钢筋混凝土梁非线性有限元分析方法

第28卷第1期 V ol.28 No.1 工 程 力 学 2011年 1 月 Jan. 2011 ENGINEERING MECHANICS82———————————————收稿日期：2009-06-19；修改日期：2010-03-11 基金项目：国家科技支撑计划项目(2006BA904B03)作者简介：*周凌远(1968―)，男，四川成都人，副教授，工学博士，从事桥梁结构行为分析研究(E-mail: zhoulingyuan@)；李 乔(1954―)，男，黑龙江铁力人，教授，工学博士，博导，西南交通大学土木工程学院院长，从事桥梁结构行为分析研究 文章编号：1000-4750(2011)01-0082-05钢筋混凝土梁非线性有限元分析方法*周凌远，李 乔(西南交通大学土木工程学院，成都 610031)摘 要：针对钢筋混凝土结构有限元分析中，材料进入非线性阶段后，难以通过梁理论准确描述混凝土截面和钢筋应力状态的问题，提出了基于柔度法和分布式塑性理论的钢筋混凝土梁单元材料非线性方法——网格截面法。

这种方法采用平面等参单元将梁单元网格化，由单元轴向积分点位置截面网格积分点的混凝土应力描述单元截面应力分布，同时考虑钢筋对刚度的贡献，并通过对截面网格材料的积分计算积分点位置的截面刚度矩阵，再利用力插值函数和能量原理得到梁单元的柔度矩阵，进而对柔度矩阵求逆计算单元刚度矩阵。

通过算例验证该方法在钢筋混凝土承载力分析时的准确性。

关键词：有限元；钢筋混凝土梁；柔度法；网格截面；极限承载力 中图分类号：TU375.1; O241.82 文献标识码：AAN APPROACH OF NONLINEAR FINITE ELEMENT ANALYSIS OFREINFORCED CONCRETE BEAM*ZHOU Ling-yuan , LI Qiao(School of Civil Eng, Southwest Jiaotong University, Chengdu 610031, China)Abstract: A beam element with a meshed section based on distributed plasticity and flexibility theory is presented for the material nonlinear finite element analysis of a reinforced-concrete framed structure, the sections of a concrete beam element are discretized into the plane isotropic components in this formulation, the stress distribution on the sections is described with the stresses at quadrature points in the mesh, the stiffness matrices of the sections are calculated by integration of the stress-strain relations of the material on the meshes and the contribution of the stiffness by reinforcing steel is also counted, the flexibility matrix of the element is formed by integration of section flexibility matrices with force-interpolation functions, and then it is inverted to obtain the element stiffness matrix. Finally, a numerical example of the ultimate load capacity analysis of a reinforced concrete beam illustrates the accuracy of the formulation.Key words: finite element; reinforced concrete beam; flexibility method; meshed section; load capacity钢筋混凝土结构的整体承载力问题一直为工程界所关注，材料非线性有限元方法是研究这类问题的有效手段，其分析模型主要包括集中塑性铰 法[1]和纤维模型法，1977年，Kang 提出了基于纤维模型的二维梁单元[2]，并运用于预应力混凝土框架的分析，1993年Izzuddin B A 等提出了三次多项式插值的分布式塑性方法分析空间梁单元[3―4]，通过对沿梁轴方向两个积分点位置的截面划分监控区域，并假定每个监控区域内的法向应力均匀，得到单元的刚度矩阵和节点力，这样在同一个单元内工程力学 83随内力的增加允许有塑性区发生扩展。

并通过大量的数值试验结果证明这种方法较集中塑性铰法有着明显的优越性。

1996年，Spacone和Filippou等提出了一种基于柔度的纤维模型单元[5―6]，并用于对钢筋混凝土结构的动力响应分析，与Izzuddin不同之处在于这种单元采用了力的插值而非位移插值的方式，这样单元力的平衡条件和位移协调条件同时得到满足，并避免了采用刚度法时，出现单元材料发生屈服时，使位移场变得复杂难以采用一般的插值函数描述的问题。

本文基于分布式塑性理论，将平面单元引入到梁单元，建立梁的非线性分析模型——网格截面模型，并将钢筋的刚度计入到梁单元中，实现不同材料的组合单元，采用力插值函数描述单元的截面力，并引入混凝土和钢筋的本构关系实现适用于基于柔度法的钢筋混凝土材料非线性梁单元。

1 网格截面梁单元1.1 单元截面的网格化进行非线性分析时，由于梁单元发生弯曲，截面上不同区域的应力有较大的差异，不同位置材料的本构关系无法通过统一的函数表示，截面的刚度矩阵也难以通过积分显示地表示出来，因此引入平面单元，对截面进行网格划分，通过单元积分点的应力来反映截面的应力状态。

如图1所示的一网格化后的钢筋混凝土T型梁单元，截面参考坐标系选择与单元坐标系相同。

为适应不同的截面形状，本文中的截面网格，采用8节点或6节点平面等参单元[7]。

(a) 单元积分点位置(b) 积分点截面网格图1 梁单元积分点位置网格截面Fig.1 Meshed Sections at integral point on a beam网格模型方法与纤维模型法的区别在于，其假定在同一截面网格内，材料的应力为连续变化，这样截面的刚度矩阵和截面力可以通过对截面网格内的应力-应变关系或应力的数值积分得到[8]。

1.2 梁单元截面的刚度矩阵对Euler-Bernoulli梁，单元截面上的广义位移为：T{}s x z ydεκκζ=(1)式中：xε表示截面形心轴的轴向应变；zκ和yκ分别表示对截面坐标系z′′轴和y′′轴的曲率；ζ为扭转的变化率[8]。

与截面的广义变形相对应，截面的内力为：T{}s z y xf N M M T=(2) 式中：N为截面的法向力；M z、M y分别表示截面绕z′′轴和y′′轴的弯矩；T x为截面的扭矩。

截面力增量和截面广义变形增量的本构关系为：s s sf d∆=∆K(3)式中，sK为截面切线刚度矩阵。

2 钢筋混凝土截面的刚度矩阵钢筋混凝土梁单元由混凝土和钢筋两种材料组成，截面的内力增量∆f s包括混凝土产生的截面内力增量∆f cs和钢筋产生的截面内力增量∆f ss两部分：s cs ssf f f∆=∆+∆(4) 假定钢筋与混凝土之间粘结牢固，不发生相对滑移，即钢筋的轴向应变与该点的混凝土相同。

设混凝土的截面刚度矩阵K cs，混凝土应力产生的反力增量与截面变形增量的关系为：cs cs sf d∆=∆K(5) 设钢筋对截面刚度矩阵的贡献为K ss，则钢筋应力产生的截面内力增量为：ss ss sf d∆=∆K(6) 对于混凝土梁单元，根据网格截面梁单元的假定，很容易建立截面变形与截面抗力的关系，单元截面混凝土对截面刚度矩阵的贡献表示为对截面上网格的材料积分的形式[8]：cs=K111211121111d d d0d d d0d d d0000d N N Nct ct cti i iN N Nct ct cti i iN N Nct ct cti i iNiE A E y A E z AE y A E y A E yz AE z A E yz A E z AGJ ==========⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑∑∫∫∫∑∑∑∫∫∫∑∑∑∫∫∫∑∫(7)84 工 程 力 学式中：N 表示混凝土截面上网格数；A 为截面网格面积；y 、z 为截面坐标系下的坐标；E ct 为混凝土的切线模量；G 为剪切模量；J 为圣维南扭转常数，可利用等参单元后对上式进行数值积分。

引入材料在不同受力阶段的本构关系，并对 式(7)运用数值积分后，可得到混凝土单元刚度矩阵表达式。

考虑钢筋的抗扭作用后，得到钢筋对截面刚度的贡献：,,,,,,1112,,,,,,1112,,,,,,11122,1000()ssssssss s N N N st i s i st i i s ist i i s ii i i N N N st i i s i st i i s ist i i i s ii i i ss N N N st i i s ist i i i s i st i i s ii i i Ns i i s i i E A E y A E z A E y A E y A E y z A K E z AE y z A E z A G y z A ρρρρρρρρρ==========⎡⎢⎢=+⎣∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑⎤⎥⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎦(8) 式中：E st ,i 为第i 根钢筋的切线模量；N s 为该截面的钢筋根数；E ct 为钢筋位置混凝土的切线模量；,1/ct st i E E ρ=−；A s ,i 为第i 根钢筋的面积；y i 、z i 为钢筋在截面局部坐标系下的坐标；G s 为钢筋的剪切模量。

考虑钢筋和混凝土共同作用后，单元截面刚度矩阵为：s cs ss =+K K K (9)3 截面和单元的柔度矩阵与刚度法采用位移插值函数方式描述单元的位移分布不同，柔度法是通过力插值函数描述单元中的力场的分布，则截面力可以表示为：s f n N f =⋅f(10)式中：N f 为力插值函数；n f和s f 分别为无刚体位移模式的节点力和单元截面的内力向量[8]，假定单元轴向力和扭转为常数，弯矩为线性分布，则有：1000000100000010000001f x x l l x xl l ⎡⎤⎢⎥⎢⎥−⎢⎥=⎢⎥−⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦N (11)式中：x 表示梁单元轴向位置；l 为单元长度。