导数与定积分知识汇总
积分导数知识点总结高中
积分导数知识点总结高中积分和导数的概念最初来源于求解曲线的斜率和面积的问题。
导数描述了曲线在某一点的斜率，而积分则描述了曲线下的面积。
接下来，我们将深入探讨积分和导数的相关知识点，包括它们的定义、性质和求解方法等。
一、导数的概念和性质导数是函数在某一点处的斜率，它描述了函数在该点附近的变化率。
导数可以用以下极限形式来定义：\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h} \]其中，\( f'(x) \) 表示函数 \( f(x) \) 在点 \( x \) 处的导数。
导数的性质包括：1. 可导性：如果函数在某点处有导数，那么它在该点处是可导的。
2. 导数的基本性质：- 两个函数的和（差）的导数等于它们各自的导数的和（差）；- 两个函数的积的导数等于其中一个函数乘以另一个函数的导数再加上另一个函数乘以第一个函数的导数；- 两个函数的商的导数等于分母函数乘以分子函数的导数减去分子函数乘以分母函数的导数再除以分母函数的平方。
3. 高阶导数：一个函数的导数的导数称为该函数的二阶导数，类推，可以得到更高阶的导数。
二、积分的概念和性质积分描述了函数下的面积，或是曲线的长度。
积分的概念最初来源于求解面积问题，它可以用以下定积分的形式来定义：\[ \int_{a}^{b} f(x) dx \]其中，\( \int \) 表示积分，\( a \) 和 \( b \) 分别是积分的上下限，\( f(x) \) 是要积分的函数。
积分的性质包括：1. 可积性：如果函数在闭区间上是有界的，则它在该区间上是可积的。
2. 积分的基本性质：- 根据可积性，定积分是存在的；- 定积分的几何意义是曲线与 \( x \) 轴之间的面积；- 定积分满足可加性和线性性质。
3. 不定积分：不定积分表示求解函数的原函数的过程，它是积分的逆运算。
三、积分和导数的关系积分和导数是微积分中最重要的两个概念，它们之间存在着密切的关系。
第一节 导数的概念及运算 定积分
第一节 导数的概念及运算 定积分考试要求1．了解导数概念的实际背景.2.理解导数的几何意义.3.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.4.能求简单的复合函数(仅限于形如f (ax ＋b )的复合函数)的导数．5．了解定积分的实际背景；了解定积分的基本思想，定积分的概念，微积分基本定理的含义．[知识排查·微点淘金]知识点1 导数的概念一般地，函数y ＝f (x )在x ＝x 0处导数的定义，称函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率lim x →0_f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx＝lim x →0 ΔyΔx 为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝lim x →0Δy Δx ＝lim x →0_f （x 0＋Δx ）－f （x 0）Δx． [微思考]f ′(x )与f ′(x 0)有什么．提示：f ′(x )是一个函数，f ′(x 0)是函数f ′(x )在x 0处的函数值(常数)，所以[f ′(x 0)]′＝0. 知识点2 导数的几何意义函数f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)的几何意义是：在曲线y ＝f (x )上点P (x 0，y 0)处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s (t )对时间t 的导数)．相应地，切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)·(x －x 0)．[微思考]直线与曲线只有一个公共点，则该直线一定与曲线相切吗？为什么？提示：不一定．因为直线与曲线的公共点个数不是切线的本质特征，直线与曲线只有一个公共点，不能说明直线就是曲线的切线，反之，直线是曲线的切线，也不能说明直线与曲线有一个公共点，但切点一定是直线与曲线的公共点．[微提醒]1．“过”与“在”：曲线y ＝f (x )“在点P (x 0，y 0)处的切线”与“过点P (x 0，y 0)的切线”的区别：前者P (x 0，y 0)为切点，而后者P (x 0，y 0)不一定为切点．2．“切点”与“公共点”：曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点．知识点3 求导公式及运算法则 (1)基本初等函数的导数公式 ①c ′＝0；②(x α)′＝αx α－1(α∈Q 且α≠0)； ③(sin x )′＝cos_x ； ④(cos x )′＝－sin_x ； ⑤(a x )′＝a x ·ln_a ； ⑥(e x )′＝e x ； ⑦(log a x )′＝1x ln a； ⑧(ln x )′＝1x ．(2)导数的运算法则 ①[f (x )±g (x )]′＝f ′(x )±g ′(x )； ②[f (x )·g (x )]′＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )； ③⎣⎢⎡⎦⎥⎤f （x ）g （x ）′＝f ′（x ）·g （x ）－g ′（x ）·f （x ）g （x ）(g (x )≠0)． (3)复合函数的求导法则复合函数y ＝f (g (x ))对自变量的导数等于已知函数对中间变量的导数与中间变量对自变量的导数的乘积．设y ＝f (u )，u ＝g (x )，则y ′x ＝f ′(u )·g ′(x )．知识点4 定积分(1)定积分的概念、几何意义及性质 ①定积分的相关概念在⎠⎛ab f (x )d x 中，a ，b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b ]叫做积分区间，f (x )叫做被积函数，x 叫做积分变量，f (x )d x 叫做被积式．②定积分的几何意义y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积f (x )＜0 表示由直线x ＝a ，x ＝b ，y ＝0及曲线y ＝f (x )所围成的曲边梯形的面积的相反数f (x )在[a ，b ] 上有正有负表示位于x 轴上方的曲边梯形的面积减去位于x 轴下方的曲边梯形的面积③定积分的三个性质a.⎠⎛a b kf (x )d x ＝k ⎠⎛ab f (x )d x (k 为常数)；b.⎠⎛a b [f 1(x )±f 2(x )]d x ＝⎠⎛a b f 1(x )d x ±⎠⎛ab f 2(x )d x ；c.⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛a b f (x )d x ＋⎠⎛ab f (x )d x (其中a ＜c ＜b )．(2)微积分基本定理一般地，如果f (x )是区间[a ，b ]上的连续函数，并且F ′(x )＝f (x )，那么⎠⎛ab f (x )d x ＝F (b )－F (a )，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式 .通常记作⎠⎛ab f (x )d x ＝F (x )|b a ＝F (b )－F (a )．如果F ′(x )＝f (x )，那么称F (x )是f (x )的一个原函数． 常用结论函数f (x )在闭区间[－a ，a ]上连续，则有1．若f (x )为偶函数，则⎠⎛－a a f (x )d x ＝2⎠⎛0a f (x )d x ；2．若f (x )为奇函数，则⎠⎛－aa f (x )d x ＝0.[小试牛刀·自我诊断]1．思考辨析(在括号内打“ √”或“×”)(1)f ′(x 0)是函数y ＝f (x )在x ＝x 0附近的平均变化率．(×) (2)求f ′(x 0)时，可先求f (x 0)，再求f ′(x 0)．(×) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(√) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(×)(5)曲线y ＝f (x )在点P (x 0，y 0)处的切线与过点P (x 0，y 0)的切线相同．(×) (6)设函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上连续，则⎠⎛a b f (x )d x ＝⎠⎛ab f (t )d t .(√)2．(链接教材选修2－2 P 50A 组T 5)定积分⎠⎛－11|x |d x ＝( )A ．1B ．2C ．3D ．4答案：A3．(链接教材选修2－2 P 3例题)在高台跳水运动中，t s 时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h (t )＝－4.9t 2＋6.5t ＋10，则运动员的速度v ＝________m/s ，加速度a ＝________m/s 2.答案：－9.8t ＋6.5 －9.84．(不会用方程法解导数求值)已知f (x )＝x 2＋3xf ′(2)，则f (2)＝________．解析：因为f ′(x )＝2x ＋3f ′(2)，令x ＝2，得f ′(2)＝－2，所以f (x )＝x 2－6x ，所以f (2)＝－8.答案：－85．(混淆在点P 处的切线和过P 点的切线)已知曲线y ＝a e x ＋x ln x 在点(1，a e)处的切线方程为y ＝2x ＋b ，则a 的值为________；b 的值为________．解析：y ′＝a e x ＋ln x ＋1 ∴⎩⎪⎨⎪⎧a e ＋1＝2，a e ＝2＋b ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1e，b ＝－1. 答案：1e－1一、基础探究点——导数的运算(题组练透)1．已知f (x )＝cos 2x ＋e 2x ，则f ′(x )＝( ) A ．－2sin 2x ＋2e 2x B ．sin 2x ＋e 2x C ．2sin 2x ＋2e 2x D ．－sin 2x ＋e 2x解析：选A 由题意f ′(x )＝－sin 2x ·2＋e 2x ·2＝－2sin 2x ＋2e 2x ，故选A. 2．已知f (x )＝x (2021＋ln x )，若f ′(x 0)＝2022，则x 0＝( ) A ．e 2 B ．1 C ．ln 2D ．e解析：选B 因为f (x )＝x (2021＋ln x )， 所以f ′(x )＝2021＋ln x ＋1＝2022＋ln x . 又f ′(x 0)＝2022，所以2022＋ln x 0＝2022，所以x 0＝1.故选B.3．(2020·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝e x x ＋a，若f ′(1)＝e4，则a ＝________．解析：由f ′(x )＝e x （x ＋a ）－e x （x ＋a ）2，可得f ′(1)＝e a （1＋a ）2＝e 4，即a （1＋a ）2＝14，解得a ＝1.答案：14．若f (x )＝x 3＋2x －x 2ln x －1x 2，则f ′(x )＝________．解析：由已知f (x )＝x －ln x ＋2x －1x 2，∴f ′(x )＝1－1x －2x 2＋2x 3.答案：1－1x －2x 2＋2x31.求函数导数的总原则：先化简解析式，再求导.2.常见形式及具体求导方法连乘形式 先展开化为多项式形式，再求导三角形式 先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导 分式形式 先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导 根式形式 先化为分数指数幂的形式，再求导 对数形式 先化为和、差形式，再求导复合函数 先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元二、应用探究点——导数的几何意义(多向思维)[典例剖析]思维点1 求曲线的切线方程[例1] (2021·全国甲卷)[一题多解]曲线y ＝2x －1x ＋2在点(－1，－3)处的切线方程为______．解析：解法一：y ′＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －1x ＋2′＝2（x ＋2）－（2x －1）（x ＋2）2＝5（x ＋2）2，所以y ′|x ＝－1＝5（－1＋2）2＝5，所以切线方程为y ＋3＝5(x ＋1)，即5x －y ＋2＝0.解法二：本题可以先将函数转化为y ＝2（x ＋2）－5x ＋2＝2－5x ＋2，再求导数．答案：5x －y ＋2＝0解决这类问题的方法都是根据曲线在点(x 0，y 0)处的切线的斜率k ＝f ′(x 0)，直接求解或结合已知所给的平行或垂直等条件得出关于斜率的等式来求解．解决这类问题的关键是抓住切线的斜率．思维点2 求切点坐标[例2] 若曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线平行于直线2x －y ＋1＝0，则点P 的坐标是________．解析：设切点P 的坐标为(x 0，y 0)，因为y ′＝ln x ＋1， 所以切线的斜率k ＝ln x 0＋1，由题意知k ＝2，得x 0＝e ，代入曲线方程得y 0＝e. 故点P 的坐标是(e ，e)． 答案：(e ，e) [拓展变式][变条件]若本例变为：曲线y ＝x ln x 上点P 处的切线与直线x ＋y ＋1＝0垂直，则该切线的方程为________．解析：设切点P 的坐标为(x 0，y 0)， 因为y ′＝ln x ＋1，由题意得ln x 0＋1＝1， 所以ln x 0＝0，x 0＝1，即点P (1，0)， 所以切线方程为y ＝x －1，即x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝0已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标．思维点3 由曲线的切线(斜率)求参数值(范围)[例3] (1)直线y ＝kx ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点A (1，3)，则2a ＋b 的值等于( ) A ．2 B ．－1 C ．1D ．－2解析：依题意知，y ′＝3x 2＋a ，则⎩⎪⎨⎪⎧13＋a ＋b ＝3，3×12＋a ＝k ，k ＋1＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3，k ＝2，所以2a ＋b ＝1.故选C.答案：C(2)若点P 是函数y ＝e x －e －x －3x ⎝⎛⎭⎫－12≤x ≤12图象上任意一点，且在点P 处切线的倾斜角为α，则α的最小值是________．解析：由导数的几何意义，知k ＝y ′＝e x ＋e －x －3≥2 e x ·e －x －3＝－1，当且仅当x ＝0时等号成立．即tan α≥－1，α∈[0，π)．又－12≤x ≤12，tan α＝k ＜0，所以α的最小值是3π4.答案：3π4解与切线有关的参数问题，通常根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程并解出参数；①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上．思维点4 两曲线的公切线问题[例4] 设x 1为曲线y ＝－1x (x <0)与y ＝ln x 的公切线的一个切点横坐标，且x 1<0，则满足m ≥x 1的最小整数m 的值为________．解析：y ＝－1x (x <0)的导数为y ′＝1x 2，y ＝ln x 的导数为y ′＝1x ，设与y ＝ln x 相切的切点的横坐标为n ， 由切线方程y ＝1n x ＋ln n －1，以及y ＝x x 21－2x 1，可得1n ＝1x 21，ln n －1＝－2x 1，消去n ，可得2－x 1＝2ln(－x 1)－1，设t ＝－x 1(t >0)，可得2t＝2ln t －1，设f (t )＝2ln t －1－2t ，可得f (2)＝2ln 2－2<0，f (3)＝2ln 3－53>0，且f (t )在(2，3)递增，可得2t ＝2ln t －1的根介于(2，3)之间，即有x 1∈(－3，－2)，m ≥x 1恒成立，可得m ≥－2，即m 的最小值为－2. 答案：－2解决两曲线的公切线问题的两种方法(1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解；(2)设公切线l 在y ＝f (x )上的切点P 1(x 1，f (x 1))，在y ＝g (x )上的切点P 2(x 2，g (x 2))，则f ′(x 1)＝g ′(x 2)＝f （x 1）－g （x 2）x 1－x 2.[学会用活]1．(2020·全国卷Ⅰ)曲线y ＝ln x ＋x ＋1的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为________．解析：设切点坐标为(x 0，ln x 0＋x 0＋1)．由题意得y ′＝1x ＋1，则该切线的斜率k ＝1x 0＋1＝2，解得x 0＝1，所以切点坐标为(1，2)，所以该切线的方程为y －2＝2(x －1)，即y ＝2x .答案：2x －y ＝02．(2021·贵阳模拟)设函数f (x )＝x 3＋(a －1)·x 2＋ax ，若f (x )为奇函数，且函数y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋y ＝0垂直，则切点P (x 0，f (x 0))的坐标为________．解析：∵f (x )＝x 3＋(a －1)x 2＋ax ， ∴f ′(x )＝3x 2＋2(a －1)x ＋a .又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )恒成立，即－x 3＋(a －1)x 2－ax ＝－x 3－(a －1)x 2－ax 恒成立，∴a ＝1，f ′(x )＝3x 2＋1，3x 20＋1＝1，x 0＝0，f (x 0)＝0， ∴切点P (x 0，f (x 0))的坐标为(0，0)． 答案：(0，0)3．已知直线y ＝kx －2与曲线y ＝x ln x 在x ＝e 处的切线平行，则实数k 的值为________． 解析：由y ＝x ln x ，得y ′＝ln x ＋1，所以当x ＝e 时，y ′＝ln e ＋1＝2，所以曲线y ＝x ln x 在x ＝e 处的切线的斜率为2.又该切线与直线y ＝kx －2平行，所以k ＝2.答案：24．(2021·内蒙古包头一模)若曲线f (x )＝a ln x (a ∈R )与曲线g (x )＝x 在公共点处有共同的切线，则实数a 的值为________．解析：函数f (x )＝a ln x 的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )＝a x ，g ′(x )＝12x ，设曲线f (x )＝a ln x与曲线g (x )＝x 的公共点为(x 0，y 0)，由于在公共点处有共同的切线，∴a x 0＝12x 0，解得x 0＝4a 2，a ＞0. 由f (x 0)＝g (x 0)，可得a ln x 0＝x 0.联立⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝4a 2，a ln x 0＝x 0，解得a ＝e2.答案：e 2三、应用探究点——定积分(多向思维)[典例剖析]思维点1 定积分的计算[例5] 计算：(1)⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝________．(2)若f (x )＝3＋2x －x 2，则⎠⎛13f (x )d x 为______．(3)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈（1，e](e 为自然对数的底数)，则⎠⎛0e f (x )d x 的值为________．解析：(1)⎠⎛0π(sin x －cos x )d x ＝⎠⎛0πsin x d x －⎠⎛0πcos x d x ＝2.(2)由y ＝3＋2x －x 2＝4－（x －1）2，得(x －1)2＋y 2＝4(y ≥0)，表示以(1，0)为圆心，2为半径的圆在x 轴及其上方的部分，所以⎠⎛133＋2x －x 2d x 是圆面积的14.所以⎠⎛133＋2x －x 2d x ＝14·π·22＝π.(3)因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2，x ∈[0，1]，1x ，x ∈（1，e]，因为⎝⎛⎭⎫13x 3′＝x 2， (ln x )′＝1x ，所以⎠⎛0e f (x )d x ＝⎠⎛01x 2d x ＋⎠⎛1e 1xd x ＝13＋1＝43.答案：(1)2 (2)π (3)43应用微积分基本定理计算定积分的步骤1．把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差． 2．把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分． 3．分别用求导公式找到一个相应的原函数． 4．利用微积分基本定理求出各个定积分的值． 5．计算原始定积分的值．思维点2 利用定积分求平面图形的面积[例6] [一题多解]由抛物线y 2＝2x 与直线y ＝x －4围成的平面图形的面积为________． 解析：如图所示，联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝2x ，y ＝x －4，解得两交点的坐标分别为(2，－2)，(8，4)． 解法一：选取横坐标x 为积分变量，则图中阴影部分的面积S 可看作两部分面积之和，即S ＝2⎠⎛022x d x ＋⎠⎛28(2x －x ＋4)d x ＝23(2x )32⎪⎪⎪20＋⎣⎡⎦⎤13（2x ）32－12x 2＋4x ⎪⎪⎪82＝163＋⎝⎛⎭⎫643－263＝543＝18. 解法二：选取纵坐标y 为积分变量，则图中阴影部分的面积为S ＝⎠⎛－24⎝⎛⎭⎫y ＋4－12y 2d y ＝⎝⎛⎭⎫12y 2＋4y －16y 3⎪⎪⎪4－2＝18. 答案：18 [拓展变式]1．[变条件]若本例变为：由曲线y ＝2x 2，直线y ＝－4x －2，直线x ＝1围成的封闭图形的面积为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝2x 2，y ＝－4x －2，解得x ＝－1，依题意可得，所求的封闭图形的面积为⎠⎛－11(2x 2＋4x ＋2)d x ＝⎝⎛⎭⎫23x 3＋2x 2＋2x |1－1＝⎝⎛⎭⎫23×13＋2×12＋2×1－⎣⎡⎦⎤23×（－1）3＋2×（－1）2＋2×（－1）＝163. 答案：1632．[变条件，变结论]若本例变为：设a ＞0，若曲线y ＝x 与直线x ＝a ，y ＝0所围成封闭图形的面积为a 2，则a ＝________．解析：封闭图形如图所示，则⎠⎛0ax d x ＝23x 32⎪⎪⎪a0＝23a 32－0＝a 2，解得a ＝49. 答案：49利用定积分求平面图形面积的步骤(1)根据题意画出图形．(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限． (3)把平面图形的面积表示成若干个定积分的和或差． (4)计算定积分得出答案．[学会用活]5.⎠⎛1e 1x d x ＋⎠⎛－224－x 2d x ＝________．解析：⎠⎛1e 1x d x ＝ln x |e 1＝1－0＝1，因为⎠⎛－224－x 2d x 表示的是圆x 2＋y 2＝4在x 轴及其上方的面积，故⎠⎛－224－x 2d x ＝12π·22＝2π，故答案为2π＋1.答案：2π＋16．(2021·江西宜春重点高中月考)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋4，－4≤x ＜0，4cos x ，0≤x ≤π2的图象与x 轴所围成的封闭图形的面积为________．解析：由题意可得围成的封闭图形的面积 S ＝⎠⎛－4(x ＋4)d x ＋∫π204cos x d x＝⎝⎛⎭⎫12x 2＋4x |0－4＋4sin x |π20 ＝0－(8－16)＋4sin π2－0＝12.答案：12限时规范训练 基础夯实练1．定积分⎠⎛01(2x ＋e x )d x 的值为( )A ．e ＋2B ．e ＋1C ．eD ．e －1解析：选C ⎠⎛01(2x ＋e x )d x ＝(x 2＋e x )|10＝(1＋e)－(0＋e 0)＝e ，故选C.2．(2021·晋南高中联考)函数f (x )＝ln 2x －1x 的图象在点⎝⎛⎭⎫12，f ⎝⎛⎭⎫12处的切线方程为( ) A ．y ＝6x －5 B ．y ＝8x －6 C ．y ＝4x －4D ．y ＝10x －7解析：选A f ⎝⎛⎭⎫12＝ln 1－2＝－2，因为f ′(x )＝1x ＋1x 2，所以f ′⎝⎛⎭⎫12＝6，所以切线方程为y －(－2)＝6⎝⎛⎭⎫x －12，即y ＝6x －5，故选A. 3．已知函数f (x )＝(x 2＋m )e x (m ∈R )的图象在x ＝1处的切线的斜率等于e ，且g (x )＝f （x ）x，则g ′(－1)＝( )A.4e B ．－4eC.e 4D ．－e 4解析：选A 由题意得f ′(x )＝2x e x ＋(x 2＋m )e x ＝(x 2＋2x ＋m )e x ，f ′(1)＝(3＋m )e ，由题意得(3＋m )e ＝e ，所以m ＝－2，所以f (x )＝(x 2－2)e x .解法一：所以g (x )＝f （x ）x ＝⎝⎛⎭⎫x －2x e x ，g ′(x )＝⎝⎛⎭⎫1＋2x 2e x ＋⎝⎛⎭⎫x －2x e x ，所以g ′(－1)＝4e . 解法二：f ′(x )＝(x 2＋2x －2)e x ，f (－1)＝－1e ，所以f ′(－1)＝－3e ，又g ′(x )＝xf ′（x ）－f （x ）x 2，所以g ′(－1)＝4e.4．(2021·贵阳市四校联考)直线l 过抛物线E ：y 2＝4x 的焦点且与x 轴垂直，则直线l 与E 所围成的图形的面积等于( )A ．2B ．43C.83D ．163解析：选C 由题意，得直线l 的方程为x ＝1，将y 2＝4x 化为y ＝±2x ，由定积分的几何意义，得所求图形的面积为S ＝2⎠⎛012x d x ＝4⎠⎛01x 12d x ＝4×⎝⎛⎭⎫23x 32|10＝83×1＝83，故选C. 5．如果f ′(x )是二次函数，且f ′(x )的图象开口向上，顶点坐标为(1，3)，那么曲线y ＝f (x )上任一点的切线的倾斜角α的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，π3 B ．⎣⎡⎭⎫π3，π2 C.⎝⎛⎦⎤π2，2π3D ．⎣⎡⎭⎫π3，π解析：选B 根据题意，得f ′(x )≥3，则曲线y ＝f (x )上任一点的切线的斜率k ＝tan α≥ 3. 结合正切函数的图象可得α∈⎣⎡⎭⎫π3，π2.故选B.6．已知直线y ＝2x ＋1与曲线y ＝x 3＋ax ＋b 相切于点(1，3)，则a ＝________，b ＝________．解析：因为(x 3＋ax ＋b )′＝3x 2＋a ，所以⎩⎪⎨⎪⎧3×12＋a ＝2，13＋a ·1＋b ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝3.答案：－1 37．若f (x )＝13x 3－12f ′(1)·x 2＋x ＋12，则曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程是________．解析：因为f (x )＝13x 3－12f ′(1)x 2＋x ＋12，所以f ′(x )＝x 2－f ′(1)x ＋1，所以f ′(1)＝1－f ′(1)＋1，所以f ′(1)＝1，所以f (1)＝13－12＋1＋12＝43，曲线y ＝f (x )在点(1，f (1))处的切线方程是y －43＝x－1，即3x －3y ＋1＝0.答案：3x －3y ＋1＝08．已知函数f (x )＝x 3－4x 2＋5x －4. (1)求曲线f (x )在点(2，f (2))处的切线方程； (2)求经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程． 解：(1)∵f ′(x )＝3x 2－8x ＋5，∴f ′(2)＝1， 又f (2)＝－2，∴曲线在点(2，f (2))处的切线方程为y ＋2＝x －2， 即x －y －4＝0.(2)设曲线与经过点A (2，－2)的切线相切于点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)，∵f ′(x 0)＝3x 20－8x 0＋5，∴切线方程为y －(－2)＝(3x 20－8x 0＋5)·(x －2)， 又切线过点P (x 0，x 30－4x 20＋5x 0－4)， ∴x 30－4x 20＋5x 0－2＝(3x 20－8x 0＋5)(x 0－2)， 整理得(x 0－2)2(x 0－1)＝0，解得x 0＝2或1，∴经过点A (2，－2)的曲线f (x )的切线方程为x －y －4＝0或y ＋2＝0. 9．(2021·淮南模拟)已知函数f (x )＝x 2－ln x . (1)求函数f (x )在点(1，f (1))处的切线方程；(2)在函数f (x )＝x 2－ln x 的图象上是否存在两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间⎣⎡⎦⎤12，1上？若存在，求出这两点的坐标，若不存在，请说明理由．解：(1)由题意可得f (1)＝1，且f ′(x )＝2x －1x，f ′(1)＝2－1＝1，则所求切线方程为y －1＝1·(x －1)，即y ＝x .(2)假设存在两点满足题意，且设切点坐标为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， 则x 1，x 2∈⎣⎡⎦⎤12，1，不妨设x 1＜x 2，结合题意和(1)中求得的导函数解析式可得⎝⎛⎭⎫2x 1－1x 1⎝⎛⎭⎫2x 2－1x 2＝－1， 又函数f ′(x )＝2x －1x 在区间⎣⎡⎦⎤12，1上单调递增，函数的值域为[－1，1]， 故－1≤2x 1－1x 1＜2x 2－1x 2≤1，据此有⎩⎨⎧2x 1－1x 1＝－1，2x 2－1x 2＝1，解得x 1＝12，x 2＝1⎝⎛⎭⎫x 1＝－1，x 2＝－12舍去， 故存在两点⎝⎛⎭⎫12，ln 2＋14，(1，1)满足题意． 综合提升练10．已知直线y ＝1m 是曲线y ＝x e x 的一条切线，则实数m 的值为( )A ．－1eB ．－e C.1eD ．e解析：选B 设切点坐标为⎝⎛⎭⎫n ，1m ，对y ＝x e x 求导，得y ′＝(x e x )′＝e x ＋x e x ，若直线y ＝1m 是曲线y ＝x e x 的一条切线，则有y ′|x ＝n ＝e n ＋n e n ＝0，解得n ＝－1，此时有1m ＝n e n ＝－1e ，∴m ＝－e.故选B.11．(2021·新高考卷Ⅰ)若过点(a ，b )可以作曲线y ＝e x 的两条切线，则( ) A ．e b ＜a B ．e a ＜b C ．0＜a ＜e bD ．0＜b ＜e a解析：选D 解法一：设切点(x 0，y 0)，y 0＞0，则切线方程为y －b ＝e x 0(x －a )，由⎩⎪⎨⎪⎧y 0－b ＝e x 0（x 0－a ）y 0＝e x 0得e x 0(1－x 0＋a )＝b ，则由题意知关于x 0的方程e x 0(1－x 0＋a )＝b 有两个不同的解．设f (x )＝e x (1－x ＋a )，则f ′(x )＝e x (1－x ＋a )－e x ＝－e x (x －a )，由f ′(x )＝0得x ＝a ，所以当x ＜a 时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，当x ＞a 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减，所以f (x )max ＝f (a )＝e a (1－a ＋a )＝e a ，当x ＜a 时，a －x ＞0, 所以f (x )＞0，当x →－∞时，f (x )→0，当x →＋∞时，f (x )→－∞，作出函数f (x )＝e x (1－x ＋a )的大致图象如图所示，因为f (x )的图象与直线y ＝b 有两个交点，所以0＜b ＜e a ，故选D.解法二：过点(a ，b )可以作曲线y ＝e x 的两条切线，则点(a ，b )在曲线y ＝e x 的下方且在x 轴的上方，得0＜b ＜e a ，故选D.12．(2020·全国卷Ⅲ)若直线l 与曲线y ＝x 和圆x 2＋y 2＝15都相切，则l 的方程为( )A ．y ＝2x ＋1B ．y ＝2x ＋12C ．y ＝12x ＋1D ．y ＝12x ＋12解析：选D 易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b ，则|b |k 2＋1＝55①，设直线l 与曲线y ＝x 的切点坐标为(x 0，x 0)(x 0＞0)，则y ′|x ＝x 0＝12x 0－12＝k ②，x 0＝kx 0＋b ③，由②③可得b ＝12x 0，将b ＝12x 0，k ＝12x 0－12代入①得x 0＝1或x 0＝－15(舍去)，所以k ＝b ＝12，故直线l 的方程为y ＝12x ＋12.13．(2021·开封市模拟考试)已知函数f (x )＝mx 3＋6mx －2e x ，若曲线y ＝f (x )在点(0，f (0))处的切线与直线4x ＋y －2＝0平行，则m ＝________．解析：f ′(x )＝3mx 2＋6m －2e x ，则f ′(0)＝6m －2＝－4， 解得m ＝－13.答案：－1314．(2021·江西五校联考)已知函数f (x )＝x ＋a2x ，若曲线y ＝f (x )存在两条过(1，0)点的切线，则a 的取值范围是________．解析：f ′(x )＝1－a 2x 2，设切点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0，x 0＋a 2x 0，则切线方程为y －x 0－a 2x 0＝⎝⎛⎭⎫1－a 2x 20(x －x 0)，又切线过点(1，0)，所以－x 0－a 2x 0＝⎝⎛⎭⎫1－a 2x 20(1－x 0)，整理得2x 20＋2ax 0－a ＝0，又曲线y ＝f (x )存在两条过(1，0)点的切线，故方程有两个不等实根，即满足Δ＝4a 2－8(－a )＞0，解得a ＞0或a ＜－2.答案：(－∞，－2)∪(0，＋∞)15．(2021·河北六校联考)已知函数f (x )＝x ln x －12mx 2(m ∈R )，g (x )＝－x ＋1e x －2e x ＋e －1e .(1)若函数f (x )的图象在(1，f (1))处的切线与直线x －y ＋1＝0平行，求m ； (2)证明：在(1)的条件下，对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，f (x 1)＞g (x 2)成立． 解：(1)f (x )的定义域为(0，＋∞)， f ′(x )＝ln x ＋1－mx ，f ′(1)＝1－m ，因为f (x )的图象在(1，f (1))处的切线与直线x －y ＋1＝0平行，所以1－m ＝1，即m ＝0. (2)证明：在(1)的条件下，f (x )＝x ln x ，f ′(x )＝ln x ＋1， 当x ∈⎝⎛⎭⎫0，1e 时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减， 当x ∈⎝⎛⎭⎫1e ，＋∞时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增，所以f (x )＝x ln x 在x ＝1e 时取得最小值f ⎝⎛⎭⎫1e ＝－1e ，所以f (x 1)≥－1e . g (x )＝－x ＋1e x －2e x ＋e －1e ，则g ′(x )＝x e x －2e ，令h (x )＝g ′(x )＝x e x －2e，x ＞0，则h ′(x )＝1－xe x ，所以当x ∈(0，1)时，h ′(x )＞0，h (x )单调递增，当x ∈(1，＋∞)时，h ′(x )＜0，h (x )单调递减．所以当x ＞0时，g ′(x )≤g ′(1)＝h (1)＝－1e，因为g ′(x )≤－1e ＜0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递减，所以g (x 2)＜g (0)＝－1e.所以对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，f (x 1)＞g (x 2)．创新应用练16．已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，且f′(－1)＝0.(1)求a的值；(2)是否存在k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)由已知得f′(x)＝3ax2＋6x－6a，因为f′(－1)＝0，所以3a－6－6a＝0，所以a＝－2.(2)存在．由已知得，直线m恒过定点(0，9)，若直线m是曲线y＝g(x)的切线，则设切点为(x0，3x20＋6x0＋12)．因为g′(x0)＝6x0＋6，所以切线方程为y－(3x20＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，将(0，9)代入切线方程，解得x0＝±1.当x0＝－1时，切线方程为y＝9；当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.由(1)知f(x)＝－2x3＋3x2＋12x－11，①由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.在x＝－1处，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；在x＝2处，y＝f(x)的切线方程为y＝9，所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9.②由f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.在x＝0处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；在x＝1处，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10，所以y＝f(x)与y＝g(x)的公切线不是y＝12x＋9.综上所述，y＝f(x)与y＝g(x)的公切线是y＝9，此时k＝0.。
导数与定积分知识汇总
导数与定积分知识汇总导数和定积分是微积分的重要概念之一、导数描述了函数在其中一点上的变化率，而定积分则计算了函数在给定区间上的累积量。
本文将对导数和定积分的基本定义、性质和应用进行详细介绍。
一、导数的定义和性质1. 导数的定义：对于函数f(x)，在其中一点a处的导数定义为：f'(a) = lim(x→a) (f(x)-f(a))/(x-a)。
导数表示了函数y=f(x)在x=a处的切线斜率。
2.导数的几何意义：导数表示了函数图像在其中一点上的切线斜率。
如果导数大于零，则函数在该点上递增；如果导数小于零，则函数在该点上递减；如果导数等于零，则函数在该点上取极值；如果导数不存在，则函数在该点上存在间断。
3.导数的计算方法：可以使用基本导数公式来计算导数，例如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数等。
此外，还可以使用导数的四则运算法则，包括求和、差、积和商的导数。
4.高阶导数：函数的导数可以继续求导，得到高阶导数。
第n阶导数表示了函数的n次变化率，可以用f^(n)(x)表示。
例如，如果函数的二阶导数大于零，那么函数在该点上呈现凸的曲线形状。
二、定积分的定义和性质1. 定积分的定义：对于函数f(x)，在区间[a,b]上的定积分定义为：∫[a,b] f(x) dx = lim(n→∞) Σ[f(x_k) Δx_k]，其中Σ表示求和，Δx_k是区间[a,b]上一个子区间的长度，x_k是该子区间内任意一点。
2.定积分的几何意义：定积分表示了函数f(x)在区间[a,b]上的曲线下面积。
如果函数在该区间上为正值，则积分值为正；如果函数在该区间上为负值，则积分值为负；如果函数在该区间上变号，则通过积分可以得到曲线上和曲线下的面积差。
3.定积分的计算方法：可以使用定积分的基本公式来计算定积分，如幂函数的定积分、三角函数的定积分等。
此外，还可以利用换元积分法、分部积分法等方法来计算更复杂的定积分。
4. 积分的性质：积分具有线性性质，即∫[a,b] (f(x) + g(x)) dx = ∫[a,b] f(x) dx + ∫[a,b] g(x) dx；积分也具有保号性质，即如果在[a,b]上f(x) ≤ g(x)，那么∫[a,b] f(x) dx ≤ ∫[a,b] g(x) dx。
第一节-导数的概念及运算定积分ppt课件
3．在桥梁设计中，桥墩一般设计成圆柱形，因为其各向受力均衡，而且在相
同截面下，浇筑用模最省．假设一桥梁施工队在浇筑桥墩时，采用由内向
外扩张式浇筑，即保持圆柱高度不变，截面半径逐渐增大，设圆柱半径关
于时间变化的函数为 R(t)．若圆柱的体积以均匀速度 c 增长，则圆柱的侧面
积的增长速度与圆柱半径
()
A．成正比，比例系数为 c
四、“基本活动经验”不可少 为了响应国家节能减排的号召，甲、乙两个工厂进行了污 水排放治理，已知某月内两厂污水的排放量 W 与时间 t 的关系如图所示． (1)该月内哪个厂的污水排放量减少得更多？ (2)在接近 t0 时，哪个厂的污水排放量减少得更快？ 答案：(1)乙 (2)甲
在日常生 活中， 随处都 可以看 到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数
记法
记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝li m Δx→0
ΔΔxy＝
li m fx0＋Δx－fx0
Δx→0
Δx
几何 是曲线y＝f(x)在点 (x0，f(x0)) 处的 切线的斜率 ，相应的切线方程为 意义 y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
在日常生 活中， 随处都 可以看 到浪费 粮食的 现象。 也许你 并未意 识到自 己在浪 费，也 许你认 为浪费 这一点 点算不 了什么
§5.1 导数的概念及其运算、定积分
高考第一轮复习
导数及其应用
第 一节 导数的概念及其运算、 定积分
目
1
高考引航
2
必备知识
录
3
关键能力
高考引航
必备知识
知识清单
一、导数的概念
1.函数 y=f(x)从 x1 到 x2 的平均变化率
函数
y=f(x)从
x1
到
x2
的平均变化率为������
(������ 2 )-������ (������ ������ 2 -������ 1
C.12
D.-12
【解析】依题意,得 y'=1+ln x,则 y'|x=e=1+ln e=2,所以-1������×2=-1,故 a=2.
2.曲线 y=sin x+ex 在点(0,1)处的切线方程是( C ).
A.x-3y+3=0
B.x-2y+2=0
C.2x-y+1=0
D.3x-y+1=0
【解析】y'=cos x+ex,则切线斜率 k=2,所以切线方程为 2x-y+1=0.
所以 S=
2 0
(4x-x3)dx=
2������
2
-
1 4
������
4
2
=4,故选 D.
f2(x)dx.
(3)
������ ������
f(x)dx=
������ ������
f(x)dx+
������ ������
f(x)dx(其中
a<c<b).
答案
3.微积分基本定理
一般地,如果
导数与定积分总结
x 例3 求函数 y 2 的单调区间. x 9
解:
x ( x 9) x( x 9) x 9 y 2 0 2 2 2 ( x 9) ( x 9)
' 2 2 ' 2 '
f ( x)的定义域为x 3,
当x (, 3), x (3,3), x (3, )
导数与定积分总结
知识点总结:
(一)对导数定义的理解;
f '( x0 ) lim
x 0
f ( x0 x) f ( x0 ) x
f ( x0 x) f ( x0 ) A:平均变化率 x f ( x0 x) f ( x0 ) B:割线斜率 x
f ( x0 x) f ( x0 ) lim 瞬时变化率 x 0 x f ( x0 x) f ( x0 ) lim 切线斜率 x 0 x
本节内容是本章最根本,最重要,最基本的内容
y f x x f x 1. f x lim lim x 0 x x 0 x
2. C 0C为常数 m x mx m -1 m Q sinx cosx cosx sinx x e ex
3
2 3 .
1 6.
条.
(四)怎样理解极点,极值;还有最值点,最值 (应该学会结合原函数与其导函数图形理解)
y=f(x) D E 0 G A C B F K x H D
y f '( x) H
E 0 G A C B F
K
x
y f ( x)
y f '( x)
请你根据上面图象指出哪些是极点,极值;最值点,最值
（2）设f（x）在x=x0处可导，且
高中数学基本知识点汇总(一)
高中数学基本知识点汇总(一)一、函数与极限1. 函数的概念（1）函数的定义：设A、B是非空的集合，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数。
（2）函数的定义域、值域、对应法则。
（3）函数的表示方法：解析法、表格法、图象法。
2. 函数的特性（1）单调性：函数在某个区间上单调增加或单调减少。
（2）奇偶性：f(x) = f(x)为偶函数，f(x) = f(x)为奇函数。
（3）周期性：f(x + T) = f(x)，T为函数的周期。
（4）对称性：函数图象关于x轴、y轴、原点对称。
（5）凹凸性：函数图象在某区间上凹或凸。
3. 初等函数（1）常数函数：f(x) = C（C为常数）（2）一次函数：f(x) = kx + b（k、b为常数）（3）二次函数：f(x) = ax^2 + bx + c（a、b、c为常数，a≠0）（4）幂函数：f(x) = x^n（n为常数）（5）指数函数：f(x) = a^x（a为常数，a > 0且a≠1）（6）对数函数：f(x) = log_a(x)（a为常数，a > 0且a≠1）4. 极限（1）数列极限的定义：设{a_n}是一个数列，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε，总存在正整数N，使得当n > N时，|a_n A| < ε，那么就称常数A是数列{a_n}的极限。
（2）函数极限的定义：设函数f(x)在点x_0的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0 < |x x_0| < δ时，|f(x) A| < ε，那么就称常数A是函数f(x)当x趋向于x_0时的极限。
（3）无穷小量与无穷大量：无穷小量表示函数在某点附近的增量趋于0，无穷大量表示函数在某点附近的增量趋于无穷。
（4）极限的性质与运算法则。
积分导数知识点总结
积分导数知识点总结一、导数的定义1.导数的定义：函数f在点x处的导数为该点处的极限，即f'(x) = lim(h→0) (f(x+h) - f(x))/h2.导数的几何意义：导数表示函数在某一点处的斜率，即切线的斜率。
3.导数的物理意义：导数表示物理学中的速度、加速度等变化率。
4.导数存在的条件：函数在某一点处存在导数的条件是该点的邻域内函数有定义且函数在该点处有有限的斜率。
5.导数存在的判定：若函数在某一点处存在导数，则函数在该点处一定连续二、导数的计算方法1.利用导数的定义计算导数2.利用导数的基本公式计算导数3.利用导数运算法则计算导数4. 利用导数的性质计算导数三、导数的应用1. 导数与函数的图像（1）导数与函数的单调性：函数在某一区间内单调增加（减少）的充分必要条件是函数在该区间内导数恒大于（小于）零。
（2）导数与函数的极值：函数在某一点处取得极大值、极小值的充分必要条件是函数在该点处的导数为零或不存在。
（3）导数与函数的凹凸性：若函数在某一区间内的导数恒大于零（小于零），则该函数在该区间内为凹函数（凸函数）。
2. 导数与曲线问题（1）切线方程：函数在某一点处的切线方程为y=f'(x0)(x− x0)+f(x0)（2）法线方程：函数在某一点处的法线方程为y=(−1/f'(x0))(x− x0)+f(x0)（3）切线与曲线的问题：切线与曲线的交点、长度、曲率等问题。
3. 导数在科学工程中的应用（1）速度、加速度：物体运动的速度、加速度等问题。
（2）最优化问题：求函数取得最大值、最小值时的条件。
（3）微分方程：描述自然现象的微分方程。
四、积分的定义1. 积分的定义：积分是导数的逆运算。
2. 定积分的定义：定积分是函数在区间[a, b]上的积分，表示曲线以下的面积。
3. 不定积分的定义：不定积分是函数的不定积分，表示函数的原函数。
5. 积分存在的条件：函数在某一区间内存在积分的条件是该函数在该区间内有界、可积。
导数求导定积分公式.docx
圆梦教化中心导数和积分学问点总结一、导数:① Cλ=0:② M="尸：③(Sinx)' = 8SX; ④(CoSX)' =-Sinx ；⑤⑺，…⑥⑷…叫⑦°同吃⑧(W)'T。
*U ± V)=U ± V .(MV) =M V+UV.(C M) = Cu .上1 M,V-MV1⑴ <=V2(v≠0)o1、单调区间：一般地，设函数)'=，(*)在某个区间可导，假如/ (K) >0,则/⑶为增函数；假如/㈤则/⑶为减函数；假如在某区间内恒有∕α)=°,贝”⑴为常数；2.极点与极值：曲线在极值点处切线的斜率为0,极值点处的导数为0:曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负：曲线在微小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；3.最值：一般地，在区间［a, b］上连续的函数f*)在［a, b］上必有最大值与最小值。
①求函数/⑶在(a, b)内的极值;②求函数/⑶在区间端点的值/(a)、/(b)；③将函数/㈤的各极值与/(a)、f(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。
二、定积分(1》概念：设函数f(x)在区间［a, bj上连续，用分点a=xθ<xl<…<xi—1OdV…xn=b把区间［a, b)等分成n∑/个小区间，在每个小区间［xi-l, Xi)上取任一点；i G=I, 2,…n)作和式In=E (Ji)ZXx (其中Ax为［f(x)dx 小区间长度),把n-8即4x-O时,和式In的极限叫做函数f(x)在区间［a・b］上的定枳分,记作：JaJ , (f(x)dx !⅛∑∕即=…I (ξi)∆χo这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限,区间［a, b］叫做枳分区间，函数f(x)叫做被积函数,X叫做积分变量，f(x)dx叫做被枳式.基本的积分公式:J-X ftJ∙= w + 1 +c (m∈Q. m≠-1)：Kdx=InN+C：= Ina +c：I CoSXarJ =sinx+C;sinJttiv , z .v . … 1. .tu 、= -cosx+C (表中C 均为常数)∙<2)定积分的性质①j>3Kj>fk 为常数)： ⑨{7(x)± g(x)dx = £' f(x)dx±^ g{x)dx③j>∙ = j>"τf … (其中 a<c<b)。
导数与定积分知识汇总
高考数学-———导数、定积分知识清单一 、导数的概念●（一）导数的概念函数y=f （x),如果自变量x 在x 0处有增量△x ，那么函数y 相应地有增量△y=f （x 0+△x ）－f （x 0）,比值△y△x 叫做函数y=f （x)在x 0到x 0+△x 之间的平均变化率，即错误!= 错误!。
如果当0→∆x 时，错误!有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f ’（x 0）或y' ｜ x = x0即f ‘（x 0）=0lim→∆x x y∆∆=0lim→∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00.说明:(1）函数f （x)在点x 0处可导，是指0→∆x 时，x y ∆∆有极限。
如果x y∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数.（例如：函数y = |x|在x = 0处得左极限与右极限不相等，所以函数y = |x ｜在x = 0处不存在极限,所以在x = 0处不可导)（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。
由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： ① 求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0)；② 求平均变化率x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00;③ 取极限，得导数f ’(x 0)=x yx ∆∆→∆0lim.●（二）导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f(x 0))处的切线的斜率xx f x x f x f k x ∆-∆+==→∆)()(lim)(0000'切。
也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f ’（x 0)。
相应地，切线方程为y －y 0 = f '（x 0）（x －x 0）。
导数及定积分知识点总结及练习(经典)
导数的应用及定积分（一）导数及其应用1．函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的瞬时变化率是limΔx →0ΔyΔx ＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx .我们称它为函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，记作f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝limΔx →0ΔyΔx ＝lim Δx →f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx 。
2．导数的几何意义函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数，就是曲线y ＝f (x )在x ＝x 0处的切线的斜率 ，即k ＝f ′(x 0)＝limΔx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.3．函数的导数对于函数y ＝f (x )，当x ＝x 0时，f ′(x 0)是一个确定的数．当x 变化时，f ′(x )便是一个关于x 的函数，我们称它为函数y ＝f (x )的导函数(简称为导数)，即f ′(x )＝y ′＝limΔx →0f (x 0＋Δx )－f (x 0)Δx.4．函数y ＝f(x)在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x)在点x ＝x 0处的函数值，即f ′(x 0)＝f ′(x)|x ＝x 0。
5．常见函数的导数(x n )′＝__________.(1x )′＝__________.(sin x )′＝__________.(cos x )′＝__________.(a x )′＝__________.(e x )′＝__________.(log a x )′＝__________.(ln x )′＝__________. （1）设函数f (x )、g (x )是可导函数，则：(f (x )±g (x ))′＝________________；(f (x )·g (x ))′＝_________________． （2）设函数f (x )、g (x )是可导函数，且g (x )≠0，⎝⎛⎭⎫f (x )g (x )′＝___________________.（3）复合函数y ＝f(g(x))的导数和函数y ＝f(u)，u ＝g(x)的导数间的关系为yx ′＝y u ′·u x ′.即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积．6．函数的单调性设函数y ＝f(x)在区间(a ，b)内可导，(1)如果在区间(a ，b)内，f ′(x)>0，则f(x)在此区间单调__________； (2)如果在区间(a ，b)内，f ′(x)<0，则f(x)在此区间内单调__________．(2)如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么这个函数在这个范围内变化较__________，其图象比较__________．7．函数的极值一般地，已知函数y ＝f(x)及其定义域内一点x 0，对于包含x 0在内的开区间内的所有点x ，如果都有________，则称函数f(x)在点x 0处取得________，并把x 0称为函数f(x)的一个_________；如果都有________，则称函数f(x)在点x 0处取得________，并把x 0称为函数f(x)的一个________．极大值与极小值统称为________，极大值点与极小值点统称为________．8．函数的最值假设函数y ＝f(x)在闭区间[a ，b]上的图象是一条连续不断的曲线，该函数在[a ，b]上一定能够取得____________与____________，若该函数在(a ，b)内是__________，该函数的最值必在极值点或区间端点取得．9．生活中的实际优化问题（1）在解决实际优化问题中，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示，还应确定函数关系式中__________的取值范围．（2）实际优化问题中，若只有一个极值点，则极值点就是__________点． （二）定积分1．曲边梯形的面积(1)曲边梯形：由直线x ＝a 、x ＝b(a≠b)、y ＝0和曲线________所围成的图形称为曲边梯形．(2)求曲边梯形面积的方法与步骤：①分割：把区间[a ，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些_______________； ②近似代替：对每个小曲边梯形“___________”，即用__________的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的________；③求和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值________；④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个________，即为曲边梯形的面积．2．求变速直线运动的路程如果物体做变速直线运动，速度函数为v ＝v(t)，那么也可以采用________、________、________、________的方法，求出它在a≤t≤b 内所作的位移s.3．定积分的概念如果函数f (x )在区间[a ，b ]上连续，用分点a ＝x 0<x 1<…<x i －1<x i <…<x n ＝b 将区间[a ，b ]等分成n 个小区间，在每个小区间[x i －1，x i ]上任取一点ξi (i ＝1,2，…，n )，作和式S n ＝∑=ni 1f(ξi )Δx＝_____________(其中Δx 为小区间长度)，当n →∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f (x )在区间[a ，b ]上的_________，记作⎰baf (x )dx ，即⎰baf (x )dx ＝_________．这里，a 与b 分别叫做________与________，区间[a ，b]叫做________，函数f(x)叫做________，x 叫做________，f(x)dx 叫做________．4．定积分的几何意义如果在区间[a ，b ]上函数f (x )连续且恒有___________，那么定积分⎰baf (x )dx 表示由_________________________，y ＝0和_____________所围成的曲边梯形的面积．5．定积分的性质 ①⎰ba kf(x )dx ＝__________________(k 为常数)；②⎰ba(x )]dx f±(x )[f 21＝________________；③⎰baf (x )dx ＝⎰caf (x )dx ＋_______________(其中a <c <b )．6．微积分（1）微积分基本定理如果F (x )是区间[a ，b ]上的________函数，并且F ′(x )＝________，那么⎰baf (x )dx ＝___________．（2）用微积分基本定理求定积分，关键是找到满足F ′(x )＝f (x )的函数F (x )，即找被积函数的________，利用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系，运用基本初等函数求导公式和导数的四则运算法则从反方向上求出F (x )．（3）被积函数的原函数有很多，即若F (x )是被积函数f (x )的一个________，那么F (x )＋C (C 为常数)也是被积函数f (x )的________．但是在实际运算时，不论如何选择常数C (或者是忽略C )都没有关系，事实上，以F (x )＋C 代替式中的F (x )有⎰baf (x )dx ＝[F (b )＋C ]－[F (a )＋C ]＝F (b )－F (a )．（4）求定积分的方法主要有：①利用定积分的________；②利用定积分的___________；③利用_______________。
导数与定积分
第九讲 导数与定积分一、导数的概念与运算1．导数的概念： )(/x f ＝/y ＝xx f x x f x y x x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim00。
2．求导数的方法：（1）求函数的增量⊿y ；（2）求平均变化率xy ∆∆；（3）求极限x yx ∆∆→∆0lim 。
3．导数的几何意义：函数y=f(x)在x 0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点（x 0，y 0）处的切线的斜率，即斜率为)(0/x f 。
过点P 的切线方程为：y- y 0=)(0/x f (x- x 0).4．几种常见函数的导数：0'=C (C 为常数)；1)'(-=n n nx x (Q n ∈)；x x cos )'(sin =；x x sin )'(cos -=；xx 1)'(ln =；e xx a a log 1)'(log =；x x e e =)'(；a a a x x ln )'(=。
5．导数的四则运算法则：)()()]()(['''x v x u x v x u ±=±；[()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+；'2''(0)u u v uv v v v -⎛⎫=≠ ⎪⎝⎭6．复合函数的导数：设函数u =ϕ(x )在点x 处有导数u ′x =ϕ′(x )，函数y =f (u )在点x 的对应点u 处有导数y ′u =f ′(u )，则复合函数y =f (ϕ (x ))在点x 处也有导数，且x u x u y y '''⋅= 或f ′x (ϕ (x ))=f ′(u )ϕ′(x ).二、导数的应用1． 函数的单调性（1） 设y=f(x)在某个区间内可导，若)(/x f >0，则f(x)为增函数；若)(/x f <0，则f(x)为减函数。
导数和积分知识点总结
导数和积分知识点总结一、导数的概念导数是描述函数变化速率的一个重要概念。
对于函数y=f(x)，在某一点x处的导数表示为f'(x)，它的几何意义是函数曲线在该点的切线斜率。
在物理学中，导数可以描述物体的运动速度和加速度。
导数的计算方法有：求导法则（和差积商的导数、复合函数的导数）、高阶导数、隐函数求导、参数方程求导等。
二、导数的应用1. 导数在切线和曲率的计算中有广泛的应用；2. 导数可以用来求函数的最大值和最小值，以及函数的拐点；3. 导数可以用来计算函数的增减性和凹凸性；4. 导数在物理学中可以描述速度、加速度等概念。
三、不定积分的概念不定积分是求函数的原函数的过程，表示为∫f(x)dx=F(x)+C，其中F(x)是不定积分的结果，C为积分常数。
不定积分的计算方法有：基本初等函数的不定积分、分部积分、换元积分等。
四、定积分的概念定积分是对函数在区间[a,b]上的面积或曲线长度的度量。
表示为∫a^b f(x)dx。
定积分的计算方法有：定积分的性质与计算、定积分的应用（如物理学中的质心、工程学中的弧长等）。
五、积分中值定理积分中值定理是微积分的基本定理之一，它表明了函数的积分值与函数自身在某点的函数值之间的关系。
积分中值定理包括：拉格朗日中值定理和柯西中值定理。
六、导数和积分之间的关系导数和积分都是函数的重要特征，它们之间有着密切的关系。
牛顿—莱布尼茨公式揭示了导数与积分的关系：如果函数F(x)是函数f(x)的一个原函数，则函数f(x)的定积分可以表示为F(x)在区间[a,b]上的变化量。
七、常用函数的导数和不定积分1. 常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数等的导数和不定积分的计算；2. 求导和积分的基本公式及常用函数的导数和不定积分。
八、微分方程的解法微分方程是描述变化规律的数学模型，它在物理、生物、经济等领域有着广泛的应用。
微分方程可分为常微分方程和偏微分方程两大类，同时它的解法有：变量分离法、齐次方程、一阶线性微分方程、二阶线性微分方程等。
常用的求导和定积分公式
常用的求导和定积分公式在微积分中，求导和定积分是两个最基本的运算。
求导用于确定一个函数的导数，而定积分则用于计算一个函数在给定区间上的面积。
下面是一些常用的求导和定积分公式：求导公式：1. 常数法则：若c为常数，则导数为0，即：d/dx (c) = 0。
2. 幂法则：若f(x) = x^n，则导数为n*x^(n-1)，即：d/dx (x^n)= n*x^(n-1)。
3. 对数函数法则：若f(x) = ln(x)，则导数为1/x，即：d/dx(ln(x)) = 1/x。
4. 指数函数法则：若f(x) = e^x，则导数为e^x，即：d/dx (e^x)= e^x。
5. 乘法法则：若f(x) = u(x) * v(x)，则导数为u'(x) * v(x) +u(x) * v'(x)，即：d/dx (u(x) * v(x)) = u'(x) * v(x) + u(x) *v'(x)。
6. 除法法则：若f(x) = u(x) / v(x)，则导数为(u'(x) * v(x) -u(x) * v'(x)) / (v(x))^2，即：d/dx (u(x) / v(x)) = (u'(x) * v(x) - u(x) * v'(x)) / (v(x))^27. 链式法则：若f(x) = g(h(x))，则导数为g'(h(x)) * h'(x)，即：d/dx (g(h(x))) = g'(h(x)) * h'(x)。
8. 反函数法则：若f(x) = g^(-1)(x)，其中g为一个可逆函数，则导数为1 / g'(g^(-1)(x))，即：d/dx (g^(-1)(x)) = 1 / g'(g^(-1)(x))。
定积分公式：1. 基本定积分：∫1 dx = x + C。
2. 幂函数定积分：∫x^n dx = x^(n+1) / (n+1) + C，其中n不等于-13. 指数函数定积分：∫e^x dx = e^x + C。
高中数学导数与积分知识点归纳总结
高中数学导数与积分知识点归纳总结在高中数学中，导数和积分是两个重要的概念。
它们在计算和解决数学问题时起着关键作用。
以下是导数和积分的一些核心知识点的总结。
导数导数可以理解为函数在某一点的变化率。
它描述了函数在不同点的斜率或曲线的切线。
以下是导数的一些重要知识点：1. 导数的定义：函数f(x)在点x处的导数定义为f'(x) =lim(h→0) [(f(x+h) - f(x))/h]。
2. 导数的计算：使用导数的定义，我们可以通过求极限来计算导数。
另外，还有一些常见函数的导数公式，如幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等。
3. 导数的性质：导数具有一些重要的性质，如线性性、乘法法则、除法法则和链式法则等。
这些性质可以简化导数计算的过程。
4. 高阶导数：除了一阶导数外，函数还可以有更高阶的导数，称为二阶导数、三阶导数等。
高阶导数描述了函数的曲率和曲线的变化情况。
积分积分可以理解为函数的累积总和。
它是导数的逆运算，可以用来计算曲线下面的面积或实现函数的反向操作。
以下是积分的一些重要知识点：1. 定积分：定积分是指对函数在给定区间上的积分。
定积分的计算可以使用黎曼和或牛顿-莱布尼茨公式等方法。
2. 不定积分：不定积分是指对函数求积分得到的含有任意常数的函数。
不定积分可以通过求导的逆运算来计算。
3. 积分的性质：积分具有一些重要的性质，如线性性、换元法、分部积分法等。
这些性质可以简化积分计算的过程。
4. 定积分的应用：定积分在几何学、物理学和经济学等领域有广泛的应用。
它可以用来计算曲线下的面积、质心、弧长以及求解各种实际问题。
以上是高中数学中导数和积分的一些核心知识点的归纳总结。
导数和积分在数学的不同领域中都具有重要的应用价值，例如计算、物理学、工程学等。
希望这份总结对您的学习和应用有所帮助。
常用求导与定积分公式
常用求导与定积分公式常用的求导公式有：1. 常数规则：对于常数C，有d/dx(C) = 0。
2. 幂函数规则：对于任意实数n，有d/dx(x^n) = nx^(n-1)。
特别地，d/dx(x^1) = 13. 指数函数规则：对于任意实数a，有d/dx(a^x) = ln(a) * a^x。
4. 对数函数规则：对于任意正实数a，有d/dx(log_a(x)) = 1 / (x * ln(a))。
5. 三角函数规则：对于三角函数sin(x)和cos(x)，有d/dx(sin(x)) = cos(x)和d/dx(cos(x)) = -sin(x)。
6. 乘法规则：对于两个可导函数f(x)和g(x)，有d/dx(f(x) *g(x)) = f'(x) * g(x) + f(x) * g'(x)。
7. 商法则：对于两个可导函数f(x)和g(x)，有d/dx(f(x) / g(x)) = (f'(x) * g(x) - f(x) * g'(x)) / g(x)^28. 复合函数规则：对于两个可导函数f(x)和g(x)，有d/dx(f(g(x))) = f'(g(x)) * g'(x)。
常用的定积分公式有：1. 常数积分规则：对于常数C和可导函数f(x)，有∫f(x) dx =F(x) + C，其中F'(x) = f(x)。
2. 幂函数积分规则：对于实数n不等于-1和可导函数f(x)，有∫x^n dx = (x^(n+1)) / (n+1) + C。
3. 指数函数的积分规则：对于底数为a的指数函数和可导函数f(x)，有∫a^x dx = (a^x) / ln(a) + C。
4. 对数函数的积分规则：对于底数为a的对数函数和可导函数f(x)，有∫(1 / x) dx = ln，x， + C。
5. 三角函数的积分规则：对于三角函数sin(x)和cos(x)以及可导函数f(x)，有∫sin(x) dx = -cos(x) + C和∫cos(x) dx = sin(x) + C。
导数与定积分
， 求f ( x )
例 3 .( 2012 .浙江 ) 已知 a > 0 , b ∈ R , 函数 f ( x ) = 4 ax ( 1 )证明 : 当 0 ≤ x ≤1时 ， 1. 函数 f ( x )的最大值为 | 2a - b | + a .
3
- 2 bx - a+b .
2. f ( x ) + | 2 a - b | + a ≥0 . ( 2 )若 - 1 ≤ f ( x ) ≤1 对 x ∈ [0,1] 恒成立 ， 求 a + b 的取值范围 .
已知曲线y=f(x)与y=g(x)在点（2，0）处有相同的切线l. (1) 求a,b的值，并写出切线l的方程； (2) 若方程f(x)+g(x)=mx有三个互不相同的根0、x1、x2， 其中x1<x2，且对任意的x ∈ [x1, x2],f(x)+g(x)<m(x-1)恒
成立，求实数m的取值范围。
2．导数的意义
阜阳市红旗中学
1．导数的定义 函数 y＝f(x)在 x＝x0 处的导数 f′(x0)＝ 瞬时变化率
f ( x 0 + x ) - f ( x 0 ).
x→ 0
lim
x
0
= lim
y x
x→ 0
为函数 y = f ( x )
' 在 x = x 0 处的导数 ， 记作 f ' ( x )或 y ' | ,即 f ( x 0 ) = lim 0 x= x
例2：已知函数f(x)=x3-x, 求函数f(x)过点（2，0）处的切线方程。 例3：已知函数f(x)=x3-x, 求函数f(x)过点（1，0）处的切线方程。 例4：已知函数f(x)在R上满足f(1+x)=2f(1-x)-x2+3x+1, 则曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为 A.3x-y-2=0 B.3x+y-2=0 C.x-y+1=0 。 D.x-y-2=0
求函数的导数与积分的关系的方法总结
求函数的导数与积分的关系的方法总结函数的导数和积分是微积分中的两个重要概念，它们之间存在着一定的关系。
本文将总结求函数的导数与积分之间的关系的方法。
1. 法则总结1.1 导数的法则导数是函数在某点的变化率，常用法则包括：- 基本导数法则：如常数的导数为零、幂函数的导数为幂减一乘以幂次。
- 乘积法则：两个函数的乘积的导数等于其中一个函数的导数乘以另一个函数，再加上另一个函数的导数乘以第一个函数。
- 商积法则：两个函数的商的导数等于分子函数的导数乘以分母函数，减去分母函数的导数乘以分子函数，再除以分母函数的平方。
- 链式法则：对于复合函数，导数等于外函数对内函数的导数乘以内函数的导数。
1.2 积分的法则积分是函数与给定函数之间的面积关系，常用法则包括：- 基本积分法则：幂函数积分等于幂次加一除以幂次加一的常数乘以幂函数。
- 定积分法则：定积分是对函数在区间内的面积求解，可以通过定积分法则将复杂函数的积分问题转化为基本函数的积分。
- 分部积分法则：对于两个函数的乘积，分部积分法则将乘积的积分转化为其中一个函数和另一个函数的导数的乘积的积分。
2. 导数和积分的互逆关系导数和积分之间有着互逆的关系，即导数和积分可以相互转化。
2.1 基本关系若函数f(x)在区间[a, b]上可导，则在该区间上的定积分与函数f(x)的原函数F(x)之间有如下基本关系：∫[a, b]f(x)dx = F(x)∣[a, b] = F(b) - F(a)2.2 牛顿-莱布尼茨公式牛顿-莱布尼茨公式是导数和积分互逆关系的具体表达式，对于函数f(x)在区间[a, b]上可导，则有：∫[a, b]f'(x)dx = f(x)∣[a, b] = f(b) - f(a)3. 应用实例3.1 几何意义导数和积分在几何上有着重要的应用，如导数可以表示曲线在某点的切线斜率，积分可以表示曲线与x轴围成的面积。
3.2 求解函数性质通过求导和积分可以求解函数的极值点、拐点、凹凸性等性质。
高考积分,导数知识点精华总结[1]
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高考积分,导数知识点精华总结[1]高考积分,导数学问点精华总结[1]定积分一、学问点与方法：1、定积分的概念设函数f(x)在区间[a,b]上连续，用分点ax0x1…xi1xi…xnb把区间[a,b]等分成n个小区间，在每个小区间[xi1,xi]上取任一点i(i1,2,…,n)作和式nIni1，把n即x0时，和式In的极限叫做函f(i)x（其中x为小区间长度）bbn数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作：f(x)dx，即f(x)dx＝limaani1f(i)x。
这里，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a,b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式。
(1)定积分的几何意义：当函数f(x)在区间[a,b]上恒为正时，定积分f(x)dx的几何意ab义是以曲线yf(x)为曲边的曲边梯形的面积。
(2)定积分的性质①akf(x)dxbkf(x)dxab（k；为常数）；②abf(x)g(x)dxbcabf(x)dxbag(x)dxb③f(x)dxaaf(x)dxcf(x)dx（其中acb)。
2、微积分基本定理假如yf(x)是区间[a,b]上的连续函数，并且F(x)f(x)，那么:baf(x)dxF(x)|aF(b)F(a)b3、定积分的简洁应用(1)定积分在几何中的应用：求曲边梯形的面积由三条直线xa,xb(ab)，x轴及一条曲线yf(x)(f(x)0)围成的曲边梯的面积Sbaf(x)dx。
假如图形由曲线y1＝f1(x)，y2＝f2(x)（不妨设f1(x)≥f2(x)≥0），及直线x＝a，x＝b（a二、练习题1、计算下列定积分：(1)(x1e1x1x0)dx(2)2(sinx2cosx)dx(3)(2sinx3e2)dx203x(4)(4xx2)dx( 5)|2x|dx0122、求下列曲线所围成图形的面积：（1）曲线y2xx2,y2x24x；（2）曲线yex,yex,x1。
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高考数学----导数、定积分知识清单一 、导数的概念●（一）导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量△x ，那么函数y 相应地有增量△y=f （x 0+△x ）－f （x 0），比值△y△x 叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+△x 之间的平均变化率，即△y △x = f （x 0+△x ）－f （x 0）△x 。
如果当0→∆x 时，△y △x 有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f ’（x 0）或y’ | x = x0即f ‘（x 0）=0lim→∆x x y∆∆=0lim→∆x x x f x x f ∆-∆+)()(00。
说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，x y ∆∆有极限。
如果x y∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。
（例如：函数y = |x|在x = 0处得左极限与右极限不相等，所以函数y = |x|在x = 0处不存在极限，所以在x = 0处不可导）（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。
由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： ① 求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）；② 求平均变化率x y ∆∆=x x f x x f ∆-∆+)()(00；③ 取极限，得导数f ’(x 0)=x yx ∆∆→∆0lim。
●（二）导数的几何意义函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率 xx f x x f x f k x ∆-∆+==→∆)()(lim)(0000'切。
也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f ’（x 0）。
相应地，切线方程为y －y 0 = f ’（x 0）（x －x 0）。
例题：1、已知曲线m x y +=331的一条切线方程是44y x =-，则m 的值为 （ ） .A 43 .B 283- .C 43或283- .D 23或133-2、若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为 （ ）A ．B ．C ．D ．●（三）几种常见函数的导数:①0;C '= ②1)(-='n n nx x ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-;⑤();x x e e '= ⑥()ln x x a a a '=; ⑦x x 1)(ln ='; ⑧ax x aln 1)(log ⋅='. ●（四）两个函数的和、差、积、商的求导法则1.函数和（或差）的求导法则设)()(x g x f 、是可导的，则)()()]()(['''x g x f x g x f ±=±.即两个函数的和（或差）的导数等于这两个函数的导数的和（或差），该法则也可以推广到任意有限个函数，即)()()()()()()((''2'1321x f x f x f x f x f x f x f n n ±±±=±±±± ‘）：2.函数积的求导法则设()x g x f 、)(是可导的，则''')()()()()]()([x g x f x g x f x g x f -=，即两个函数的积的导数等于第一个函数的导数乘第二个函数加上第一个函数乘第二个函数的导数. 特例：若C 为常数,则)()(0)()())((x f C x f C x f C x f C x f C '⋅='⋅+='⋅+⋅'='⋅. 即常数与函数的积的导数等于常数乘以这个函数的导数：)())((x f C x f C '⋅='⋅ 3.函数商的求导法则设)()(x g x f 、是可导的，且0)(≠x g ，则2''')]([)()()()(])()([x g x g x f x g x f x g x f -=. （简记为2v uv v u v u '-'='⎪⎭⎫ ⎝⎛ （0≠v ） ） 即两个函数的商的导数等于等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积， 再除以分母的平方二、导数的应用●（一）确定函数的单调性（求单调区间）1. 在某个区间),(b a 内，如果0)('>x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递增；如果0)('<x f ，那么函数)(x f y =在这个区间内单调递减。
2. 如果在某区间内恒有'f 0)(=x ，则)(x f 为常数；注：① f （x ）＞0是f （x ）递增的充分条件，但不是必要条件，如32x y =在),(+∞-∞上并不是都有f （x ）＞0，有一个点例外即x=0时f （x ）=0，同样f （x ）＜0是f （x ）递减的充分非必要条件.② 一般地，如果f （x ）在某区间内有限个点处导数为零．．．．．．．．．，在其余各点导数值均为正（或负），那么f （x ）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.例题：求443)(23--=x x x f 的单调区间●（二）极点与极值：1. 曲线在极值点处切线的斜率为0，极值点处的导数为0；曲线在极大值点左侧切线的斜 率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正；2. 极值的判别方法：（极值是在x 0附近所有的点，都有)(x f ＜)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f的极大值，极小值同理） ★ 求函数)(x f 极值的步骤:①求导数)(x f ' ②求方程0)(/=x f 的根 ③列表 ④下结论。
3. 当函数)(x f 在点x 0处连续时，① 如果在x 0附近的左侧)('x f ＞0，右侧)('x f ＜0，那么)(0x f 是极大值； ② 如果在x 0附近的左侧)('x f ＜0，右侧)('x f ＞0，那么)(0x f 是极小值.也就是说x 0是极值点的充分条件是x 0点两侧的导数异号，而不是)('x f =0---------（1）.亦即 0x 是极值点0)(0='⇒x f 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点----（2）当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.注 （1）若点x0是可导函数f(x)的极值点，则)(0='x f ，但反过来不一定成立。
例如：函数y = x 3 在x =0处的导数为0，但是函数在R 上单调递增，则x =0不是函数的极值点 （2）例如：||)(x x f y ==，在点x=0处不可导，但点x=0是函数的极小值点.例题：1、函数2)12()(23+-+=x a ax x f ，若1-=x 是)(x f y =的一个极值点，则a 值为A ．2 B.-2 C.72D.4 2、设函数f(x)= 3223(1)1, 1.x a x a --+≥其中 （Ⅰ）求f(x)的单调区间； （Ⅱ）讨论f(x)的极值。
解：由已知得[]'()6(1)f x x x a =--，令'()0f x =，解得 120,1x x a ==-。
（Ⅰ）当1a =时，'2()6f x x =，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；当1a >时，()'()61f x x x a =--⎡⎤⎣⎦，'(),()f x f x 随x 的变化情况如下表：从上表可知，函数()f x 在(,0)-∞上单调递增；在(0,1)a -上单调递减；在(1,)a -+∞上 单调递增。
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当1a =时，函数()f x 没有极值；当1a >时，函数()f x 在0x =处取得极大值，在1x a =-处取得极小值31(1)a --。
●（三）最值：最值定理：一般地，在区间[a ，b]上连续的函数f （x ）在[a ，b]上必有最大值与最小值。
求函数f （x ）在闭区间[a ，b]上的最值的步骤： ① 求函数f （x ）在(a ，b)内的极值；② 求函数f （x ）在区间端点的值ƒ(a)、ƒ(b)；③ 将函数f （x ）的各极值与ƒ(a)、ƒ(b)比较，其中最大的是最大值，其中最小的是最小值。
三、定积分的知识梳理●（一）定积分1. 概念：设函数f(x)在区间[a ，b]上连续，用分点a ＝x0<x1<…<xi －1<xi<…xn ＝b 把区间 [a ，b]等分成n 个小区间，在每个小区间[xi －1，xi]上取任一点ξi （i ＝1，2，…n ）作和式:∑=ni 1f (ξi)△x （其中△x 为小区间长度。
在等分情况下，△x =b-a n），把n →∞即△x →0时， 和式的极限叫做函数f(x)在区间[a ，b]上的定积分，记作：⎰badxx f )(，即⎰badxx f )(＝lim ∞→n ∑=ni 1f (ξi)△x 。
这里，a 与b 分别叫做积分下限与积分上限，区间[a ，b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函 数，x 叫做积分变量，f(x) dx 叫做被积式。
2. 基本的定积分公式：（1）11|(1)1bn n baa x dx x n n +=≠-+⎰ （2）|b b a a cdx cx =⎰（C 为常数） （3）sin cos |b ba a xdx x =-⎰（4）cos sin |b b aa xdx x =⎰（5）1ln |bb aa dx x x=⎰（6）|b x x ba a e dx e =⎰ （7）|(01)ln xb x b a a a a dx a a a =>≠⎰且 练习（1）120x dx ⎰ （2）⎰--12x dx （3）42xdx -⎰解：（1）31303133310312=-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎰x dx x （2）[]2ln 2ln 1ln ln 11212-=-==⎰----x dx x （3）40404222022011()281022xdx x dx xdx x x ---=-+=-+=+=⎰⎰⎰3. 定积分的性质 （1）()()bb aakf x dx k f x dx =⎰⎰； （2）1212[()()]()()b b ba a a f x f x dx f x dx f x dx ±=±⎰⎰⎰（3）()()()()c b bac a f x dx f x dx f x dx a c b +=<<⎰⎰⎰。