2017年高考数学理科真题汇编解析：第六章数列

第六章 数列

第一节 等差数列与等比数列

题型67 等差（等比）数列的公差（公比）

1.(2017北京理10)若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11–1a b ==，448a b ==，则

2

2

a b =_______. 解析

由11a =-，48a =，则21132a a d =+=-+=，由11b =-，48b =，则2q =-，则

212b b q ==.故

22212

a b ==. 2.（2017全国1理4）记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为（ ）. A ．1

B ．2

C ．4

D ．8

解析 45113424a a a d a d +=+++=，6165

6482S a d ⨯=+

=，联立11

2724 61548 a d a d +=⎧⎪⎨+=⎪⎩①② 3⨯-①②，得()211524-=d ，即624d =，所以4d =.故选C.

3.（2017全国2理3）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（ ）. A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏 D ．9盏 解析 设顶层灯数为1a ，2=q ，()7171238112

-=

=-a S ，解得13a =．故选B.

4.（2017全国3理14）设等比数列{}n a 满足12–1a a +=， 13––3a a =，则4a = ___________．

解析 因为{}n a 为等比数列，设公比为q ．

由题意得121313a a a a +=-⎧⎨-=-⎩，即112

11

1 3 a a q a a q +=-⎧⎪⎨-=-⎪⎩①

②

显然1q ≠，10a ≠，

式式②

①

，得13q -=，即2q =-，代入①式可得11a =， 所以()3

341128a a q ==⨯-=-．

题型68 等差、等比数列求和问题的拓展

1.（2017全国1理12）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16 ，…，其中第一项是0

2，接下来的两项是0

2，1

2，再接下来的三项是02，12，2

2，依此类推.求满足如下条件的最小整数100N N >：且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是（ ）. A.440

B.330

C.220

D.110

解析 设首项为第1组，接下来两项为第2组，再接下来三项为第3组，以此类推． 设第n 组的项数为n ，则n 组的项数和为

()12

n n +，由题意得，100N >，令

()11002

n n +>，

得14n ≥且*

n ∈N ，即N 出现在第13组之后，第n 组的和为122112

n

n -=--，n 组总共的和为

(

)1

2122

212

n n n n +--=---，若要使前N 项和为2的整数幂，则()12

n n N +-

项的和21k -应与

2n --互

为相反数，即()

*

21214k n k n -=+∈N ，

≥，()2log 3k n =+，得n 的最小值为295n k ==，， 则()

2912954402

N ⨯+=

+=.故选A.

2.2017山东理19）已知{}n x 是各项均为正数的等比数列，且123x x +=，322x x -=， （1）求数列{}n x 的通项公式；

（2）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，依次联结点()11

1P x ，，()222P x ，，…，()11,1n n P x n +++得到折线12

1n PP P +，求由该折线与直线0y =，1x x =，1n x x +=所围成

的区域的面积n T .

解析 （1）设数列{}n x 的公比为q ，由已知0q >. 由题意得112

1132

x x q x q x q +=⎧⎨

-=⎩，所以2

3520q q --=， 因为0q >，所以12,1q x ==，因此数列{}n x 的通项公式为1

2.n n x -=

（2）过1231,,,,n P P P P +向x 轴作垂线，垂足分别为1231,,,,n Q Q Q Q +，

由（1）得111222.n n n n n x x --+-=-=

记梯形11n n n n P P Q Q ++的面积为n b . 由题意1

2(1)2(21)22

n n n n n b n --++=⨯=+⨯， 所

以

1n n T b b b b =+++

+=1

3n n n n --

-

⨯

+⨯+⨯++-⨯

++⨯

① 又012212325272(21)2(21)2n n n T n n --=⨯+⨯+⨯+

+-⨯++⨯

②

-①②，得

1

32(

n n n T n --

--=⨯

++++

-

+⨯=1

1

3

2(2

1

n n n

---+

-

-

所以(21)21

.2

n n n T -⨯+=