张量分析第3次课3

(1) 笛卡尔直角坐标系
gαα = 1
所以： 所以：
常量
α =0 βγ
α 1 α αλ = Γ βγ = ∑ g 2 λ βγ
∂g λγ ∂g βλ ∂g γβ ∂x β + ∂x γ − ∂x λ
第二类克里斯 托菲尔符号 r r
gαβ
在正交曲线坐标中, 度规张量对角.
r r r r r r ∂x ∂x gαβ = xα ⋅ xβ ≡ α ⋅ β = Hα eα ⋅ Hβ eβ ∂x ∂x
代 入
gαβ = Hα H β δαβ = Hα δαβ
Γ λ , βγ
得
2
1 ∂g λγ ∂g βλ ∂gγβ = β + γ − λ 2 ∂x ∂x ∂x
例如, 对于 N=3 而言, [βγ ,λ ]有18个独立分量:
[12,]=[ 1 211 ,]， [111 ,]， [11, 2]， [231 ,]=[32,]， 1 [11, 3]，
[22,]， 1 [22, [12, 2]=[ 21, 2]， [22, 3]， [311 ,]=[131 ,]， 2]，
[31, 2]=[13, 2]， [23, 2]=[32, 2]， [33, 3]， [33,]， 1 [33, 2]，
[12, 3]=[21, 3]， [23, 3]=[32, 3]， [31, 3]=[13, 3]，
α 对于 也类似地有18个独立的分量. βγ
例 3.15 计算当 β ≠ γ 时, g βγ = 0空间里的第一种克里 斯托费尔符号. 解：
1 ∂g λβ ∂g βλ ∂g ββ [ βγ , λ ] = [ ββ , λ ] = β + β − λ 2 ∂x ∂x ∂x
1 ∂g ββ = 2 ∂x β
1 ∂g ββ = − 2 ∂x λ
当β =λ ≠γ ，
1 ∂g βγ ∂g ββ ∂gγβ 1 ∂g ββ [ βγ , λ ] = β + γ − β = ∂x ∂x 2 ∂xγ 2 ∂x 当 β ≠ γ ≠ λ ， g βγ = 0 1 ∂g λγ ∂g βλ ∂gγβ [ βγ , λ ] = β + γ − λ = 0 2 ∂x ∂x ∂x 补充 用克里斯托费尔符号表示基本张量的导数 (1) 1 ∂g λγ ∂g βλ ∂gγβ 第一类克里斯 [ βγ , λ ] = Γ λ , βγ = β + γ − λ 托菲尔符号 ∂x ∂x 2 ∂x β ⇔λ 改变哑标, 有 1 ∂g βγ ∂g λβ ∂gγλ [λγ , β ] = Γ β ,λγ = λ + γ − β 2 ∂x ∂x ∂x
r r i i r r ∂x ∂x ∂X ∂X = xα ⋅ xβ ≡ α ⋅ β = ∑ α ⋅ β ∂x ∂x ∂x i ∂x
(2) 柱坐标系 正交曲线坐标系： 正交曲线坐标系： x1 =
gαβ = Hα H β δαβ = Hα δαβ ρ , x2 = ϕ , x3 = z
2
2
g11 = 1
第二类克里斯 托菲尔符号
ρ , x2 = ϕ , x3 = z
2
g11 = 1
g 22 = ρ
g33 = 1
所以只有 β = 2 时才有不为零的第二种克里斯托 费尔符号. 其它24个都为零！ 个都为零！ 1 1 1 ∂g 22 1 ∂ 1λ 11 2 − =− (ρ ) = −ρ = g [22, r ] = g [22,1] = 1 g11 2 ∂x 2 ∂ρ wk.baidu.com2
2 1 2 2 1 1 1 1 ρ ∂ g ∂ 2λ 22 22 = 2 = = g [21, λ ] = g [21, 2] = = 1 g 22 2 ∂x ρ 2 ∂ρ ρ 21 12
α 1 α αλ = Γ βγ = ∑ g 2 λ βγ
g 22 = ρ
g33 = 1
所以只有 β = 2 时才有不为零的第二种克里斯托 费尔符号.
α 1 α αλ = Γ βγ = ∑ g 2 λ βγ
(2) 柱坐标系 正交曲线坐标系： 正交曲线坐标系： x1 =
∂g λγ ∂g βλ ∂g γβ ∂x β + ∂x γ − ∂x λ
∂g λγ ∂g βλ ∂g γβ ∂x β + ∂x γ − ∂x λ
第二类克里斯 托菲尔符号
入
Γ
得
1 αλ = ∑g 2 λ
Γα βγ
2 2 2 ∂ ∂ ∂ H H H 1 1 γ β γ = δ γα + γ δ αβ − α δ γβ 2 β ∂x ∂x 2 Hα ∂x
而 g jk 的余因式： 的余因式：
G ( j, k ) = g g
注意: G ( j , k ) 中不包含 gjk , 所以
jk
∂g = G ( j, r ) ∂g jr
∂g = G ( j, r ) ∂g jr
∂g βλ ∂x
γ
= [ βγ , λ ] + [λγ , β ]
jk
∂g jr ∂g ∂g ∂g jr = G ( j , r ) = m m m ∂x ∂x ∂g jr ∂x
[ βγ , λ ] = Γ λ , βγ
相加
1 ∂g λγ ∂g βλ ∂gγβ = β + γ − λ ∂x ∂x 2 ∂x
第一类克里斯 托菲尔符号
[λγ , β ] = Γ β ,λγ
得
1 ∂g βγ ∂g λβ ∂gγλ = λ + γ − β 2 ∂x ∂x ∂x
ik k g g = δ ∑ ij j i
∂g ij ik jm ∂g ∂g jm g ij g = =− l g g l l ∂x ∂x ∂g βλ ∂x = [ βγ , λ ] + [λγ , β ] 代入 γ mk ∂x ∂g
ik mk
ik jm ik jm
m jm m = −g − g il jl ∂g jk ∂g ij l 1 l lk ∂g ik − k = Γ ij = ∑ g j + i 2 k ∂x ∂x ij ∂x
∂g βλ ∂x
γ
= [ βγ , λ ] + [λγ , β ]
ik k g g = δ ∑ ij j
(2) 因为
对 xl 微分, 得
i
∂g ij
∂g g + l g ij = 0 l ∂x ∂x
ik
ik
∂g g + l g ij = 0 jm l 内乘以 g , 有 ∂x ∂x
ik
∂g ij
ik
∂g λγ ∂g βλ ∂g γβ ∂x β + ∂x γ − ∂x λ
第二类克里斯 托菲尔符号
gαβ = Hα H β δαβ = Hα δαβ
(2) 球坐标系 1 2 3 正交曲线坐标系： 正交曲线坐标系： x = r , x = θ , x = ϕ
2
g11 = 1
g 22 = r
k =0 ij
( i≠ j ≠ k )
例 3.18 试求以下坐标系中的第二种克里斯托费尔符号: ∂g球坐标系 ∂g γβ. α 1 ; (2) 柱坐标系 βλ α αλ ∂g λγ ; (3) (1)笛卡尔直角坐标系 =Γ = + − g
∑ βγ β γ λ βγ因为在正交坐标系中 2 λ ∂ x ∂ x ∂ x ： g 解 α ≠ β ,当 时, αβ = 0 ri ri r r第二类克里斯 P146 10. r r ∂x ∂x 托菲尔符号 ∂X ∂X gαβ = xα ⋅ xβ ≡ α ⋅ β = ∑ α ⋅ β ∂x ∂x ∂x i ∂x
G ( j, k ) = g g
= gg
jr
∂g jr ∂x
m
= gg ([ jm , r ] + [ rm , j ])
jr
j r j = g + = 2g jm rm jm
l 1 l ∂g 于是 lk j j lk ∂ = Γ = g [ ij , k ] = g [i = j, km ] ln g ij = 或 ij 2 g ∂x m jm第二类克里斯托菲尔符号 jm ∂x
[ βγ , λ ] = Γ λ , βγ
1 ∂g λγ ∂g βλ ∂gγβ = β + γ − λ 2 ∂x ∂x ∂x
第一类克里斯 托菲尔符号
不使用求和约定. 当 β =γ =λ ，
1 ∂g ββ ∂g ββ ∂g ββ [ βγ , λ ] = [ ββ , β ] = β + β − β 2 ∂x ∂x ∂x 当 β =γ ≠λ ，
2
g33 = r sin θ
2
2
β = 2 或3时才有不为零的第二种克里斯托费尔符号.
1 1 1 ∂g 22 1 ∂g 22 1 ∂ 2 1λ 11 = g [22, λ ] = g [22,1] = − = − = − (r ) = −r 1 1 2 ∂x 2 ∂r g11 2 ∂x 22
ik
∂x
l
= − g g [il , j ] − g g [ jl , i ]
= g [ij , k ]
lk
第二类克里斯 托菲尔符号
j ∂ 例 3.16 试证 = m ln g jm ∂x 证： g jk 的行列式:
g = g jk = g jk G ( j , k ) (仅对k求和),
例 3.17 计算当i≠j 时, gij = 0 空间里 空间里的第二种克里斯托 的第二种克里斯托 费尔符号. 解： k 1 ∂g
i 1 ∂ ln gii = i ii 2 ∂x
ii = − k 2 g kk ∂x ii
i 1 ∂ ln g ii = j ij 2 ∂x
[ βγ , λ ] = Γ λ , βγ
1 ∂g λγ ∂g βλ ∂gγβ = β + γ − λ ∂x ∂x 2 ∂x
第一类克里斯 托菲尔符号
α 1 α αλ g = Γ = ∑ βγ 2 λ βγ
∂g λγ ∂g βλ ∂g γβ ∂ x β + ∂x γ − ∂ x λ
第一类克里斯 托菲尔符号
Γ λ , βγ
2 2 2 ∂ ∂ ∂ H H H 1 γ β γ = β δ λγ + γ δ λβ − λ δ γβ ∂x ∂x 2 ∂x
gαβ = Hα H β δαβ = Hα δαβ
代
2
g
α βγ
αβ
1 1 = δαβ = 2 δαβ Hα H β Hα
第二类克里斯 托菲尔符号
从定义可知, 这两种符号对于β 这两种符号对于β、γ都是对称的, 即
[βγ ,λ ]=[γβ ,λ ]
α α = βγ γβ
2 N ( N + 1) 对于 N 为空间, 都各有 个独立分量. 2
2 N ( N + 1) 对于 N 为空间, 都各有 个独立分量. 2
2 2 1 1 ∂g 22 1 1 ∂ 2 1 2λ 22 = 2 (r ) = = = g [21, λ ] = g [21, 2] = 1 g 22 2 ∂x r 2 ∂r r 21 12
α 1 α αλ = Γ βγ = ∑ g 2 λ βγ
∂g λγ ∂g βλ ∂g γβ ∂x β + ∂x γ − ∂x λ
第二类克里斯 托菲尔符号
gαβ
ri ri r r r r ∂x ∂x ∂X ∂X = xα ⋅ xβ ≡ α ⋅ β = ∑ α ⋅ β ∂x ∂x ∂x i ∂x