2016年全国研究生数学建模竞赛D题--附件4：关于本题的快速入门导引

关于本题的快速入门导引

一、卫星侦察

卫星侦察是利用卫星搭载光电遥感器、雷达或者无线电接收机等侦察设备，从卫星运行轨道上对地面、海洋或空中目标实施侦察、监视或跟踪，以获取目标辐射、反射或发射的光或电磁波等信息，从中提取军事情报的一种侦察方式。

卫星侦察有光学成像、雷达成像、电子侦察等多种方式。侦察方式不同，对目标的侦察效果也不尽相同，因与本题无关，建议不必过多关注，附件中所给出的一些参数与侦察方式有关，做题时可以忽略。

卫星侦察是和平时期军事侦察的主要方式之一。

二、卫星轨道

卫星轨道是卫星绕地球运行的轨迹，呈封闭曲线形状。这条封闭曲线形成的平面叫卫星轨道平面，它总是通过地心。

卫星若要离开地面进入太空，则需要达到一定的飞行速度，这样才能克服地球的引力而不会落到地面上。理论和实践都已证明：当航天器的飞行速度达到7.9千米/秒时，它可以环绕地球运转。因而7.9千米/秒也叫第一宇宙速度。当航天器的飞行速度达到11.2千米/秒时，它就可以脱离地球轨道，成为围绕太阳运行的行星或者飞向太阳系的其它星球。一般把脱离地球轨道飞行的速度叫脱离速度或逃逸速度, 11.2千米/秒也叫第二宇宙速度。如果航天器的飞行速度达到16.6千米/秒, 它就可以脱离太阳系，到其它恒星世界去，16.6千米/秒也叫第三宇宙速度。

航天器与运载火箭分离后入轨点的轨道速度叫入轨速度。入轨点的位置确定后，入轨速度的大小和方向就决定了轨道形状。当航天器的入轨速度在环绕速度和脱离速度之间时，轨道为椭圆形；当航天器的入轨速度等于环绕速度而且是水平方向时，轨道为圆形；当其入轨速度等于脱离速度时，轨道为抛物线形；当其入轨速度大于脱离速度时，轨道为双曲线形。另外，如果入轨速度大小相同而方向不同，航天器的轨道形状也会有很大差异。

地球卫星绕地球运行的轨道遵循开普勒行星运动三大定律。一是卫星轨道为一个椭圆，地球在椭圆的一个焦点上（如右图所示）。其长轴的两个端点是卫星离地球最近和最远的点，分别叫做近地点和远地点。二是人造地球卫星在椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，在远地点时最低，在近地点时最高；

速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径(卫星至地球的连线)在相同的时间内扫过的面积相等。三是人造地球卫星在椭圆轨道上绕地球运行时，其运行周期取决于轨道长半轴的长度；不管轨道形状如何，只要长半轴相同，它们就有相同的运行周期。卫星轨道的形状和大小由它的长半轴和短半轴的数值来决定：其长半轴和短半轴的数值越大，轨道越高；长半轴与短半轴相差越多,轨道的椭圆形越扁长；长半轴与短半轴相等则为圆形轨道。

卫星轨道按高度分为低轨道和高轨道，高低轨道没有明确的划分界限，一般把离地面几百公里的卫星轨道称为低地球轨道。本题所涉及的卫星轨道均为低轨道。按地球自转方向则分为顺行轨道和逆行轨道。这中间有一些特殊意义的轨道，如赤道轨道、地球同步轨道、对地静止轨道、极地轨道和太阳同步轨道等。本题所涉及的卫星轨道均为太阳同步轨道。

卫星轨道的形状和大小是由长轴和短轴决定的，而交点角Ω、近地点幅角ω和轨道倾角i则决定了轨道在空间的方位（见下图）。这五个参数称为卫星轨道要素（根数）。有时还加上过近地点时刻t0，合称为六要素。有了这六要素，就可知道任何时刻卫星在空间的位置。因此，对军事卫星以及其它对国家利益产生重大影响的卫星，其根数被作为国家机密严格保密。

轨道倾角为零时，轨道平面与地球赤道平面重合，这种轨道叫赤道轨道。

轨道高度为35786公里时，卫星的运行周期和地球的自转周期相同，这种轨道叫地球同步轨道；如果地球同步轨道的倾角为零，则卫星正好在地球赤道上空，以与地球自转相同的角速度绕地球飞行，从地面上看，好像是静止的，这种卫星轨道叫对地静止轨道，它是地球同步轨道的特例。对地静止轨道只有一条。

轨道倾角为90度时，轨道平面通过地球两极，这种轨道叫极地轨道。

如果卫星的轨道平面绕地球自转轴旋转的方向、旋转角速度与地球绕太阳公转的方向和角速度相同，则它的轨道叫太阳同步轨道。太阳同步轨道为逆行轨道，轨道倾角大于90度。大致而言，在短时间内卫星轨道面在太空中变化很小，一天只随太阳转动0.986度，而在它下方的地球却以较快的角速度自转不停，太阳同步卫星的观测藉由这个原理因而能涵盖全球。

有些卫星有变轨能力，即可以改变运行的轨道。由于变轨需要耗费较多的能量，因此，除非特别需要，一般不进行变轨，本题也不考虑变轨问题。

卫星与地球中心连线在地球表面的交点称为星下点。卫星运动和地球自转使星下点在地面移动所画出的轨迹称为星下点轨迹。不同的运行轨道会产生不同的星下点轨迹；并且，由于地球不停地自转，卫星沿轨道运行时，其后一圈的星下点轨迹一般不再重复前一圈的星下点轨迹。本题的主要关注点在于准确判断卫星的星下点轨迹何时经过给定地域。

三、卫星过顶预报

卫星在太空中运行时，会实时地向地面发射出“信标信号”，用于地面站对卫星的自动跟踪（其它功能与本题无关），保证卫星不会失控。这是一个频率和幅度都固定的信号，各星不同且不会改变。当地面观察站的天线对准卫星时，就会接收到这组信号，据此可以判断卫星的位置，从而实现对卫星的追踪。附件2中的数据就是地面观测站观测到卫星时天线和卫星的有关数据。

注意卫星和地面站之间对对方的发现不是同时的。

尽管卫星的侦察范围很大，但仅在星下点处侦察效果最好。为简单计，本题约定，对区域目标，卫星星下点进、出给定区域的时间区间称为卫星的过顶时间。

准确预报卫星的过顶时间在军用、民用等多个领域内有重要的应用。对许多气象、通信等民用卫星，其有关轨道数据（根数）都是公开的，利用公开资料，结合卫星运动方程，人们可以很容易追踪卫星，预测过顶时间，现在已经开发出了许多的卫星仿真或预测软件以及在线预报网站，只要输入时间、地点、卫星参数，就可以比较精确地预报卫星的过顶情况，其中功能最强大、最具影响力的要数STK（Satellite Tool Kit，即卫星工具包）。但对军用卫星来说，由于其根数无法获得，应用这些软件或网站预报卫星过顶时刻是不可能的，此时，对卫星运行规律的探索只能通过观测数据进行，本题就是以此为背景设计的。

顺便指出，STK目前的最高版本是10.0，并且更名为Systems Tool Kit。美国从7.0（2004年）开始对中国禁售。

本题涉及到了已知和未知根数的卫星过顶预报。需要特别指出的是：本题与通常的过顶时间预报有所不同，第一是本题给出的已知条件是上一次过顶情况而非具体日期，第二，本题的期望目标是希望在不知道根数的情况下，建立由观察数据预测卫星过顶时间的数学模型。

为考察参赛选手的数学建模能力，本题的每个问题或子问题的回答都不应该只有数据，应该有理论推导和详细的计算过程。

四、本题的一个实际应用场景

规避高空卫星侦察演练见闻

2009-08-24 16:58:45来源: 人民网(北京)