππφφφ===及八、4335(,,).5512九、切点min 2V abc =.第十章 测 验 题 答 案1、D ；2、C ；3、A ；4、A ；5、B ；6、A ；7、A ；8、B,D ；9、B ； 10、C.二、1、2409π-；2、2364π； 3、4294R R ππ+；4、5.2π三、1、2302(,)xxdx f x y dy -⎰⎰；2、21201(,)(,)y dy f x y dx dy f x y dx +⎰⎰⎰；3、(cos ,sin )aarrdr f r r d θθθ⎰⎰.四、110(,,)zzdz dy f x y z dx ⎰⎰⎰.五、1、21162π-； 2、2503π； 3、0.. 七、提示：1()(),()()()(),(0)0xF x f t dt F x f x F t f x dx F '====⎰⎰则且第十一章 测 验 题 答 案一、1、B ； 2、C ； 3、C ； 4、C ； 5、B ； 6、C ； 7、B ； 8、C ； 9、C ； 10、B.二、1、3220(2)3t +-； 2、2a π.三、1、2H arctg R π； 2、44h π-； 3、0.四、221(,)ln()2u x y x y =+.五、(0,0,)2a. 六、3.七、32,015π.第十二章 测 验 题 答 案一、1、B ； 2、B ； 3、C ； 4、C ； 5、D ； 6、C ； 7、D ； 8、A ； 9、B ； 10、A. 二、1、发散； 2、收敛. 三、条件收敛.. (提示:化成2123332n n ++++L L )五、1、11[,)55-； 2、(.六、11(1)ln(1),(1,0)(0,1)()0,0x x s x xx ⎧+--∈-⋃⎪=⎨⎪=⎩. 七、2e .八、12111,(2,2)(2)2n n n n x x x ∞-+==∈--∑九、2111(1)1()[cos 21n n e e f x nx nππππ∞=---=++∑ 12((1)1)sin ]1n n e nx n π+-+++, (,0,1,2,x x n n π-∞<<+∞≠=±±L 且). 十、121cos ()sin ,(0,)(,)n nhf x nx x h h n ππ∞=-=∈⋃∑12sin ()cos ,[0,)(,)n h nhf x nx x h h nπππ∞==+∈⋃∑。
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高等数学下册试题及答案解析一、填空题（每小题3 分，共计 24 分）1、 z=log a ( x 2y 2) (a0)的定义域为 D=.ln( x 2 y 2 )dxdy2、二重积分 |x| | y| 1的符号为.3、由曲线y ln x及直线xy e 1， y1所围图形的面积用二重积分表示为，其值为.x (t ) (x ),y(t)4、设曲线 L 的参数方程表示为则弧长元素 ds.5、设曲面∑为 x2y29介于 z0 及 z3间的部分的外侧，则（x 2 y 2 1)ds.dyyy6、微分方程 dxtanx 的通解为.x7、方程 y(4 )4 y 0的通解为.18、级数 n 1 n( n1)的和为.二、选择题（每小题2 分，共计 16 分）1、二元函数zf ( x, y) 在 (x 0 , y 0 ) 处可微的充分条件是（）（A ） f ( x, y) 在 ( x 0, y 0) 处连续；（ B） f x( x, y)， f y( x, y)在( x 0, y 0 )的某邻域内存在；zf x ( x 0 , y 0 ) x f y ( x 0 , y 0 ) y当( x)2（ C ）limz f x (x 0 , y 0 ) xf y ( x 0 , y 0 ) y 0x 0 ( x)2( y)2（ D ）y 0.u yf ( x)xf ( y),f2、设y x 其中 具有二阶连续导数，则（ A ）xy ； （ B ） x； (C) y；(D)0 .2 ( y)时，是无穷小；2u2ux2y2x y 等于（）： x2y2z2IzdV3、设1, z0,则三重积分等于（）2d 2d13sin cos dr（A ）4r0 0；2dd12sin dr（B ） 0 r；22d1r 3sin cosdrd（C ） 0；2d1r 3sin cos drd（D ） 0.4、球面 x2y 2z 24a 2 与柱面 x 2y 22ax所围成的立体体积 V= （）42d2a cos4a2r 2dr（ A ）；42 d2a cos 4a 2 r 2 drr （ B ）；82 d2 a cos 4a 2r2drr（ C ）；2d2 a cos4a 2 r 2 drr（ D ）2.5、设有界闭区域 D 由分段光滑曲线 L 所围成， L 取正向，函数 P( x, y), Q (x, y) 在 D 上具有一阶连续偏导数，则Pdx Qdy( )L( P Q) dxdy（A ） Dyx ；（ B ） ( P Q)dxdy（C ） Dxy ； （D ）6、下列说法中错误的是（）DDQ P()dxdyyx；(QP)dxdyxy.（ A ） 方程xy2 y x 2 y 0是三阶微分方程；y dy x dyy sin x（B ） 方程 dxdx是一阶微分方程；（ C ） 方程 ( x22xy 3 ) dx ( y 2 3x 2 y 2)dy 0 是全微分方程；dy 1 2y（ D ） 方程 dx xx2 是伯努利方程 .7、已知曲线 y y( x)经过原点，且在原点处的切线与直线2xy 6平行，而y(x)满足微分方程y 2 y 5y，则曲线的方程为y （）（ A ） e xsin 2x ；（ B ） e x(sin 2xcos 2x) ；（ C ） e x(cos 2 xsin 2 x) ；（ D ） e xsin 2x .lim nu n 0, 则 n 1 u n8、设 n （ ）（ A ）收敛； （ B ）发散； （ C ）不一定；（ D ）绝对收敛 .三、求解下列问题（共计 15 分）1、（ 7 分）设f , g均为连续可微函数 .uu , uf ( x , xy ), vg ( xxy ) ，求 xy .u( x,t )x tu ,ux f (z)dzt四、求解下列问题（共计 15分）.22y 2 dy1、计算Idx ex.（ 7 分）I(x 2 y 2 )dV是由x2y22z, z 1及 z2所围成的空间闭区域（ 8分）.2、计算，其中Ixdy ydxL22五、 （ 13 分）计算 xy，其中 L 是xoy面上的任一条无重点且分段光滑不经过原点O (0,0)的封闭曲线的逆时针方向 .f ( x) f ( y)x, y, f ( x) 满足方程f (x y)六、 （ 9 分）设对任意 1 f ( x) f ( y) ，且 f (0) 存在，求 f ( x) .( 1)n ( x2) 2n1七、（ 8 分）求级数 n 12n 1 的收敛区间 .高等数学（下册）试卷（二）一、填空题（每小题 3 分，共计 24 分）zz1、设 2sin( x2y 3z)x 2 y 3z ，则 xy.39 xylimxy x 02、y.I2 2 x f ( x, y)dydxxI3、设，交换积分次序后，.lim 1 3f ( x 2 y 2 )d4、设 f (u) 为可微函数，且f (0)tt.0, 则x 2 y 2 t 25、设 L 为取正向的圆周x 2y24，则曲线积分y( ye x1)dx (2 ye x x)dyL.6、设A( x2yz) i ( y2xz) j (z2xy) k，则 div A.7、通解为yc 1e xc 2e2 x的微分方程是.f ( x)1,x0 xa n8、设1, ，则它的 Fourier 展开式中的 .二、选择题（每小题 2 分，共计16分）.f ( x, y)xy 2 , x 2 y 2 0x 2 y 41、设函数0,x 2y 2）,则在点（ 0， 0）处（ （ A ）连续且偏导数存在；（ C ）不连续但偏导数存在；2、设u(x, y)在平面有界区域2u2ux y及 x2则（）（ B ）连续但偏导数不存在； （D ）不连续且偏导数不存在 .D 上具有二阶连续偏导数，且满足2uy 2，（ A ）最大值点和最小值点必定都在 D 的内部；（ B ）最大值点和最小值点必定都在 D 的边界上； （ C ）最大值点在 D 的内部，最小值点在 D 的边界上； （ D ）最小值点在 D 的内部，最大值点在 D 的边界上 .D ： ( x 2) 2 ( y 1) 21，若 I 1( x y) 2 dI 2( x y)3 d3、设平面区域D，D则有（ ）（A ）I 1I2； （B ） I 1 I 2 ；（C ） I 1I 2 ； （D ）不能比较 .是由曲面zxy, y x, x 1及 z所围成的空间区域，则xy 2 z 3 dxdydz4、设=（）1111（A ）361； （B ）362； （C ）363； （D ）364.x (t)5、设f ( x, y)在曲线弧 L 上有定义且连续， L 的参数方程为y(t) (t)，其中(t ), (t ) 在 [ ,]上具有一阶连续导数，且2(t )2(t )， 则曲线积分f ( x, y)dsL（）f ( (t), (t))dt(B)f ( (t ), (t))2(t )2(t) dt(A)；； (C)f ( (t ), (t ))2(t ) 2(t )dt； (D)f ( (t ), (t ))dt.6、设是取外侧的单位球面 x 2 y 2 z 21， 则曲面积分xdydz ydzdx zdxdy=（）(A)0 ； (B)2； (C)； (D)4.7、下列方程中，设y 1, y2是它的解，可以推知(A) y p(x) y q( x) 0 ；(B)y(C) yp(x) y q( x) y f (x) ； (D)a ny 1y2 也是它的解的方程是（ ）p(x) y q(x) y 0 ；yp( x) y q(x) 0 .8、设级数 n 1 为一交错级数，则（ ） (A) 该级数必收敛； (B) 该级数必发散；(C) 该级数可能收敛也可能发散；(D) 若a n0 ( n0)，则必收敛.三、求解下列问题（共计 15 分）1、（ 8 分）求函数uln( xy2z 2 )在点 A （ 0， 1，0）沿 A 指向点 B （ 3， -2， 2）的方向的方向导数 .2、（ 7 分）求函数f ( x, y)x 2 y(4 x y) 在由直线 x y6, y 0, x 0 所围成的闭区域D 上的最大值和最小值 .四、求解下列问题（共计15 分）dvI31、（ 7 分）计算(1 x y z)，其中是由x0, y 0, z 0 及 xy z 1所围成的立体域 .2、（ 8 分）设f (x)为连续函数，定义 F (t )[ z 2f ( x 2 y 2 )]dv，( x, y, z) | 0 z h, x2y2t2dF其中，求dt.五、求解下列问题（ 15 分） 1、（ 8 分）求I(e x sin y my)dx (e x cos y m)dy，其中 L 是从 A （ a ， 0）经yax x2L到O （0， 0）的弧 .Ix 2 dydz y 2 dzdx z 2 dxdy是 x2y2z 2 (0 z a) 的外侧 .2、（ 7 分）计算，其中六、（ 15 分）设函数( x)具有连续的二阶导数，并使曲线积分[ 3 (x) 2(x) xe 2x ] ydx( x)dyL与路径无关，求函数( x).高等数学（下册）试卷（三）一、填空题（每小题3 分，共计 24 分）uyz t2dtue1、设xz， 则z.2、函数 f (x, y)xy sin( x 2y) 在点（ 0， 0）处沿 l(1,2) 的方向导数f (0,0)l=.x2y 2, zIf ( x, y, z) dv3、设为曲面z1 0所围成的立体，如果将三重积分化为先对 z再对 y最后对 x三次积分，则 I=.lim1f (x, y)d22224、设f ( x, y)为连续函数，则It 0 tD，其中D : xyt .( x 2y 2 )dsL : x 2y 2a25、 L，其中.6、设是一空间有界区域，其边界曲面是由有限块分片光滑的曲面所组成，如果函数P(x, y, z) ， Q ( x, y, z) ， R(x, y, z) 在上具有一阶连续偏导数，则三重积分与第二型曲面积分之间有关系式：， 该关系式称为 公式 .7、微分方程y6 y 9 yx26x9 的特解可设为 y *.( 1) n 18、若级数 n 1np发散，则 p.二、选择题（每小题 2 分，共计 16 分）f ( x a, b)f (a x, b)lim1、设 f x (a, b) 存在，则 x 0x=（ ）1（A ） f x(a,b)；（ B ） 0；（ C ） 2 f x(a,b)；（ D ）2f x(a,b).2、设zx y 2 ，结论正确的是（）2z2z2z 2z（ A ）x yy x； （ B ）x yy x；2 z2 z（ C ）x yy x； （ D ）3、若f ( x, y)为关于 x的奇函数，积分域2z2zx y y x.D 关于 y轴对称，对称部分记为D 1, D2 ，f ( x, y)在D 上连f ( x, y)d续，则D（）f (x, y) df ( x, y)df ( x, y)d（A ）0；（ B ）2 D 1；（ C ）4 D 1； (D)2 D 2.： x2y2z2R 2 ，则( x 2 y 2 )dxdydz4、设=（ ）8 R 54 R5 8 R516 R 5（A ）3； （B ）3； （C ） 15 ； （D ） 15 .5、设在xoy面内有一分布着质量的曲线L ，在点( x, y)处的线密度为( x, y) ，则曲线弧 Ｌ 的重心的 x坐标 x为（）1 x ( x, y)ds1x ( x, y)dx（Ａ） x =M； （B ） x =MLL；x ( x, y)ds1xds（ C ） x= L；（ D ） x =ML, 其中 M 为曲线弧 Ｌ的质量 .６、设为柱面 x2y 21和 x0, y 0, z1在第一卦限所围成部分的外侧，则曲面积分y 2 zdxdy xzdydz x 2 ydxdz＝（ ）5（ A ） 0； （B ） 4； （C ）24； （D ） 4.７、方程y2 yf ( x)的特解可设为（ ）（ A ） A ，若 f ( x) 1； （ B ） Ae x，若f (x)e x ； （ C ） Ax4Bx3Cx 2DxE ，若 f ( x) x 22x ；（ D ） x( Asin 5x B cos5x) ，若 f (x)sin 5x .f (x)1,x 010 x，则它的 Fourier 展开式中的a n等于（８、设）2 [1 ( 1) n ]14（ A ）n； （ B ）0； （ C ） n ； （ D ） n.y f (x, t),t确定的 x, y的函数，其中f , F具有一阶连续偏三、 （１２分）设为由方程 F (x, y, t) 0 dydx .导数，求四、 （８分）在椭圆x 24y 24上求一点，使其到直线2x 3y 6 0的距离最短 .五、 （８分）求圆柱面x 2 y 22y被锥面zx 2y 2和平面z 0 割下部分的面积Ａ .Ixyzdxdy为球面 x2y 2 z 2 1 的 x 0, y部分六、（１２分）计算，其中的外侧 .df (cos x) 1 sin 2 x七、 （ 10 分）设d (cos x)，求 f (x) .八、（ 10 分）将函数f ( x) ln(1 xx 2x 3 )展开成x 的幂级数 .高等数学（下册）试卷（四）一、填空题（每小题 3 分，共计 24 分）1、由方程xyzx2y2z22所确定的隐函数z z(x, y)在点（ 1， 0，-1）处的全微分dz.2、椭球面 x22 y23z26在点（ 1，1， 1 ）处的切平面方程是.x 2, yI(1 x 2 )dxdy3、设 D 是由曲线 yx2所围成，则二重积分D.4、设是由 x2y24, z 0, z4所围成的立体域，则三重积分I( x 2y 2 )dv=.5、设是曲面zx 2 y 2 介于z 0, z 1之间的部分，则曲面积分I(x 2y 2 )ds.x 2 dsx2y 2z 2a 26、 xy z 0.7、已知曲线 yy( x) 上点 M(0,4) 处的切线垂直于直线 x 2 y 5 0 ，且 y( x)满足微分方程 y 2yy，则此曲线的方程是 .8、设f (x)是周期 T= 2的函数，则f ( x)的 Fourier 系数为.二、选择题（每小题 2 分，共计 16 分）zarcsinyxy1、函数x的定义域是（ ）（ A ） (x, y) | x y , x 0 ； （B ） ( x, y) | x y , x 0 ；（ C ）(x, y) | xy 0, x 0(x, y) | x y0, x 0 ；（ D ） (x, y) | x 0, y 0( x, y) | x 0, y 0 .2、已知曲面 z4 x 2y 2 在点 P 处的切平面平行于平面2x 2 y z 1 0，则点 P 的坐标是（ ）（ A ）（ 1，-1， 2）； （ B ）（ -1， 1， 2）；（ C ）（ 1， 1，2）； （D ）（ -1， -1， 2） .3、若积分域 D 是由曲线yx 2 及y2 x 2f (x, y)d所围成，则 D=（）12 x21x2（A ） 1dx x21yf ( x, y)dy（ B ） 1dx 2 x 2 ；2 x 21f (x, y)dy；（ C ）dy2 yf ( x, y) dx；（ D ） x 2dy1 f ( x, y)dx .4、设1: x2y 2z 2R 2, z 0;2: x2 y2z 2R 2, x 0, y 0, z 0，则有（）（ A ）xdv 4 xdv（ B ）ydv4ydv12；12；（ C ）xyzdv4 xyzdv（ D ）zdv4zdv12；12.5、设 为由曲面zx2y 2及平面 z 1所围成的立体的表面，则曲面积分( x2y 2 )ds =（ ）122（ A ）2； （B ） 2； （C ）2； （D ）0 .６、设是球面 x2y 2z 2a 2 表面外侧，则曲面积分x 3 dydz y 3 dzdx z 3 dxdy＝（ ）12a 312a 54 a 5（A ）5；（B ）5；（C ）5； （D ）k７、一曲线过点 (e,1)，且在此曲线上任一点 M ( x, y) 的法线斜率（）12a 55.x ln x xy ln x ，则此曲线方程为yx x ln(ln x)yx x ln xee（ A ）；（B ）；yx ln(ln x)（ C ）yex x ln(ln x) ；e（ D ）.( n 1) x n８、幂级数 n 1的收敛区间为（）（ A ）（ -1， 1）； （B ）(,)； （ C ）（ -1， 1）； （ D ） [-1 ， 1].uyf ( x) xg( y)三、（１０分）已知函数yx ，其中f , g具有二阶连续导数，求2u 2 ux yx 2x y的值 .四、（１０分）证明：曲面xyzc 3 (c0)上任意点处的切平面与三坐标面所围成立体的体积为一定值 .五、（１４分）求抛物面z 4 x 2y 2 的切平面，使得与该抛物面间并介于柱面( x 1)2y21内部的部分的体积为最小 .I(e x sin y y)dx (e x cos y x)dy2六、（１０分）计算 L，其中Ｌ为y4 x由Ａ（２，０）至Ｂ（－２，０）的那一弧段.y2 y y 2 七、（８分）求解微分方程1 =0 .x n八、（８分）求幂级数n 1n的和函数S( x).高等数学（下册）试卷（五）一、填空题（每小题 3 分，共计 24 分）1、设zf (x, y) 是由方程 zy x xez y x所确定的二元函数，则dz.x 2 y 2z 2 3x 0２、曲线2x 3y 5z 4 0在点（１，１，１）处的切线方程是 .是由 x2y2z21，则三重积分e z dv３、设＝.a y４、设f ( x)为连续函数，a, m是常数且 a 0 ，将二次积分dye m(a x)f ( x)dx化为定积分为.Pdx Qdy与积分路径L( AB)无关的充要条件为５、曲线积分 L(AB).６、设 为 za 2 x 2 y 2 ，则 ( x 2 y 2z 2 ) ds.７、方程y3y e 2 x 的通解为.a nb n(a n b n ).８、设级数 n 1 收敛， n 1 发散，则级数 n 1必是二、选择题（每小题 2 分，共计 16 分）x 2 y ,(x, y) (0,0)f ( x, y)x 2 y 2１、设0,( x, y)(0,0)，在点（０，０）处，下列结论（）成立 .（Ａ）有极限，且极限不为 0；（Ｂ）不连续； （Ｃ）f x(0,0)f y (0,0) 0 ；（Ｄ）可微 .２、设函数（Ａ）2f2zf ( x, y) 有 y 2，且 f ( x,0) 1， f y( x,0) x，则 f ( x, y) =（）1 xy y 2； （Ｂ）1xy y 2； （Ｃ） 1 x 2yy2 ；（Ｄ）1x 2 y y 2 .３、设Ｄ： 1 x2y 24， f在 D 上连续，则f ( x 2 y 2 ) dD在极坐标系中等于（）22rf (r )dr2 22)dr1rf (r（Ａ）；（Ｂ）1；2 [2r 2f (r )dr1r 2f ( r )dr ]2 [2rf (r 2 )dr1rf (r 2 )dr ]（Ｃ）； （Ｄ）.４、设是由x0, y 0, z 0 及 x 2y z1所围成，则三重积分xf ( x, y, z)dv ( )1 1 yx 2 ydx12 dz（Ａ）111 x2 yxf ( x, y, z)dy；dxdyxf ( x, y, z)dz（Ｂ）；11 x1 x2 ydx2dyxf ( x, y, z)dz（Ｃ）；11 dy1dx xf (x, y, z)dz（Ｄ） 0.５、设是由x0, y 0, z 0, x 1y1, z 1所围立体表面的外侧，则曲面积分xdydz ydzdxzdxdy ( )（Ａ） 0；（Ｂ） 1； （Ｃ） 3；（Ｄ） 2.６、以下四结论正确的是（）(x2 y2 z2 ) dv 4 a 5 （Ａ）x2 y 2 z2 a23 ；x2 y 2 z2 ds 4 a 4 ;（Ｂ） x2 y2 z2 a2( x2 y2 z2 )dxdy 4 a 4 （Ｃ）x2 y 2 z2 a2外侧；（Ｄ）以上三结论均错误 .７、设g ( x)具有一阶连续导数，g(0)1.并设曲线积分yg ( x) tan xdx g( x)dyL与积分路径( , )g( x) dy ( )4 4 yg( x) tan xdx无关，则(0,0 )2 2 2 2（Ａ） 2 ；（Ｂ） 2 ；（Ｃ）8 ；（Ｄ）8 .( 1) n 1８、级数n 1 2n 1 的和等于（）（Ａ） 2/3；（Ｂ） 1/3；（Ｃ） 1；（Ｄ） 3/2.三、求解下列问题（共计１５分）u u u１、（８分）设ux yz ,, 求x y z .u f ( x,y)（７分）设y z，f具有连续偏导数，求du.四、求解下列问题（共计１５分）I af (x) bf ( y) d2 y 2 R 2１、（８分）计算D f (x) f ( y)，其中D : x .I ( x y z 1) dv（７分）计算，其中 : x2 y 2 z2 R 2 .五、（１５分）确定常数，使得在右半平面x0 上，2 xy( x 4 y 2 ) dx x 2 ( x 4y 2 ) dyu( x, y) .L与积分路径无关，并求其一个原函数1 xf ( x)x)3六、 （８分）将函数(1 展开为 x的幂级数 .七、 （７分）求解方程y6y9y.高等数学（下册）试卷（六）一、单选题（共 15 分，每小题 3 分）1．设函数 f ( x, y) 在 P( x 0 , y 0 )的两个偏导 f x ( x 0 , y 0 ) ， f y( x 0, y 0)都存在，则( )A ．f ( x, y)在 P 连续B ．f (x, y)在 P 可微lim f ( x, y 0 ) lim f ( x 0 , y) C ． x x 0及 y y 02．若zy ln x ，则dz等于（ y ln x ln y y ln x ln yA. x yC . y ln x ln ydxy ln x ln y dyxlim f ( x, y)都存在D ． ( x, y ) ( x 0 , y 0 ) 存在）．B.y ln xln yxy ln x ln yy ln x ln xD.dxdyxy是圆柱面 x2y 22x 及平面 z 0, z1所围成的区域，则f (x, y, z) dxdydz (3．设）．A.2d2 cos1f (r cos , r sin , z)dzB.2d2cos rdr 1f (r cos , r sin , z)dz0 dr0 02d2 cos12cos x rdr1C.rdrf (r cos , r sin , z)dzD . df (r cos , r sin , z)dz2a n (x 1)n1 处收敛，则此级数在 x2 处（ 4． 4．若 n 1 在 x）．A ． 条件收敛B ． 绝对收敛C ． 发散D ． 敛散性不能确定x y z 25．曲线 z x 2y 2在点（ 1，1， 2）处的一个切线方向向量为（ ） .A. （ -1， 3， 4）B. （ 3， -1， 4）C. （ -1， 0， 3）D. （ 3， 0，-1）二、填空题（共 15 分，每小题 3 分）edxln xIf ( x, y)dyI2．交 换 1的积分次序后， _____________________ ．z23．设u2xy，则 u 在点M ( 2, 1,1)处的梯度为.e xx nn! ，则 xe x4. 已知 n 0. 5. 函数zx 3y 3 3x 2 3y 2 的极小值点是.三、解答题（共 54 分，每小题 6--7 分）z y arctanyzzy .1.（本小题满分 6 分）设x , 求 x,2.（本小题满分 6 分）求椭球面2x 23y2z29 的平行于平面 2x 3y 2z 1的切平面方程，并求切点处的法线方程r1 r 3 r3. （本小题满分 7 分）求函数z x 2y 2 在点 (1,2) 处沿向量l 2i2 j方向的方向导数 .1f ( x)3的幂级数，并求收敛域 .4. （本小题满分 7 分）将x展开成x5．（本小题满分 7 分）求由方程2x 2 2y 2 z 2 8yz z 8 0 所确定的隐函数 z z(x, y)的极值 .(x 2y 2 )d , D 由曲线 x1 y2 , y1, y 16．（本小题满分 7 分）计算二重积分 D及 x2 围成 .xy 2 dy x 2 ydx22 2Lxa向） .xydxdydz是由柱面 x2y21 及平面 z 1, x 0, y所围成8. （本小题满分 7 分）计算 ，其中且在第一卦限内的区域 ..四、综合题（共 16 分，每小题 8 分）u n ,v n(u n v n )21．（本小题满分 8 分）设级数 n 1n 1都收敛，证明级数 n 1收敛 .f2xf ( x, y) 在 R 2内具有一阶连续偏导数，且x2．（本小题满分 8 分）设函数，证明曲线积分2xydx f ( x, y)dyt 恒有L与路径无关．若对任意的( t ,1)f ( x, y) dy(1, t )f ( x, y)dy2xydx2xydx(0,0)(0,0)，求f ( x, y)的表达式．高等数学（下册）试卷（一）参考答案一、 1、当 0 a 1时，x 2y 21；当a 1 时， x 2 y 2 1 ；1 e 1 yddye ydx;3222、负号；3、 D24、(t )(t )dt ；y；Cxsin5、 180 ；6、 x；7、yC 1 cos 2x C 2 sin 2x C 3 e 2 x C 4 e2 x ；8、 1；二、 1、 D ； 2、 D ； 3、C ； 4、B ； 5、D ； 6、 B ； 7、 A ； 8、C ；uf 1 yf 2uxg (xxy )三、 1、xy；；uf (x t)f (x t )uf (xt) f (x t )2、xt；；22e y2dy 2 y y 2dx2y2dy 1 (1 e 4)dxdyeye2四、1、 0x； 柱面坐标22 23dz 22 dr 23dz 14I0 ddrrd 2 1 2 r1r32、2；五、令Py ,QxPy 2 x 2Qx 2y 2 x 2y 2 则 y ( x 2y 2 )2x ， ( x, y) (0,0) ；P , Q于是①当 L 所围成的区域 D 中不含 O （ 0， 0）时，yx在 D 内连续 .所以由 Green 公式得：P , QI=0 ；②当 L 所围成的区域 D 中含 O （ 0，0）时， yx在 D 内除 O （ 0，0）外都连续，此时作曲线l为 x2y22( 01)，逆时针方向，并假设D * 为 L 及 l 所围成区域，则ILl l L l Green 公式 (QP) dxdy 2lD *xy x 2 y 22六、由所给条件易得：f (0)2 f (0) f (0)1f 2( 0)f (x)lim f ( xx) f ( x) 又x 0xlim1 f2 ( x)f ( x)f ( x) f (x)x x 01f ( x) f (0)即1f 2 ( x)arctan f ( x) f ( 0) xc 即 又 f (0) 0 即 c k , k Zf (x) f ( x)f ( x)lim 1 f ( x) f ( x)= x 0 xf ( 0)f (0)[1 f 2 ( x)]f ( x) tan[ f (0) x c] f ( x) tan( f (0)x)( 1) nt 2n1七、令x 2 t，考虑级数n 12n 1t 2 n3lim 2n 3 t 2t 2 n 1n2n 1当 t 21即t1时，亦即 1x3时所给级数绝对收敛；当t 1即 x3 或 x 1 时，原级数发散；当t1即 x1时，级数n( 1) n 11 12n 1 收敛；(1) n 11收敛；当 t 1 即 x 3 时，级数 n 12n级数的半径为 R=1，收敛区间为 [1， 3].高等数学（下册）试卷（二）参考答案2y42dyf ( x, y)dxdy一、 1、 1； 2、-1/6 ； 3、y / 22 y / 2f ( x, y)dx2 f (0)；4、3；5、 8； 6、2(x y z)； 7、yy2 y；8、 0；二、 1、C ； 2、B ； 3、A ； 4、D ； 5、C ； 6、 D ； 7、B ； 8、C ；三、 1、函数uln( xux AxuAyxuz Ax而 l ABuul Axy 2 z 2 )在点 A （ 1，0， 1）处可微，且1 (1,0,1)y 2z 21/ 2；1y (1,0 ,1)y 2z 2y 2z 2；1z(1,0 ,1)1/ 2y 2z 2 y 2z 2l 2 2 1(2, 2,1), ( ,, ),故在 A 点沿 l AB方向导数为：所以33 3uA cosuAcosAcos + y+ z1 2 0 ( 2 1 1 1/ 2.2 3 ) 2 33 f x 2xy(4 x y) xy( 1) 0f y x 2 (4 x 2 y)得 D 内的驻点为M 0 (2,1),且 f (2,1)4，2、由又 f (0, y) 0, f (x,0) 0而当xy 6, x 0, y0 时， f ( x, y) 2x 312 x 2(0 x 6)令(2 x 312x 2 ) 0 得 x 10, x 2 4于是相应y 16, y 2 且 f (0,6) 0, f (4,2)64.17/180 x 1: 0y x 1四、 1、的联立不等式组为0 z 1 x ydz11 x1 x yIdxdy 0(1x yz)3所以11 1 x [112dxxy) 2]dy0 0(1 41 1 13 x )dx 1ln 252(4 216x 12、在柱面坐标系中2t ht21 32[hf ( r ) rr ] drF (t )ddr [ z 2f ( r 2)] rdzh3所以dF 2 [hf (t 2)t 1h 3t ] 2 ht[ f (t 2 ) 1 h 2 ]dt3 3五、 1、连接 OA ，由 Green 公式得：。
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高等数学考试题库(附答案)1. 解析：求函数 f(x) = x^2 在区间 [0, 2] 上的定积分。
2. 解析：求函数 f(x) = e^x 在区间 [1, 1] 上的定积分。
3. 解析：求函数 f(x) = sin(x) 在区间[0, π] 上的定积分。
4. 解析：求函数 f(x) = cos(x) 在区间[0, π/2] 上的定积分。
5. 解析：求函数 f(x) = ln(x) 在区间 [1, e] 上的定积分。
6. 解析：求函数 f(x) = x^3 在区间 [1, 1] 上的定积分。
7. 解析：求函数f(x) = √x 在区间 [0, 4] 上的定积分。
8. 解析：求函数 f(x) = 1/x 在区间 [1, 2] 上的定积分。
9. 解析：求函数 f(x) = tan(x) 在区间[0, π/4] 上的定积分。
10. 解析：求函数 f(x) = 1/(1 + x^2) 在区间 [0, 1] 上的定积分。
11. 解析：求函数 f(x) = x^2 + 1 在区间 [0, 1] 上的定积分。
12. 解析：求函数 f(x) = e^(x) 在区间 [0, 2] 上的定积分。
13. 解析：求函数 f(x) = sin^2(x) 在区间[0, π] 上的定积分。
14. 解析：求函数 f(x) = cos^2(x) 在区间[0, π/2] 上的定积分。
15. 解析：求函数 f(x) = 1/(1 + x^2) 在区间 [1, 1] 上的定积分。
16. 解析：求函数f(x) = √(1 x^2) 在区间 [1, 1] 上的定积分。
17. 解析：求函数 f(x) = x^3 3x^2 + 2x 在区间 [0, 2] 上的定积分。
18. 解析：求函数 f(x) = e^(2x) 在区间 [1, 1] 上的定积分。
19. 解析：求函数 f(x) = ln(x) 在区间 [1, e^2] 上的定积分。
20. 解析：求函数 f(x) = sin(x)cos(x) 在区间[0, π/2] 上的定积分。
大学高等数学下考试题库(附答案)
一.选择题（3分⨯10）1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）.A.3B.4C.5D.62.向量j i b k j i a+=++-=2,2.则有（ ）.A.a ∥bB.a ⊥bC.3,π=b aD.4,π=b a3.函数1122222-++--=y x y x y 的定义域是（ ）.A.(){}21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+<y x y xC.(){}21,22≤+<y xy x D (){}21,22<+≤y x y x4.两个向量a 与b垂直的充要条件是（ ）.A.0=⋅b aB.0 =⨯b aC.0 =-b aD.0 =+b a5.函数xy y x z 333-+=的极小值是（ ）. A.2 B.2- C.1 D.1- 6.设y x z sin =.则⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂4,1πyz ＝（ ）.A.22 B.22- C.2 D.2- 7.若p 级数∑∞=11n pn收敛.则（ ）. A.p 1< B.1≤p C.1>p D.1≥p8.幂级数∑∞=1n nn x 的收敛域为（ ）.A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1-9.幂级数nn x ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛02在收敛域内的和函数是（ ）.A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x-2110.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）.A.xce y = B.xe y = C.xcxe y = D.cxe y =二.填空题（4分⨯5）1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB .其中点()1,1,2-B .则此平面方程为______________________.2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________.3.设13323+--=xy xy y x z .则=∂∂∂yx z2_____________________________. 4.x+21的麦克劳林级数是___________________________. 5.微分方程044=+'+''y y y 的通解为_________________________________. 三.计算题（5分⨯6）1.设v e z usin =.而y x v xy u +==,.求.,yz x z ∂∂∂∂ 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定.求.,yz x z ∂∂∂∂ 3.计算σd y x D⎰⎰+22sin .其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.如图.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）.5.求微分方程xey y 23=-'在00==x y条件下的特解.四.应用题（10分⨯2）1.要用铁板做一个体积为23m 的有盖长方体水箱.问长、宽、高各取怎样的尺寸时.才能使用料最省？2..曲线()x f y =上任何一点的切线斜率等于自原点到该切点的连线斜率的2倍.且曲线过点⎪⎭⎫ ⎝⎛31,1.求此曲线方程试卷1参考答案一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题1.0622=+--z y x .2.()()xdy ydx xy +cos .3.19622--y y x .4.()n n n n x ∑∞=+-0121.5.()xe x C C y 221-+= .三.计算题 1.()()[]y x y x y e xzxy +++=∂∂cos sin .()()[]y x y x x e y z xy +++=∂∂cos sin . 2.12,12+=∂∂+-=∂∂z yy z z x x z . 3.⎰⎰=⋅πππρρρϕ202sin d d 26π-.4.3316R . 5.x xe ey 23-=.四.应用题1.长、宽、高均为m 32时.用料最省.2..312x y =《高数》试卷2（下）一.选择题（3分⨯10）1.点()1,3,41M .()2,1,72M 的距离=21M M （ ）. A.12 B.13 C.14 D.152.设两平面方程分别为0122=++-z y x 和05=++-y x .则两平面的夹角为（ ）. A.6π B.4π C.3π D.2π 3.函数()22arcsin yx z +=的定义域为（ ）.A.(){}10,22≤+≤y x y x B.(){}10,22<+<y x y x C.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+≤20,22πy x y x D.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+<20,22πy x y x 4.点()1,2,1--P 到平面0522=--+z y x 的距离为（ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 5.函数22232y x xy z --=的极大值为（ ）. A.0 B.1 C.1- D.21 6.设223y xy x z ++=.则()=∂∂2,1xz （ ）.A.6B.7C.8D.9 7.若几何级数∑∞=0n nar是收敛的.则（ ）.A.1≤rB. 1≥rC.1<rD.1≤r8.幂级数()nn xn ∑∞=+01的收敛域为（ ）.A.[]1,1-B.[)1,1-C.(]1,1-D. ()1,1-9.级数∑∞=14sin n n na是（ ）. A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.不能确定二.填空题（4分⨯5）1.直线l 过点()1,2,2-A 且与直线⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z t y t x 213平行.则直线l 的方程为__________________________.2.函数xye z =的全微分为___________________________.3.曲面2242y x z -=在点()4,1,2处的切平面方程为_____________________________________.4.211x+的麦克劳林级数是______________________. 三.计算题（5分⨯6）1.设k j b k j i a32,2+=-+=.求.b a ⨯2.设22uv v u z -=.而y x v y x u sin ,cos ==.求.,y z x z ∂∂∂∂ 3.已知隐函数()y x z z ,=由233=+xyz x 确定.求.,yz x z ∂∂∂∂ 4.如图.求球面22224a z y x =++与圆柱面ax y x 222=+（0>a ）所围的几何体的体积.四.应用题（10分⨯2） 1.试用二重积分计算由x y x y 2,==和4=x 所围图形的面积.试卷2参考答案一.选择题 CBABA CCDBA. 二.填空题 1.211212+=-=-z y x . 2.()xdy ydx exy+.3.488=--z y x .4.()∑∞=-021n n nx .5.3x y =. 三.计算题1.k j i238+-.2.()()()y y x y y y y x yz y y y y x x z 3333223cos sin cos sin cos sin ,sin cos cos sin +++-=∂∂-=∂∂ . 3.22,z xy xz y z z xy yz x z +-=∂∂+-=∂∂. 4.⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223323πa . 四.应用题 1.316.《高等数学》试卷3（下）一、选择题（本题共10小题.每题3分.共30分） 1、二阶行列式 2 -3 的值为（ ）4 5A 、10B 、20C 、24D 、222、设a=i+2j-k,b=2j+3k.则a 与b 的向量积为（ ） A 、i-j+2k B 、8i-j+2k C 、8i-3j+2k D 、8i-3i+k3、点P （-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、54、函数z=xsiny 在点（1.4π）处的两个偏导数分别为（ ）A 、,22 ,22 B 、,2222- C 、22- 22- D 、22- ,22 5、设x 2+y 2+z 2=2Rx.则yzx z ∂∂∂∂,分别为（ ） A 、z y z R x --, B 、z y z R x ---, C 、zyz R x ,-- D 、zyz R x ,- 6、设圆心在原点.半径为R.面密度为22y x +=μ的薄板的质量为（ ）（面积A=2R π）A 、R 2AB 、2R 2AC 、3R 2A D 、A R 221 7、级数∑∞=-1)1(n nnn x 的收敛半径为（ ）A 、2B 、21C 、1D 、3 8、cosx 的麦克劳林级数为（ ）A 、∑∞=-0)1(n n)!2(2n x n B 、∑∞=-1)1(n n )!2(2n x n C 、∑∞=-0)1(n n )!2(2n x n D 、∑∞=-0)1(n n)!12(12--n x n9、微分方程(y``)4+(y`)5+y`+2=0的阶数是（ ） A 、一阶 B 、二阶 C 、三阶 D 、四阶 10、微分方程y``+3y`+2y=0的特征根为（ ） A 、-2.-1 B 、2.1 C 、-2.1 D 、1.-2 二、填空题（本题共5小题.每题4分.共20分） 1、直线L 1：x=y=z 与直线L 2：的夹角为z y x =-+=-1321___________。
高等数学下册试卷及答案
高等数学下册试卷及答案高等数学（下册）考试试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、z=loga(x+y)的定义域为D={(x,y)|x+y>0}。
2、二重积分∬|x|+|y|≤1 2ln(x+y)dxdy的符号为负。
3、由曲线y=lnx及直线x+y=e+1，y=1所围图形的面积用二重积分表示为∬(e+1-x)dx dy，其值为e-1.4、设曲线L的参数方程表示为{x=φ(t)。
y=ψ(t)} (α≤t≤β)，则弧长元素ds=√[φ'(t)²+ψ'(t)²]dt。
5、设曲面∑为x+y=9介于z=0及z=3间的部分的外侧，则∫∫∑(x²+y²+1)ds=18√2.6、微分方程y'=x/(y²+1)的通解为y=1/2ln(y²+1)+1/2x²+C。
7、方程y''-4y=tanx的通解为y=C1e^(2x)+C2e^(-2x)-1/2cosxsinx。
8、级数∑n=1∞1/(n(n+1))的和为1.二、选择题（每小题2分，共计16分）1、二元函数z=f(x,y)在(x,y)处可微的充分条件是（B）f_x'(x,y)，f_y'(x,y)在(x,y)的某邻域内存在。
2、设u=yf(x)+xf(y)，其中f具有二阶连续导数，则x²+y²等于（A）x+y。
3、设Ω：x+y+z≤1.z≥0，则三重积分I=∭ΩzdV等于（D）∫0^1∫0^(1-z)∫0^(1-x-y)zdxdydz。
4、球面x²+y²+z²=16a²与柱面x²+y²=2ax所围成的立体体积V=（C）8∫0^π/2∫0^(2acosθ)∫0^√(16a²-r²)rdzdrdθ。
注：原文章中第一题的符号“>”应该是“≥”，已进行更正。
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高等数学下册试题库一、选择题（每题 4 分，共 20 分）1. 已知 A(1,0,2), B(1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是：（ A ） A ） 5 B ） 3 C ） 6 D ）9解AB ={1-1 ， 2-0， 1-2}={0 ，2，-1} ，| AB |=0222 ( 1) 25 .2. 设 a={1, - 1,3}, b={2, - 1,2} ，求 c=3a- 2b 是：（ B ）A ）{ - 1,1,5}.B ） { - 1,- 1,5}.C ） {1, - 1,5}.D ）{ - 1,- 1,6}.解(1) c=3a- 2b =3{1, - 1,3} - 2{2, - 1,2}={3 - 4,- 3+2,9- 4}={ - 1,- 1,5}.3. 设 a={1, - 1,3}, b={2, 1, - 2} ，求用标准基 i, j, k 表示向量 c=a-b; （ A ） A ）- i-2 j+5k B ）- i- j+3k C ）- i - j+5k D ）-2 i - j+5k解 c={-1, - 2,5}=- i -2 j +5k .4. 求两平面 x 2 y z 3 0 和 2x yz 5 0的夹角是：（C ）A ）B ）C ） 3D ） 24解 由公式（ 6-21 ）有n 1 n 2 1 2 2 1 ( 1) 11cos12 2222 12 12n 1 n 2( 1) 22 ，因此，所求夹角arccos13 ． 25. 求平行于 z 轴，且过点 M 1(1,0,1) 和 M 2(2, 1,1) 的平面方程．是：（D ）A ）2x+3y=5=0B ）x-y+1=0C ）x+y+1=0D ） x y 1 0 ．解 由于平面平行于 z 轴，因此可设这平面的方程为Ax By D因为平面过 M 1 、 M 2 两点，所以有A D 0 2AB D 0解得 AD , B D ，以此代入所设方程并约去 D (D 0)，便得到所求的平面方程x y 16．微分方程 xyyx y3y 4 y 0 的阶数是 ( D ) 。
高等数学下册试题及答案解析
高等数学（下册）试卷（一）一、填空题（每小题3分，共计24分）1、 z =)0()(log 22>+a y x a 的定义域为D= 。
2、二重积分⎰⎰≤++1||||22)ln(y x dxdy y x 的符号为 。
3、由曲线x y ln =及直线1+=+e y x ，1=y 所围图形的面积用二重积分表示为 ，其值为 。
4、设曲线L 的参数方程表示为),()()(βαψϕ≤≤⎩⎨⎧==x t y t x 则弧长元素=ds 。
5、设曲面∑为922=+y x 介于0=z 及3=z 间的部分的外侧，则=++⎰⎰∑ds y x )122（ 。
6、微分方程xyx y dx dy tan +=的通解为 。
7、方程04)4(=-y y的通解为 。
8、级数∑∞=+1)1(1n n n 的和为 。
二、选择题（每小题2分，共计16分）1、二元函数),(y x f z =在),(00y x 处可微的充分条件是（ ） （A ）),(y x f 在),(00y x 处连续；（B ）),(y x f x '，),(y x f y '在),(00y x 的某邻域内存在；（C ） y y x f x y x f z y x ∆'-∆'-∆),(),(0000当0)()(22→∆+∆y x 时，是无穷小；（D ）0)()(),(),(lim2200000=∆+∆∆'-∆'-∆→∆→∆y x yy x f x y x f z y x y x 。
2、设),()(x y xf y x yf u +=其中f 具有二阶连续导数，则2222yuy x u x ∂∂+∂∂等于（ ）（A ）y x +； （B ）x ； (C)y ； (D)0 。
3、设Ω：,0,1222≥≤++z z y x 则三重积分⎰⎰⎰Ω=zdV I 等于（ ）（A ）4⎰⎰⎰202013cos sin ππϕϕϕθdr r d d ；（B ）⎰⎰⎰2012sin ππϕϕθdr r d d ；（C ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ202013cos sin dr r d d ；（D ）⎰⎰⎰ππϕϕϕθ20013cos sin dr r d d 。
高等数学下考试题库(附答案)
《高等数学》试卷1（下）一.选择题（3分10）1.点M12,3,1到点M22,7,4的距离M1M2（）.A.3B.4C.5D.62.向量ai2jk,b2ij，则有（）.A.a∥bB.a⊥bC. a,bD.3 a,b43.函数122y2xy的定义域是（）.22xy12y2y22A.x,y1x2B.x,y1x22y2y22C.x,y1x2Dx,y1x24.两个向量a与b垂直的充要条件是（）.A.ab0B.ab0C.ab0D.ab0335.函数zxy3xy 的极小值是（）.A.2B.2C.1D.16.设zxsiny，则zy 1, 4＝（）.A.22B.22C.2D.27.若p级数n1 1 pn收敛，则（）.A.p1B.p1C.p1D.p18.幂级数n1nxn的收敛域为（）.A.1,1B1,1C.1,1D.1,19.幂级数nx02n在收敛域内的和函数是（）.1221A.B.C.D.1x2x1x2x 10.微分方程xyylny0的通解为（）.A. xyceB.xyeC.xycxeD. ycxe二.填空题（4分5）1.一平面过点A0,0,3且垂直于直线AB，其中点B2,1,1，则此平面方程为______________________.2.函数zsinxy的全微分是______________________________.3yxy3xy2 3.设zx31，则2zxy_____________________________.1的麦克劳林级数是___________________________.4.2x三.计算题（5分6）zzu sin，而uxy,vxy，求,.1.设zevxyzz2yzxz222.已知隐函数zzx,y由方程x24250确定，求,.xy22 3.计算sinxyd，其中24222 D:xy.D4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R为半径）.四.应用题（10分2）1.要用铁板做一个体积为23m的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？.试卷1参考答案一.选择题CBCADACCBD二.填空题1.2xy2z60.2.cosxyydxxdy.2yy23.6x91.4.n0n1n12nx.11.y2x CCxe1.2三.计算题zxyzxy4.eysinxycosxy，exsinxycosxy.xy5.zx2zx1,zy2zy1.6.22dsind26.7.1633R.8.y3xe2ex.四.应用题5.长、宽、高均为m32时，用料最省.126.yx.3《高数》试卷2（下）一.选择题（3分10）2.点M14,3,1，M27,1,2的距离M1M2（）.A.12B.13C.14D.153.设两平面方程分别为x2y2z10和xy50，则两平面的夹角为（）.A.B.C.D.64324.函数22zarcsinxy的定义域为（）.2y2y22A.x,y0x1B.x,y0x1C. 2y2x,y0xD.2 x,y0x 2y225.点P1,2,1到平面x2y2z50的距离为（）.A.3B.4C.5D.66.函数222z2xy3xy的极大值为（）.A.0B.1C.1D. 1 212.设z 23xyy2zx，则1,2x（）.A.6B.7C.8D.913.若几何级数nar是收敛的，则（）. n0A.r1B.r1C.r1D.r114.幂级数nn1x的收敛域为（）.n0A.1,1B.1,1C.1,1D.1,115.级数sinnn1n a4 是（）.A.条件收敛B.绝对收敛C.发散D.不能确定二.填空题（4分5）x3t9.直线l过点A2,2,1且与直线yt 平行，则直线l的方程为__________________________.z12t10.函数xyze的全微分为___________________________.11.曲面242z2xy在点2,1,4处的切平面方程为_____________________________________.三.计算题（5分6）7.设ai2jk,b2j3k，求ab.8.设zz 2zu，而uxcosy,vxsiny，求,.2vuvxyzz3xyz9.已知隐函数zzx,y由x32确定，求,.xy10.如图，求球面2y2z24a22 2x与圆柱面xy2ax（a0）所围的几何体的体积.四.应用题（10分2）16.试用二重积分计算由yx ,y2x 和x4所围图形的面积.试卷2参考答案一.选择题CBABACCDBA. 二.填空题 12.x 2y2z 112 1 . xy13.eydxxdy.14.8x8y z4.15.1n0nx 2n. 16.3 yx. 三.计算题11.8i3j2k.z 2z 333312.3xsinycosycosysiny,2xsinycosysinycosyxsinycosy .xy zyzzxz 13.2,2xxyzyxyz. 14. 3232 a.323 15. 2xxCeyCe21.四.应用题17. 16 3.12xgtvtx.2.002《高等数学》试卷3（下）一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分） 2、设a=i+2j-k,b=2j+3k ，则a 与b 的向量积为（） A 、i-j+2k B 、8i-j+2k C 、8i-3j+2k D 、8i-3i+k3、点P （-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（） A 、2B 、3C 、4D 、54、函数z=xsiny 在点（1，）处的两个偏导数分别为（） 42A 、,22 2,2 B 、,22 2C 、2 22 2D 、2 22 2, 5、设x 2+y 2+z 2=2Rx ，则2+y 2+z 2=2Rx ，则z x z,分别为（）yA 、x R z yx ,B 、 z z R yxRy ,C 、,D 、 zzzx z R , y z 6、设圆心在原点，半径为R ，面密度为2y 2 x 的薄板的质量为（）（面积A= 2 R ）1A 、R2AB 、2R 2AC 、3R 2AD 、RA22n xn7、级数(1)的收敛半径为（）nn1A 、2B 、1 2C 、1D 、38、cosx 的麦克劳林级数为（）A 、 ( n0 n 1) ( 2n x 2n)!B 、 (1) n1n 2n x (2n)! C 、 n 0 ( 1) n 2n x (2n)!D 、 n 0 ( 1) n ( 2n x 2n 1 1)!二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分）___________。
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《高等数学》试卷1（下）一.选择题（3分⨯10）1.点1M ()1,3,2到点()4,7,22M 的距离=21M M （ ）.A.3B.4C.5D.62.向量j i b k j i a ρρρρρϖϖ+=++-=2,2，则有（ ）.A.a ρ∥b ρB.a ρ⊥b ρC.3,π=b a ρρD.4,π=b a ρρ3.函数1122222-++--=y x y x y 的定义域是（ ）.A.(){}21,22≤+≤y x y x B.(){}21,22<+<y x y xC.(){}21,22≤+<y xy x D (){}21,22<+≤y x y x4.两个向量a ρ与b ρ垂直的充要条件是（ ）.A.0=⋅b a ρρB.0ρρρ=⨯b aC.0ρρρ=-b aD.0ρρρ=+b a5.函数xy y x z 333-+=的极小值是（ ）. A.2 B.2- C.1 D.1- 6.设y x z sin =，则⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂4,1πyz ＝（ ）.A.22 B.22- C.2 D.2- 7.若p 级数∑∞=11n p n 收敛，则（ ）. A.p 1< B.1≤p C.1>p D.1≥p8.幂级数∑∞=1n nnx 的收敛域为（ ）.A.[]1,1- B ()1,1- C.[)1,1- D.(]1,1-9.幂级数nn x ∑∞=⎪⎭⎫⎝⎛02在收敛域内的和函数是（ ）.A.x -11 B.x -22 C.x -12 D.x-21 10.微分方程0ln =-'y y y x 的通解为（ ）.A.xce y = B.xe y = C.xcxe y = D.cxe y =二.填空题（4分⨯5）1.一平面过点()3,0,0A 且垂直于直线AB ，其中点()1,1,2-B ，则此平面方程为______________________.2.函数()xy z sin =的全微分是______________________________.3.设13323+--=xy xy y x z ，则=∂∂∂yx z2_____________________________. 4.x+21的麦克劳林级数是___________________________. 三.计算题（5分⨯6）1.设v e z usin =，而y x v xy u +==,，求.,yz x z ∂∂∂∂ 2.已知隐函数()y x z z ,=由方程05242222=-+-+-z x z y x 确定，求.,yz x z ∂∂∂∂ 3.计算σd y x D⎰⎰+22sin ，其中22224:ππ≤+≤y x D . 4.求两个半径相等的直交圆柱面所围成的立体的体积（R 为半径）.四.应用题（10分⨯2）1.要用铁板做一个体积为23m 的有盖长方体水箱，问长、宽、高各取怎样的尺寸时，才能使用料最省？ .试卷1参考答案一.选择题 CBCAD ACCBD 二.填空题1.0622=+--z y x .2.()()xdy ydx xy +cos .3.19622--y y x .4.()n n n n x ∑∞=+-0121.5.()xe x C C y 221-+= .三.计算题 1.()()[]y x y x y e xzxy +++=∂∂cos sin ，()()[]y x y x x e y z xy +++=∂∂cos sin . 2.12,12+=∂∂+-=∂∂z yy z z x x z . 3.⎰⎰=⋅πππρρρϕ202sin d d 26π-.4.3316R . 5.x xe ey 23-=.四.应用题1.长、宽、高均为m 32时，用料最省.2..312x y =《高数》试卷2（下）一.选择题（3分⨯10）1.点()1,3,41M ，()2,1,72M 的距离=21M M （ ）. A.12 B.13 C.14 D.152.设两平面方程分别为0122=++-z y x 和05=++-y x ，则两平面的夹角为（ ）. A.6π B.4π C.3π D.2π 3.函数()22arcsin yx z +=的定义域为（ ）.A.(){}10,22≤+≤y x y x B.(){}10,22<+<y x y xC.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧≤+≤20,22πy x y x D.()⎭⎬⎫⎩⎨⎧<+<20,22πy x y x 4.点()1,2,1--P 到平面0522=--+z y x 的距离为（ ）. A.3 B.4 C.5 D.6 5.函数22232y x xy z --=的极大值为（ ）.A.0B.1C.1-D.21 6.设223y xy x z ++=，则()=∂∂2,1xz （ ）.A.6B.7C.8D.9 7.若几何级数∑∞=0n nar是收敛的，则（ ）.A.1≤rB. 1≥rC.1<rD.1≤r8.幂级数()nn xn ∑∞=+01的收敛域为（ ）.A.[]1,1-B.[)1,1-C.(]1,1-D. ()1,1- 9.级数∑∞=14sin n n na是（ ）. A.条件收敛 B.绝对收敛 C.发散 D.不能确定二.填空题（4分⨯5）1.直线l 过点()1,2,2-A 且与直线⎪⎩⎪⎨⎧-==+=t z t y t x 213平行，则直线l 的方程为__________________________.2.函数xye z =的全微分为___________________________.3.曲面2242y x z -=在点()4,1,2处的切平面方程为_____________________________________.三.计算题（5分⨯6）1.设k j b k j i a ρρρρρρρ32,2+=-+=，求.b a ρρ⨯2.设22uv v u z -=，而y x v y x u sin ,cos ==，求.,y z x z ∂∂∂∂ 3.已知隐函数()y x z z ,=由233=+xyz x 确定，求.,yz x z ∂∂∂∂ 4.如图，求球面22224a z y x =++与圆柱面ax y x 222=+（0>a ）所围的几何体的体积.四.应用题（10分⨯2） 1.试用二重积分计算由x y x y 2,==和4=x 所围图形的面积.试卷2参考答案一.选择题 CBABA CCDBA. 二.填空题 1.211212+=-=-z y x . 2.()xdy ydx exy+.3.488=--z y x .4.()∑∞=-021n n nx .5.3x y =. 三.计算题1.k j i ρρρ238+-.2.()()()y y x y y y y x yz y y y y x x z 3333223cos sin cos sin cos sin ,sin cos cos sin +++-=∂∂-=∂∂ . 3.22,z xy xz y z z xy yz x z +-=∂∂+-=∂∂. 4.⎪⎭⎫ ⎝⎛-3223323πa . 5.x xe C eC y --+=221.四.应用题1.316. 2. 00221x t v gt x ++-=.《高等数学》试卷3（下）一、选择题（本题共10小题，每题3分，共30分） 2、设a=i+2j-k,b=2j+3k ，则a 与b 的向量积为（ ） A 、i-j+2k B 、8i-j+2k C 、8i-3j+2k D 、8i-3i+k 3、点P （-1、-2、1）到平面x+2y-2z-5=0的距离为（ ） A 、2 B 、3 C 、4 D 、5 4、函数z=xsiny 在点（1，4π）处的两个偏导数分别为（ ） A 、,22 ,22 B 、,2222- C 、22- 22- D 、22- ,22 5、设x 2+y 2+z 2=2Rx ，则yzx z ∂∂∂∂,分别为（ ） A 、z y z R x --, B 、z y z R x ---, C 、zyz R x ,-- D 、zyz R x ,- 6、设圆心在原点，半径为R ，面密度为22y x +=μ的薄板的质量为（ ）（面积A=2R π）A 、R 2AB 、2R 2AC 、3R 2AD 、A R 221 7、级数∑∞=-1)1(n nnn x 的收敛半径为（ ）A 、2B 、21C 、1D 、3 8、cosx 的麦克劳林级数为（ ）A 、∑∞=-0)1(n n)!2(2n x n B 、∑∞=-1)1(n n )!2(2n x n C 、∑∞=-0)1(n n )!2(2n x n D 、∑∞=-0)1(n n)!12(12--n x n二、填空题（本题共5小题，每题4分，共20分） 1、直线L 1：x=y=z 与直线L 2：的夹角为z y x =-+=-1321___________。
直线L 3：之间的夹角为与平面062321221=-+=-+=-z y x zy x ____________。
2、（0.98）2.03的近似值为________,sin100的近似值为___________。
3、二重积分⎰⎰≤+Dy xD d 的值为1:,22σ___________。
4、幂级数的收敛半径为∑∞=0!n nx n __________，∑∞=0!n nn x 的收敛半径为__________。
三、计算题（本题共6小题，每小题5分，共30分）2、求曲线x=t,y=t 2,z=t 3在点（1，1，1）处的切线及法平面方程.3、计算⎰⎰===Dx y x y D ，xyd 围成及由直线其中2,1σ.4、问级数∑∞=-11sin )1(n n？，？n收敛则是条件收敛还是绝对若收敛收敛吗5、将函数f(x)=e 3x 展成麦克劳林级数四、应用题（本题共2小题，每题10分，共20分） 1、求表面积为a 2而体积最大的长方体体积。
参考答案一、选择题1、D2、C3、C4、A5、B6、D7、C8、A9、B 10,A 二、填空题 1、218arcsin,182cosar 2、0.96，0.17365 3、л 4、0，+∞ 5、ycx cey x 11,22-== 三、计算题2、解：因为x=t,y=t 2,z=t 3, 所以x t =1,y t =2t,z t =3t 2，所以x t |t=1=1, y t |t=1=2, z t |t=1=3 故切线方程为：312111-=-=-z y x 法平面方程为：（x-1）+2(y-1)+3(z-1)=0 即x+2y+3z=63、解：因为D 由直线y=1,x=2,y=x 围成， 所以 D ：1≤y ≤2y ≤x ≤2 故：⎰⎰⎰⎰⎰=-==212132811)22(][dy y y dy xydx xyd yDσ4、解：这是交错级数，因为。