高三数学12月联考试题 理

河北省涞水波峰中学、高碑店三中2017届高三数学12月联考试题 理

一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.)

1．是虚数单位，若

，则

A ．1

B ．

C ．

D ． 2．已知集合，

，则 A ．

B ．

C ．

D ．

3．在中，是边的中点，，，则

A ．

B ．

C ．

D ．

4．若等差数列

满足

，则

的前2016项之和

A ．1506

B ．1508

C ．1510

D ．1512 5．若，，

，则 A ．

B ．

C ．

D ．

6．在平面直角坐标系中，“直线

与直线

平行”是“

”的

A ．充分非必要条件

B ．必要非充分条件

C ．充要条件

D ．非充分非必要条件 7．如图，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，

E 为棱BB 1的中点， 用过点A 、E 、C 1的平面截去该正方体的下半部分，则 剩余几何体的正视图（也称主视图）是

8．如图，空间四边形中，点分别

上，

，则

A ．

B ．

A

B

C

D

A B C D 1

1

1

1

E

C． D．

9．已知函数，则下列说法正确的是

A．的图象向右平移个单位长度后得到的图象

B．若，则，

C．的图象关于直线对称

D．的图象关于点对称

10．已知（），把数列的各项排成如图所示的三角形数阵，记表示该数阵中第行中从左到右的第个数，

则

A．67 B．69 C．73 D．75

11．过抛物线（）焦点的直线与抛物线交于两点，以为直径的圆的方程为

，则

A． B． C． D．

12．设实数，满足，则的最小值是

A． B． C． D．

二、填空题：本题共4小题，每小题5分．

13．若、满足约束条件，则的最大值为．

14．如图，是棱长均为1的正四棱锥，顶点

在平面内的正投影为点，点在平面

内的正投影为点，则．

15．．

16．对于函数，有如下三个命题：

①的单调递减区间为()

②的值域为

③若，则方程在区间内有3个不相等的实根

其中，真命题是 ．（将真命题的序号填写在横线上） 三.解答题：本题共6小题.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分12分)

ABC ∆中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c c

b

=.

（Ⅰ）求角B 的大小；

（Ⅱ）点D 为边AB 上的一点，记BDC θ∠=，若

2

π

θπ<<，

2,CD =AD =a =

，求sin θ与b 的值。

18.(本小题满分12分)

已知两数列{}n a ，{}n b 满足13n n n b a =+(*

n N ∈)，11310b a =，其中{}n a 是公差大于零的等差数列，且2a ，7a ，21b -成等比数列. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n b 的前n 项和n S .

19.（本小题满分12分）

如图所示，在四棱锥P ABCD -中，底面四边形ABCD 为等腰梯形，E 为PD 中点，PA ⊥平面

ABCD ，//,,24AD BC AC BD AD BC ⊥==．

（1）证明：平面EBD ⊥平面PAC ；

（2）若直线PD 与平面PAC 所成的角为30°，求二面角A BE P --的余弦值．

20.（本小题满分12分）

小李参加一种红包接龙游戏：他在红包里塞了12元，然后发给朋友A ，如果A 猜中，A 将获得红包里的所有金额；如果A 未猜中，A 将当前的红包转发给朋友B ，如果B 猜中，A B 、平分红包里的金额；如果B 未猜中，B 将当前的红包转发给朋友C ，如果C 猜中，A B 、和C 平分红包里的金额；如果C 未猜中，红包里的钱将退回小李的账户，设A B C 、、猜中的概率分别为111

,

,323

，且A B C 、、是否猜中互不影响．

（1）求A 恰好获得4元的概率；

（2）设A 获得的金额为X 元，求X 的分布列；

（3）设B 获得的金额为Y 元，C 获得的金额为Z 元，判断A 所获得的金额的期望能否超过Y 的期望与Z 的期望之和． 21、（本小题满分12分）

给定椭圆C ： =1（a ＞b ＞0），称圆x 2+y 2=a 2+b 2

为椭圆C 的“伴随圆”，已知椭圆C 的短轴长为2，离心率为

．

（Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）若直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，与其“伴随圆”交于C ，D 两点，当|CD|=时，求△AOB

面积的最大值．

22.（本小题满分12分）

设函数()ln a

f x x x x

=+

-． （1）当2a =-时，求()f x 的极值； （2）当1a =时，证明：()1

0x

f x x e -+>在()0,+∞上恒成立．