全国2006年7月自考复变函数与积分变换答案

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全国2006年7月自考复变函数与积分变换答案
课程代码：02199
一、单项选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分）
在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。

错选、多选或未选均无分。

1.arg(2-2i)=（ B ）
A.43π-
B.4
π- C.
4π D.
4
3π 2.复数方程z=3t+it 表示的曲线是（ A ） A.直线 B.圆周 C.椭圆
D.双曲线
3.设z=x+iy ，则|e 2i+2z |=（ D ） A.e 2+2x B.e |2i+2z| C.e 2+2z
D.e 2x 4.下列集合为无界多连通区域的是（ C ） A.0<|z-3i|<1 B.Imz>π C.|z+ie|>4
D.π<<π2z arg 2
3
5.设f(z)=e x (xcosy+aysiny)+ie x (ycosy+xsiny)在Z 平面上解析，则a=（ B ） A.-3 B.-1 C.1
D.3
6.若f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在Z 平面上解析，u(x,y)=x 2-y 2+x ，则v(x,y)=（ C ） A.xy+x B.2x+2y C.2xy+y D.x+y
7.
⎰
==-2
|z |2)i z (dz
（ A ）
A.0
B.1
C.2π
D.2πi
8.
⎰
=-=2
|1z |dz z z
cos （ D ） A.0 B.1
C.2π
D.2πi
9.⎰
+=i
220
zdz （ D ）
A.i
B.2i
C.3i
D.4i
10.设f(z)=1
z z 22
-，则Res[f(z),1]=（ B ）
A.0
B.1
C.π
D.2π
11.处在0z )
i z )(2z (1
)z (f =--=泰勒展开式的收敛半径是（ B ）
A.0
B.1
C.2
D.3
12.z=2i 为函数2
2
2
z )
4z (z e )z (f +=
的（ C ）
A.可去奇点
B.本性奇点
C.极点
D.解析点
13.2
)1z (z 1)z (f -=
在0<|z-1|<1内的罗朗展开式是（ D ）
A.
∑∞
=-0n n
n
z )
1(
B.
∑∞
=-0n n
2
z
)
1z (1
C.
∑∞
=--0
n n
n
)1z ()
1(
D.
∑∞
=---0
n 2n n
)1z ()
1(
14.线性变换z
1z
2+=
ω（ A ） A.将上半平面Imz>0映射为上半平面Im ω>0 B.将上半平面Imz>0映射为单位圆|ω|<1 C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Im ω>0 D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|ω|<1
15.δ函数的傅氏变换F )]t ([δ为（ C ） A.-2 B.-1 C.1
D.2
二、填空题（本大题共5小题，每小题2分，共10分） 请在每小题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

16.若i
3i 1z -+=
，则z 17.若sinz=0，则z=()k k π为任意整数.
18.设⎰
==ζ<ζ-ζζ
=
L )z (f 3|:|L ),3|z (|,d z
sin )z (f ，则2sin i z π. 19.幂级数
∑∞
=0
n n n
z 3
n
的收敛半径是___3________.
20.映射z
1=
ω是关于__单位圆周__的对称变换.
三、计算题（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 21.解方程z 4=-1.
244
4
3454741(0,1,2,3)
,(0)22,(1)22,(2)22,(3)22
k i
i i i i
z z e
k e i k e i k e i k e i k ππ
πππ
π
+=⇒=
=
==⎧=+=⎪⎪⎪=-+=⎪⎪=⎨⎪=--=⎪⎪⎪=-=⎪⎩
22.已知调和函数u=(x-y)(x 2+4xy+y 2)，求f ′(z)，并将它表示成z 的函数形式.
222222222222222
2
2
(,)()(4)363,363()363(363)
3(2)3(2)333(1)x y x x x y
u x y x y x xy y u x xy y u x xy y f z u iv u iu x xy y i x xy y x y xyi i x y xyi z iz i z
=-++⇒=+-=--'⇒=+=-=+----=-+--+=-=- 解：
23.设f(z)=my 3+nx 2y+i(x 3-3xy 2)为解析函数，试确定m 、n 的值.
2232
222(,),(,)32,2;33,6=263()3/2x y x y x y y x u x y my nx y v x y x xy u nxy u my nx v x y v xy u v n n f z u v m =+=-⇒==+=-=-⇒=-⇒=-⎧⇒⎨
=-⇒=⎩
解：由解析24.求积
分⎰
++-C
dz i
z 2
2z 3I ）（
＝的值，其中C:|z|=4为正向. 2
=232210.
C C dz dz i i i z i πππ∴+=⋅+⋅=+⎰⎰ 解：z=2,i 都在积分曲线C 内，
3原式z-225.求积分
⎰
-C
4
z dz z 3e I ＝
的值，其中C:|z|=1为正向.
()0
23.3!3z z i i e ππ='''∴=⋅-= 解：z=0在积分曲线C 内，原式26.利用留数计算
积分⎰
=+-=
2
|z |4
z
dz )4z )(1z (e I .
4
4411444||2
()||2(1)(4)Re [(),1]lim(1)()lim (4)522(1)(4)55z
z z z z z e f z z z z e e
s f z z f z z e e e
I dz i i z z ππ→→===-+=-==
+∴==⋅=-+⎰ 解：被积函数在内的孤立奇点为：z=1(一级极点)；而27.将函数
0z )
2z )(1z (1
)z (f =++=
在展开为泰勒级数.
010
0011111
()=(1)(1)(2)12212
11(1)(1)(1)1222n n n n
n n n n n n n n n f z z z
z z z z z z z +∞
=+∞
+∞
+∞
+====-=--
+++++⎛⎫⎛⎫=--
--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
∑∑∑∑解：=28.将函
数)
1z (z 1
)z (f -=
在圆环域1<|z-1|<+∞内展开为罗朗级数.
02
0111
()(1)1111(1)()11
(1)(1)1
1(1)(1)n n n n n n f z z z z z z z z z +∞=+∞+=∞⇒==⋅=⋅
--+=⋅=⋅---+-=--∑∑1
解:1<|z-1|<+<1
z-1
11z-1z-1111z-1z-1z-1
四、综合题（下列3个小题中，29题必做，30、31题中只选做一题。

每小题10分，共20分）
29.（1）求2
z
2i z 4e )z (f +=在上半平面的所有孤立奇点；
22
2
()4024i z e f z z z i z
=+=⇒=+解：由，令
为2
z 2i z 4e )z (f +=
在上半平面的所有孤立奇点，且为一级奇点；
（2）求f(z)在以上各孤立奇点的留数；
24
22(),2]lim(2)()lim ;24i z z i z i
e e
f z i z i f z z i i
-→→=-==+解：R es [
（3）利用以上结果计算积分⎰
+∞∞
-+=
.dx 4
x x
2cos I 2
24
22(),2]lim(2)()lim ;24i z z i z i
e e
f z i z i f z z i i
-→→=-==+解：R es [
30.设D 是Z 平面上的带形区域：10<Imz<10+π，试求下列保角映射： （1）ω1=f 1(z)把D 映射成ω1平面上的带形区域D 1：0<Im ω1<π；
110w z i =- （2）ω2=f 2(ω1)把D 1映射成ω2平面上的上半平面D 2：Im ω2>0；
1
2w w e
=
（3）ω=f 3(ω2)把D 2映射成ω平面上的单位圆域D 3：|ω|<1，且f 3(i)=0；
2222i w i w i w e w w i w i
θ
--==++，可取
（4）综合以上三步，试用保角映射ω=f(z)把D 映射成单位圆域D 3.
1010z i z i
e i w e i ---=+
31.(1)求e -t 的拉氏变换F [e -t ]；
(1)0
(1)0[]1
(1)1
t
t pt
p t p t
F e e e dt e dt
e p p +∞
+∞
----++∞
-+=⋅===-++⎰⎰
(2)设F(p)=F [y(t)]，其中函数y(t)二阶可导，F [y ′(t)]、F [y ″(t)]存在，且y(0)=0，
y ′(0)=1，求F [y ′(t)]、F [y ″(t)]；
[()]()F y t pY p '=
2[()]()1F y t p Y p ''=-
（3）利用拉氏变换求解常微分方程初值问题：⎩⎨⎧='==-'+''-1
)0(y ,0)0(y e 2y 3y 2y t
()12(1)
[()]()(0)
[()]()(0)(0)(0)n n n n n L f t pF p f L f t p F p p f p f f ---'=-⎡⎢'=----⎣
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11()22t t
y t e e
-=-+2
1
(()1)2()3()2
1
p Y p pY p Y p p -+-=+解：原方程两边取拉氏变换后，得
解得 2
33
()(1)(23)(1)(1)(3)11/21/2
(1)(1)11
p p Y p p p p p p p p p p p ++==++-+-+-==+
+-+-取逆变换，便得。