湖南师大附中2019-2020学年度高二第一学期入学考试数学试题

湖南师大附中2019-2020学年度高二入学考试

一 选择题

1 若b a >则下列不等式正确的是______

A 22a b >

B ac bc >

C 22ac bc >

D a c b c ->-

2 在如图所示的茎叶图中，若甲组数据的众数为11，乙组数据的中位数为9，则x y +=____

A 6 B. 5

C 4

D 3

3 如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为______

A 20π

B 24π

C 28π

D 32π

4 设,m n 是两条不同的直线,,αβ是两个不同的平面，则下列命题正确的是______

A 若//,//m n αα，则//m n

B 若//,,m n αβαβ⊂⊂，则//m n

C 若,,m n n m αβα⋂=⊂⊥，则n β⊥

D 若,//,m m n n αβ⊥⊂，则αβ⊥

5 已知()1,6,2a b a b a ==⋅-=，则向量a 与向量b 的夹角是______

A

6π B 4π C 3π D 2

π 6 已知圆的方程为22

60x y x +-=,过点（1，2）的该圆所有弦中,最短弦的长为______ A

12

B 1

C 2

D 4

7 设a R ∈ ，若关于x 的不等式210x ax -+≥在区间[]1,2上有解，则______

A 2a ≤

B 2a ≥

C 52a ≥

D 52a ≤

8 已知△ABC 中,c b a ,,分别为角C B A ,,的对边,B b A a cos cos =则△ABC 为______ A 等腰三角形 B 直角三角形 C 等腰直角三角形 D 等腰三角形或直角三角形

9 已知等差数列{}n a 和等差数列{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ,若()()n T n S n 1861n +=+，且Z b a n

n ∈则n 的取值集合为_______ A {}1,2,3 B {}1,2,3,4 C {}1,2,3,5 D {}1,2,3,6

10已知函数()()sin 0,2f x wx w πφφ⎛⎫=+><

⎪⎝⎭,其图像相邻的两个对称中心之间的距离为4π,且有一条对称轴为直线24

x π=,则下列判断正确的是______

A 函数()x f 的最小正周期为π4

B 函数()x f 的图像关于直线724

x π=-对称 C 函数()x f 在区间713,2424ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦

上单调递增 D 函数()x f 的图像关于点7,024π⎛⎫

⎪⎝⎭对称

11设函数()()()

⎩⎨⎧>≤+=0,lg 0,12x x x x f x ,若关于x 的方程()()022=+-x af x f 恰有6个不同的实

数解，则实数a 的取值范围为______

A ()22,2

B ()3,22

C ()4,3

D ()4,22

12 在△ABC 中, 5

1cos ,7,6===A BC AC ,点O 是△ABC 的内心,若y xO +=，其中,10,10≤≤≤≤y x 则动点P 的轨迹方程所覆盖的面积为______

A

6310 B 635 C 310 D 3

20 二 填空题

13 已知()4690,0,log log log a b a b a b >>==+,则

=b a _______ 14 数列{}n a 中，若123n n a a +=+，则10a =_________

15在矩形ABCD 中，5,7AB AC ==现向该矩形ABCD 内随机投一点P ，则90APB ∠>的概率为_________

16 设向量c b a ,,,

0,321=⋅===,若21≤≤-λ,

(λλ-++1的最大值为________

三 解答题 （17题满分10分，其他题满分12分）

17 已知函数()⎪⎭

⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛-=x x x f 2sin 142cos 2ππ （1）求 ()x f 的定义域；

（2）设 α是第三象限角,且2

1tan =

α,求()αf 的值

18 某高校在2012年的自主招生考试成绩中随机抽取100名中学生的笔试成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下

（1）试求出频率分布表中 ①、②位置的相应数据，再完成频率分布直方图

（2）为了能选拔出最优秀的学生，高校决定在笔试成绩高的第3、4、5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，问第3、4、5组每组各抽取多少名学生进入第二轮面试？

（3）在（2）的前提下，学校决定在6名学生中随机抽取2名学生接受考官A 的面试，求第4组至少有一名学生被考官A 面试的概率

19 已知c b a ,,分别为ABC ∆三个内角C B A ,,的对边,

a

c a b A B 2cos cos =+ （1）求角A 的大小；

（2）若2=a ,ABC ∆的面积为3，求边c b ,

20 如图,在三棱锥ABC P -中,2,,,===⊥⊥⊥BC AB PA BC AB BC PA AB PA ,D 为线段AC 的中点,E 为线段PC 上一点

（1）求证：BD PA ⊥

（2）求证：平面⊥BDE 平面PAC

（3）当//PA 平面BDE 时，求三棱锥BCD E -的体积