三角不等式

第23讲 三角不等式
竞赛热点
含有未知数的三角函数的不等式叫做三角不等式。

在高中数学竞赛内容中，涉及三角不等式的问题有三类：一是三角不等式的证明，二是解三角不等式，三是应用三角不等式求最值。

处理三角不等式的问题一方面要有扎实的三角变形能力，另一方面还需要有三角函数的图象和性质的认识。

同时，对不等式的有关性质和证明方法要能灵活运用。

解题示范
例1：已知N n ∈，2≥n ，求证：.3
21cos 31cos 21cos >n
思路分析：本题从三角变形入手不易，不可考虑利用
x x <sin 放缩，转化为代数不等式。

证明：因为.12
1311110<<<<-<< n n 所以.11sin 0k
k << 又
.)1)(1(111sin 11cos 2
222k k k k k k +-=->-= 所以)11()3432)(2321()1cos 31cos 21(cos 2n
n n n n +∙-∙∙> .)3
2(2121)1453423)(1433221(2>>+=+∙∙-∙∙=n n n
n n n 即.3
21cos 31cos 21cos >n 点评：此题应用三角函数中重要的不等式：若)2,0(π∈x ，则.tan sin x x x <<此结论的应用，将三角不等式转化为代数不等式，叠乘即证得。

例2：当],0[,,321n ∈ααα时，求证：.3
sin 3sin sin sin 321321αααααα++≤++
思路分析；利用和差化积公式和变为乘积的形式，再放缩证明。

证明：因为3sin
sin sin sin 321321αααααα+++++ 62cos 64sin 22
cos 2sin 23213212
121αααααααααα-++++-+= 3sin
462cos 3sin
464sin 22
sin 232132132132121αααααααααααααα++≤-+++=++++≤ 所以.3sin 3sin sin sin 3
21321αααααα++≤++
引申：此证明中利用1cos ≤α进行放缩，从证明过程中可以看出，等号当且仅当321ααα==时成立。

因为x sin 在],0(π内上凸，所以我们很容易推广此不等式为sin sin 1n n i i ≤∑=α .,,3,2,1],,0[),1(1n i n i n i i =∈∑=παα
特殊地，在ABC ∆中，有32
3sin sin sin ≤++C B A 成立。

例3：已知20,,,π<<<<∈z y x R z y x ，证明：>++z y y x cos sin 2cos sin 22
π .2sin 2sin 2sin z y x ++ 思路分析：原不等式等价为>++z y y x cos sin sin sin 4
π
z z y y x x cos sin cos sin cos sin ++，再考虑利用几
何意义构造证明。

证明：因为原不等式等价为
z z y y x x z y y x cos sin cos sin cos sin cos sin cos sin 4++>++π
， 即.cos sin )cos (cos sin )cos (cos sin 4z z z y y y x x +-+->π
如图z C M x B M x A M z OM y OM x OM sin ,sin ,sin ,cos ,cos ,cos 3221321======，
M M A M y x x 21)cos (cos sin ∙=-，
232)cos (cos sin M M B M z y y ∙=-，
z sin ·3cos OM z =·C M 3， ①、②、③分别表示图中阴影矩形的面积，而4π表示单位圆在第一象限的面积。

所以z z z y y y x x cos sin )cos (cos sin )cos (cos sin 4
+-+->π
成立。

即.2sin 2sin 2sin cos sin 2cos sin 22z y x z y y x ++>++π
点评：此题巧妙地利用三角线几何意义，构造矩形的面积证明，有较强的技巧性。

例4：已知)2
,2(,,ππγβα-∈，求证：).tan tan 2)(tan 2(tan )tan (tan 2γβαγβα--≥-
思路分析：所证不等式中涉及三个变量γβα,,，结合结构特征，考虑一元二次方程构造证明。

证明：当0tan 2tan =-αγ
时，原不等式显然成立。

当0tan 2tan ≠-αγ时，构造一元二次方程+-+-x x )tan (tan 2)tan 2(tan 2βααγ .0)tan tan 2(=-γβ
因为0)tan tan 2()tan (tan 2)tan 2(tan =-+-+-γββααγ
， 所以所作方程必有一根
1=x ，从而)tan 2(tan 4)tan (tan 42αγβα---=∆ .0)tan tan 2(≥-γβ 即).tan tan 2)(tan 2(tan )tan (tan 2γβαγβα--≥-
点评：三角不等式的证明常通过代数方法去解决。

例5：在ABC ∆中，求++++=12tan 2tan 312tan 2tan 3C B B A S 12
tan 2tan 3++A C 的整数部分。

思路分析：利用三角形内角和的特点考虑。

① ② ③
证明：在ABC ∆中，2tan 2tan 12tan 2tan
2tan 2cot C B C B C B A -+=+=， 所以2tan A ·2tan 2tan B B +·2tan 2tan C C +·.12tan
=A 由幂平均不等式，则
)]12tan 2tan 3()12tan 2tan 3()12tan 2tan
3[(3+++++≤A C C B B A S .52363<=⨯=
又当10
<<x 时，.2x x < 所以12
tan 2tan 12tan 2tan 3+>+C B C B ， 12
tan 2tan 12tan 2tan 3+>+A C A C ， .12
tan 2tan 12tan 2tan 3+>+B A B A 故.42
tan 2tan 2tan 2tan 2tan 2tan 3=+++>B A A C C B S 即S 的整数部分为4。

点评：证明过程中利用了幂平均不等式和10<<x 时，++>+⇔<x x x x x 21322 1 113+>+⇔x x ，既考虑了三角特点，又结合了代数不等式知识。

例6：求实数a 的取值范围，使不等式
>
--++-)4cos(2
2)4sin()222(2sin πθπ
θθa a 23--，在]2,0[πθ∈恒成立。

思路分析：对题中)sin (cos 22)4cos()4sin(θθπ
θπ
θ+=-=+与θ
2sin 关系换元解决。

解：设x =+θθcos sin ，由]2
,0[πθ∈可得.12sin ],2,1[2-=∈x x θ 原不等式可化为0234)2(12>++-
+--a x x a x ， 即.0)2)(2(>-+
-a x x x 因为]2,1[∈x ，所以.02<-+a x
x 即.2x
x a +> 记x x x f 2)(+=，易知
)(x f 在]2,1[上单调递减。

所以.3121)1()(max =+
==f x f
故.3>a
点评：换元之后，将三角不等化为代数不等式解决，既转化了形式，又简化了不等式。

例7：已知R B A b a ∈,,,，若对于一切实数x ，都有---=x b x a x f s i n c o s 1)( 02sin 2cos ≥-x B x A ，求证：.1,22222≤+≤+B A b a
思路分析：分析题中结构，考虑引入辅助角方法证明。

证明：若0,02222
=+=+B A b a ，则结论显然成立。

若22222222cos ,sin ,0,0b a b b a a
B A b a +=+=
≠+≠+θθ， 令2222cos ,sin B A B B A A
+=+=ϕϕ， 于是0)2sin()sin(1)(2222≥++-++-=ϕθx B A x b a x f ， ①
.0)2sin()cos(1)2
(2222≥+++++-=+ϕθπx B A x b a x f
② 由①+②得0)]cos()[sin(222≥++++-
θθx x b a ， 即.0)4
sin()(2222≥+++-πθx b a 所以2)4sin(22≤+++π
θx b a 对一切R x ∈都成立。

取θπ
π
π
θ-=⇒=++424x x ， 即有
.222222≤+⇒≤+b a b a 又.0)2sin()sin(1)(2222≥++-+++=+ϕθπx B A x b a x f ③
由①+③得.0)2sin(2
222≥++-ϕx B A 即.1)2sin(22≤++ϕx B A 取24,22ϕ
π
π
ϕ-==+x x 时，122≤+B A ，即.122≤+B A
点评：此题在恒成立的不等式中，通过赋值得②、③是关键的技巧。

例8：已知1t an ),2,0(θπθ∈i ·2tan θ·…·+∈=N n n n ,2t a n 2θ，若对任意一组满足上述条件的n θθθ,,,21 ，都有λθθθ≤+++n c o s c o s c o s 21 ，求λ的最小值。

思路分析：先退到特殊形式考虑，再进一步处理一般形式。

解：当1=n 时，3
3,33cos min 1==λθ；
当2=n 时，由)(222b a b a +≤+得 可证)cos (cos 2cos cos 222
121θθθθ+≤+，且21θθ=时等号成立，31cos cos ,2tan tan 2121====θθθθ带入所以3
2min =λ； 当3≥n 时，得证.2cos cos cos 21-≤+++n n θθθ
事实上，不妨n θθθθ
≥≥≥≥ 321，则n θθθcos cos cos 21≤≤≤ ， 只需证.2cos cos cos 321≤++θθθ
① 因为1tan θ·2tan
θ·22tan 3=θ， 所以.sin sin cos cos 8tan tan tan 3
2223222332212θθθθθθθ=∙8= 即
.
sin sin cos cos 8sin sin tan 11
cos 3222322232121θθθθθθθθ+=+= 又22222sin 2
11sin 1cos θθθ-≤-=， 32323sin 2
11sin 1cos θθθ-≤-=， 所以.sin sin 2)sin (sin 2
12cos cos 32322232θθθθθθ-<+-≤+ （1）若1sin sin cos cos 832223222≥+θθθθ
，则.sin sin cos 321θθθ≤ 所以.2cos cos cos 321≤++θθθ
（2）若1sin sin cos cos 832223222<+θθθθ
， 即.0cos cos cos cos 932223222<--θθθθ
即.7tan tan 3222>+θθ
所以.3
227
11tan 11cos cos ,27tan 222122=+≤+=≤>θθθθ 所以.213
22cos cos cos 321<+<++θθθ 另外，当2,0121π
θθθθ→→===-n n 时，
.1cos cos cos 21-→+++n n θθθ
故.1min -=n λ
点评：当3≥n 时，将问题转化为①，从而使问题得到解决。