垂径定理
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九年级
上册
24.1 圆的有关性质（第2课时）
• 学习目标：
1．理解圆的轴对称性，会运用垂径定理解决有关的 证明、计算和作图问题； 2．感受类比、转化、数形结合、方程等数学思想和 方法，在实验、观察、猜想、抽象、概括、推理 的过程中发展逻辑思维能力和识图能力． • 学习重点： 垂径定理及其推论．
1．创设情境，导入新知
O EA 90
o
EAD 90
o
O D A 90
C E A
o
∴四边形ADOE为矩形， 1 1 AE AC，AD AB 2 2 又∵AC=AB
∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形．
· O
D B
6．归纳小结
内容： 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所 对的两条弧． ①构造直角三角形，垂径定理和勾股定理有机结合 是计算弦长、半径和弦心距等问题的方法． ②技巧：重要辅助线是过圆心作弦的垂线． 重要思路：（由）垂径定理—构造直角三角形— （结合）勾股定理—建立方程．
3．获得新知
垂径定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
C O
几何语言：
∵ CD是直径，CD⊥AB， ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴ AE=BE, AC =BC, AD =BD.
A
E D
B
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相 互转化,形成整体,才能运用自如.
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥 主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m， 拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥 拱的半径（精确到 0.1 m）．
2．探究新知
问题1 请拿出准备好的圆形纸片，沿着它的直径翻折， 重复做几次，你发现了什么？
可以发现：圆是轴对称图形.任何一条直径所在直线 都是它的对称轴．
在 R tV A O E中
2 2
· O
AO OE AE
2
AO O E 2 AE 2 = 3 2 +4 2 =5cm 答：⊙O的半径为5cm．
练习2： 在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两 条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E， 求证：四边形 ADOE是正方形．
证明： Q O E A C O D A B A B A C
问题2 如图,AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足
为E.你能发现图中有哪些相等的线段和相等的弧? 为
什么? 线段: AE=BE ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 弧: AC=BC, AD=BD
理由如下： 把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两 个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE
C
O · A E D B
⌒和BC ⌒ ,AD ⌒与BD ⌒重合． 重合，AC
B O C A D C
A O
B
O
B O
D C
D C
E
A
D
垂径定理的几个基本图形：
C A O O B D O B C A B O C B
A
E D
A
D E
Βιβλιοθήκη Baidu
4．利用新知 问题回解
C A D B
O
5．利用新知 解决问题
练习1: 在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到 AB的距离为3cm，求⊙O的半径． 解： Q OE AB 1 1 AE AB 8 4 2 2 A E B
7．布置作业
教科书习题 24.1
第 1，2 题．
上册
24.1 圆的有关性质（第2课时）
• 学习目标：
1．理解圆的轴对称性，会运用垂径定理解决有关的 证明、计算和作图问题； 2．感受类比、转化、数形结合、方程等数学思想和 方法，在实验、观察、猜想、抽象、概括、推理 的过程中发展逻辑思维能力和识图能力． • 学习重点： 垂径定理及其推论．
1．创设情境，导入新知
O EA 90
o
EAD 90
o
O D A 90
C E A
o
∴四边形ADOE为矩形， 1 1 AE AC，AD AB 2 2 又∵AC=AB
∴ AE=AD ∴ 四边形ADOE为正方形．
· O
D B
6．归纳小结
内容： 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所 对的两条弧． ①构造直角三角形，垂径定理和勾股定理有机结合 是计算弦长、半径和弦心距等问题的方法． ②技巧：重要辅助线是过圆心作弦的垂线． 重要思路：（由）垂径定理—构造直角三角形— （结合）勾股定理—建立方程．
3．获得新知
垂径定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧.
C O
几何语言：
∵ CD是直径，CD⊥AB， ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ∴ AE=BE, AC =BC, AD =BD.
A
E D
B
温馨提示：垂径定理是圆中一个重要的定理,三种语言要相 互转化,形成整体,才能运用自如.
想一想：下列图形是否具备垂径定理的条件？如果不是，请说明为什么？
如图，1 400 多年前，我国隋代建造的赵州石拱桥 主桥拱是圆弧形，它的跨度（弧所对的弦长）是 37 m， 拱高（弧的中点到弦的距离）为 7.23 m，求赵州桥主桥 拱的半径（精确到 0.1 m）．
2．探究新知
问题1 请拿出准备好的圆形纸片，沿着它的直径翻折， 重复做几次，你发现了什么？
可以发现：圆是轴对称图形.任何一条直径所在直线 都是它的对称轴．
在 R tV A O E中
2 2
· O
AO OE AE
2
AO O E 2 AE 2 = 3 2 +4 2 =5cm 答：⊙O的半径为5cm．
练习2： 在⊙O中，AB、AC为互相垂直且相等的两 条弦，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E， 求证：四边形 ADOE是正方形．
证明： Q O E A C O D A B A B A C
问题2 如图,AB是⊙O的一条弦, 直径CD⊥AB, 垂足
为E.你能发现图中有哪些相等的线段和相等的弧? 为
什么? 线段: AE=BE ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 弧: AC=BC, AD=BD
理由如下： 把圆沿着直径CD折叠时，CD两侧的两 个半圆重合，点A与点B重合，AE与BE
C
O · A E D B
⌒和BC ⌒ ,AD ⌒与BD ⌒重合． 重合，AC
B O C A D C
A O
B
O
B O
D C
D C
E
A
D
垂径定理的几个基本图形：
C A O O B D O B C A B O C B
A
E D
A
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4．利用新知 问题回解
C A D B
O
5．利用新知 解决问题
练习1: 在⊙O中，弦AB的长为8cm，圆心O到 AB的距离为3cm，求⊙O的半径． 解： Q OE AB 1 1 AE AB 8 4 2 2 A E B
7．布置作业
教科书习题 24.1
第 1，2 题．