5第五节函数的最值及其在经济学中的应用

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例1 求函数 y 2x3 3x2 12x 14 的在[3,4] 上的最大值与最小值.
解 f ( x) 6( x 2)(x 1)
解方程 f ( x) 0,得 x1 2, x2 1.
计算 f (3) 23;
f (2) 34;
f (1) 7;
f (4) 142;
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若总利润函数 L(x) 可导，称
L(
x0
)
lim
x0
L( x0
x) x
L( x0
)
为销售量为 x0 时该产品的边际利润。
边际利润近似地等于生产者每多（少）销售一个单位产品所增加（减少）的利润。
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例4 某工厂生产某种产品，固定成本2000元，每生产一单位产品，成本增加100元。已知总收益R为年产量Q的函数，且
4 2 1.
表明出租数量改变量的百分比与价格改变量的百分比的比率大于1.
（2）令 P 1, 即 P 1，得到：P 3. 6P
因此，当每盒租金是3元时，出租数量改变量的百分比与价格改变量的百分比的比率是1.
（3）总收益是 RP PQ 120P 20P2
RP 120 40P， RP 40 令RP 0，得到 P 3.
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令L(Q) 0，有Q 300.
L(Q) 1 0 Q300
Q 300 时总利润最大，此时 L(300) 25000 即当年产量为300个单位时，总利润最大，此时总利润为25000元。
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3 用需求弹性分析总收益的变化
定义设函数y f (x)可导, 函数的相对改变量
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例3 某房地产公司有50套公寓要出租，当租金定为每月180元时，公寓会全部租出去．当租金每月增加10元时，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花费20元的整修维护费．试问房租定为多少可获得最大收入？
解设房租为每月x元，
租出去的房子有
50
x
180 10
又RP 40 0
所以 P 3为极大值点。
请对比第二问结果！
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内容小结
1. 连续函数的极值
(1) 极值可疑点 : 使导数为0 或不存在的点
(2) 第一充分条件
过由正变负
为极大值
过由负变正
为极小值
(3) 第二充分条件
为极大值
为极小值
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R
R(Q)
400Q
1 2
Q2
,
80000,
0 Q 400 Q 400
问每年生产多少产品时，总利润最大？此时总利润是多少？
解由题意总成本函数为：
c c(Q) 2000 100Q
从而可得利润函数为：
L L(Q) R(Q) c(Q)
300Q
1 2
Q
2，
60000 100Q，
0 Q 400 Q 400
则当产量 Q 10 时的边际成本为5，其经济意义为：当产量为
为10时，若再增加（减少）一个单位产品，总成本将近似
地增加（减少）5个单位。
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设总成本函数 c(x) 为一可导函数，
c( x0
)
lim
x0
c( x0
x) x
c( x0
)
为产量是 x0 时的边际成本。
一般的经济函数的导数称为边际，边际概念通常指经济变量的变化率。
(A) 取得极大值 ; (B) 取得极小值 ; (C) 在某邻域内单调增加 ; (D) 在某邻域内单调减少 . 提示:
f (x0) 4 f (x0) 0
（3）求总收益最大时的价格P.
解（1）首先求出需求弹性 (P) P Q P 20 P Q 120 20P 6 P
(2) 2 1 ,
62 2
|(2) | 1 1.
2
表明出租数量改变量的百分比与价格改变量的百分比的比率小于1.
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(4) 4 2,
64
Ex x0 x / x x0 x y
y
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注:
函数 f (x) 在点 x 的弹性
Ey Ex
反映随 x 的变化 y f (x)
变化幅度的大小, 即灵敏度.
数值上, Ey 表示 y f (x) 在点 x 处, 当 x 产生1%的改变时,
Ex
函数 y f (x) 近似地改变 E f (x)%. Ex
边际成本的经济意义是：c(x0 ) 近似地等于产量为 x0 时再增加（减少）一个单位产品所增加（减少）的总成本。
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2 利润最大化问题
生产者出售一定量产品所得以的全部收入称为总收益，表示为
R(x)其中x 表示销售量。
平均收益函数：R(x) 表示销售量为 x 时单位销售量的平均收益。
18x 12 18x 12
6(x 1)(x 2) 6(x 1)(x 2),
,
1 4
x
0
0
x
5 2
f (x) x(2x2 9x 12)
x1 0, x2 1, x3 2
(9)2 4 212 81 96 0
故函数在 x
2 x02取最9 x小值120; 0在
x
1及
5 2
取最大值
(P) P f (P) P Q
f (P) f (P) P
需求弹性的经济意义请见教材P120.
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例5 录像带商店设计出一个关于其录像带租金的需求函数，并把它表示为
Q 120 20P
其中 Q 是当每盒租金是P 元时每天出租录像带的数量. 求解下列各题：
（1）求当 P 2元和 P 4 元时的弹性，并说明其经济意义；（2）求(P) 1 时P 的值，并说明其经济意义；
P
则切线PT为
y y0 2 x0( x x0 ),
oA
T B
Cx
y0 x02 ,
A(
1 2
x0
,
0),
C(8, 0),
B(8, 16x0 x02 )
SABC
1(8 2
1 2
x0 )(16x0
x02 )
(0 x0 8)
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令
S
1 4
(3 x02
64 x0
16
(B) f (x) 取得极大值 ; (C) f (x) 取得极小值;
(D) f (x)的导数不存在.
提示: 利用极限的保号性 .
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2. 设 f (x) 在 x 0 的某邻域内连续, 且 f (0) 0,
lim f (x) 2, 则在点 x 0 处 f (x) ( D ).
在应用问题中解释弹性的具体意义时,通常略去“近似”二字.
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假设需求函数Q f (P), P 表示产品的价格，于是，可定义产品在价格P时的需求弹性如下：
(P) lim Q / Q lim Q Q P f (P) .
P0 P / P P0 P P
f (P)
P 很小时，有
§5 函数的最值及其在经济学中的应用
➢ 3.5.1 最值问题 ➢ 3.5.2 最优化在经济学中的应用 ➢ 小结 ➢ 思考题
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3.5.1 最值问题
若函数 f (x) 在 [a,b] 上连续，
除个别点外处处可导，并且至多有有限个导数为零的点，
则 f (x) 在[a,b]上的最大值与最小值存在 .
求（1）当 Q 10时的平均成本及 Q 为多少时，平均成本最小？（2） Q 10时的边际成本并解释其经济意义。
解（1）由 c(Q) 100 1 Q2 得平均成本函数为： 4
c(Q)
100
1 Q2 4
100
1Q
Q
Leabharlann Baidu
Q
Q4
Q 10，
c(Q) 100 1 10 12.5 Q Q10 10 4
16)
0,
解得
x0
16 , 3
x0 16 (舍去).
s(16) 8 0. s(16) 4096 为极大值.
3
3 27
故 s(16) 4096为所有三角形中面积的最大者. 3 27
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3.5.2 最优化在经济学中的应用
1 成本最小化问题生产一定量的产品所需要的成本总额称为总成本，通常由固定成本和可变成本两部分构成。
x
若总收益函数 R(x) 可导，称
R( x0
)
lim
x0
R(
x0
x) x
R( x0
)
为销售量为 x0 时该产品的边际收益。
边际收益近似地等于生产者每多（少）销售一个单位产品所增加（减少）的销售总收入。
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销售 x 个单位的产品所获得的净收入称为总利润，
即总收益与总成本之差，记 L(x) 为总利润，则：L(x) R(x) c(x) 平均利润是平均每个单位产品的利润。 L(x) x 称为平均利润函数，
y f (x x) f (x)
y
f (x)
与自变量的相对
x
x
改变量之比 y / y , x / x
称为函数 f (x) 从 x
到 x x 两点间的弹性 (或相对变化率).
y/ y
而极限
lim
x0
x /
x
称为函数 f (x) 在点
x 的弹性(或
相对变化率)。
记为(x) Ey lim y / y lim y x y x .
套，
每月总收入为
R(
x
)
(
x
20)
50
x
180 10
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R(
x)
(
x
20)
68
x 10
R( x)
68
x 10
(x
20)
1 10
70
x 5
R( x) 0 x 350 （唯一驻点）
故每月每套租金为350元时收入最高.
最大收入为R(
x)
(350
20)
设总成本函数为 c(x) ，其中 x 表示产品的产量。
不生产时， x 0，c(x) c(0)，c(0) 就是固定成本。
平均成本是平均每个单位产品的成本，c(x) / x 称为平均
成本函数，表示在产量为x 时平均每单位产品的成本。
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Q
例5 已知某商品的成本函数为：
c(Q) 100 1 Q2 （Q表示产量） 4
y
y
y
oa
bx o a
bx o a
bx
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步骤:
1.求驻点和不可导点; 2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就是最小值;
注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就是最值.(最大值或最小值)
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应用举例
2. 连续函数的最值最值点应在极值点和边界点上找 ; 应用题可根据问题的实际意义判别 .
3. 最优化在经济学中的应用成本最小问题；利润最大问题；最值和弹性分析
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思考与练习
1.
设
lim
xa
f
(x) f (a) (x a)2
1,
则在点
a
处(
B
).
(A) f (x) 的导数存在 , 且 f (a) 0；
x01 cos x
(A) 不可导 ;
(B) 可导, 且 f (0) 0;
(C) 取得极大值 ; (D) 取得极小值 . 提示: 利用极限的保号性 .
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3. 设
y f (x) 是方程 y 2 y 4 y 0 的一个解,
A 若 f (x0) 0, 且 f (x0) 0, 则 f (x) 在 x0 ( )
y 2x3 3x2 12x 14
比较得最大值 f (4) 142，最小值 f (1) 7.
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例2. 求函数
在闭区间
上的最大值和最小值 .
解: 显然
且
(2x3 9x2 12x),
1 4
x
0
2x3 9x2 12x,
0
x
5 2
f
(
x)
6x2 6x2
5.
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例2. 求函数上的最大值和最小值 .
在闭区间
说明:
令 (x) f 2(x) 由于 (x) 与 f (x) 最值点相同 , 因此也可通过 (x)
求最值点. ( 自己练习 )
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实际问题求最值应注意:
(1)建立目标函数; (2)求最值;
若目标函数只有唯一驻点，则该点的函数值即为所求的最（或最小）值．
68
350 10
10890 (元)
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例4 由直线 y 0，x 8 及抛物线 y x2 围成一个曲边三角形，在曲边 y x2 上求一点，使曲线在该点处的切线与直线 y 0 及 x 8 所围成的三角形面积最大．
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解如图,
y
设所求切点为P( x0 , y0 ),
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记c
c(Q) ， Q
则c
100 Q2
1 , c 4
200 Q3 .
令c 0，得Q 20.
而c(20)
200 (20)3
1 40
0，
当Q 20，平均成本最小。
（2）由c(Q) 100 1 Q2 得边际成本函数为： 4
c(Q) 1 Q， 2
c(Q) x10
1 10 5 2