指数函数图像的变换(采用)

3.1
3.1
,3
1.1
(4) 0.2 ,0.3
二、指数函数变换： 例1.在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出它 x 们与指数函数 y 2 的图象的关系. (1) y 2 x 1与y 2 x 2 (2) y 2 x1与y 2 x 2 解：⑴作出图像，显示出函数数据表 x -3 -2 0.125 0.25 0.25 0.5 0.5 1 -1 0.5 1 2 0 1 2 4 1 2 4 8 2 4 8 16 3 8 16 32
2 x 1 2 x 2
2
x
比较函数 y
2 、y 2
x
x 1
与
y2
x 2
的关系：
y2
y2
x
x
向右平行移动1个单位长度
y2
x 1
向右平行移动2个单位长度 y 8 7 6 5 4 3 2 1
y2
x 2
y＝2x
● ●
y＝2x-1
● ●
● ●
●
y＝ 2x －2
x
●
●
●
-5 -4 -3 -2-1 O 1 2 3 4 5
y a x 的图象上任意一点 证：设P(x1,y1)是函数
y a x 的图象上 y1 a a 即Q在函数 x 由于P是任意取的,所以 y a 上任一点关于
x1
则y1 a
x1
而P(x1,y1)关于y轴的对称点Q是(-x1,y1)
( x1 )
y轴的对称点都在 y a 的图象上 x 同理可证： y a 图象上任意一点关于y轴的
x
推广:比较函数 y f (x) 与 y f ( x m) 的关系
y f (x) 向左平行移动m个单位长度 当m>0时, y f ( x m)
当m<0时, y f (x) 向右平行移动|m|个单位长度 y f ( x m)
作业：
P77 A组第3题，B组第2题
例4.探讨函数 y a x 和 y a x (a 0且a 1)的图象 的关系，并证明它们关于y轴对称
推广到广泛函数变换： y=f(x) 函数 y=f(x+a) a>0时，向左平移a个单位； a<0时，向右平移|a|个单位. y=f(x)+a a>0时，向上平移a个单位； a<0时，向下平移|a|个单位. y=f(-x) y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称. y= -f(x) y= -f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称. y= -f(-x) y= -f(-x)与y=f(x)的图象关于原点轴对称.
一、a对指数函数影响： 在同一个坐标系中画出函数 y 2 与y 3 的图像，比较两个函数增长的快慢：（几何画板展示）
实践一
x
x
任意两个指数函数y a 与y b 当a b 1时，同一取值 下： x x x (1)当x 0时，总有 b 1; a x x (2)当x 0时，总有a b 1;
x
x
(3)当x 0时，总有a x b x 1;
特别当x>0时，指数函数的底数越大，函数值增长越快
如x 0下,3 2 .
x x
即a>1时，a越大，图像越“陡”.
以上时a>1时的情况，那0<a<1是什么样的呢？ x x x 画出 y 0.2 , y 0.3 与y 0.5 图像， 并比较0<a<1 时a对函数图象变化的影响.
2
x
2
x 1
2 x2
比较函数 y
2
x
、y
2
x 1
与
y2
x2
的关系：
y2 y2
x x
向左平行移动1个单位长度 向左平行移动2个单位长度
y2
x 1 x2
y2
y
8 7 6 5 4 3 2 1
● ●
y＝2x
y＝2x＋1
● ●
y＝ 2x +2
●
● ●
●
● ●
-5 -4 -3 -2-1 O 1 2 3 4 5
任意两个指数函数y a x与y b x来自百度文库当0 a b 1时，同一取值 下： x
(1)当x 0时，总有 b a ; 1
x x
(2)当x 0时，总有a x b x 1; (3)当x 0时，总有 a x b x 1; 0
特别当x<0时，指数函数的底数越小，函数值减少越快 即0<a<1时，a越小，图像越 “陡”.
x
例1.在同一坐标系下作出下列函数的图象，并指出它 x 们与指数函数 y 2 的图象的关系. x 1 x2 x 1 x 2 (1) y 2 与y 2 (2) y 2 与y 2
解:⑵作出图像，显示出函数数据表 x -3 0.125 0.625 0.3125 -2 0.25 0.125 0.625 -1 0.5 0.25 0.125 0 1 0.5 0.25 1 2 1 0.5 2 4 2 1 3 8 4 2
2
2 2 y 2 1 0
2x x
y 1 y 1( y 0)
∴值域为:
y
[1,)
1
o x
y a 中, 指数x与底数a满足以下规律：
x
即a>1时，a越大，图像越“陡”. 即0<a<1时，a越小，图像越 “陡”.
同一x下，比较y a 与y b 的大小方法：
x x
x
x正半轴（即 0），同一 x下，a越大，y a 的值越大； x x负半轴（即 0），同一 x下，a越大，y a 的值越小 x .
默写
y a (a 0且a 1) 的图象和性质
x
a>1
图 象 性 质
0<a<1
y a (a 0且a 1) 的图象和性质
x
a>1
图 1 o 性
y
0<a<1 y 1 x o x
象
(1)定义域：R （2）值域：（0，+∞）
质 （4）在 R上是增函数
（3）过点（0，1），即x=0时，y=1 （4）在R上是减函数
y 综上总结， a
x
中, 指数x与底数a满足以下规律：
即a>1时，a越大，图像越“陡”. 即0<a<1时，a越小，图像越 “陡”.
同一x下，比较y a 与y b 的大小方法：
x x
x
x正半轴（即 0），同一 x下，a越大，y a 的值越大； x x负半轴（即 0），同一 x下，a越大，y a 的值越小 x .
小结:比较函数 当m>0时, 当m<0时,
y2
x
与
y2
x m
的关系
y2 y2
x 向右平行移动m个单位长度 x 向左平行移动|m|个单位长度
y2 y2
x m x m
a决定开口方向及大小； h 0, x往左移h单位，h 0, x往右移 h 单位； k 0, y往上移k单位，k 0, y往下移 k 单位.
x
学生训练
1.在同一坐标系中画出 2 ，y 3 , y 0.2 与y 0.4 y
x x x
x
的草图 .
y 0.2
y
x
y 0.4 x
y 3x
y 2x
1
2.比较下列两个数的大小 O x
3
(1) 5 ,3 ; (3) 5
1.1
3.1
3.1
(2) 0.2 ,0.5 ;
-3
推广:比较函数 y f (x) 与 y f ( x m) 的关系
y f (x) 向左平行移动m个单位长度 当m>0时, y f ( x m)
当m<0时, y f (x) 向右平行移动|m|个单位长度 y f ( x m)
基本函数图象+变换 y=f(x) 函数 y=f(x+a) a>0时，向左平移a个单位； a<0时，向右平移|a|个单位. y=f(x)+a a>0时，向上平移a个单位； a<0时，向下平移|a|个单位. y=f(-x) y=f(-x)与y=f(x)的图象关于y轴对称. y= -f(x) y= -f(x)与y=f(x)的图象关于x轴对称. y= -f(-x) y= -f(-x)与y=f(x)的图象关于原点轴对称.
王新敞
奎屯 新疆
x
y a x 的图象上 对称点也一定在函数 y a x 和 y a x 的图象关于y轴对称 ∴ 函数
2 2 例5.已知函数 y 2
x
x
求函数的定义域、值域. 定义域为: R
解：作出函数图像
x R 0 4y 4 0
2
2 x 2 x 由y 2