2020年第十二届全国大学生数学竞赛初赛试卷(数学卷)A卷
2020年第十二届全国大学生数学竞赛--初赛《数学类A卷》试题(含参考答案)
(2) 求点 A1, B1,C1 三点的坐标； (3) 给定点A(1, 1, 0), B(1, 1, 0),C(1, 1, 0) ，求四面体 NA1B1C1 的体积. 【参考解答】：(1) 由直线的两点式方程，直接可得过 N, A 两点的直线方程为
(2) 直线 NA 的参数方程为
x y z 1
.
a1 a2 1
1 k
趋于
0，故
lim
n
yn
1
yn
0.
所以
bn an yn yn1 0, n
从而可知 an , bn 的极限相等，从而 yn 收敛. 最后，由 的连续性可得 xn 收
敛.
六、（20
分）对于有界区间
a,
b
的划分
P : a x0 x1 xn1 b
其范数定义为||
P
||
max xk1
1
0
2021
1
代入极限式得I
.
2021
【思路二】 由 Stolz 公式，得
lim 1 12020 22020 n2020
n n 2021
lim
n 2020
1
n n2021 (n 1)2021 2021
12020 22020 n 2020
1
故 ln
有界. 故I .
n 2021
x a1t, y a2t, z 1 t
将其代入球面方程，得
2
a1t
2
a2t
(1 t)2
1
2
解得参数值为t
a12
a22
或t 1
0.
从容可得 A1 的坐标为
A1
a12
2a1 a22
数学竞赛试卷(初赛、决赛及答案)
2．下面五个图形中，有一个不是正方体的展开图：那么“不是的”图形的编号是 。
3．将60分成10个质数之和，要求最大的质数尽可能小，那么其中最大的质数是 。
4．34减去一个分数，513一个分数，两次计算结果相等，那么这个相等的结果是 。
5．右面残缺算式中已知三个“4”，那么补全后它的乘积是 。
6．有A 、B 两个整数，A 的各位数字之和为35，B 的各位数字之和为26，两数相加时进位三次，那么A+B 的各位数字之和是 。
7．苹果和梨各有若干只，如果5只苹果和3只梨装一袋，还多4只苹果，梨恰好装完；如果7只苹果和3只梨装一袋，苹果恰好装完，梨还多12只，那么苹果和梨共有______只。
8．甲班51人，乙班49人，某次考试两个班全体同学的平均成绩是81分，乙班的平均成绩要比甲班平均成绩高7分，那么乙班的平均成绩是______分。
9．在大于1000的整数中，找出所有被34除后商与余数相等的数，那么这些数的和是 。
10．高中学生的人数是初中学生的56，高中毕业生的人数是初中毕业生的1217，高、初中毕业生毕业后，高、初中留下的人数都是520人，那么高、初中毕业生共有 人。
11．如图，一个长方形的纸盒内，放着九个正方形的纸片，其中正方形A 和B 的边长分别为4和7，那么长方形(纸盒)的面积是 。
12．甲、乙两地相距100千米，张先骑摩托车从甲出发，1小时后李驾驶汽车从甲出发，两人同时到达乙地。
摩托车开始速度是50千米／d,时，中途减速为40千米／小时。
汽车速度是80千米／小时。
汽车曾在途中停驶10分钟，那么张驾驶的摩托车减速时在他出发后的_________小时。
。
3．下面五个图形中，有一个不是正方体的展开图：那么“不是的”图形的编号是_________。
4．34减去一个分数，513一个分数，两次计算结果相等，那么这个相等的结果是 。
5．规定：③＝2×3×4，④＝3×4×5，⑤＝4×5×6，…，⑩＝9×10×11，…如果，那么方框代表的数是________。
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛(预赛)暨2024年全国高中数学联赛一试(A卷)试题(含答案)
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛（预赛）暨2024年全国高中数学联合竞赛一试（A 卷）参考答案及评分标准说明：1. 评阅试卷时，请依据本评分标准. 填空题只设8分和0分两档；其他各题的评阅，请严格按照本评分标准的评分档次给分，不得增加其他中间档次.2. 如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分，解答题中第9小题4分为一个档次，第10、11小题5分为一个档次，不得增加其他中间档次．一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，满分64分．1. 若实数1m 满足98log (log )2024m ，则32log (log )m 的值为 ． 答案：4049．解：323898log (log )log (3log )12log (log )1220244049m m m ．2. 设无穷等比数列{}n a 的公比q 满足01q ．若{}n a 的各项和等于{}n a 各项的平方和，则2a 的取值范围是 ．答案：1,0(0,2)4． 解：因为数列{}n a 的各项和为11a q，注意到{}n a 各项的平方依次构成首项为21a 、公比为2q 的等比数列，于是2{}n a 的各项和为2121a q． 由条件知211211a a q q，化简得11a q ． 当(1,0)(0,1)q 时，22111(1),0(0,2)244a q q q ． 3. 设实数,ab 满足：集合2{100}A x x x a R 与3{}B x bx b R 的交集为[4,9]，则a b 的值为 ．答案：7．解：由于2210(5)25x x a x a ，故A 是一个包含[4,9]且以5x 为中点的闭区间，而B 是至多有一个端点的区间，所以必有[1,9]A ，故9a ．进一步可知B 只能为[4,) ，故0b 且34b b ，得2b ．于是7a b ．4. 在三棱锥P ABC 中，若PA 底面ABC ，且棱,,,AB BP BC CP 的长分别为1,2,3,4，则该三棱锥的体积为 ．答案：34． 解：由条件知PA AB ，PA AC ．因此PA AC ．在ABC 中，22219131cos 22132AB BC AC B AB BC ，故sin B ．所以1sin 2ABC S AB BC B 又该三棱锥的高为PA ，故其体积为1334ABC V S PA ． 5. 一个不均匀的骰子，掷出1,2,3,4,5,6点的概率依次成等差数列．独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为,a b ．若事件“7a b ”发生的概率为17，则事件“a b ”发生的概率为 ． 答案：421． 解：设掷出1,2,,6 点的概率分别为126,,,p p p ．由于126,,,p p p 成等差数列，且1261p p p ，故16253413p p p p p p ． 事件“7a b ”发生的概率为1162561P p p p p p p ． 事件“a b ”发生的概率为2222126P p p p ． 于是22221216253411()()()333P P p p p p p p ． 由于117P ，所以21143721P ． 6. 设()f x 是定义域为R 、最小正周期为5的函数．若函数()(2)x g x f 在区间[0,5)上的零点个数为25，则()g x 在区间[1,4)上的零点个数为 ．答案：11．解：记2x t ，则当[0,5)x 时，[1,32)t ，且t 随x 增大而严格增大．因此，()g x 在[0,5)上的零点个数等于()f t 在[1,32)上的零点个数．注意到()f t 有最小正周期5，设()f t 在一个最小正周期上有m 个零点，则()f t 在[2,32)上有6m 个零点，又设()f t 在[1,2)上有n 个零点，则625m n ，且0n m ，因此4,1m n ．从而()g x 在[1,4)上的零点个数等于()f t 在[2,16)[1,16)\[1,2) 上的零点个数，即311m n ．7. 设12,F F 为椭圆 的焦点，在 上取一点P （异于长轴端点），记O 为12PF F 的外心，若12122PO F F PF PF ，则 的离心率的最小值为 ．答案 解：取12F F 的中点M ，有12MO F F ，故120MO F F ． 记1212,,PF u PF v F F d ，则121212PO F F PM F F MO F F 12211()()2PF PF PF PF 222v u ， 222121222cos PF PF uv F PF u v d ，故由条件知222222v u u v d ，即22232u v d ． 由柯西不等式知222281(3)1()33d u v u v （当3v u 时等号成立）．所以 的离心率d e u v ．当::u v d 时， 的离心率e 取到最小值8. 若三个正整数,,a b c 的位数之和为8，且组成,,a b c 的8个数码能排列为2,0,2,4,0,9,0,8，则称(,,)a b c 为“幸运数组”，例如(9,8,202400)是一个幸运数组．满足10a b c 的幸运数组(,,)a b c 的个数为 ．答案：591．解：对于幸运数组(,,)a b c ，当10a b c 时，分两类情形讨论． 情形1：a 是两位数，,b c 是三位数．暂不考虑,b c 的大小关系，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置还未填，任选其中两个填2，最后三个位置填写4,8,9，这样的填法数为3255C C 3!600 ．再考虑其中,b c 的大小关系，由于不可能有b c ，因此b c 与b c 的填法各占一半，故有300个满足要求的幸运数组．情形2：,a b 是两位数，c 是四位数．暂不考虑,a b 的大小关系，类似于情形1，先在,,a b c 的非最高位（五个位置）中选三个位置填0，剩下五个位置填2,2,4,8,9，这样的填法数为600．再考虑其中,a b 的大小关系．若a b ，则必有20a b ，c 的四个数字是0,4,8,9的排列，且0不在首位，有33!18 种填法，除这些填法外，a b 与a b 的填法各占一半，故有600182912个满足要求的幸运数组． 综上，所求幸运数组的个数为300291591 ．二、解答题：本大题共3小题，满分56分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．9. （本题满分16分） 在ABC 中，已知sin cos sin cos cos 22A AB B C，求cos C 的值．解：由条件知cos 44C A B． …………4分 假如44A B，则2C ，cos 0C ，但sin 04A ，矛盾． 所以只可能44A B ．此时0,2A B ，2C A ． …………8分注意到cos 04C A ，故2C ，所以,42A B ，结合条件得cos cos 2sin 22sin cos 244C A A A A2C ，又cos 0C ，化简得28(12cos )1C ，解得cos C…………16分 10.（本题满分20分）在平面直角坐标系中，双曲线22:1x y 的右顶点为A ．将圆心在y 轴上，且与 的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”．若两个好圆外切于点P ，圆心距为d ，求d PA 的所有可能的值． 解：考虑以0(0,)y 为圆心的好圆2220000:()(0)x y y r r ．由0 与 的方程消去x ，得关于y 的二次方程2220002210y y y y r ．根据条件，该方程的判别式22200048(1)0y y r ，因此220022y r ．…………5分对于外切于点P 的两个好圆12, ，显然P 在y 轴上．设(0,)P h ，12, 的半径分别为12,r r ，不妨设12, 的圆心分别为12(0,),(0,)h r h r ，则有2211()22h r r ，2222()22h r r ．两式相减得2212122()h r r r r ，而120r r ，故化简得122r r h． …………10分 进而221211222r r r r ，整理得 221122680r r r r ．① 由于12d r r ，(1,0)A ，22212()114r r PA h ，而①可等价地写为2212122()8()r r r r ，即228PA d ，所以d PA…………20分 11.（本题满分20分）设复数,z w 满足2z w ，求2222S z w w z 的最小可能值．解法1：设i (,)z a b a b R ，则2i w a b ，故2222242(1)i 642(3)i S a a b b a a a b b a ，22222464a a b a a b2222(1)5(3)5a b a b ． ①…………5分记1t a ．对固定的b ，记255B b ，求22()(4)f t t B t B 的最小值．由()(4)f t f t ，不妨设2t ．我们证明0()()f t f t ，其中0t ． 当0[2,]t t 时，04[2,4]t t ，22200()()()((4))((4))f t f t B t B t B t2222220000(4)((4))(28)(28)t t t t t t t t0 （用到02t t 及228y x x 在[2,) 上单调增）． …………10分当0[,)t t 时，22200()()(4)(4)f t f t t B t B t B222200(4)(4)t t t t 000()8t t t t t t0 （用到04t t ）． …………15分所以200()(4)1616S f t B t ．当0b （①取到等号），011a t 时，S 取到最小值16．…………20分解法2：设1i,1i (,)R z x y w x y x y ，不妨设其中0x ． 计算得2222(41)(24)i z w x x y x y ，2222(41)(24)i w z x x y x y ．所以22Re(2)Re(2)S z w w z 22224141x x y x x y ． …………5分利用a b a b ，可得8S x ，① 亦有22222212(1)2(1)S x y x y x ． ②…………10分注意到方程282(1)x x 2．当2x 时，由①得816S x ．当02x 时，由②得222(1)2(12))16S x ．因此当2,0x y 时，S 取到最小值16． …………20分 解法3：因为2w z =−，所以我们有222(2)2411z z z z z22(2)26411z z z z z从而上两式最右边各项分别是z 到复平面中实轴上的点1−1−，33+的距离，所以把i z x y =+换成其实部x 时，都不会增大.因此只需 考虑函数22()2464f x x x x x +−+−+在R 上的最小值.…………10分因为1313−−<<−+<，因此我们有以下几种情况：1.若1x≤−,则2()24f x x x=−,在这一区间上的最小值为(116f−=+；2.若(13x∈−−，则()88f x x=−+，在这一区间上的最小值为(316f=−+…………15分3.若31x∈−，则2()24f x x x=−+，在这一区间上的最小值为((3116f f=−+=−+；4.若13x∈− ，则()88f x x=−，在这一区间上的最小值为(116f−+=−+；5.若3x≥+，则2()24f x x x=−，在这一区间上的最小值为(316f=+.综上所述，所求最小值为((3116f f=−+=−.…………20分。
2020全国卷一数学
2020全国卷一数学题目一题目描述某大学计算机系有A、B、C三个班级，计算机系有男生30人，女生40人，其中A班级有男生12人，女生16人；B班级有男生10人，女生14人；C班级有男生8人，女生10人。
学校要求班级男女生比例保持一致，请你通过计算回答以下问题：1.总共有多少个班级？2.每个班级有多少个学生？3.每个班级男生和女生数分别是多少？解题思路根据题目所给的条件，我们可以计算出每个班级的学生总数，分别是A班级28人，B班级24人，C班级18人。
所以，总共有3个班级，每个班级分别有28、24和18个学生。
然后，再计算每个班级的男生和女生人数。
根据题目所给的条件，我们可以计算出A班级的男生和女生人数分别是12和16，B班级的男生和女生人数分别是10和14，C班级的男生和女生人数分别是8和10。
计算公式每个班级的学生总数：A班级（28人）、B班级（24人）、C班级（18人）每个班级的男生人数：A班级（12人）、B班级（10人）、C班级（8人）每个班级的女生人数：A班级（16人）、B班级（14人）、C班级（10人）运算过程总共有3个班级，每个班级分别有28、24和18个学生。
每个班级的男生和女生人数分别是A班级（12人/16人）、B班级（10人/14人）和C班级（8人/10人）。
结果1.总共有3个班级；2.每个班级分别有28、24和18个学生；3.每个班级的男生和女生人数分别是A班级：12人/16人，B班级：10人/14人，C班级：8人/10人。
题目二题目描述某超市进行618大促销，销售了许多商品，其中手机和电视销售额占据了销售总额的60%。
请计算以下问题：1.销售总额为多少？2.手机和电视的销售总额是多少？3.销售总额和手机、电视销售总额的比例是多少？解题思路根据题目所给的条件，我们可以计算出销售总额。
假设销售总额为100元，手机和电视销售额占据了销售总额的60%，那么手机和电视的销售总额为100 * 60% = 60元。
20201128第十二届数学竞赛非数学专业初赛试题解答(终稿)
+ sin x dx = ，则
+
+ sin x sin(x + y) dxdy =
0x
2
0 0 x(x + y)
.
【解】 令 u = x + y ，得
I =
+ sin x dx
+ sin(x + y) dy =
+ sin x dx
+ sin u du
0x
0 x+ y
0x
xu
=
+ 0
sin x
中国大学MOOC
中国大学MOOC
中国大学MOOC
中国大学MOOC
中国大学MOOC
=
+ 0
sin x
x
dx
2
−
+ sin x dx
0x
x sin u du . 0u
令 F(x) = x sin u du ，则 F(x) = sin x ， lim F(x) = ，所以
0u
x
x→+
2
2
sin
t
− 3
dt
.
(代换：
t
=
+ 3
)
根据周期函数的积分性质，得
……………… 4 分
( ) I
= −8
−
cos t
sin
t
−
3
dt
= −4
−
cos t
sin t −
3 cos t dt = 8
3 cos t cos tdt . 0
令 u = t − ，则 2
I = −8
3
2 −
历年全国大学生数学竞赛初赛真题全(数学类)十一届试卷高清无水印(2009-2019)
（数学类）试卷第一题：(15分)求经过三平行直线1:L x y z ==，2:11L x y z -==+，3:11L x y z =+=-的圆柱面的方程.第二题：(20分)设n nC ⨯是n n ⨯复矩阵全体在通常的运算下所构成的复数域C 上的线性空间，12100010*******n n n a a a F a --⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. (1)假设111212122212n n n n nn aa a a a a A a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，若AF FA =，证明： 121112111n n n n A a F a F a F a E ---=++++ ；(2)求n nC⨯的子空间{}()|n n C F X C FX XF ⨯=∈=的维数.第三题：(15分)假设V 是复数域C 上n 维线性空间（0n >），,f g 是V 上的线性变换. 如果fg gf f -=，证明：f 的特征值都是0，且,f g 有公共特征向量.第四题：(10分)设{}()n f x 是定义在,a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的无穷次可微的函数序列且逐点收敛，并在,a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上满足()nf x M '≤.（1）证明{}()n f x 在,a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上一致收敛；（2）设()lim ()n n f x f x →∞=，问()f x 是否一定在,a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上处处可导, 为什么？第五题：(10分)设320sin d sin n nt a t t t π=⎰，证明11nn a ∞=∑发散.第六题：(15分)(,)f x y 是{}22(,)|1x y x y +≤上二次连续可微函数，满足222222f f x y x y ∂∂+=∂∂，计算积分221d d x y I x y +≤⎛⎫=⎰⎰第七题：(15分)假设函数()f x 在[0,1]上连续，在()0,1内二阶可导，过点(0,(0))A f ，与点(1,(1))B f 的直线与曲线()y f x =相交于点(,())C c f c ，其中01c <<. 证明：在 ()0,1内至少存在一点ξ，使()0f ξ''=.（数学类）试卷一、（本题共10分）设(0,1)ε∈，0x a =，1sin 0,1,2).n n x a x n ε+=+= （证明lim n n x ξ→+∞=存在，且ξ为方程sin x x a ε-=的唯一根.二、（本题共15分）设01030002010000B ⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭. 证明2X B =无解，这里X 为三阶未知复方阵.三、（本题共10分）设2D ⊂ 是凸区域，函数(,)f x y 是凸函数. 证明或否定：(,)f x y 在D 上连续.注：函数(,)f x y 为凸函数的定义是(0,1)α∀∈以及1122(,),(,)x y x y D ∈，成立12121122((1),(1))(,)(1)(,)f x x y y f x y f x y αααααα+-+-≤+-.四、（本题共10分） 设()f x 在0,1⎡⎤⎢⎥⎣⎦上黎曼(Riemann)可积，在1x =可导，(1)0,f =(1)f a '=. 证明：120lim ()d .n n n x f x x a →+∞=-⎰五、（本题共15分）已知二次曲面∑（非退化）过以下九点：(1,0,0),(1,1,2),(1,1,2),(3,0,0),(3,1,2),(3,2,4),(0,1,4),(3,1,2),(5,8).A B C D E F G H I ------问∑是哪一类曲面？六、（本题共20分） 设A 为n n ⨯实矩阵（未必对称），对任一n 维实向量T 1(,,),0n A ααααα=≥ （这里T α表示α的转置），且存在n 维实向量β使得T 0A ββ=. 同时对任意n 维实向量x 和y ，当T 0xAy ≠时有TT 0xAy yAx +≠. 证明：对任意n 维实向量v ，都有T0.vA β=七、(本题共10分) 设f 在区间0,1⎡⎤⎢⎥⎣⎦上黎曼(Riemann)可积，0 1.f ≤≤ 求证：对任何0ε>，存在只取值为0和1的分段（段数有限）常值函数()g x ，使得,0,1αβ⎡⎤⎡⎤∀⊆⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，()()().f x g x dxβαε-<⎰八、(10分) 已知:(0,)(0,)ϕ+∞→+∞是一个严格单调下降的连续函数，满足0lim (),t t ϕ+→=+∞且10()d ()d ,t t t t a ϕϕ+∞+∞-==<+∞⎰⎰其中1ϕ-表示ϕ的反函数. 求证：32212001()d ()d .2t t t t a ϕϕ+∞+∞-⎡⎤⎡⎤+≥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰（数学类）试卷一、（本题15分）已知四点(1,2,7),(4,3,3),(5,1,0).-试求过这四点的球面方程。
第十二届全国大学生数学竞赛决赛试题(非数学类)参考答案及评分标准
F= (b) 0 . 对 F (x) 在[a,b] 上利
a
∫ 用洛尔定理，存在 x0 ∈ (a,b) ，使得 F′(x0 ) = 0 ，即 f (x0 ) =
x0 f (t)dt .
a
---------------- 3 分
3
2021 年 05 月决赛试题
x
∫ 再令 G= (x)
f (x) − f (t)dt ，则 G= (a) a
−
2 x32
= 0 . 由此解得 u
113
在定义域内的唯一驻点 P0 (24 , 22 , 24 ) ，且 u 在该点取得最小值 u(P0 ) = 4 4 2 ，这是
113
函数唯一的极值. 因此 u 的唯一极值点为 (24 , 22 , 24 ) .
【注】 也可用通常的充分性条件(海赛矩阵正定)判断驻点 P0 为极小值点.
1，2， ,s)
.
因为 p(D) = D 2021 ，所以
1
= p( A) p= (QDQT ) Q= p(D)QT Q= D 2021QT B .
--------------- 3 分
(3) 设另存在 n 阶实对称矩阵 C 使得 C2021=A ，则=B p= ( A) p(C2021) ，所以
1 2
(xn
+
yn
)
，
---------------- 4 分
这只需证明：对任意 n
≥
0
，都有
x+ 2
y
n
≤
An (x, x) n +1
≤
1 2
(xn
+
yn ) ，其中 0
<
x,
陕西省第12届数学竞赛预赛试卷(非数学)-答案
故
f
( y)
=
a3b 3
1 (3y2
−
y3 6
)
+
C1 y
+
C2
.
……………… 4 分
五、(本题满分 12 分) 计算 I =
3y
−
x
dx
−
5zdz
，曲线
:
x2
x2
+ +
y2 y2
+ z2 = = 2z
8
，从
z
轴
正向往坐标原点看去取逆时针方向.
【解】
曲线
也可表示为
z x
= 2， 2 + y2
+ sin x dx
0x
x sin u du . 0u
令 F(x) = x sin u du ，则 F(x) = sin x ， lim F(x) = ，所以
0u
x
x→+
2
2
I= − 4
+ 0
F ( x) F ( x)dx
=
2 4
−
1 F(x)2
2
+ 0
=
2 4
−
1 2
2
2
=
2 8
.
【5】 设 f (x) ，g(x) 在 x = 0 的某一邻域U 内有定义，对任意 x U ，f (x) g(x) ，
y2
2
1
+
x y
=
x + yy x2 + y2
，即 (x + y)y =
y−x，
所以 f (1) = 0 ，曲线 y = f (x) 在点 (1,1) 处的切线方程为 y =1.
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛一试试卷(预赛)(A卷)(含答案)
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛一试试卷（预赛）（A卷）一、填空题：本题共8小题，每小题8分，共64分。
1.若实数m>1满足log9(log8m)=2024，则log3(log2m)的值为______．2.设无穷等比数列{a n}的公比q满足0<|q|<1.若{a n}的各项和等于{a n}各项的平方和，则a2的取值范围是______．3.设实数a，b满足：集合A={x∈R|x2−10x+a≤0}与B={x∈R|bx≤b3}的交集为[4,9]，则a+b的值为______．4.在三棱锥P−ABC中，若PA⊥底面ABC，且棱AB，BP，BC，CP的长分别为1，2，3，4，则该三棱锥的体积为______．5.一个不均匀的骰子，掷出1，2，3，4，5，6点的概率依次成等差数列.独立地先后掷该骰子两次，所得的点数分别记为a，b.若事件“a+b=7”发生的概率为17，则事件“a=b”发生的概率为______．6.设f(x)是定义域为R、最小正周期为5的函数.若函数g(x)=f(2x)在区间[0,5)上的零点个数为25，则g(x)在区间[1,4)上的零点个数为______．7.设F1，F2为椭圆Ω的焦点，在Ω上取一点P(异于长轴端点)，记O为△PF1F2的外心，若PO⋅F1F2=2PF1⋅PF2，则Ω的离心率的最小值为______．8.若三个正整数a，b，c的位数之和为8，且组成a，b，c的8个数码能排列为2，0，2，4，0，9，0，8，则称(a,b,c)为“幸运数组”，例如(9,8,202400)是一个幸运数组.满足10<a<b<c的幸运数组(a,b,c)的个数为______．二、解答题：本题共3小题，共56分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
9.(本小题16分)在△ABC中，已知cosC=sinA+cosA2=sinB+cosB2，求cosC的值．10.(本小题20分)在平面直角坐标系中，双曲线Γ：x2−y2=1的右顶点为A.将圆心在y轴上，且与Γ的两支各恰有一个公共点的圆称为“好圆”.若两个好圆外切于点P，圆心距为d，求d|PA|的所有可能的值．11.(本小题20分)设复数z，w满足z+w=2，求S=|z2−2w|+|w2−2z|的最小可能值．参考答案1.40492.[−14,0)∪(0,2)3.74.345.196.117. 648.5919.解：由题意知，sinA +cosA =sinB +cosB ，所以 2sin (A +π4)= 2sin (B +π4)，所以A +π4=B +π4或(A +π4)+(B +π4)=π，即A =B 或A +B =π2，当A =B 时，C =π−2A ，且A ∈(0,π2)，由cosC =sinA +cosA 2，知cos (π−2A)=sinA +cosA 2，即−2cos2A =sinA +cosA ，所以2(sin 2A−cos 2A)=sinA +cosA ，所以2(sinA +cosA)(sinA−cosA)=sinA +cosA ，因为A ∈(0,π2)，所以sinA +cosA ≠0，所以sinA−cosA =12，又sin 2A +cos 2A =1，所以(12+cosA )2+cos 2A =1，解得cosA =7−14或cosA =− 7−14(舍负)，所以cosC =−cos2A =1−2cos 2A =1−2×(7−14)2= 74；当A +B =π2时，C =π2，所以cosC =0，此时sinA +cosA = 2sin (A +π4)=0，而A ∈(0,π2)，所以A +π4∈(π4,3π4)，所以sin (A +π4)>0，与sin (A +π4)=0相矛盾，所以cosC =0不成立，综上，cosC = 74． 10.解：考虑以(0,y 0)为圆心的好圆Ω0：x 2+(y−y 0)2=r 20(r 0>0)．由Ω0与Γ的方程联立消去x ，得关于y 的二次方程2y 2−2y 0y +y 20+1−r 20=0．根据条件，该方程的判别式Δ=4y20−8(y20+1−r20)=0，因此y20=2r20−2．对于外切于点P的两个好圆Ω1，Ω2，显然P在y轴上．设P(0,ℎ)，Ω1，Ω2的半径分别为r1，r2，不妨设Ω1，Ω2的圆心分别为(0,ℎ+r1)，(0,ℎ−r2)，则有(ℎ+r1)2=2r21−2，(ℎ−r2)2=2r22−2，两式相减得2ℎ(r1+r2)=r21−r22，而r1+r2>0，故化简得ℎ=r1−r22，进而(r1−r22+r1)2=2r21−2，整理得r21−6r1r2+r22+8=0①，由于d=r1+r2，A(1,0)，|PA|2=ℎ2+1=(r1−r2)24+1，而①可等价地写为2(r1−r2)2+8=(r1+r2)2，即8|PA|2=d2，所以d|PA|=22．11.解：根据z+w=2，得w=2−z，可得|z2−2w|=|z2−2(2−z)|=|z2+2z−4|=|z+1+5|⋅|z+1−5|．|w2−2z|=|(2−z)2−2z|=|z2−6z+4|=|z−3+5|⋅|z−3−5|．以上两式的最右边各项分别是z到复平面中实轴上的点(−1−5,0)，(−1+5,0)，(3−5,0)，(3+5,0)的距离，将z=x+yi换成其实部x时，各个距离都不会增大，因此只需考虑函数f(x)=|x2+2x−4|+|x2−6x+4|在R上的最小值．由x2+2x−4=0的根为−1±5，x2−6x+4=0的根为3±5，且−1−5<3−5<−1+5<3+5，分以下几种情况讨论：①若x≤−1−5，则f(x)=2x2−4x，f(x)在(−∞,−1−5]上的最小值为f(−1−5)=16+85；②若x∈(−1−5,3−5]，则f(x)=−8x+8，此时f(x)的最小值为f(3−5)=−16+85；③若x∈[3−5,−1+5]，则f(x)=−2x2+4x，此时f(x)的最小值为f(3−5)=f(−1+5)=−16+85；④若x∈[−1+5,3+5]，则f(x)=8x−8，此时f(x)的最小值为f(−1+5)=−16+85；⑤若x≥3+5，则f(x)=2x2−4x，f(x)在[3+5,+∞)的最小值为f(3+5)=16+85．综上所述，f(x)在R上的最小值为f(3−5)=f(−1+5)=85−16．即S=|z2−2w|+|w2−2z|的最小可能值是85−16．。
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛内蒙古赛区初赛试卷(解析版)
2024年全国中学生数学奥林匹克竞赛内蒙古赛区初赛试卷（2024年5月19日，8:30~9:50）考生注意：1、本试卷共二个大题（11个小题），全卷满分120分.2、用黑色的钢笔或签字笔作答.3、解题书写不要超出装订线.4、不能使用计算器.一、填空题（本题满分64分，每小题8分）本题共有8小题，要求直接将答案写在横线上.1．集合{}1,2,3,5,6M =的全部非空子集的元素和等于.2．设a ，b ，c 是实数，满足1a b c ++=，2221a b c ++=，0a ≠，3bc a 的取值范围为.3．已知正三棱柱111ABC A B C -的侧棱长为4，底面边长为2，过点A 的一个平面截此棱柱，与侧棱1BB ，1CC 分别交于点M ，N ，若MNA △为直角三角形，则MNA △面积的最大值为.4．已知在ABC V中BC =，π3A =，14BD BC = ，则线段AD 的最大值为.5．从1，2，⋅⋅⋅，11中任取三个不同的数，则这三个数可以构成等差数列的概率为.6．O 是原点，椭圆22145x y +=，直线l 过()1,0且与椭圆交于A ，B 两点，则ABO 面积的最大值为.7．数列{}n a 中，1110a =，且对任意*n ∈N ，21n n n a a a +=+，求2024111n n a =+∑的整数部分是.8．已知关于x 的方程3340x x -+=的三个复数根分别为1z ，2z ，3z ，则()()()222122331z z z z z z ---的值为.二、解答题（本题满分56分）9．已知双曲线22:143x y C -=，直线:1l y kx =+与双曲线C 的左右支分别相交于A ，B 两点，双曲线C 在A ，B 两点处的切线相交于点P ，求ABP 面积的最小值.10．已知函数()21e 21x x f x ax x -=--+.(1)当0a =时，讨论()f x 在14,2⎛⎫- ⎪⎝⎭上的极值.(2)若0x =是()f x 的极小值点，求a 的取值范围.11．设n 是一个给定的正整数，集合(){}*,1,2,,n S i j i j n i j =≤≤∈N ，求最大的正数()c c n =，使得对任意正整数1d ，2d ，都存在集合n S 的子集P ，满足集合P 至少有2cn 个元素，且集合P 的任两个元素(),i j ，(),k l 均有()()221i k j l d -+-≠，()()222i k j l d -+-≠.1．272【分析】分析各元素出现的次数，进而可得结果.【详解】集合{}1,2,3,5,6M =的子集有以下情形；含有元素1的子集有4216=个；含有元素2的子集有4216=个；含有元素3的子集有4216=个；含有元素5的子集有4216=个；含有元素6的子集有4216=个，所有子集的元素的和为()1612356272⨯++++=．故答案为：272.2．(],0-∞【分析】根据已知条件，求出2bc a a =-，1+=-b c a ，根据韦达定理确定a 和b 是关于x 的方程：()2210x a x a a +-+-=的两个根，求出113a -≤≤，又0a ≠，构造函数()21x f x x-=，(]1,00,13x ⎡⎫∈-⋃⎪⎢⎣⎭，对函数求导，利用导数判断函数的单调性，求出函数值域即可求解.【详解】因为1a b c ++=，所以()22222221a b c a b c ab bc ac ++=+++++=，又2221a b c ++=，所以2220ab bc ac ++=，即0ab bc ac ++=，所以()0bc a b c ++=，即()10bc a a +-=，2bc a a =-，又1+=-b c a ，所以由韦达定理得a 和b 是关于x 的方程：()2210x a x a a +-+-=的两个根，所以()()22140a a a ∆=---≥，整理有：23210a a --£，解得113a -≤≤，又0a ≠，所以(]1,00,13a ⎡⎫∈-⋃⎪⎢⎣⎭，所以23321bc a a a a a a--==，(]1,00,13a ⎡⎫∈-⋃⎪⎢⎣⎭，令()21x f x x -=，(]1,00,13x ⎡⎫∈-⋃⎪⎢⎣⎭，()242x x f x x-+'=，(]1,00,13x ⎡⎫∈-⋃⎪⎢⎣⎭，令()0f x '=，解得0x =或2x =，所以当1,03x ⎡⎫∈-⎪⎢⎣⎭时，()0f x '<，()f x 单调递减，当(]0,1x ∈时，()0f x '>，()f x 单调递增；当0x →时，()f x →-∞，1123f ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，()10f =，所以(]1,00,13x ⎡⎫∈-⋃⎪⎢⎣⎭，()(],0f x ∈-∞，所以3bc a 的取值范围为(],0-∞.故答案为：(],0-∞.3【分析】设,,,[0,4]CN x BM y x y ==∈，90ANM ∠=︒，则由直角三角形MQN 可得2y x x=+，从而可得面积的表达式，利用函数的单调性可求最大值.【详解】如图，设,,,[0,4]CN x BM y x y ==∈，不妨设90ANM ∠=︒，则222AM AN MN =+，即222444()y x y x +=+++-，整理得：220x xy -+=，若0x =，显然不成立，可得(]222,0,4x y x x x x+==+∈，又因为04y <≤，即24x x+≤，解得22x -≤≤+设AMN 的面积为S ，则()222444()S x y x ⎡⎤=+⋅+-⎣⎦()22444x x ⎛⎫=+⋅+ ⎪⎝⎭2216204x x =++224204x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，令26t x ⎡=∈-+⎣，因为函数()4f t t t =+在)62⎡-⎣上单调递减，在(2,6+上单调递增，且((6612f f -=+=，可知24S 最大值是2041268+⨯=，所以max S =.。
全国大联考 2020 届 12 月联考理科数学A试卷答案
全国大联考2020届12月联考理科数学（A ） 参考答案一、选择题：共12小题，每小题5分，共60分．1．B 【解析】由1244x ≤≤，得22x −≤≤，即[2,2]A =−，由y =2x =，所以0y =，所以{0}B =，所以{0}A B =I ．故选B ．2．C【解析】由(1)42z i i −=+，得42124iz i i+−==−，所以34z i =−，所以5z =． 3．A【解析2时，圆心到直线l 的距离小于1，即||15m <，所以55m −<<，故所求概率5(5)29(6)3P −−==−−． 4．B【解析】本题可以转为等差数列问题：已知首项15a =，前30项的和30390S =，求公差d ． 由等差数列的前n 项公式可得，30293052390d ⨯⨯+=，解得1629d =． 5．D【解析】由三视图可知，该手工制品是由两部分构成，每一部分都是相同圆锥的四分之一， 且圆锥的底面半径为3，高为4，故母线长为5，故每部分的表面积为11112436591262424πππ⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯=+，故两部分表面积为2412π+．6．C【解析】由(0.00240.00360.00600.00240.0012)501a +++++⨯=，解得0.0044a =，故A 错；由A 可知，0.0044a =，所以平均数为0.002450750.0036501250.0060501750.004450⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯2250.0024502750.001250325186+⨯⨯+⨯⨯=，故B 错误；居民月用电量在[50,150)的频率为：(0.00240.0036)500.3+⨯=， 居民月用电量在[150,200)的频率为：0.0060500.3⨯=， ∴这100户居民月用电量的中位数大约为0.50.315050183.30.3−+⨯≈，故C 正确； 由频率分布直方图可知，众数大约为175，故D 错误． 7．D【解析】令1x =，则有56(1)0a −=，所以1a =， 又52(1)1x−展开式的通项为21015(1)k k k k T C x −+=−，令4k =，则常数项为45210C =， 令5k =，则常数项为5511C −=−，故展开式的常数项为1019−=．8．D【解析】当双曲线的焦点在x 轴上时，设C 的方程为22221(0,0)x ya b a b −=>>， 则其渐近方程为b y x a =±，所以b a =22222213b c a e a a−==−=，所以2e =； 当双曲线的焦点在y 轴上时，设C 的方程为)0,0(12222>>=−b a ay b x ，则其渐近方程为x b a y ±=，所以3=b a ，所以31=a b ，所以22a b =222aa c −=3112=−e，所以e =．9．C【解析】由223526324002a a a a +=−，得223355232400a a a a ++=，即()23532400a a +=，又0n a >，所以53a a +=180，从而180)421=+q q a （，由2410S S =，得)(10214321a a a a a a +=+++，即)(92143a a a a +=+， 所以())(921221a a q a a +=+，所以92=q ， 又0q >，所以3q=，代入180)421=+q q a （，得21=a ，所以()()5045042018422019232331881a =⨯=⨯⨯=⨯，故其个位数为8．10．B【解析】()2f x x a '=+，则()y f x =的图象在12x =处的切线斜率112()k f a '==+，由于切线与直线20x y +=垂直，则有1()(1)12a −+=−，则1a =，所以2()(1)f x x x x x =+=+，所以111()1f k k k =−+，所以111(1)()223S =−+−++L 11)1(k k −+，由于输出的k 的值为15，故总共循环了15次， 此时1111115(1)()()223151616S =−+−++−=L ，故t 的值可以为1415．11．D【解析】由于函数()f x 在[,]312ππ−上具有单调性，所以5123122Tπππ+=≤，即512ππω≤， 所以512≤ω， 又由于函数)(x f 在]32,2[ππ−上至少存在两个不同的21,x x 满足4)()(21=x f x f ，所以27326T πππ+=≥，即726ππω≥，所以127ω≥，故有121275ω≤≤， 又(,0)6π−和712x π=分别为函数()f x 图象的一个对称中心和一条对称轴，所以2174126k T ππ+=+，k Z ∈，所以2(21)3k ω+=，k Z ∈，所以2ω=， 故()2sin(2)f x x φ=+，又(,0)6π−为函数()f x 图象的一个对称中心，所以2()6k πφπ⨯−+=，k Z ∈， 所以3ππϕ+=k ，Z k ∈，又2πϕ<，所以3πϕ=，所以)32sin(2)(π+=x x f ．由于函数)(x f 的周期为π，所以相邻两条对称轴之间的距离为2π，故A 错误；()23f π−≠±，且()012f π−≠，故B ，C 错误；由于函数)(x f 的单调递减区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ππππ127,12k k ，Z k ∈，当0=k时，得其中的一个单调递减区间为⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ127,12，而⊂)2,6(ππ⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ127,12，故D 正确． 12．B【解析】令2()()f x g x x=，则243()2()()2()()x f x xf x xf x f x g x x x ''−−'==， 由于(0,1)x ∈，且()2()xf x f x '>，所以()0g x '>，故函数()g x 在(0,1)单调递增． 又βα,为锐角三角形的两个内角，则022ππαβ>>−>，所以1sin sin()02παβ>>−>，即0cos sin 1>>>βα，所以)(cos )(sin βαg g >，即ββαα22cos )(cos sin )(sin f f >， 所以)(cos sin )(sin cos 22βααβf f >．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．1【解析】,x y 满足约束条件023603260x y k x y x y −+≤⎧⎪+−≤⎨⎪−+≥⎩的可行域如下图：由23603260x y x y +−=⎧⎨−+=⎩，得630(,)1313A −，由03260x y k x y −+=⎧⎨−+=⎩，得(26,36)B k k −−，将目标函数化为122zy x =−，由图可知，当直线122z y x =−经过点A 时目标函数取得最小值，所以min 6613z =−； 当直线122zy x =−经过点B 时目标函数取得最大值，所以max 46z k =−+，所以有6640461313k −−+=−，解得1k =．14．120︒【解析】222||||44||42a b a a b b =−−⋅+=r r r r r r ，所以|2|2a b =−r r，设b r 与2a b −r r 的夹角为θ，则(2)1cos 2|||2|b a b b a b θ⋅−==−−r r r r rr ，又因为[0,180]θ∈︒︒，所以120θ=︒． 15．25π【解析】取AB 的中点O '，AC 的中点O ，连接O O '，因为222PA PB AB +=，所以PAB ∆是以AB 为斜边的直角三角形，从而点O '为PAB ∆外接圆的圆心， 又222AB BC AC +=，所以ABC ∆是以AC 为斜边的直角三角形，从而点O 为ABC ∆外接圆的圆心，又因为O O BC '∥，所以O O AB '⊥，又平面PAB ⊥平面ABC ，且平面PAB ⋂平面ABC AB =，所以O O '⊥平面PAB ， 所以点O 为三棱锥P ABC −外接球的球心，所以外接球的半径2521===AC OA R ， 故外接球的表面积2425S R ππ==．16．(0,)b −【解析】设),(11y x M ，),(22y x N ，),0(t P ， 把y kx b =+代入抛物线方程得2440xkx b −−=，所以k x x 421=+，b x x 421−=，因为OPM OPN ∠=∠，所以0=+PN PM k k ，即12120y t y tx x −−+=， 即()()12210kx b t x kx b t x +−++−=，所以0))((22121=+−+x x t b x kx ，即0)(=+t b k ，由于R k ∈，所以b t −=，故),0(b P −． 三、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．（12分）【解析】（1）∵C a A c a cos cos 2=−，∴C A A C A cos sin cos sin sin 2=−，即C A A C A cos sin cos sin sin 2+=，∴B C A A sin )sin(sin 2=+=，∴22sin sin ==B A b a ．如图，过点C 作CD AB ⊥，D 为垂足．在Rt ACD ∆中，sin CD b A =，由题意可知，a A b ≤sin ，所以有b a A ≤sin ，从而sin 2A ≤， 又因为π<<A 0，所以40π≤<A 或ππ<≤A 43， 又B A <，所以40π≤<A ，即角A 的取值范围为(0,]4π．18．（12分）【解析】（1）在ABC ∆中，设22BC AB a ==，由余弦定理得，22222cos 3AC BC AB BC AB ABC a =+−⨯⨯⨯∠=，∴222AB AC BC +=，∴90BAC ∠=︒，即AC AB ⊥， 又∵,,PA AB PA AD AB AD A ⊥⊥=I ，∴PA ⊥平面ABCD ，又∵AC ⊂平面ABCD ，∴PA AC ⊥， 又∵PA AB A ⋂=，∴AC ⊥平面PAB ，又∵AC ⊂平面PAC ，∴平面PAC ⊥平面PAB ；（2）由（1）可知，直线,,AB AC AP 两两垂直，故以A 为原点，分别以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AP ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系，如图所示：设2BC =，则(0,0,0),A C ，1(,,0)22D −，(0,0,1)P ，从而PC⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,√3,−1)，DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(12,√32,0)， 设),,(z y x =为平面PCD 的一个法向量，则{n ⃗ ⋅PC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0n ⃗ ⋅DC ⃗⃗⃗⃗⃗ =0，即0102z x y −=⎨+=⎪⎩， 令1y =，则)3,1,3(−=n ，由（1）可知，y 轴⊥平面PAB ，故平面PAB 的一个法向量)0,1,0(=，∴cos <m ⃗⃗ ,n ⃗ >=m⃗⃗⃗ ⋅n ⃗ |m⃗⃗⃗ ||n ⃗ |=√77，即平面PAB 与平面PCD 所成二面角的余弦值为77． 19．（12分）【解析】（1）1(11+13+16+15+20+21)=166y =，∴261()76i i y y =−=∑，又∵621)17.5ii x x =−=∑（，61)()35i i i x x y y =−−=∑（，∴相关系数)()0.96niix x y y r −−===≈∑（，由于y 关于x 的相关系数0.960.95r ≈>，这说明y 关于x 的线性相关程度相当高，可用线性回归模型拟合y 与x 的关系；又61621()()()35ˆ217.5iii ii x x y y x x b==−==−=−∑∑，且1(1+2+3+4+5+6 )=3.56x =， ∴ˆˆ162 3.59ay bx =−=−⨯=，∴回归方程为ˆ29y x =+． （2）18186323y y v =+=≥，即调查材料最低成本为1800元，此时yy 186323=，所以207y=．（3）ξ可能的取值为0，1，2，3，且3336(0)120P C C ξ===；2133369(1)20C C C P ξ===；1233369(2)20C C C P ξ===；3336(3)120P C C ξ===．所以ξ的分布列为所以1991()0123 1.520202020E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=． 20．（12分）【解析】（1）设)0,(2c F，由题意得，21c a b ⎧=⎪⎨⎪=⎩，又222c b a +=，所以有1a c ==，故E 的方程为1222=+y x ．（2）当直线l 的斜率为0时，则直线l 与E 相切于短轴的一个顶点，由椭圆的对称性可知，直线n 经过x 轴上的点2(1,0)F ．当直线l 斜率存在时，设其方程为)0≠+=m m kx y （，将m kx y +=代入1222=+y x，得0224)21(222=−+++m kmx x k ，0)22)(21(4162222=−+−=∆m k m k ， 整理得1222+=k m ，从而m kkkm x P 22122−=+−=， 所以m y P 1=，即21(,)k P m m−，所以F2P ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2k+m m,1m)．设1F 关于直线l 的对称点为00(,)Q x y ，则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+−⨯=−=+m x k y k x y 212110000， 解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+−−=+−−=12211220220k m k y k mk k x ，即2222122(,)11k mk k m Q k k −−−−++． 所以2222222,)11(mk k mk F Q k +−−=−++u u u u r ．又()()22222221222221()0111k m k m k m mk m k k m m k +−+−+⨯−−⨯==+++， 所以22F P F Q u u u u r u u u u r∥，即P ，Q ，2F 三点共线，所以直线n 经过点2(1,0)F ．当直线l 斜率不存在时，直线n 即为x 轴，也经过点2F ． 综上，直线n 经过x 轴上一个定点2(1,0)F ． 21．（12分）【解析】（1）()(2)x f x Ae x '=+．①当0A >时，在(,2)−∞−上，()0f x '<，函数()f x 单调递减；在(2,)−+∞上，()0f x '>，函数()f x 单调递增；②当0A <时，在(,2)−∞−上，()0f x '>，函数()f x 单调递增；在(2,)−+∞上，()0f x '<，函数()f x 单调递减．综上，当0A >时，递减区间为(,2)−∞−，递增区间为(2,)−+∞；当0A <时，递增区间为(,2)−∞−，递减区间为(2,)−+∞．（2）()1(1)1kx x kx x g x ke k e k e e '=−+−=−+−， ∵0x ≥，∴10xe−≥，当0k >时，由于0x ≥，所以10kxe −≥，即()0g x '≥， 当0k <时，由于0x ≥，所以10kxe−≤，即()0g x '≥，当0k =时，()10x g x e '=−≥， 综上，当0x ≥时，函数()g x 单调递增，所以由2(())(4)g f x g x x ≥+可得2()4f x x x ≥+，即2(1)4x A x e x x +≥+，等价于24(1)x x x A e x +≥+，即2max 4()(1)xx xA e x +≥+， 令24()(1)x x xh x e x +=+，0x ≥，则22(2)(22)()(1)x x x x h x e x ++−'=−+，由()0h x '=，且0x ≥，得1x =，当01x <<−时，()0h x '>，函数()h x 单调递增；当1x 时，()0h x '<，函数()h x 单调递减．所以1max()1)2h x h e ==所以12A e ≥，即A 的取值范围为1[2)e +∞．选考题：请考生在22、23题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。
2020数学竞赛初赛试题数学类
2020数学竞赛初赛试题数学类数学竞赛一直以来都是一个考验学生数学能力和思维能力的平台。
2020年的初赛试题也不例外，涵盖了各个数学领域的知识点和解题思路。
本文将针对2020数学竞赛初赛试题进行解析和讨论，帮助读者更好地理解和应对这些挑战。
一、预赛数学试题整体概览2020数学竞赛初赛试题共包含五大类别：代数与数理逻辑、几何与三视图、函数与方程、数与数列以及概率与统计。
每个类别下又有若干道题目，总计约计150道。
这些试题涵盖了高中数学的核心知识点，考察了学生对于数学概念的理解和应用能力。
下面我们将逐一分析各个类别的试题。
代数与数理逻辑类试题主要考察学生的代数思维和逻辑思维能力。
例如第一题要求证明函数f(x)=2x-1是奇函数，需要学生运用奇函数的定义和代数运算规则来进行证明。
第二题则考察了数理逻辑的基本知识，要求学生根据已知条件判断真假命题。
这一类题目的难度相对较大，需要学生具备较强的逻辑分析和推理能力。
几何与三视图类试题主要考察学生的几何直观和空间想象能力。
例如第一题是一个直线与平面的交点问题，要求学生求出交点的坐标。
这类题目对于学生的几何图形的理解和推导能力要求较高，需要学生掌握相关的几何定理和方法。
函数与方程类试题主要考察学生对于函数和方程的理解与运用能力。
例如第一题要求解方程组，需要学生利用代数运算的方法解出方程的解。
第二题则考察了函数的性质，要求学生求函数f(x)=e^x的定义域。
这类题目对于学生的代数运算和函数概念的理解要求较高，需要学生能够熟练运用相关的理论和方法。
数与数列类试题主要考察学生对于数的性质和数列的规律的理解和应用。
例如第一题要求学生求解方程1/x+1/y=1/2，需要学生运用数的性质和分式的运算方法来解题。
第二题则考察了等差数列的性质，要求学生求出一个满足特定条件的等差数列。
这类题目对于学生的运算能力和数学思维的灵活性要求较高，需要学生能够熟练运用数学知识解决问题。
概率与统计类试题主要考察学生对于概率和统计的理解和计算能力。
全国大学生数学竞赛赛试题(1-9届)
一、填空题（每小题5分，共20分）1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(__ ，其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域. 2．设)(x f 是连续函数，且满足⎰--=222d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________. 4．设函数)(x y y =由方程29ln )(yy f e xe=确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d xy_____.二、（5分）求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→ ，其中n 是给定的正整数.三、（15分）设函数)(x f 连续，⎰=10d )()(t xt f x g ，且A xx f x =→)(lim，A 为常数，求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.四、（15分）已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ，L 为D 的正向边界，试证：（1）⎰⎰-=---Lx y L x y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ； （2）2sin sin 25d d π⎰≥--L y y x ye y xe .五、（10分）已知x x e xe y 21+=，x x e xe y -+=2，x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.六、（10分）设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.七、（15分）已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u xn n n, 且n eu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n n x u 之和. 八、（10分）求-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.一、（25分，每小题5分） （1）设22(1)(1)(1),nn x a a a =+++其中||1,a <求lim .n n x →∞（2）求21lim 1x x x e x -→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭。
全国大学生数学竞赛大纲及历年预赛试卷
全国大学生数学竞赛大纲及历年预赛试卷一、引言全国大学生数学竞赛是一项旨在培养和提升大学生数学能力和思维水平的竞赛活动。
该竞赛由教育部主办，自年开始，每年一届，吸引了越来越多的学生参与其中。
本文将详细介绍全国大学生数学竞赛的大纲以及历年预赛试卷，帮助参赛者更好地了解和准备竞赛。
二、全国大学生数学竞赛大纲全国大学生数学竞赛大纲是竞赛命题的基础和指导，它涵盖了数学领域的多个方面，包括代数、几何、分析、概率统计等。
竞赛大纲不仅规定了竞赛的形式和内容，还为参赛者提供了学习和复习的方向。
三、历年预赛试卷分析预赛试卷是参赛者了解竞赛题型和难度的重要途径。
通过对历年预赛试卷的分析，参赛者可以了解竞赛题目的命题规律、题型分布以及解题技巧。
以下是对历年预赛试卷的分析：1、题型分布：预赛试卷主要包括选择题、填空题和解答题三种题型。
其中，选择题和填空题主要考察学生对基础知识的掌握程度，而解答题则更注重学生的综合运用能力和解题技巧。
2、难度分布：预赛试卷的难度分布较为均匀，难度适中。
在解答题中，通常会有一道相对较难的题目作为压轴题，以考察学生的数学能力和解题技巧。
3、命题规律：预赛试卷的命题规律较为稳定，通常会按照竞赛大纲的要求进行命题。
每年的预赛试卷都会有一部分题目与当年的数学热点问题相关联，以展示数学的应用价值。
四、总结通过对全国大学生数学竞赛大纲及历年预赛试卷的分析，我们可以了解到竞赛的命题规律、题型分布、难度分布以及解题技巧等方面的信息。
这有助于参赛者更好地了解和准备竞赛，提升自身的数学能力和思维水平。
我们也应该注意到，数学竞赛只是一种学习和交流的方式，参赛者应该以积极的心态参与其中，享受数学学习的乐趣。
全国大学生数学竞赛，作为一项广泛参与的学术竞赛活动，旨在提高大学生们对数学学科的热爱，增强他们的数学应用能力，以及培养优秀的数学人才。
此次预赛是竞赛的重要环节，将从基础知识、解题能力、创新思维等多个方面对参赛者进行全面考察。