用数学归纳法证明不等式一数学归纳法
数学归纳法证明不等式
例4、已知x> 1，且x0，nN，n2． 求证：(1+x)n>1+nx.
证明： （1）当n=2时，左＝(1＋x)2=1+2x+x2
∵ x0，∴ 1+2x+x2>1+2x=右
∴n=1时不等式成立 （2）假设n=k时，不等式成立，即 (1+x)k>1+kx 当n=k+1时，因为x> 1 ，所以1+x>0，于是 左边=(1+x)k+1=(1+x)k(1+x)>(1+x)(1+kx)=1+(k+1)x+kx2； 右边=1+(k+1)x． 因为kx2＞0，所以左边＞右边，即(1+x)k+1>1+(k+1)x． 这就是说，原不等式当n=k+1时也成立． 根据(1)和(2)，原不等式对任何不小于2的自然数n都成立.
1 1 1 1 2° 假设 n＝k 时命题成立，即 1＋ 2＋ 2＋„＋ 2<2－ 2 3 k k 1 1 1 1 当 n＝k＋1 时，1＋22＋32＋„＋k2＋ 2< (k＋1) 1 1 1 1 1 1 1 2－ ＋ <2－ ＋ ＝2－ ＋ － k (k＋1)2 k k(k＋1) k k k＋1 1 ＝2－ 命题成立． k＋1 由 1° 、2° 知原不等式在 n≥2 时均成立．
2.数学归纳法适用范围,主要用于研究与正整数有关 的数学问题。 3. 数学归纳法的关键与难点： 在 “归纳递推 ” 中 , “证明当 n =k+1 时 命题也成立 ”, 必须利用归纳假设 ：“当 n= k (k ≥n 0, k ∈ N *时命题成立 ” 否则便不是 , 数学归纳法。
不等式证明的基本方法
不等式证明的基本方法
1.数学归纳法：归纳法是数学证明中最常用的方法之一，通常用来证
明自然数的性质。
对于不等式证明来说，如果我们希望证明不等式对于所
有自然数都成立，可以使用数学归纳法。
首先证明当自然数为1时不等式
成立，然后假设当自然数为k时不等式成立，再证明当自然数为k+1时不
等式也成立。
通过这种逐步推导的方法，可以证明不等式对于所有自然数
都成立。
2.数学推理法：数学推理法是一种基于数学定理和公理的推理方法，
通过逻辑推理来证明不等式的成立。
这种方法通常需要使用一些已知的数
学定理和性质来推导出不等式。
例如，可以使用数学的四则运算定律、平
方差公式、三角不等式等来推导不等式。
3.数学变换法：数学变换法是一种将不等式进行变换的方法，通过变
换不等式的形式来证明不等式的成立。
这种方法通常需要使用一些数学中
常见的变换方法，例如平方去根、换元法、倍加倍减等。
通过适当的变换，可以将不等式转化为更简单的形式，从而更容易证明。
无论采用哪种方法，不等式的证明都需要逻辑严谨、推理正确，以及
对数学定理和性质的熟练应用。
在实际证明中，常常需要综合运用多种方
法来解决问题，使得证明更加简洁和明了。
此外，证明中的每一步变换和
推理都需要严格地说明和证明，避免出现漏洞和错误。
数学归纳法证明不等式
数学归纳法证明不等式归纳法由有限多个个别的特殊事例得出一般结论的推理方法。
那怎么用归纳法来证明不等式呢? 接下来店铺为你整理了数学归纳法证明不等式，一起来看看吧。
数学归纳法证明不等式的基本知识数学归纳法的基本原理、步骤和使用范围(1)在数学里，常用的推理方法可分为演绎法和归纳法，演绎法一般到特殊，归纳法是由特殊到一般.由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，通常叫归纳法。
在归纳时，如果逐个考察了某类事件的所有可能情况，因而得出一般结论，那么结论是可靠的.这种归纳法叫完全归纳法(通常也叫枚举法)如果考察的只是某件事的部分情况，就得出一般结论，这种归纳法叫完全归纳法.这时得出的结论不一定可靠。
数学问题中，有一类问题是与自然数有关的命题，因为自然数有无限多个，我们不可能就所有的自然数一一加以验证，所以用完全归纳法是不可能的.然而只就部分自然数进行验证所得到的结论，是不一定可靠的例如一个数列的通项公式是an=(n2-5n+5)2容易验证a1=1，a2=1，a3=1，a4=1，如果由此作出结论——对于任何n∈N+, an=(n2-5n+5)2=1都成立，那是错误的.事实上，a5=25≠1.因此，就需要寻求证明这一类命题的一种切实可行、比较简便而又满足逻辑严谨性要求的新的方法——数学归纳法.(2)数学归纳法是一种重要的数学证明方法，其中递推思想起主要作用。
形象地说，多米诺骨牌游戏是递推思想的一个模型，数学归纳法的基本原理相当于有无限多张牌的多米诺骨牌游戏，其核心是归纳递推.一般地，当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的所有正整数n都成立时，可以用一下两个步骤：(1)证明当n=n0(例如n0=1或2等)时命题成立;(2)假设当n=k(k∈N+，且k≥n0)时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立.在完成了这两个步骤以后，就可以断定命题对于不小于n0所有自然数都成立.这种证明方法称为数学归纳法.自然数公理(皮亚诺公理)中的“归纳公理”是数学归纳法的理论根据，数学归纳法的两步证明恰是验证这条公理所说的两个性质.数学归纳法的适用范围仅限于与自然数n有关的命题.这里的n是任意的正整数，它可取无限多个值.附录：下面是自然数的皮亚诺公理，供有兴趣的同学阅读.任何一个象下面所说的非空集合N的元素叫做自然数，在这个集合中的某些元素a与b之间存在着一种基本关系：数b是数a后面的一个“直接后续”数，并且满足下列公理：①1是一个自然数;②在自然数集合中，每个自然数a有一个确定“直接后续”数a’;③a’≠1,即1不是任何自然数的“直接后续”数;④由a’ =b’推出a=b,这就是说，每个自然数只能是另一个自然数的“直接后续”数;⑤设M是自然数的一个集合，如果它具有下列性质：(Ⅰ)自然数1属于M,(Ⅱ)如果自然数a属于M，那么它的一个“直接后续”数a’也属于M，则集合M包含一切自然数.其中第5条公理又叫做归纳公理，它是数学归纳法的依据.(3)数学归纳法可以证明与自然数有关的命题，但是，并不能简单地说所有涉及正整数n的命题都可以用数学归纳法证明.例如用数学归纳法证明(1+1)n(n∈N+)的单调性就难以实现.一般来说，n从k=n到k=n+1时，如果问题中存在可利用的递推关系，则数学归纳法有用武之地，否则使用数学归纳法就有困难.数学归纳法证明不等式例题。
数学归纳法、用数学归纳法证明不等式举例 课件
命题方向1 ⇨数学归纳法证明等式
典例试做 1
1)，其中 n∈N＋.
用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－
● [分析] 用数学归纳法证明一个与正整数有关的命题，关键是第二步，要注意当n＝k＋1时， 等式两边的式子与n＝k时等式两边的式子的联系.
● [解析] (1)当n＝1时，左边＝1＋1＝2，右边＝21·1＝2，等式成立. ● (2)假设当n＝k时等式成立，即 ● (k＋1)(k＋2)…(k＋k)＝2k·1·3·…·(2k－1)，
● 则当n＝k＋1时， ● (k＋2)(k＋3)…(k＋1＋k)(k＋1＋k＋1)＝(k＋2)·(k＋3)…＋(k＋k)(2k＋1)(2k＋2) ● ＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k)·2(2k＋1) ● ＝2k·1·3·…·(2k－1)·2(2k＋1) ● ＝2k＋1·1·3…·(2k－1)(2k＋1)， ● 即当n＝k＋1时，等式也成立. ● 由(1)(2)可知，对一切n∈N＋，等式成立.
n 都成立，求正整数 a 的最大值，并证明你的结论.
[分析] 用数学归纳法证明. 从n＝k到n＝k＋1时，为利用假设需要增加因
式
1 k＋1
，对于除含有n＝k的因式外的其余的项需运用不等式的性质证明其大于
零即可.
[解析] 取n＝1，1＋1 1＋1＋1 2＋3×11＋1＝2264，令2264>2a4⇒a<26，而a∈N＋，
＝(k＋1 1＋k＋1 2＋…＋3k＋1 1)＋(3k＋1 2＋3k＋1 3＋3k＋1 4－k＋1 1)>2254＋[3k＋1 2＋ 3k＋1 4－3k＋2 1].
∵3k＋1 2＋3k＋1 4＝9k26＋k1＋8k1＋ 8>3k＋2 1， ∴3k＋1 2＋3k＋1 4－3k＋2 1>0， ∴k＋11＋1＋k＋11＋2＋…＋3k＋11＋1>2254，
数学归纳法课件
3.在第二步的证明过程中一定要用上归纳假设,否则这样的证明
就不再是数学归纳法.
变式训练2 用数学归纳法证明:1+3×2+5×22+…+(2n-1)×2n1=2n(2n-3)+3(n∈N ).
+
证明：(1)当n=1时,左边=1,右边=2(2-3)+3=1,左边=右边,命题成
=
1
1 +1
1- 2
2
1
1-2
=1-
1 +1
,
2
1
1 1
正解(1)当 n=1 时,左边= ,右边=12
2
=
1
,命题成立.
2
(2)假设当 n=k(k≥1)时命题成立,
1
1
即 + 2
2 2
当
+
1
1
2
2
3 +…+ =1-
1
1
n=k+1 时, + 2
2 2
1
1
1
=1-
2
+
+
1
,
2
1
1
2
2
3 +…+
反思感悟用数学归纳法证明整除问题时,首先从要证的式子中拼
凑出假设成立的式子,然后证明剩余的式子也能被某式(数)整除.其
中的关键是“凑项”,可采用增项、减项、拆项和因式分解等方法分
析出因子,从而利用归纳假设使问题得到解决.
变式训练1 用数学归纳法证明:an+1+(a+1)2n-1能被a2+a+1整除,
4.2 用数学归纳法证明不等式 课件(人教A选修4-5)
考查学生推理论证的能力．
[解]
(1)用数学归纳法证明：2≤xn＜xn＋1＜3.
①当 n＝1 时，x1＝2，直线 PQ1 的方程为 f2－5 y－5＝ (x－4)， 2－4 11 令 y＝0，解得 x2＝ ，所以 2≤x1＜x2＜3. 4 ②假设当 n＝k 时，结论成立，即 2≤xk＜xk＋1＜3. 直线 PQk＋1 的方程为 fxk＋1－5 y－5＝ (x－4)， xk＋1－4 3＋4xk＋1 令 y＝0，解得 xk＋2＝ . 2＋xk＋1
则当 n＝k＋1 时，有 1 1 1 1 1 ＋ ＋„＋ ＋ ＋ ＋ k＋1＋1 k＋1＋2 3k＋1 3k＋2 3k＋3 1 3k＋1＋1 1 1 1 1 1 1 ＝( ＋ ＋„＋ )＋( ＋ ＋ － k＋1 k＋2 3k＋1 3k＋2 3k＋3 3k＋4 1 25 1 1 2 )> ＋[ ＋ － ]． k＋1 24 3k＋2 3k＋4 3k＋1 6k＋1 1 1 2 ∵ ＋ ＝ 2 > ， 3k＋2 3k＋4 9k ＋18k＋8 3k＋1
lg3 lg3 ＝k(k＋1)· ＋2(k＋1)· 4 4 1 k＋1 >lg(1· 3· k)＋ lg3 2· „· 2 1 >lg(1· 3· k)＋ lg(k＋1)2 2· „· 2 ＝lg[1· 3· k· 2· …· (k＋1)]．命题成立． 由上可知，对一切正整数 n，命题成立．
本课时考点常与数列问题相结合以解答题的形式考 查数学归纳法的应用.2012年全国卷将数列、数学归纳法 与直线方程相结合考查，是高考模拟命题的一个新亮点．
(1)当n＝1时，由f(x)为增函数，且f(1)<1，得
a1＝f(b1)＝f(1)<1， b2＝f(a1)<f(1)<1， a2＝f(b2)<f(1)＝a1， 即a2<a1，结论成立． (2)假设n＝k时结论成立，即ak＋1<ak. 由f(x)为增函数，得f(ak＋1)<f(ak)即bk＋2<bk＋1，
数学归纳法证明不等式的两个技巧
数学归纳法证明不等式的两个技巧数学归纳法是一种数学证明方法，常用于证明自然数的性质。
它的基本思想是：首先证明当n为一些特定的自然数时，不等式成立；然后假设当n为一些自然数时，不等式也成立；最后利用这个假设证明当n为n+1时，不等式仍然成立。
下面将介绍两种常用的数学归纳法证明不等式的技巧。
技巧一：基础情况的证明在使用数学归纳法证明不等式时，首先需要证明基础情况，即当n为一些特定的自然数时，不等式是否成立。
例如，我们想要证明对于任意的正整数n，都有1+2+3+...+n≤n²。
基础情况是n=1时，不等式左边为1，右边为1²=1，不等式成立。
技巧二：归纳假设的运用假设当n为一些自然数时，不等式也成立，即假设1+2+3+...+n≤n²成立。
然后我们要利用这个假设来证明当n为n+1时，不等式仍然成立。
例如，我们要证明对于任意的正整数n，都有1+2+3+...+n+(n+1)≤(n+1)²。
根据归纳假设，我们可以得到1+2+3+...+n≤n²，所以我们可以将不等式右边的(n+1)²展开为n²+2n+1现在，我们需要证明1+2+3+...+n+(n+1)≤n²+2n+1、我们可以逐步将左边拆分成两部分，即(1+2+3+...+n)+(n+1)。
根据归纳假设，我们知道前一部分不大于n²，所以该不等式可以进一步简化为n²+(n+1)≤n²+2n+1最后，可以发现左边的n²+(n+1)小于等于右边的n²+2n+1，因为(n+1)小于等于2n+1、所以，我们得到了当n为n+1时，不等式仍然成立。
综上所述，通过基础情况的证明和归纳假设的运用，可以使用数学归纳法证明不等式。
这两个技巧可以帮助我们在证明过程中合理利用已有的条件和假设，从而简化证明的过程。
第3章 3.2 用数学归纳法证明不等式,贝努利不等式
3.2 用数学归纳法证明不等式，贝努利不等式3.2.1 用数学归纳法证明不等式3.2.2 用数学归纳法证明贝努利不等式1.会用数学归纳法证明简单的不等式.2.会用数学归纳法证明贝努利不等式；理解贝努利不等式的应用条件.[根底·初探]教材整理1用数学归纳法证明不等式在不等关系的证明中，有多种多样的方法，其中数学归纳法是最常用的方法之一，在运用数学归纳法证不等式时，推导“k＋1〞成立时其他的方法如比拟法、分析法、综合法、放缩法等常被灵敏地运用.教材整理2贝努利不等式1.定理1(贝努利不等式)设x>－1，且x≠0，n为大于1的自然数，那么(1＋x)n＞1＋nx.2.定理2(选学)设α为有理数，x>－1，(1)假如0<α<1，那么(1＋x)α≤1＋αx；(2)假如α<0或者α>1，那么(1＋x)α≥1＋αx.当且仅当x＝0时等号成立.事实上，当α是实数时，也是成立的.，那么2n与n的大小关系是()设n∈N＋A.2n>nB.2n<nC.2n＝nD.不确定【解析】2n＝(1＋1)n，根据贝努利不等式有(1＋1)n≥1＋n×1＝1＋n，上式右边舍去1，得(1＋1)n>n，即2n>n.【答案】 A[质疑·手记]预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们〞讨论交流：疑问1： 解惑： 疑问2： 解惑： 疑问3： 解惑：[小组合作型]数学归纳法证明不等式S n ＝1＋12＋13＋…＋1n (n >1，n ∈N ＋)，求证：S 2n >1＋n2(n ≥2，n ∈N ＋). 【精彩点拨】 求S n 再证明比拟困难，可运用数学归纳法直接证明，注意S n 表示前n 项的和(n >1)，首先验证n ＝2，然后证明归纳递推.【自主解答】 (1)当n ＝2时，S 22＝1＋12＋13＋14＝2512>1＋22，即n ＝2时命题成立.(2)假设n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时命题成立，即S 2k ＝1＋12＋13＋…＋12k >1＋k2. 当n ＝k ＋1时，S 2k ＋1＝1＋12＋13＋…＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1>1＋k 2＋2k 2k ＋2k ＝1＋k 2＋12＝1＋k ＋12.故当n ＝k ＋1时，命题也成立.由(1)(2)知，对n ∈N ＋，n ≥2，S 2n >1＋n2都成立.此题容易犯两个错误，一是由n ＝k 到n ＝k ＋1项数变化弄错，认为12k 的后一项为12k ＋1，实际上应为12k ＋1；二是12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1共有多少项之和，实际上 2k ＋1到2k ＋1是自然数递增，项数为2k ＋1－(2k ＋1)＋1＝2k .[再练一题]1.假设在本例中，条件变为“设f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N ＋)，由f (1)＝1>12，f (3)>1，f (7)>32，f (15)>2，…〞 .试问：你能得到怎样的结论？并加以证明.【解】 数列1,3,7,15，…，通项公式为a n ＝2n －1，数列12，1，32，2，…，通项公式为a n ＝n2，∴猜测：f (2n －1)>n2.下面用数学归纳法证明：①当n ＝1时，f (21－1)＝f (1)＝1>12，不等式成立.②假设当n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时不等式成立， 即f (2k －1)>k2， 那么f (2k ＋1－1)＝f (2k－1)＋12k ＋12k ＋1＋…＋12k ＋1－2＋12k ＋1－1>f (2k－1)＋＝f (2k－1)＋12>k 2＋12＝k ＋12.∴当n ＝k ＋1时不等式也成立.据①②知对任何n ∈N ＋原不等式均成立.利用数学归纳法比拟大小设P n ＝(1＋x )n ，Q n ＝1＋nx ＋n (n －1)2x 2，n ∈N ＋，x ∈(－1，＋∞)，试比拟P n 与Q n 的大小，并加以证明.【导学号：38000059】【精彩点拨】 此题考察数学归纳法的应用，解答此题需要先对n 取特殊值，猜测P n 与Q n 的大小关系，然后利用数学归纳法证明.【自主解答】 (1)当n ＝1,2时，P n ＝Q n .(2)当n ≥3时，(以下再对x 进展分类). ①假设x ∈(0，＋∞)，显然有P n ＞Q n . ②假设x ＝0，那么P n ＝Q n . ③假设x ∈(－1,0)，那么P 3－Q 3＝x 3＜0，所以P 3＜Q 3.P 4－Q 4＝4x 3＋x 4＝x 3(4＋x )＜0，所以P 4＜Q 4. 假设P k ＜Q k (k ≥3)，那么P k ＋1＝(1＋x )P k ＜(1＋x )Q k ＝Q k ＋xQ k ＝1＋kx ＋k (k －1)x 22＋x ＋kx 2＋k (k －1)x 32＝1＋(k ＋1)x ＋k (k ＋1)2x 2＋k (k －1)2x 3 ＝Q k ＋1＋k (k －1)2x 3＜Q k ＋1， 即当n ＝k ＋1时，不等式成立. 所以当n ≥3，且x ∈(－1,0)时，P n ＜Q n .1.利用数学归纳法比拟大小，关键是先用不完全归纳法归纳出两个量的大小关系，猜测出证明的方向，再用数学归纳法证明结论成立.2.此题除对n 的不同取值会有P n 与Q n 之间的大小变化，变量x 也影响P n 与Q n 的大小关系，这就要求我们在探究大小关系时，不能只顾“n 〞，而无视其他变量(参数)的作用.[再练一题]2.数列{a n }，{b n }与函数f (x )，g (x )，x ∈R ，满足条件：b 1＝b ，a n ＝f (b n )＝g (b n＋1)(n ∈N ＋)，假设函数y ＝f (x )为R 上的增函数，g (x )＝f －1(x )，b ＝1，f (1)＜1，证明：对任意x ∈N ＋，a n ＋1＜a n .【证明】 因为g (x )＝f －1(x )，所以a n ＝g (b n ＋1)＝f －1(b n ＋1)，即b n ＋1＝f (a n ).下面用数学归纳法证明a n ＋1＜a n (n ∈N ＋). (1)当n ＝1时，由f (x )为增函数，且f (1)＜1，得 a 1＝f (b 1)＝f (1)＜1， b 2＝f (a 1)＜f (1)＜1， a 2＝f (b 2)＜f (1)＝a 1， 即a 2＜a 1，结论成立.(2)假设n ＝k 时结论成立，即a k ＋1＜a k .由f (x )为增函数，得f (a k ＋1)＜f (a k )，即b k ＋2＜b k ＋1. 进而得f (b k ＋2)＜f (b k ＋1)，即a k ＋2＜a k ＋1. 这就是说当n ＝k ＋1时，结论也成立. 根据(1)和(2)可知，对任意的n ∈N ＋，a n ＋1＜a n .利用贝努利不等式证明不等式设n 为正整数，记a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n +1，n ＝1,2,3，….求证：a n ＋1<a n .【精彩点拨】 用求商比拟法证明a n ＋1<a n ，其中要用贝努利不等式. 【自主解答】 由a n 的意义知对一切n ＝1,2,3，…都成立. ∴只需证明a na n ＋1>1，n ＝1,2,3，….由于a n a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n n ＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＋1n ＋2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1＋1n 1＋1n ＋1n ＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＋1－1 ＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤(n ＋1)(n ＋1)n (n ＋2)n ＋1×n ＋1n ＋2＝⎣⎢⎢⎡⎦⎥⎥⎤1＋n (n ＋2)n (n ＋2)n ＋1×n ＋1n ＋2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋1n (n ＋2)n ＋1×n ＋1n ＋2，因此，根据贝努利不等式， 有a na n ＋1>⎣⎢⎡⎦⎥⎤1＋(n ＋1)×1n (n ＋2)×n ＋1n ＋2>⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋n ＋1n 2＋2n ＋1×n ＋1n ＋2 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋1n ＋1×n ＋1n ＋2＝1. ∴a n >a n ＋1对于一切正整数n 都成立.此题在证明的过程中，综合运用了求商比拟法，放缩法，进而通过贝努利不等式证明不等式成立.[再练一题]3.设a 为有理数，x >－1.假如0<a <1，证明：(1＋x )a ≤1＋ax ，当且仅当x ＝0时等号成立.【证明】 0<a <1，令a ＝mn ，1≤m <n ，其中m ，n 为正整数，那么由平均值不等式，得(1＋x )a＝(1＋x )mn≤m (1＋x )＋(n －m )n ＝mx ＋n n ＝1＋m n x ＝1＋ax ，当且仅当1＋x ＝1，即x ＝0时，等号成立.[探究共研型]放缩法在数学归纳法证明不等式中的应用探究【提示】 放缩法是不等式证明中最重要的变形方法之一，放缩必须有目的.而且要恰到好处，目的往往要从证明的结论考虑.常用的放缩方法有增项、减项、利用分式的性质、利用不等式的性质、利用不等式、利用函数的性质进展放缩等.比方：舍去或加上一些项：⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋34＞⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122；将分子或分母放大(缩小)：1k 2＜1k (k －1)，1k 2＞1k (k ＋1)，1k ＜2k ＋k －1，1k ＞2k ＋k ＋1(k ∈R ，k ＞1)等.证明：2n ＋2>n 2(n ∈N ＋). 【精彩点拨】验证n ＝1，2，3时不等式成立⇒假设n ＝k 成立，推证n ＝k ＋1⇒n ＝k ＋1成立，结论得证【自主解答】 (1)当n ＝1时，左边＝21＋2＝4；右边＝1，左边>右边； 当n ＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4， 所以左边>右边；当n ＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边. 因此当n ＝1,2,3时，不等式成立.(2)假设当n ＝k (k ≥3且k ∈N ＋)时，不等式成立，即2k ＋2>k 2(k ∈N ＋). 当n ＝k ＋1时，2k ＋1＋2＝2·2k ＋2 ＝2(2k ＋2)－2>2k 2－2 ＝k 2＋2k ＋1＋k 2－2k －3＝(k 2＋2k ＋1)＋(k ＋1)(k －3)≥k 2＋2k ＋1＝(k ＋1)2.(因为k ≥3，那么k －3≥0，k ＋1>0)所以2k＋1＋2>(k＋1)2，故当n＝k＋1时，原不等式也成立.根据(1)(2)知，原不等式对于任何n∈N＋都成立.1.本例中，针对目的k2＋2k＋1，由于k的取值范围(k≥1)太大，不便于缩小.因此，用增加奠基步骤(把验证n＝1扩大到验证n＝1,2,3)的方法，使假设中k的取值范围适当缩小到k≥3，促使放缩成功，到达目的.2.利用数学归纳法证明数列型不等式的关键是由n＝k到n＝k＋1的变形.为满足题目的要求，常常要采用“放〞与“缩〞等手段，但是放缩要有度，这是一个难点，解决这个难题一是要仔细观察题目构造，二是要靠经历积累.[再练一题]4.设x＞－1，且x≠0，n为大于1的自然数，用数学归纳法证明(1＋x)n＞1＋nx.【证明】(1)当n＝2时，由x≠0，知(1＋x)2＝1＋2x＋x2＞1＋2x，因此n＝2时命题成立.(2)假设n＝k(k≥2为正整数)时命题成立，即(1＋x)k＞1＋kx，那么当n＝k＋1时，(1＋x)k＋1＝(1＋x)k(1＋x)＞(1＋kx)(1＋x)＝1＋x＋kx＋kx2＞1＋(k＋1)x.即n＝k＋1时，命题也成立.由(1)(2)及数学归纳法知原命题成立.不等式中的探究、猜测、证明探究2【提示】 利用数学归纳法解决探究型不等式的思路是先通过观察、判断，猜测出结论，然后用数学归纳法证明.这种分析问题和解决问题的思路是非常重要的，特别是在求解存在型或探究型问题时.假设不等式1n ＋1＋1n ＋2＋1n ＋3＋…＋13n ＋1>a 24对一切正整数n 都成立，求正整数a 的最大值，并证明你的结论.【导学号：38000060】【精彩点拨】 先通过n 取值计算，求出a 的最大值，再用数学归纳法进展证明，证明时，根据不等式特征，在第二步，运用比差法较方便.【自主解答】 当n ＝1时，11＋1＋11＋2＋13×1＋1>a 24，那么2624>a24，∴a <26. 又a ∈N ＋，∴取a ＝25. 下面用数学归纳法证明1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524. (1)n ＝1时，已证.(2)假设当n ＝k 时(k ≥1，k ∈N ＋)，1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1>2524， ∴当n ＝k ＋1时，1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3＋13(k ＋1)＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋1＋⎝ ⎛ 13k ＋2＋13k ＋3＋⎭⎪⎫13k ＋4－1k ＋1 >2524＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤13k ＋2＋13k ＋4－23(k ＋1). ∵13k ＋2＋13k ＋4＝6(k ＋1)9k 2＋18k ＋8>23(k ＋1)，∴13k ＋2＋13k ＋4－23(k ＋1)>0，∴1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13(k ＋1)＋1>2524也成立.由(1)(2)可知，对一切n ∈N ＋， 都有1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n ＋1>2524，∴a 的最大值为25.1.不完全归纳的作用在于发现规律，探究结论，但结论必须证明.2.此题中从n ＝k 到n ＝k ＋1时，左边添加项是13k ＋2＋13k ＋3＋13k ＋4－1k ＋1，这一点必须清楚.[再练一题]5.设a n ＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N ＋)，是否存在n 的整式g (n )，使得等式a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝g (n )(a n －1)对大于1的一切正整数n 都成立？证明你的结论.【解】 假设g (n )存在，那么当n ＝2时， 由a 1＝g (2)(a 2－1)，即1＝g (2)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1，∴g (2)＝2； 当n ＝3时，由a 1＋a 2＝g (3)(a 3－1)， 即1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＝g (3)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13－1，∴g (3)＝3，当n ＝4时，由a 1＋a 2＋a 3＝g (4)(a 4－1)， 即1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＝g (4)⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋14－1，∴g (4)＝4，由此猜测g (n )＝n (n ≥2，n ∈N ＋).下面用数学归纳法证明：当n ≥2，n ∈N ＋时，等式a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝n (a n －1)成立.(1)当n ＝2时，a 1＝1，g (2)(a 2－1)＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋12－1＝1， 结论成立.(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N ＋)时结论成立，即a 1＋a 2＋a 3＋…＋a k －1＝k (a k －1)成立，那么当n ＝k ＋1时，a 1＋a 2＋…＋a k －1＋a k＝k (a k －1)＋a k ＝(k ＋1)a k －k＝(k ＋1)a k －(k ＋1)＋1＝(k ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫a k ＋1k ＋1－1＝(k ＋1)(a k ＋1－1)， 说明当n ＝k ＋1时，结论也成立，由(1)(2)可知，对一切大于1的正整数n ，存在g (n )＝n 使等式a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n －1＝g (n )(a n －1)成立.[构建·体系]1.用数学归纳法证不等式：1＋12＋14＋…＋12n －1＞12764成立，起始值至少取( )A.7B.8C.9D.10【解析】 左边等比数列求和S n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 1－12＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＞12764， 即1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＞127128，⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＜1128，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ＜⎝ ⎛⎭⎪⎫127，∴n ＞7， ∴n 取8，选B.【答案】 B2.用数学归纳法证明2n ≥n 2(n ≥5，n ∈N ＋)成立时第二步归纳假设的正确写法是( )A.假设n ＝k 时命题成立B.假设n ＝k (k ∈N ＋)时命题成立C.假设n ＝k (k ≥5)时命题成立D.假设n ＝k (k >5)时命题成立【解析】 由题意知n ≥5，n ∈N ＋，故应假设n ＝k (k ≥5)时命题成立.【答案】 C3.用数学归纳法证明不等式1n ＋1＋1n ＋2＋…＋12n >1314(n ≥2，n ∈N ＋)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时不等式左边( )【导学号：38000061】A.增加了一项12(k ＋1)B.增加了两项12k ＋1，12k ＋2 C.增加了两项12k ＋1，12k ＋2，但减少了一项1k ＋1D.以上各种情况均不对【解析】 ∵n ＝k 时，左边＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋12k ，n ＝k ＋1时，左边＝1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2， ∴增加了两项12k ＋1，12k ＋2，少了一项1k ＋1.【答案】 C4.用数学归纳法证明“2n ＋1≥n 2＋n ＋2(n ∈N ＋)〞时，第一步的验证为________.【解析】 当n ＝1时，21＋1≥12＋1＋2，即4≥4成立.【答案】 21＋1≥12＋1＋25.试证明：1＋12＋13＋ (1)<2n (n ∈N ＋). 【证明】 (1)当n ＝1时，不等式成立.(2)假设n ＝k (k ≥1，k ∈N ＋)时，不等式成立，即1＋12＋13＋ (1)<2k . 那么n ＝k ＋1时，⎝⎛⎭⎪⎫1＋12＋13＋…＋1k ＋1k ＋1 <2k ＋1k ＋1＝2k (k ＋1)＋1k ＋1< k ＋(k ＋1)＋1k ＋1＝2k ＋1. 这就是说，n ＝k ＋1时，不等式也成立.根据(1)(2)可知，不等式对n ∈N ＋成立.我还有这些缺乏：(1)(2) 我的课下提升方案：(1)(2)。
数学课件：3.2 用数学归纳法证明不等式贝努利不等式
1 + 3(������ + 1) + 1 =
������
1 +
1
+
������
1 +
2
+
…
+
1 3������ +
1
1
1
1
1
+ 3������ + 2 + 3������ + 3 + 3������ + 4 - ������ + 1
25
1
1
2
> 24 + 3������ + 2 + 3������ + 4 - 3(������ + 1) .
1
1
1 25
������ + 1 + ������ + 2 + ⋯ + 3������ + 1 > 24,
则当 n=k+1 时,
1
1
1
1
1
(������ + 1) + 1 + (������ + 1) + 2 + ⋯ + 3������ + 1 + 3������ + 2 + 3������ + 3
题型一 题型二 题型三
用数学归纳法证明数列型不等式
【例 1】
已知数列{an}满足
a1
=
3 2
,
且an=
3������������������-1 2������������-1+������-1
(n≥2,n∈
N*).
用数学归纳法证明不等式举例
6k＋1 1 1 2 ∵ ＋ ＝ 2 > ， 3k＋2 3k＋4 9k ＋18k＋8 3k＋1 1 1 2 ∴ ＋ － >0， 3k＋2 3k＋4 3k＋1 1 1 1 25 ∴ ＋ ＋…＋ > 也成立． k＋1＋1 k＋1＋2 3k＋1＋1 24
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数学[新课标· 选修4-5]
1 设0<a<1，定义a1＝1＋a，an＋1＝ ＋a， an 1 求证：对一切正整数n∈N ，有1<an< . 1－a 【证明】 (1)当n＝1时，a1＝1＋a，且0<a<1，
*
∴a1>1. 1 又a1＝1＋a< ， 1－a 因此当n＝1时， 1 不等式1<an< 成立． 1－a
k
∴当n＝k＋1时不等式也成立． 据①、②知对任何n∈N*原不等式均成立．
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数学[新课标· 选修4-5]
证明：2n＋2>n2(n∈N*)．
【思路探究】 验证n＝1,2,3时不等式成立⇒假设n＝k成
立，推证n＝k＋1⇒n＝k＋1成立，结论得证
【自主解答】 左边>右边；
【思路探究】 先通过n取值计算，求出a的最大值，再用
数学归纳法进行证明，证明时，根据不等式特征，在第二步， 运用比差法较方便．
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数学[新课标· 选修4-5]
【自主解答】 26 a 则24>24， ∴a<26. 又a∈N*， ∴取a＝25.
1 1 1 a 当n＝1时， ＋ ＋ > ， 1＋1 1＋2 3×1＋1 24
如何应用数学归纳法证明不等式
如何应用数学归纳法证明不等式数学归纳法是一种常见的数学证明方法，通过证明初始情况成立和任意情况都成立，来证明一般情况成立。
在不等式证明中，也可以应用数学归纳法。
本文将介绍如何应用数学归纳法证明不等式。
第一步，证明初始情况成立。
通常，需要选取一个最小的自然数来作为初始情况，然后证明不等式在该自然数下成立。
以证明$a^n-1$能够被$(a-1)$整除为例。
当$n=1$时，$a^1-1=a-1$，由于$a-1$显然能够整除$a-1$，因此初始情况成立。
第二步，假设任意情况成立。
即假设当$n=k(k \in N^*)$时，$a^k-1$能够被$(a-1)$整除。
第三步，证明一般情况也成立。
即证明当$n=k+1$时，$a^{k+1}-1$也能够被$(a-1)$整除。
由于$a^{k+1}-1 = a^k \cdot a - 1 = (a^k-1) \cdot a + (a-1)$，而根据假设，$a^k-1$能够被$(a-1)$整除，因此$a^{k+1}-1$也能够被$(a-1)$整除。
通过上述三步，我们得到了$a^n-1$能够被$(a-1)$整除。
类似的，可以应用数学归纳法证明其他的不等式。
例如证明$1+2+...+n=\frac{n(n+1)}{2}$，我们可以选取$1$作为初始情况；假设当$n=k(k \in N^*)$时，$1+2+...+k=\frac{k(k+1)}{2}$；然后证明当$n=k+1$时，$1+2+...+k+(k+1)=\frac{(k+1)(k+2)}{2}$。
当然，在进行数学归纳法证明时，选择初始情况和需要证明的语句都需要谨慎选择。
总结一下，数学归纳法是一种常见的数学证明方法，可以应用在不等式证明当中。
通过证明初始情况成立、假设任意情况成立、证明一般情况也成立这三步，可以有效地证明不等式。
数学归纳法
那么，当n=k+1时
左＝1+3+5+…+(2k1)＋[2(k+1)-1]
=k2+2k+1=(k+1)2=右
即n=k+1时命题成立 由(1)、(2)可知等式对任何nN*都成立
证明:1+3+5+…+(2n1)=n2 . 如下证明对吗？
证明: ①当n=1时,左边＝1，右边＝12＝1 ∴n=1时,命题成立. ②设n=k时,有 1 3 5 (2k 1) k 2 ,
平面内有n(n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条 不过同一点，证明：它们的交点的个数为f(n)＝ 证明：(1)当n＝2时，两条直线的交点只有一个， 又f(2)＝ ×2×(2－1)＝1， .
因此，当n＝2时，命题成立． (2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时命题成立，就是说，平面内满 足题设的任何k条直线的交点的个数f(k)＝ k(k－1)．现在 来考虑平面内有k＋1条直线的情况．任取其中的一条直线， 记为l(如下图所示)．由上述归纳法的假设，除l以外的其他k 条直线的交点个数为f(k)＝ k(k－1)．
∴能被x＋y整除．
(2)假设n＝k(k≥1，且k∈N＋)时，
x2k－y2k能被x＋y整除，
当n＝k＋1时，
即x2k＋2－y2k＋2＝x2· x2k－x2y2k＋x2y2k－y2· y 2k
＝ x 2(x2k－ y2k) ＋ y2k( x2－ y 2) ．
∵x2k－y2k与x2－y2都能被x＋y整除， ∴x2(x2k－y2k)＋y2k(x2－y2)能被x＋y整除． 即n＝k＋1时，x2k＋2－y2k＋2能被x＋y整除． 由(1)(2)可知，对任意的正整数n命题均成立．
数学归纳法证明一类不等式的应变策略
甘肃
夏燕 军
综 上可 知 ， 对 一切 ∈Ｎ ， 有 ＜√ ＋ ．
Ｚ 减 少 厂 吊取 ， 堇 Ｉ 酉上 限 或 瑁 ｆ 、 限
对 于一 端为 常数 的数 列不 等式 ， 有 时 直接 用 数 学
归 纳法来 证 ， 归纳 过 渡往往 困难 很 大 ， 几乎 无 从 下 手 ，
可 谓“ 山重 水复 疑无路 ” ， 然 而 只要 紧扣 “ 常数” 进 行 命
题 变换 ， 往 往会 “ 柳 暗花 明又一 村 ” ． １ 增 加常 数 ， 添上 限或添 下 限
例ｉ 设 ０ ＜口 ＜１ ， ｎ 一１ ＋ａ ￣ ａ ｎ ＋ １ 一 ＋口 （ ｎ ≥
１ ） ． 求证 ： 对 一切 ∈Ｎ ， 有 ａ ＞１ ． 分析 假设 口 ＞１ ， 则由 ａ … 一 ＋口很 难 证 明
，
解
（ １ ）当 一１时 ， 命 题成 立．
口 ＜ １＋ 口＜ ｌ ＿
．
故 当 一是 ＋１时 ， 命 题 成立 ． 一一
综上 可 知 ， 对 一 切 ∈Ｎ ， 有 口 ＞】 ．
（ ２ ） 假 设 当 一 是 时 ， 命 题 成 立 ， 即 专 ＋ ＋ … ＋ ≤２ 一ｉ １ 则 当 — ｋ ＋ ｌ 时 ， 古 ＋ ＋ … ＋ ＋
成 立．
为÷ ＋ ｆ （ ） ． 只需 证 ｌ ｃ ｏ ｓ ｌ ＋Ｉ Ｃ Ｏ Ｓ ２ ｘ Ｊ ＋… ＋
Ｊ 叹立．
（ ２ ）假设 当 ｍ＝ｋ（ 忌 ≥２ ） 时， 不等式②成立 ， 即
Ｉ ｃ ｏ ｓ ２ ＂ ｘ Ｉ ≥寺＋厂 （ ） ．
一
：
＜忌 ＋１ ．
由Ｉ ｃ ｏ ｓ Ｘｌ ＋ｌ ｃ ｏ ｓ ２ ｘｌ ＋ …＋ Ｉ Ｃ ： Ｏ Ｓ ２ ｋ ｘ ｌ ≥百 １＋厂 （ ） 及Ｉ ｃ ｏ ｓ Ｉ ＋ｌ Ｃ Ｏ Ｓ ２ ｘｌ ＋…＋ Ｉ ｃ ｏ ｓ ２ 抖 ｚ Ｉ ≥寺＋， （ 蜃 ） ＋
高中数学第四讲数学归纳法证明不等式1数学归纳法素材
4。
1 数学归纳法庖丁巧解牛知识·巧学一、数学归纳法的定义证明某些与自然数有关的数学题,可用下列方法来证明它们的正确性：(1)验证当n取第一个值n0(例如n0=1)时命题成立，（2)假设当n=k(k∈N＊，k≥n0）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。
完成这两步,就可以断定这个命题对从n0开始的所有正整数n都成立.这种证明方法叫做数学归纳法。
从数学归纳法的定义我们可以看出,它强调的就是两个基本步骤.数学归纳法的两个步骤，是问题的两个方面，一个是命题成立的基础,一个是命题之间可递推的依据，二者缺一不可。
缺步骤（2），则证明就是“一叶障目，以一代全”不能保证命题对所有的自然数n 都成立；而缺步骤（1），则证明就成了“空中楼阁"，也难以保证命题对所有自然数n都成立.我们通常称第（1)步为奠基步骤。
记忆要诀总结以上的分析,归纳如下：“奠基步骤不能少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉."如果同学们能正确地理解了数学归纳法证明的要义,才能轻松自如地运用它，而不致误用.误区警示数学归纳法的两个步骤,是问题的两个方面，一个是命题成立的基础，一个是命题之间可递推的依据，二者缺一不可.疑问：既然第(2）步已经证明了任两个连续自然数对应的命题的递推关系,那么第（1）步是否是多余的？请看如下例子：对于欲证的命题:1+2+3+…+n=21n （n+1）+1。
第二步证明为:若n=k 时命题成立，即1+2+3+…+k=21k(k+1)+1, 则当n=k+1时，1+2+3+…+k+（k+1)=21k （k+1)+1+（k+1）=21(k+1）(k+2）+1,即当n=k+1时命题也成立.但我们会发现：当n=1时，左式=1，右式=2，显然命题不成立。
辨析比较归纳法与数学归纳方法我们在研究问题时，还常常用到如下的一种思维方法，即从特殊到一般的思维方法，举例如下：1=12,1+2+1=4=22,1+2+3+2+1=9=32,1+2+3+4+3+2+1=16=42， …,我们由此发现并得出如下结论： 1+2+3+…+（n-1）+n+（n —1）+…+3+2+1=n 2（n ∈N ）.这就是考察具有1+2+3+…+(n —1)+n+（n —1)+…+3+2+1特征的某几个式子的数值后，发现了蕴含其中的共性之后而得到的一个结论。
数学归纳法证明不等式
01
02
03
例子一：n=5时的情况
假设n=10时，不等式成立，即$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 + a_8 + a_9 + a_{10} geq b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5 + b_6 + b_7 + b_8 + b_9 + b_{10}$。
02
CHAPTER
数学归纳法证明不等式的步骤
验证基础情况
首先验证n=1时，不等式是否成立。
基础情况成立
如果基础情况成立，则可以继续进行归纳步骤。
初始步骤
归纳步骤
归纳假设
假设当n=k时，不等式成立，即$P(k)$成立。
归纳推理
基于归纳假设，推导当n=k+1时，不等式也成立，即$P(k+1)$成立。
应用归纳假设
在归纳推理过程中，需要利用归纳假设$P(k)$来推导$P(k+1)$。
要点一
要点二
完成归纳
当归纳步骤完成后，可以得出结论，对于任意正整数n，不等式都成立。
归纳假设的应用
03
CHAPTER
应用数学归纳法证明不等式的例子
假设n=5时，不等式成立，即$a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 geq b_1 + b_2 + b_3 + b_4 + b_5$。
确定数列的通项公式
通过数学归纳法，可以证明数列的通项公式，进而研究数列的性质和规律。
不等式的推导和证明方法
不等式的推导和证明方法不等式是数学中不可或缺的一个概念，它用于表示数值之间的关系。
不等式的形式可以很简单，例如$x>2$，也可以非常复杂，例如 $\sqrt{x^2+y^2}>\frac{x+y}{2}$。
在解决各类数学问题时，推导和证明不等式的方法是非常重要的一步。
本文将介绍一些常见的不等式的推导和证明方法。
一、数学归纳法数学归纳法是一种证明数学命题的通用方法。
若要证明某个命题对于自然数 $n$ 成立，则需要证明该命题在 $n=1$ 时成立，并证明若该命题在 $n=k$ 时成立，则该命题在 $n=k+1$ 时也成立。
不等式的证明中，归纳法常常被用于证明柯西不等式、阿贝尔不等式等一些数列不等式。
例如，考虑柯西不等式：$(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2)\geq(a_1b _1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n)^2$。
对于 $n=1$，该不等式显然成立。
假设对于 $n=k$ 时该不等式成立，即$$(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_k^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_k^2)\geq(a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_kb_k)^2$$现在考虑 $n=k+1$ 时该不等式是否成立。
根据柯西不等式，有\begin{align*}&(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_{k+1}^2)(b_1^2+b_2^2+\cdots+b_{k+1 }^2)\\=&[(a_1^2+a_2^2+\cdots+a_k^2)+a_{k+1}^2][(b_1^2+b_2^2+\cd ots+b_k^2)+b_{k+1}^2]\\\geq&(a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_kb_k+a_{k+1}b_{k+1})^2\end{align*}因此，该命题对于 $n=k+1$ 成立，由数学归纳法可知对于所有$n\in\mathbb{N}$，柯西不等式成立。
用数学归纳法证明不等式课件 选修4-5
2k＋1 2k＋3 357 ··· „· · 246 2k 2k＋1 2k＋3 ＞ k＋1· ＝ 2k＋1 ＝ k＋2 2k＋32 4k＋1
4k2＋12k＋9 ＞ k＋2. 4k2＋12k＋8
2n＋1 357 因此不等式2··· 2n ＞ n＋1 4 6 „· 对于一切 n∈N*都成立．
n＋1(n∈N*)．
[思维启迪] 由条件第一问可通过数列的有关知识来证明进而 求出an通项公式，然后求bn的通项公式，最后用数学归纳法 证明要证的结论即可．
解 (1)由an＋1＝an＋2n＋1得 (an＋1－2n＋1)－(an－2n)＝1， 因此{an－2n}成等差数列．
(2)an－2n＝(a1－2)＋(n－1)＝n－1，即an＝2n＋n－1，
任意n都成立．n＝1、2时也成立即可解得第一问，并归纳出
通项公式，然后用数学归纳法证明之．第二问列出式子发现 用裂相法与放缩法即可证明．比用数字归纳法简便．
(1)解 由条件得 2bn＝an＋an＋1，a2＋1＝bnbn＋1. n 由此可得 a2＝6，b2＝9，a3＝12，b3＝16，a4＝20，b4＝25. 猜测 an＝n(n＋1)，bn＝(n＋1)2. 用数学归纳法证明： ①当 n＝1 时，由上可得结论成立． ②假设当 n＝k 时，结论成立， 即 ak＝k(k＋1)，bk＝(k＋1)2，那么当 n＝k＋1 时，
自学导引 1．贝努利不等式：设x>－1，且x≠0，n为大于1的自然数， 则 (1＋x)n>1＋nx . 2．贝努利不等式的更一般形式： 当α为实数，并且满足α＞1或者α＜0时，有(1＋x)α≥1＋ αx(x＞－1)；
当α为实数，并且满足0＜α＜1时，有(1＋x)α≤1＋αx(x＞
－1)．
基础自测 1．用数学归纳法证明3n≥n3(n≥3，n∈N)第一步应验证 ( )．
5.3数学归纳法证明不等式1 课件(人教A版选修4-5)
练习：用数学归纳法证明不等式 sin n ≤ n sin
练习：用数学归纳法证明不等式 sin n ≤ n sin
证明:⑴当 n 1 时,上式左边 sin 右边,不等式成立.
⑵设当 n k (k ≥ 1) 时,不等式成立,即有 sin k ≤ k sin . 那么,当 n k 1 时, sin( k 1) =
课外训练:
能被 8 整除.
作业:课本 P 6 题 54 明天开始复习不等式(使用发的资料).
答案
1.求证:
1 3 1 5 证:(1)当n=1时,左边= 1 2 ,右边= 2 ,由于 2 2 2 4 5 3 ,故不等式成立. 4 2
1 1 1 1 1 2 2 2 2 ( n N , n ≥ 2). 2 3 n n
证明:⑴当 n 1 时,有 a1 1 ，命题成立. ⑵ 设 当 n k (k≥1) 时 ， 命 题 成 立 ， 即 若 k 个 正数 a1 , a2 , , ak 的乘积 a1a2 ak 1 ,那么它们的和 a1 a2 ak ≥ k . 那么当 n k 1 时 ,已知 k 1 个正 数 a1 , a2 , , ak , ak 1 满 足 a1a2 ak ak 1 1 .
(2)假设n=k( k N , k ≥ 2)时命题成立,即
1 1 1 1 1 2 2 2 2 . 2 3 k k
则当n=k+1时,
1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 ( ) 2 . 2 k ( k 1) k k (k 1) k k k 1 k 1 即当n=k+1时,命题成立. 由(1)、(2)原不等式对一切 n N , n ≥ 2都成立.
2014年人教A版选修4-5课件 2.用数学归纳法证明不等式
1 (2) 求满足不等式 (1 + )n n 的正整数 n 的范围. 2. n 解: (2) 经计算, (1 + 1 )3 = 64 3, 3 27 1 猜想: 当 n≥3 时, (1 + )n n. n 证明: ① 当 n=3 时, 已验证不等式成立. ② 假设 n=k (k≥3) 时, 不等式成立, 那么当 n=k+1 时, (1 + 1 )k +1 = (1 + 1 )k (1 + 1 ) k +1 k +1 k +1 (1 + 1 )k (1 + 1 ) (放缩) k k +1 k(1 + 1 ) (假设) k +1 =k+ k k +1
(2) 假设 n=k 时, 2k≥2k 成立,
(下面是要用这个假设推出 2k+1≥2(k+1). )
那么当 n=k+1 时, 2k+1=22k ≥2(2k) =2(k+k)≥2(k+1). (这里用了放缩: k≥1) 注意适当放缩. 即 n=k+1 时, 不等式也成立. 由(1)(2)知, 对一切正整数 n, 2n≥2n 都成立. (与等式证明相比较, 你认为证明不等式应注意什么?)
一 数学归纳法 二 用数学归纳法证明不等式
(第一课时)
第一课时 第二课时
1. 数学归纳法证明不等式与证明等式有 什么不同? 2. 与等式证明相比, 数学归纳法证明不 等式的+) 成立与否? 能对你的判断 进行证明吗? n=1 时, 左边=2, 右边=2, 不等式成立. n=2 时, 左边=4, 右边=4, 不等式成立.
第 2 题.
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则当n=k+1时,有
1-2+4-8+…+(-1)k-1·2k-1+(-1)k·2k
1 2
k 1
1 2
1 2 3 3
k 1
k 1 k 1 1 1 k 1 2 k 2 1 1 . 3 3 3 3
这就是说,当n=k+1时,等式也成立. 由(1)与(2)知,对任意n∈N+等式成立.
1 2
2n 1
(n∈N*)当n=1时为 1＋ 1 ＋1
2 3n 1
3
D.设f(n)= 1 ＋ 1 ＋＋ 1
n 1 n2 1 1 1 f k ＋ ＋ ＋ 3k 2 3k 3 3k 4
(n∈N *),则f(k+1)=
【解析】选C.A.式子1+k+k2+„+kn(n∈N*)当n=1时应为 1+k,故A不正确;B.式子1+k+k2+„+kn-1(n∈N*)当n=1时
2.用数学归纳法证明“(n+1)(n+2)·…·(n+n) =2n·1·3·…·(2n-1)”,当“n从k到k+1”左端需
增乘的代数式为(
A.2k+1
2k 1 C. k 1
)
B.2(2k+1)
2k 3 D. k 1
【解析】选B.当n=k时,左端=(k+1)(k+2)(k+3)„(2k), 当n=k+1时,左端=(k+2)(k+3)…(2k)(2k+1)(2k+2),
少步骤②,就作出判断可能得出不正确的结论.因为单 靠步骤①,无法递推下去,即n取n0以后的数时命题是否
正确,我们无法判定.同样,只有步骤②而缺少步骤①时,
也可能得出不正确的结论,缺少步骤①这个基础,假设 就失去了成立的前提,步骤②也就没有意义了.
【归纳总结】 1.数学归纳法的适用范围
数学归纳法可以证明与正整数有关的命题,但是,并不
第四讲 用数学归纳法证明不等式
一 数学归纳法
【自主预习】 1.数学归纳法的定义
一般地,当要证明一个命题对于不小于某正整数n0的
所有正整数n都成立时,可以用以下两个步骤: n=n0 时命题成立. (1)证明当____
n=k(k∈N+,且k≥n0) 时命题成立,证明______ n=k+1 (2)假设当__________________ 时命题也成立.
即n=k+1时,命题也成立. 由①②知命题对n∈N+都成立.
【方法技巧】利用数学归纳法证明恒等式的注意点 利用数学归纳法证明代数恒等式时要注意两点:一是要
准确表达n=n0时命题的形式,二是要准确把握由n=k到
n=k+1时,命题结构的变化特点.并且一定要记住:在证 明n=k+1成立时,必须使用归纳假设.
故当“n从k到k+1”左端需增乘的代数式为 2k 1 2k 2
k 1
=2(2k+1).
【知识探究】 探究点 数学归纳法
1.数学归纳法的第一步n的初始值是否一定为1?
提示:不一定.
2.在用数学归纳法证明数学命题时,只有第一步或只有 第二步可以吗?为什么?
提示:不可以.这两个步骤缺一不可,只完成步骤①而缺
在完成了这两个步骤后,就可以断定命题对于不小于n0
的所有正整数都成立,这种证明方法称为数学归纳法.
2.数学归纳法的步骤
【即时小测】 1.下列四个判断中,正确的是 ( )
A.式子1+k+k2+…+kn(n∈N*)当n=1时为1
B.式子1+k+k2+…+kn-1(n∈N*)当n=1时为1+k
C.式子 1＋ 1 ＋＋ 1
【变式训练】1.用数学归纳法证明“1+a+a2+…+an+1
n 2 1 a *”,在验证n=1成立时,左边计算 = a≠1,n∈N ， 1 a
所得项是
A.1
(பைடு நூலகம்
B.1+a
)
C.1+a+a2 D.1+a+a2+a3
【解析】选C.因为n=1时,n+1=2,所以左边计算所得
项是1+a+a2
2.看下面的证明是否正确,如果不正确,指出错误的原 因,并加以改正.
【解析】(1)由a1=1,得a2=3+1=4,a3=32+4=13. (2)用数学归纳法证明:
①当n=1时,a1=1=
31 1 2
,所以命题成立.
3k 1 2
②假设n=k(k∈N+,k≥1)时命题成立,即ak= 那么当n=k+1时,
,
ak+1=ak
+3k=
3k 1 k 3k 1 2 3k 3k 1 1 3 . 2 2 2
段,或从归纳假设出发,从p(k+1)中分离出p(k)再进行 局部调整.
类型一
利用数学归纳法证明恒等式
【典例】已知数列{an}满足a1=1,an=3n-1+an-1 (n≥2,n∈N+) (1)求a2,a3.
n 3 (2)求证:an= 1 . 2
【解题探究】本例中当n=k+1时,ak+1与ak的关系式是什 么? 提示:由an=3n-1+an-1可知ak+1=3k+ak.
用数学归纳法证明:
2n 1 . 3 3 证明:(1)当n=1时,左边=1,右边= 2 1 =1,等式成立. 3 3
1-2+4-8+…+(-1)n-1·2n-1=(-1)n-1·
(2)假设n=k时,等式成立,即1-2+4-8+…+(-1)k-12k-1 =(-1)k-1·
2k 1 . 3 3
【解析】从上面的证明过程可以看出,是用数学归纳法 证明等式成立.在第二步中,证n=k+1时没有用上假设,
能简单地说所有涉及正整数n的命题都可以用数学归纳 法证明.
2.数学归纳法中两步的作用 在数学归纳法中第一步“验证n=n0时命题成立”是奠
基,是推理证明的基础,第二步是假设与递推,保证了推
理的延续性.
3.运用数学归纳法的关键 运用归纳假设是关键,在使用归纳假设时,应分析p(k)
与p(k+1)的差异与联系,利用拆、添、并、放、缩等手
1 1 1 1 应为1,故B不正确;C.式子 ＋ ＋ ＋＋ (n∈N*) 1 2 3 2n 1 当n=1时为 1＋ 1 ＋1， 正确; 2 3 D.设f(n)= 1 ＋ 1 ＋＋ 1 (n∈N *),则f(k+1)= n 1 n 2 3n 1 1 1 1 1 f k ＋ ＋ ＋ ， 故D不正确. 3k 2 3k 3 3k 4 k 1