同济大学高等数学 函数极限 ppt课件
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《高等数学极限》课件
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无穷级数与无穷积分的收敛性
总结词
收敛性是无穷级数和无穷积分最重要的性质之一，它 表示无穷级数或无穷积分的和是有限的。收敛性的判 定是高等数学中的一个重要问题，需要用到多种数学 方法和技巧。
详细描述
收敛性是无穷级数和无穷积分最重要的性质之一，它 表示无穷级数或无穷积分的和是有限的。如果一个无 穷级数或无穷积分是收敛的，那么它的和就是有限的 ，否则就是发散的。收敛性的判定是高等数学中的一 个重要问题，需要用到多种数学方法和技巧，如比较 判别法、柯西判别法、阿贝尔判别法等。对于不同的 级数和积分，需要采用不同的方法和技巧进行收敛性 的判定。
03
导数与连续性
导数的定义与性质
导数的定义
导数是函数在某一点的变化率的极限 ，表示函数在该点的切线斜率。
导数的性质
导数具有线性、可加性、可乘性和链 式法则等性质，这些性质在研究函数 的单调性、极值和曲线的几何特性等 方面具有重要应用。
导数的计算方法
基本初等函数的导数
对于常数、幂函数、指数函数、三角函数和反三角函 数等基本初等函数，需要熟记其导数公式。
限的。
无穷积分的定义与性质
总结词
无穷积分是数学中另一个重要的概念，它是由无穷多个 定积分的和组成的积分。无穷积分具有一些重要的性质 ，如可加性、可乘性和可微性等。
详细描述
无穷积分是由无穷多个定积分的和组成的积分，这些定 积分可以是积分限不同的积分。无穷积分在数学中也有 着广泛的应用，如求解面积、体积和曲线长度等。无穷 积分具有一些重要的性质，如可加性、可乘性和可微性 等。其中，可加性表示无穷积分可以拆分成若干个部分 的和，可乘性和可微性则表示无穷积分可以与函数进行 运算和求导。
高等数学-同济大学第六版--高等数学课件第一章函数与极限
函数与极限
x
4
{x a x b} 称为半开区间, 记作 [a,b)
{x a x b} 称为半开区间, 记作 (a,b]
有限区间
[a,) {x a x} (,b) {x x b}
无限区间
oa
x
ob
x
区间长度的定义:
两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.
2024/7/17
函数与极限
一、基本概念
1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体.
组成这个集合的事物称为该集合的元素.
aM, aM, A {a1 , a2 ,, an }
有限集
M { x x所具有的特征} 无限集
若x A,则必x B,就说A是B的子集. 记作 A B.
2024/7/17
函数与极限
2
数集分类: N----自然数集 Z----整数集
2024/7/17
函数与极限
47
注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的;
例如 y arcsin u, u 2 x2; y arcsin(2 x2 )
（通常说周期函数的周期是指其最小正周期）.
3l
l
2
2
l 2
3l 2
2024/7/17
函数与极限
25
四、反函数
y 反函数y ( x)
Q(b, a )
直接函数y f ( x)
o
P(a, b)
x
直接函数与反函数的图形关于直线 y x对称.
2024/7/17
函数与极限
26
五、小结
基本概念 集合, 区间, 邻域, 常量与变量, 绝对值. 函数的概念 函数的特性 有界性,单调性,奇偶性,周期性. 反函数
同济大学高等数学第七版1-3函数极限
问题: 函数 y f ( x ) 在 x 的过程中, 对应 函数值 f ( x ) 无限趋近于确定值 A.
如何用精确的数学数学语言刻划函数“无 限接近”.
f ( x ) A 表示 f ( x ) A 任意小; x X 表示x (不论它多么小), 总存在着正数 X ,使得 x 满足不等式 x X 时,所对应 的函数值 f ( x ) 都满足不等式
x x0
证明 lim4 x 1 9
x2
证 0, 由于 4 x 1 9 4 x 2 要使 4 x 1 9 解不等式, 解出 x 2 ( ) 只要 x 2 , 可取 4 4 当0 x 2 时, 有
4 x 1 9 ,
lim 4 x 1 9
x2
3. 左、右极限(单侧极限) 例如,
y 1 x y
y x2 1
1 x, x 0 设 f ( x) 2 x 1, x 0
lim f ( x ) 1.
x0
1
O
x
分x 0和x 0 两种情况分别讨论!
y
y x 1
x
lim f ( x) lim ( x 1) 1
x0
lim f ( x) lim ( x 1) 1
x 0 x 0
显然 f (0 ) f (0 ) , 所以 lim f ( x) 不存在 .
x2 x 1 1 求 f ( x) x 1 在 x = 1 处的左、右极限. 2 x 1 x 1
f ( x) A ,
那么常数 A 就叫函数 f ( x ) 当 x 时的极限,记作
lim f ( x ) A 或
如何用精确的数学数学语言刻划函数“无 限接近”.
f ( x ) A 表示 f ( x ) A 任意小; x X 表示x (不论它多么小), 总存在着正数 X ,使得 x 满足不等式 x X 时,所对应 的函数值 f ( x ) 都满足不等式
x x0
证明 lim4 x 1 9
x2
证 0, 由于 4 x 1 9 4 x 2 要使 4 x 1 9 解不等式, 解出 x 2 ( ) 只要 x 2 , 可取 4 4 当0 x 2 时, 有
4 x 1 9 ,
lim 4 x 1 9
x2
3. 左、右极限(单侧极限) 例如,
y 1 x y
y x2 1
1 x, x 0 设 f ( x) 2 x 1, x 0
lim f ( x ) 1.
x0
1
O
x
分x 0和x 0 两种情况分别讨论!
y
y x 1
x
lim f ( x) lim ( x 1) 1
x0
lim f ( x) lim ( x 1) 1
x 0 x 0
显然 f (0 ) f (0 ) , 所以 lim f ( x) 不存在 .
x2 x 1 1 求 f ( x) x 1 在 x = 1 处的左、右极限. 2 x 1 x 1
f ( x) A ,
那么常数 A 就叫函数 f ( x ) 当 x 时的极限,记作
lim f ( x ) A 或
同济高数第4章课件第三节
同济高数第4章课件第三节
目
CONTENCT
录
• 引言 • 知识点一：极限的定义与性质 • 知识点二：连续函数的概念与性质 • 知识点三：导数的概念与性质 • 知识点四：微积分基本定理
01
引言
背景介绍
本节内容是同济大学高等数学教材第4章的第三节， 主题是导数的概念及其几何意义。
导数作为微积分的基本概念之一，是研究函数变化 率的重要工具。
极限的性质
唯一性
若 $lim_{x to x_0} f(x)$ 存在，则极限值唯一。
有界性
若 $lim_{x to x_0} f(x) = A$，则函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的去心邻域内有界。
局部保号性
若 $lim_{x to x_0} f(x) = A$ 且 $A > 0$，则存在 $x_0$ 的去心邻域，在该邻域内 $f(x) > 0$。
极限的计算方法
四则运算法则
若 $lim_{x to x_0} f(x) = A$ 和 $lim_{x to x_0} g(x) = B$，则 $lim_{x to x_0} [f(x) pm g(x)] = A pm B$。
等价无穷小替换
在求极限过程中，当两个无穷小量在一定条件下可以相互替换时，可以使用等价无穷小替换 简化计算。例如，当 $x to 0$ 时，$sin x approx x$，$tan x approx x$ 等。
知识点二：连续函数的概念与性质
连续函数的定义
函数在某点连续是指，当自变 量在该点处接近时，因变量的 极限值等于函数值。
具体来说，如果函数在某点的 极限值等于该点的函数值，则 称函数在该点连续。
数学表达式为：$lim_{{x to a}} f(x) = f(a)$
目
CONTENCT
录
• 引言 • 知识点一：极限的定义与性质 • 知识点二：连续函数的概念与性质 • 知识点三：导数的概念与性质 • 知识点四：微积分基本定理
01
引言
背景介绍
本节内容是同济大学高等数学教材第4章的第三节， 主题是导数的概念及其几何意义。
导数作为微积分的基本概念之一，是研究函数变化 率的重要工具。
极限的性质
唯一性
若 $lim_{x to x_0} f(x)$ 存在，则极限值唯一。
有界性
若 $lim_{x to x_0} f(x) = A$，则函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 的去心邻域内有界。
局部保号性
若 $lim_{x to x_0} f(x) = A$ 且 $A > 0$，则存在 $x_0$ 的去心邻域，在该邻域内 $f(x) > 0$。
极限的计算方法
四则运算法则
若 $lim_{x to x_0} f(x) = A$ 和 $lim_{x to x_0} g(x) = B$，则 $lim_{x to x_0} [f(x) pm g(x)] = A pm B$。
等价无穷小替换
在求极限过程中，当两个无穷小量在一定条件下可以相互替换时，可以使用等价无穷小替换 简化计算。例如，当 $x to 0$ 时，$sin x approx x$，$tan x approx x$ 等。
知识点二：连续函数的概念与性质
连续函数的定义
函数在某点连续是指，当自变 量在该点处接近时，因变量的 极限值等于函数值。
具体来说，如果函数在某点的 极限值等于该点的函数值，则 称函数在该点连续。
数学表达式为：$lim_{{x to a}} f(x) = f(a)$
高等数学(同济第六版)课件 第一章 3.函数的极限(一)
且a >b， (或a<b)
则正数X， 当x<－X时， 都有f(x) >b . (或f(x)<b) 当x>X时， 当|x|>X时，
(4) 充要条件：
lim lim lim f ( x ) A x f ( x ) A且 x f ( x ) A.
x
证： " " 0, X 1 0, 当x>X1 时，成立 f ( x ) A .
得 | x x0 |
x0
当 | x x0 | x0 时，才能使x>0， 取 min{ x0 , x0 } 当 0 x x0 时， 成立 | x x0 |
lim x
x x0
x0
" "定义
x x0
lim f ( x ) A
2 x2 x 1 3 lim x 1 x 1 2 x2 x 1 3 | 2 | x 1 | ( x 1) 0, | x 1 2 x2 x 1 3 | 当x与1多么接近时? | x 1 | x 1 | 2
2 x2 x 1 0, 当 0 | x 1 | 时， 成立 | 3 | 2 x 1
lim f ( x ) 0, 则 lim f ( x ) g( x ) 0
x x
1 x (7) 重要极限：lim (1 ) e x x
特点：（1）1 型 （2）底数减1等于指数的倒数 。
例2 求下列极限
2 x3 3 x2 5 (1) lim 3 2 x 7 x 4 x 1
二、 自变量趋向有限值时函数的极限 若当x无限接近于x0时，函数f(x)无限接近于常数A， 称常数A为当x趋于x0时，函数f(x)的极限。 记作 lim f ( x ) A
《高等数学》(同济六版)教学课件★第1章.函数与极限(2)
跳跃间断点
左右极限都存在
第二类间断点
无穷间断点
振荡间断点
左右极限至少有一个不存在
在点
间断的类型
在点
连续的等价形式
思考与练习
1. 讨论函数
x = 2 是第二类无穷间断点 .
间断点的类型.
2. 设
时
提示:
3. P65 题 3 , *8
为
连续函数.
答案: x = 1 是第一类可去间断点 ,
P65 题*8 提示:
显然
正根 .
二、 连续与间断
一、 函数
三、 极限
习题课
函数与极限
第一章
一、 函数
1. 概念
定义:
定义域
值域
图形:
( 一般为曲线 )
设
函数为特殊的映射:
其中
2. 特性
有界性 ,
单调性 ,
奇偶性 ,
周期性
3. 反函数
设函数
为单射,
反函数为其逆映射
4. 复合函数
给定函数链
则复合函数为
作业 P65 4 ; 5
备用题 确定函数
间断点的类型.
解: 间断点
为无穷间断点;
故
为跳跃间断点.
一、连续函数的运算法则
第九节
二、初等函数的连续性
连续函数的运算与
初等函数的连续性
第一章
定理2. 连续单调递增函数的反函数也连续单调递增.
在其定义域内连续
一、连续函数的运算法则
, 使
取
则
在
内连续,
存在, 则
必在
内有界.
上连续 , 且恒为正 ,
例5. 设
左右极限都存在
第二类间断点
无穷间断点
振荡间断点
左右极限至少有一个不存在
在点
间断的类型
在点
连续的等价形式
思考与练习
1. 讨论函数
x = 2 是第二类无穷间断点 .
间断点的类型.
2. 设
时
提示:
3. P65 题 3 , *8
为
连续函数.
答案: x = 1 是第一类可去间断点 ,
P65 题*8 提示:
显然
正根 .
二、 连续与间断
一、 函数
三、 极限
习题课
函数与极限
第一章
一、 函数
1. 概念
定义:
定义域
值域
图形:
( 一般为曲线 )
设
函数为特殊的映射:
其中
2. 特性
有界性 ,
单调性 ,
奇偶性 ,
周期性
3. 反函数
设函数
为单射,
反函数为其逆映射
4. 复合函数
给定函数链
则复合函数为
作业 P65 4 ; 5
备用题 确定函数
间断点的类型.
解: 间断点
为无穷间断点;
故
为跳跃间断点.
一、连续函数的运算法则
第九节
二、初等函数的连续性
连续函数的运算与
初等函数的连续性
第一章
定理2. 连续单调递增函数的反函数也连续单调递增.
在其定义域内连续
一、连续函数的运算法则
, 使
取
则
在
内连续,
存在, 则
必在
内有界.
上连续 , 且恒为正 ,
例5. 设
同济大学高等数学 函数极限 ppt课件
当 x时， f (x) π
2 lim f(x)A
x
y π 2
oX
x
0， “X一>个0 时刻” 使得 “当在x该>X时时刻以后”恒有
f(x)A.
（三）各过程的函数极限定义
1．x 2．x
3．x 4．x x0 5．x x0 6．x x0
（三）各过程的函数极限定义
1．x 2．x
3．x 4．x x0 5．x x0 6．x x0
x 1,
x 2, x 1.
1
当 x 1时，
o
1
x
f (x) 1
lim f(x) A （右极限）
xx0
5．x x0
x递减地无限接近常数x0，但恒不等于x0
例： x, x 1,
y
f
(
x)
0,
x 1,
x 2, x 1.
1
当 x 1时，
o
1
x
f (x) 1
lim f(x) A （右极限）
f(x)A
A f(x)A
y
A+ε A
A-ε
o
x
（三）各过程的函数极限定义
1．x 2．x
3．x 4．x x0 5．x x0 6．x x0
（三）各过程的函数极限定义
1．x 2．x
3．x 4．x x0 5．x x0 6．x x0
1．x
自变量恒取正值，递增地无限变大
例 f(x)arctanx
f(x)A.
2．x
自变量恒取负值， |x|递增地无限变大
例： y
f(x)arctanx
当 x时，
f (x) π 2
-X
o
x
lim f(x)A
2 lim f(x)A
x
y π 2
oX
x
0， “X一>个0 时刻” 使得 “当在x该>X时时刻以后”恒有
f(x)A.
（三）各过程的函数极限定义
1．x 2．x
3．x 4．x x0 5．x x0 6．x x0
（三）各过程的函数极限定义
1．x 2．x
3．x 4．x x0 5．x x0 6．x x0
x 1,
x 2, x 1.
1
当 x 1时，
o
1
x
f (x) 1
lim f(x) A （右极限）
xx0
5．x x0
x递减地无限接近常数x0，但恒不等于x0
例： x, x 1,
y
f
(
x)
0,
x 1,
x 2, x 1.
1
当 x 1时，
o
1
x
f (x) 1
lim f(x) A （右极限）
f(x)A
A f(x)A
y
A+ε A
A-ε
o
x
（三）各过程的函数极限定义
1．x 2．x
3．x 4．x x0 5．x x0 6．x x0
（三）各过程的函数极限定义
1．x 2．x
3．x 4．x x0 5．x x0 6．x x0
1．x
自变量恒取正值，递增地无限变大
例 f(x)arctanx
f(x)A.
2．x
自变量恒取负值， |x|递增地无限变大
例： y
f(x)arctanx
当 x时，
f (x) π 2
-X
o
x
lim f(x)A
高等数学第六版上下册(同济大学出版社)课件
具有重要的作用。
不定积分的几何意义
不定积分表示的是一种曲线族 ，每一条曲线都有一个与之对
应的方程。
积分的应用场景
01
物理应用
积分在物理中有广泛的应用，例 如计算物体的质量、重心、转动 惯量等。
工程应用
02
03
经济应用
积分在工程中有广泛的应用，例 如计算曲线的长度、面积、体积 等。
积分在经济中有广泛的应用，例 如计算总成本、总收益、总利润 等。
05
多重积分与向量分析
二重积分的概念与性质
二重积分的定义
二重积分是定积分在二维平面上的推广，表示一个二元函数在某个区域上的累积值。
二重积分的性质
二重积分具有可加性、可减性、可交换性等性质，这些性质使得二重积分在解决实际问题中具有广泛的应用。
三重积分的概念与性质
三重积分的定义
三重积分是定积分在三维空间上的推广 ，表示一个三元函数在某个区域上的累 积值。
03
导数与微分
导数的概念与性质
导数的定义
导数描述了函数在某一点附近的变化率，是函数局部 性质的一种体现。
导数的几何意义
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线的斜率。
导数的性质
导数具有一些基本的性质，如线性性质、乘积法则、 商的导数法则等。
微分的概念与性质
微分的定义
01
微分是函数在某一点附近的小变化量，用于近似计算函数的值
求函数的最值
导数可以用于求函数在一定区间内的最大值和最小值，这在优化问题中具有广泛的应用。
04
积分
定积分的概念与性质
01
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在区间上与区间的乘积在区间的两个端点
不定积分的几何意义
不定积分表示的是一种曲线族 ，每一条曲线都有一个与之对
应的方程。
积分的应用场景
01
物理应用
积分在物理中有广泛的应用，例 如计算物体的质量、重心、转动 惯量等。
工程应用
02
03
经济应用
积分在工程中有广泛的应用，例 如计算曲线的长度、面积、体积 等。
积分在经济中有广泛的应用，例 如计算总成本、总收益、总利润 等。
05
多重积分与向量分析
二重积分的概念与性质
二重积分的定义
二重积分是定积分在二维平面上的推广，表示一个二元函数在某个区域上的累积值。
二重积分的性质
二重积分具有可加性、可减性、可交换性等性质，这些性质使得二重积分在解决实际问题中具有广泛的应用。
三重积分的概念与性质
三重积分的定义
三重积分是定积分在三维空间上的推广 ，表示一个三元函数在某个区域上的累 积值。
03
导数与微分
导数的概念与性质
导数的定义
导数描述了函数在某一点附近的变化率，是函数局部 性质的一种体现。
导数的几何意义
导数在几何上表示函数图像在某一点的切线的斜率。
导数的性质
导数具有一些基本的性质，如线性性质、乘积法则、 商的导数法则等。
微分的概念与性质
微分的定义
01
微分是函数在某一点附近的小变化量，用于近似计算函数的值
求函数的最值
导数可以用于求函数在一定区间内的最大值和最小值，这在优化问题中具有广泛的应用。
04
积分
定积分的概念与性质
01
定积分的定义
定积分是积分的一种，是函数在区间上与区间的乘积在区间的两个端点
《高数极限》课件
答案4
$lim_{h to 0} frac{f(x + h) - f(x)}{h} = f'(x)$
THANKS
感谢观看
极限的运算性质
极限的四则运算性质
加减乘除满足相应的运算法 则。
极限的复合运算性质
复合函数的极限满足相应的 运算法则。
极限的等价变换
在一定条件下，可以将复杂 的函数进行等价变换，简化 计算过程。
02
极限的求解方法
极限的四则运算法则
加法法则
如果lim(x→a) f(x) = A 和 lim(x→a) g(x) = B，则lim(x→a) [f(x) + g(x)] = A + B。
减法法则
如果lim(x→a) f(x) = A，则lim(x→a) [f(x) - g(x)] = A - B。
乘法法则
如果lim(x→a) f(x) = A 和 lim(x→a) g(x) = B，则lim(x→a) [f(x) * g(x)] = A * B。
除法法则
如果lim(x→a) f(x) = A 和 lim(x→a) g(x) = B（B≠0），则lim(x→a) [f(x) / g(x)] = A / B。
05
习题与答案
习题部分
习题1
计算下列极限：$lim_{x to 0} frac{sin x}{x}$
习题3
讨论下列函数的极限：$lim_{x to 0} frac{e^x - 1}{x}$
习题2
计算下列极限：$lim_{x to infty} frac{x^2 + 1}{x^3 + x}$
习题4
求下列函数的导数并计算极限：$lim_{h to 0} frac{f(x + h) - f(x)}{h}$
$lim_{h to 0} frac{f(x + h) - f(x)}{h} = f'(x)$
THANKS
感谢观看
极限的运算性质
极限的四则运算性质
加减乘除满足相应的运算法 则。
极限的复合运算性质
复合函数的极限满足相应的 运算法则。
极限的等价变换
在一定条件下，可以将复杂 的函数进行等价变换，简化 计算过程。
02
极限的求解方法
极限的四则运算法则
加法法则
如果lim(x→a) f(x) = A 和 lim(x→a) g(x) = B，则lim(x→a) [f(x) + g(x)] = A + B。
减法法则
如果lim(x→a) f(x) = A，则lim(x→a) [f(x) - g(x)] = A - B。
乘法法则
如果lim(x→a) f(x) = A 和 lim(x→a) g(x) = B，则lim(x→a) [f(x) * g(x)] = A * B。
除法法则
如果lim(x→a) f(x) = A 和 lim(x→a) g(x) = B（B≠0），则lim(x→a) [f(x) / g(x)] = A / B。
05
习题与答案
习题部分
习题1
计算下列极限：$lim_{x to 0} frac{sin x}{x}$
习题3
讨论下列函数的极限：$lim_{x to 0} frac{e^x - 1}{x}$
习题2
计算下列极限：$lim_{x to infty} frac{x^2 + 1}{x^3 + x}$
习题4
求下列函数的导数并计算极限：$lim_{h to 0} frac{f(x + h) - f(x)}{h}$
同济大学 高等数学 课件 .ppt
设数列
lim
n
xn 存在，则对于
xn
的任一子列(xnk )
有
lim
n
xn
lim
k
xn k
.
用此定理，即可说明数列 1n 的极限不存在。事
实上：
lim
n
x2n1
1,
lim
n
x2n
1,
所以，lim n
xn
不存在.
值得注意的是，对于函数，我们不能用此定理来证明
个不同的子列，使函数收敛到两个不同的值，则说明函
数在这一点无极限.
lim
n
f
(xn )
y
A
lim
xx0
f
(x).
f (x2 )
f (x4 )
A
f (xn )
f (x3 )
f (x1)
O x1 x3
xn x0
y f x
lim
n
xn
x0,
x4 x2
x
例 证明函数 f (x) sin 在x 0时极限不存在.
即： f x 在x0的某个空心邻域内有界.
局部有界的几何意义
从图中可以看出局部有界的含义：函数 f x 在 x0 处 o
的极限为 A，则存在点x0的一个空心邻域 U (x0, ), 当
点 x0 在该邻域中，对应
的函数图形在某一个带
y
A+1
y f x
形区域中，而该邻域外 A
的点所对应的函数图形， A-1
x
证令
1
1
xn 2n 1 , yn 2n ,
2
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6．x x0
5．x x0
x递减地无限接近常数x0，但恒不等于x0
例： x, x 1,
y
f
(
x)
0,
x 1,
x 2, x 1.
1
当 x 1 时，
o
1
x
f (x) 1
lim f(x) A （右极限）
xx0
（一）自变量的不同变化过程
1．x
2．x
3．x
4．x
x
0
5．x x0
6．x x0
f(x)A.
2．x
自变量恒取负值， |x|递增地无限变大
例： y
f(x)arctanx
当 x时， f (x) π
2
-X
o
x
lim f(x)A
x
π
2
0， “X一>0个时刻” 使得 “当在x该<-X时时刻以后”恒有
f(x)A.
（三）各过程的函数极限定义
1．x
2．x
3．x
4．x
x
0
5．x x0
f(x)A, 则称函数在该过程中极限存在，极限为A.
一、函数极限的概念
（一）自变量的不同变化过程 （二）函数极限的统一定义 （三）各过程的函数极限定义 （四）举例
一、函数极限的概念
（一）自变量的不同变化过程 （二）函数极限的统一定义 （三）各过程的函数极限定义 （四）举例
➢函数极限的统一定义
0, “一个时刻”, 使得 “在该时刻以后”恒有
2 lim f(x)A
x
o
x
1．x
自变量恒取正值，递增地无限变大
例
yπ
f(x)arctanx
2
当 x时， f (x) π
2 lim f(x)A
x
o
x
0， “一个时刻” 使得 “在该时刻以后”恒有
f(x)A.
1．x
自变量恒取正值，递增地无限变大 例
f(x)arctanx
当 x时， f (x) π
（一）自变量的不同变化过程
1．x
2．x
3．x
4．x
x
0
5．x x0
6．x x0
6．x x0
|x-x0|无限变小，但恒不等于0
例：
x2 1
f (x)
x1
当 x 1时，
f (x)2
lim f (x) A
xx0
y 2
o
1
x
一、函数极限的概念
（一）自变量的不同变化过程 （二）函数极限的统一定义 （三）各过程的函数极限定义 （四）举例
例：
y
1 f (x) 1 x2
当 x时，
f (x)0 limf (x) A
x
o
x
（一）自变量的不同变化过程
1．x
2．x
3．x
4．x
x
0
5．x x0
6．x x0
（一）自变量的不同变化过程
1．x
2．x
3．x
4．x
x
0
5．x x0
6．x x0
4．x
x
0
x递增地无限接近常数x0，但恒不等于x0
例： y
f(x)arctanx
当 x时， f (x) π
2 lim f(x)A
x
o
x
π 2
（一）自变量的不同变化过程
1．x
2．x
3．x
4．x
x
0
5．x x0
6．x x0
（一）自变量的不同变化过程
1．x
2．x
3．x
4．x
x
0
5．x x0
6．x x0
3．x
自变量可取正值，也可取负值， |x|无限变大
（一）自变量的不同变化过程 （二）函数极限的统一定义 （三）各过程的函数极限定义 （四）举例
（一）自变量的不同变化过程
1．x
2．x
3．x
4．x
x
0
5．x x0
6．x x0
（一）自变量的不同变化过程
1．x
2．x
3．x
4．x
x
0
5．x x0
6．x x0
1．x
自变量恒取正值，递增地无限变大
第三讲 函数的极限
函数的极限
一、函数极限的概念 二、不同过程的函数极限的关系 三、函数极限的性质
函数的极限
一、函数极限的概念 二、不同过程的函数极限的关系 三、函数极限的性质
一、函数极限的概念
（一）自变量的不同变化过程 （二）函数极限的统一定义 （三）各过程的函数极限定义 （四）举例
一、函数极限的概念
f(x)A
A f(x)A
y
A+ε A
A-ε
o
x
（三）各过程的函数极限定义
1．x
2．x
3．x
4．x
x
0
5．x x0
6．x x0
（三）各过程的函数极限定义
1．x
2．x
3．x
4．x
x
0
5．x x0
6．x x0
1．x
自变量恒取正值，递增地无限变大
例
yπ
f(x)arctanx
2
当 x时， f (x) π
例：x, x 1,来自yf(
x)
0,
x 1,
x 2, x 1.
当x 1 时，
o
1
x
f(x)1
-1
lim f(x) A （左极限）
xx0
（一）自变量的不同变化过程
1．x
2．x
3．x
4．x
x
0
5．x x0
6．x x0
（一）自变量的不同变化过程
1．x
2．x
3．x
4．x
x
0
5．x x0
一、函数极限的概念
（一）自变量的不同变化过程 （二）函数极限的统一定义 （三）各过程的函数极限定义 （四）举例
π
y2
y
y
ox
ox
x
y
o1x
-1
x
x
0
➢函数极限的统一定义
π
x2
y
1
o1 x
x
x
0
o
x
x
y
2
o1 x
x x0
考虑自变量的某个变化过程，如果存在常数A具有如下性质：
0, “一个时刻”, 使得 “在该时刻以后”恒有
6．x x0
（三）各过程的函数极限定义
1．x
2．x
3．x
4．x
x
0
5．x x0
6．x x0
3．x
自变量可取正值，也可取负值， |x|无限变大
例：
y
1 f (x) 1 x2
当 x时，
f (x)0 limf (x) A
x
o
x
3．x
自变量可取正值，也可取负值， |x|无限变大
2 lim f(x)A
x
y π 2
oX
x
0， “X一>个0 时刻” 使得 “当在x该>X时时刻以后”恒有
f(x)A.
（三）各过程的函数极限定义
1．x
2．x
3．x
4．x
x
0
5．x x0
6．x x0
（三）各过程的函数极限定义
1．x
2．x
3．x
4．x
x
0
5．x x0
6．x x0
2．x
例
yπ
f(x)arctanx
2
当 x时， f (x) π
2 lim f(x)A
x
o
x
（一）自变量的不同变化过程
1．x
2．x
3．x
4．x
x
0
5．x x0
6．x x0
（一）自变量的不同变化过程
1．x
2．x
3．x
4．x
x
0
5．x x0
6．x x0
2．x
自变量恒取负值， |x|递增地无限变大
自变量恒取负值， |x|递增地无限变大
例： y
f(x)arctanx
当 x时， f (x) π
2 lim f(x)A
x
o
x
π 2
2．x
自变量恒取负值， |x|递增地无限变大
例： y
f(x)arctanx
当 x时， f (x) π
2 lim f(x)A
x
o
x
π 2
0， “一个时刻” 使得 “在该时刻以后”恒有