高等数学期中试卷答案

1 .

2、设)(x f 在a x =连续且3)

(lim

=-→a

x x f a

x ，则=')(a f 3 . 3、曲线2

x e y -=的单调增区间为],(0-∞，拐点坐标为),(2

1

2

1-

±

e .

4、x

e x y 32=，则=)

10(y

)(302033239++x x e x 5、设)0)(1

(sin >+=

x x

f x y x

，其中)(x f 可微，则

dy =dx x x f x x x x x

]cos )(sin )ln (

[1

1112

21'--.

三、计算题（本大题分5小题，每小题8分，共40分） 1、)...2211(

lim 222n

n n n n n n n n +++++++++∞→. 解： 利用夹逼准则，原式=2

1

2、)

1ln()cos 1(1

cos

tan 2lim

20x x x x x x +++→. =x

x x x x 21220

cos

tan lim

+→=x x x 220tan lim →12

1

0=+→x x x cos

lim

3、x

x x

x 1

0)sin (

lim +→ .解：先求 x x x x sin ln lim 10→=x x x x ln sin ln lim -→0=11

0x x x x -

→sin cos lim =x x x x x x sin sin cos lim -→0=20x

x x x x sin cos lim -→=020=→x x

x x sin lim ，原式=1 或先求)sin (lim 110-→x x x x =2

0x x x x -→sin lim =

021

0=-→x x x cos lim ，原式=1

4、设⎩⎨⎧=+=t

y t x arctan 1ln 2，求2

2dx y d .

5、设)(x y y =由方程4ln 2y x xy =+确定，求曲线)(x y y =在点)1,1(处的切线方程，并求)(x y y =在1,1==y x 处的二阶导数。 解： 两边对x 求导：

y y x

y x y '⋅=+

'+342

，将x =1,y =1代入得1='y 切线方程：x y =

两边再对x 求导：y y y y x

y x y y ''⋅+'⋅=-

''+'+'3

222

4122 将x =1,y =1，1='y 代入得：41

1-=''==y x y

四、设21=x ,n n x x +=+21（n =1, 2,…），证明：n n x +∞

→lim 存在，并求

出极限值. （本题8分）

证明：

⎪⎩⎪⎨⎧

=+=t

y t x arctan )ln(2121解：

t

t t t dx dy 1122111

2

2=

++=32

221t

t dx y d +-=,22112=>+=x x x ,

1->k k x x 设,

k k k k x x x x =+>+=-+1122则{};

是单调递增的n x ∴,

221<=x 又,

2

k x x +=+212

22=+<{};是有界的n x ∴.

lim 存在A x n n =∴∞

→,

A A +=22.

lim 2=∴∞

→n n x 1

2-==A A ,解得

五、证明：当33

1

tan ,20x x x x +><

<时π

.（本题8分） 证明：令3

31x x x x f --=tan )(

012222>-=--='x x x x x f tan sec )(

)(x f 在时2

0π

<≤x 单调递增，00=>)()(f x f

即33

1x x x +>tan

六、一弓箭手在原点射出的箭的轨迹方程为 2

3300

2x k kx y +-

=，其中x 是箭离原点的水平距离，y 是相应的高度（x 轴为地平线，距离

单位为m ），正数k 是轨迹曲线在原点处的切线的斜率，问k 为何值时，箭的水平射程最大？ （本题7分）

解：令,0=y 解得2

30003

+==k k

x x ,，即箭的水平射程为： 2

3003+=

k k

k x )(，233

21600)()()(+-='k k k x ，解得唯一驻点：1=k

为极大值点即为最大值点，故1=k 箭的水平射程最大

七、设)(x f 在]1,0[上连续，在)1,0(内可导，0)0(=f

证明： 存在)1,0(∈ξ，使

)(1)

(3ξξ

ξf f '=-成立. （本题7分） 解：令)()()(x f x x F 3

1-=在]1,0[上利用罗尔定理

装 订

线 内

不 要

答 题

自

觉

遵 守 考 试

规 则，诚

信 考

试，绝 不

作 弊