2019年华约自主招生数学试题Word版含答案
2019年华约自主招生能力测试数学试题(纯word版,含详细答案)
高水平大学自主选拔学业能力测试数学与逻辑（华约）一、（本小题满分10分）1x ,2x ,3x ,4x ,5x 为五个正整数，任取四个其和组成的集合为{}44,45,46,47，求i x （1i =，2， (5)． 【解析】记51ii S x==∑，若12345,,,,x x x x x 两两不等，那么对{}(),1,2,3,4,5i j i j ∀∈≠都有i j S x S x -≠-，这样12345,,,,x x x x x 任取四个数求和一共有5个不同的值，这与条件矛盾。
于是12345,,,,x x x x x 中必有两个数相等，据对称性，不妨设12x x a ==，3x b =，4x c =，5x d =，则问题变为对正整数,,,a b c d ，集合{}{},2,2,244,45,46,47a b c d a b c a b d a c d +++++++++=，注意到集合元素的表达形式关于a 对称，于是据对称性，只需要讨论a 在序列,,,a b c d 中的大小。
情形一：a b c d <<<，这时候由集合的对应原则得47244245246a b c d a b c a b d a c d +++=⎧⎪++=⎪⎨++=⎪⎪++=⎩，于是得到441a =，矛盾。
情形二：b a c d <<<，同情形一的证明可得11101213a b c d =⎧⎪=⎪⎨=⎪⎪=⎩。
情形三：b c a d <<<，同情形一亦有439b =，矛盾。
情形四：b c d a <<<，同情形一亦有438b =，矛盾。
综上所述，12345,,,,x x x x x 的值为1234511,10,12,13x x x x x =====及其轮换。
二、（本小题满分15分）乒乓球比赛，甲胜的概率是1()2p p >，若采用五局三胜制，甲获胜的概率是q ，求p 为多少时，p q -取得最大值．【解析】设比赛用了ξ局，当甲用3局取胜，则()33q p ξ==；当甲用4局取胜，则()()13341q C p p ξ==-当甲用5局取胜，则()()223451q C p p ξ==-。
华约自主招生试题
华约自主招生试题一、数学部分1. 有一个集合A={1,2,3,4,5}，请列举出A中的所有子集。
2. 设集合A={a, b, c}，集合B={1, 2, 3}，则集合A与集合B的笛卡尔积为什么？3. 已知函数f(x) = 3x + 4，求f(-2)的值。
4. 已知集合A={1, 2, 3}，集合B={2, 3, 4}，则集合A与集合B的交集为什么？5. 求方程3x^2 - 2x + 1 = 0的解。
6. 在一个等边三角形ABC中，BC=x，求三角形ABC的面积。
7. 已知函数f(x) = x^3 + 2x^2 - 3x，求f'(x)。
二、英语部分1. 根据所给的短文，回答以下问题：The Great Wall is one of the most famous sights in the world. It is more than 20,000 kilometers long and is known as one of the Seven Wonders of the World. The Great Wall was built over 2,000 years ago to protect the Chinese Empire from invasions. It attracts millions of tourists from all over the world every year.a) How long is the Great Wall?b) Why was the Great Wall built?c) What does the Great Wall attract every year?2. 根据所给的对话，填写空缺处的单词：A: Can you help me with my math homework?B: Sure, what's the problem?A: I can't solve this equation. _______ you show me how?B: Of course, let me take a look. ________ the equation for me.A: It's 3x^2 + 4x - 5 = 0.B: Alright, first we need to find the _______ of the equation. Then we can use the quadratic formula.A: How do we find the _______?B: We look at the coefficient of the x^2 term, which is 3 in this case. Now let's plug the values into the quadratic formula...三、逻辑思维部分1. 莉莉、爱丽丝、汤姆和鲍勃是四个朋友。
2019年高校自主招生考试数学真题分类Word版含解析精心整理(打包9套真题)
2019《名校自主招生》——高校自主招生考试数学真题专题试卷分类解析精心整理打包9套下载含详细答案目录2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之1、不等式2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之2、复数、平面向量2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之3、三角函数2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之4、创新与综合题2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之5、概率2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之6、数列与极限2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之7、解析几何2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之8、平面几何2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之9、排列、组合与二项式定理2019年《高校自主招生考试》数学真题分类解析之专题之1、不等式一、选择题。
1．(2017年复旦大学)若实数x满足对任意实数a>0,均有x2<1+a,则x的取值范围是( ) A.(-1,1) B.[-1,1]C.(-错误!未找到引用源。
,错误!未找到引用源。
)D.不能确定2．(2018年复旦大学)已知点A(-2,0),B(1,0),C(0,1),如果直线y=kx将△ABC分割为两个部分,则当k= 时,这两个部分的面积之积最大. ( )A.-错误!未找到引用源。
B.-错误!未找到引用源。
C.-错误!未找到引用源。
D.-错误!未找到引用源。
3．(2018年复旦大学)将同时满足不等式x-ky-2≤0(k>0),2x+3y-6≥0,x+6y-10≤0的点(x,y)组成的集合D称为可行域,将函数z=错误!未找到引用源。
称为目标函数,所谓规划问题就是求解可行域内的点(x,y),使目标函数达到在可行域内的最小值.如果这个规划问题有无穷多个解,则( )A.k≥1B.k≤2C.k=2D.k=14．(2011年复旦大学)设n是一个正整数,则函数y=x+错误!未找到引用源。
2019年大学自主招生考试数学模拟试题解析版
2019年大学自主招生考试数学模拟试题1.对于数列{u n }，若存在常数M >0，对任意的n ∈N*，恒有|u n +1－u n |+|u n －u n －1|+…+|u 2－u 1|≤M ，则称数列{u n }为B —数列.(1)首项为1，公比为q (|q |<1)的等比数列是否为B —数列?请说明理由；(2)设S n 是数列{x n }的前n 项和，给出下列两组判断：A 组：①数列{x n }是B —数列，②数列{x n }不是B —数列；B 组：③数列{S n }是B —数列，④数列{S n }不是B —数列.请以其中一组中的论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题，判断所给出的命题的真假，并证明你的结论；(3)若数列{a n }、{b n }都是B —数列，证明：数列{a n b n }也是B —数列.【解析】(1)由题意，u n =q n －1，|u i +1－u i |=|q |i －1(1－q )， 于是：|u n +1－u n |+|u n －u n －1|+…+|u 2－u 1|=(1－q )·1－|q |n1－|q |≤1－|q |n≤1，由定义知，数列为B —数列.(2)命题1：数列{x n }是B —数列，数列{S n }是B —数列.此命题是假命题.取x n =1(n ∈N*)，则数列{x n }是B —数列；而S n =n ，|S n +1－S n |+|S n －S n －1|+…+|S 2－S 1|=n ，由于n 的任意性，显然{S n }不是B —数列.命题2：若数列{S n }是B —数列，则数列{x n }是B —数列.此命题是真命题.证明：|S n +1－S n |+|S n －S n －1|+…+|S 2－S 1|=|x n +1|+|x n |+…+|x 2|≤M ，又因为|x n +1－x n |+|x n －x n －1|+…+|x 2－x 1|≤|x n +1|+2|x n |+2|x n －1|+…+2|x 2|+|x 1|≤2M +|x 1|，所以：数列{x n }为B —数列.(3)若数列{a n }、{b n }均为B —数列，则存在正数M 1，M 2，对于任意的n ∈N*，有|a n +1－a n |+…+|a 2－a 1|≤M 1，|b n +1－b n |+…+|b 2－b 1|≤M 2，注意到：|a n |=|a n －a n －1+a n －1－a n －2+…+a 2－a 1+a 1|≤|a n +1－a n |+…+|a 2－a 1|+a 1≤M 1+a 1；同理：|b n |≤M 2+b 1；令k 1=M 1+a 1，k 2=M 2+b 1，则|a n +1b n +1－a n b n |=|a n +1b n +1－a n b n +1+a n b n +1－a n b n |≤|b n +1||a n +1－a n |+|a n ||b n +1－b n |≤k 2|a n +1－a n |+k 1|b n +1－b n |；从而：|a n +1b n +1－a n b n |+|a n b n －a n －1b n －1|+…+|a 2b 2－a 1b 1|≤k 2(|a n +1－a n |+|a n －a n －1|+…+|a 2－a 1|)+k 1(|b n +1－b n |+|b n －b n －1|+…+|b 2－b 1|)≤k 2M 1+k 1M 2.所以：数列{a n b n }是B —数列.2.如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知F 1、F 2分别是椭圆E ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的左、右焦点，A 、B 分别是椭圆E 的左、右顶点，D (1，0)为线段OF 2的中点，且AF 2→+5BF 2→=0.(1)求椭圆E 的方程；(2)若M 为椭圆上的动点(异于点A 、B )，连接MF 1并延长交椭圆E 于点N ，连接MD 、ND 并分别延长交椭圆E 于点P 、Q ，连接PQ .设直线MN 、PQ 的斜率存在且分别为k 1、k 2，试问是否存在常数λ，使得k 1+λk 2=0恒成立?若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由.【解析】(1)易知c =2，因为AF 2→+5BF 2→，即a +c =5(a －c )，解得：a =3，所以：b 2=a 2－c 2=5.所以：椭圆E 的方程为x 29+y 25=1. (2)设直线MN 的方程为x =ty －2，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，所以：直线MP 的方程为y =y 1x 1－1(x －1)，联立椭圆方程和直线方程可得： ⎩⎪⎨⎪⎧x 29+y 25=1，y 1x －(x 1－1)y －y 1=0，消去y 得：(5－x 1)x 2－(9－x 21)x +9x 1－5x 21=0，由根与系数的关系可得：x P =9－5x 15－x 1， 于是P ⎝ ⎛⎭⎪⎫9－5x 15－x 1，4y 15－x 1，同理可得：Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫9－5x 25－x 2，4y 25－x 2， 所以：k 2=－2825t =－2825k 1，即：k 1+2528k 2=0 所以：存在λ=2528满足题意. 3.已知函数f (x )=ln x －ax +a x，其中a 为常数. (1)若f (x )的图象在x =1处的切线经过点(3，4)，求a 的值；(2)若0<a <1，求证：f ⎝⎛⎭⎫a 22>0；(3)当函数f (x )存在三个不同的零点时，求a 的取值范围.【解析】(1)f ′(x )=1x －a －a x 2，所以f ′(1)=1－2a ， 因为切点坐标为(1，0)，所以k =2，所以：1－2a =2，解得：a =－12. (2)证明：原题即证2ln a －ln2－a 32+2a>0对任意的a ∈(0，1)成立. 令g (a )= 2ln a －ln2－a 32+2a ，所以：g ′(a )=2a －3a 22－2a 2=4a －3a 4－42a 2， 令h (a )=4a －3a 4－4，则h ′(a )=4－12a 3，则h (a )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，133单调递增，在⎝ ⎛⎭⎪⎫133，1上单调递减，而h (a )max =h ⎝ ⎛⎭⎪⎫133=39－4<0， 所以：g ′(a )<0，所以：g (a )在(0，1)上单调递减，所以：g (a )>g (1)=－ln2+32>0. (3)显然x =1是函数的一个零点，则只需a =x ln x x 2－1有两个不等的实数解即可. 令g (x )=x ln x x 2－1，x >0且x ≠1. 则g ′(x )=－(x 2+1)⎝⎛⎭⎫ln x －x 2－1x 2+1(x 2－1)2，令φ(x )=ln x －x 2－1x 2+1， 则φ′(x )=1x －4x (x 2+1)2=(x 2－1)2x (x 2+1)2>0， 于是φ(x )在(0，+∞)上单调递增，同时注意到φ(1)=0.所以g (x )在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)单调递减.因为lim x →1x ln x x 2－1=lim x →1ln x x －1x =lim x →11x 1+1x 2=lim x →1x x 2+1=12， 又因为limx →0x ln x x 2－1=lim x →0ln x x －1x =lim x →0x 1+x 2=0，lim x →+∞x ln x x 2－1=lim x →01x +1x =0， 所以：0<a <12. 4.设非负实数x 、y 、z 满足xy +yz +zx =1，求证：1x +y +1y +z +1z +x ≥52. 【解析】证明：由于对称性，不妨设x ≥y ≥z ，设y +z =a ，则ax =1－yz ≤1，所以：x ≤1a， 令1x +y +1y +z +1z +x =2x +a x 2+1+1a=f (x )， 所以：f ′(x )=－2(x 2+1)2(x 2+ax －1)=2(yz －x 2)(x 2+1)2<0，即f (x )为单调递减函数， 所以：f (x )≥f ⎝⎛⎭⎫1a =2a +a 31+a 2+1a ，因为2a +a 31+a 2+1a －52=(a －1)2(2a 2－a +2)2a (a 2+1)≥0， 当且仅当a =1时等号成立，此时x =1，则y +z +yz =1，且yz =0，所以等号成立的条件为x =1，y =1，z =0(或者其轮换).变式题：设非负实数x 、y 、z 满足xy +yz +zx =1，求证：1x +y +1y +z +1z +x ≥12+2. 5.设函数f (x )是定义在区间(1，+∞)上的函数，其导函数为f ′(x )，如果存在实数a 和函数h (x )，其中，h (x )对任意的x ∈(1，+∞)都有h (x )>0，使得f ′(x )=h (x )(x 2－ax ++1)，则称函数f (x )具有性质P (a ).(1)设函数f (x )=ln x +b +2x +1(x >1)，其中b 为常数； ①求证函数f (x )具有性质P (a )；②求函数f (x )的单调区间；(2)已知函数g (x )具有性质P (2)，给定x 1，x 2∈(1，+∞)，x 1<x 2，α=mx 1+(1－m )x 2，β=mx 2+(1－m )x 1，且α>1，β>1，若|g (α)－g (β)|<|g (x 1)－g (x 2)|，求m 的取值范围.【解析】(1)①因为f ′(x )=x 2－bx +1x (x +1)2，显然对x 2－bx +1=t (x )，存在b 使得对x ∈(1，+∞)，t (x )>0恒成立，h (x )=1x (x +1)2>0恒成立. ②由①知，f ′(x )=x 2－bx +1x (x +1)2，当b ≤2时，f ′(x )≥0恒成立，此时f (x )在(0，+∞)单调递增，当b >2时，f ′(x )在(1，+∞)上有一个零点x 0=b +b 2－42， 函数f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫1，b +b 2－42上单调递减，在⎝ ⎛⎭⎪⎫b +b 2－42，+∞单调递增.。
2019高中自主招生数学试题
2019 数学试题考试时间 100 分钟满分 100 分说明：（ 1）请各位同学注意，本试卷题目有一定的难度，你要根据自己的情况量力而行，争取用最短的时间获得最多的分数，提高自己的考试效率！考试，比的不仅是知识和能力，更重要的是要有良好的心态和适合自己的期望值，争取把会做的题目都做对，祝你取得好成绩！（2）请在背面的答题纸上作答。
另外，答完题后注意保护好自己的答案，防止他人的不劳而获，要做到公平竞争！一、选择题（共8 个小题，每小题 4 分，共 32 分）。
每小题均给出了代号为 A ，B， C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入试卷背面的表格里，不填、多填或错填都得0 分。
1．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中 A 点表示十月的平均最高气温约为15 C ， B 点表示四月的平均最低气温约为 5 C ．下面叙述不正确的是A ．各月的平均最低气温都在0 C 以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D ．平均气温高于20 C 的月份有 5 个十二月一月二月20 C十一月15 C三月10C5Cy十月A B四月九月五月八月六月七月平均最低气温平均最高气温O 2 5x 第2 题2．上图是二次函数y ax2 bx c 的部分图象，由图象可知不等式 ax2b x c 0 的解集为A ． x 1 或 x 5B ． x 5 C． 1 x 5 D．无法确定3．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得密码第一位是 M , I , N中的一个字母，第二位是1，2， 3， 4，5 中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开 机的概率是A ． 1B ． 8C ． 1D ． 115 15 8 304．在 ABC 中，内角A 、B 、C 的对边分别为 a 、 b 、 c ．若 b 2c 2 2b 4c 5 且 a 2 b 2 c 2bc ，则 ABC 的面积为 2 B ． 3 C ． 2 D． 3 A ．2 2 5．上图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则 该几何体的 表面积 （表面面积，也叫全面积） 为2 3 ．．．A ． 20B ． 24 C． 28 D ．324 参考公式： 圆锥侧面积 S rl ，圆柱侧面积 S 2 rl ，4 4其中 r 为底面圆的半径，l 为母线长． 正视图 侧视图 6．如下图，在 ABC 中， AB AC ， D 为 BC 的中点， 第 5题图BE AC 于 E ，交 AD 于 P ，已知 BP 3 ， PE 1， 俯视图 则AE6 B ． 2 C ．3 D ． 6 A ．2 ． ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ．已知 a 5 ， c 2， cos A 2 ，7 3则 bA ． 2B ． 3C ． 2 D．3 8．如下图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动，G 则小明到老年公寓可以选择的 最短 路径条数为F ．．A ．9B ．12C ． 18 E D ．24二、填空题：本大题共8 小题，每小题 4 分，共 32 分。
2019高中自主招生数学试卷试题.docx
2019 数学试题考试时间 100 分钟满分 100 分说明：（1）请各位同学注意，本试卷题目有一定的难度，你要根据自己的情况量力而行，争取用最短的时间获得最多的分数，提高自己的考试效率！考试，比的不仅是知识和能力，更重要的是要有良好的心态和适合自己的期望值，争取把会做的题目都做对，祝你取得好成绩！（2）请在背面的答题纸上作答。
另外，答完题后注意保护好自己的答案，防止他人的不劳而获，要做到公平竞争！一、选择题（共8 个小题，每小题 4 分，共 32 分）。
每小题均给出了代号为 A ， B， C，D的四个选项，其中有且只有一个选项是正确的。
请将正确选项的代号填入试卷背面的表格里，不填、多填或错填都得0 分。
1．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中 A 点表示十月的平均最高气温约为15o C ，B点表示四月的平均最低气温约为5o C ．下面叙述不正确的是A ．各月的平均最低气温都在0o C 以上B．七月的平均温差比一月的平均温差大C．三月和十一月的平均最高气温基本相同D．平均气温高于20o C 的月份有5个十二月一月二月20o C十一月15o C三月10o C5o Cy十月A B四月九月五月八月六月七月平均最低气温平均最高气温O25x 第2 题2．上图是二次函数y ax2bx c 的部分图象，由图象可知不等式ax2bx c0 的解集为A ．x 1 或 x 5B ．x5C． 1 x 5D．无法确定3．小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得密码第一位是M ,I , N 中的一个字母，第二位是 1， 2， 3， 4， 5 中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是A ．1B ．8C ．1D ．11515 8 304．在ABC 中，内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ．若 b 2c 22b 4c 5 且a 2b 2c 2 bc ，则ABC 的面积为23 C ． 2D ． 3A ．B ．225．上图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图， 则该几何体的 表面积 （表面面积，也叫全面积）为23．．．A ． 20B ． 24C ． 28D ． 324参考公式： 圆锥侧面积 Srl ，圆柱侧面积 S 2 rl ，44其中 r 为底面圆的半径， l 为母线长． 正视图侧视图6．如下图，在ABC 中， AB AC ， D 为 BC 的中点，g第 5 题图BEAC 于 E ，交 AD 于 P ，已知 BP3 ， PE 1，俯视图则 AEA ．6B ． 2C ． 3D ． 622 ，． ABC 的内角 A 、 B 、 C 的对边分别为 a 、 b 、 c ．已知 a5 ，c2， cos A 73则 bA ． 2B ． 3C ． 2D ．38．如下图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于 G 处的老年公寓参加志愿者活动，gG则小明到老年公寓可以选择的 最短 路径条数为gF．． A ．9 B ．12C ． 18EgD ．24二、填空题：本大题共8 小题，每小题 4 分，共 32 分。
“华约”自主招生试题及解答
“华约”自主招生试题解析一、选择题■1.设复数vv = (—)2,其中d为实数，若R的实部为2,则w的虚部为() 1 + /3 (A)——(B) -- (C)丄3(D)-2 2 222.设向量“”，满足\a\=^b\= \,a b=m ,则\a+tb\(t^R)的最小值为()(A) 2(B) y/l + m2(C) 1(D) Jl_屛3。
缺4。
缺A r5.在AABC中，三边长a.b.c ,满足“ + <? = 3/儿贝ij tan — tan —的值为()2 2(A) —(B) — (C) —(D)—5 4 2 36.如图，AABC的两条髙线AD、BE交于H ,其外接圆圆心为0 ,过O作OF垂直BC于F , OH 与AF相交于G,则△OFG与NGAH而积之比为()(A) 1:4 (B) 1:3 (C) 2:5 (D) 1:27.设/(x) = e at(«>0)・过点P(aO)且平行于y轴的直线与曲线C:y = f(x)的交点为曲线C过点Q的切线交X轴于点R ,则APQR的而积的最小值是()(A) 1 (B) —(C) - (D)—2 2 4X2 V2V2 V28.设双曲线G :r—— = k(d>2K>0)，椭圆G：r + — = 1・若G的短轴长与G的实轴长cr 4 4的比值等于c?的离心率，则G在c?的一条准线上截得线段的长为()(A) 2丿2 + «(B) 2 (C) 4J4 + R (D) 49.欲将正六边形的各边和各条对角线都染为〃种颜色之一，使得以正六边形的任何3个顶点作为顶点的三角形有3种不同颜色的边，并且不同的三角形使用不同的3色组合，则〃的最小值为()(A) 6 (B) 7 (C) 8 (D) 910.设定点A、B、C、D是以O点为中心的正四面体的顶点，用o■表示空间以直线Q4为轴满足条件b(3) = C的旋转，用7•表示空间关于OCD所在平而的镜而反射，设/为过AB中点与CD中点的直线，用。
2019年初三年自主招生选拔考试数学试卷
16. 正方形 ABCD中， AB=2，E 是 BC的中点， CD上有一动点 M，连接 EM、BM，将 ΔBEM沿着 BM
翻折得到 ΔBFM，连接 DF、 CF则 DF
1 FC 的最小值为
.
2
三、解答题 :本题共 9 小题 ,共 86 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 . 17.( 本小题满分 8 分)
A：党史
（1）本次共调查了 ______名学生；
（2）将图 1 的统计图补充完整；
（3）已知在被调查的最喜欢“党史知识竞赛”项目的 4 个学生中只有 1 名女生，现从这 4 名 学生中任意抽取 2 名学生参加该项目比赛，请用画树状图或列表的方法，求出恰好抽到一名 男生一名女生的概率．
20. ( 本小题满分 8 分)
则点 C 的坐标为（
）
A.
B.
C.
D.
7. 若 0＜ m＜ 2，则关于 x 的一元二次方程 - （x+m）（ x+3m）=3mx+37根的情况是（
）
A. 有两个正根
B. 无实数根
C. 有两个根，且都大于
D. 有两个根，其中一根大于
8. 如图，直角边长为 1 的等腰直角三角形与边长为 2 的正方形在同一水平线上，三角形沿水
如图，在平面直角坐标系中， 直线 AB 与函数
的图象交于点 A(m，2)，B(2，n)．过
点 A 作 AC 平行于 x 轴 y 轴于点 C，在 y 轴负半轴上取一点 D，
使
，且 △ACD 的面积是 6，连接 BC．
（ 1）求 m，k，n 的值； （ 2）求 △ABC 的面积．
21. ( 本小题满分 8 分 )
学会添加常用辅助线．构造直角三角形解决问题 .
华约自主招生数学答案
第一题：已知集合{}10A x Z x =∈≥，B 是A 的子集，且B 中元素满足下列条件①数字两两不等②任意两个数字之和不等于9 ⑴B 中有多少个两位数，多少个三位数 ⑵B 中是否有五位数？是否有六位数？将B 中元素从小到大排列，第1081个元素是多少？【试题分析】本题是集合元素的计数问题，需要用到排列组合的知识，对分步思维的理解要求较高。
先想如何确定一个元素，合理的方法应该是从高位开始依次按照要求选择各个数位上的数字，理解到这里之后就是简单地排列组合计算了。
【参考答案】 解：①对于两位数来说，当一位数m 确定以后，根据题意，另一位数只有除9-m 和m 以外8个可能选择的数字，那么B 中包含的两位数个数是9872⨯=个。
记一个三位数为abc ，其中a 有9种选择，依次b 有8种，c 有6种，所以三位数的个数为986432⨯⨯=个②依照上面的规律，四位数个数为98641728⨯⨯⨯=个，五位数个数为986423456⨯⨯⨯⨯=个，当是六位数的时候，前面的五个数字确定后，第六个数字将不存有，所以没有六位数。
证明能够用抽屉原理解决，非常简单。
③两位数和三位数共有504个，故第1081个数是四位数，设为abcd 。
我们只需找出四位数中的第1081-504=577个数字就是所要求的数字。
当1a =时，bcd 有864192⨯⨯=种组合，依次类推，2a =有192个数字，故1,2,3a =时 共有1923576⨯=个数字，故第577个数字也就是整体第1081个数字就是4012.第二题：已知sin x +sin y =13，cos cos x y - =15，求sin()x y -，cos()x y +【试题分析】很简单的三角函数计算题，需要熟练掌握三角函数的合角公式和差角公式，对整体的数学思维也有一定的要求，因为三角函数的计算往往无法避免多值问题，如果能对已知的等式实行整体的运算那么就会避免非常复杂的讨论，直接得到希望的结果。
2019年名校初中自主招生考试数学试题及答案
名校初中自主招生测试数学试题〔本卷总分值120分 测试时间90分钟〕、选择题〔本大题共8小题,每题5分,总分值40分〕邙心近目2 . John 于早上6点x 分钟从A 地出发,在当天 第1题早上6点y分钟抵达B 地.他发现,在这段行程的起点和终点时刻, 时针和分针所成的夹角都是 110◎那么John从A 地至B 地耗时〔 〕 A. 35分钟B. 38分钟C. 40分钟3 .假设 2007 —m + Jm —2021 = m,那么 m —20072 =〔…______ ________________________ 2A. 7 B . 2021 C . 20214 .如图,一个等边三角形的边长与它的一边相外切的圆的周长相等 沿等边三角形的三边做无滑动旋转 ,直至回到原出发位置时,那么这个圆共转了 〔〕A. 4 圈 B .3 圈 C .5 圈 D .3.5 圈3 一5 .如图,点A 〔p,q 〕 〔0 < p <q 〕在反比仞^函数y=—的图像上,且 OA=5 ,过A 作AC ,y 轴,垂足 x 为C,线段OA 的垂直平分线交 一 2 26 .二次函数y = -x +6x -7,当x 取值为t Ex <t 十2时有最大值y = -〔t -3〕 +2 ,那么t 的取值 范围为〔 〕〔A 〕 tW0〔B 〕 0WtW3〔C 〕 t>3〔D 〕以上都不对.7.图1、图2、图3分别表示甲、乙、丙三人由 A 地到B 地的路线图〔箭头表示行进的方向〕.图 2中E 为AB 的中点,图3中AJ>JB .判断三人行进路线长度的大小关系为〔〕1 .在如下图的 A. 4个 C. 5个12个图形中,轴对称图形有 B . 3个 D. 6个rnxo 七盘zffi 〔〕个 用#坨曲D. 44分钟 D. - 20212,当这个圆按箭头方向从某一位置OC 于点B,连结AB ,那么^ ABC 的周长为〔I14 .如图,正方形 ABCD 的边长为1, M,N 为BD 所在直线上白两点,且 AM =石,/MAN =135°,那么四边形AMCN 的面积为115 .方程x 2+2x-1 = 0的解可视为函数 y=x+2的图象与函数y =-的图象交点的横坐标,那么方程kx 2+x x -4=0的两个解其实就是直线 ▲ 与双曲线 ▲ 图象交点的横坐标,假设这两个交点 均在直线y=x 的同侧,那么实数k 的取值范围是 ^三、解做题(本大题共 5小题,第16-19题各10分,第20题12分,共52分)a b16 . (1)非零头数 a, b 满足ab =a-b ,试求一+——ab 的值.b a(2)实数 a,b,c 满足 a —7b+8c =4,8a+4b —c=7 ,试求 a 2—b 2+c 2 的值.17 .如图,在等腰三角形 ABC 中,AB=1 /A=90\ 腰AC 中点,点F 在底边BC 上,且FE± BE,求ACEF 积.A 、甲=乙=丙C 、乙 ＜丙＜ 甲 B 、甲 ＜乙＜丙D 、丙 ＜乙＜8 . P 是4ABC 内一点,AD 、BE 、CF 过点P 并且交边BC 、CA 、 ,AP BP CPmd —————-———= .E 、F ,那么BE CF ---------A 1B 2C 3D 4二、填空题(本大题共7小题,每题4分,共28分)9 .假设 2x+5y-5=0加 4、X32y =10 .记 x = (1 +2 X 1 +22 X 1 + 24 X 1 +28 ) - (1 +2256 ),贝Ux + 1是AB 于 D 、与CE 相 11.圆内接四边形四条边长顺次为 5、10、11、14;那么这个四边形的面积为2cm13假设ax 2+(a+2)x+9a=0有两个不同实根,X I ,X 2,且X I ＜2＜X 2,那么a 的取值范围为数.例如,假设用 f(x)来表示二次函数 y=x 2+2x+1,那么f (x)=x 2+2x+1 ;而f^)表示自变量 x 取值为5时的函数值,即f (x o ) =x .2+2x 0+1 .另外,我们把形如 P(x) =a n x n• a n 」x n」川a 1x - a 0(其中a o ,a 1,|||,a n 为系数,x 为变量)的函数称为关于 x 的一元n 次多项式.关于x 的实系数多项式 P(x),Q(x)满足：对任意实数 x,y,以下两式恒成立.(1)2P(x) —Q(x)=P(y) —y ;(ii)P(x) Q(x) >x +1 .试解答如下两个问题：(1)证实：函数 P(x)是一次函数；(2)求函数P(x)与Q(x)的表达式.19.设抛物线y = ax 2 +bx -2与x 轴交于两个不同的点 C.且/ACB= 90° .(1)求m 的值和抛物线的解析式；(2)点D (1, n )在抛物线上,过点 A 的直线y = x+1交抛物线于另一点 E.假设点P 在x 轴上,以点P 、B 、D 为顶点的三角形与△ AEB 相似,求点P 的坐标.(3)在(2)的条件下,△ BDP 的外接圆半径等于20.在A ABC 中,AB=AC , BC=6, sinB=-,点P 从点B 出发沿射线BA 移动,同时 5 点Q 从点C 出发沿线段AC 的延长线移动,点P 、Q 移动的速度相同,PQ 与直线 BC 相交于点D.(1)如图(1),当点P 为AB 的中点时,求CD 的长；⑵如图(2),过点P 作直线BC 的垂线,垂足为点E,当点P 、Q 在移动的过程中,线段BE 、DE 、CD 中是否存在长度保持不变的线段 ？青说明理由； (3)如图(3),当PQ 经过A ABC 的重心G 时,求BP 的长.18.在代数学中,为了表述的简洁,常用记号f(x),g(x),P(x),Q(x),… 来表示以x 为自变量的函A (― 1, 0)、B (m, 0),与 y 轴交于点2021年自主招生测试数学做题卷〔本卷总分值120分 测试时间90分钟〕 姓名 学号4分,共28分〕二、填空题〔本大题共9. ______________ 11. ____________ 13 . ___________15 . _____________三、解做题〔本大题共 5小题,第16、17、18、19题各10分,第20题12分,共52分〕 a b 16 . 〔1〕非零头数 a, b 满足ab =a —b ,试求一+——ab 的值.b a〔2〕实数 a,b,c 满足 a —7b+8c =4,8a+4b —c=7 ,试求 a 2 —b 2+c 2 的值.17 .如图,在等腰三角形 ABC 中,AB=1, /A=90\点E 为腰AC 中点,点F 在底边BC 上,且FE± BE,求4CEF 的面积.A18 .在代数学中,为了表述的简洁,常用记号f(x),g(x),P(x),Q(x),… 来表示以x 为自变量的函数.例如,假设用 f(x)来表示二次函数 y=x 2+2x+1,那么f (x)=x 2+2x+1 ;而f(x 0)表示自变量x 取值为5时的函数值,即f (x o ) =x .2+2x 0 +1 .另外,我们把形如 P(x);a nx n• a n .x n」•川a 1x - a 0(其中a o ,a 1,|||,a n 为系数,x 为变量)的函数称为关于 x 的一元n 次多项式.关于x 的实系数多项式 P(x),Q(x)满足：对任意实数 x,y,以下两式恒成立.10 12 14(1) 2P(x) —Q(x)=P(y) —y ; (ii) P(x) Q(x) >x+1 .试解答如下两个问题：(1)证实：函数P(x)是一次函数；(2)求函数P(x)与Q(x)的表达式.19 .设抛物线y =ax2+bx—2与x轴交于两个不同的点A(—1, 0)、B (m, 0),与y轴交于点C.且/ACE^ 90° .(1)求m的值和抛物线的解析式；(2)点D (1, n )在抛物线上,过点A的直线y = x+1交抛物线于另一点E.假设点P在x轴上,以点P、B、D为顶点的三角形与△ AEB相似,求点P的坐标.(3)在(2)的条件下,△ BDP的外接圆半径等于.20 .(此题总分值12分)在A ABC中,AB=AC , BC=6, sinB=4,点P从点B出发沿5射线BA移动,同时点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动,点P、Q移动的速度相同,PQ与直线BC相交于点D.(1)如图(1),当点P为AB的中点时,求CD的长；⑵如图(2),过点P作直线BC的垂线,垂足为点E,当点P、Q在移动的过程中,线段BE、DE、CD中是否存在长度保持不变的线段？青说明理由；数学参考答案〔本卷总分值120分 测试时间90分钟〕9.32 10 . 2512 11. 9012. 40,一 ,一5 13. -4/15 小于 a 小于 014.- 241 . _ . 1. 315.y=kx+1 y =— ———<k<0 或一 <k < 一--------- x 16 2 2三、解做题〔本大题共 5小题,第16、17、18、19题各10分,第20题12分,共52分〕 16.解：a〔1〕由 ab=a_b 得,b=——,..................... 2分1 aa将b 消去可得,a +b -ab =—a — +上匕-a —b a aa 1 a1 a1 a 2八= 1+a+ --------- - ......... ........................................ 4分1 a 1 a=山=2 ..................... 5分1 a a -8c =4 " 7b〔2〕依题意得『8C 4 7b.......... 7分8a y = 7 -4b对等式两端分别平方可得a 2 64c 2 16ac =49b 2 56b 16 2 2 264a 2 c 2 -16ac =16b 2 -56b 49将两式的左右对应相加可得65(a 2+c 2) =65(b 2+1) ........................... 9 分17 .解法1:如图,过 C 作CD! CE 与EF 的延长线交于 D.由于/ AB 曰/ AEB=90 ,/CEDF / AEB=90 ,所以 / ABE4 CED 于是 RtAABE^ RtACEtD 所以即知2 2 2a -bc =110分_ f CE V 1 CE AB写31司五=悲又/ ECF4 DCF=45 ,所以CF 是/ DCE 的平分线,点F 到CE 和CD 的距离相等,所以S d CEF CE =«~== 一 ——=2 SaCDF CD .................... 8 分(解法2: 如图3- 278,彳FHL CE 于H)18 .解：(1)设2P(0) —Q(0) =c (c 为常数),那么在(i )式中令x=0可得,P(y)=y+c.................. 4分以x 代y,即知P(x)=x+c.所以函数P(x)是一次函数. .......................... 5分(2)由(i)式知, Q(x)=2P(x)—(P(y) —y)=2(x+c)—c=2x + c ……6 分 代入(ii)式得到,(x+c)(2x+c) Ax+1 ,即2x 2 (3c -1)x (c 2 -1) .0对任意实数恒成立............ 8分因此,△ =(3c —1)2 -8(c 2 -1)<0 ；但同时注意到 A=(3c —1)2 —8(c 2 —1)=(c —3)2 之0,所以 c=3, P(x) = x + 3,Q(x) =2x+3 ,经 检验符合题意............ 10分19 .解答:21、(1) .M=4 , y=1/2x2-3/2x-2 ............................. 2 分(2)p 1(13/7,0) p 2(-22/5,0) ........................ 6 分 (3) 3 Ti06/14 或 3^53/5 ........................... 10 分20 .⑴过点P 作PF// AC 交BC 于F, 丁 P 为AB 的中点,F 为BC 的中点,FC=3, 可证 A PFD0 A QCD 得 DC=FD= 3 ——2 分.2(2)当点P 、Q 在移动的过程中,线段DE 的长度保持不变.----3分①如果点P 在线段AB 上时,过点P 作PF// AC 交BC 于F,由AB=AC ,可证PB=PF,. PE ,BC, • . BE=FE,再证 APFD0 AQCD 得 DC=FD, A ED=- BC=3-----5 分.2②如果点P 在线段BA 的延长线上时,同理可得 ED=3-----6分. ・•・当点P 、Q 在移动的过程中,线段DE 的长度保持不变 ——7分.(3)作PE± BC 于点E,连结 AG 并延长交BC 于点H, = AB=AC , G 为AABCs .2S^ACEF 3 0|X1 2410分的重心,」. AH XBC,BH=CH=3 ,由sinB=4 , 5得AH=4, GH=,---9 分3设BP=x,…—4WJ PE=-x5,BE= 3 _ _ _ _一3x, v BH= ED=3, A HD=BE=—x —10 分5由ADGH s ADPE 得GH _PE 一4 3也,即3, DE 4 3一x55、. 3-' - 3 'BP=5il .312分。
2019-九年级数学下学期自主招生试题
2019-2020 年九年级数学放学期自主招生试题学校姓名准考据号注意：请将选择题、填空题、解答题的答案填写在答题卡上的相应地点．．．．．．．．一、选择题（本大题共 6 小题，每小题5 分，共30 分．在每题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的．）a b－a 的结果为（★★★）1．实数a 、 b 在数轴上的地点以下列图所示，则化简a 0bA．2a b B．b C．2a b D．b2．翻开某洗衣机开关（洗衣机内无水），在清洗衣服时，洗衣机经历了进水、冲洗、排水、脱水四个连续过程，此中进水、冲洗、排水时洗衣机中的水量y （升）与时间x（分钟）之间知足某种函数关系，其函数图像大概为（★★★）y y y yO x O x O x O x A．B．C．D．3．对福州市自行车协会某次野外训练的中学生的年纪进行统计，结果以下：年纪（岁）131415161718人数（人）456672则这些学生年纪的众数和中位数分别是（★★★）A．17 ，B．17， 16C．15，D．16， 164．下列图是一个切去了一个角的正方体纸盒，切面与棱的交点A、 B、 C 均是棱的中点，现将纸盒剪睁开成平面，则睁开图不行能是（★★★）CABA．B．C．D．ABCD中，AB2， AD 6 ，将其折叠，使点 D 与点 B 重合，得折痕5．以下列图所示，矩形纸片EF，则tan BFE的值是（★★★）A ．7B ． 1C ． 2D ． 32yEDB 2B 1AC BC 1BFCB 3C 2O AxC'C 3第 5题图第 6题图6．如上图， 在平面直角坐标系中有一边长为1的正方形 OABC ，边 OA 、 OC 分别在 x 轴、 y 轴上，假如以对角线 OB 为边作第二个正方形 OBBC，再以对角线 OB 为边作第三个正方形1 11OB 1B 2C 2 ，照此规律作下去，则点B 2015 的坐标为（★★★）A ． 21008 , 0B ． 21007 ,21007C ． 21009 , 21009D ．21007 , 21007二、填空题（本大题共6 小题，每题5 分，共 30 分 ．）7．对正实数 a ， b 作定义 ab ab a ，若 2 x 6 ，则 x ★★★．8．已知一个口袋中装有7 个只有颜色不一样的球，此中 3 个白球， 4 个黑球，若往口袋中再放入 x 个白球和 y 个黑球，从口袋中随机拿出一个白球的概率是1，则 y 与 x 之间的函数关系式为★★★．49．如图，在平面直角坐标系中，点A 、B 均在函数ykk 0， x 0的图象上，⊙ A 与 x 轴相切，x⊙ B 与 y 轴相切．若点 A 的坐标为3，2 ，且⊙ A的半 径是⊙ B 的半径的 2 倍，则点 B 的坐标为★★★．10．若对于 x 的不等式组x 62 3x ，a 2xx 有且只有四个整数解，则4实数 a 的取值范围是★★★．11．将一副三角板按下列图 1 所示的地点摆放，使得两块三角板的直角边AC 和 MD 重合．已知AB AC 8，将 MED 绕点 A M逆时针旋转 60后（如图 2），两个三角形重叠（暗影）部分的面积是★★★．EC CD EDB A(M)B A(M)图 1图 212．甲、乙、丙、丁、戊与小强六位同学参加乒乓球竞赛，每两人都要竞赛一场，到此刻为止，已知甲赛了 5 场，乙赛了 4 场，丙赛了 3 场，丁赛了 2 场，戊赛了 1场，则小强赛了★★★场．三、解答题（本大题共 3 小题，满分 40 分．）13．（本小题满分 13 分）如图，过圆 O 直径的两头点 M 、 N 各引一条切线，在圆P Q O 上取一点 P ，过 O 、 P 两点的直线交两切线于R、Q ．（ 1）求证：△NPQ∽△PMR；MON （ 2）假如圆O的半径为5，且 S PMR4S PNQ，求 NP 的长．R14．（本小题满分13 分）如图 1，在平面直角坐标系中，直线y 3 x3与抛物线 y 1 x2bx c 交于 A 、 B 两点，424点 A 在x轴上，点 B 的横坐标为8 ．（ 1）求该抛物线的分析式；．．A、 B重合）．过点 P作x轴的垂线，垂（ 2）点P是直线AB上方的抛物线上一动点（不与点足为 C ，交直线 AB 于点 D ，作 PE AB 于点 E，设PDE 的周长为 l ，点 P 的横坐标为x，求 l 对于x的函数关系式，并求出l 的最大值．y yPAAO xCO xEDB B图 1备用图15．（本小题满分14 分）古希腊达哥拉斯学派的数学家常用小石子在沙上成各样形状来研究各样多形数．比方：⋯136101⋯149162他研究 1 中的1，3，，6 10，⋯，因为些数能表示成三角形，将其称三角形数；似的，称 2 中的1，4，9，16，⋯，的数正方形数（四形数）．（ 1）你写出既是三角形数又是正方形数且大于1的最小正整数；（ 2）明，当k 正整数，k(k1)(k2)( k3) 1 必正方形数；（ 3）第n个k形数N n, k k3，比如N1,31，N 2, 33，N 2,4 4．（ⅰ）直接写出N n, 3 ， N n, 4 的表达式；（ⅱ）通一步的研究N n, 5 3 n21n ，N n, 62n2n ，⋯，你推22N n, k k 3 的表达式，并由此算N 10,24 的．合素数学参照答案一、（本大共号1答案D 6 小，每小2A5 分，共3A30 分）4B5D6A二、填空（本大共 6 小，每小 5 分，共30 分）7．328．y3x 5x是非负整数明：不写范不扣分9．(1，6)10．12 a 1411．4816312．3三、解答（本大共 3 小，分40 分）13．（1）法一：∵MR、 NQO 的切，∴OMR ONQ90 ，∵MOR NOQ ，∴R Q ，———①⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分∵MNO的直径，PQ∴MPN90 ，即PMN PNM90 ，M∵PNM PNQ ONQ90 ，O N∴PMN PNQ ，R∵OM OP，∴PMN MPR ，∴MPR PNQ ，———②⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分由①②得△ NPQ∽△ PMR ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分法二：∵ OP ON ，∴ONP OPN ，∴QPN PON ONP OMP OPM OPN OMPMPN ，∵RMP OMP OMR ，且 OMR MPN90 ，∴RMP QPN ，———③由①③得△ NPQ∽△ PMR ．法三：由②③得△ NPQ ∽△ PMR ．（注：其余法分）解：（ 2）由（ 1）知△NPQ∽△PMR，∴PMSPNSPMR 2 ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分PNQPNx ， PM 2x ，∵MPN90 ，∴MN 2 PM 2 PN 2 ，即 2522x 2 ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4x 12 分解得 x2，即 NP2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分14． 解：（ 1） 于 y3 x 3 ，当 y 0 ， x2 ；当 x8 ， y15422．∴ A 点坐 (2 ，0)， B 点坐( 8，15 ) ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分21 x 21 2b c 0由抛物 ybx cA 、 B 两点，得8b c15，416 2解得 b3， c 542．∴ y1 x23 x5⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分4 42 ．（ 2） 直 AB 与 y 交于点 M，当 x0 ， y33．． ∴ OM22∵ A 点坐 (2 ，0) ，∴ OA 2 ，∴ AMOA 2 OM 2 5 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分2 ∵ OM :OA:AM 3:4:5．由 意得，PDE OMA ，AOMPED 90 ，∴ AOM ∽ PED ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 7 分∴ DE :PE:PD3: 4:5．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分∵点 P 是直 AB 上方的抛物 上一 点，∴PDy P y D( 1 x 23 x 5) ( 3x 3) 1 x 23x 4 ，⋯⋯ 10 分44 2 4 2 42∴ l12 ( 1 x 2 3 x 4)3 x 2 18 x 48 8 x 2 ，⋯⋯⋯⋯⋯ 11 分5 4 25 5 5∴ l3( x 3)2 15 ，5∴ x3 l 最大15．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 13 分 15． 解：（ 1） 36 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分（ 2）∵ k (k1)(k 2)( k 3) 1k(k 3)(k 1)(k 2) 1⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分(k 2 3k )(k 2 3k2) 1(k 2 3k )2 2(k 2 3k) 1(k 2 3k1)2∴ k (k1)(k 2)( k3) 1 是完整平方数，即 正方形数．⋯⋯⋯⋯⋯8 分（ 3）（ⅰ）N (n,3)n(n1)⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分，2N (n,4) n 2 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10 分（ⅱ） 察 N (n,3)n( n1) n2n， N (n, 4)n 22n 20 n ，222N (n,5)3n 2n4n 22n2， N (n,6)，⋯ ，2由其 化 律 ，推 N (n, k )(k2)n 2 (4 k)n2 ，⋯⋯⋯⋯ 13 分∴ N (10,24) 1000 ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯14 分。
2019年自主招生数学模拟试卷含答案解析(已核已印)
2019年高中学校自主招生数学试卷一．选择题（共10小题）1．有3块积木，每一块的各面都涂上不同的颜色，3块的涂法完全相同，现把它们摆放成不同的位置（如图），请你根据图形判断涂成绿色一面的对面的颜色是（）A．白B．红C．黄D．黑2．如图数轴的A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c．若|a﹣b|＝3，|b﹣c|＝5，且原点O与A、B的距离分别为4、1，则关于O的位置，下列叙述何者正确？（）A．在A的左边B．介于A、B之间C．介于B、C之间D．在C的右边3．已知有9张卡片，分别写有1到9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的不等式组有解的概率为（）A．B．C．D．4．若实数a≠b，且a，b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则代数式的值为（）A．﹣20 B．2 C．2或﹣20 D．2或205．对于每个非零自然数n，抛物线y＝x2﹣x+与x轴交于A n，B n 以|A n B n|表示这两点间的距离，则|A1B1|+|A2B2|+…+|A2017B2017|的值是（）A．B．C．D．6．如图，从△ABC各顶点作平行线AD∥EB∥FC，各与其对边或其延长线相交于D，E，F．若△ABC的面积为1，则△DEF的面积为（）A．3 B．C．D．27．半径为2.5的圆O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P，已知BC：CA＝4：3，点P在弧AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，则CQ的最大值为（）A．B．C．D．8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：4a+2b+c＜0，2a+b＜0，b2+8a＞4ac，a＜﹣1，其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个9．直线y＝px（p是不等于0的整数）与直线y＝x+10的交点恰好是整点（横坐标和纵坐标都是整数），那么满足条件的直线有（）A．6条B．7条C．8条D．无数条10．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD．点E、F分别在AB、AD上，且AE＝DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．下列结论：①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG＝CG2；③若AF＝2DF，则BG＝6GF．其中正确的结论（）A．只有①②B．只有①③C．只有②③D．①②③二．填空题（共8小题）11．观察下列关于x的单项式，探究其规律：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…按照上述规律，第2019个单项式是．12、＝．13．如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将线段OP0按照逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1按照逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；如此下去，得到线段OP3，OP4，…，OP n（n为正整数），则点P8的坐标为．14．已知t1、t2是关于t的二次函数s＝﹣3t2+6t+f的图象与x轴两交点的横坐标，且，那么y与x间的函数关系式为15．如图所示：在平面直角坐标系中，△OCB的外接圆与y轴交于A（0，），∠OCB＝60°，∠COB＝45°，则OC＝．16．如图所示：两个同心圆，半径分别是和，矩形ABCD边AB，CD分别为两圆的弦，当矩形ABCD面积取最大值时，矩形ABCD的周长是．17．直线l：y＝kx+5k+12（k≠0），当k变化时，原点到这条直线的距离的最大值为．18．将108个苹果放到一些盒子中，盒子有三种规格：一种可以装10个苹果，一种可以装9个苹果，一种可以装6个苹果，要求每种规格都要有且每个盒子均恰好装满，则不同的装法总数为．三．解答题（共6小题）19．先化简分式：（a﹣）÷•，再从﹣3、﹣3、2、﹣2中选一个你喜欢的数作为a的值代入求值．20．已知关于x的方程|x2+2px﹣3p2+5|﹣q＝0，其中p、q都是实数．（1）若q＝0时，方程有两个不同的实数根x1x2，且，求实数p的值．（2）若方程有三个不同的实数根x1、x2、x3，且，求实数p和q的值．21．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，D是AB上一点，AC＝BD，P是CD中点．求证：AP＝BC．22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE×CA．（1）求证：BC＝CD（2）分别延长AB，DC交于点P，若PB＝OB，CD＝2，求⊙O的半径．23．已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0）、B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点点B、C重合），经过点O、P 折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP＝t．（1）如图1，当∠BOP＝30°时，求点P的坐标；（2）如图2，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ＝m，试用含有t的式子表示m；（3）在（2）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时如图3，求点P的坐标（直接写出结果即可）．24．在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”，例如点（1，1），（﹣2，﹣2），，…都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个．（1）若点P（2，m）是反比例函数y＝（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；（2）函数y＝3kx+s﹣1（k，s为常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标，若不存在，说明理由；（3）若二次函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个“梦之点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|＝2，令t＝b2﹣2b+，试求t的取值范围．参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）1．有3块积木，每一块的各面都涂上不同的颜色，3块的涂法完全相同，现把它们摆放成不同的位置（如图），请你根据图形判断涂成绿色一面的对面的颜色是（）A．白B．红C．黄D．黑【分析】先判断出共有6种颜色，再根据与白相邻的颜色有黑、绿、黄、红判断出白的对面是蓝，与绿相邻的有白、黑、蓝、红判断出绿的对面是黄，与红相邻的有绿、蓝、黄、白判断出红的对面是黑，从而得解．【解答】解：由图可知，共有黑、绿、白、红、蓝、黄六种颜色，与白相邻的颜色有黑、绿、黄、红，所以，白的对面是蓝，与绿相邻的有白、黑、蓝、红，所以，绿的对面是黄，与红相邻的有绿、蓝、黄、白，所以，红的对面是黑，综上所述，涂成绿色一面的对面的颜色是黄．故选：C．2．如图数轴的A、B、C三点所表示的数分别为a、b、c．若|a﹣b|＝3，|b﹣c|＝5，且原点O与A、B的距离分别为4、1，则关于O的位置，下列叙述何者正确？（）A．在A的左边B．介于A、B之间C．介于B、C之间D．在C的右边【分析】由A、B、C三点表示的数之间的关系结合三点在数轴上的位置即可得出b＝a+3，c＝b+5，再根据原点O与A、B的距离分别为4、1，即可得出a＝±4、b＝±1，结合a、b、c间的关系即可求出a、b、c的值，由此即可得出结论．【解答】解：∵|a﹣b|＝3，|b﹣c|＝5，∴b＝a+3，c＝b+5，∵原点O与A、B的距离分别为4、1，∴a＝±4，b＝±1，∵b＝a+3，∴a＝﹣4，b＝﹣1，∵c＝b+5，∴c＝4．∴点O介于B、C点之间．故选：C．3．已知有9张卡片，分别写有1到9这九个数字，将它们背面朝上洗匀后，任意抽出一张，记卡片上的数字为a，则使关于x的不等式组有解的概率为（）A．B．C．D．【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【解答】解：因为关于x的不等式组有解，可得：，所以得出a＞5，因为a取≤9的整数，可得a的可能值为6，7，8，9，共4种可能性，所以使关于x的不等式组有解的概率为，故选：C．4．若实数a≠b，且a，b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则代数式的值为（）A．﹣20 B．2 C．2或﹣20 D．2或20【分析】由于实数a≠b，且a，b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，则a，b 可看着方程x2﹣8x+5＝0的两根，根据根与系数的关系得a+b＝8，ab＝5，然后把通分后变形得到，再利用整体代入的方法计算．【解答】解：∵a，b满足a2﹣8a+5＝0，b2﹣8b+5＝0，∴a，b可看着方程x2﹣8x+5＝0的两根，∴a+b＝8，ab＝5，＝＝＝＝﹣20．故选：A．5．对于每个非零自然数n，抛物线y＝x2﹣x+与x轴交于A n，B n 以|A n B n|表示这两点间的距离，则|A1B1|+|A2B2|+…+|A2017B2017|的值是（）A．B．C．D．【分析】y＝x2﹣x+＝（x﹣）（x﹣），可求抛物线与x轴的两个交点坐标，所以|A n B n|＝﹣，代入即可求解；【解答】解：y＝x2﹣x+＝（x﹣）（x﹣），∴A n（，0），B n（，0），∴|A n B n|＝﹣，∴|A1B1|+|A2B2|+…+|A2017B2017|＝+++…+＝1﹣＝，故选：C．6．如图，从△ABC各顶点作平行线AD∥EB∥FC，各与其对边或其延长线相交于D，E，F．若△ABC的面积为1，则△DEF的面积为（）A．3 B．C．D．2【分析】根据平行线间的距离处处相等得到：△ADE和△ABD在底边AD上的高相等，△ADF和△ADC在底边AD上的高相等，△BEF和△BEC在底边BE上的高相等，所以由三角形的面积公式和图形间的面积的数量关系进行证明即可．【解答】证明：∵AD∥BE，AD∥FC，FC∥BE，∴△ADE和△ABD在底边AD上的高相等，△ADF和△ADC在底边AD上的高相等，△BEF和△BEC在底边BE上的高相等，∴S△ADF＝S△ADC，S△BEF＝S△BEC，S△AEF＝S△BEF﹣S△ABE＝S△BEC﹣S△ABE＝S△ABC∴S△DEF＝S△ADE+S△ADF+S△AEF＝S△ABD+S△ADC+S△ABC＝2S△ABC．即S△DEF＝2S△ABC．∵S△ABC＝1，∴S△DEF＝2，故选：D．7．半径为2.5的圆O中，直径AB的不同侧有定点C和动点P，已知BC：CA＝4：3，点P在弧AB上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q，则CQ的最大值为（）A．B．C．D．【分析】由勾股定理可求BC，AC的值，通过证明△ACB∽△PCQ，可得，可得CQ＝，当PC是直径时，CQ的最大值＝×5＝．【解答】解：∵AB是直径，∴AB＝5，∠ACB＝90°，∴AB2＝AC2+BC2，且BC：CA＝4：3，∴BC＝4，AC＝3，∵∠A＝∠P，∠ACB＝∠PCQ＝90°，∴△ACB∽△PCQ，∴，∴CQ＝，∴当PC最大时，CQ有最大值，∴PC是直径时，CQ的最大值＝×5＝，故选：B．8．如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点（1，2）且与x轴交点的横坐标分别为x1，x2，其中﹣1＜x1＜0，1＜x2＜2，下列结论：4a+2b+c＜0，2a+b＜0，b2+8a＞4ac，a＜﹣1，其中结论正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【解答】解：由抛物线的开口向下知a＜0，与y轴的交点为在y轴的正半轴上，得c＞0，对称轴为x＝＜1，∴2a+b＜0，而抛物线与x轴有两个交点，∴b2﹣4ac＞0，当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，当x＝1时，a+b+c＝2．∵＞2，∴4ac﹣b2＜8a，∴b2+8a＞4ac，∵①a+b+c＝2，则2a+2b+2c＝4，②4a+2b+c＜0，③a﹣b+c＜0．由①，③得到2a+2c＜2，由①，②得到2a﹣c＜﹣4，4a﹣2c＜﹣8，上面两个相加得到6a＜﹣6，∴a＜﹣1．故选：D．9．直线y＝px（p是不等于0的整数）与直线y＝x+10的交点恰好是整点（横坐标和纵坐标都是整数），那么满足条件的直线有（）A．6条B．7条C．8条D．无数条【分析】联立直线y＝px与直线y＝x+10，求出p的取值范围即可求得结果．【解答】解：联立直线y＝px与直线y＝x+10，，得px＝x+10，x＝，∵x为整数，p也为整数．∴P的取值范围为：﹣9≤P≤11，且P≠1，P≠0．而.10＝2×5＝1×10，0＜P≤11，有四条直线，P≠0，﹣9≤P＜0，只有三条直线，那么满足条件的直线有7条．10．如图，在菱形ABCD中，AB＝BD．点E、F分别在AB、AD上，且AE＝DF．连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．下列结论：①△AED≌△DFB；②S四边形BCDG＝CG2；③若AF＝2DF，则BG＝6GF．其中正确的结论（）A．只有①②B．只有①③C．只有②③D．①②③【分析】①易证△ABD为等边三角形，根据“SAS”证明△AED≌△DFB；②证明∠BGE＝60°＝∠BCD，从而得点B、C、D、G四点共圆，因此∠BGC＝∠DGC＝60°．过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．证明△CBM≌△CDN，所以S＝S四边形CMGN，易求后者的面积．四边形BCDG③过点F作FP∥AE于P点．根据题意有FP：AE＝DF：DA＝1：3，则FP：BE＝1：6＝FG：BG，即BG＝6GF．【解答】解：①∵ABCD为菱形，∴AB＝AD．∵AB＝BD，∴△ABD为等边三角形．∴∠A＝∠BDF＝60°．又∵AE＝DF，AD＝BD，∴△AED≌△DFB；②∵∠BGE＝∠BDG+∠DBF＝∠BDG+∠GDF＝60°＝∠BCD，即∠BGD+∠BCD＝180°，∴点B、C、D、G四点共圆，∴∠BGC＝∠BDC＝60°，∠DGC＝∠DBC＝60°．∴∠BGC＝∠DGC＝60°．过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．∴CM＝CN，∵，∴△CBM≌△CDN，（HL）∴S四边形BCDG＝S四边形CMGN．S＝2S△CMG，四边形CMGN∵∠CGM＝60°，∴GM＝CG，CM＝CG，∴S四边形CMGN＝2S△CMG＝2××CG×CG＝CG2．③过点F作FP∥AE于P点．∵AF＝2FD，∴FP：AE＝DF：DA＝1：3，∵AE＝DF，AB＝AD，∴BE＝2AE，∴FP：BE＝1：6＝FG：BG，即BG＝6GF．故选：D．二．填空题（共8小题）11．观察下列关于x的单项式，探究其规律：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…按照上述规律，第2019个单项式是4037x2019．【分析】根据题目中的式子可以系数为连续的奇数，未知数x的次数从1次、2次依次递增，从而可以得到第2019个单项式，本题得以解决．【解答】解：∵x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…∴第n个式子是（2n﹣1）x n，当n＝2019时，对应的式子为4037x2019，故答案为：4037x2019．12．＝612.5 ．【分析】仔细观察，知原式还可以是．又+＝1，（+）+（+）＝2，+＝3，…依此类推可知，将原式倒过来后再与原式相加，问题就转化为．【解答】解：设s＝，①又s＝，②①+②，得2s＝1+2+3+4+…+49，③2s＝49+48+47+…+2+1，④③+④，得4s＝50×49＝2450，故s＝612.5；故答案为：612.5．13．如图，在直角坐标系中，已知点P0的坐标为（1，0），将线段OP0按照逆时针方向旋转45°，再将其长度伸长为OP0的2倍，得到线段OP1；又将线段OP1按照逆时针方向旋转45°，长度伸长为OP1的2倍，得到线段OP2；如此下去，得到线段OP3，OP4，…，OP n（n为正整数），则点P8的坐标为（256，0）．【分析】先根据伸长的变化规律求出OP8的长度，再根据每8次变化为一个循环组，然后确定出所在的位置，再根据等腰直角三角形的直角边等于斜边的倍解答即可．【解答】解：由题意可得，OP0＝1，OP1＝2×1＝2，OP＝2×2＝22，2OP＝2×22＝23，3OP＝2×23＝24，4…OP＝2×27＝28＝256，8∵每一次都旋转45°，360°÷45°＝8，∴每8次变化为一个循环组，∴P8在x4的正半轴上，P8（256，0），故答案为（256，0）．14．已知t1、t2是关于t的二次函数s＝﹣3t2+6t+f的图象与x轴两交点的横坐标，且，那么y与x间的函数关系式为y＝（x＞0）【分析】由于t1、t2是二次函数s＝﹣3t2+6t+f的图象与x轴两交点的横坐标，利用根与系数的关系可以得到t1+t2＝2，又x＝10t1，y＝10t2，利用同底数幂的乘法法则计算即可解决问题．【解答】解：∵t1、t2是二次函数s＝﹣3t2+6t+f的图象与x轴两交点的横坐标，∴t1+t2＝2，而x＝10t1，y＝10t2，∴xy＝10t1×10t2＝10t1+t2＝102＝100，∴y＝（x＞0）．故答案为：y＝（x＞0）．15．如图所示：在平面直角坐标系中，△OCB的外接圆与y轴交于A（0，），∠OCB＝60°，∠COB＝45°，则OC＝1+．【分析】连接AB，由圆周角定理知AB必过圆心M，Rt△ABO中，易知∠BAO ＝∠OCB＝60°，已知了OA＝，即可求得OB的长；过B作BD⊥OC，通过解直角三角形即可求得OD、BD、CD的长，进而由OC＝OD+CD求出OC的长．【解答】解：连接AB，则AB为⊙M的直径．Rt△ABO中，∠BAO＝∠OCB＝60°，∴OB＝OA＝×＝．过B作BD⊥OC于D．Rt△OBD中，∠COB＝45°，则OD＝BD＝OB＝．Rt△BCD中，∠OCB＝60°，则CD＝BD＝1．∴OC＝CD+OD＝1+．故答案为：1+．16．如图所示：两个同心圆，半径分别是和，矩形ABCD边AB，CD分别为两圆的弦，当矩形ABCD面积取最大值时，矩形ABCD的周长是16+12．【分析】此题首先能够把问题转化到三角形中进行分析．根据锐角三角函数的概念可以证明三角形的面积等于相邻两边的乘积乘以夹角的正弦值，根据这一公式分析面积的最大值的情况．然后运用勾股定理以及直角三角形的斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边求得长方形的长和宽，进一步求得其周长．【解答】解：连接OA，OD，作OP⊥AB于P，OM⊥AD于M，ON⊥CD于N．根据矩形的面积以及三角形的面积公式发现：矩形的面积是三角形AOD的面积的4倍．因为OA，OD的长是定值，则∠AOD的正弦值最大时，三角形的面积最大，即∠AOD＝90°，则AD＝6，根据三角形的面积公式求得OM＝4，即AB＝8．则矩形ABCD的周长是16+12．17．直线l：y＝kx+5k+12（k≠0），当k变化时，原点到这条直线的距离的最大值为13 ．【分析】通过化简解析式能确定直线经过定点（﹣5，12），原点与定点的距离是原点到直线的最大距离；【解答】解：y＝kx+5k+12＝k（x+5）+12，∴直线经过定点（﹣5，12），∴原点与定点的距离是原点到直线的最大距离13；故答案为13；18．将108个苹果放到一些盒子中，盒子有三种规格：一种可以装10个苹果，一种可以装9个苹果，一种可以装6个苹果，要求每种规格都要有且每个盒子均恰好装满，则不同的装法总数为 6 ．【分析】先列出方程10x+9y+6z＝108，再根据x，y，z是正整数，进行计算即可得出结论．【解答】解：设装10个苹果的有x盒，装9个苹果的有y盒，装6个苹果的有z盒，∵每种规格都要有且每个盒子均恰好装满，∴0＜x＜10，0＜y≤11，0＜z≤15，且x，y，z都是整数，则10x+9y+6z＝108，∴x＝＝，∵0＜x＜10，且为整数，∴36﹣3y﹣2z是10的倍数，即：36﹣3y﹣2z＝10或20或30，当36﹣3y﹣2z＝10时，y＝，∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，∴26﹣2z＝3或6或9或12或15或18或21或24，∴z＝（舍）或z＝10或z＝（舍）或z＝7或z＝（舍）或z＝4或z ＝（舍）或z＝1，当z＝10时，y＝2，x＝3，当z＝7时，y＝4，x＝3，当z＝4时，y＝8，x＝3当z＝1时，y＝8，x＝3，当36﹣3y﹣2z＝20时，y＝，∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，∴16﹣2z＝3或6或9或12或15或18或21或24，∴z＝（舍）或z＝5或z＝（舍）或z＝2或z＝（舍）当z＝5时，y＝2，x＝6，当z＝2时，y＝4，x＝6，当36﹣3y﹣2z＝30时，y＝，∵0＜y≤11，0＜z≤15，且y，z都为整数，∴6﹣2z＝3，∴z＝（舍）即：满足条件的不同的装法有6种，故答案为6．三．解答题（共6小题）19．先化简分式：（a﹣）÷•，再从﹣3、﹣3、2、﹣2中选一个你喜欢的数作为a的值代入求值．【分析】将括号里通分，除法化为乘法，约分，代值时，a的取值不能使原式的分母、除式为0．【解答】解：原式＝••＝a+3，当a＝﹣3时，原式＝﹣3+3＝．20．已知关于x的方程|x2+2px﹣3p2+5|﹣q＝0，其中p、q都是实数．（1）若q＝0时，方程有两个不同的实数根x1x2，且，求实数p的值．（2）若方程有三个不同的实数根x1、x2、x3，且，求实数p和q的值．【分析】（1）根据根与系数的关系可得△＝（2p）2﹣4（﹣3p2+5）＝16p2﹣20＞0，x1+x2＝﹣2p，，代入可得关于p的方程，解方程即可；（2）由方程有三个不同的实数根x1、x2、x3，可得x3＝﹣p，x1、x2是方程x2+2px ﹣3p2+5＝q的两根；由根与系数的关系可得x1+x2＝﹣2p，，x3＝﹣p．△＝（2p）2﹣4（﹣7p2+10）＝32p2﹣40＞0，进而得到关于p的方程，解出p即可求出q的值．【解答】解：（1）若q＝0，则方程为x2+2px﹣3p2+5＝0．因该方程有两个不同的实数x1、x2，可得△＝（2p）2﹣4（﹣3p2+5）＝16p2﹣20＞0，x1+x2＝﹣2p，解得p2＞；由，得，解得p＝5或．（注意5﹣3p2≠0）因为p2＞，所以p＝5．（2）显然q＞0．方程可写成x2+2px﹣3p2+5＝±q．因该方程有三个不同的实数根，即函数与y2＝±q的图象有三个不同的交点，∴可得：，即q＝4p2﹣5．x1、x2是方程x2+2px﹣3p2+5＝q的两根，即x2+2px﹣7p2+10＝0．则x1+x2＝﹣2p，，x3＝﹣p．△＝（2p）2﹣4（﹣7p2+10）＝32p2﹣40＞0，解得p2＞．由，得，解得p2＝2＞，所以，q＝4p2﹣5＝3．21．如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，D是AB上一点，AC＝BD，P是CD中点．求证：AP＝BC．【分析】作辅助线，构建全等三角形和平行四边形，先证明四边形ACFD是平行四边形，得DF＝AC＝BD，DF∥AC，再证明△BDF是等边三角形，证明△ABC ≌△BAF（SAS），可得结论．【解答】证明：延长AP至点F，使得PF＝AP，连结BF，DF，CF，∵P是CD中点，∴CP＝DP，∴四边形ACFD是平行四边形，∴DF＝AC＝BD，DF∥AC，∴∠FDB＝∠BAC＝60°，∴△BDF是等边三角形，∴BF＝DF＝AC，∠ABF＝60°，∴∠ABF＝∠BAC，在△ABC和△BAF中，∵，∴△ABC≌△BAF（SAS），∴AF＝BC，∴AP＝AF＝BC．22．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE×CA．（1）求证：BC＝CD（2）分别延长AB，DC交于点P，若PB＝OB，CD＝2，求⊙O的半径．【分析】（1）由DC2＝CE•CA和∠ACD＝∠DCE，可判断△CAD∽△CDE，得到∠CAD＝∠CDE，再根据圆周角定理得∠CAD＝∠CBD，所以∠CDB＝∠CBD，于是利用等腰三角形的判定可得BC＝DC；（2）连结OC，如图，设⊙O的半径为r，先证明OC∥AD，利用平行线分线段成比例定理得到＝2，则PC＝2CD＝4，然后证明△PCB∽△PAD，利用相似比得到，再利用比例的性质可计算出r的值．【解答】（1）证明：∵DC2＝CE•CA，∴，而∠ACD＝∠DCE，∴△CAD∽△CDE，∴∠CAD＝∠CDE，∵∠CAD＝∠CBD，∴∠CDB＝∠CBD，∴BC＝DC；（2）解：连结OC，如图，设⊙O的半径为r，∵CD＝CB，∴＝，∴∠BOC＝∠BAD，∴OC∥AD，∴，∴PC＝2CD＝4，∵∠PCB＝∠PAD，∠CPB＝∠APD，∴△PCB∽△PAD，∴，即，∴r＝4，即⊙O的半径为4．23．已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（11，0）、B（0，6），点P为BC边上的动点（点P不与点点B、C重合），经过点O、P 折叠该纸片，得点B′和折痕OP．设BP＝t．（1）如图1，当∠BOP＝30°时，求点P的坐标；（2）如图2，经过点P再次折叠纸片，使点C落在直线PB′上，得点C′和折痕PQ，若AQ＝m，试用含有t的式子表示m；（3）在（2）的条件下，当点C′恰好落在边OA上时如图3，求点P的坐标（直接写出结果即可）．【分析】（1）根据题意得，∠OBP＝90°，OB＝6，在Rt△OBP中，由∠BOP＝30°，BP＝t，得OP＝2t，然后利用勾股定理，即可得方程，解此方程即可求得答案；（2）由△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，可知△OB′P ≌△OBP，△QC′P≌△QCP，易证得△OBP∽△PCQ，然后由相似三角形的对应边成比例，即可求得答案；（3）首先过点P作PE⊥OA于E，易证得△PC′E∽△C′QA，由勾股定理可求得C′A的长，然后利用相似三角形的对应边成比例与m和t的关系，即可求得t的值，得出P点坐标．【解答】解：（1）根据题意，∠OBP＝90°，OB＝6，在Rt△OBP中，由∠BOP＝30°，BP＝t，得OP＝2t．∵OP2＝OB2+BP2，即（2t）2＝62+t2，解得：t1＝2，t2＝﹣2（舍去）．∴点P的坐标为（2，6）；（2）∵△OB′P、△QC′P分别是由△OBP、△QCP折叠得到的，∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP，∴∠OPB′＝∠OPB，∠QPC′＝∠QPC，∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC＝180°，∴∠OPB+∠QPC＝90°，∵∠BOP+∠OPB＝90°，∴∠BOP＝∠CPQ，又∵∠OBP＝∠C＝90°，∴△OBP∽△PCQ，∴＝，由题意设BP＝t，AQ＝m，BC＝11，AC＝6，则PC＝11﹣t，CQ＝6﹣m．∴＝，∴m＝t2﹣t+6（0＜t＜11）；（3）过点P作PE⊥OA于E，如图3，∴∠PEA＝∠QAC′＝90°，∴∠PC′E+∠EPC′＝90°，∵∠PC′E+∠QC′A＝90°，∴∠EPC′＝∠QC′A，∴△PC′E∽△C′QA，∴＝，在△PC′E和△OC′B′中，，∴△PC′E≌△OC′B′（AAS），∴PC'＝OC'＝PC，∴BP＝AC'，∵AC′＝PB＝t，PE＝OB＝6，AQ＝m，EC′＝11﹣2t，∴＝，∵m＝t2﹣t+6，∴3t2﹣22t+36＝0，解得：t1＝，t2＝故点P的坐标为（，6）或（，6）．24．在平面直角坐标系中，我们不妨把横坐标和纵坐标相等的点叫“梦之点”，例如点（1，1），（﹣2，﹣2），，…都是“梦之点”，显然“梦之点”有无数个．（1）若点P（2，m）是反比例函数y＝（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，求这个反比例函数的解析式；（2）函数y＝3kx+s﹣1（k，s为常数）的图象上存在“梦之点”吗？若存在，请求出“梦之点”的坐标，若不存在，说明理由；（3）若二次函数y＝ax2+bx+1（a，b是常数，a＞0）的图象上存在两个“梦之点”A（x1，x1），B（x2，x2），且满足﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|＝2，令t＝b2﹣b+，试求t的取值范围．【分析】（1）根据“梦之点”的定义得出m的值，代入反比例函数的解析式求出n的值即可；（2）根据梦之点的横坐标与纵坐标相同，可得关于x的方程，根据解方程，可得答案；（3）由得：ax2+（b﹣1）x+1＝0，则x2，x2为此方程的两个不等实根，由|x1﹣x2|＝2得到﹣2＜x1＜0时，根据0≤x1＜2得到﹣2≤x2＜4；由于抛物线y＝ax2+（b﹣1）x+1的对称轴为x＝，于是得到﹣3＜＜3，根据二次函数的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∵点P（2，m）是反比例函数y＝（n为常数，n≠0）的图象上的“梦之点”，∴m＝2，∴P（2，2），∴n＝2×2＝4，∴这个反比例函数的解析式为y＝；（2）由y＝3kx+s﹣1得当y＝x时，（1﹣3k）x＝s﹣1，当k＝且s＝1时，x有无数个解，此时的“梦之点”存在，有无数个；当k＝且s≠1时，方程无解，此时的“梦之点”不存在；当k≠，方程的解为x＝，此时的“梦之点”存在，坐标为（，）；（3）由得：ax2+（b﹣1）x+1＝0，则x2，x2为此方程的两个不等实根，由|x1﹣x2|＝2，又﹣2＜x1＜2得：﹣2＜x1＜0时，﹣4＜x2＜2；0≤x1＜2时，﹣2≤x2＜4；∵抛物线y＝ax2+（b﹣1）x+1的对称轴为x＝，故﹣3＜＜3，由|x1﹣x2|＝2，得：（b﹣1）2＝4a2+4a，故a＞；t＝b2﹣b+＝（b﹣1）2+，y＝4a2+4a+＝4（a+）2+，当a＞﹣时，t随a的增大而增大，当a ＝时，t＝，∴a＞时，t＞．。
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2019年华约自主招生数学试题
1．12345,,,,x x x x x 是正整数，任取四个其和组成的集合为{44，45，46，47}，求这五个数．
2．乒乓球比赛，五局三胜制．任一局甲胜的概率是1
()2
p p >，甲赢得比赛的概率是q ，求p 为多少时，q p -取得最大值．
3．函数2()sin )sin()2sin (0)24
f x x x x a x b a π
=-+-+>的最大值为1，最小值为4-，求,a b 的值．
4．（1）证明(())y f g x =的反函数为11(())y g f x --=；
（2）1()(),()()F x f x G x f x -=-=，若()G x 的反函数是()F x ，证明()f x 为奇函数．
5．已知椭圆22
221x y a b
+=与圆222x y b +=，过椭圆上一点M 作圆的两切线，切点分别为,P Q ，
直线PQ 与,x y 轴分别交于点,E F ，求EOF S ∆的最小值．
6．已知数列{}n a 满足:110,n n n a a np qa +==+．（1）若1q =，求n a ；（2）若||1,||1p q <<，求证：数列{}n a 有界．
7．已知*,,n N x n ∈≤求证:2(1)n x x n n e x n
--≤．
2014年华约自主招生数学试题
参考答案
1．【解】五个数任取四个应该可以得到455C =个不同的和，现条件中只有4个不同的和，故必有两个和值相同．而这五个和值之和为123454()x x x x x ++++，是4的倍数，所以这个相同的和值只可能是46，从而有123454445464647
574
x x x x x ++++++++=
=，故这五个
数分别为57-44=13，57-45=12，57-46=11，57-47=10，57-46=11，即10，11，11，12，13． 2．【解】若共比赛了3局，则甲赢得比赛的概率为3p ；
若共赛了4局，则最后一局甲胜，甲赢得比赛的概率为233(1)C p p -； 若共比赛了5局，则最后一局甲胜，甲赢比赛的概率为2324(1)C p p -，因此 32323234(1)(1)q p C p p C p p =+-+-，
所以32323254334(1)(1)61510q p p C p p C p p p p p p p -=+-+--=-+-，1
2
p >； 设543()61510f p p p p p =-+-，1
2
p >
，则432()3060301f p p p p '=-+-， 即432221
()306030130[(21)]30
f p p p p p p p '=-+-=-+-，
所以22221()30[(1)]30(303030
f p p p p p p p '=--=--+，
又因为1
(,1)2
p ∈，所以2p p <，故2030
p p -<，
所以令()0f p '=时，即2030
p p -+
=，得41111130
2430
p ±-
=
=
±-； 又因为1
(,1)2p ∈，所以取1112430
p =
+-， 易知当1111(,)22430p ∈+
-时，111
()0,(,1)2430
f p p '>∈+-时，()0f p '<， 所以当1112430
p =
+-时，()f p 有唯一极大值，也是最大值．
3．【解】易知2221
()(cos sin )2sin sin 2sin 2
f x x x a x b x a x b =--+=--++，令sin t x =，则问题等价于21
()22
g t t ax b =--++
在[1,1]-上的最大值和最小值分别为1和4-． ①当对称轴1t a =-≤-，即1a ≥时，则()g t 在[1,1]-上递减，则
1(1)21,21(1)242g a b g a b ⎧-=+-=⎪⎪⎨⎪=-+-=-⎪⎩
，解得5,41a b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩
②当对称轴10a -<-<，即01a <<时，则2
1()121(1)24
2g a a b g a b ⎧-=++=⎪⎪⎨⎪=-+-=-⎪⎩
，
消去b 得2240a a +-=，解得15(0,1)a =-±∉，舍去． 综上①②可知，5
,14
a b ==-为所求．
5．【解】设(cos ,sin )([0,2))M a b θθθπ∈，直线PQ 为点M 关于圆222x y b +=的切点弦，其
方程为2
(cos )(sin )a x b y b θθ+=，从而2,cos sin E F b b x y a θθ
==
， 于是33
1||||2|sin 2|EOF
E F b b S x x a a
θ∆=⋅=≥， 当且仅当22
(,)22
M ±时，上述等号成立． 6．【解】（1）当1q =时，1n n n a a np +-=，则11(1)(2)n n n a a n p n ---=-≥ 由累加法得112211(2)n n n n n a a a a a a a a n ---=-+-+
+-+≥，
即23123(1)(2)n n a p p p n p n -=++++-≥ (1)
①当1p =时，(1)
;2
n n n a -=
当1n =时，10a =也适合； ②当1p ≠时，232(1)n n pa p p n p =++
+- (2)
由（1）-（2）得231(1)n n n n a pa p p p p n p --=+++
+--，
所以112(1)
(1)(1)11(1)n n
n n n p p n p n p np p p
a p p -+-----+-==--，当1n =时，10a =也适合；
于是12(1)
1
2
(1)1
(1)n n
n n n p a n p np p p p +-⎧=⎪⎪=⎨--+⎪≠⎪-⎩
．
7．【证明】原不等式等价于2
((1))x
n n
x n x n e n
-≤-⋅．
当2x n ≥，上述不等式左边非正，不等式成立；
当2x n <时，由1(0)y e y y ≥+≥及贝努力不等式(1)1(1,1)n y ny n y +≥+≥>-，
从而22222((1))((1)(1))(1)(1)x
n
n n n x x x x x n e n n n n n x n n n n n
-⋅≥-⋅+=-≥-⋅=-，即证．。