2017高考压轴题总汇真题(含解析)

合集下载

(完整word版)2017年高考数学真题压轴题汇总,推荐文档

(完整word版)2017年高考数学真题压轴题汇总,推荐文档

2017北京(19)(本小题13分)已知函数f (x )=e x cos x −x .(Ⅰ)求曲线y = f (x )在点(0,f (0))处的切线方程;(Ⅱ)求函数f (x )在区间[0,2π]上的最大值和最小值.2017江苏20.(本小题满分16分)已知函数()321(0,)fx =x ax bx a b +++>∈R 有极值,且导函数()f x ,的极值点是()f x 的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1) 求b 关于a 的函数关系式,并写出定义域;(2) 证明:b ²>3a ;(3) 若()f x ,()fx , 这两个函数的所有极值之和不小于7-2,求a 的取值范围.2017全国Ⅰ卷(理)21.(12分)已知函数()f x =a e 2x +(a ﹣2)e x ﹣x .(1)讨论()f x 的单调性;(2)若()f x 有两个零点,求a 的取值范围.2017全国Ⅱ卷(理)21.(12分)已知函数3()ln ,f x ax ax x x =--且()0f x ≥.(1)求a ;(2)证明:()f x 存在唯一的极大值点0x ,且230e()2f x --<<.2017全国Ⅲ卷(理)21.(12分)已知函数()1ln f x x a x =--.(1)若()0f x ≥,求a 的值;(2)设m 为整数,且对于任意正整数n ,2111(1)(1)(1)222nm ++鬃?<,求m 的最小值.2017山东理科(20)(本小题满分13分) 已知函数()22cos f x x x =+,()()cos sin 22x g x e x x x =-+-,其中 2.71828e =L 是自然对数的底数.(Ⅰ)求曲线()y f x =在点()(),f x π处的切线方程;(Ⅱ)令()()()()h x g x af x a =-∈R ,讨论()h x 的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.2017天津(20)(本小题满分14分)设a ∈Z ,已知定义在R 上的函数432()2336f x x x x x a =+--+在区间(1,2)内有一个零点0x ,()g x 为()f x 的导函数.(Ⅰ)求()g x 的单调区间;(Ⅱ)设00[1,)(,2]m x x ∈U ,函数0()()()()h x g x m x f m =--,求证:0()()0h m h x <; (Ⅲ)求证:存在大于0的常数A ,使得对于任意的正整数,p q ,且00[1,)(,2],p x x q∈U 满足041||p x q Aq -≥.2017浙江理科20.(本题满分15分)已知函数f (x )=(x e x -(12x ≥). (Ⅰ)求f (x )的导函数;(Ⅱ)求f(x)在区间1[+)2,上的取值范围.。

2017浙江省高考压轴卷数学(理)附答案解析

2017浙江省高考压轴卷数学(理)附答案解析

2017浙江省高考压轴卷数学(理)本试卷分选择题和非选择题两部分,共150分,考试时间120分钟.参考公式球的表面积公式24S R π= 球的体积公式343V R π= 其中R 表示球的半径柱体的体积公式V sh =其中S 表示柱体的底面积,h 表示柱体的高 椎体的体积公式13V sh = 其中S 表示椎体分底面积,h 表示椎体的高 台体的体积公式()ÉÏÉÏÏÂÏÂ13V h S S S S = 其中ÉÏÏÂ,S S 分别表示台体的上、下底面面积,h 表示台体的高 一、选择题(本大题10小题,每小题4分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.定义集合A={x|f (x )21x -,B={y|y=log 2(2x +2)},则A ∩∁R B=( )A .(1,+∞)B .10,1]C .10,1)D .10,2)2.已知一个空间几何体的三视图如图所示,根据图中标出的尺寸,可得这个几何体的体积是 ( )A. 2B. 4C. 6D. 123.已知{a n }为等差数列,a 1+a 3+a 5=105,a 2+a 4+a 6=99,以S n 表示{a n }的前n 项和,则使得S n 达到最大值的n 是( )A .21B .20C .19D .184.下列命题正确的是( )A.“a2>9”是“a>3”的充分不必要条件B.函数f(x)=x2﹣x﹣6的零点是(3,0)或(﹣2,0)C.对于命题p:∃x∈R,使得x2﹣x﹣6>0,则¬p:∀x∈R,均有x2﹣x﹣6≤0 D.命题“若x2﹣x﹣6=0,则x=3”的否命题为“若x2﹣x﹣6=0,则x≠3”5.已知第一象限内的点M既在双曲线C1:22221x ya b-=(a>0,b>0)上,又在抛物线C2:y2=2px上,设C1的左,右焦点分别为F1、F2,若C2的焦点为F2,且△MF1F2是以MF1为底边的等腰三角形,则双曲线的离心率为() A2 B3 C.1+2D.2+36.已知函数f(x)=3sin(3x+φ),x∈10,π],则y=f(x)的图象与直线y=2的交点个数最多有()A.2个B.3个C.4个D.5个7.设x,y满足约束条件2x-y+20840,0,0x yx y≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩,若目标函数z=abx+y(a>0,b>0)的最大值为18,则2a+b的最小值为()A.4 B.27.47 D.148.记min{x,y}=,,y x yx x y≥⎧⎨<⎩设f(x)=min{x2,x3},则()A.存在t>0,|f(t)+f(﹣t)|>f(t)﹣f(﹣t)B.存在t>0,|f(t)﹣f(﹣t)|>f(t)﹣f(﹣t)C.存在t>0,|f(1+t)+f(1﹣t)|>f(1+t)+f(1﹣t)D.存在t>0,|f(1+t)﹣f(1﹣t)|>f(1+t)﹣f(1﹣t)9.设α,β,γ是三个不重合的平面,m,n是两条不重合的直线,下列判断正确的是()A.若α⊥β,则β⊥γ,则α∥γ B.若α⊥β,l∥β,则l⊥αC.若则m⊥α,n⊥α,m∥n D.若m∥α,n∥α,则m∥n10.已知圆(x+1)2+y2=4的圆心为C,点P是直线l:mx﹣y﹣5m+4=0上的点,若该圆上存在点Q使得∠CPQ=30°,则实数m的取值范围为( )A.1﹣1,1] B.1﹣2,2] C .D .二、填空题(本大题7小题,多空题每题6分,单空题每题4分,共36分.把答案填在题中横线上)11.已知双曲线的顶点到渐近线的距离为2,焦点到渐近线的距离为6,则该双曲线的离心率为.12.设函数,0(),ln ,0x e x f x x x ⎧≤=⎨>⎩,则1(())2f f = ,方程f (f (x ))=1的解集 . 13.要得到函数sin 23y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象, 可将函数sin 2y x =的图象向 平移 个单位. 14.计算:22log 2= ,24log 3log 32+= .15.如图在三棱锥S ﹣ABC 中,SA=SB=SC ,且∠ASB=∠BSC=∠CSA=2π,M 、N 分别是AB 和SC 的中点.则异面直线SM 与BN 所成的角的余弦值为 ,直线SM 与面SAC 所成角大小为 .16.已知a >0,b >0,且满足3a+b=a 2+ab ,则2a+b 的最小值为 .17.在ABC ∆中,32,43AE AB AF AC ==,设BF,CE 交于点P ,且E P E C λ=,FP FB μ=(,)R λμ∈,则λμ+的值为 .三、解答题(本大题共5小题共74分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)18.已知△ABC 中角A ,B ,C 对边分别为a ,b ,c ,且满足2sin()6a C b c π+=+. (Ⅰ)求A 的值; (Ⅱ)若,234B b a π=-=,求△ABC 的面积.19.如图,矩形ABCD 中,AB AD=λ(1λ>),将其沿AC 翻折,使点D 到达点E 的位置,且二面角C ﹣AB ﹣E 为直二面角. (1)求证:平面ACE ⊥平面BCE ;(2)设F 是BE 的中点,二面角E ﹣AC ﹣F 的平面角的大小为θ,当λ∈12,3]时,求cos θ的取值范围.20.(本题满分15分)已知函数()()||()f x x t x t R =-∈.(Ⅰ)求函数()y f x =的单调区间;(Ⅱ)当t>0时,若f(x))在区间1-1,2]上的最大值为M(t),最小值为m(t),求M(t)-m(t)的最小值.21.已知椭圆C :22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12,焦点与短轴的两顶点的连线与圆2234x y +=相切. (Ⅰ)求椭圆C 的方程;(Ⅱ)过点(1,0)的直线l 与C 相交于A ,B 两点,在x 轴上是否存在点N ,使得NA NB为定值?如果有,求出点N 的坐标及定值;如果没有,请说明理由. 22.各项为正的数列{a n }满足2*111,()2n n n a a a a n N λ+==+∈, (1)取1n a λ+=,求证:数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列,并求其公比;(2)取λ=2时令1b 2n n a =+,记数列{b n }的前n 项和为S n ,数列{b n }的前n 项之积为T n ,求证:对任意正整数n ,2n+1T n +S n 为定值.2017浙江省高考压轴卷数学(理)1.【答案】B【解析】由A中f(x)21x-2x﹣1≥0,即2x≥1=20,解得:x≥0,即A=10,+∞),由2x+2>2,得到y=log2(2x+2)>1,即B=(1,+∞),∵全集为R,∴∁R B=(﹣∞,1],则A∩∁R B=10,1].故选:B.2.【答案】B【解析】由三视图可知此棱锥是底面为直角梯形,高为2的四棱锥.所以22,0(),0x tx xf xx tx x⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩.故B正确.3.【答案】B【解析】设{a n}的公差为d,由题意得a1+a3+a5=a1+a1+2d+a1+4d=105,即a1+2d=35,①a2+a4+a6=a1+d+a1+3d+a1+5d=99,即a1+3d=33,②由①②联立得a1=39,d=﹣2,∴S n=39n+×(﹣2)=﹣n2+40n=﹣(n﹣20)2+400,故当n=20时,S n达到最大值400.故选:B.4.【答案】C【解析】A,“a2>9”是“a>3”的必要不充分条件;B,函数f(x)=x2﹣x﹣6的零点不是点,是方程的根;C,命题p:∃x∈R,使得x2﹣x﹣6>0,则¬p:∀x∈R,均有x2﹣x﹣6≤0,;D,命题的否命题既要否定条件,又要否定结论;【解析】对于A,“a2>9”是“a>3”的必要不充分条件,故错;对于B,函数f(x)=x2﹣x﹣6的零点是3,﹣2,故错;对于C,命题p:∃x∈R,使得x2﹣x﹣6>0,则¬p:∀x∈R,均有x2﹣x﹣6≤0,正确;对于D,命题“若x2﹣x﹣6=0,则x=3”的否命题为“若x2﹣x﹣6≠0,则x≠3,故错;故选:C5.【答案】C【解析】∵设C1的左,右焦点分别为F1、F2,若C2的焦点为F2,∴抛物线的准线方程为x=﹣c,若△MF1F2是以MF1为底边的等腰三角形,由于点M也在抛物线上,∴过M作MA垂直准线x=﹣c则MA=MF2=F1F2,则四边形AMF2F1为正方形,则△MF1F2为等腰直角三角形,则MF2=F1F2=2c,MF1=MF2=2c,∵MF1﹣MF2=2a,∴2c﹣2c=2a,则(﹣1)c=a,则离心率e===1+,故选:C6.【答案】C【解析】令f (x )=3sin (3x+φ)=2,得sin (3x+φ)=∈(﹣1,1),又x ∈10,π],∴3x ∈10,3π],∴3x+φ∈1φ,3π+φ];根据正弦函数的图象与性质,可得该方程在正弦函数一个半周期上最多有4个解,即函数y=f (x )的图象与直线y=2的交点最多有4个.故选:C .7.【答案】C【解析】作出约束条件2x-y+20840,0,0x y x y ≥⎧⎪--≤⎨⎪≥≥⎩所对应的可行域,(如图阴影)变形目标函数可得y=abx ﹣z ,其中a >0,b >0,经平移直线y=abx 可知,当直线经过点A (0,2)或B (1,4)时,目标函数取最大值,显然A 不合题意,∴ab+4=18,即ab=14, 由基本不等式可得22247a b ab +≥=当且仅当2a=b=2时取等号,故选:C .8.【答案】C【解析】x 2﹣x 3=x 2(1﹣x ),∴当x ≤1时,x 2﹣x 3≥0,当x >1时,x 2﹣x 3<0,∴23,1(),,1x x f x x x ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩.若t >1,则|f (t )+f (﹣t )|=|t 2+(﹣t )3|=|t 2﹣t 3|=t 3﹣t 2,|f (t )﹣f (﹣t )|=|t 2+t 3|=t 2+t 3,f (t )﹣f (﹣t )=t 2﹣(﹣t )3=t 2+t 3,若0<t <1,|f (t )+f (﹣t )|=|t 3+(﹣t )3|=0,|f (t )﹣f (﹣t )|=|t 3+t 3|=2t 3,f (t )﹣f (﹣t )=t 3﹣(﹣t )3=2t 3,当t=1时,|f (t )+f (﹣t )|=|1+(﹣1)|=0,|f (t )﹣f (﹣t )|=|1﹣(﹣1)|=2,f (t )﹣f (﹣t )=1﹣(﹣1)=2,∴当t >0时,|f (t )+f (﹣t )|<f (t )﹣f (﹣t ),|f (t )﹣f (﹣t )|=f (t )﹣f (﹣t ),故A 错误,B 错误;当t >0时,令g (t )=f (1+t )+f (1﹣t )=(1+t )2+(1﹣t )3=﹣t 3+4t 2﹣t+2,则g′(t )=﹣3t 2+8t ﹣1,令g′(t )=0得﹣3t 2+8t ﹣1=0,∴△=64﹣12=52,∴g (t )有两个极值点t 1,t 2,∴g (t )在(t 2,+∞)上为减函数,∴存在t 0>t 2,使得g (t 0)<0,∴|g (t 0)|>g (t 0),故C 正确;令h (t )=(1+t )﹣f (1﹣t )=(1+t )2﹣(1﹣t )3=t 3﹣2t 2+5t ,则h′(t )=3t 2﹣4t+5=3(t ﹣)2+>0,∴h (t )在(0,+∞)上为增函数,∴h (t )>h (0)=0,∴|h (t )|=h (t ),即|f (1+t )﹣f (1﹣t )|=f (1+t )﹣f (1﹣t ),故D 错误.故选C .9.【答案】C【解析】对于A ,若α⊥β,β⊥γ,则α与γ可能相交;故A 错误;对于B ,若α⊥β,l ∥β,则l 可能在α内;故B 错误;对于C ,若m ⊥α,n ⊥α,根据线面垂直的性质定理以及空间线线关系的确定,可以判断m ∥n ;故C 正确; 对于D ,若m ∥α,n ∥α,则m 与n 可能平行、相交或者异面.故D 错误;故选C .10.【答案】D由题意,从直线上的点向圆上的点连线成角,当且仅当两条线均为切线时才是最大的角,此时CP=4. ∵圆上存在点Q 使得∠CPQ=30°,∴圆心到直线的距离d=≤4, ∴0≤m≤.11.【答案】3【解析】如图,过双曲线的顶点A 、焦点F 分别向其渐近线作垂线,垂足分别为B 、C ,则:||||63||||2OF FC c OA AB a =⇒==故答案为1 12.【答案】{}2112,,e 【解析】∵11()ln 022f =<, ∴1(())2f f 1ln 211ln 22f ==()=e . x <0时,0<e x <1,x=0时,e x=1,方程f (f (x ))=1,可得f (x )=0,lnx=0,解得x=1.f (x )>0时,方程f (f (x ))=1,可得ln1f (x )]=1,f (x )=e ,即:lnx=e ,解得x=e e. 故答案为:第一问:;第二问:{1,e e }. 13.【答案】右,6π 【解析】因为sin(2)sin 2()36y x x ππ=-=-,故只要将函数sin 2y x =向右平移6π个单位即可,故答案为6π. 14.【答案】1332-,【解析】1222221log 2-==-; 24log 3log 32+33221log log 22+=3232log 2==32333= 故答案为:1332-, 15.104π,. 【解析】连接MC ,取MC 中点为Q ,连接NQ ,BQ则NQ 和SM 平行,∠QNB (或其补角)即为SM 和BN 所成的角.设SA=SB=SC=a ,则2a因为∠ASB=∠BSC=∠CSA=2π,△ABC 是正三角形,M 、N 、Q 是中点 所以:126,242NQ SM a MC ===,145,42QB a NB a == ∴10cos 5QNB =∠ ∴异面直线SM 与BN 所成角的余弦值为105, 由题意,∠ASM 为直线SM 与面SAC 所成角,∵SA=SB ,∠ASB=2π, ∴∠ASM=4π故答案为54π,.16.【答案】322+【解析】由a >0,b >0,且满足3a+b=a 2+ab ,∴2301a ab a-=>-,解得1<a <3. 则2a+b=2a+231a aa--=a ﹣1++3≥2+3=2+3,当且仅当a=1+,b=1时取等号.故答案为:3+2.17.【答案】 75【解析】由题设可得0t >,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+=)32(32)43(43AC AB AC AP AB AC AB AP μλ,也即[,),(,0)2t +∞-∞,所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-λμμλ)1(32)1(43,解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3121μλ,故65=+μλ,应填65.18.【解析】【解析】(Ⅰ)∵△ABC 中,角A 、B 、C 的对应边分别为a 、b 、c ,且满足2asin (C+)=b+c ,∴2asinCcos+2acosCsin=asinC+acosC=b+c ,∴sinAsinC+sinAcosC=sinB+sinC ,∴sinAsinC+sinAcosC=sinAcosC+cosAsinC+sinC ,∴sinAsinC=cosAsinC+sinC ,∴由sinC ≠0,可得:sinA=cosA+1,∴2sin(A﹣)=1,sin(A﹣)=,∴A=.(Ⅱ)∵设△ABC外接圆半径为R,由正弦定理可得:b﹣a=2R(sinB﹣sinA)=2R(﹣)=﹣,∴R=1,可得:a=,b=,∵C=π﹣B﹣A=,∴sinC=,∴S△ABC=absinC==.19.【解析】证明:(Ⅰ)∵二面角C﹣AB﹣E为直二面角,AB⊥BC,∴BC⊥AE平面,∴BC⊥AE…∵AE⊥CE,BC∩CE=C,∴AE⊥平面BCE…∵AE⊂平面ACE,∴平面ACE⊥平面BCE…(Ⅱ)如图,以E为坐标原点,以AD长为一个单位长度,建立如图空间直角坐标系,则AB=λ…则设平面EAC的法向量为则,取x=1,则…同理设平面FAC的法向量为…∴…∵…20.【解析】(Ⅰ)解:(1)⎪⎩⎪⎨⎧<+-≥-=0,0,)(22x tx x x tx x x f , ……………………………………1分当0>t 时,)(x f 的单调增区间为)0,(),,2[-∞+∞t ,单调减区间为]2,0[t ……3分 当0=t 时,)(x f 的单调增区间为),(+∞-∞ ……………………………………4分 当0<t 时,)(x f 的单调增区间为),0[+∞,]2,(t -∞,单调减区间为)0,2[t ……6分 (Ⅱ)由(Ⅰ)知0>t 时)(x f 在)0,(-∞上递增,在)2,0(t 上递减,在),2(+∞t上递增从而 当22≥t即4≥t 时,0)0()(==f t M ,………………………7分}24,1min{)}2(),1(min{)(t t f f t m ---=-=………………………8分所以,当54≤≤t 时,t t m --=1)(,故51)()(≥+=-t t m t M ………9分 当5>t 时,t t m 24)(-=,故642)()(>-=-t t m t M ………………10分 当t t≤<22即42<≤t 时,0)0()(==f t M t t t t f f t m --=---=-=1}4,1m in{)}2(),1(m in{)(2……………11分所以,31)()(≥+=-t t m t M ………………………………………12分 当20<<t 时,t f t M 24)2()(-==………………………………………13分t t t t f f t m --=---=-=1}4,1m in{)}2(),1(m in{)(2所以,35)()(>-=-t t m t M ………………………………………………14分 综上所述,当2=t 时,)()(t m t M -取得最小值为.………………………………15分21.【解析】(Ⅰ)∵椭圆C :+=1(a >b >0)的离心率为,焦点与短轴的两顶点的连线与圆x 2+y 2=相切,∴,解得c 2=1,a 2=4,b 2=3∴椭圆方程为(Ⅱ)当直线l 的斜率存在时,设其方程为y=k (x ﹣1),A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则△>0,,若存在定点N (m ,0)满足条件,则有=(x 1﹣m )(x 2﹣m )+y 1y 2=如果要上式为定值,则必须有验证当直线l 斜率不存在时,也符合.故存在点满足22.【解析】证明:(1)由λ=a n+1,得,∴.两边同除可得:,解得.∵a n>0,∴为常数,故数列是等比数列,公比为1;(2)当λ=2时,,得2a n+1=a n(a n+2),∴.∴,又,∴,故2n+1T n+S n==2为定值.。

2017届江苏省高考压轴卷数学试题及答案

2017届江苏省高考压轴卷数学试题及答案

江苏省高考压轴卷数 学一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共70分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 1.设全集U=R ,A ={}1,2,3,4,5,B ={ x ∈R ︱x 2+ x -6=0},则下图中阴影表示的集合为 ▲ . 2. 若,32121=+-x x 则3322x x -+= ▲ .3. 设函数2()ln f x x x =-,若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为y ax b =+,则 =+b a ▲ .4.已知a =log 0.55,b =log 0.53,c =log 32,d =20.3,则a,b,c,d 依小到大排列为 ▲ .5.已知函数()()12321,2log 1,2x e x f x x x -⎧-<⎪=⎨-≥⎪⎩,则()()2f f = ▲ .6.函数f (x )2的定义域为 ▲ .7.设定义在R 上的函数()f x ,满足(2)()0f x f x +-=,若01x <<时()f x =2x ,则21(log )48f = ▲ . 8.函数2()x f x x e =在区间(),1a a +上存在极值点,则实数a 的取值范围为 ▲ .9.已知命题p :{|||4}A x x a =-<,命题q :{|(2)(3)0}B x x x =-->,若p ⌝是q ⌝的充分条件,则a 的取值范围为 ▲ .10.已知函数3()f x x x x =+,若2(2)(3)0f x f x ++<,则实数x 的取值范围是▲ .11.若函数2()ln f x mx x =+在定义域内是增函数,则实数m 的取值范围是 ▲ .12.对于R 上可导的非常数函数)(x f ,若满足0)(')1(≥-x f x ,则(0)(2)2(1)f f f +与的大小关系为 ▲ .13.下列四个命题中,所有真命题的序号是 ▲ . ①,()()m m m R f x m x -+∃∈=-243使1是幂函数;②若函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-,则函数()f x 周期为2; ③如果10≠>a a 且,那么)(log )(log x g x f a a =的充要条件是)()(x g x f a a =; ④命题“,x R x x ∀∈--≥2都有320”的否定是“,x R x x ∃∈--≤2使得320”. 14.已知函数1()()2(),f x f x f x=满足当x ∈[1,3],()ln f x x =,若在区间1[,3]3内,函数()()g x f x ax =-有三个不同零点,则实数a 的取值范围是 ▲ .二.解答题: 本大题共6小题.共90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分14分)设集合21|,0,11x A y y x x x +⎧⎫==≥≠⎨⎬-⎩⎭且, 集合{}22|lg (21),B x y x a x a a a R ⎡⎤==-+++∈⎣⎦.(1)求集合,A B ;(2)若A B R = ,求实数a 的取值范围16.(本小题满分14分)设命题p :存在x ∈R ,使关于x 的不等式220x x m +-≤成立;命题q :关于x 的方程(4)394x x m -⋅=+有解;若命题p 与q 有且只有一个为真命题,求实数m 的取值范围.17.(本小题满分14分)设21()log 1ax f x x x -=--为奇函数,a 为常数.(1)求a 的值;(2)判断并证明函数)(x f 在),1(+∞∈x 时的单调性;(3)若对于区间[]2,3上的每一个x 值,不等式()2x f x m >+恒成立,求实数m 取值范围.18. (本小题满分16分)某国庆纪念品,每件成本为30元,每卖出一件产品需向税务部门上缴a元(a为常数,4≤a≤6)的税收.设每件产品的售价为x元,根据市场调查,当35≤x≤40时日销售量与1e x⎛⎫⎪⎝⎭(e为自然对数的底数)成正比.当40≤x≤50时日销售量与2x成反比,已知每件产品的售价为40元时,日销售量为10件.记该商品的日利润为L(x)元.(1)求L(x)关于x的函数关系式;(2)当每件产品的售价x为多少元时,才能使L(x)最大,并求出L(x)的最大值.19. (本小题满分16分)已知命题p:“函数()、成中心对称图形”的P a by f x=的图像关于点()充要条件为“函数()=+-是奇函数”.y f x a b(1)试判断命题p的真假?并说明理由;(2)设函数32g x图像对称中心的坐标;=-,求函数()()3g x x x(3)试判断“存在实数a和b,使得函数()=+-是偶函数”是y f x a b“函数()y f x=的图像关于某直线成轴对称图像”成立的什么条件?请说明理由.20.(本小题满分16分)设函数()ln f x a x x1=+,a ∈R .(1)求函数)(x f 的单调区间;(2)当0a >时,若对任意0x >,不等式()2f x a ≥成立,求a 的取值范围;(3)当0a <时,设10x >,20x >,试比较)2(21x x f +与2)()(21x f x f +的大小并说明理由.数学加试试卷解答题(共4小题,每小题10分共40分,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤)21. 求下列函数)32(sin 2π+=x y 的导数.22. 将水注入锥形容器中,其速度为min /43m ,设锥形容器的高为m 8,顶口直径为m 6,求当水深为m 5时,水面上升的速度.23. 证明下列命题:(1)若函数f (x )可导且为周期函数,则f'(x )也为周期函数; (2)可导的奇函数的导函数是偶函数.24. 已知()()3211ln ,32f x xg x x x mx n ==+++,直线l 与函数()(),f x g x 的图象都相切于点()1,0(1)求直线l 的方程及()g x 的解析式;(2)若()()()'h x f x g x =-(其中()'g x 是()g x 的导函数),求函数()h x 的值域.参考答案一.填空题: 本大题共14小题,每小题5分,共70分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上1.{}2 2.18 3.1 4. a <b <c <d 5. 1 6. {}2x x > 7. 438.(3,2)(1,0)--⋃-9.16a -≤≤10.(2,1)-- 11. 0m ≥ 12. (0)(2)2(1)f f f +> (≥)13.① 14. ln 31[,)3e二.解答题: 本大题共6小题.共90分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.解:(1)A ={}|12x x x ≤->或 …………………………………………………………5分B ={}|1x x a x a <>+或 …………………………………………………………8分(2)由A B R = 得,11a +≤-或2a > (12)分即2a ≤-或2a >,所以(](),22,a ∈-∞-+∞ ………………………………14分 16.解:由命题p为真:440m ∆=+≥,得1m ≥- ………………………………4分由(4)394x x m -⋅=+得44303xx m ⎛⎫=-+≤ ⎪⎝⎭ 所以命题q为真时,0m ≤ ………………………………8分若命题p 为真,命题q 为假,则1m ≥-且0m >得0m >若命题p 为假,命题q 为真,则1m <-且0m ≤得1m <- (12)分所以实数m的取值范围为(,1)(0,)-∞-+∞ ………………………………………14分17. 解:(1)由条件得:0)()(=+-x f x f ,2211log log 011ax axx x +-∴+=---, 化简得0)1(22=-x a ,因此1,012±==-a a ,但1=a 不符合题意,因此1-=a . (4)分(也可以直接根据函数定义域关于坐标原点对称,得出结果,同样给分)(2)判断函数)(x f 在),1(+∞∈x 上为单调减函数;证明如下:设121x x <<<+∞121212212222112121111()()log log log ()1111x x x x f x f x x x x x x x x x +++--=--+=⋅+----+ 121x x <<<+∞ 21120,10,10x x x x ∴->±>±> 12121212(1)(1)(1)(1)1x x x x x x x x +---+=-+-12122112()0x x x x x x --++=->又 1212(1)(1)0,(1)(1)0x x x x +->-+>∴12121111x x x x +-⋅-+,1221211log 011x x x x +-⋅>-+,又210x x -> ∴12()()0f x f x ->,即12()()f x f x > ∴函数)(x f 在),1(+∞∈x 上为单调减函数;(也可以利用导数证明,对照给分) ………………………………………………9分 (3)不等式为()2x m f x <-恒成立,min [()2]x m f x ∴<-)(x f 在[2,3]x ∈上单调递减,2x 在[2,3]x ∈上单调递增,()2x f x ∴-在[2,3]x ∈上单调递减,当3x =时取得最小值为10-,(,10)m ∴∈-∞-。

浙江省2017届高考语文压轴卷(含答案解析)

浙江省2017届高考语文压轴卷(含答案解析)
字典》:同情、友爱;敬辞;果核的最内部分。
《澄衷蒙学堂字课图说》:爱之所由出也,仁义、仁爱;人心也;仁由心出,故果实之发于心者,亦谓之仁,
如俗称杏仁桃仁皆是。
京:
《新华字典》:京城,国家的首都,特指我国首都。
《澄衷蒙学堂字课图说》:首善之区曰京,北京,京都;大也,京为天子所居,故大之,国朝因前代之旧,以
应花过多努力考虑经济增长率。
B. 到非洲打拼了近 40 年,胡介国不仅拼得了数亿身家,还成为中国和尼日利亚经济、文化交流的桥梁,
在尼日利亚成为名人。
C. 快节奏的社会,一些人轻视书写错误,倘有人认真追究错误则往往被视为“不识趣”,这实际上代表
了一些人遇事不认真且反对“较真”。
D. 只要还有一个人乃至一家一户没有解决基本生活问题,我们就不能安之若素;只要群众对生活的憧憬
禅宗在一百多年以来,已经传播到了世界的各个地方。上世纪 60 年代是一个现代的西方世界受到文化
冲击的时代。1 丁]大家可能听说过那个时候有所谓“垮掉的一代”,出现嬉皮士运动、新浪潮电影、反越战运
动。在西方对自身文化强烈质疑、挑战和反叛的这么一个运动里面,禅宗的很多思想借着这个机会在西方变
得非常流行,以.至成为很多人信奉的文化和研究的题目。
2017 浙江省高考压轴卷 语文
本试卷分为第 I 卷选择题和第 II 卷两部分,共 150 分,考试时间 150 分钟。
一、语言文字运用( 20 分)
1. 下列各句中,没有错别字且注音全都正确的一项是( )(3 分) A.面对经济增长弛缓、就业形势每况愈下的局面,新总统一上任就改弦易张,不断规范利益博弈,消弭.
⑥显然,在这里,它已经不仅是认识层面的问题
⑦ 人 必须借助已有的知识才能得到新的发现

2017北京市高考压轴卷数学(文)附答案解析

2017北京市高考压轴卷数学(文)附答案解析

2017北京市高考压轴卷文科数学第一部分(选择题共40分)一、选择题:本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1已知集合A={0,1},B={﹣1,0,a+2},且A ⊆B ,则实数a=( )A .0B .﹣1C .﹣2D .﹣32. 函数y=f (x )在(0,2)上是增函数,函数y=f (x+2)是偶函数,则f (1),f (2.5),f (3.5)的大关系是( )A .f (2.5)<f (1)<f (3.5)B .f (2.5)>f (1)>f (3.5)C .f (3.5)>f (2.5)>f (1)D .f (1)>f (3.5)>f (2.5)3. 给出下列命题:①函数y=cos (﹣2x)是偶函数;②函数y=sin (x+)在闭区间上是增函数;③直线x=是函数y=sin (2x+)图象的一条对称轴;④将函数y=cos (2x﹣)的图象向左平移单位,得到函数y=cos2x 的图象,其中正确的命题的个数为( )A .1B .2C .3D .44. 命题“若,则”的逆否命题是6πα=33tan =αA.若,则B.若,则6πα≠33tan ≠α6πα=33tan ≠α C.若,则 D. 若,则33tan ≠α6πα≠33tan ≠α6πα=5. 设m 、n 是两条不同的直线,α、β、γ是三个不同的平面,则下列命题中正确的是( )A .若α⊥β,m⊥α,则m∥βB .若m⊥α,n∥α,则m⊥nC .若m∥α,n∥α,则m∥nD .若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β6. 双曲线的一条渐近线与圆相切,则此双曲线的离心率()222210,0x y a b a b-=>>(()22311x y +-=为( )5327 下面茎叶图表示的是甲、乙两个篮球队在3次不同比赛中的得分情况,其中有一个数字模糊不清,在图中以m 表示.若甲队的平均得分不低于乙队的平均得分,那么m 的可能取值集合为( )A .B .C .D .8.执行如图所示的程序框图,输出的值为()SA .B .123C .D .1321610987第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题(共6个小题,每题5分,共30分)已知是(-∞,+∞)上的减函数,那么10. 若复数+b (b∈R)所对应的点在直线x+y=1上,则b 的值为 .11.如图,是可导函数,直线l 是曲线在处()y f x =()y f x =4x =的切线,令,则= .()()f x g x x =()4g '12. .一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是 .13. 在四边形中,,,则该四边形的面积为_______CD AB ()C 2,4A = ()D 2,1B =-14.如图,一条螺旋线是用以下方法画成:是边长为1的正三角形,曲线分别以为圆心,为半径画的弧,曲线称为螺旋线旋转一圈.然后又以为圆心为半径画弧…,这样画到第圈,则所得整条螺旋线的长度______.(用表示即可)三、解答题(共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程)15.(本小题满分13分)在ABC ∆中, 223=4cos A cosA +.(1)求角A 的大小;(2)若2a =,求ABC ∆的周长l 的取值范围.16 (本小题满分13分)某农场计划种植某种新作物,为此对这种作物的两个品种(分别称为品种家和品种乙)进行田间试验.选取两大块地,每大块地分成n 小块地,在总共2n 小块地中,随机选n 小块地种植品种甲,另外n 小块地种植品种乙.(I )假设n =2,求第一大块地都种植品种甲的概率;(II )试验时每大块地分成8小块,即n =8,试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量(单位:kg/hm 2)如下表:品种甲403397390404388400412406品种乙419403412418408423400413分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差;根据试验结果,你认为应该种植哪一品种?附:样本数据的的样本方差,其中为样本平均数.n x x x ,,,21⋅⋅⋅])()()[(1222212x x x x x x ns n -+⋅⋅⋅+-+-=x 17. (本小题共13分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=2,S n =n 2+n .(1)求数列{a n }的通项公式;(2)设{}的前n 项和为T n ,求证T n <1.18.(本小题共13分)已知在四棱锥中,底面是矩形,且平面, 分别P ABCD -ABCD 2,1,AD AB PA ==⊥ABCD ,E F 是线段的中点.,AB BC(1)证明: ;PF FD ⊥(2)若,求点到平面的距离.1PA =E PFD 19.(本小题满分共14分)已知函数()()2ln .f x x ax a x a R =--∈(1)若函数在处取得极值,求a 的值;()f x 1x =(2)在(1)的条件下,求证:()322114;326x x f x x ≥+-+(3)当时,恒成立,求a 的取值范围.[),x e ∈+∞()0f x ≥20.(本小题共14分)已知椭圆C 上点到两焦点的距离和为,短轴长为,直线l 与椭圆C 交于M 、)0(12222>>=+b a by a x 3221N 两点.(Ⅰ)求椭圆C 方程;(Ⅱ)若直线MN 与圆O 相切,证明:为定值;25122=+y x MON ∠(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求的取值范围.OM ON 试卷答案1B【解答】解:集合A={0,1},B={﹣1,0,a+2},且A ⊆B ,可得a+2=1,解得a=﹣1.故选:B .2B【分析】根据函数y=f (x+2)是偶函数,知x=2是其对称轴,又函数y=f (x )在(0,2)上是增函数,可知其在(2,4)上为减函数,而2.5,3.5∈(2,4),1∉(2,4),而f (1)=f (3),根据函数的单调性可得结果.【解答】解:因为函数y=f (x )在(0,2)上是增函数,函数y=f (x+2)是偶函数,所以x=2是对称轴,在(2,4)上为减函数,f (2.5)>f (1)=f (3)>f (3.5).故选B .3B【分析】利用诱导公式化简①,然后判断奇偶性;求出函数y=sin (x+)的增区间,判断②的正误;直线x=代入函数y=sin (2x+)是否取得最值,判断③的正误;利用平移求出解析式判断④的正误即可.解:①函数y=sin (﹣2x)=sin2x ,它是奇函数,不正确;②函数y=sin (x+)的单调增区间是,k∈Z,在闭区间上是增函数,正确;③直线x=代入函数y=sin (2x+)=﹣1,所以x=图象的一条对称轴,正确;④将函数y=cos (2x﹣)的图象向左平移单位,得到函数y=cos (2x+)的图象,所以④不正确.故选:B .4.C 5. B【分析】A:漏掉了m ⊂β.B :根据线线垂直的判定可得结论是正确的.C :漏掉了m 与n 相交、异面的情况.D :可以举出墙角的例子.解:A :直线m 也可以在平面β内.B :根据线线垂直的判定可得结论是正确的.C :m 与n 可能平行也可能相交也可能异面.D :α与β也可以相交.可以举出墙角的例子.故选B .6A【解析】由题意可得,计算,选A.31b a -=2e =∴7C【试题解析】由题知:所以m 可以取:0,1,2.故答案为:C89.【解析】解:由已知是(-∞,+∞)上的减函数,可得,求得≤a<,故答案为:.10.0【解析】解:复数+b=+b=+b=b+i所对应的点(b,1)在直线x+y=1上,∴b+1=1,解得b=0.故答案为:0.11. 【答案】12. 【答案】2【解析】解:根据几何体的三视图,得该几何体是底面为等腰直角三角形的三棱锥,如图所示;∴该几何体的表面积为S表面积=S△PAC+2S△PAB+S△ABC=×2×1+2××2+×2×1=2+.故答案为:2+.13. 【答案】5【解析】根据题意,,所以,且,从而有该四边形440AC BD ⋅=-+=AC BD ⊥5,5AC BD ==的面积为125552S =⋅=14. 14.(31)n n π+【解析】设第n 段弧的弧长为,由弧长公式,可得…数列是以为首项、为公差的等差数列.画到第n 圈,有3n 段弧,故所得整条螺旋线的长度15. 【答案】(1)因为,所以,2234cos A cosA +=2122cos 2cos A A +=所以, 24410cos A cosA -+=所以.1cos 2A =又因为,所以.0A π<<3A π=(2)因为, , ,sin sin sin a b c A B C ==3A π=2a =所以,,33b Bc ==所以.)22sin sinC 3l b c B =++=+因为,23B C π+=所以.22sin sin 2sin 363l B B B ππ⎤⎛⎫⎛⎫=+-=++ ⎪ ⎪⎥⎝⎭⎝⎭⎦又因为,所以,所以203B π<<1sin 126B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭(]4,6l ∈【解析】(1)根据倍角公式可将已知等式转化为关于的二次方程,解方程求得的值,进而得到cos A cos A 角的大小;A (2)根据正弦定理可将三角形的边长用对应角的正弦值表示,列出周长的表达式并利用两角和与差公式l 化为关于角的三角函数,进而根据三角函数的值域求得周长的取值范围.B l 16.解:(I )设第一大块地中的两小块地编号为1,2,第二大块地中的两小块地编号为3,4,令事件A=“第一大块地都种品种甲”.从4小块地中任选2小块地种植品种甲的基本事件共6个;(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4).而事件A 包含1个基本事件:(1,2).所以 1().6P A =(II )品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为:222222221(403397390404388400412406)400,81(3(3)(10)4(12)0126)57.25.8x S =+++++++==+-+-++-+++=甲甲 品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为:2222222221(419403412418408423400413)412,81(7(9)06(4)11(12)1)56.8x S =+++++++==+-+++-++-+=乙乙由以上结果可以看出,品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数,且两品种的样本方差差异不大,故应该选择种植品种乙.17. 【分析】(1)利用公式a n =S n ﹣S n﹣1(n≥2),得当n≥2时a n =2n ,再验证n=1时,a 1=2×1=2也适合,即可得到数列{a n }的通项公式.(2)裂项得=﹣,由此可得前n 项和为T n =1﹣<1,再结合∈(0,1),不难得到T n <1对于一切正整数n 均成立.解:(1)当n≥2时,a n =S n ﹣S n﹣1=n 2+n﹣[(n﹣1)2+(n﹣1)]=2n .∵n=1时,a 1=2×1=2,也适合∴数列{a n }的通项公式是a n =2n .(2)==﹣∴{}的前n 项和为T n =(1﹣)+(﹣)+(﹣)+…+(﹣)=1﹣=∵0<<1∴1﹣∈(0,1),即T n <1对于一切正整数n 均成立.18. 【答案】(1)证明:连接,则,又,又平AF 2,2AF DF ==2222,,AD DF AF AD DF AF =∴+=∴⊥PA ⊥面,又平面,又平面.,ABCD DF PA ∴⊥,PA AF A DF ⋂=∴⊥PAF PF ⊂,PAF DF PF ∴⊥(2) , ,53244EFD ADE BEF CDF ABCD S S S S S ∆∆∆∆=---=-= 平面1131·13344P EFD EFD V S PA -∆∴==⨯⨯=,解得,即点到平面.1161,···34E PFD P EFD E PFD PFD V V V S h h ---∆=∴=== 6h =E PFD19.20.解:(Ⅰ)由椭圆C 上点到两焦点的距离和为,22221(0)x y a b a b +=>>23得2a=,即 ;由短轴长为,得2b=,即231312121b 4=所以椭圆C 方程:229161x y +=(Ⅱ)当直线MN 轴时,因为直线MN 与圆O 相切,所以直线MN 方程:x=或x=-,当直线x ⊥22125x y +=5115方程为x=,得两点分别为(,)和(,-),故=0,可证=;同理可证当x=-1515151515OM ON ∙ MON ∠2π,=; 15MON ∠2π当直线MN 与x 轴不垂直时,设直线MN :y=kx+b ,直线MN 与圆O 的交点M ,N 25122=+y x ),11y x (),22y x (由直线MN 与圆O 相切得:,即25 ①;215k 1b=+221b k =+联立y=kx+b ,,得,229161x y +=222916)321610k x kbx b +++-=(因此,=-,=22169116k b +-;0δ>12x x +232916kbk +12x x 由=+=+OM ON ∙ 12x x 12y y 12x x 12k )()x b kx b ++(=(1+k )+kb ()+b = ②;212x x 12x x +2222251916b k k --+由①②得=0,即=;OM ON ∙ MON ∠2π综上=(定值).MON ∠2π(Ⅲ)不妨设,则,XOM θ∠=N 2XO πθ∠=±由三角函数定义可知M (cos ,sin ),N (sin ,cos )OM θOM θ±ON θ±ON θ因为点M 、N 都在上,229161x y +=所以=, =21OM 229cos 16sin θθ+21ON 229sin 16cos θθ+=211()OM ON 21OM 21ON =()()229cos 16sin θθ+229sin 16cos θθ+=916+(9-16)2⨯22sin cos θθ=916+(9-16),⨯221sin 24θ又[0,1],故()[916,()]2sin 2θ∈1OM 1ON 2∈⨯9162+2因此 [].OM ON ∈21,2512。

2017山东省高考压轴卷数学(理)附答案解析

2017山东省高考压轴卷数学(理)附答案解析

2017山东省高考压轴卷理科数学一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1. 已知全集U=R,A={x|x2﹣4x+3≤0},B={x|log3x≥1},则A∩B=()A.{3} B.{x|<x≤1} C.{x|x<1} D.{x|0<x<1}2. 已知函数,若存在k使得函数f(x)的值域为[0,2],则实数a的取值范围是()A.B.(0,1] C.[0,1] D.3. 若两个非零向量,满足|+|=|﹣|=2||,则向量+与﹣的夹角是()A.B.C. D.4. 如图为一个多面体的三视图,则该多面体的体积为()A.B.7 C.D.5. 二项式(x﹣a)7的展开式中,含x4项的系数为﹣280,则dx=()A.ln2 B.ln2+1 C.1 D.6. 如图,F1、F2是双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点,过F1的直线l与C的左、右2个分支分别交于点A、B.若△ABF2为等边三角形,则双曲线的离心率为()A .4B .C .D .7设△A n B n C n 的三边长分别是a n ,b n ,c n ,△A n B n C n 的面积为S n ,n ∈N *,若b 1>c 1,b 1+c 1=2a 1,b n+1=,则( ) A .{S n }为递减数列 B .{S n }为递增数列C .{S 2n ﹣1}为递增数列,{S 2n }为递减数列D .{S 2n ﹣1}为递减数列,{S 2n }为递增数列8. 我国南北朝数学家何承天发明的“调日法”是程序化寻求精确分数来表示数值的算法,其理论依据是:设实数x的不足近似值和过剩近似值分别为b a 和dc (a ,b ,c ,*d N ∈),则b da c++是x 的更为精确的不足近似值或过剩近似值.我们知道 3.14159π=…,若令31491015π<<,则第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值,即3116105π<<,若每次都取最简分数,那么第四次用“调日法”后可得π的近似分数为( )A .227B .6320C .7825D .109359. 已知偶函数f (x )的定义域为(﹣1,0)∪(0,1),且.当0<x <1时,(1﹣x 2)ln (1﹣x 2)f'(x )>2xf (x ),则满足f (x )<0的x 的取值范围是( )A .B .C .D .10. 如图1,三行三列的方阵中有9个数(1,2,3;1,2,3)ij a i j ==,从中任取三个数,则至少有两个数位于同行或同列的概率是( )A .37B .47C.114D.1314二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡的相应位置.11. 已知i为虚数单位,复数z满足=i,则|z|= .12. 执行如图所示的程序框图,则输出的结果是.13. 给定区域D:.令点集T={(x0,y0)∈D|x0,y0∈Z,(x0,y0)是z=x+y在D上取得最大值或最小值的点},则T中的点共确定条不同的直线.14. 已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(1,m)(m>0)到其焦点的距离为5,双曲线﹣y2=1的左顶点为A.若双曲线的一条渐近线与直线AM平行,则实数a等于.15. 直线l:(t为参数)与圆C:(θ为参数)相交所得的弦长的取值范围是.三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.16.(本小题满分12分)已知函数f(x)=sinωxcosωx﹣cos2ωx+(ω>0),与f(x)图象的对称轴x=相邻的f(x)的零点为x=.(Ⅰ)讨论函数f(x)在区间上的单调性;(Ⅱ)设△ABC的内角A,B,C的对应边分别为a,b,c,且c=,f(C)=1,若向量=(1,sinA)与向量=(2,sinB)共线,求a,b的值.17. (本小题满分12分)一个多面体的直观图及三视图如图所示,M、N分别是AB1、A1C1的中点.(1)求证:MN⊥AB1,MN∥平面BCC1B1;(2)求二面角A﹣BC1﹣C的余弦值.18.(本小题满分12分)为了研究学生的数学核素养与抽象(能力指标x )、推理(能力指标y )、建模(能力指标z )的相关性,并将它们各自量化为1、2、3三个等级,再用综合指标w=x+y+z 的值评定学生的数学核心素养;若w ≥7,则数学核心素养为一级;若5≤w ≤6,则数学核心素养为二级;若3≤w ≤4,则数学核心素养为三级,为了了解某校学生的数学核素养,调查人员随机访问了某校10名学生,得到如下结果:(1)在这10名学生中任取两人,求这两人的建模能力指标相同的概率;(2)从数学核心素养等级是一级的学生中任取一人,其综合指标为a ,从数学核心素养等级不是一级的学生中任取一人,其综合指标为b ,记随机变量X=a ﹣b ,求随机变量X 的分布列及其数学期望.19. (本小题满分12分)已知函数f (x )=ln (2ax+1)+3x 3﹣x 2﹣2ax (a ∈R ).(1)若x=2为f (x )的极值点,求实数a 的值;(2)若y=f (x )在[3,+∞)上为增函数,求实数a 的取值范围;(3)当a=﹣21时,方程f (1﹣x )=x b 3)x 1(3+-有实根,求实数b 的最大值.20. (本小题满分13分)已知12F F ,是椭圆22221x y a b +=的左、右焦点,O 为坐标原点,点12P ⎛- ⎝⎭,在椭圆上,线段2PF 与y 轴的交点M 满足20PM F M +=. (Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)圆O 是以12F F 为直径的圆,一直线:l y kx m =+与圆O 相切,并与椭圆交于不同的两点A 、B ,当OA OB λ⋅=,且满足2334λ≤≤时,求OAB 的面积S 的取值范围.21. (本小题满分14分)已知n 为正整数,在数列}{n a 中,,12,111+==+n n a a a 在数列}{n b 中,,11a b =当2≥n 时,.111121-+∙∙∙++=n n n a a a a b (1)求数列}{n a 的通项公式; (2)求nn n n a b a b 111+-++ 的值; (3)当2≥n 时,证明:.223)1()1)(1(2121n n n b b b b b b ->⋅⋅⋅+⋅⋅⋅++2017山东高考压轴卷数学理word 版参考答案1【答案】A【解析】A={x|x 2﹣4x+3≤0}={x|1≤x ≤3},B={x|log 3x ≥1}={x|x ≥3}, 则A ∩B={3}, 故选:A 2【答案】D【解析】∵函数,∴函数f (x )的图象如下图所示:∴函数f(x)在[﹣1,k)上为减函数,在[k,a]先减后增函数,当﹣1<k≤,x=时,,由于当x=1时,﹣x3﹣3x+2=0,当x=a(a≥1)时,﹣a3﹣3a+2≤2,可得1≤a故若存在k使得函数f(x)的值域为[0,2],则a∈[1,],故选:D.3【答案】C【解析】依题意,∵|+|=|﹣|=2||∴=∴⊥, =3,∴cos<,>==﹣,所以向量与的夹角是,故选C4【答案】B【解析】如图所示,由已知三视图可知:该几何体为正方体去掉两个倒立的三棱锥.∴该多面体的体积V=23﹣﹣=7.故选:B.5【答案】C【解析】(x﹣a)7的展开式的通项为(﹣1)r a r C7r x7﹣r,令7﹣r=4得r=3,∴展开式中x4项的系数(﹣1)3 a3C73=﹣35a3=﹣280,∴a=2,∴dx=lnx=1.故选:C.6【答案】B【解析】∵△ABF2为等边三角形,∴|AB|=|AF2|=|BF2|,.由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|=2a,∴|BF1|=2a.又|BF2|﹣|BF1|=2a,∴|BF2|=4a.∴|AF2|=4a,|AF1|=6a.在△AF1F2中,由余弦定理可得: =﹣,∴,化为c2=7a2,∴=.故选B.7【答案】B【解析】b1=2a1﹣c1且b1>c1,∴2a1﹣c1>c1,∴a1>c1,∴b1﹣a1=2a1﹣c1﹣a1=a1﹣c1>0,∴b1>a1>c1,又b1﹣c1<a1,∴2a1﹣c1﹣c1<a1,∴2c1>a1,∴c1,由题意,b n+1+c n+1=+a n,∴b n+1+c n+1﹣2a n=(b n+c n﹣2a n),∴b n+c n﹣2a n=0,∴b n+c n=2a n=2a1,∴b n+c n=2a1,又由题意,b n+1﹣c n+1=,∴b n+1﹣(2a1﹣b n+1)==a1﹣b n,b n+1﹣a1=(a1﹣b n)=(b1﹣a1).∴b n=a1+(b1﹣a1),c n=2a1﹣b n=a1﹣(b1﹣a1),=•=单调递增.可得{S n}单调递增.故选:B.8【答案】A【解析】由题意:第一次用“调日法”后得165是π的更为精确的过剩近似值,即3116105π<<,第二次用“调日法”后得4715是π的更为精确的过剩近似值,即4716155π<<,第三次用“调日法”后得6320是π的更为精确的过剩近似值,即47631520π<<,第四次用“调日法”后得11022=357是π的更为精确的过剩近似值,即3122107π<<,故选A.9【答案】C【解析】令g(x)=,则g′(x)=,∵当0<x<1时,(1﹣x2)ln(1﹣x2)f'(x)>2xf(x),∴>0,即g(x)=在(0,1)上为增函数,则f(x)在(0,1)上为减函数,又由函数f(x)为偶函数,且.故当x∈时,f(x)<0,故选:C10【答案】D11【答案】1【解析】设z=a+bi,则==i,∴1﹣a﹣bi=﹣b+(a+1)i,∴,解得,故z=﹣i,|z|=1,故答案为:1.12【答案】20【解析】执行程序框图,有a=1,b=1,s=2c=2,s=4不满足条件c>5,a=1,b=2,c=3,s=7不满足条件c>5,a=2,b=3,c=5,s=12不满足条件c>5,a=3,b=5,c=8,s=20满足条件c>5,退出循环,输出s的值为20.故答案为:20.13【答案】6【解析】画出不等式表示的平面区域,如图.作出目标函数对应的直线,因为直线z=x+y与直线x+y=4平行,故直线z=x+y过直线x+y=4上的整数点:(4,0),(3,1),(2,2),(1,3)或(0,4)时,直线的纵截距最大,z最大;当直线过(0,1)时,直线的纵截距最小,z最小,从而点集T={(4,0),(3,1),(2,2),(1,3),(0,4),(0,1)},经过这六个点的直线一共有6条.即T中的点共确定6条不同的直线.故答案为:6.14【答案】【解析】设M点到抛物线准线的距离为d,则⇒p=8,所以抛物线方程为y2=16x,M的坐标为(1,4);又双曲线的左顶点为,渐近线为,所以,由题设可得,解得.故答案为:15【答案】[4,16]【解析】直线l:(t为参数),化为普通方程是=,即y=tanα•x+1;圆C的参数方程(θ为参数),化为普通方程是(x﹣2)2+(y﹣1)2=64;画出图形,如图所示;∵直线过定点(0,1),∴直线被圆截得的弦长的最大值是2r=16,最小值是2=2×=2×=4∴弦长的取值范围是[4,16].故答案为:[4,16].16【解答】解:(Ⅰ) ==由与f(x)图象的对称轴相邻的零点为,得,所以ω=1,即令,函数y=sinz单调增区间是,k∈Z,由,得,k∈Z,设,,易知,所以当时,f(x)在区间上单调递增,在区间上单调递减.(Ⅱ),则,因为0<C<π,所以,从而,解得.因为与向量共线,所以sinB=2sinA,由正弦定理得,b=2a①由余弦定理得,c2=a2+b2,即a2+b2﹣ab②由①②解得a=1,b=217【解答】(1)证明:由三视图可知,在这个多面体的直观图中,AA1⊥平面ABC,且AC⊥BC,AC=3,BC=BB1=4∴CA,CB,CC1两两垂直以C为原点,CA,CB.CC1所在直线分别为x,y,z轴,建立空间直角坐标系,则由已知可得:C(0,0,0),A(3,0,0),B(0,4,0),C1(0,0,4),A1(3,0,4),B1(0,4,4),故M,2,2),N,0,4)∴,∴∴MN⊥AB1,∵,∴∴MN∥BC1,∵MN⊄平面BCC1B1,BC1⊂平面BCC1B1;∴MN∥平面BCC1B1;(2)解:过A作AH⊥BC1于H,连接CH,则CH⊥BC1,∴∠AHC是二面角A﹣BC1﹣C的平面角在直角△BC1C中,CH=BCsin∠CBC1=4sin45°=2在直角△ACH中,AC=3,CH=2,∴AH=,∴cos∠AHC==∴二面角A﹣BC1﹣C的余弦值为18【解答】解:(1)由题可知:建模能力一级的学生是A9;建模能力二级的学生是A2,A4,A5,A7,A10;建模能力三级的学生是A1,A3,A6,A8.记“所取的两人的建模能力指标相同”为事件A,则.(2)由题可知,数学核心素养一级:A1,A2,A3,A5,A6,A8,数学核心素养不是一级的:A4,A7,A9,A10;X的可能取值为1,2,3,4,5.;;;;.∴随机变量X的分布列为:∴=.19【解答】解:(1)=.…因为x=2为f(x)的极值点,所以f'(2)=0.…即,解得a=0.…又当a=0时,f'(x)=x(x﹣2),从而x=2为f(x)的极值点成立.…(2)因为f(x)在区间[3,+∞)上为增函数,所以在区间[3,+∞)上恒成立.…①当a=0时,f'(x)=x(x﹣2)≥0在[3,+∞)上恒成立,所以f(x)在[3,+∞)上为增函数,故a=0符合题意.…②当a≠0时,由函数f(x)的定义域可知,必须有2ax+1>0对x≥3恒成立,故只能a>0,所以2ax2+(1﹣4a)x﹣(4a2+2)≥0对x∈[3,+∞)上恒成立.…令g(x)=2ax2+(1﹣4a)x﹣(4a2+2),其对称轴为,…因为a>0所以,从而g(x)≥0在[3,+∞)上恒成立,只要g(3)≥0即可,因为g(3)=﹣4a2+6a+1≥0,解得.…因为a>0,所以.由①可得,a=0时,符合题意;综上所述,a的取值范围为[0,].…(3)若时,方程x>0可化为,.问题转化为b=xlnx﹣x(1﹣x)2+x(1﹣x)=xlnx+x2﹣x3在(0,+∞)上有解,即求函数g(x)=xlnx+x2﹣x3的值域.…以下给出两种求函数g(x)值域的方法:方法1:因为g(x)=x(lnx+x﹣x2),令h(x)=lnx+x﹣x2(x>0),则,…所以当0<x<1,h′(x)>0,从而h(x)在(0,1)上为增函数,当x>1,h′(x)<0,从而h(x')在(1,+∞上为减函数,…因此h(x)≤h(1)=0.而x>1,故b=x•h(x)≤0,因此当x=1时,b取得最大值0.…方法2:因为g(x)=x(lnx+x﹣x2),所以g'(x)=lnx+1+2x﹣3x2.设p(x)=lnx+1+2x﹣3x2,则.当时,p'(x)>0,所以p(x)在上单调递增;当时,p'(x)<0,所以p(x)在上单调递减;因为p(1)=0,故必有,又,因此必存在实数使得g'(x0)=0,∴当0<x <x 0时,g′(x )<0,所以g (x )在(0,x 0)上单调递减; 当x 0<x <1,g′(x )>0,所以,g (x )在(x 0,1)上单调递增;又因为,当x→0时,lnx+<0,则g (x )<0,又g (1)=0. 因此当x=1时,b 取得最大值0.… 20【答案】(Ⅰ)因为20PM F M +=,所以 M 是线段2PF 的中点,所以OM 是12PF F 的中位线,又12OM F F ⊥,所以112PF F F ⊥,所以1c =,又因为22222111{2a b a b c +==+121222222111,.{12c OM F F PF PF a ba b c =⊥∴⊥∴+==+,解得2222,1,1a b c ===,所以椭圆的标准方程为2212x y +=. (Ⅱ)因为直线:l y kx m =+与O 211m k =+,即221m k =+联立221{2x y y kx m+==+得()222124220k x kmx m +++-=.设()()1122A x y B x y ,,,因为直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ,所以212122242201212km m x x x x k k -∆>+=-⋅=++,,,()()2212122212m k y y kx m kx m k-⋅=+⋅+=+, 212122112k OA OB x x y y k λ+⋅=⋅+⋅==+,又因为2334λ≤≤,所以222133124k k +≤≤+解得2112k ≤≤.1211122S AB x =⋅⋅=-=,设42u k k =+,则324u S ≤≤==,单调递增,所以()324S S S ⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭,即23S ≤≤21.【答案】21【答案】 解:(1∵1121,1n n a a a +=+=∴()21213,12,14,121n n a a a a a +=+=+=+=+ ∴{}1n a +是以2为首项,2为公比的等比数列。

2017山东省高考压轴卷语文附答案解析

2017山东省高考压轴卷语文附答案解析

2017山东省高考压轴卷语文本试题分为第I卷和第Ⅱ卷两部分。

共10页。

满分150分。

考试用时150分钟。

考试结束后。

将本试卷和答题卡第I卷(36分)一、(每小题3分,共15分)阅读下面文段,完成1~3题。

晚风徐来,轻轻地滑过树稍、草尖、树们、草们就腰脊.闪晃,摇曳..着缥缈的梦。

河水迤逦着金色的光,浪花拍击着堤岸的碎石,弹奏着(清纯/清醇)的音符,唱着欢快的歌谣;还有鸟儿的鸣啾..与狗吠、牛哞、羊唤一起喧响,构成了草原的绝唱。

薄薄的雾气氤氲..,轻拂着盘树的虬枝,清丽的河水充盈着①。

两岸茂密绵延的红柳,烂漫成了火焰,尽情燃放,(显示/昭示)着生命的倔强与执着。

星星点点,灯火亮起,归牧的牛羊走在回家的路上,②,劳做..的乡民们陆陆续续地收了工,一天的忙碌与疲惫..着对美好生活的(憧憬/希..画上了句号,人们荷锄背草,扛袋提筐,脸上挂着串串晶莹的汗珠,洋溢望)。

1.文中加点字的注音和加点词语的字形,都正确的一项是()(3分)A.脊(jǐ)摇曳B.啾(jiū)劳做C.氲(wēn)疲惫D.荷(hé)洋溢2.依次选用文中括号里的词语,最恰当的一项是()(3分)A.清纯昭示憧憬B.清醇显示憧憬C.清醇昭示希望D.清纯显示希望3.在文中两处横线上依次填入语句,最恰当的一项是()(3分)A.①泥土的味道、花草的味道、岁月沉淀的味道②动听的诗行在阵阵蹄声中奏出B.①岁月沉淀的味道、泥土的味道、花草的味道②阵阵蹄声奏出动听的诗行C.①泥土的味道、花草的味道、岁月沉淀的味道②阵阵蹄声奏出动听的诗行D.①岁月沉淀的味道、泥土的味道、花草的味道②动听的诗行在阵阵蹄声中奏出4. 下列句中加点成语的运用,全部正确的一项是()(3分)①会议开始,小刘被要求首先发言,他没有话说,却又必须发言,只好搜肠刮肚....,讲了五分钟,便草草收场,下台休息去了。

②如今,我们见到很多学生出现成长危机,都是与错误的家庭教育休戚相...关.,而他们的父母往往有着高学历、高职位,有的还收入不菲。

2017山东省高考压轴卷数学(文)附答案解析

2017山东省高考压轴卷数学(文)附答案解析

2017山东省高考压轴卷文科数学一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1. 集合A={x|x2﹣a≤0},B={x|x<2},若A⊆B,则实数a的取值范围是()A.(﹣∞,4] B.(﹣∞,4)C. D.(0,4)2. 在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,点P在AM上,且满足,则的值为()A.﹣4 B.﹣2 C.2 D.43. 设m、n是两条不同的直线,α、β、γ是三个不同的平面,则下列命题中正确的是()A.若α⊥β,m⊥α,则m∥βB.若m⊥α,n∥α,则m⊥nC.若m∥α,n∥α,则m∥n D.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β4. 函数y=Asin(ωx+ϕ)的部分图象如图所示,则其在区间上的单调递减区间是()A.和B.和C.和D.和5. 已知圆C的圆心为y=x2的焦点,且与直线4x+3y+2=0相切,则圆C的方程为()A. B.C.(x﹣1)2+y2=1 D.x2+(y﹣1)2=16某程序框图如图所示.该程序运行后输出的S的值是()A .1007B .2015C .2016D .30247. 数0,1,2,3,4,5,…按以下规律排列: …,则从2013到2016四数之间的位置图形为( )A. B. C. D.8. 设0>ω,函数)sin(ϕω+=x y )(πϕπ<<-的图象向左平移3π个单位后,得到下面的图像,则ϕω,的值为( )O ππ3π6211A .3,1πϕω-== B .3,2πϕω-==C .32,1πϕω== D.32,2πϕω== 9. 已知抛物线C 的方程为212x y =,过点A ()1,0-和点()3,t B 的直线与抛物线C 没有公共点,则实数t 的取值范围是A. ()()+∞-∞-,11,B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2222, C. ()()+∞-∞-,,2222 D. ()()+∞-∞-,,2210. 定义域是一切实数的函数()y f x =,其图象是连续不断的,且存在常数()R λλ∈使得()()0f x f x λλ++=对任意实数x 都成立,则称()f x 是一个“λ的相关函数”.有下列关于“λ的相关函数”的结论:①()0f x =是常数函数中唯一一个“λ的相关函数”;② 2()f x x =是一个“λ的相关函数”;③ “12的相关函数”至少有一个零点. 其中正确结论的个数是( )A .1B .2C .3D .0二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡的相应位置. 11. 已知数列{a n }满足a n ﹣a n+1=a n+1a n (n ∈N *),数列{b n }满足,且b 1+b 2+…+b 10=65,则a n = .12. 在ABC ∆中,34AE AB =,23AF AC =,设,BF CE 交于点P ,且EP EC λ=, FP FB μ=(,)R λμ∈,则λμ+的值为 .13. 设曲线y=在点(2,3)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a= .14. 将某班参加社会实践编号为:1,2,3,…,48的48名学生,采用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本,已知5号,21号,29号,37号,45号学生在样本,则样本中还有一名学生的编号是 ____________. 15. 如图甲,在中,,,为.垂足,则,该结论称为射影定理.如图乙,在三棱锥中,平面,平面,为垂足,且在内,类比射影定理,探究、、这三者之间满足的关系是三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.16. (本小题满分12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosA(ccosB+bcosC)=a.(I)求A;(II)若△ABC的面积为,且c2+abcosC+a2=4,求a.17.(本小题满分12分)传统文化就是文明演化而汇集成的一种反映民族特质和风貌的民族文化,是民族历史上各种思想文化、观念形态的总体表征.教育部考试中心确定了2017年普通高考部分学科更注重传统文化考核.某校为了了解高二年级中国数学传统文化选修课的教学效果,进行了一次阶段检测,并从中随机抽取80名同学的成绩,然后就其成绩分为A、B、C、D、E五个等级进行数据统计如下:根据以上抽样调查数据,视频率为概率.(1)若该校高二年级共有1000名学生,试估算该校高二年级学生获得成绩为B的人数;(2)若等级A、B、C、D、E分别对应100分、80分、60分、40分、20分,学校要求“平均分达60分以上”为“教学达标”,请问该校高二年级此阶段教学是否达标?(3)为更深入了解教学情况,将成绩等级为A、B的学生中,按分层抽样抽取7人,再从中任意抽取2名,求恰好抽到1名成绩为A的概率.18. (本小题满分12分)已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=2n+1﹣2(n∈N*).(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)令b n=na n,求数列{b n}的前n项和T n.19. (本小题满分12分)如图,△ABC为边长为2的正三角形,AE∥CD,且AE⊥平面ABC,2AE=CD=2.(1)求证:平面BDE⊥平面BCD;(2)求三棱锥D﹣BCE的高.20. (本小题满分13分)已知a为常数,函数f(x)=x2+ax﹣lnx,g(x)=e x(其中e是自然数对数的底数).(1)过坐标原点O作曲线y=f(x)的切线,设切点P(x0,y0)为,求x0的值;(2)令,若函数F(x)在区间(0,1]上是单调函数,求a的取值范围.21. (本小题满分14分)平面直角坐标系xoy中,椭圆C1: +=1(a>b>0)的离心率为,过椭圆右焦点F作两条相互垂直的弦,当其中一条弦所在直线斜率为0时,两弦长之和为6.(1)求椭圆的方程;(2)A,B是抛物线C2:x2=4y上两点,且A,B处的切线相互垂直,直线AB与椭圆C1相交于C,D两点,求弦|CD|的最大值.2017山东高考压轴卷数学文word版参考答案1【答案】B【解析】a=0时,A={0},满足题意;当a<0时,集合A=∅,满足题意;当a>0时,,若A⊆B,则,∴0<a<4,∴a∈(﹣∞,4),故选B.2【答案】A【解析】由题意可得,且,代入要求的式子化简可得答案.【解答】解:由题意可得:,且,∴===﹣4故选A3【答案】B【解析】A:直线m也可以在平面β内.B:根据线线垂直的判定可得结论是正确的.C:m与n可能平行也可能相交也可能异面.D:α与β也可以相交.可以举出墙角的例子.故选B.4【答案】B【解析】由函数y=Asin(ωx+ϕ)的部分图象可知,A=2, T=﹣(﹣)=,故T=π=,解得ω=2;由“五点作图法”得:2×+φ=,解得:φ=﹣.所以,y=2sin(2x﹣).由2kπ+≤2x﹣≤2kπ+(k∈Z)得:kπ+≤x≤kπ+(k∈Z).当k=0时,≤x≤;当k=1时,≤x≤;综上所述,函数y=2sin(2x﹣)在区间上的单调递减区间是[,]和[,].故选:B.5【答案】D【解析】的焦点为(0,1),所以圆C为,所以x2+(y﹣1)2=1,故选:D.6【答案】D【解析】模拟程序框图的运行过程,得出该程序运行后输出的算式:S=a1+a2+a3+a4+…+a2013+a2014+a2015+a2016=(0+1)+(﹣2+1)+(0+1)+(4+1)+…+(0+1)+(﹣2014+1)+(0+1)+=6+…+6=6×=3024;所以该程序运行后输出的S值是3024.故选:D.7【答案】B【解析】由排列可知,4个数字一循环,2014÷4=503×4+2,故2013的位置与1的位置相同,则2014的位置与2相同,2015的位置和3相同,2016的位置和4相同, 故选:B .8.【答案】D 【解析】试题分析:因为0>ω,函数)sin(ϕω+=x y )(πϕπ<<-的图象向左平移3π个单位后,得到sin ()sin()33y x x ππωφωωφ⎡⎤=++++⎢⎥⎣⎦,由函数的图像可知,2,,22362T T T πππππω=+=∴=∴==所以2sin(2)3y x πφ∴=++,又因为函数的图像过点5(,1)sin()1126ππφ-∴+=-,因为πφπ-<< 22,3πωφ==,应选D. 9【答案】 D 10【答案】A 11【答案】【解析】∵数列{a n }满足a n ﹣a n+1=a n+1a n (n ∈N *),∴﹣=1,即b n+1﹣b n =1,∴数列{b n }为等差数列,公差为1,又b 1+b 2+…+b 10=65, ∴10b 1+×1=65,解得b 1=2.∴b n =2+(n ﹣1)=n+1=,解得a n=.故答案为:.12【答案】75【解析】试题分析:由题设可得⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=)()(μλ,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+=)32(32)43(43μλ,也即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=AC AB AP μμλλ)1(32)1(43,所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-λμμλ)1(32)1(43,解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3121μλ,故65=+μλ,应填65. 13【答案】﹣ 【解析】∵y=, ∴y ′=,∴曲线y=在点(2,3)处的切线的斜率k==﹣2,∵曲线y=在点(2,3)处的切线与直线直线ax+y+1=0垂直,∴直线ax+y+1=0的斜率k ′=﹣a=,即a=﹣.故答案为:﹣. 14【答案】13【解析】系统抽样制取的样本编号成等差数列,因此还有一个编号为5821813+=-=. 15【答案】【解析】因为作则,又有相同的底BC ,所以,故答案为:16【解答】解:(I )由正弦定理可知,2cosA (sinBcosC+sinCcosB )=sinA , 即2cosAsinA=sinA , 因为A ∈(0,π), 所以sinA ≠0,所以2cosA=1,即cosA= 又A ∈(0,π), 所以A=;(II )∵△ABC的面积为,∴=,∴bc=1∵c2+abcosC+a2=4,∴3a2+b2+c2=8,∵a2=b2+c2﹣bc∴4a2=7,∴a=.17【解答】解:(1)由于这80人中,有12名学生成绩等级为B,所以可以估计该校学生获得成绩等级为B的概率为.…则该校高二年级学生获得成绩为B的人数约有1000×=150.…(2)由于这80名学生成绩的平均分为:(9×100+12×80+31×60+22×40+6×20)=59.…且59<60,因此该校高二年级此阶段教学未达标…(3)成绩为A、B的同学分别有9人,12人,所以按分层抽样抽取7人中成绩为A的有3人,成绩为B的有4人…则由题意可得:P(X=k)=,k=0,1,2,3.∴P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.所以EX=0+1×+2×+3×=.10分)18【解答】解:(Ⅰ)由,当n=1时,,当n≥2,,则,当n=1时,a1=2满足上式,所以.(Ⅱ)由(Ⅰ),.则,所以,则==(1﹣n)2n+1﹣2.所以.19【解答】(1)证明:取BD边的中点F,BC的中点为G,连接AG,FG,EF,由题意可知,FG是△BCD的中位线所以FG∥AE且FG=AE,即四边形AEFG为平行四边形,所以AG∥EF由AG⊥平面BCD可知,EF⊥平面BCD,又EF⊂面BDE,故平面BDE⊥平面BCD;(2)解:过B做BK⊥AC,垂足为K,因为AE⊥平面ABC,所以BK⊥平面ACDE,且所以V四棱锥B﹣ACDE=×V三棱锥E﹣ABC=所以V三棱锥D﹣BCE=V四棱锥B﹣ACDE﹣V三棱锥E﹣ABC=因为AB=AC=2,AE=1,所以,又BC=2所以设所求的高为h,则由等体积法得=所以.20【解答】解:(1)f′(x)=2x+a﹣(x>0),过切点P(x0,y0)的切线的斜率k=2x0+a﹣==,整理得x02+lnx0﹣1=0,显然,x0=1是这个方程的解,又因为y=x2+lnx﹣1在(0,+∞)上是增函数,所以方程x2+lnx﹣1=0有唯一实数解.故x0=1;(2)F(x)==,F′(x)=,设h(x)=﹣x2+(2﹣a)x+a﹣+lnx,则h′(x)=﹣2x+++2﹣a,易知h'(x)在(0,1]上是减函数,从而h'(x)≥h'(1)=2﹣a;①当2﹣a≥0,即a≤2时,h'(x)≥0,h(x)在区间(0,1)上是增函数.∵h(1)=0,∴h(x)≤0在(0,1]上恒成立,即F'(x)≤0在(0,1]上恒成立.∴F(x)在区间(0,1]上是减函数.所以,a≤2满足题意;②当2﹣a<0,即a>2时,设函数h'(x)的唯一零点为x0,则h(x)在(0,x0)上递增,在(x0,1)上递减;又∵h(1)=0,∴h(x0)>0.又∵h(e﹣a)=﹣e﹣2a+(2﹣a)e﹣a+a﹣e a+lne﹣a<0,∴h(x)在(0,1)内有唯一一个零点x',当x∈(0,x')时,h(x)<0,当x∈(x',1)时,h(x)>0.从而F(x)在(0,x')递减,在(x',1)递增,与在区间(0,1]上是单调函数矛盾.∴a>2不合题意.综合①②得,a≤2.21【解答】解:(1)∵椭圆C1: +=1(a>b>0)的离心率为,过椭圆右焦点F作两条相互垂直的弦,当其中一条弦所在直线斜率为0时,两弦长之和为6,∴,解得a=2,b=c=,∴椭圆方程为.(2)设直线AB为:y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),由,得x2﹣4kx﹣4m=0,则x1+x2=4k,x1x2=﹣4m,由x2=4y,得,故切线PA,PB的斜率分别为,k PB=,再由PA⊥PB,得k PA•k PB=﹣1,∴,解得m=1,这说明直线AB过抛物线C1的焦点F,由,得(1+2k2)x2+4kx﹣2=0,∴|CD|=•=≤3.当且仅当k=时取等号,∴弦|CD|的最大值为3.。

2017高考数学压轴题大集合

2017高考数学压轴题大集合

2017备战高考数学压轴题集合1 .(本小题满分14分)如图,设抛物线c : y = X 2的焦点为F ,动点P 在直线丨:x - y - 2二0上运动,过P 作抛 物线C 的两条切线PA 、PB ,且与抛物线C 分别相切于A 、B 两点. (1 )求厶APB 的重心 G 的轨 迹方程. (2)证明/ PFA= / PFB.2 2解: ( 1 )设切点 A 、B 坐标分别为(x, X 0 )和(x 1 , X-I )((x ^^ x 0),•••切线AP 的方程为:2x °x - y - x : =0;切线BP 的方程为:解得P 点的坐标为:x 。

X 1,y^X 0X 1所以△ APB 的重心的坐标为X 0 X 1 X pX p ,3y G 二X ; X ; X 0X 1 (X 0X 1)2-X °X 13_4X P 2 - y p2所以y p 二-3y G ' 4&,由点P 在直线l 上运动,从而得到重心G 的轨迹方程为:21 x-(-3y 4x )-2=0,即卩y(4x 3-x 2).2(2 )方法1 :因为FA =化,x 0,X °X 1由于P 点在抛物线外,则| FP F 0.• cos AFP 二旦竺|FP||FA|X 0 X 121 2X 0 (X 0X 1)(X 0 4(x 。

2-:)4| FP h X o-1) 4X 0X 1 1 一 4 |FP |FP 同理有cos ・BFP =| FP || FB |一X 0 +X 1FB _ ~2~ 1 2 1X 1 (X 0X 1 )(X 1 ) 4 41、2 4,|FP|: X 12(X 1^ J1 4|FP|X 0X 1•••/ AFP= / PFB.即(x 2 —」)x —my 亠=0.4 42.(本小题满分12分)D 两点• 并求直线 AB ‘使得A 、B 、C 、D 四点在同一个圆上?并说明理由(此题不要求在答题卡上画图)本小题主要考查直线、圆和椭圆等平面解析几何的基础知识以及推理运算能力和综合解决问 题的能力•(I)解法1:依题意,可设直线AB 的方程为y =k(x T ),3,代入3X 2 y 2整理得(k 2 3)x 2 -2k(k-3)x (k-3)2 - ■ =0.①设A(X 1, yj, B (X 2 ,y 2),则X 1 x 是方程①的两个不同的根,方法2 :①当x/o = 0时,由于X 1 -X o ,不妨设X 。

2017年全国卷I高考压轴卷 理综(解析版)

2017年全国卷I高考压轴卷 理综(解析版)

2017全国卷Ⅰ高考压轴卷理科综合本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

第I卷1至5页,第Ⅱ卷6至16页,共300分。

考试时间150分钟。

注意事项:1.本试卷分第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答卷前,考生务必将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2.回答第I卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。

答在本试卷上无效。

3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

可能用到的相对原子质量:H=1 C=12 O=16 N=14 S=32 Cu=64第I卷(共126分)一、选择题:本题包括13小题。

每小题6分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1、生物实验结束后,通常要观察其颜色变化,下面是一些同学在实验中遇到的问题,其中正确的是()A.用健那绿染液处理黑藻叶片,可清晰观察叶肉细胞内线粒体的形态和分布B.在模拟细胞大小与物质运输的关系时,琼脂块表面积和体积之比是自变量,氢氧化钠扩散速率是因变量C.用滴管在花生子叶薄片上滴加苏丹Ⅲ染液,发现满视野都呈现橘黄色,滴1﹣2滴体积分数50%的酒精可洗去浮色D.将双缩脲试剂A、B液混合后加入蛋清稀释液中,溶液呈紫色2.下图是某课外活动小组探究酶活动影响因素绘制的实验结果(实验中用盐酸创设酸性条件,盐酸能催化淀粉水解)。

下列有关叙述正确的是()A.实验的自变量是1h淀粉剩余量,因变量是pHB.pH为1时有淀粉水解,则过酸条件下酶没有失活C.pH为3时的酶的活性小于pH为9时酶的活性D. 与盐酸相比,淀粉酶降低反应活化能的作用要弱3.果蝇红眼形成的直接原因是红色色素的形成,而红色色素的形成需经一系列生物反应,每个反应所涉及的酶都与相应的基因有关,科学家将只有一个基因突变导致红眼不能形成的位于X染色体上的基因称为红眼基因。

2017北京市高考压轴卷数学(文)附答案解析

2017北京市高考压轴卷数学(文)附答案解析

2017北京市高考压轴卷文科数学第一部分(选择题共40分)一、选择题:本大题共8个小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1已知集合A={0,1},B={﹣1,0,a+2},且A ⊆B ,则实数a=( ) A .0B .﹣1C .﹣2D .﹣32. 函数y=f (x )在(0,2)上是增函数,函数y=f (x+2)是偶函数,则f (1),f (2.5),f (3.5)的大关系是( )A .f (2.5)<f (1)<f (3.5)B .f (2.5)>f (1)>f (3.5)C .f (3.5)>f (2.5)>f (1)D .f (1)>f (3.5)>f (2.5) 3. 给出下列命题:①函数y=cos (﹣2x )是偶函数;②函数y=sin (x+)在闭区间上是增函数;③直线x=是函数y=sin (2x+)图象的一条对称轴;④将函数y=cos (2x ﹣)的图象向左平移单位,得到函数y=cos2x 的图象,其中正确的命题的个数为( )A .1B .2C .3D .44. 命题“若6πα=,则33tan =α”的逆否命题是A.若6πα≠,则33tan ≠α B.若6πα=,则33tan ≠α C.若33tan ≠α,则6πα≠ D. 若33tan ≠α,则6πα=5. 设m 、n 是两条不同的直线,α、β、γ是三个不同的平面,则下列命题中正确的是( ) A .若α⊥β,m ⊥α,则m ∥β B .若m ⊥α,n ∥α,则m ⊥nC .若m ∥α,n ∥α,则m ∥nD .若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β6. 双曲线()222210,0x y a b a b-=>>的一条渐近线与圆(()2211x y -+-=相切,则此双曲线的离心率为( )(A)2 (B)5 (C)3 (D)27 下面茎叶图表示的是甲、乙两个篮球队在3次不同比赛中的得分情况,其中有一个数字模糊不清,在图中以m 表示.若甲队的平均得分不低于乙队的平均得分,那么m 的可能取值集合为( )A .B .C .D .8.执行如图所示的程序框图,输出的S 值为( )A .1B .23C .1321D .610987第Ⅱ卷(非选择题 共110分)二、填空题(共6个小题,每题5分,共30分)9. 已知是(-∞,+∞)上的减函数,那么a 的取值范围是10. 若复数+b (b ∈R )所对应的点在直线x+y=1上,则b 的值为 . 11.如图,()y f x =是可导函数,直线l 是曲线()y f x =在4x =处的切线,令()()f xg x x =,则()4g '= .12. .一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的表面积是 .13. 在四边形CD AB 中,()C 2,4A =,()D 2,1B =-,则该四边形的面积为_______ 14.如图,一条螺旋线是用以下方法画成:是边长为1的正三角形,曲线分别以为圆心,为半径画的弧,曲线称为螺旋线旋转一圈.然后又以为圆心为半径画弧…,这样画到第圈,则所得整条螺旋线的长度______.(用表示即可)三、解答题(共6小题,共80分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程)15.(本小题满分13分)在ABC ∆中, 223=4cos A cosA +.(1)求角A 的大小;(2)若2a =,求ABC ∆的周长l 的取值范围.16 (本小题满分13分)某农场计划种植某种新作物,为此对这种作物的两个品种(分别称为品种家和品种乙)进行田间试验.选取两大块地,每大块地分成n 小块地,在总共2n 小块地中,随机选n 小块地种植品种甲,另外n 小块地种植品种乙.(I )假设n =2,求第一大块地都种植品种甲的概率;(II )试验时每大块地分成8小块,即n =8,试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每公顷产量(单2分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差;根据试验结果,你认为应该种植哪一品种? 附:样本数据n x x x ,,,21⋅⋅⋅的的样本方差])()()[(1222212x x x x x x ns n -+⋅⋅⋅+-+-=,其中x 为样本平均数.17. (本小题共13分)已知数列{a n }的前n 项和为S n ,a 1=2,S n =n 2+n . (1)求数列{a n }的通项公式;(2)设{}的前n 项和为T n ,求证T n <1.18.(本小题共13分)已知在四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 是矩形,且2,1,AD AB PA ==⊥平面ABCD , ,E F 分别是线段,AB BC 的中点.(1)证明: PF FD ⊥;(2)若1PA =,求点E 到平面PFD 的距离.19.(本小题满分共14分)已知函数()()2ln .f x x ax a x a R =--∈(1)若函数()f x 在1x =处取得极值,求a 的值;(2)在(1)的条件下,求证:()322114;326x x f x x ≥+-+ (3)当[),x e ∈+∞时,()0f x ≥恒成立,求a 的取值范围.20.(本小题共14分)已知椭圆C )0(12222>>=+b a by a x 上点到两焦点的距离和为32,短轴长为21,直线l 与椭圆C 交于M 、 N 两点.(Ⅰ)求椭圆C 方程;(Ⅱ)若直线MN 与圆O 25122=+y x 相切,证明:MON ∠为定值; (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,求OM ON 的取值范围.试卷答案1B【解答】解:集合A={0,1},B={﹣1,0,a+2},且A ⊆B , 可得a+2=1,解得a=﹣1. 故选:B . 2B【分析】根据函数y=f (x+2)是偶函数,知x=2是其对称轴,又函数y=f (x )在(0,2)上是增函数,可知其在(2,4)上为减函数,而2.5,3.5∈(2,4),1∉(2,4),而f (1)=f (3),根据函数的单调性可得结果. 【解答】解:因为函数y=f (x )在(0,2)上是增函数,函数y=f (x+2)是偶函数, 所以x=2是对称轴,在(2,4)上为减函数, f (2.5)>f (1)=f (3)>f (3.5). 故选B . 3B【分析】利用诱导公式化简①,然后判断奇偶性;求出函数y=sin (x+)的增区间,判断②的正误;直线x=代入函数y=sin (2x+)是否取得最值,判断③的正误;利用平移求出解析式判断④的正误即可.解:①函数y=sin (﹣2x )=sin2x ,它是奇函数,不正确;②函数y=sin (x+)的单调增区间是,k ∈Z ,在闭区间上是增函数,正确;③直线x=代入函数y=sin (2x+)=﹣1,所以x=图象的一条对称轴,正确;④将函数y=cos (2x﹣)的图象向左平移单位,得到函数y=cos (2x+)的图象,所以④不正确.故选:B . 4.C 5. B【分析】A :漏掉了m ⊂β.B :根据线线垂直的判定可得结论是正确的.C :漏掉了m 与n 相交、异面的情况.D :可以举出墙角的例子.解:A :直线m 也可以在平面β内. B :根据线线垂直的判定可得结论是正确的. C :m 与n 可能平行也可能相交也可能异面. D :α与β也可以相交.可以举出墙角的例子. 故选B . 6A31b a -=,计算2e =,∴选A.7C【试题解析】由题知:所以m 可以取:0,1,2. 故答案为:C89.【解析】解:由已知是(-∞,+∞)上的减函数,可得,求得≤a<,故答案为:.10.0【解析】解:复数+b=+b=+b=b+i所对应的点(b,1)在直线x+y=1上,∴b+1=1,解得b=0.故答案为:0.11. 【答案】12. 【答案】2【解析】解:根据几何体的三视图,得该几何体是底面为等腰直角三角形的三棱锥,如图所示;∴该几何体的表面积为S表面积=S△PAC+2S△PAB+S△ABC=×2×1+2××2+×2×1=2+.故答案为:2+.13. 【答案】5【解析】根据题意,440AC BD ⋅=-+=,所以AC BD ⊥,且25,5AC BD ==,从而有该四边形的面积为1552S =⋅=14. 14.(31)n n π+【解析】设第n 段弧的弧长为,由弧长公式,可得…数列是以为首项、为公差的等差数列.画到第n 圈,有3n 段弧,故所得整条螺旋线的长度15. 【答案】(1)因为2234cos A cosA +=,所以2122cos 2cos A A +=, 所以24410cos A cosA -+=, 所以1cos 2A =.又因为0A π<<,所以3A π=.(2)因为sin sin sin a b c A B C ==, 3A π=, 2a =,所以sin ,sinC b B c ==, 所以)22sin sinC 3l b c B =++=++. 因为23B C π+=, 所以22sin sin 2sin 363l B B B ππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-=++ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦. 又因为203B π<<,所以1sin 126B π⎛⎫<+≤ ⎪⎝⎭,所以(]4,6l ∈【解析】(1)根据倍角公式可将已知等式转化为关于cos A 的二次方程,解方程求得cos A 的值,进而得到角A 的大小;(2)根据正弦定理可将三角形的边长用对应角的正弦值表示,列出周长l 的表达式并利用两角和与差公式化为关于角B 的三角函数,进而根据三角函数的值域求得周长l 的取值范围.16.解:(I )设第一大块地中的两小块地编号为1,2,第二大块地中的两小块地编号为3,4,令事件A=“第一大块地都种品种甲”.从4小块地中任选2小块地种植品种甲的基本事件共6个; (1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4). 而事件A 包含1个基本事件:(1,2).所以1().6P A =(II )品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为:222222221(403397390404388400412406)400,81(3(3)(10)4(12)0126)57.25.8x S =+++++++==+-+-++-+++=甲甲品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为:2222222221(419403412418408423400413)412,81(7(9)06(4)11(12)1)56.8x S =+++++++==+-+++-++-+=乙乙由以上结果可以看出,品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数,且两品种的样本方差差异不大,故应该选择种植品种乙.17. 【分析】(1)利用公式a n =S n ﹣S n ﹣1(n ≥2),得当n ≥2时a n =2n ,再验证n=1时,a 1=2×1=2也适合,即可得到数列{a n }的通项公式.(2)裂项得=﹣,由此可得前n 项和为T n =1﹣<1,再结合∈(0,1),不难得到T n <1对于一切正整数n 均成立.解:(1)当n ≥2时,a n =S n ﹣S n ﹣1=n 2+n ﹣[(n ﹣1)2+(n ﹣1)]=2n .∵n=1时,a 1=2×1=2,也适合∴数列{a n }的通项公式是a n =2n .(2)==﹣∴{}的前n 项和为T n =(1﹣)+(﹣)+(﹣)+…+(﹣)=1﹣=∵0<<1∴1﹣∈(0,1),即T n <1对于一切正整数n 均成立.18. 【答案】(1)证明:连接AF ,则22AF DF ==,又2222,,AD DF AF AD DF AF =∴+=∴⊥,又PA ⊥平面,ABCD DF PA∴⊥,又,PA AF A DF ⋂=∴⊥平面PAF ,又PF ⊂平面,PAF DF PF ∴⊥.(2) 53244EFD ADE BEF CDF ABCD S S S S S ∆∆∆∆=---=-=平面, 1131·13344P EFD EFD V S PA -∆∴==⨯⨯=,1161,?··34E PFD P EFD E PFD PFD V V V S h h ---∆=∴===,解得6h =,即点E 到平面PFD .19.20.解:(Ⅰ)由椭圆C 22221(0)x y a b a b +=>> 上点到两焦点的距离和为23, 得2a=23,即13 ;由短轴长为12,得2b=12,即1b 4=所以椭圆C 方程:229161x y += (Ⅱ)当直线MN x ⊥轴时,因为直线MN 与圆O 22125x y +=相切,所以直线MN 方程:x=51或x=-15,当直线方程为x=15,得两点分别为(15,15)和(15,-15),故OM ON ∙=0,可证M ON ∠=2π;同理可证当x=-15,MON ∠=2π; 当直线MN 与x 轴不垂直时,设直线MN :y=kx+b ,直线MN 与圆O 25122=+y x 的交点M ),11y x (,N ),22y x ( 由直线MN 与圆O 相切得:215k 1b=+,即25221b k =+ ①; 联立y=kx+b ,229161x y +=,得222916)321610k x kbx b +++-=(,因此0δ>,12x x +=-232916kb k +,12x x =22169116k b +-; 由OM ON ∙=12x x +12y y =12x x +12k )()x b kx b ++(=(1+k 2)12x x +kb (12x x +)+b 2=222251916b k k --+ ②; 由①②得OM ON ∙=0,即MON ∠=2π;综上MON ∠=2π(定值). (Ⅲ)不妨设XOM θ∠=,则N 2XO πθ∠=±,由三角函数定义可知M (OM cos θ,OM sin θ),N (±ON sin θ,±ON cos θ) 因为点M 、N 都在229161x y +=上,所以21OM =229cos 16sin θθ+, 21ON =229sin 16cos θθ+211()OM ON =21OM 21ON =(229cos 16sin θθ+)(229sin 16cos θθ+)=9⨯16+(9-16)222sin cos θθ=9⨯16+(9-16)221sin 24θ, 又2sin 2θ∈[0,1],故(1OM 1ON )2∈[9⨯16,(9162+)2] 因此OM ON ∈ [21,2512].。

2017山东省高考压轴卷语文附答案解析

2017山东省高考压轴卷语文附答案解析

2017山东省高考压轴卷语文本试题分为第I卷和第Ⅱ卷两部分。

共10页。

满分150分。

考试用时150分钟。

考试结束后。

将本试卷和答题卡第I卷(36分)一、(每小题3分,共15分)阅读下面文段,完成1~3题。

晚风徐来,轻轻地滑过树稍、草尖、树们、草们就腰脊.闪晃,摇曳..着缥缈的梦。

河水迤逦着金色的光,浪花拍击着堤岸的碎石,弹奏着(清纯/清醇)的音符,唱着欢快的歌谣;还有鸟儿的鸣啾..与狗吠、牛哞、羊唤一起喧响,构成了草原的绝唱。

薄薄的雾气氤氲..,轻拂着盘树的虬枝,清丽的河水充盈着①。

两岸茂密绵延的红柳,烂漫成了火焰,尽情燃放,(显示/昭示)着生命的倔强与执着。

星星点点,灯火亮起,归牧的牛羊走在回家的路上,②,劳做..的乡民们陆陆续续地收了工,一天的忙碌与疲惫..着对美好生活的(憧..画上了句号,人们荷锄背草,扛袋提筐,脸上挂着串串晶莹的汗珠,洋溢憬/希望)。

1.文中加点字的注音和加点词语的字形,都正确的一项是()(3分)A.脊(jǐ)摇曳B.啾(jiū)劳做C.氲(wēn)疲惫D.荷(hé)洋溢2.依次选用文中括号里的词语,最恰当的一项是()(3分)A.清纯昭示憧憬B.清醇显示憧憬C.清醇昭示希望D.清纯显示希望3.在文中两处横线上依次填入语句,最恰当的一项是()(3分)A.①泥土的味道、花草的味道、岁月沉淀的味道②动听的诗行在阵阵蹄声中奏出B.①岁月沉淀的味道、泥土的味道、花草的味道②阵阵蹄声奏出动听的诗行C.①泥土的味道、花草的味道、岁月沉淀的味道②阵阵蹄声奏出动听的诗行D.①岁月沉淀的味道、泥土的味道、花草的味道②动听的诗行在阵阵蹄声中奏出4. 下列句中加点成语的运用,全部正确的一项是()(3分)①会议开始,小刘被要求首先发言,他没有话说,却又必须发言,只好搜肠刮肚....,讲了五分钟,便草草收场,下台休息去了。

②如今,我们见到很多学生出现成长危机,都是与错误的家庭教育休戚相关....,而他们的父母往往有着高学历、高职位,有的还收入不菲。

2017山东省高考压轴卷数学(文)附答案解析

2017山东省高考压轴卷数学(文)附答案解析

2017山东省高考压轴卷文科数学一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的1. 集合A={x|x2﹣a≤0},B={x|x<2},若A⊆B,则实数a的取值范围是()A.(﹣∞,4] B.(﹣∞,4)C. D.(0,4)2. 在△ABC中,M是BC的中点,AM=3,点P在AM上,且满足,则的值为()A.﹣4 B.﹣2 C.2 D.43. 设m、n是两条不同的直线,α、β、γ是三个不同的平面,则下列命题中正确的是()A.若α⊥β,m⊥α,则m∥βB.若m⊥α,n∥α,则m⊥nC.若m∥α,n∥α,则m∥n D.若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β4. 函数y=Asin(ωx+ϕ)的部分图象如图所示,则其在区间上的单调递减区间是()A.和B.和C.和D.和5. 已知圆C的圆心为y=x2的焦点,且与直线4x+3y+2=0相切,则圆C的方程为()A. B.C.(x﹣1)2+y2=1 D.x2+(y﹣1)2=16某程序框图如图所示.该程序运行后输出的S的值是()A .1007B .2015C .2016D .30247. 数0,1,2,3,4,5,…按以下规律排列: …,则从2013到2016四数之间的位置图形为()A .B. C. D .8. 设0>ω,函数)sin(ϕω+=x y )(πϕπ<<-的图象向左平移3π个单位后,得到下面的图像,则ϕω,的值为( )O ππ3π6211A .3,1πϕω-== B .3,2πϕω-==C .32,1πϕω== D.32,2πϕω== 9. 已知抛物线C 的方程为212x y =,过点A ()1,0-和点()3,t B 的直线与抛物线C 没有公共点,则实数t的取值范围是A. ()()+∞-∞-,11,B. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-∞-,2222, C. ()()+∞-∞-,,2222 D. ()()+∞-∞-,,2210. 定义域是一切实数的函数()y f x =,其图象是连续不断的,且存在常数()R λλ∈使得()()0f x f x λλ++=对任意实数x 都成立,则称()f x 是一个“λ的相关函数”.有下列关于“λ的相关函数”的结论:①()0f x =是常数函数中唯一一个“λ的相关函数”;② 2()f x x =是一个“λ的相关函数”;③ “12的相关函数”至少有一个零点. 其中正确结论的个数是( )A .1B .2C .3D .0二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡的相应位置. 11. 已知数列{a n }满足a n ﹣a n+1=a n+1a n (n ∈N *),数列{bn }满足,且b 1+b 2+…+b 10=65,则a n = .12. 在ABC ∆中,34AE AB =,23AF AC =,设,BF CE 交于点P ,且EP EC λ=, FP FB μ=(,)R λμ∈,则λμ+的值为.13. 设曲线y=在点(2,3)处的切线与直线ax+y+1=0垂直,则a= .14. 将某班参加社会实践编号为:1,2,3,…,48的48名学生,采用系统抽样的方法抽取一个容量为6的样本,已知5号,21号,29号,37号,45号学生在样本,则样本中还有一名学生的编号是 ____________. 15. 如图甲,在中,,,为.垂足,则,该结论称为射影定理.如图乙,在三棱锥中,平面,平面,为垂足,且在内,类比射影定理,探究、、这三者之间满足的关系是三、解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.16. (本小题满分12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cosA(ccosB+bcosC)=a.(I)求A;(II)若△ABC的面积为,且c2+abcosC+a2=4,求a.17.(本小题满分12分)传统文化就是文明演化而汇集成的一种反映民族特质和风貌的民族文化,是民族历史上各种思想文化、观念形态的总体表征.教育部考试中心确定了2017年普通高考部分学科更注重传统文化考核.某校为了了解高二年级中国数学传统文化选修课的教学效果,进行了一次阶段检测,并从中随机抽取80名同学的成绩,然后就其成绩分为A、B、C、D、E五个等级进行数据统计如下:根据以上抽样调查数据,视频率为概率.(1)若该校高二年级共有1000名学生,试估算该校高二年级学生获得成绩为B的人数;(2)若等级A、B、C、D、E分别对应100分、80分、60分、40分、20分,学校要求“平均分达60分以上”为“教学达标”,请问该校高二年级此阶段教学是否达标?(3)为更深入了解教学情况,将成绩等级为A、B的学生中,按分层抽样抽取7人,再从中任意抽取2名,求恰好抽到1名成绩为A的概率.18. (本小题满分12分)已知数列{a n}的前n项和为S n,且S n=2n+1﹣2(n∈N*).(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)令b n=na n,求数列{b n}的前n项和T n.19. (本小题满分12分)如图,△ABC为边长为2的正三角形,AE∥CD,且AE⊥平面ABC,2AE=CD=2.(1)求证:平面BDE⊥平面BCD;(2)求三棱锥D﹣BCE的高.20. (本小题满分13分)已知a为常数,函数f(x)=x2+ax﹣lnx,g(x)=e x(其中e是自然数对数的底数).(1)过坐标原点O作曲线y=f(x)的切线,设切点P(x0,y0)为,求x0的值;(2)令,若函数F(x)在区间(0,1]上是单调函数,求a的取值范围.21. (本小题满分14分)平面直角坐标系xoy中,椭圆C1: +=1(a>b>0)的离心率为,过椭圆右焦点F作两条相互垂直的弦,当其中一条弦所在直线斜率为0时,两弦长之和为6.(1)求椭圆的方程;(2)A,B是抛物线C2:x2=4y上两点,且A,B处的切线相互垂直,直线AB与椭圆C1相交于C,D两点,求弦|CD|的最大值.2017山东高考压轴卷数学文word版参考答案1【答案】B【解析】a=0时,A={0},满足题意;当a<0时,集合A=∅,满足题意;当a>0时,,若A⊆B,则,∴0<a<4,∴a∈(﹣∞,4),故选B.2【答案】A【解析】由题意可得,且,代入要求的式子化简可得答案.【解答】解:由题意可得:,且,∴===﹣4故选A3【答案】B【解析】A:直线m也可以在平面β内.B:根据线线垂直的判定可得结论是正确的.C :m 与n 可能平行也可能相交也可能异面.D :α与β也可以相交.可以举出墙角的例子. 故选B . 4【答案】B【解析】由函数y=Asin (ωx+ϕ)的部分图象可知,A=2, T=﹣(﹣)=,故T=π=,解得ω=2;由“五点作图法”得:2×+φ=,解得:φ=﹣.所以,y=2sin (2x ﹣).由2k π+≤2x ﹣≤2k π+(k ∈Z )得:k π+≤x ≤k π+(k ∈Z ).当k=0时,≤x ≤;当k=1时,≤x ≤;综上所述,函数y=2sin (2x ﹣)在区间上的单调递减区间是[,]和[,].故选:B . 5【答案】D【解析】的焦点为(0,1),所以圆C 为,所以x 2+(y ﹣1)2=1, 故选:D . 6【答案】D【解析】模拟程序框图的运行过程,得出该程序运行后输出的算式: S=a 1+a 2+a 3+a 4+…+a 2013+a 2014+a 2015+a 2016=(0+1)+(﹣2+1)+(0+1)+(4+1)+…+(0+1)+(﹣2014+1)+(0+1)+=6+…+6=6×=3024;所以该程序运行后输出的S 值是3024. 故选:D . 7【答案】B【解析】由排列可知,4个数字一循环,2014÷4=503×4+2,故2013的位置与1的位置相同,则2014的位置与2相同,2015的位置和3相同,2016的位置和4相同, 故选:B .8.【答案】D 【解析】试题分析:因为0>ω,函数)sin(ϕω+=x y )(πϕπ<<-的图象向左平移3π个单位后,得到sin ()sin()33y x x ππωφωωφ⎡⎤=++++⎢⎥⎣⎦,由函数的图像可知,2,,22362T T T πππππω=+=∴=∴== 所以2sin(2)3y x πφ∴=++,又因为函数的图像过点5(,1)sin()1126ππφ-∴+=-,因为πφπ-<< 22,3πωφ==,应选D. 9【答案】 D 10【答案】A 11【答案】【解析】∵数列{a n }满足a n ﹣a n+1=a n+1a n (n ∈N *),∴﹣=1,即b n+1﹣b n =1,∴数列{b n }为等差数列,公差为1,又b 1+b 2+…+b 10=65,∴10b 1+×1=65,解得b 1=2.∴b n =2+(n ﹣1)=n+1=,解得a n =.故答案为:.12【答案】75【解析】试题分析:由题设可得⎪⎩⎪⎨⎧-+=-+=)()(μλ,即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-+=-+=)32(32)43(43μλ,也即⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=ABAC AP AC AB AP μμλλ)1(32)1(43,所以⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=-=-λμμλ)1(32)1(43,解之得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3121μλ,故65=+μλ,应填65.13【答案】﹣【解析】∵y=,∴y ′=,∴曲线y=在点(2,3)处的切线的斜率k==﹣2,∵曲线y=在点(2,3)处的切线与直线直线ax+y+1=0垂直,∴直线ax+y+1=0的斜率k ′=﹣a=,即a=﹣. 故答案为:﹣. 14【答案】13【解析】系统抽样制取的样本编号成等差数列,因此还有一个编号为5821813+=-=. 15【答案】【解析】因为作则,又有相同的底BC ,所以,故答案为:16【解答】解:(I )由正弦定理可知,2cosA (sinBcosC+sinCcosB )=sinA , 即2cosAsinA=sinA , 因为A ∈(0,π), 所以sinA ≠0,所以2cosA=1,即cosA= 又A ∈(0,π), 所以A=;(II )∵△ABC 的面积为,∴=,∴bc=1∵c2+abcosC+a2=4,∴3a2+b2+c2=8,∵a2=b2+c2﹣bc∴4a2=7,∴a=.17【解答】解:(1)由于这80人中,有12名学生成绩等级为B,所以可以估计该校学生获得成绩等级为B的概率为.…则该校高二年级学生获得成绩为B的人数约有1000×=150.…(2)由于这80名学生成绩的平均分为:(9×100+12×80+31×60+22×40+6×20)=59.…且59<60,因此该校高二年级此阶段教学未达标…(3)成绩为A、B的同学分别有9人,12人,所以按分层抽样抽取7人中成绩为A的有3人,成绩为B的有4人…则由题意可得:P(X=k)=,k=0,1,2,3.∴P(X=0)=,P(X=1)=,P(X=2)=,P(X=3)=.所以EX=0+1×+2×+3×=.10分)18【解答】解:(Ⅰ)由,当n=1时,,当n≥2,,则,当n=1时,a1=2满足上式,所以.(Ⅱ)由(Ⅰ),.则,所以,则==(1﹣n)2n+1﹣2.所以.19【解答】(1)证明:取BD边的中点F,BC的中点为G,连接AG,FG,EF,由题意可知,FG是△BCD的中位线所以FG∥AE且FG=AE,即四边形AEFG为平行四边形,所以AG∥EF由AG⊥平面BCD可知,EF⊥平面BCD,又EF⊂面BDE,故平面BDE⊥平面BCD;(2)解:过B做BK⊥AC,垂足为K,因为AE⊥平面ABC,所以BK⊥平面ACDE,且所以V四棱锥B﹣ACDE=×V三棱锥E﹣ABC=所以V三棱锥D﹣BCE=V四棱锥B﹣ACDE﹣V三棱锥E﹣ABC=因为AB=AC=2,AE=1,所以,又BC=2所以设所求的高为h,则由等体积法得=所以.20【解答】解:(1)f′(x)=2x+a﹣(x>0),过切点P(x0,y0)的切线的斜率k=2x0+a﹣==,整理得x02+lnx0﹣1=0,显然,x0=1是这个方程的解,又因为y=x2+lnx﹣1在(0,+∞)上是增函数,所以方程x2+lnx﹣1=0有唯一实数解.故x0=1;(2)F(x)==,F′(x)=,设h(x)=﹣x2+(2﹣a)x+a﹣+lnx,则h′(x)=﹣2x+++2﹣a,易知h'(x)在(0,1]上是减函数,从而h'(x)≥h'(1)=2﹣a;①当2﹣a≥0,即a≤2时,h'(x)≥0,h(x)在区间(0,1)上是增函数.∵h(1)=0,∴h(x)≤0在(0,1]上恒成立,即F'(x)≤0在(0,1]上恒成立.∴F(x)在区间(0,1]上是减函数.所以,a≤2满足题意;②当2﹣a<0,即a>2时,设函数h'(x)的唯一零点为x0,则h(x)在(0,x0)上递增,在(x0,1)上递减;又∵h(1)=0,∴h(x0)>0.又∵h(e﹣a)=﹣e﹣2a+(2﹣a)e﹣a+a﹣e a+lne﹣a<0,∴h(x)在(0,1)内有唯一一个零点x',当x∈(0,x')时,h(x)<0,当x∈(x',1)时,h(x)>0.从而F(x)在(0,x')递减,在(x',1)递增,与在区间(0,1]上是单调函数矛盾.∴a>2不合题意.综合①②得,a≤2.21【解答】解:(1)∵椭圆C1: +=1(a>b>0)的离心率为,过椭圆右焦点F作两条相互垂直的弦,当其中一条弦所在直线斜率为0时,两弦长之和为6,∴,解得a=2,b=c=,∴椭圆方程为.(2)设直线AB为:y=kx+m,A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),由,得x2﹣4kx﹣4m=0,则x1+x2=4k,x1x2=﹣4m,由x2=4y,得,故切线PA,PB的斜率分别为,k PB=,再由PA⊥PB,得k PA•k PB=﹣1,∴,解得m=1,这说明直线AB过抛物线C1的焦点F,由,得(1+2k2)x2+4kx﹣2=0,∴|CD|=•=≤3.当且仅当k=时取等号,∴弦|CD|的最大值为3.。

2017全国卷Ⅰ高考压轴卷文科综合附答案解析

2017全国卷Ⅰ高考压轴卷文科综合附答案解析

绝密★启封前2017全国卷Ⅰ高考压轴卷文科综合注意事项:1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。

答题前,考生务必在将自己的姓名、考生号填写在答题卡上。

2. 回答第Ⅰ卷时,选出每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。

写在试卷上无效。

3. 回答第Ⅱ卷时,将答案卸载答题卡上,写在试卷上无效。

4. 考试结束,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷(选择题共140分)本卷共35小题。

每小题4分,共140分。

在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

读某日某时晨昏线分布图,完成1—2题。

1.此时,北京时间不可能是A.零时40分B.12时40分C.3时40分D.15时20分2.下图示意四条正午太阳高度年变化曲线,其中有两条曲线与甲乙丙丁四地中两地相符,这两条曲线是A.①②B.③④C.①④D.②③读某地等高线(单位:m)分布图,完成3—5题。

3.ab段河流流向是A.由东向西B.由北向南C.由西南向东北D.由东南向西北4.野外宿营一般不选择①处的主要原因是A.处于阴坡,光照条件差B.离河流较远,取水不方便C.位于山脊,风力太大D.处于河谷、靠近陡坡,易受山洪和山石崩塌威胁5.②处修建了水泥厂,其原料主要来自③处采石场。

为了运输原料,计划修建一条公路,比较合理的线路是A.甲B.乙C.丙D.丁从2016年1月1日起,我国全面放开二孩政策。

至此,实施了多年的独生子女政策正式宣布终结。

下图是我国某省建国以来人口自然增长统计图,该图包含预测部分,能反映我国大多数地区人口增长过程的一般规律。

据此完成6—7题。

6.计划生育政策调整的现实背景不包括A.人口老龄化问题B.独生子女问题与“失独”问题C.男女比例失衡问题D.人口总数减少问题7.关于该统计图的叙述,正确的是A.甲拐点的出现导致独生子女政策的提出B.乙拐点的出现导致全面二孩政策的提出C.①时段经济发展水平高D.③时段经济发展水平最高徐闻县位于广东省西南部,农业人口近80%。

  1. 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
  2. 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
  3. 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。

2017高考压轴题总汇一.解答题(共40小题)1.已知函数f(x)=ae2x+(a﹣2)e x﹣x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.2.已知函数f(x)=e x(e x﹣a)﹣a2x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)≥0,求a的取值范围.3.已知函数f(x)=e x cosx﹣x.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)求函数f(x)在区间[0,]上的最大值和最小值.4.已知函数f(x)=(x﹣)e﹣x(x≥).(1)求f(x)的导函数;(2)求f(x)在区间[,+∞)上的取值范围.5.已知函数f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a<0时,证明f(x)≤﹣﹣2.6.已知函数f(x)=x﹣1﹣alnx.(1)若f(x)≥0,求a的值;(2)设m为整数,且对于任意正整数n,(1+)(1+)…(1+)<m,求m的最小值.7.设a∈Z,已知定义在R上的函数f(x)=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间(1,2)内有一个零点x0,g(x)为f(x)的导函数.(Ⅰ)求g(x)的单调区间;(Ⅱ)设m∈[1,x0)∪(x0,2],函数h(x)=g(x)(m﹣x0)﹣f(m),求证:h(m)h(x0)<0;(Ⅲ)求证:存在大于0的常数A,使得对于任意的正整数p,q,且∈[1,x0)∪(x0,2],满足|﹣x0|≥.8.设函数f(x)=(1﹣x2)e x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当x≥0时,f(x)≤ax+1,求a的取值范围.9.已知函数f(x)=x2+2cosx,g(x)=e x(cosx﹣sinx+2x﹣2),其中e≈2.71828…是自然对数的底数.(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程;(Ⅱ)令h(x)=g (x)﹣a f(x)(a∈R),讨论h(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.10.设a,b∈R,|a|≤1.已知函数f(x)=x3﹣6x2﹣3a(a﹣4)x+b,g(x)=e x f (x).(Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)已知函数y=g(x)和y=e x的图象在公共点(x0,y0)处有相同的切线,(i)求证:f(x)在x=x0处的导数等于0;(ii)若关于x的不等式g(x)≤e x在区间[x0﹣1,x0+1]上恒成立,求b的取值范围.11.已知函数f(x)=x3﹣ax2,a∈R,(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程;(2)设函数g(x)=f(x)+(x﹣a)cosx﹣sinx,讨论g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.12.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值,且导函数f′(x)的极值点是f(x)的零点.(Ⅰ)求b关于a的函数关系式,并写出定义域;(Ⅱ)证明:b2>3a;(Ⅲ)若f(x),f′(x)这两个函数的所有极值之和不小于﹣,求实数a的取值范围.13.已知函数f(x)=ax2﹣ax﹣xlnx,且f(x)≥0.(1)求a;(2)证明:f(x)存在唯一的极大值点x0,且e﹣2<f(x0)<2﹣2.14.设函数f(x)=xe a﹣x+bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=(e﹣1)x+4,(Ⅰ)求a,b的值;(Ⅱ)求f(x)的单调区间.15.设函数f(x)=x3+ax2+bx+c.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)设a=b=4,若函数f(x)有三个不同零点,求c的取值范围;(3)求证:a2﹣3b>0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件.16.设函数f(x)=lnx﹣x+1.(1)讨论f(x)的单调性;(2)证明当x∈(1,+∞)时,1<<x;(3)设c>1,证明当x∈(0,1)时,1+(c﹣1)x>c x.17.已知函数f(x)=a x+b x(a>0,b>0,a≠1,b≠1).(1)设a=2,b=.①求方程f(x)=2的根;②若对于任意x∈R,不等式f(2x)≥mf(x)﹣6恒成立,求实数m的最大值;(2)若0<a<1,b>1,函数g(x)=f(x)﹣2有且只有1个零点,求ab的值.18.已知函数f(x)=(x+1)lnx﹣a(x﹣1).(I)当a=4时,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;(II)若当x∈(1,+∞)时,f(x)>0,求a的取值范围.19.设函数f(x)=ax2﹣a﹣lnx,其中a∈R.(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)确定a的所有可能取值,使得f(x)>﹣e1﹣x在区间(1,+∞)内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数).20.设f(x)=xln x﹣ax2+(2a﹣1)x,a∈R.(1)令g(x)=f′(x),求g(x)的单调区间;(2)已知f(x)在x=1处取得极大值,求正实数a的取值范围.21.设函数f(x)=x3﹣ax﹣b,x∈R,其中a,b∈R.(1)求f(x)的单调区间;(2)若f(x)存在极值点x0,且f(x1)=f(x0),其中x1≠x0,求证:x1+2x0=0;(3)设a>0,函数g(x)=|f(x)|,求证:g(x)在区间[﹣1,1]上的最大值不小于.22.设函数f(x)=acos2x+(a﹣1)(cosx+1),其中a>0,记|f(x)|的最大值为A.(Ⅰ)求f′(x);(Ⅱ)求A;(Ⅲ)证明:|f′(x)|≤2A.23.已知函数f(x)=(x﹣2)e x+a(x﹣1)2有两个零点.(Ⅰ)求a的取值范围;(Ⅱ)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x2<2.24.已知f(x)=a(x﹣lnx)+,a∈R.(I)讨论f(x)的单调性;(II)当a=1时,证明f(x)>f′(x)+对于任意的x∈[1,2]成立.25.已知函数f(x)=(x﹣2)e x+a(x﹣1)2.(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.26.设函数f(x)=ax2﹣a﹣ln x,g(x)=﹣,其中a∈R,e=2.718…为自然对数的底数.(1)讨论f(x)的单调性;(2)证明:当x>1时,g(x)>0;(3)确定a的所有可能取值,使得f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内恒成立.27.设函数f(x)=(x﹣1)3﹣ax﹣b,x∈R,其中a,b∈R.(1)求f(x)的单调区间;(2)若f(x)存在极值点x0,且f(x1)=f(x0),其中x1≠x0,求证:x1+2x0=3;(3)设a>0,函数g(x)=|f(x)|,求证:g(x)在区间[0,2]上的最大值不小于.28.(Ⅰ)讨论函数f(x)=e x的单调性,并证明当x>0时,(x﹣2)e x+x+2>0;(Ⅱ)证明:当a∈[0,1)时,函数g(x)=(x>0)有最小值.设g (x)的最小值为h(a),求函数h(a)的值域.29.已知函数f(x)=ax2+,其中a为常数(1)根据a的不同取值,判断函数f(x)的奇偶性,并说明理由;(2)若a∈(1,3),判断函数f(x)在[1,2]上的单调性,并说明理由.30.设n∈N*,x n是曲线y=x2n+2+1在点(1,2)处的切线与x轴交点的横坐标.(Ⅰ)求数列{x n}的通项公式;(Ⅱ)记T n=x12x32…x2n﹣12,证明:T n≥.31.设函数f(x)=e mx+x2﹣mx.(1)证明:f(x)在(﹣∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增;(2)若对于任意x1,x2∈[﹣1,1],都有|f(x1)﹣f(x2)|≤e﹣1,求m的取值范围.32.设函数f(x)=lnx+a(1﹣x).(Ⅰ)讨论:f(x)的单调性;(Ⅱ)当f(x)有最大值,且最大值大于2a﹣2时,求a的取值范围.33.已知函数f(x)=lnx﹣.(Ⅰ)求函数f(x)的单调增区间;(Ⅱ)证明;当x>1时,f(x)<x﹣1;(Ⅲ)确定实数k的所有可能取值,使得存在x0>1,当x∈(1,x0)时,恒有f(x)>k(x﹣1).34.已知函数f(x)=ax3+x2(a∈R)在x=处取得极值.(Ⅰ)确定a的值;(Ⅱ)若g(x)=f(x)e x,讨论g(x)的单调性.35.已知函数f(x)=ln,(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(Ⅱ)求证,当x∈(0,1)时,f(x)>;(Ⅲ)设实数k使得f(x)对x∈(0,1)恒成立,求k的最大值.36.设函数f(x)=(x+a)lnx,g(x)=.已知曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与直线2x﹣y=0平行.(Ⅰ)求a的值;(Ⅱ)是否存在自然数k,使得方程f(x)=g(x)在(k,k+1)内存在唯一的根?如果存在,求出k;如果不存在,请说明理由;(Ⅲ)设函数m(x)=min{f(x),g(x)}(min{p,q}表示p,q中的较小值),求m(x)的最大值.37.设函数f(x)=e2x﹣alnx.(Ⅰ)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数;(Ⅱ)证明:当a>0时,f(x)≥2a+aln.38.设函数f(x)=﹣klnx,k>0.(1)求f(x)的单调区间和极值;(2)证明:若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,]上仅有一个零点.39.已知函数f(x)=(a>0,r>0)(1)求f(x)的定义域,并讨论f(x)的单调性;(2)若=400,求f(x)在(0,+∞)内的极值.40.已知函数f(x)=﹣2(x+a)lnx+x2﹣2ax﹣2a2+a,其中a>0.(Ⅰ)设g(x)是f(x)的导函数,讨论g(x)的单调性;(Ⅱ)证明:存在a∈(0,1),使得f(x)≥0在区间(1,+∞)内恒成立,且f(x)=0在区间(1,+∞)内有唯一解.解析一.解答题(共40小题)1.已知函数f(x)=ae2x+(a﹣2)e x﹣x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.【解答】解:(1)由f(x)=ae2x+(a﹣2)e x﹣x,求导f′(x)=2ae2x+(a﹣2)e x ﹣1,当a=0时,f′(x)=﹣2e x﹣1<0,∴当x∈R,f(x)单调递减,当a>0时,f′(x)=(2e x+1)(ae x﹣1)=2a(e x+)(e x﹣),令f′(x)=0,解得:x=ln,当f′(x)>0,解得:x>ln,当f′(x)<0,解得:x<ln,∴x∈(﹣∞,ln)时,f(x)单调递减,x∈(ln,+∞)单调递增;当a<0时,f′(x)=2a(e x+)(e x﹣)<0,恒成立,∴当x∈R,f(x)单调递减,综上可知:当a≤0时,f(x)在R单调减函数,当a>0时,f(x)在(﹣∞,ln)是减函数,在(ln,+∞)是增函数;(2)①若a≤0时,由(1)可知:f(x)最多有一个零点,当a>0时,f(x)=ae2x+(a﹣2)e x﹣x,当x→﹣∞时,e2x→0,e x→0,∴当x→﹣∞时,f(x)→+∞,当x→∞,e2x→+∞,且远远大于e x和x,∴当x→∞,f(x)→+∞,∴函数有两个零点,f(x)的最小值小于0即可,由f(x)在(﹣∞,ln)是减函数,在(ln,+∞)是增函数,∴f(x)min=f(ln)=a×()+(a﹣2)×﹣ln<0,∴1﹣﹣ln<0,即ln+﹣1>0,设t=,则g(t)=lnt+t﹣1,(t>0),求导g′(t)=+1,由g(1)=0,∴t=>1,解得:0<a<1,∴a的取值范围(0,1).方法二:(1)由f(x)=ae2x+(a﹣2)e x﹣x,求导f′(x)=2ae2x+(a﹣2)e x﹣1,当a=0时,f′(x)=﹣2e x﹣1<0,∴当x∈R,f(x)单调递减,当a>0时,f′(x)=(2e x+1)(ae x﹣1)=2a(e x+)(e x﹣),令f′(x)=0,解得:x=﹣lna,当f′(x)>0,解得:x>﹣lna,当f′(x)<0,解得:x<﹣lna,∴x∈(﹣∞,﹣lna)时,f(x)单调递减,x∈(﹣lna,+∞)单调递增;当a<0时,f′(x)=2a(e x+)(e x﹣)<0,恒成立,∴当x∈R,f(x)单调递减,综上可知:当a≤0时,f(x)在R单调减函数,当a>0时,f(x)在(﹣∞,﹣lna)是减函数,在(﹣lna,+∞)是增函数;(2)①若a≤0时,由(1)可知:f(x)最多有一个零点,②当a>0时,由(1)可知:当x=﹣lna时,f(x)取得最小值,f(x)min=f(﹣lna)=1﹣﹣ln,当a=1,时,f(﹣lna)=0,故f(x)只有一个零点,当a∈(1,+∞)时,由1﹣﹣ln>0,即f(﹣lna)>0,故f(x)没有零点,当a∈(0,1)时,1﹣﹣ln<0,f(﹣lna)<0,由f(﹣2)=ae﹣4+(a﹣2)e﹣2+2>﹣2e﹣2+2>0,故f(x)在(﹣∞,﹣lna)有一个零点,假设存在正整数n0,满足n0>ln(﹣1),则f(n0)=(a+a﹣2)﹣n0>﹣n0>﹣n0>0,由ln(﹣1)>﹣lna,因此在(﹣lna,+∞)有一个零点.∴a的取值范围(0,1).2.已知函数f(x)=e x(e x﹣a)﹣a2x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)≥0,求a的取值范围.【解答】解:(1)f(x)=e x(e x﹣a)﹣a2x=e2x﹣e x a﹣a2x,∴f′(x)=2e2x﹣ae x﹣a2=(2e x+a)(e x﹣a),①当a=0时,f′(x)>0恒成立,∴f(x)在R上单调递增,②当a>0时,2e x+a>0,令f′(x)=0,解得x=lna,当x<lna时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减,当x>lna时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,③当a<0时,e x﹣a<0,令f′(x)=0,解得x=ln(﹣),当x<ln(﹣)时,f′(x)<0,函数f(x)单调递减,当x>ln(﹣)时,f′(x)>0,函数f(x)单调递增,综上所述,当a=0时,f(x)在R上单调递增,当a>0时,f(x)在(﹣∞,lna)上单调递减,在(lna,+∞)上单调递增,当a<0时,f(x)在(﹣∞,ln(﹣))上单调递减,在(ln(﹣),+∞)上单调递增,(2)①当a=0时,f(x)=e2x>0恒成立,②当a>0时,由(1)可得f(x)min=f(lna)=﹣a2lna≥0,∴lna≤0,∴0<a≤1,③当a<0时,由(1)可得:f(x)min=f(ln(﹣))=﹣a2ln(﹣)≥0,∴ln(﹣)≤,∴﹣2≤a<0,综上所述a的取值范围为[﹣2,1]3.已知函数f(x)=e x cosx﹣x.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)求函数f(x)在区间[0,]上的最大值和最小值.【解答】解:(1)函数f(x)=e x cosx﹣x的导数为f′(x)=e x(cosx﹣sinx)﹣1,可得曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线斜率为k=e0(cos0﹣sin0)﹣1=0,切点为(0,e0cos0﹣0),即为(0,1),曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1;(2)函数f(x)=e x cosx﹣x的导数为f′(x)=e x(cosx﹣sinx)﹣1,令g(x)=e x(cosx﹣sinx)﹣1,则g(x)的导数为g′(x)=e x(cosx﹣sinx﹣sinx﹣cosx)=﹣2e x•sinx,当x∈[0,],可得g′(x)=﹣2e x•sinx≤0,即有g(x)在[0,]递减,可得g(x)≤g(0)=0,则f(x)在[0,]递减,即有函数f(x)在区间[0,]上的最大值为f(0)=e0cos0﹣0=1;最小值为f()=e cos﹣=﹣.4.已知函数f(x)=(x﹣)e﹣x(x≥).(1)求f(x)的导函数;(2)求f(x)在区间[,+∞)上的取值范围.【解答】解:(1)函数f(x)=(x﹣)e﹣x(x≥),导数f′(x)=(1﹣••2)e﹣x﹣(x﹣)e﹣x=(1﹣x+)e﹣x=(1﹣x)(1﹣)e﹣x;(2)由f(x)的导数f′(x)=(1﹣x)(1﹣)e﹣x,可得f′(x)=0时,x=1或,当<x<1时,f′(x)<0,f(x)递减;当1<x<时,f′(x)>0,f(x)递增;当x>时,f′(x)<0,f(x)递减,且x≥⇔x2≥2x﹣1⇔(x﹣1)2≥0,则f(x)≥0.由f()=e,f(1)=0,f()=e,即有f(x)的最大值为e,最小值为f(1)=0.则f(x)在区间[,+∞)上的取值范围是[0,e].5.已知函数f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当a<0时,证明f(x)≤﹣﹣2.【解答】(1)解:因为f(x)=lnx+ax2+(2a+1)x,求导f′(x)=+2ax+(2a+1)==,(x>0),①当a=0时,f′(x)=+1>0恒成立,此时y=f(x)在(0,+∞)上单调递增;②当a>0,由于x>0,所以(2ax+1)(x+1)>0恒成立,此时y=f(x)在(0,+∞)上单调递增;③当a<0时,令f′(x)=0,解得:x=﹣.因为当x∈(0,﹣)f′(x)>0、当x∈(﹣,+∞)f′(x)<0,所以y=f(x)在(0,﹣)上单调递增、在(﹣,+∞)上单调递减.综上可知:当a≥0时f(x)在(0,+∞)上单调递增,当a<0时,f(x)在(0,﹣)上单调递增、在(﹣,+∞)上单调递减;(2)证明:由(1)可知:当a<0时f(x)在(0,﹣)上单调递增、在(﹣,+∞)上单调递减,所以当x=﹣时函数y=f(x)取最大值f(x)max=f(﹣)=﹣1﹣ln2﹣+ln (﹣).从而要证f(x)≤﹣﹣2,即证f(﹣)≤﹣﹣2,即证﹣1﹣ln2﹣+ln(﹣)≤﹣﹣2,即证﹣(﹣)+ln(﹣)≤﹣1+ln2.令t=﹣,则t>0,问题转化为证明:﹣t+lnt≤﹣1+ln2.…(*)令g(t)=﹣t+lnt,则g′(t)=﹣+,令g′(t)=0可知t=2,则当0<t<2时g′(t)>0,当t>2时g′(t)<0,所以y=g(t)在(0,2)上单调递增、在(2,+∞)上单调递减,即g(t)≤g(2)=﹣×2+ln2=﹣1+ln2,即(*)式成立,所以当a<0时,f(x)≤﹣﹣2成立.6.已知函数f(x)=x﹣1﹣alnx.(1)若f(x)≥0,求a的值;(2)设m为整数,且对于任意正整数n,(1+)(1+)…(1+)<m,求m的最小值.【解答】解:(1)因为函数f(x)=x﹣1﹣alnx,x>0,所以f′(x)=1﹣=,且f(1)=0.所以当a≤0时f′(x)>0恒成立,此时y=f(x)在(0,+∞)上单调递增,这与f(x)≥0矛盾;当a>0时令f′(x)=0,解得x=a,所以y=f(x)在(0,a)上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,即f(x)min=f (a),若a≠1,则f(a)<f(1)=0,从而与f(x)≥0矛盾;所以a=1;(2)由(1)可知当a=1时f(x)=x﹣1﹣lnx≥0,即lnx≤x﹣1,所以ln(x+1)≤x当且仅当x=0时取等号,所以ln(1+)<,k∈N*.一方面,ln(1+)+ln(1+)+…+ln(1+)<++…+=1﹣<1,即(1+)(1+)…(1+)<e;另一方面,(1+)(1+)…(1+)>(1+)(1+)(1+)=>2;从而当n≥3时,(1+)(1+)…(1+)∈(2,e),因为m为整数,且对于任意正整数n,(1+)(1+)…(1+)<m成立,所以m的最小值为3.7.设a∈Z,已知定义在R上的函数f(x)=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间(1,2)内有一个零点x0,g(x)为f(x)的导函数.(Ⅰ)求g(x)的单调区间;(Ⅱ)设m∈[1,x0)∪(x0,2],函数h(x)=g(x)(m﹣x0)﹣f(m),求证:h(m)h(x0)<0;(Ⅲ)求证:存在大于0的常数A,使得对于任意的正整数p,q,且∈[1,x0)∪(x0,2],满足|﹣x0|≥.【解答】(Ⅰ)解:由f(x)=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a,可得g(x)=f′(x)=8x3+9x2﹣6x﹣6,进而可得g′(x)=24x2+18x﹣6.令g′(x)=0,解得x=﹣1,或x=.当x变化时,g′(x),g(x)的变化情况如下表:x(﹣∞,﹣1)(﹣1,)(,+∞)g′(x)+﹣+g(x)↗↘↗所以,g(x)的单调递增区间是(﹣∞,﹣1),(,+∞),单调递减区间是(﹣1,).(Ⅱ)证明:由h(x)=g(x)(m﹣x0)﹣f(m),得h(m)=g(m)(m﹣x0)﹣f(m),h(x0)=g(x0)(m﹣x0)﹣f(m).令函数H1(x)=g(x)(x﹣x0)﹣f(x),则H′1(x)=g′(x)(x﹣x0).由(Ⅰ)知,当x∈[1,2]时,g′(x)>0,故当x∈[1,x0)时,H′1(x)<0,H1(x)单调递减;当x∈(x0,2]时,H′1(x)>0,H1(x)单调递增.因此,当x∈[1,x0)∪(x0,2]时,H1(x)>H1(x0)=﹣f(x0)=0,可得H1(m)>0即h(m)>0,令函数H2(x)=g(x0)(x﹣x0)﹣f(x),则H′2(x)=g(x0)﹣g(x).由(Ⅰ)知,g(x)在[1,2]上单调递增,故当x∈[1,x0)时,H′2(x)>0,H2(x)单调递增;当x∈(x0,2]时,H′2(x)<0,H2(x)单调递减.因此,当x∈[1,x0)∪(x0,2]时,H2(x)>H2(x0)=0,可得得H2(m)<0即h(x0)<0,.所以,h(m)h(x0)<0.(Ⅲ)对于任意的正整数p,q,且,令m=,函数h(x)=g(x)(m﹣x0)﹣f(m).由(Ⅱ)知,当m∈[1,x0)时,h(x)在区间(m,x0)内有零点;当m∈(x0,2]时,h(x)在区间(x0,m)内有零点.所以h(x)在(1,2)内至少有一个零点,不妨设为x1,则h(x1)=g(x1)(﹣x0)﹣f()=0.由(Ⅰ)知g(x)在[1,2]上单调递增,故0<g(1)<g(x1)<g(2),于是|﹣x0|=≥=.因为当x∈[1,2]时,g(x)>0,故f(x)在[1,2]上单调递增,所以f(x)在区间[1,2]上除x0外没有其他的零点,而≠x0,故f()≠0.又因为p,q,a均为整数,所以|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|是正整数,从而|2p4+3p3q﹣3p2q2﹣6pq3+aq4|≥1.所以|﹣x0|≥.所以,只要取A=g(2),就有|﹣x0|≥.8.设函数f(x)=(1﹣x2)e x.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当x≥0时,f(x)≤ax+1,求a的取值范围.【解答】解:(1)因为f(x)=(1﹣x2)e x,x∈R,所以f′(x)=(1﹣2x﹣x2)e x,令f′(x)=0可知x=﹣1±,当x<﹣1﹣或x>﹣1+时f′(x)<0,当﹣1﹣<x<﹣1+时f′(x)>0,所以f(x)在(﹣∞,﹣1﹣),(﹣1+,+∞)上单调递减,在(﹣1﹣,﹣1+)上单调递增;(2)由题可知f(x)=(1﹣x)(1+x)e x.下面对a的范围进行讨论:①当a≥1时,设函数h(x)=(1﹣x)e x,则h′(x)=﹣xe x<0(x>0),因此h(x)在[0,+∞)上单调递减,又因为h(0)=1,所以h(x)≤1,所以f(x)=(1+x)h(x)≤x+1≤ax+1;②当0<a<1时,设函数g(x)=e x﹣x﹣1,则g′(x)=e x﹣1>0(x>0),所以g(x)在[0,+∞)上单调递增,又g(0)=1﹣0﹣1=0,所以e x≥x+1.因为当0<x<1时f(x)>(1﹣x)(1+x)2,所以(1﹣x)(1+x)2﹣ax﹣1=x(1﹣a﹣x﹣x2),取x0=∈(0,1),则(1﹣x0)(1+x0)2﹣ax0﹣1=0,所以f(x0)>ax0+1,矛盾;③当a≤0时,取x0=∈(0,1),则f(x0)>(1﹣x0)(1+x0)2=1≥ax0+1,矛盾;综上所述,a的取值范围是[1,+∞).9.已知函数f(x)=x2+2cosx,g(x)=e x(cosx﹣sinx+2x﹣2),其中e≈2.71828…是自然对数的底数.(Ⅰ)求曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程;(Ⅱ)令h(x)=g (x)﹣a f(x)(a∈R),讨论h(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.【解答】解:(I)f(π)=π2﹣2.f′(x)=2x﹣2sinx,∴f′(π)=2π.∴曲线y=f(x)在点(π,f(π))处的切线方程为:y﹣(π2﹣2)=2π(x﹣π).化为:2πx﹣y﹣π2﹣2=0.(II)h(x)=g (x)﹣a f(x)=e x(cosx﹣sinx+2x﹣2)﹣a(x2+2cosx)h′(x)=e x(cosx﹣sinx+2x﹣2)+e x(﹣sinx﹣cosx+2)﹣a(2x﹣2sinx)=2(x﹣sinx)(e x﹣a)=2(x﹣sinx)(e x﹣e lna).令u(x)=x﹣sinx,则u′(x)=1﹣cosx≥0,∴函数u(x)在R上单调递增.∵u(0)=0,∴x>0时,u(x)>0;x<0时,u(x)<0.(1)a≤0时,e x﹣a>0,∴x>0时,h′(x)>0,函数h(x)在(0,+∞)单调递增;x<0时,h′(x)<0,函数h(x)在(﹣∞,0)单调递减.∴x=0时,函数h(x)取得极小值,h(0)=﹣1﹣2a.(2)a>0时,令h′(x)=2(x﹣sinx)(e x﹣e lna)=0.解得x1=lna,x2=0.①0<a<1时,x∈(﹣∞,lna)时,e x﹣e lna<0,h′(x)>0,函数h(x)单调递增;x∈(lna,0)时,e x﹣e lna>0,h′(x)<0,函数h(x)单调递减;x∈(0,+∞)时,e x﹣e lna>0,h′(x)>0,函数h(x)单调递增.∴当x=0时,函数h(x)取得极小值,h(0)=﹣2a﹣1.当x=lna时,函数h(x)取得极大值,h(lna)=﹣a[ln2a﹣2lna+sin(lna)+cos (lna)+2].②当a=1时,lna=0,x∈R时,h′(x)≥0,∴函数h(x)在R上单调递增.③1<a时,lna>0,x∈(﹣∞,0)时,e x﹣e lna<0,h′(x)>0,函数h(x)单调递增;x∈(0,lna)时,e x﹣e lna<0,h′(x)<0,函数h(x)单调递减;x∈(lna,+∞)时,e x﹣e lna>0,h′(x)>0,函数h(x)单调递增.∴当x=0时,函数h(x)取得极大值,h(0)=﹣2a﹣1.当x=lna时,函数h(x)取得极小值,h(lna)=﹣a[ln2a﹣2lna+sin(lna)+cos (lna)+2].综上所述:a≤0时,函数h(x)在(0,+∞)单调递增;x<0时,函数h(x)在(﹣∞,0)单调递减.x=0时,函数h(x)取得极小值,h(0)=﹣1﹣2a.0<a<1时,函数h(x)在x∈(﹣∞,lna),(0,+∞)是单调递增;函数h(x)在x∈(lna,0)上单调递减.当x=0时,函数h(x)取得极小值,h(0)=﹣2a ﹣1.当x=lna时,函数h(x)取得极大值,h(lna)=﹣a[ln2a﹣2lna+sin(lna)+cos(lna)+2].当a=1时,lna=0,函数h(x)在R上单调递增.a>1时,函数h(x)在(﹣∞,0),(lna,+∞)上单调递增;函数h(x)在(0,lna)上单调递减.当x=0时,函数h(x)取得极大值,h(0)=﹣2a﹣1.当x=lna 时,函数h(x)取得极小值,h(lna)=﹣a[ln2a﹣2lna+sin(lna)+cos(lna)+2].10.设a,b∈R,|a|≤1.已知函数f(x)=x3﹣6x2﹣3a(a﹣4)x+b,g(x)=e x f (x).(Ⅰ)求f(x)的单调区间;(Ⅱ)已知函数y=g(x)和y=e x的图象在公共点(x0,y0)处有相同的切线,(i)求证:f(x)在x=x0处的导数等于0;(ii)若关于x的不等式g(x)≤e x在区间[x0﹣1,x0+1]上恒成立,求b的取值范围.【解答】(Ⅰ)解:由f(x)=x3﹣6x2﹣3a(a﹣4)x+b,可得f'(x)=3x2﹣12x ﹣3a(a﹣4)=3(x﹣a)(x﹣(4﹣a)),令f'(x)=0,解得x=a,或x=4﹣a.由|a|≤1,得a<4﹣a.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(﹣∞,a)(a,4﹣a)(4﹣a,+∞)f'(x)+﹣+f(x)↗↘↗∴f(x)的单调递增区间为(﹣∞,a),(4﹣a,+∞),单调递减区间为(a,4﹣a);(Ⅱ)(i)证明:∵g'(x)=e x(f(x)+f'(x)),由题意知,∴,解得.∴f(x)在x=x0处的导数等于0;(ii)解:∵g(x)≤e x,x∈[x0﹣1,x0+1],由e x>0,可得f(x)≤1.又∵f(x0)=1,f'(x0)=0,故x0为f(x)的极大值点,由(I)知x0=a.另一方面,由于|a|≤1,故a+1<4﹣a,由(Ⅰ)知f(x)在(a﹣1,a)内单调递增,在(a,a+1)内单调递减,故当x0=a时,f(x)≤f(a)=1在[a﹣1,a+1]上恒成立,从而g(x)≤e x在[x0﹣1,x0+1]上恒成立.由f(a)=a3﹣6a2﹣3a(a﹣4)a+b=1,得b=2a3﹣6a2+1,﹣1≤a≤1.令t(x)=2x3﹣6x2+1,x∈[﹣1,1],∴t'(x)=6x2﹣12x,令t'(x)=0,解得x=2(舍去),或x=0.∵t(﹣1)=﹣7,t(1)=﹣3,t(0)=1,故t(x)的值域为[﹣7,1].∴b的取值范围是[﹣7,1].11.已知函数f(x)=x3﹣ax2,a∈R,(1)当a=2时,求曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程;(2)设函数g(x)=f(x)+(x﹣a)cosx﹣sinx,讨论g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.【解答】解:(1)当a=2时,f(x)=x3﹣x2,∴f′(x)=x2﹣2x,∴k=f′(3)=9﹣6=3,f(3)=×27﹣9=0,∴曲线y=f(x)在点(3,f(3))处的切线方程y=3(x﹣3),即3x﹣y﹣9=0(2)函数g(x)=f(x)+(x﹣a)cosx﹣sinx=x3﹣ax2+(x﹣a)cosx﹣sinx,∴g′(x)=(x﹣a)(x﹣sinx),令g′(x)=0,解得x=a,或x=0,①若a>0时,当x<0时,g′(x)>0恒成立,故g(x)在(﹣∞,0)上单调递增,当x>a时,g′(x)>0恒成立,故g(x)在(a,+∞)上单调递增,当0<x<a时,g′(x)<0恒成立,故g(x)在(0,a)上单调递减,∴当x=a时,函数有极小值,极小值为g(a)=﹣a3﹣sina当x=0时,有极大值,极大值为g(0)=﹣a,②若a<0时,当x>0时,g′(x)>0恒成立,故g(x)在(﹣∞,0)上单调递增,当x<a时,g′(x)>0恒成立,故g(x)在(﹣∞,a)上单调递增,当a<x<0时,g′(x)<0恒成立,故g(x)在(a,0)上单调递减,∴当x=a时,函数有极大值,极大值为g(a)=﹣a3﹣sina当x=0时,有极小值,极小值为g(0)=﹣a③当a=0时,g′(x)=x(x+sinx),当x>0时,g′(x)>0恒成立,故g(x)在(0,+∞)上单调递增,当x<0时,g′(x)>0恒成立,故g(x)在(﹣∞,0)上单调递增,∴g(x)在R上单调递增,无极值.12.已知函数f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值,且导函数f′(x)的极值点是f(x)的零点.(Ⅰ)求b关于a的函数关系式,并写出定义域;(Ⅱ)证明:b2>3a;(Ⅲ)若f(x),f′(x)这两个函数的所有极值之和不小于﹣,求实数a的取值范围.【解答】(Ⅰ)解:因为f(x)=x3+ax2+bx+1,所以g(x)=f′(x)=3x2+2ax+b,g′(x)=6x+2a,令g′(x)=0,解得x=﹣.由于当x>﹣时g′(x)>0,g(x)=f′(x)单调递增;当x<﹣时g′(x)<0,g(x)=f′(x)单调递减;所以f′(x)的极小值点为x=﹣,由于导函数f′(x)的极值点是原函数f(x)的零点,所以f(﹣)=0,即﹣+﹣+1=0,所以b=+(a>0).因为f(x)=x3+ax2+bx+1(a>0,b∈R)有极值,所以f′(x)=3x2+2ax+b=0的实根,所以4a2﹣12b≥0,即a2﹣+≥0,解得a≥3,所以b=+(a≥3).(Ⅱ)证明:由(1)可知h(a)=b2﹣3a=﹣+=(4a3﹣27)(a3﹣27),由于a>3,所以h(a)>0,即b2>3a;(Ⅲ)解:由(1)可知f′(x)的极小值为f′(﹣)=b﹣,设x1,x2是y=f(x)的两个极值点,则x1+x2=,x1x2=,所以f(x1)+f(x2)=++a(+)+b(x1+x2)+2=(x1+x2)[(x1+x2)2﹣3x1x2]+a[(x1+x2)2﹣2x1x2]+b(x1+x2)+2=﹣+2,又因为f(x),f′(x)这两个函数的所有极值之和不小于﹣,所以b﹣+﹣+2=﹣≥﹣,因为a>3,所以2a3﹣63a﹣54≤0,所以2a(a2﹣36)+9(a﹣6)≤0,所以(a﹣6)(2a2+12a+9)≤0,由于a>3时2a2+12a+9>0,所以a﹣6≤0,解得a≤6,所以a的取值范围是(3,6].13.已知函数f(x)=ax2﹣ax﹣xlnx,且f(x)≥0.(1)求a;(2)证明:f(x)存在唯一的极大值点x0,且e﹣2<f(x0)<2﹣2.【解答】(1)解:因为f(x)=ax2﹣ax﹣xlnx=x(ax﹣a﹣lnx)(x>0),则f(x)≥0等价于h(x)=ax﹣a﹣lnx≥0,求导可知h′(x)=a﹣.则当a≤0时h′(x)<0,即y=h(x)在(0,+∞)上单调递减,所以当x0>1时,h(x0)<h(1)=0,矛盾,故a>0.因为当0<x<时h′(x)<0、当x>时h′(x)>0,所以h(x)min=h(),又因为h(1)=a﹣a﹣ln1=0,所以=1,解得a=1;(2)证明:由(1)可知f(x)=x2﹣x﹣xlnx,f′(x)=2x﹣2﹣lnx,令f′(x)=0,可得2x﹣2﹣lnx=0,记t(x)=2x﹣2﹣lnx,则t′(x)=2﹣,令t′(x)=0,解得:x=,所以t(x)在区间(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增,所以t(x)min=t()=ln2﹣1<0,从而t(x)=0有解,即f′(x)=0存在两根x0,x2,且不妨设f′(x)在(0,x0)上为正、在(x0,x2)上为负、在(x2,+∞)上为正,所以f(x)必存在唯一极大值点x0,且2x0﹣2﹣lnx0=0,所以f(x0)=﹣x0﹣x0lnx0=﹣x0+2x0﹣2=x0﹣,由x0<可知f(x0)<(x0﹣)max=﹣+=;由f′()<0可知x0<<,所以f(x)在(0,x0)上单调递增,在(x0,)上单调递减,所以f(x0)>f()=;综上所述,f(x)存在唯一的极大值点x0,且e﹣2<f(x0)<2﹣2.14.设函数f(x)=xe a﹣x+bx,曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=(e﹣1)x+4,(Ⅰ)求a,b的值;(Ⅱ)求f(x)的单调区间.【解答】解:(Ⅰ)∵y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y=(e﹣1)x+4,∴当x=2时,y=2(e﹣1)+4=2e+2,即f(2)=2e+2,同时f′(2)=e﹣1,∵f(x)=xe a﹣x+bx,∴f′(x)=e a﹣x﹣xe a﹣x+b,则,即a=2,b=e;(Ⅱ)∵a=2,b=e;∴f(x)=xe2﹣x+ex,∴f′(x)=e2﹣x﹣xe2﹣x+e=(1﹣x)e2﹣x+e=(1﹣x+e x﹣1)e2﹣x,∵e2﹣x>0,∴1﹣x+e x﹣1与f′(x)同号,令g(x)=1﹣x+e x﹣1,则g′(x)=﹣1+e x﹣1,由g′(x)<0,得x<1,此时g(x)为减函数,由g′(x)>0,得x>1,此时g(x)为增函数,则当x=1时,g(x)取得极小值也是最小值g(1)=1,则g(x)≥g(1)=1>0,故f′(x)>0,即f(x)的单调区间是(﹣∞,+∞),无递减区间.15.设函数f(x)=x3+ax2+bx+c.(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)设a=b=4,若函数f(x)有三个不同零点,求c的取值范围;(3)求证:a2﹣3b>0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件.【解答】解:(1)函数f(x)=x3+ax2+bx+c的导数为f′(x)=3x2+2ax+b,可得y=f(x)在点(0,f(0))处的切线斜率为k=f′(0)=b,切点为(0,c),可得切线的方程为y=bx+c;(2)设a=b=4,即有f(x)=x3+4x2+4x+c,由f(x)=0,可得﹣c=x3+4x2+4x,由g(x)=x3+4x2+4x的导数g′(x)=3x2+8x+4=(x+2)(3x+2),当x>﹣或x<﹣2时,g′(x)>0,g(x)递增;当﹣2<x<﹣时,g′(x)<0,g(x)递减.即有g(x)在x=﹣2处取得极大值,且为0;g(x)在x=﹣处取得极小值,且为﹣.由函数f(x)有三个不同零点,可得﹣<﹣c<0,解得0<c<,则c的取值范围是(0,);(3)证明:若f(x)有三个不同零点,令f(x)=0,可得f(x)的图象与x轴有三个不同的交点.即有f(x)有3个单调区间,即为导数f′(x)=3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点,可得△>0,即4a2﹣12b>0,即为a2﹣3b>0;若a2﹣3b>0,即有导数f′(x)=3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点,当c=0,a=b=4时,满足a2﹣3b>0,即有f(x)=x(x+2)2,图象与x轴交于(0,0),(﹣2,0),则f(x)的零点为2个.故a2﹣3b>0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件.16.设函数f(x)=lnx﹣x+1.(1)讨论f(x)的单调性;(2)证明当x∈(1,+∞)时,1<<x;(3)设c>1,证明当x∈(0,1)时,1+(c﹣1)x>c x.【解答】解:(1)函数f(x)=lnx﹣x+1的导数为f′(x)=﹣1,由f′(x)>0,可得0<x<1;由f′(x)<0,可得x>1.即有f(x)的增区间为(0,1);减区间为(1,+∞);(2)证明:当x∈(1,+∞)时,1<<x,即为lnx<x﹣1<xlnx.由(1)可得f(x)=lnx﹣x+1在(1,+∞)递减,可得f(x)<f(1)=0,即有lnx<x﹣1;设F(x)=xlnx﹣x+1,x>1,F′(x)=1+lnx﹣1=lnx,当x>1时,F′(x)>0,可得F(x)递增,即有F(x)>F(1)=0,即有xlnx>x﹣1,则原不等式成立;(3)证明:设G(x)=1+(c﹣1)x﹣c x,则需要证明:当x∈(0,1)时,G(x)>0(c>1);G′(x)=c﹣1﹣c x lnc,G′′(x)=﹣(lnc)2c x<0,∴G′(x)在(0,1)单调递减,而G′(0)=c﹣1﹣lnc,G′(1)=c﹣1﹣clnc,由(1)中f(x)的单调性,可得G′(0)=c﹣1﹣lnc>0,由(2)可得G′(1)=c﹣1﹣clnc=c(1﹣lnc)﹣1<0,∴∃t∈(0,1),使得G′(t)=0,即x∈(0,t)时,G′(x)>0,x∈(t,1)时,G′(x)<0;即G(x)在(0,t)递增,在(t,1)递减;又因为:G(0)=G(1)=0,∴x∈(0,1)时G(x)>0成立,不等式得证;即c>1,当x∈(0,1)时,1+(c﹣1)x>c x.17.已知函数f(x)=a x+b x(a>0,b>0,a≠1,b≠1).(1)设a=2,b=.①求方程f(x)=2的根;②若对于任意x∈R,不等式f(2x)≥mf(x)﹣6恒成立,求实数m的最大值;(2)若0<a<1,b>1,函数g(x)=f(x)﹣2有且只有1个零点,求ab的值.【解答】解:函数f(x)=a x+b x(a>0,b>0,a≠1,b≠1).(1)设a=2,b=.①方程f(x)=2;即:=2,可得x=0.②不等式f(2x)≥mf(x)﹣6恒成立,即≥m()﹣6恒成立.令t=,t≥2.不等式化为:t2﹣mt+4≥0在t≥2时,恒成立.可得:△≤0或即:m2﹣16≤0或m≤4,∴m∈(﹣∞,4].实数m的最大值为:4.(2)g(x)=f(x)﹣2=a x+b x﹣2,g′(x)=a x lna+b x lnb=a x[+]lnb,0<a<1,b>1可得,令h(x)=+,则h(x)是递增函数,而,lna<0,lnb>0,因此,x0=时,h(x0)=0,因此x∈(﹣∞,x0)时,h(x)<0,a x lnb>0,则g′(x)<0.x∈(x0,+∞)时,h(x)>0,a x lnb>0,则g′(x)>0,则g(x)在(﹣∞,x0)递减,(x0,+∞)递增,因此g(x)的最小值为:g(x0).①若g(x0)<0,x<log a2时,a x>=2,b x>0,则g(x)>0,因此x1<log a2,且x1<x0时,g(x1)>0,因此g(x)在(x1,x0)有零点,则g(x)至少有两个零点,与条件矛盾.②若g(x0)≥0,函数g(x)=f(x)﹣2有且只有1个零点,g(x)的最小值为g(x0),可得g(x0)=0,由g(0)=a0+b0﹣2=0,因此x0=0,因此=0,﹣=1,即lna+lnb=0,ln(ab)=0,则ab=1.可得ab=1.18.已知函数f(x)=(x+1)lnx﹣a(x﹣1).(I)当a=4时,求曲线y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程;(II)若当x∈(1,+∞)时,f(x)>0,求a的取值范围.【解答】解:(I)当a=4时,f(x)=(x+1)lnx﹣4(x﹣1).f(1)=0,即点为(1,0),函数的导数f′(x)=lnx+(x+1)•﹣4,则f′(1)=ln1+2﹣4=2﹣4=﹣2,即函数的切线斜率k=f′(1)=﹣2,则曲线y=f(x)在(1,0)处的切线方程为y=﹣2(x﹣1)=﹣2x+2;(II)∵f(x)=(x+1)lnx﹣a(x﹣1),∴f′(x)=1++lnx﹣a,∴f″(x)=,∵x>1,∴f″(x)>0,∴f′(x)在(1,+∞)上单调递增,∴f′(x)>f′(1)=2﹣a.①a≤2,f′(x)>f′(1)≥0,∴f(x)在(1,+∞)上单调递增,∴f(x)>f(1)=0,满足题意;②a>2,存在x0∈(1,+∞),f′(x0)=0,函数f(x)在(1,x0)上单调递减,在(x0,+∞)上单调递增,由f(1)=0,可得存在x0∈(1,+∞),f(x0)<0,不合题意.综上所述,a≤2.另解:若当x∈(1,+∞)时,f(x)>0,可得(x+1)lnx﹣a(x﹣1)>0,即为a<,由y=的导数为y′=,由y=x﹣﹣2lnx的导数为y′=1+﹣=>0,函数y在x>1递增,可得>0,则函数y=在x>1递增,则==2,可得>2恒成立,即有a≤2.19.设函数f(x)=ax2﹣a﹣lnx,其中a∈R.(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)确定a的所有可能取值,使得f(x)>﹣e1﹣x在区间(1,+∞)内恒成立(e=2.718…为自然对数的底数).【解答】解:(Ⅰ)由题意,f′(x)=2ax﹣=,x>0,①当a≤0时,2ax2﹣1≤0,f′(x)≤0,f(x)在(0,+∞)上单调递减.②当a>0时,f′(x)=,当x∈(0,)时,f′(x)<0,当x∈(,+∞)时,f′(x)>0,故f(x)在(0,)上单调递减,在(,+∞)上单调递增.(Ⅱ)原不等式等价于f(x)﹣+e1﹣x>0在x∈(1.+∞)上恒成立,一方面,令g(x)=f(x)﹣+e1﹣x=ax2﹣lnx﹣+e1﹣x﹣a,只需g(x)在x∈(1.+∞)上恒大于0即可,又∵g(1)=0,故g′(x)在x=1处必大于等于0.令F(x)=g′(x)=2ax﹣+﹣e1﹣x,g′(1)≥0,可得a.另一方面,当a时,F′(x)=2a+≥1+=+e1﹣x,∵x∈(1,+∞),故x3+x﹣2>0,又e1﹣x>0,故F′(x)在a时恒大于0.∴当a时,F(x)在x∈(1,+∞)单调递增.∴F(x)>F(1)=2a﹣1≥0,故g(x)也在x∈(1,+∞)单调递增.∴g(x)>g(1)=0,即g(x)在x∈(1,+∞)上恒大于0.综上,a.20.设f(x)=xln x﹣ax2+(2a﹣1)x,a∈R.(1)令g(x)=f′(x),求g(x)的单调区间;(2)已知f(x)在x=1处取得极大值,求正实数a的取值范围.【解答】解:(1)由f′(x)=ln x﹣2ax+2a,可得g(x)=ln x﹣2ax+2a,x∈(0,+∞),所以g′(x)=﹣2a=,当a≤0,x∈(0,+∞)时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增;当a>0,x∈(0,)时,g′(x)>0,函数g(x)单调递增,x∈(,+∞)时,g′(x)<0,函数g(x)单调递减.所以当a≤0时,g(x)的单调增区间为(0,+∞);当a>0时,g(x)的单调增区间为(0,),单调减区间为(,+∞).…(6分)(2)由(1)知,f′(1)=0.①当0<a<时,>1,由(1)知f′(x)在(0,)内单调递增,可得当x∈(0,1)时,f′(x)<0,当x∈(1,)时,f′(x)>0.所以f(x)在(0,1)内单调递减,在(1,)内单调递增,所以f(x)在x=1处取得极小值,不合题意.②当a=时,=1,f′(x)在(0,1)内单调递增,在(1,+∞)内单调递减,所以当x∈(0,+∞)时,f′(x)≤0,f(x)单调递减,不合题意.③当a>时,0<<1,当x∈(,1)时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)单调递减.所以f(x)在x=1处取极大值,符合题意.综上可知,正实数a的取值范围为(,+∞).…(12分)21.设函数f(x)=x3﹣ax﹣b,x∈R,其中a,b∈R.(1)求f(x)的单调区间;(2)若f(x)存在极值点x0,且f(x1)=f(x0),其中x1≠x0,求证:x1+2x0=0;(3)设a>0,函数g(x)=|f(x)|,求证:g(x)在区间[﹣1,1]上的最大值不小于.【解答】解:(1)若f(x)=x3﹣ax﹣b,则f′(x)=3x2﹣a,分两种情况讨论:①、当a≤0时,有f′(x)=3x2﹣a≥0恒成立,此时f(x)的单调递增区间为(﹣∞,+∞),②、当a>0时,令f′(x)=3x2﹣a=0,解得x=或x=,当x>或x<﹣时,f′(x)=3x2﹣a>0,f(x)为增函数,当﹣<x<时,f′(x)=3x2﹣a<0,f(x)为减函数,故f(x)的增区间为(﹣∞,﹣),(,+∞),减区间为(﹣,);(2)若f(x)存在极值点x0,则必有a>0,且x0≠0,由题意可得,f′(x)=3x2﹣a,则x02=,进而f(x0)=x03﹣ax0﹣b=﹣x0﹣b,又f(﹣2x0)=﹣8x03+2ax0﹣b=﹣x0+2ax0﹣b=f(x0),由题意及(Ⅰ)可得:存在唯一的实数x1,满足f(x1)=f(x0),其中x1≠x0,则有x1=﹣2x0,故有x1+2x0=0;(Ⅲ)设g(x)在区间[﹣1,1]上的最大值M,max{x,y}表示x、y两个数的最大值,下面分三种情况讨论:①当a≥3时,﹣≤﹣1<1≤,由(I)知f(x)在区间[﹣1,1]上单调递减,所以f(x)在区间[﹣1,1]上的取值范围是[f(1),f(﹣1)],因此M=max{|f(1)|,|f(﹣1)|}=max{|1﹣a﹣b|,|﹣1+a﹣b|}=max{|a﹣1+b|,|a﹣1﹣b|}=,所以M=a﹣1+|b|≥2②当a<3时,,由(Ⅰ)、(Ⅱ)知,f(﹣1)≥=f(),f(1)≤=,所以f(x)在区间[﹣1,1]上的取值范围是[f(),f(﹣)],因此M=max{|f()|,|f(﹣)|}=max{||,||} =max{||,||}=,③当0<a<时,,由(Ⅰ)、(Ⅱ)知,f(﹣1)<=f(),f(1)>=,所以f(x)在区间[﹣1,1]上的取值范围是[f(﹣1),f(1)],因此M=max{|f(﹣1)|,|f(1)|}=max{|﹣1+a﹣b|,|1﹣a﹣b|}=max{|1﹣a+b|,|1﹣a﹣b|}=1﹣a+|b|>,综上所述,当a>0时,g(x)在区间[﹣1,1]上的最大值不小于.22.设函数f(x)=acos2x+(a﹣1)(cosx+1),其中a>0,记|f(x)|的最大值为A.(Ⅰ)求f′(x);(Ⅱ)求A;(Ⅲ)证明:|f′(x)|≤2A.【解答】(I)解:f′(x)=﹣2asin2x﹣(a﹣1)sinx.(II)当a≥1时,|f(x)|=|acos2x+(a﹣1)(cosx+1)|≤a|cos2x|+(a﹣1)|(cosx+1)|≤a|cos2x|+(a﹣1)(|cosx|+1)|≤a+2(a﹣1)=3a﹣2=f(0),因此A=3a﹣2.当0<a<1时,f(x)=acos2x+(a﹣1)(cosx+1)=2acos2x+(a﹣1)cosx﹣1,令g(t)=2at2+(a﹣1)t﹣1,则A是|g(t)|在[﹣1,1]上的最大值,g(﹣1)=a,g(1)=3a﹣2,且当t=时,g(t)取得极小值,极小值为g()=﹣﹣1=﹣,(二次函数在对称轴处取得极值)令﹣1<<1,得a<(舍)或a>.①当0<a≤时,g(t)在(﹣1,1)内无极值点,|g(﹣1)|=a,|g(1)|=2﹣3a,|g(﹣1)|<|g(1)|,∴A=2﹣3a,②当<a<1时,由g(﹣1)﹣g(1)=2(1﹣a)>0,得g(﹣1)>g(1)>g(),又|g()|﹣|g(﹣1)|=>0,∴A=|g()|=,综上,A=.(III)证明:由(I)可得:|f′(x)|=|﹣2asin2x﹣(a﹣1)sinx|≤2a+|a﹣1|,当0<a≤时,|f′(x)|<1+a≤2﹣4a<2(2﹣3a)=2A,当<a<1时,A==++>1,∴|f′(x)|≤1+a≤2A,当a≥1时,|f′(x)|≤3a﹣1≤6a﹣4=2A,综上:|f′(x)|≤2A.23.已知函数f(x)=(x﹣2)e x+a(x﹣1)2有两个零点.(Ⅰ)求a的取值范围;(Ⅱ)设x1,x2是f(x)的两个零点,证明:x1+x2<2.【解答】解:(Ⅰ)∵函数f(x)=(x﹣2)e x+a(x﹣1)2,∴f′(x)=(x﹣1)e x+2a(x﹣1)=(x﹣1)(e x+2a),①若a=0,那么f(x)=0⇔(x﹣2)e x=0⇔x=2,函数f(x)只有唯一的零点2,不合题意;②若a>0,那么e x+2a>0恒成立,当x<1时,f′(x)<0,此时函数为减函数;当x>1时,f′(x)>0,此时函数为增函数;此时当x=1时,函数f(x)取极小值﹣e,由f(2)=a>0,可得:函数f(x)在x>1存在一个零点;当x<1时,e x<e,x﹣2<﹣1<0,∴f(x)=(x﹣2)e x+a(x﹣1)2>(x﹣2)e+a(x﹣1)2=a(x﹣1)2+e(x﹣1)﹣e,令a(x﹣1)2+e(x﹣1)﹣e=0的两根为t1,t2,且t1<t2,则当x<t1,或x>t2时,f(x)>a(x﹣1)2+e(x﹣1)﹣e>0,故函数f(x)在x<1存在一个零点;即函数f(x)在R是存在两个零点,满足题意;③若﹣<a<0,则ln(﹣2a)<lne=1,当x<ln(﹣2a)时,x﹣1<ln(﹣2a)﹣1<lne﹣1=0,e x+2a<e ln(﹣2a)+2a=0,即f′(x)=(x﹣1)(e x+2a)>0恒成立,故f(x)单调递增,当ln(﹣2a)<x<1时,x﹣1<0,e x+2a>e ln(﹣2a)+2a=0,即f′(x)=(x﹣1)(e x+2a)<0恒成立,故f(x)单调递减,当x>1时,x﹣1>0,e x+2a>e ln(﹣2a)+2a=0,即f′(x)=(x﹣1)(e x+2a)>0恒成立,故f(x)单调递增,故当x=ln(﹣2a)时,函数取极大值,由f(ln(﹣2a))=[ln(﹣2a)﹣2](﹣2a)+a[ln(﹣2a)﹣1]2=a{[ln(﹣2a)﹣2]2+1}<0得:函数f(x)在R上至多存在一个零点,不合题意;④若a=﹣,则ln(﹣2a)=1,当x<1=ln(﹣2a)时,x﹣1<0,e x+2a<e ln(﹣2a)+2a=0,即f′(x)=(x﹣1)(e x+2a)>0恒成立,故f(x)单调递增,当x>1时,x﹣1>0,e x+2a>e ln(﹣2a)+2a=0,即f′(x)=(x﹣1)(e x+2a)>0恒成立,故f(x)单调递增,故函数f(x)在R上单调递增,函数f(x)在R上至多存在一个零点,不合题意;⑤若a<﹣,则ln(﹣2a)>lne=1,当x<1时,x﹣1<0,e x+2a<e ln(﹣2a)+2a=0,即f′(x)=(x﹣1)(e x+2a)>0恒成立,故f(x)单调递增,当1<x<ln(﹣2a)时,x﹣1>0,e x+2a<e ln(﹣2a)+2a=0,即f′(x)=(x﹣1)(e x+2a)<0恒成立,故f(x)单调递减,当x>ln(﹣2a)时,x﹣1>0,e x+2a>e ln(﹣2a)+2a=0,即f′(x)=(x﹣1)(e x+2a)>0恒成立,故f(x)单调递增,故当x=1时,函数取极大值,由f(1)=﹣e<0得:函数f(x)在R上至多存在一个零点,不合题意;综上所述,a的取值范围为(0,+∞)证明:(Ⅱ)∵x1,x2是f(x)的两个零点,∴f(x1)=f(x2)=0,且x1≠1,且x2≠1,∴﹣a==,令g(x)=,则g(x1)=g(x2)=﹣a,∵g′(x)=,∴当x<1时,g′(x)<0,g(x)单调递减;当x>1时,g′(x)>0,g(x)单调递增;设m>0,则g(1+m)﹣g(1﹣m)=﹣=,设h(m)=,m>0,则h′(m)=>0恒成立,即h(m)在(0,+∞)上为增函数,h(m)>h(0)=0恒成立,即g(1+m)>g(1﹣m)恒成立,令m=1﹣x1>0,则g(1+1﹣x1)>g(1﹣1+x1)⇔g(2﹣x1)>g(x1)=g(x2)⇔2﹣x1>x2,即x1+x2<2.24.已知f(x)=a(x﹣lnx)+,a∈R.(I)讨论f(x)的单调性;(II)当a=1时,证明f(x)>f′(x)+对于任意的x∈[1,2]成立.【解答】(Ⅰ)解:由f(x)=a(x﹣lnx)+,得f′(x)=a(1﹣)+==(x>0).若a≤0,则ax2﹣2<0恒成立,∴当x∈(0,1)时,f′(x)>0,f(x)为增函数,当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)为减函数;当a>0,若0<a<2,当x∈(0,1)和(,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数,当x∈(1,)时,f′(x)<0,f(x)为减函数;若a=2,f′(x)≥0恒成立,f(x)在(0,+∞)上为增函数;若a>2,当x∈(0,)和(1,+∞)时,f′(x)>0,f(x)为增函数,当x∈(,1)时,f′(x)<0,f(x)为减函数;(Ⅱ)解:∵a=1,令F(x)=f(x)﹣f′(x)=x﹣lnx﹣1=x﹣lnx+.令g(x)=x﹣lnx,h(x)=.则F(x)=f(x)﹣f′(x)=g(x)+h(x),由,可得g(x)≥g(1)=1,当且仅当x=1时取等号;又,设φ(x)=﹣3x2﹣2x+6,则φ(x)在[1,2]上单调递减,且φ(1)=1,φ(2)=﹣10,∴在[1,2]上存在x0,使得x∈(1,x0)时φ(x0)>0,x∈(x0,2)时,φ(x0)<0,∴函数h(x)在(1,x0)上单调递增;在(x0,2)上单调递减,由于h(1)=1,h(2)=,因此h(x)≥h(2)=,当且仅当x=2取等号,∴f(x)﹣f′(x)=g(x)+h(x)>g(1)+h(2)=,∴F(x)>恒成立.即f(x)>f′(x)+对于任意的x∈[1,2]成立.25.已知函数f(x)=(x﹣2)e x+a(x﹣1)2.(Ⅰ)讨论f(x)的单调性;(Ⅱ)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.【解答】解:(Ⅰ)由f(x)=(x﹣2)e x+a(x﹣1)2,可得f′(x)=(x﹣1)e x+2a(x﹣1)=(x﹣1)(e x+2a),①当a≥0时,由f′(x)>0,可得x>1;由f′(x)<0,可得x<1,即有f(x)在(﹣∞,1)递减;在(1,+∞)递增(如右上图);②当a<0时,(如右下图)若a=﹣,则f′(x)≥0恒成立,即有f(x)在R 上递增;若a<﹣时,由f′(x)>0,可得x<1或x>ln(﹣2a);由f′(x)<0,可得1<x<ln(﹣2a).即有f(x)在(﹣∞,1),(ln(﹣2a),+∞)递增;在(1,ln(﹣2a))递减;若﹣<a<0,由f′(x)>0,可得x<ln(﹣2a)或x>1;由f′(x)<0,可得ln(﹣2a)<x<1.即有f(x)在(﹣∞,ln(﹣2a)),(1,+∞)递增;在(ln(﹣2a),1)递减;(Ⅱ)①由(Ⅰ)可得当a>0时,f(x)在(﹣∞,1)递减;在(1,+∞)递增,且f(1)=﹣e<0,x→+∞,f(x)→+∞;x→﹣∞,f(x)→+∞.f(x)有两个零点;②当a=0时,f(x)=(x﹣2)e x,所以f(x)只有一个零点x=2;③当a<0时,若a<﹣时,f(x)在(1,ln(﹣2a))递减,在(﹣∞,1),(ln(﹣2a),+∞)递增,又当x≤1时,f(x)<0,所以f(x)不存在两个零点;当a≥﹣时,在(﹣∞,ln(﹣2a))单调增,在(1,+∞)单调增,在(1n (﹣2a),1)单调减,只有f(ln(﹣2a))等于0才有两个零点而f(x)小于零所以只有一个零点不符题意.综上可得,f(x)有两个零点时,a的取值范围为(0,+∞).26.设函数f(x)=ax2﹣a﹣ln x,g(x)=﹣,其中a∈R,e=2.718…为自然对数的底数.(1)讨论f(x)的单调性;(2)证明:当x>1时,g(x)>0;(3)确定a的所有可能取值,使得f(x)>g(x)在区间(1,+∞)内恒成立.【解答】(Ⅰ)解:由f(x)=ax2﹣a﹣lnx,得f′(x)=2ax﹣=(x>0),当a≤0时,f′(x)<0在(0,+∞)成立,则f(x)为(0,+∞)上的减函数;当a>0时,由f′(x)=0,得x==,∴当x∈(0,)时,f′(x)<0,当x∈(,+∞)时,f′(x)>0,则f(x)在(0,)上为减函数,在(,+∞)上为增函数;综上,当a≤0时,f(x)为(0,+∞)上的减函数,当a>0时,f(x)在(0,)上为减函数,在(,+∞)上为增函数;(Ⅱ)证明:要证g(x)>0(x>1),即﹣>0,即证,也就是证,令h(x)=,则h′(x)=,∴h(x)在(1,+∞)上单调递增,则h(x)min=h(1)=e,即当x>1时,h(x)>e,∴当x>1时,g(x)>0;(Ⅲ)解:由f(x)>g(x),得,设t(x)=,由题意知,t(x)>0在(1,+∞)内恒成立,∵t(1)=0,∴有t′(x)=2ax=≥0在(1,+∞)内恒成立,令φ(x)=,则φ′(x)=2a=,当x≥2时,φ′(x)>0,令h(x)=,h′(x)=,函数在[1,2)上单调递增,∴h(x)min=h(1)=﹣1.e1﹣x>0,∴1<x<2,φ′(x)>0,综上所述,x>1,φ′(x)>0,φ(x)在区间(1,+∞)单调递增,∴t′(x)>t′(1)≥0,即t(x)在区间(1,+∞)单调递增,由2a﹣1≥0,∴a≥.27.设函数f(x)=(x﹣1)3﹣ax﹣b,x∈R,其中a,b∈R.(1)求f(x)的单调区间;(2)若f(x)存在极值点x0,且f(x1)=f(x0),其中x1≠x0,求证:x1+2x0=3;(3)设a>0,函数g(x)=|f(x)|,求证:g(x)在区间[0,2]上的最大值不小于.【解答】解:(1)函数f(x)=(x﹣1)3﹣ax﹣b的导数为f′(x)=3(x﹣1)2﹣a,当a≤0时,f′(x)≥0,f(x)在R上递增;当a>0时,当x>1+或x<1﹣时,f′(x)>0,当1﹣<x<1+,f′(x)<0,。

相关文档
最新文档