湖南省长郡中学2019届高三月考(一)数学理试题

长郡中学2019届高三月考试卷(一)数 学(理科)总分:150分 时量:120分钟一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将所选答案填在答题卡中对应位置.1.如果复数212bii-+(其中i 为虚数单位,b 为实数)的实部和虚部互为相反数,那么b = ( )A. B. 23 C. 23- D. 2【解】选由222(4)125bi b b i i ---+=+,依题有2240b b ---=,即23b =-. 2.用简单随机抽样的方法从含有100个个体的总体中依次抽取一个容量为5的样本,则个体m 被抽到的概率为( )A.1100 B.120 C.199D.150 【解】选 由抽样的公平性可知,每个个体入样的概率均为5110020P ==. 3.设偶函数满足()24(0)x f x x =-≥,则{|()0}x f x >=( ) A. {|24}x x x <->或 B. {|04}x x x <>或 C. {|22}x x x <->或D. {|06}x x x <>或【解】选 当0x ≥时,由()240x f x =->,得2x >,由图象对称性可知选C. 4.若21()n x x-展开式中的所有二项式系数之和为512,则该开式中常数项为( ) A. 84-B. 84C. 36-D. 36【解】选 由二项式系数之和为2512n =,即9n =,又18319(1),r r r r T C x -+=- 令1830r -=,则6r =故常数项为784T =.5.设条件:|2|3p x -<,条件:0q x a <<,其中a 为正常数.若p 是q 的必要不充分条件,则a的取值范围是( ) A. (0,5]B. (0,5)C.[5,+∞)D. (5,+∞) 【解】选 由条件p 对应的集合为(1,5)A =-,条件q 对应(0,)(0)B a a =>.且依题意A B =≠=⊃, 可知5a ≤,又0a >,故05a <≤.否 开始 输入x6.按照如图所示的程序运行,已知输入的x 的值为21log 3+, 则输出y 的值为( )A. 112 B.38 C. 712D. 1124【解】选由于输入的初始值为21log 34+<,故 221log 312log 3x =++=+,即2log 3211111()()224312y =⨯=⨯=.故选A.7.已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示, 则该几何体的体积为( )A.B.C.D.【解】选 由该几何体的三视图可以借用长方体将其还原 为直观图如右所示,(由简到繁)由俯视图→侧视图→正视图→直观图, 其为四棱锥P ABCD -, 所以13P ABCD ABCD V S -==矩选B.8.设2(),0,()1,0x a x f x x a x x -≤⎧⎪=⎨++>⎪⎩,若(0)f 是()f x 的最小值,则a 的取值范围为( ) A. [-1,2]B. [-1,0]C. [1,2]D. [0,2]【解】选当0a <时,显然(0)f 不是()f x 的最小值,当0a ≥时,可知0x ≤时, 2()(0)f x f a ≥=,而当0x >时,1()2f x x a a x=++≥+,依题意22a a +≥,得12a -≤≤, 所以02a ≤≤即求.9.已知锐角A 是ABC ∆的一个内角,,,a b c 是三角形中各角的对应边,若221sin cos 2A A -=,则下列各式正确的是( ) A. 2b c a +=B. 2b c a +<C. 2b c a +≤D. 2b c a +≥【解】选由221sin cos 2A A -=得,1cos22A =-,又A 为锐角,故02A π<<, 于是223A π=,即3A π=.于是由余弦定理有2222()3a b c bc b c bc =+-=+-, 正视图112222侧视图俯视图即22223()()()44b c a b c b c +≥+-+=,解得2a b c ≥+,选C.【一点开心】事实上在ABC ∆中,如果三边,,a b c 成等差或等比数列,即22b a c b ac =+=或, 那么我们都可以结合重要不等式知识得到60B ≤.10.如图,圆O 的半径为1,A是圆上的定点,P 是圆上的动点,角x 的始边为射线OA ,终边为射线OP ,过点P 作直线 OA 的垂线,垂足为M ,将点M 到直线OP 的距离表示为x 的函数()f x ,则()y f x =在[0,]π上的图象大致为( )【解】选 由OP HM PM OM ⋅=⋅,于是HM PM OM =⋅,由三角函数线有,1|s i n ||c o s ||s i n 2|2H M x x x =⋅=,于是1()|sin2|2f x x =的最大值为1,22T π=,故选C.二、填空题:本大题共5小题,共25分,把答案填在答题卡中对应题号后的横线上. 11.已知直线的极坐标方程为sin()4πρθ+=则极点到直线的距离为 . 【解】填2 由sin()42πρθ+=化为直角坐标方程为1x y +=,于是极点 (0,0)O 到该直线的距离为d ==即求. 12.设,,x y z 均为正数,满足230x y z -+=,则2y xz的最小值是 .由230x y z -+=可化为23y x z =+,得224(3)43y x z x z =+≥⋅,其中运用了重要不等式的变形式2()4,,a b ab a b R +≥∈,故23y xz≥(当3x z =时取等号). 13.数列{}n a 的前n 项和为n S ,若*111,3,n n a a S n N +==∈,则2014a = . 若填为201234⋅形式则视为错误,0.由*111,3,n n a a S n N +==∈……①,可推出,21133,3,2n n a a a S n -===≥……② ①-②式得,14,2n n a a n +=≥,于是224n n a a -=⨯,2n ≥,故2012201434a =⨯. 注意定义域了吗?A yB yC y D14.若,x y 满足约束条件10,22,2x y y x y +-≥⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩,且z kx y =+取得最小值的点有无数个,则k = .首先作出可行域如右图: 0k -≠,所以①当0k ->,即0k <时,依题意有目标直线//l BC 时,当其运动至与BC 重合时,最优解有无数个,符合题意,即2k -=,即2k =-; ②同理当0k -<,即0k >时,必有//l AB ,即1k -=-,即1k =, 综上①②可知,1k =或 2-为所求.15.已知椭圆22221(0)x y a b a b +=>>过椭圆上一点M 作直线MA MB 、分别交椭圆于A B 、两点,且斜率为12k k 、,若点A B 、 关于原点对称,则12k k ⋅的值为 .【解】填13-由222619b e a =-=,得2213b a =,如右图所示取BM 中点D ,连结OD ,,2213O D B Mb k ka ⋅=-=-,又//OD AM ,故1OD k k =,即1213k k ⋅=- 【一点开心】显然,本题有一般性结论,即过椭圆2222:1()x y a b a bΓ+=≠的中心的任一条直线l 交椭圆Γ于A B 、两点,P 是椭圆Γ上异于A B 、的任意一点,且当P A P B k k 、都存在时,则有22P A P B b k k a⋅=-.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分12分)2019年巴西世界杯的志愿者中有这样一组志愿者:有几个人只通晓英语,还有几个人只通晓俄语,剩下的人只通晓法语,已知从中任抽一人恰是通晓英语的概率为12,恰是通晓俄语的人的概率为310,且通晓法语的人数不超过3人.(Ⅰ)求这组志愿者的人数;(Ⅱ)现从这组志愿者中选出通晓英语、俄语和法语的志愿者各1人,若甲通晓俄语,乙通晓法语,求甲和乙不全被选中的概率;(Ⅲ)现从这组志愿者中抽取3人,求3人所会的语种数X 的分布列. 【解】(Ⅰ)设通晓英语、俄语、法语人分别有,,x y z 人,且*,,,3x y z N z ∈≤;则依题意有1,23,10x x y z y x y z ⎧=⎪++⎪⎨⎪=⎪++⎩,即,733,x y z y x z =+⎧⎨=+⎩…………………………………………2分By消去x 得,*32zy N =∈,当且仅当2z =时,3y =符合正整数条件, 所以5x =,也即这组志愿者有10人;………………………………………………………3分 (Ⅱ)记事件A 为“甲、乙不全被选中”,则A 的对立事件A 表示“甲、乙全被选中”, 于是1155()1()15326P A P A ⨯⨯=-=-=⨯⨯;…………………………………………………7分(Ⅲ)随机变量X 的可能取值为1,2,3,且由古典概型知33212121535537283310101179(1),(2)120120C C C C C C C C P X P X C C +++====== 11153231030(3)120C C C P X C ===.………………………………………………………………11分 所以随机变量的分布列如下: . ……………………………………………………………12分17.(本小题满分12分) 如图,点A 是单位圆与x 轴的正半轴的交点,点1(2B -. (Ⅰ)若AOB α∠=,求sin 2α;(Ⅱ)设点P 为单位圆上的动点,点Q 满足,OQ OA OP =+2(),62AOP ππθθ∠=≤≤()f OB OQ θ=⋅,求()f θ的取值范围. 【解】(Ⅰ)由三角函数定义可知1sin 2y x r r αα====-, 所以1sin 22sin cos 2()2ααα==-=即求…………………………………5分 (Ⅱ)由三角函数定义知(cos2,sin 2)P θθ,所以(1cos2,sin2),OQ OA OP θθ=+=+所以11()(1cos 2)2sin(2)262f OB OQ πθθθθ=⋅=-++=--, 又因62ππθ≤≤,故52666πππθ≤-≤,即1sin(2)126πθ≤-≤,于是10()2f θ≤≤,所以()f θ的取值范围是1[0,]2.……………………………………12分18.(本小题满分12分)直三棱柱111ABC A B C -中,5,4,3,AB AC BC ===yC 1AB 114AA =,点D 在AB 上.(Ⅰ)若D 是AB 中点,求证:1//AC 平面1B CD ; (Ⅱ)当13BD AB =时,求二面角1B CD B --的余弦值. 【解】(Ⅰ)连接1BC 交1B C 于点E ,连接DE , 因为直三棱柱中侧面11BCC B 为矩形,所以 E 为1BC 的中点,又D 是AB 中点,于是1//DE AC ,且D E ⊂面1B CD ,1AC ⊄面1B CD , 所以1//AC 平面1B CD ;…………………………6分 (Ⅱ)由5,4,3,AB AC BC ===知90ACB ∠=,即AC CB ⊥, 又直三棱柱中1AA ⊥面ABC ,于是以C 为原点建立空间 直角坐标系C xyz -如右图所示,于是1(3,0,0),(3,0,4)B B ,又13BD AB =,由平面几何易知4(2,,0)3D ,显然平面BCD 的一个法向量为1(0,0,1)=n ,又设平面1B CD 的一个法向量为2(,,)x y z =n ,则由212(3,0,4),4(2,,0),3CB CD ⎧⊥=⎪⎨⊥=⎪⎩n n ,得340,4203x x y +=⎧⎪⎨+=⎪⎩, 解得4,23x y =-=,取1z =,则24(,2,1)3=-n ,设二面角1B CD B --的平面角为θ, 则1212||3361|cos |||||61θ⋅===⨯n n n n ,又由图知θ为锐角, 361.…………………………………………………………………12分19.(本小题满分13分)AC DBC 1 AB 1 Eyxz ACDBC 1 AB 1在数列{}n a 中,已知*111,21,n n a a a n n N +=-=-+∈. (Ⅰ)求证:{}n a n -是等比数列; (Ⅱ)令,2nn n na b S =为数列{}n b 的前n 项和,求n S 的表达式. 【解】(Ⅰ)证明:由*111,21,n n a a a n n N +=-=-+∈ 可得11(1)2(),120n n a n a n a +-+=--=-≠所以数列{}n a n -以是-2为首项,以2为公比的等比数列………………………………6分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)得:1222n n n a n --=-⨯=-,所以2n n a n =-,12n n n b =- 所以12221212(1)(1)(1)()222222n n n n n nS b b b n =+++=-+-++-=+++-令212222n n n T =+++,则2311122222n n n T +=+++,两式相减得2311111111122222222n n n n n n nT ++=+++-=--, 所以222n n n T +=-,即222n n n S n +=--…………………………………………………13分20.(本小题满分13分)已知椭圆的一个顶点为(0,1)A -,焦点在x 轴上.若右焦点到直线0x y -+的距离为3.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设椭圆与直线(0)y kx m k =+≠相交于不同的两点M N 、.当||||AM AN =时,求m 的取值范围.【解】(Ⅰ)依题意可设椭圆方程为2221x y a+=,右焦点22(,0),1F c c a =-,3=,得c =故2213a c =+=;故椭圆的方程为2213x y +=………5分(,),(,)M x y N x y MN (,)P x y 可化为212(1)()2(1)0k x x k m ++++=,且120x x +≠……① …………………………8分且122031x x k +=-≠+,得0m ≠……③………………………………………………10分③式代入①式得,226(1)2(1)031kmk k m k -+++=+, 化简得2231m k =+1>,得12m >,又代入②式得,22m m <,解得02m <<,综上可得122m <<,即为所求...…………………………………………………………13分21.(本小题满分13分)已知函数()ln 3()f x a x ax a R =--∈. (Ⅰ)求函数()f x 的单调区间;(Ⅱ)若函数()y f x =的图象在点(2,(2))f 处的切线的倾斜角为45,对于任意的[1,2]t ∈,函数32()[()]2mg x x x f x '=++在区间(,3)t 上总不是单调函数,求m 的取值范围; (Ⅲ)求证:*ln2ln3ln4ln 1(2,)234n n N n n⨯⨯⨯⨯<≥∈.【解】(Ⅰ)由(1)()(0)a x f x x x-'=>,.………………………………………………………1分①当0a >时,显然01x <<时,()0f x '>,当1x >时,()0f x '<,所以此时()f x 的单调递增区间为(0,1),递减区间为(1,)+∞,②同理当0a <时, ()f x 的单调递增区间为(1,)+∞,递减区间为(0,1),③当0a =时,()3f x =-不是单调函数;.……………………………………………………4分(Ⅱ)由题知,(2)12af '=-=,得2a =-,所以()2ln 23f x x x =-+-. 所以32()(2)2,02mg x x x x x =++->,且2()3(4)2,0g x x m x x '=++->,……………6分令()0g x '=时,可知2(4)240m ∆=++>恒成立,即()0g x '=一定有两个不等实根12,x x , 且注意到12203x x =-<,所以不妨设120x x <<,又0x >,于是可知 20x x <<时,()0g x '<,又2x x >时,()0g x '>即()g x 在2(0,)x 上递减,在2(,)x +∞上递增,依题意可知2(,3)x t ∈,Ay于是只须2()03(4)20(3)03370g t t m t g m '<++-<⎧⎧⇔⎨⎨'>+>⎩⎩,…………………………………………7分 又以上事实对[1,2]t ∈恒成立.故(1)50(2)21803370g m g m m '=+<⎧⎪'=+<⎨⎪+>⎩,得3793m -<<-;……………9分(Ⅲ)分析:要证*ln2ln3ln4ln 1(2,)234n n N n n⨯⨯⨯⨯<≥∈成立, 即证ln 2ln3ln 4ln 123(1),2n n n ⨯⨯⨯⨯<⨯⨯⨯⨯-≥,也即证,ln 1,n n n <-≥2成立,下面用综合法证明.由(Ⅰ)知当1a =-时,()ln 3f x x x =-+-在(1,)+∞上递增,所以()ln 3(1)2ln 1,1f x x x f x x x =-+->=-⇔<->………………………………11分 也所以在上式中分别令2,3,4,,x n =得, ln 21,ln32,ln 43,,ln 1,2n n n <<<<-≥,ln 2ln3ln 4ln 123(1),2n n n ⨯⨯⨯⨯<⨯⨯⨯⨯-≥两边同除以!n 得,*ln2ln3ln4ln 1(2,)234n n N n n⋅⋅⨯⨯<≥∈,即证.…………………13分。