同济大学高等数学 函数极限 ppt课件

例：
x, x 1,
y
f
(
x)
0,
x 1,
x 2, x 1.
当x 1 时，
o
1
x
f(x)1
-1
lim f(x) A （左极限）
xx0
（一）自变量的不同变化过程
1．x
2．x
3．x
4．x
x
0
5．x x0
6．x x0
（一）自变量的不同变化过程
1．x
2．x
3．x
4．x
x
0
5．x x0
（一）自变量的不同变化过程 （二）函数极限的统一定义 （三）各过程的函数极限定义 （四）举例
（一）自变量的不同变化过程
1．x
2．x
3．x
4．x
x
0
5．x x0
6．x x0
（一）自变量的不同变化过程
1．x
2．x
3．x
4．x
x
0
5．x x0
6．x x0
1．x
自变量恒取正值，递增地无限变大
6．x x0
（三）各过程的函数极限定义
1．x
2．x
3．x
4．x
x
0
5．x x0
6．x x0
3．x
自变量可取正值，也可取负值， |x|无限变大
例：
y
1 f (x) 1 x2
当 x时，
f (x)0 limf (x) A
x
o
x
3．x
自变量可取正值，也可取负值， |x|无限变大
f(x)A
A f(x)A
y
A+ε A
A-ε
o
x
（三）各过程的函数极限定义
1．x
2．x
3．x
4．x
x
0
5．x x0
6．x x0
（三）各过程的函数极限定义
1．x
2．x
3．x
4．x
x
0
5．x x0
6．x x0
1．x
自变量恒取正值，递增地无限变大
例
yπ
f(x)arctanx
2
当 x时， f (x) π
例：
y
1 f (x) 1 x2
当 x时，
f (x)0 limf (x) A
x
o
x
（一）自变量的不同变化过程
1．x
2．x
3．x
4．x
x
0
5．x x0
6．x x0
（一）自变量的不同变化过程
1．x
2．x
3．x
4．x
x
0
5．x x0
6．x x0
4．x
x
0
x递增地无限接近常数x0，但恒不等于x0
f(x)A, 则称函数在该过程中极限存在，极限为A.
一、函数极限的概念
（一）自变量的不同变化过程 （二）函数极限的统一定义 （三）各过程的函数极限定义 （四）举例
一、函数极限的概念
（一）自变量的不同变化过程 （二）函数极限的统一定义 （三）各过程的函数极限定义 （四）举例
➢函数极限的统一定义
0, “一个时刻”, 使得 “在该时刻以后”恒有
例
yπ
f(x)arctanx
2
当 x时， f (x) π
2 lim f(x)A
x
o
x
（一）自变量的不同变化过程
1．x
2．x
3．x
4．x
x
0
5．x x0
6．x x0
（一）自变量的不同变化过程
1．x
2．x
3．x
4．x
x
0
5．x x0
6．x x0
2．x
自变量恒取负值， |x|递增地无限变大
一、函数极限的概念
（一）自变量的不同变化过程 （二）函数极限的统一定义 （三）各过程的函数极限定义 （四）举例
π
y2
y
y
ox
ox
x
y
o1x
-1
x
x
0
➢函数极限的统一定义
π
x2
y
1
o1 x
x
x
0
o
x
x
y
2
o1 x
x x0
考虑自变量的某个变化过程，如果存在常数A具有如下性质：
0, “一个时刻”, 使得 “在该时刻以后”恒有
f(x)A.
2．x
自变量恒取负值， |x|递增地无限变大
例： y
f(x)arctanx
当 x时， f (x) π
2
-X
o
x
lim f(x)A
x
π
2
0， “X一>0个时刻” 使得 “当在x该<-X时时刻以后”恒有
f(x)A.
（三）各过程的函数极限定义
1．x
2．x
3．x
4．x
பைடு நூலகம்
x
0
5．x x0
6．x x0
5．x x0
x递减地无限接近常数x0，但恒不等于x0
例： x, x 1,
y
f
(
x)
0,
x 1,
x 2, x 1.
1
当 x 1 时，
o
1
x
f (x) 1
lim f(x) A （右极限）
xx0
（一）自变量的不同变化过程
1．x
2．x
3．x
4．x
x
0
5．x x0
6．x x0
（一）自变量的不同变化过程
1．x
2．x
3．x
4．x
x
0
5．x x0
6．x x0
6．x x0
|x-x0|无限变小，但恒不等于0
例：
x2 1
f (x)
x1
当 x 1时，
f (x)2
lim f (x) A
xx0
y 2
o
1
x
一、函数极限的概念
（一）自变量的不同变化过程 （二）函数极限的统一定义 （三）各过程的函数极限定义 （四）举例
第三讲 函数的极限
函数的极限
一、函数极限的概念 二、不同过程的函数极限的关系 三、函数极限的性质
函数的极限
一、函数极限的概念 二、不同过程的函数极限的关系 三、函数极限的性质
一、函数极限的概念
（一）自变量的不同变化过程 （二）函数极限的统一定义 （三）各过程的函数极限定义 （四）举例
一、函数极限的概念
例： y
f(x)arctanx
当 x时， f (x) π
2 lim f(x)A
x
o
x
π 2
（一）自变量的不同变化过程
1．x
2．x
3．x
4．x
x
0
5．x x0
6．x x0
（一）自变量的不同变化过程
1．x
2．x
3．x
4．x
x
0
5．x x0
6．x x0
3．x
自变量可取正值，也可取负值， |x|无限变大
2 lim f(x)A
x
y π 2
oX
x
0， “X一>个0 时刻” 使得 “当在x该>X时时刻以后”恒有
f(x)A.
（三）各过程的函数极限定义
1．x
2．x
3．x
4．x
x
0
5．x x0
6．x x0
（三）各过程的函数极限定义
1．x
2．x
3．x
4．x
x
0
5．x x0
6．x x0
2．x
自变量恒取负值， |x|递增地无限变大
例： y
f(x)arctanx
当 x时， f (x) π
2 lim f(x)A
x
o
x
π 2
2．x
自变量恒取负值， |x|递增地无限变大
例： y
f(x)arctanx
当 x时， f (x) π
2 lim f(x)A
x
o
x
π 2
0， “一个时刻” 使得 “在该时刻以后”恒有
2 lim f(x)A
x
o
x
1．x
自变量恒取正值，递增地无限变大
例
yπ
f(x)arctanx
2
当 x时， f (x) π
2 lim f(x)A
x
o
x
0， “一个时刻” 使得 “在该时刻以后”恒有
f(x)A.
1．x
自变量恒取正值，递增地无限变大 例
f(x)arctanx
当 x时， f (x) π