不等式的几种证明方法及简单应用
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【Key Words】: ,the commonly used method,function,famous
引 言
不 式是数学中较为 要的一部分内 ，为帮助 学爱好者 握这方面的知 ，
故论述几种简单的证明方法.在实际生活中，不等式的运用要比等式更加常见，而
人们对不等式的了解要相对晚一点.在17世纪后，不等式才被深入发觉，建立相应
明 形 不 式，可用拉 日中 理法法.
例25： 证明，当 ＞0时，有 ＞ .
加数学认知能力.进而使不等式证明方法变的更加的多样化，研究不等式证明、探索
不 式的 明使不 式证明更加完善.
一、常用方法
（一）比较法
1.作差法
个实 和 的大 ，可由 的正负 较判 .
； ; .
例题1： 若两个角0<α< ，0<β< ，求证：
sin（α+β）<sinα+sinβ.
证：sin（α+β）-(sinα+sinβ)=sinα·cosβ+cosαsinβ-sinα-sinβ
例题 13： 为 的三边长，求证：
.
证明 由海伦公式 ，其中 .
两 方，移 理得
而 ,
所以 .
（十三）分解法
把复 题转化为简 解的基本命题，而一一解决，各个击破，而去证明不等式.
例题14 ： ，且 ，求证： .
证明： 因为
.
所以 .
（十四）构 数法
例题15： 0≤ 、 、 ≤2，求证：4 ＋ ＋ ＋ ≥2 ＋2 ＋2 ．
所 (a＋2) ＋(b＋2) ≥ ．
（十）三角代换法
例题11 ： 解不 ＞
解：因为 =6，故可令 = sin ， ＝ cos ， ∈［0， ］
则原不 化为 － ＞ 以 ＞ +
由 ∈［0， ］知 + cos ＞0，将上 两边平方并 理，得
48 cos2 +4 cos －23＜0
解得0≤ ＜ 所以x＝6 －1＜ ，且x≥－1，故原不 的 是｛x|-1≤x＜ .
（十五）构造向量法
构造向量法主要是不等式与向量形式之间的相互转换，利用 · ≤| |·| |，
证 些具 积结 数的不 命题．
例题16 ： 设a、b∈R ，且a＋b =1，求证：(a＋2) ＋(b＋2) ≥ ．
明：构 向 = ( ＋2， ＋2)， = ( ， )．设 和 的夹 为 ， 中0≤ ≤ ．
为| | = ，| | = ， 以 · = | |·| |cos = · ·cos ；
证明：构 次函数
f（x）= 4 ＋ ＋ ＋ －2 －2 －2 =
( －2 －2 ＋4) ＋( ＋ －2 )，（ 为自变量）由0≤ ≤2，
知 示一条 段．又 = ＋ －2 = ( － ) ≥0，
= ＋ －4 －4 ＋8 = ( －2) ＋( －2) ≥0，
可 上 段在横 其 方， 函 ≥0，
即4 ＋ ＋ ＋ ≥2 ＋2 ＋2 ．
二、利用函 明不 式
（一）函数极值法
过某 变 ，把问 转 为求函 的极 ，实现 明不 式.
例题21 ： 证明， ，有不等式
证明：讨论函数
在区间 的最大值.
令 ,解得唯一定点1，它在区间 分成两个区间 与 ，列表如下：
1
+
0
-
↗
极大点
↘
时是函 极大 ，极大 .
由此表可得 时是函 在 义域中的最大值，
故 ，使 或 .
.
上述 个不 相 乘，
.
故原不等式成立
（八）换元法
在 不 证 程中，通过变量代换，可以使不 式 明过程更加简单，
择 当的辅助未知 ，代替原方 的部分 子，而 明命 .
例题9 ： 已知 ， ， 是小于1的正数，求证：
证明：设 ， ， ，
由假设可知， ， ，
通分后以 为分母时，则，
分子
=
又
因为是的优函数，所以将、除以正数 得
例题5： 已知 ， ， 为实数， ， ， ，求证：
， ， .
明：假 ， ， 不 是正 ，即其 少有一 不是正 .
可以假设 .分为 和 证明.
（1）如果 ，则 ，与 矛盾.所以 不可能.
（2）如果 ，那么由 可得 .
由因为 ，所以 .
这和已知 相矛盾.
此，也 可 .综 述， .
理可 ， . 命 立.
（五）迭合法
，
即
（四）优函数法
当 是 的优函数时，
例题24 ： 已知 ， ， 是小于1的正数，求证：
证明：设 ， ， ，
由假设可知， ， ，
通分后以 为分母时，则，
分子
=
又
因为是的优函数，所以将、除以正数
得
即，
（五）拉
定理：函数 满 ，闭区间 、开 可 .
则函 在开 间 内至 ，
使
果 介 个数 与 之 ，则 面的不 ：
进而 明 知的题设 件，在 明的过 中， 导的每一 都要可 .
例题3：已知：a、b、c为互 等的实数.
求证： .
证明：要证 成立，
即证明 成立，
需要证 成立，
即 成立
， ，
由 推，即 明
（三）综合法
综 ，就是由命 的条 明题设条件.
例题4：设 ， ，……， 都是正数，并且它们的乘积 .
求证： .
明： 为 ， 所 .
同理可知
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
因为 ， ，……， 都是正数，根据性质
把不 的两 乘，得
.
因为在 的时候， 取等号，所以原式只在
的时候取等号.
（四）反证法
反正法就是要证明与命题相对立的结论，可 先假 一 误的 论，应用所
学的知识 明出假设 误.
=sinα（cosβ-1)+sinβ(cosα-1).
因为α、β都是正锐角，所以sinα>0且sinβ>0，cosβ-1<0,且cosα-1<0
于是sinα（cosβ-1）<0，sinβ（cosα-1）<0.
所以sinα（cosβ-1)+sinβ(cosα-1)<0
即sin（α+β）-(sinα+sinβ)<0
（十一）判别式法
习一 二次方 时， 以用 别 来 断有无实 ，而 些 殊 目中，
可以通过 别式 明所要 明的命 .
例题 12A、B、C为 的内角， 、 、 为任意实数，求证： .
明：构 函 ，判 式法令
为开 上的 线
无论y、z 值， 所以 所以， 真
（十二）等式法
由学过的公式、定理，巧妙的变形为一些不等式，而证明命题的方法.
证明：由题设a, b, c其中必含有一个正 ，假设a > 0，
则 即b, c是二次方程 的两个实根
所 a≥2
（十八）“1”的代换型
例题19：
策略：做“1”的代换.
证明：
.
（十九）排序不等式
如
则
的任一排列.
当 当 或 时 号 立.
例20：已知
不妨假设 有次序即 ，那么
由于 ，所以
由排序不等式可知
得证.
所以原不等式成立.
综合（1）（2）即得结论成立.
（三）泰勒公式法
定义若函数 在 存在 阶导数，则 ，有
称为函数 在 （展开）的泰勒公式.
其中，
例题23证明：若函数 在 上有 阶导数，且
，
则存在 ，有
证明：将函数 在点 和点 分别展开，即 ，有
由 知 件，令 ，则 别
， ，
， ，
以上两式相减，有
或
，
令 ，则有
本科毕业论文
不等式的几种证明方法及简单应用
姓 名
院系
数学
专业
数学
班级
学号
指导教师Biblioteka Baidu
答辩日期
成绩
摘要
我们在 的 习过 中,不 式很 要. 其中不 式的 明方法在不
式 中非常 .文中 结了 分证明不 式的常用方法：作差法、
分析法、 、 、 、数学归 法、放 法等，和不 式的
明经常会利用函数极值、 中值定理等，以及部分 不等式， 比如：
所以原不等式得证
（二）单调函数法
当 属于定义域，有 ，则（ ） ；若 ，则
.若要证明 ，只须要证 及
.
例题22：设 ，且 ，试证：
证明：令 ，
分子 ，对 求导得 ，
分 来讨论：
（1）当 时， ，因此 单调递增.
由 ，故 ，分母 ，所以
即原不等式成立.
（2）当 时， ，因此 单调递减.
由 ， ， ，故知 ，
即， .
（九）增量代换法
增 换法就是 明不 时，通过增加一个中间量而使在计算的过程中减
少运算量的方法在证明比较复杂的不等式时经常使用的手法．
例题10 ：已知a，b R，且a＋b = 1，求证：(a＋2) ＋(b＋2) ≥ ．
明： 为 ， R，且 ＋ = 1，∴设 = ＋ ， = － ， ( R)
( ＋2) ＋( ＋2) = ( ＋ ＋2) ＋( － ＋2) = ( ＋ ) ＋( － ) = 2 ＋ ≥ ．
另一方面， · = (a＋2)·1＋(b＋2)·1 = a＋b＋4 = 5，而0≤|cos |≤1，
所以 · ≥5，从而(a＋2) ＋(b＋2) ≥ ．
（十六）构造几何不 式
将不 式两 与 形 立联 ，则可以化 为 ，利 像的 质， 决不
式的方法就是构造几何不 式．
例题17：设a＞0，b＞0，a＋b = 1，求证： ＋ ≤2 ．
的理 ，真正进入数 理 部分.
从不 式的 究过 以发 ，在生 有 要的 用， ：不 式
质、证 方法、 法.在本 中，介绍部分 明不 式常用方法、函数 明不 式
和用一些著名不等式证明不等式.在学习证明不等式中，可以更加深刻了解数学学科
的特点，培 学逻 维论证能力，为以后深入研究数学中不等式提供帮助，增
通过简单命 的成立，利用不 式性质，将简单不 式合成复杂不 式而证明结
论的过程就是迭合法.
例题6：已知： ， ，求证：
.
证明 ： 因为 ，
所以 ， ，
由柯西不等式
所以原不等式获证.
（六）放缩法
法是依 不 式的性 而衍生得到的一种方 ，利 一些 名的不
寻找中间量，又或者是别的方法，但最重要的是可以丢弃某些不重要的部分，得到所要
均值 、柯西 等.进而使 证明方法变的更加的多样化，研究
证明、探索 的证明使 证明更加完善.
【关键词】：不等式，常用方法，函数，著名不等式
Methodand application of several simple proof of inequality
Abstract
We are in the proces of learning mathamatics, inequallty is very importent which method Inequality Inequality Basic theory is very importent paper sumnarizes the common methods section proves inequallty: for differemce method, analysis, For Law, and Inequality synthesis method, contradiction, mathematical inductian, scaling methed often benefit With function extreme, Lagrange mean value theoren, as well as same well-knawn inequallties, such as: mean inequality, Ceuchy inequallty, eta. and thus make inequality proof becames more divorse, researah inequallty praved prabe Proof cable inequality makes inequality proved to be more perfect.
明：所 不 形为： ≤2．这 为是
A( ， )到 的 ．
但因( ) ＋( ) = 4，故点A在圆x ＋y = 4 (x＞0，y＞0)上．
如图所示，AD⊥BC，半径AO＞AD，即有： ≤2，
所以 ＋ ≤2 ．
（十七）构造方程法
例题18 ： 已 实 , , ，满足 + + = 0和 = 2，
求 ： , , 中 少有一 不 于2
著证明的结论命题.
例题7 求证： .
证明：当 时， ，从而有
故
所以原不等式获证.
（七）数学归纳法
学归纳 是在 明含 的不 式， 否在 立的 件下，
明 时 立.（ 一个 时不 命 立）
证明8： 求证：
.（ 是正整数）
证明： 左边和右边都有 个因数， 当 的时候，
， ，
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
所以sin（α+β）<sinα+sinβ.
2.作商法
作商法 明不 式时， ， ，如果 时，则a<b；如果 >1时；则a>b；如果 =1时，则a=b.
例题2 设a，b，c ，求证：
证：作商：
当a = b时，
当a > b > 0时，
当b > a > 0时，
故得 即 （剩余同理可证）
（二）分析法
在证不等式题的过程中分析法是从结论入手，一步步的向上推导，探索下去，
引 言
不 式是数学中较为 要的一部分内 ，为帮助 学爱好者 握这方面的知 ，
故论述几种简单的证明方法.在实际生活中，不等式的运用要比等式更加常见，而
人们对不等式的了解要相对晚一点.在17世纪后，不等式才被深入发觉，建立相应
明 形 不 式，可用拉 日中 理法法.
例25： 证明，当 ＞0时，有 ＞ .
加数学认知能力.进而使不等式证明方法变的更加的多样化，研究不等式证明、探索
不 式的 明使不 式证明更加完善.
一、常用方法
（一）比较法
1.作差法
个实 和 的大 ，可由 的正负 较判 .
； ; .
例题1： 若两个角0<α< ，0<β< ，求证：
sin（α+β）<sinα+sinβ.
证：sin（α+β）-(sinα+sinβ)=sinα·cosβ+cosαsinβ-sinα-sinβ
例题 13： 为 的三边长，求证：
.
证明 由海伦公式 ，其中 .
两 方，移 理得
而 ,
所以 .
（十三）分解法
把复 题转化为简 解的基本命题，而一一解决，各个击破，而去证明不等式.
例题14 ： ，且 ，求证： .
证明： 因为
.
所以 .
（十四）构 数法
例题15： 0≤ 、 、 ≤2，求证：4 ＋ ＋ ＋ ≥2 ＋2 ＋2 ．
所 (a＋2) ＋(b＋2) ≥ ．
（十）三角代换法
例题11 ： 解不 ＞
解：因为 =6，故可令 = sin ， ＝ cos ， ∈［0， ］
则原不 化为 － ＞ 以 ＞ +
由 ∈［0， ］知 + cos ＞0，将上 两边平方并 理，得
48 cos2 +4 cos －23＜0
解得0≤ ＜ 所以x＝6 －1＜ ，且x≥－1，故原不 的 是｛x|-1≤x＜ .
（十五）构造向量法
构造向量法主要是不等式与向量形式之间的相互转换，利用 · ≤| |·| |，
证 些具 积结 数的不 命题．
例题16 ： 设a、b∈R ，且a＋b =1，求证：(a＋2) ＋(b＋2) ≥ ．
明：构 向 = ( ＋2， ＋2)， = ( ， )．设 和 的夹 为 ， 中0≤ ≤ ．
为| | = ，| | = ， 以 · = | |·| |cos = · ·cos ；
证明：构 次函数
f（x）= 4 ＋ ＋ ＋ －2 －2 －2 =
( －2 －2 ＋4) ＋( ＋ －2 )，（ 为自变量）由0≤ ≤2，
知 示一条 段．又 = ＋ －2 = ( － ) ≥0，
= ＋ －4 －4 ＋8 = ( －2) ＋( －2) ≥0，
可 上 段在横 其 方， 函 ≥0，
即4 ＋ ＋ ＋ ≥2 ＋2 ＋2 ．
二、利用函 明不 式
（一）函数极值法
过某 变 ，把问 转 为求函 的极 ，实现 明不 式.
例题21 ： 证明， ，有不等式
证明：讨论函数
在区间 的最大值.
令 ,解得唯一定点1，它在区间 分成两个区间 与 ，列表如下：
1
+
0
-
↗
极大点
↘
时是函 极大 ，极大 .
由此表可得 时是函 在 义域中的最大值，
故 ，使 或 .
.
上述 个不 相 乘，
.
故原不等式成立
（八）换元法
在 不 证 程中，通过变量代换，可以使不 式 明过程更加简单，
择 当的辅助未知 ，代替原方 的部分 子，而 明命 .
例题9 ： 已知 ， ， 是小于1的正数，求证：
证明：设 ， ， ，
由假设可知， ， ，
通分后以 为分母时，则，
分子
=
又
因为是的优函数，所以将、除以正数 得
例题5： 已知 ， ， 为实数， ， ， ，求证：
， ， .
明：假 ， ， 不 是正 ，即其 少有一 不是正 .
可以假设 .分为 和 证明.
（1）如果 ，则 ，与 矛盾.所以 不可能.
（2）如果 ，那么由 可得 .
由因为 ，所以 .
这和已知 相矛盾.
此，也 可 .综 述， .
理可 ， . 命 立.
（五）迭合法
，
即
（四）优函数法
当 是 的优函数时，
例题24 ： 已知 ， ， 是小于1的正数，求证：
证明：设 ， ， ，
由假设可知， ， ，
通分后以 为分母时，则，
分子
=
又
因为是的优函数，所以将、除以正数
得
即，
（五）拉
定理：函数 满 ，闭区间 、开 可 .
则函 在开 间 内至 ，
使
果 介 个数 与 之 ，则 面的不 ：
进而 明 知的题设 件，在 明的过 中， 导的每一 都要可 .
例题3：已知：a、b、c为互 等的实数.
求证： .
证明：要证 成立，
即证明 成立，
需要证 成立，
即 成立
， ，
由 推，即 明
（三）综合法
综 ，就是由命 的条 明题设条件.
例题4：设 ， ，……， 都是正数，并且它们的乘积 .
求证： .
明： 为 ， 所 .
同理可知
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
因为 ， ，……， 都是正数，根据性质
把不 的两 乘，得
.
因为在 的时候， 取等号，所以原式只在
的时候取等号.
（四）反证法
反正法就是要证明与命题相对立的结论，可 先假 一 误的 论，应用所
学的知识 明出假设 误.
=sinα（cosβ-1)+sinβ(cosα-1).
因为α、β都是正锐角，所以sinα>0且sinβ>0，cosβ-1<0,且cosα-1<0
于是sinα（cosβ-1）<0，sinβ（cosα-1）<0.
所以sinα（cosβ-1)+sinβ(cosα-1)<0
即sin（α+β）-(sinα+sinβ)<0
（十一）判别式法
习一 二次方 时， 以用 别 来 断有无实 ，而 些 殊 目中，
可以通过 别式 明所要 明的命 .
例题 12A、B、C为 的内角， 、 、 为任意实数，求证： .
明：构 函 ，判 式法令
为开 上的 线
无论y、z 值， 所以 所以， 真
（十二）等式法
由学过的公式、定理，巧妙的变形为一些不等式，而证明命题的方法.
证明：由题设a, b, c其中必含有一个正 ，假设a > 0，
则 即b, c是二次方程 的两个实根
所 a≥2
（十八）“1”的代换型
例题19：
策略：做“1”的代换.
证明：
.
（十九）排序不等式
如
则
的任一排列.
当 当 或 时 号 立.
例20：已知
不妨假设 有次序即 ，那么
由于 ，所以
由排序不等式可知
得证.
所以原不等式成立.
综合（1）（2）即得结论成立.
（三）泰勒公式法
定义若函数 在 存在 阶导数，则 ，有
称为函数 在 （展开）的泰勒公式.
其中，
例题23证明：若函数 在 上有 阶导数，且
，
则存在 ，有
证明：将函数 在点 和点 分别展开，即 ，有
由 知 件，令 ，则 别
， ，
， ，
以上两式相减，有
或
，
令 ，则有
本科毕业论文
不等式的几种证明方法及简单应用
姓 名
院系
数学
专业
数学
班级
学号
指导教师Biblioteka Baidu
答辩日期
成绩
摘要
我们在 的 习过 中,不 式很 要. 其中不 式的 明方法在不
式 中非常 .文中 结了 分证明不 式的常用方法：作差法、
分析法、 、 、 、数学归 法、放 法等，和不 式的
明经常会利用函数极值、 中值定理等，以及部分 不等式， 比如：
所以原不等式得证
（二）单调函数法
当 属于定义域，有 ，则（ ） ；若 ，则
.若要证明 ，只须要证 及
.
例题22：设 ，且 ，试证：
证明：令 ，
分子 ，对 求导得 ，
分 来讨论：
（1）当 时， ，因此 单调递增.
由 ，故 ，分母 ，所以
即原不等式成立.
（2）当 时， ，因此 单调递减.
由 ， ， ，故知 ，
即， .
（九）增量代换法
增 换法就是 明不 时，通过增加一个中间量而使在计算的过程中减
少运算量的方法在证明比较复杂的不等式时经常使用的手法．
例题10 ：已知a，b R，且a＋b = 1，求证：(a＋2) ＋(b＋2) ≥ ．
明： 为 ， R，且 ＋ = 1，∴设 = ＋ ， = － ， ( R)
( ＋2) ＋( ＋2) = ( ＋ ＋2) ＋( － ＋2) = ( ＋ ) ＋( － ) = 2 ＋ ≥ ．
另一方面， · = (a＋2)·1＋(b＋2)·1 = a＋b＋4 = 5，而0≤|cos |≤1，
所以 · ≥5，从而(a＋2) ＋(b＋2) ≥ ．
（十六）构造几何不 式
将不 式两 与 形 立联 ，则可以化 为 ，利 像的 质， 决不
式的方法就是构造几何不 式．
例题17：设a＞0，b＞0，a＋b = 1，求证： ＋ ≤2 ．
的理 ，真正进入数 理 部分.
从不 式的 究过 以发 ，在生 有 要的 用， ：不 式
质、证 方法、 法.在本 中，介绍部分 明不 式常用方法、函数 明不 式
和用一些著名不等式证明不等式.在学习证明不等式中，可以更加深刻了解数学学科
的特点，培 学逻 维论证能力，为以后深入研究数学中不等式提供帮助，增
通过简单命 的成立，利用不 式性质，将简单不 式合成复杂不 式而证明结
论的过程就是迭合法.
例题6：已知： ， ，求证：
.
证明 ： 因为 ，
所以 ， ，
由柯西不等式
所以原不等式获证.
（六）放缩法
法是依 不 式的性 而衍生得到的一种方 ，利 一些 名的不
寻找中间量，又或者是别的方法，但最重要的是可以丢弃某些不重要的部分，得到所要
均值 、柯西 等.进而使 证明方法变的更加的多样化，研究
证明、探索 的证明使 证明更加完善.
【关键词】：不等式，常用方法，函数，著名不等式
Methodand application of several simple proof of inequality
Abstract
We are in the proces of learning mathamatics, inequallty is very importent which method Inequality Inequality Basic theory is very importent paper sumnarizes the common methods section proves inequallty: for differemce method, analysis, For Law, and Inequality synthesis method, contradiction, mathematical inductian, scaling methed often benefit With function extreme, Lagrange mean value theoren, as well as same well-knawn inequallties, such as: mean inequality, Ceuchy inequallty, eta. and thus make inequality proof becames more divorse, researah inequallty praved prabe Proof cable inequality makes inequality proved to be more perfect.
明：所 不 形为： ≤2．这 为是
A( ， )到 的 ．
但因( ) ＋( ) = 4，故点A在圆x ＋y = 4 (x＞0，y＞0)上．
如图所示，AD⊥BC，半径AO＞AD，即有： ≤2，
所以 ＋ ≤2 ．
（十七）构造方程法
例题18 ： 已 实 , , ，满足 + + = 0和 = 2，
求 ： , , 中 少有一 不 于2
著证明的结论命题.
例题7 求证： .
证明：当 时， ，从而有
故
所以原不等式获证.
（七）数学归纳法
学归纳 是在 明含 的不 式， 否在 立的 件下，
明 时 立.（ 一个 时不 命 立）
证明8： 求证：
.（ 是正整数）
证明： 左边和右边都有 个因数， 当 的时候，
， ，
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
所以sin（α+β）<sinα+sinβ.
2.作商法
作商法 明不 式时， ， ，如果 时，则a<b；如果 >1时；则a>b；如果 =1时，则a=b.
例题2 设a，b，c ，求证：
证：作商：
当a = b时，
当a > b > 0时，
当b > a > 0时，
故得 即 （剩余同理可证）
（二）分析法
在证不等式题的过程中分析法是从结论入手，一步步的向上推导，探索下去，